人教版五年级上册数学第三章第四节循环小数新课教案

难点：理解循环小数产生的原因。

1．你能举例说一说生活中常见的循环现象吗？ 例：春→夏→秋→冬
2．用计算器计算下面各题，并说一说商的特点。

2÷7 2÷11
周期问题：
日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现。

我们把这种会重复出现的规律性问题称为周期问题。

方案/ 知识点 循环小数的意
义 有限小数和无限小数
熟练 掌握 生疏
可能原因及对策
知识点一 循环小数的意义
问题(1)导入 平均每秒跑多少米呢？
过程讲解
1．观图，读题，理解题意并列式
已知条件是王鹏跑400m 用了75秒，所求问题是平均每秒跑多少米。

根据“速度＝路程÷时间”可知，求平均每秒跑多少米，用除法计算，列式为400÷75。

易错提示 此题虽然没有除尽，但计算结果不是近似数，因此要用“＝”连接。

2．用竖式计算400÷75
难点点拨
计算中发现，余数重复出现25，商3也重复出现，在余数后添0继续除，总也除不尽，小数位数是无限的，写商时对于重复的数字，先写出几个后，其余的用省略号代替。

400÷75＝5.333…(m)
25
答：平均每秒跑5.333…m。

问题(2)导入先计算，再说一说这些商的特点。

28÷18＝78.6÷11＝
过程讲解
1．用竖式计算
28÷18＝1.555…
2．观察两个竖式及商的特点
计算28÷18时，余数重复出现10，商的小数部分从十分位起重复出现5，商可用1.555…表示；计算78.6÷11时，余数重复出现5和6，商的小数部分从百分位起重复出现4和5，商可用7.14545…表示。

3．意义点拨
(1)循环小数：像5.333…，1.555…，7.14545…这样的小数叫做循环小数。

(2)循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。

例如5.333…的循环节是3；7.14545…的循环节是45；6.9258258…的循环节是258。

(3)循环小数的简便写法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。

例如5.333…写作5.3；6.9258258…写作6.9258。

归纳总结
一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。

拓展提高
纯循环小数和混循环小数。

1．循环节从小数部分十分位开始的小数叫做纯循环小数。

如5.，1.555…。

2．循环节不是从小数部分十分位开始的小数叫做混循环小数。

如7.14545…。

知识点二有限小数和无限小数
问题导入算一算，想一想：两个数相除，如果不能得到整数商，所得的商会有哪些情况？
15÷16＝ 1.5÷7＝
过程讲解
1．猜想
2．用竖式计算
15÷16＝0.9375
1．5÷7＝0.2142857142857…
3．观察两个商，寻找不同点
15÷16＝0.9375，可以除尽，商是四位小数，可以数出来。

1.5÷7＝0.2142857142857…，除不尽，商是循环小数，小数部分有无数位。

4．意义点拨
像0.9375这样的小数叫做有限小数，像0.2142857142857…这样的小数叫做无限小数。

一个小数不是有限小数，就是无限小数。

归纳总结
1．有限小数：小数部分的位数是有限的小数。

2．无限小数：小数部分的位数是无限的小数。

拓展提高
1．小数的分类。

2．无限不循环小数。

在以后的学习中，还会遇到一类特殊的无限小数。

如圆的周长与它的直径的商是一个固定的数3.14159…，这个数总也除不完，而且又不出现循环节，像这样的数就叫做无限不循环小数。

易错易混
误区一 5.7÷9≈0.6333…
错解分析商0.6333…是循环小数，循环小数作商时，实际是一个准确值，不能用“≈”连接。

错解改正 5.7÷9＝0.6333…
温馨提示
用循环小数表示商时，要用“＝”连接。

误区二判断：98989898.9898是循环小数。

(√)
错解分析题中所给的数虽然是由9和8两个数字重复组成的，但这两个数字在小数部分只重复出现了两次，小数部分是四位小数，这是一个有限小数。

错解改正×
温馨提示
一个小数部分的位数是有限的小数，不可能是循环小数。

误区三循环小数4.5454…可以简写成4.545。

错解分析本题误以为循环节是45，这个小数是从小数点后第一个数字“5”开始循环的，它的循环节是54。

错解改正循环小数4.5454…可以简写成4.54。

温馨提示
循环节指的是循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字。

综合能力
能力点一运用归纳法解决循环小数的问题
例1不计算，直接填得数。

1÷7＝0.1428574÷7＝________
2÷7＝0.285714 5÷7＝________
3÷7＝0.428571 6÷7＝________
分析(1)观察循环节的规律。

观察前三道题，发现商都是循环小数，而且循环节都是由1，4，2，8，5，7这6个数字组成的，只是排列顺序不同，排列规律如下图所示：
(2)发现循环节的规律。

如下表所示：
除法算式商的十分位上的数循环节
1÷71142857
2÷72285714
3÷74428571
观察上表可知，商的十分位上是几，商的循环节就从几开始按顺时针方向依次排列这6个数字。

解答4÷7＝0.5714285÷7＝0.714285
6÷7＝0.857142
总结
用1～6这6个自然数分别除以7时，商的循环节都是由1，4，2，8，5，7这6个数字组成的，商的十分位上是几，循环节就从几开始按1→4→2→8→5→7的顺序循环排列。

能力点二运用分组法求循环小数指定数位上的数字
例22÷13，商的小数点后面第1000位上的数字是几？
分析2÷13＝0.153846，商是一个循环小数，循环节由6个数字组成。

要想知道商的小数点后面第1000位上的数字是几，就要根据1000除以6的商来确定。

情况一如果正好整除，第1000位上的数字就是循环节的最后一位6。

情况二如果不能整除，余数与所求数字的关系如下：
余数12345
所求数字15384
解答2÷13＝0.5384
1000÷6＝166(组)……4(个)
答：商的小数点后面第1000位上的数字是8。

提示
解答本题的关键是根据商各位上的数字的排列规律确定所求数位上的数字。

教学资料
背圆周率小数点后位数最多的人
圆周率是一个无限小数，2005年11月20日西北农林科技大学硕士研究生吕超用24小时4分，不间断无差错地背诵圆周率至小数点后67890位，从而刷新由一名日本学生于1995年创造的无差错背诵圆周率至小数点后42195位的吉尼斯世界纪录。

2006年10月3日至4日日本人原口证背诵圆周率至小数点后100000位，总计背诵时间为16小时30分，成为背诵圆周率最长的人。

到目前为止，专家利用超级电脑已计算圆周率到小数点后约100万兆位。

循环小数化分数的规律
将纯循环小数改写成分数，分子是一个循环节的数字组成的数；分母各位数字都是9，9的个数与循环节中的数字的个数相同。

例如：0.111…＝，0.12341234…＝。

将混循环小数改写成分数，分子是不循环部分与第一个循环节连成的数字组成的数，减去不循环部分数字组成的数的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数跟循环节的位数相同，0的个数跟不循环部分的位数相同。

知识点一循环小数
1．填空。

(2)把下面的循环小数用简便形式写出来。

①9.35858…写作()。

②6.103103…写作()。

2．判断。

(1)5.372157215…的简便记法是5.37215。

()
(2)除不尽时，得到的商一定是循环小数。

()
(3)3.34646的循环节是46。

()
(4)2÷6的商是循环小数。

()
(5)循环小数都小于1。

()
3．选择。

(1)下面各数中，比9.808大的数是() A．9.808 B．9.808 C．9.808
(2)下面各数中，比0.34小的数是()。

A．0.34 B．0.43 C．0.343
4．在里填上“>”或“<”。

4．6 4.666 3.14 3.14 8．78.69 6.39 6.39 6．4 6.4 2.81 2.8 知识点二有限小数和无限小数
5．判断。

(1)8.53保留两位小数约是8.53。

()
(2)无限小数都是循环小数。

()
(3)小数分为无限小数和有限小数。

()
(4)无限小数比有限小数大。

()
(5)小数部分有相同数字的小数就是循环小数。

()
6．每张卡片上都有一个算式，按商的情况把卡片分成两类。

(填序号)
商是有限小数商是无限小数
7．用竖式计算。

(商是循环小数的要简写)
3．8÷0.9 1.5÷2.5 34．5÷11 1.24÷3.6
一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。

1．有限小数：小数部分的位数是有限的小数。

2．无限小数：小数部分的位数是无限的小数。

1.做一做。

0.6666…≈()(保留一位小数)
0.6666…≈()(保留两位小数)
2.7467467…≈()(保留一位小数)
2.7467467…≈()(保留两位小数)
2.7467467…≈()(保留三位小数)
2.下面哪些数是循环小数？
0.999…
52.5252…
4.1677…
3.212121…
3.1415926…
3.下面哪些数是循环小数？说出它的循环节，并将它写成简便形式。

0.43561…
2.3535
4.1212…
7.432432…
1.02525
0.153434…
4.用竖式计算下面各题，除不尽的用循环小数表示。

13÷11＝
57÷32＝
11.625÷9.3＝
30.1÷33＝
5.把下面各数按从小到大的顺序排列。

2.188… 2.1818
2.818 2.1818…
1．甲、乙两个港口相距630 km，一艘轮船从甲港口航行到乙港口用了7.3小时，这艘轮船平均每小时航行多少千米？(得数保留整数)
2．明明练习书法，他重复写“爱我中华”四个字，你知道明明写的第73个字是什么吗？。