[2020理数]第九章 第六节 曲线与方程

第六节 曲线与方程1.了解曲线与方程的对应关系．2.能够根据所给条件选择恰当的方法(直接法、定义法、代入法) 求曲线的轨迹方程．[基本知识]1．曲线与方程一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ,y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线．2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x ,y )表示曲线上任意一点M 的坐标． (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}． (3)用坐标表示条件p (M ),列出方程f (x ,y )＝0. (4)化方程f (x ,y )＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ,y )＝0,曲线C 2的方程为F 2(x ,y )＝0,则C 1,C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1(x ，y )＝0，F 2(x ，y )＝0的实数解．若此方程组无解,则两曲线无交点．[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)过点P (x 0,y 0)斜率为k 的直线的方程是y －y 0x －y 0＝k .( )(2)若点P (x 0,y 0)在曲线C 上,则有f (x 0,y 0)＝0.( ) 答案：(1)× (2)√ 二、填空题1．方程x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋12＝0表示的图形为________． 答案：一个点(2,－2)2．已知两点M (－2,0),N (2,0),点P 满足PM ―→·PN ―→＝12,则点P 的轨迹方程为________． 答案：x 2＋y 2＝16方法一 直接法求轨迹方程[例1] (1)(2019·葫芦岛调研)在△ABC 中,已知A (2,0),B (－2,0),G ,M 为平面上的两点且满足GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0,|MA ―→|＝|MB ―→|＝|MC ―→|,GM ―→∥AB ―→,则顶点C 的轨迹为( )A ．焦点在x 轴上的椭圆(长轴端点除外)B ．焦点在y 轴上的椭圆(短轴端点除外)C ．焦点在x 轴上的双曲线(实轴端点除外)D ．焦点在x 轴上的抛物线(顶点除外)(2)已知△ABC 的顶点B (0,0),C (5,0),AB 边上的中线长|CD |＝3,则顶点A 的轨迹方程为____________________．[解析] (1)设C (x ,y )(y ≠0),则由GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0,即G 为△ABC 的重心,得G ⎝⎛⎭⎫x 3，y 3.又|MA ―→|＝|MB ―→|＝|MC ―→|,即M 为△ABC 的外心,所以点M 在y 轴上,又GM ―→∥AB ―→,则有M ⎝⎛⎭⎫0，y 3.所以x 2＋⎝⎛⎭⎫y －y 32＝4＋y 29,化简得x 24＋y 212＝1,y ≠0.所以顶点C 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴端点)．(2)设A (x ,y ),由题意可知D ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.又∵|CD |＝3,∴⎝⎛⎭⎫x 2－52＋⎝⎛⎭⎫y22＝9,即(x －10)2＋y 2＝36,由于A ,B ,C 三点不共线,∴点A 不能落在x 轴上,即y ≠0,∴点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．[答案] (1)B (2)(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0) [方法技巧]利用直接法求轨迹方程的方法及注意点如果动点满足的几何条件本身是一些几何量(如距离与角等)的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,就可运用直接法求轨迹方程．(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程,然后进行化简． (2)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时,在化简的过程中,有时破坏了方程的同解性,此时就要补上遗漏的点或删除多余的点,这是不能忽视的．②若方程的化简过程是恒等变形,则最后的验证可以省略． [针对训练](2019·深圳调研)已知点F (0,1),直线l ：y ＝－1,P 为平面上的动点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为Q ,且Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→,则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x解析：选A 设点P (x ,y ),则Q (x ,－ 1)．∵Q P ―→·Q F ―→＝FP ―→·F Q ―→,∴(0,y ＋1)·(－x,2)＝(x ,y －1)·(x ,－2),即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1),整理得x 2＝4y ,∴动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .方法二 定义法求轨迹方程[例2] 已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36,定点N (5,0),点P 为圆M 上的动点,点Q 在直线NP 上,点G 在直线MP 上,且满足NP ―→＝2N Q ―→,G Q ―→·NP ―→＝0.(1)求点G 的轨迹C 的方程．(2)过点(2,0)作斜率为k 的直线l ,与曲线C 交于A ,B 两点,O 是坐标原点,是否存在这样的直线l ,使得OA ―→·OB ―→≤1,若存在,求出直线l 斜率k 的取值范围；若不存在,请说明理由．[解] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧NP ―→＝2N Q ―→，G Q ―→·NP ―→＝0，∴Q 为线段PN 的中点且G Q ⊥PN , 则G Q 为PN 的垂直平分线,故|PG |＝|GN |, ∴|GN |＋|GM |＝|PM |＝6,∴点G 的轨迹是以M ,N 为焦点的椭圆,其中a ＝3,c ＝5,∴b ＝2, ∴点G 的轨迹C 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设l 的方程为y ＝k (x －2),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 29＋y 24＝1，得(9k 2＋4)x 2－36k 2x ＋36(k 2－1)＝0, ∴x 1＋x 2＝36k 29k 2＋4,x 1x 2＝36(k 2－1)9k 2＋4,故y 1y 2＝[k (x 1－2)][k (x 2－2)]＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－20k 29k 2＋4, 则OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝16k 2－369k 2＋4≤1,解得－2707≤k ≤2707. 故存在这样的直线l ,使得OA ―→·OB ―→≤1,此时直线l 斜率k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－2707，2707.[方法技巧]定义法求轨迹方程的方法、关键及注意点(1)求轨迹方程时,若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可直接根据定义先确定轨迹类型,再写出其方程．(2)关键：理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．(3)利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x 或y 进行限制．[针对训练]已知圆C 与两圆C 1：x 2＋(y ＋4)2＝1,C 2：x 2＋(y －2)2＝1外切,圆C 的圆心轨迹方程为L ,设L 上的点与点M (x ,y )的距离的最小值为m ,点F (0,1)与点M (x ,y )的距离为n .(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)求满足条件m ＝n 的点M 的轨迹Q 的方程．解：(1)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C 1(0,－4),C 2(0,2),由题意得|CC 1|＝|CC 2|,可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线,C 1C 2的中点为(0,－1),直线C 1C 2的斜率不存在,所以圆C 的圆心轨迹L 的方程为y ＝－1.(2)因为m ＝n ,所以M (x ,y )到直线y ＝－1的距离与到点F (0,1)的距离相等,故点M 的轨迹Q 是以y ＝－1为准线,点F (0,1)为焦点,顶点在原点的抛物线,从而p2＝1,即p ＝2,所以轨迹Q 的方程是x 2＝4y .方法三 代入法求轨迹方程[例3] (2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足NP ―→＝ 2 NM ―→.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上,且OP ―→·P Q ―→＝1.证明：过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F .[解] (1)设P (x ,y ),M (x 0,y 0),则N (x 0,0),NP ―→＝(x －x 0,y ),NM ―→＝(0,y 0)． 由NP ―→＝ 2 NM ―→,得x 0＝x ,y 0＝22y .因为M (x 0,y 0)在椭圆C 上, 所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3,t ),P (m ,n ), 则O Q ―→＝(－3,t ),PF ―→＝(－1－m ,－n ), O Q ―→·PF ―→＝3＋3m －tn ,OP ―→＝(m ,n ),P Q ―→＝(－3－m ,t －n )．由OP ―→·P Q ―→＝1,得－3m －m 2＋tn －n 2＝1, 又由(1)知m 2＋n 2＝2,故3＋3m －tn ＝0. 所以O Q ―→·PF ―→＝0,即O Q ―→⊥PF ―→. 又过点P 存在唯一直线垂直于O Q ,所以过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F . [方法技巧]代入法求轨迹方程的注意事项及4个步骤当所求动点P (x ,y )是随着另一动点Q (x ′,y ′)(称之为相关点)而运动,且相关点Q 满足一曲线方程时,就可用代入法求轨迹方程．此时应注意：代入法求轨迹方程是将x ′,y ′表示成关于x ,y 的式子,同时要注意x ′,y ′的限制条件．(1)设出所求动点坐标P (x ,y )．(2)寻求与所求动点P (x ,y )与已知动点Q (x ′,y ′)的关系． (3)建立P ,Q 两坐标的关系表示出x ′,y ′.(4)将x ′,y ′代入已知曲线方程中化简求解． [针对训练]已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0,b ＞0),经过点M⎝⎛⎭⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A ,B ,且MB ―→＝－2MA ―→.若点B 的坐标为(0,2),求曲线E 的方程．解：设A (x 0,y 0),∵B (0,2),M⎝⎛⎭⎫33，0, 故MB ―→＝⎝⎛⎭⎫－33，2,MA ―→＝⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0.由于MB ―→＝－2MA ―→,∴⎝⎛⎭⎫－33，2＝－2⎝⎛⎭⎫x 0－33，y 0.∴x 0＝32,y 0＝－1,即A ⎝⎛⎭⎫32，－1.∵A ,B 都在曲线E 上, ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝⎛⎭⎫322＋b ·(－1)2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝14.∴曲线E 的方程为x 2＋y 24＝1.[课时跟踪检测]1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．(2018·梅州质检)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切,则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：选B 双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F (－2,0),动圆M 经过点F 且与直线x ＝2相切,则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等,由抛物线的定义知轨迹是抛物线,其方程为y 2＝－8x .3．(2018·四川雅安调研)设动点P 在直线x ＝1上,O 为坐标原点,以OP 为直角边、点O 为直角顶点作等腰Rt △OP Q ,则动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线解析：选B 设P (1,a ),Q (x ,y )．以点O 为直角顶点作等腰直角三角形OP Q ,y x ·a ＝－1,x ＝－ay ,∵|OP |＝|O Q |,∴1＋a 2＝x 2＋y 2＝a 2y 2＋y 2＝(a 2＋1)y 2,而a 2＋1＞0,∴y 2＝1,∴y ＝1或y ＝－1,∴动点Q 的轨迹是两条平行于x 轴的直线．4．(2018·云南质量检测)已知M (－2,0),N (2,0),则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)D ．x 2＋y 2＝4(x ≠±2)解析：选D MN 的中点为原点O ,易知|OP |＝12|MN |＝2,∴P 的轨迹是以原点O 为圆心,2为半径的圆,除去与x 轴的两个交点,即P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2),故选D.5．(2019·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ,A (1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点．线段A Q 的垂直平分线与C Q 的连线交于点M ,则M 的轨迹方程为( )A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y 225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y 221＝1 解析：选D 因为M 为A Q 垂直平分线上一点,则|AM |＝|M Q |,所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|M Q |＝|C Q |＝5,故M 的轨迹为以点C ,A 为焦点的椭圆,所以a ＝52,c ＝1,则b 2＝a 2－c 2＝214,所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1.6．(2018·洛阳模拟)设过点P (x ,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ,B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称,O 为坐标原点．若BP ―→＝2PA ―→,且O Q ―→·AB ―→＝1,则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0,y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0,y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0,y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0,y ＞0)解析：选A 设A (a,0),B (0,b ),a ＞0,b ＞0.由BP ―→＝2PA ―→,得(x ,y －b )＝2(a －x ,－y ),即a ＝32x ＞0,b ＝3y ＞0.点Q (－x ,y ),故由O Q ―→·AB ―→＝1,得(－x ,y )·(－a ,b )＝1,即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ,b ＝3y 代入ax ＋by ＝1,得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0,y ＞0)．7．(2019·杭州七校质量检测)已知F 1,F 2是双曲线的两个焦点,Q 是双曲线上任意一点,从焦点F 1引∠F 1Q F 2的平分线的垂线,垂足为P ,则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 不妨设点Q 在双曲线的右支上,延长F 1P 交直线Q F 2于点S , ∵Q P 是∠F 1Q F 2的平分线,且Q P ⊥F 1S ,∴P 是F 1S 的中点． ∵O 是F 1F 2的中点,∴PO 是△F 1SF 2的中位线,∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|Q S |－|Q F 2|)＝12(|Q F 1|－|Q F 2|)＝a ,∴点P 的轨迹为圆．8．(2019·巴蜀中学月考)已知双曲线C ：x 2169－y 225＝1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点M ,N为异于F 1,F 2的两点,且MN 的中点在双曲线C 的左支上,点M 关于F 1和F 2的对称点分别为A ,B ,则|NA |－|NB |的值为( )A ．26B ．－26C ．52D ．－52解析：选D 设MN 的中点为P ,由几何关系结合三角形中位线可得|NA |＝2|PF 1|,|NB |＝2|PF 2|,则|NA |－|NB |＝2(|PF 1|－|PF 2|),又点P 位于双曲线的左支,则|NA |－|NB |＝2(|PF 1|－|PF 2|)＝2×(－2a )＝－4a ＝－4×13＝－52.故选D.9．(2019·六安一中月考)如图,已知F 1,F 2是椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的左,右焦点,P 是椭圆Γ上任意一点,过F 2作∠F 1PF 2的外角的角平分线的垂线,垂足为Q ,则点Q 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：选B 延长F 2Q ,与F 1P 的延长线交于点M ,连接O Q .因为P Q 是∠F 1PF 2的外角的角平分线,且P Q ⊥F 2M ,所以在△PF 2M 中,|PF 2|＝|PM |,且Q 为线段F 2M 的中点．又O 为线段F 1F 2的中点,由三角形的中位线定理,得|O Q |＝12|F 1M |＝12(|PF 1|＋|PF 2|)．根据椭圆的定义,得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,所以|O Q |＝a ,所以点Q 的轨迹为以原点为圆心,半径为a 的圆,故选B.10．(2019·遵义第四中学月考)已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切,与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) 解析：选A 设动圆的半径为r ,由题意可得MC 1＝r ＋2,MC 2＝r －2,所以MC 1－MC 2＝22＝2a ＜8,故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0),C 2(4,0)为焦点,实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上,即a ＝2,c ＝4,则b 2＝16－2＝14,故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥2),故选A.11．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点,P 是该抛物线上的动点,则线段PF 中点的轨迹方程是________．解析：因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1),设线段PF 的中点坐标是(x ,y ),则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上,所以(2x )2＝4(2y －1),化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －112．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4,若抛物线过点A (－1,0),B (1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是________________．解析：设抛物线焦点为F ,过A ,B ,O 作准线的垂线AA 1,BB 1,OO 1,则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4,由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|FA |＋|FB |,所以|FA |＋|FB |＝4,故F 点的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)13．(2019·漳州联考)已知直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点,l 与C 交于A ,B 两点,过点A ,B 分别作C 的切线,且交于点P ,则点P 的轨迹方程为________．解析：不妨将抛物线翻转为x 2＝4y ,设翻转后的直线l 的方程为y ＝kx ＋1,翻转后的A ,B两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，得x 2－4kx －4＝0,①易得抛物线x 2＝4y 在点A 处的切线方程为y －14x 21＝12x 1·(x －x 1),同理可得抛物线x 2＝4y 在点B 处的切线方程为y －14x 22＝12x 2(x －x 2)． 联立⎩⎨⎧y －14x 21＝12x 1(x －x 1)，y －14x 22＝12x 2(x －x 2)，得y ＝14x 1x 2,再由①可得x 1x 2＝－4,所以y ＝－1.故点P 的轨迹方程为x ＝－1. 答案：x ＝－114．(2019·湖北部分重点中学联考)设A (－2,0),B (－1,0),C (1,0),动圆D 与x 轴相切于A 点,如图,过B ,C 两点分别作圆D 的非x 轴的两条切线,两条切线交点为P .(1)证明：|PB |＋|PC |为定值,并写出点P 的轨迹方程；(2)设动直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切,又l 与点P 的轨迹交于M ,N 两点,求OM ―→·ON ―→的取值范围．解：(1)证明：设直线PB 和PC 与圆D 分别相切于点E 和点F . 由切线长定理得|PE |＝|PF |, 则|PB |－|EB |＝|CF |－|PC |, 又|CA |＝|CF |＝3,|AB |＝|EB |＝1, 所以|PB |＋|PC |＝|CF |＋|EB |＝3＋1＝4, 所以|PB |＋|PC |为定值4.所以点P 的轨迹是以B ,C 为焦点,长轴长为4的椭圆, 所以c ＝1,a ＝2,b 2＝3,所以点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．(2)(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时,l ：x ＝±1, 不妨设M ⎝⎛⎭⎫1，32,N ⎝⎛⎭⎫1，－32,则OM ―→·ON ―→＝－54. (ⅱ)当直线l 的斜率存在时,设l ：y ＝kx ＋m ,即kx －y ＋m ＝0. M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．因为直线l 与单位圆相切,所以|m |k 2＋1＝1, 则m 2＝k 2＋1.①由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝kx ＋m ，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0, 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3，x 1·x 2＝4m 2－124k 2＋3.所以OM ―→·ON ―→＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝x 1·x 2＋(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝(k 2＋1)x 1·x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝7m 2－12k 2－124k 2＋3,②把①代入②得OM ―→·ON ―→＝－5(k 2＋1)4k 2＋3＝－54⎝⎛⎭⎫1＋14k 2＋3.因为4k 2＋3≥3,所以OM ―→·ON ―→∈⎣⎡⎭⎫－53，－54. (ⅲ)当l ：y ＝kx ＋m 过点(－2,0)或(2,0)时,k ＝±33,即y ＝±33(x ＋2)或y ＝±33(x －2),则OM ―→·ON ―→＝－2013,综上,OM ―→·ON ―→的取值范围为⎣⎡⎭⎫－53，－2013∪⎝⎛⎦⎤－2013，－54. 15．(2019·丹东期末)已知动点E 到点A (2,0)与点B (－2,0)的斜率之积为－14,点E 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点D (1,0)作直线l 与曲线C 交 于P ,Q 两点,求OP ―→·O Q ―→的最大值．解：(1)设E (x ,y ),则x ≠±2.因为动点E 到点A (2,0)与点B (－2,0)的斜率之积为－14,所以y x ＋2·y x －2＝－14,整理得曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)当l 垂直于x 轴时,l 的方程为x ＝1, 代入x 24＋y 2＝1得P ⎝⎛⎭⎫1，32,Q ⎝⎛⎭⎫1，－32.所以OP ―→·O Q ―→＝⎝⎛⎭⎫1，32·⎝⎛⎭⎫1，－32＝14.当l 不垂直于x 轴时,依题意可设y ＝k (x －1)(k ≠0),代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.因为Δ＝16(1＋3k 2)＞0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2,x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2. 所以OP ―→·O Q ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(1＋k 2)4k 2－41＋4k 2－8k 41＋4k 2＋k 2 ＝k 2－41＋4k 2＝14－174＋16k 2＜14. 综上,OP ―→·O Q ―→≤14,当l 垂直于x 轴时等号成立,故OP ―→·O Q ―→的最大值是14. 16．(2019·合肥调研)已知M 为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的动点,过点M 作x 轴的垂线,垂足为D ,点P 满足PD ―→＝53MD ―→. (1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)若A ,B 两点分别为椭圆C 的左、 右顶点,F 为椭圆C 的左焦点,直线PB 与椭圆C 交于点Q ,直线Q F ,PA 的斜率分别为k Q F ,k PA ,求k Q F k PA的取值范围． 解：(1)设P (x ,y ),M (m ,n ),依题意知D (m,0),且y ≠0.由PD ―→＝53MD ―→,得(m －x ,－y )＝53(0,－n ), 则有⎩⎪⎨⎪⎧ m －x ＝0，－y ＝－53n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝x ，n ＝35y . 又M (m ,n )为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上的点, ∴x 225＋⎝⎛⎭⎫35y 29＝1,即x 2＋y 2＝25, 故动点P 的轨迹E 的方程为x 2＋y 2＝25(y ≠0)．(2)依题意知A (－5,0),B (5,0),F (－4,0),设Q (x 0,y 0),∵线段AB 为圆E 的直径,∴AP ⊥BP ,设直线PB的斜率为k PB,则k PA＝－1k PB,k Q F k PA＝k Q F－1k PB＝－k Q F k PB＝－k Q F k Q B＝－y0x0＋4·y0x0－5＝－y20(x0＋4)(x0－5)＝－9⎝⎛⎭⎫1－x2025(x0＋4)(x0－5)＝925(x2－25)(x0＋4)(x0－5)＝925(x0＋5)x0＋4＝925⎝⎛⎭⎫1＋1x0＋4.∵点P不同于A,B两点且直线Q F的斜率存在, ∴－5＜x0＜5且x0≠－4,又y＝1x＋4在(－5,－4)和(－4,5)上都是减函数,∴925⎝⎛⎭⎫1＋1x0＋4∈(－∞,0)∪⎝⎛⎭⎫25，＋∞,故k Q Fk PA的取值范围是(－∞,0)∪⎝⎛⎭⎫25，＋∞.。