一题多解曲线的公切线

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专题3-1 切线、公切线及切线法应用-(原卷版)

专题3-1 切线、公切线与“切线法”应用目录【题型一】“在点”切线1：有切点.......................................................................................................... 1 【题型二】“在点”切线2：无切点.......................................................................................................... 2 【题型三】“在点”切线3：双参型.......................................................................................................... 2 【题型四】“在点”切线4：分段函数切线 .............................................................................................. 3 【题型三】“过点”切线1 ......................................................................................................................... 4 【题型四】“过点”切线2：切线条数...................................................................................................... 5 【题型五】“过点”切线3：最值与范围 .................................................................................................. 5 【题型六】双函数公切线 .......................................................................................................................... 5 【题型七】三角函数的切线 ...................................................................................................................... 6 【题型八】切线与倾斜角 .......................................................................................................................... 7 【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离 ...................................................................... 7 【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值 ...................................................................... 8 【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参 ...................................................................... 9 【题型十二】“切线法应用”题型4：零点（交点）求参 ...................................................................... 9 【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参 .................................................... 10 【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等 .................................................................... 11 【题型十五】综合应用 ............................................................................................................................ 11 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 12 三、模拟检测 .. (13)【题型一】“在点”切线1：有切点【典例分析】已知函数1()(3)e ln x f x ax x x -=++（其中e 为自然对数的底数）的图象在(1,(1))f 处的切线的斜率为8，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．eD ．31.已知函数2()2(1)f x x xf =-'，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为（） A ．680x y --= B ．680x y -+= C ．680x y ++= D ．680x y +-=2.已知函数()(0)xf x e ax a =+<在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为14，则实数a 的值为（） A ．1 B ．1- C ．3- D ．33.已知函数()()212f x x f x '=-+，则()f x 的图象在点()()22f ,处的切线的斜率为（） A ．-3 B ．3 C ．-5 D ．5【题型二】“在点”切线2：无切点【典例分析】已知四条直线1:l y x =，2:32l y x =-，3:32l y x =+，从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数3()f x x =的图象相切的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．23【变式演练】1.以下曲线与直线e e y x =-相切的是（） A ．221x y +=B ．e x y =C ．e ln x y x =D ．21e 2y x =2.若曲线e x y a x =+与y =2x +1相切，则实数a =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.直线12y x b =-与曲线1ln 2y x x =-+相切，则b 的值为（）A ．2B ．-2C ．-1D ．1【题型三】“在点”切线3：双参型【典例分析】已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则11a b+的最小值为（） A ．2 B ．4C ．5D ．6【变式演练】1.若曲线3y x ax =+在点(1,(1))f 处的切线方程为6y x m =-，则m =（） A ．3 B ．3- C ．2 D ．2-2.已知函数()2ln f x ax b x =-在点()()1,1f 处的切线为1y =，则a b +的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.已知函数2()ln f x a x bx =-的图象在1x =处与直线12y =-相切，则函数()f x 在[]1,e 上的最大值为（）A ．1-B ．0C ．12- D ．1【题型四】“在点”切线4：分段函数切线【典例分析】已知函数2(2),0()3(),0f x x x f xg x x ⎧->⎪=⎨⎪<⎩图像关于原点对称，则()f x 在1x =-处的切线方程为（）A ．320x y -+=B ．320x y --=C ．340x y ++=D ．340x y +-=【变式演练】1.已知函数()()ln 1,0,0x x f x kx x ⎧+>=⎨≤⎩，曲线()y f x =与直线1ln 222x y =-+有且仅有一个交点，则实数k 的取值范围为（） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2.已知函数()f x 满足()(),11ln 1,1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点，则实数a 的取值范围为（） A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭3.已知函数2,0()1,0x x a x f x x x⎧++<⎪=⎨->⎪⎩的图象上存在不同的两点A B ､，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是___________.【题型三】“过点”切线1【典例分析】设01x >，曲线()ln 32f x a x x a =-+在点()0,0P x 处的切线经过点()0,2e ，则0a x +=（） A ．eBCD ．2e【变式演练】1.写出a 的一个值，使得直线0x ay a +-=是曲线sin xy x=的切线，则a =______.2.已知直线(R)y ax a =∈与曲线ln y x =相交于两点，则a 的取值范围是___________3.函数2()e x f x =过原点的切线方程是_______.【题型四】“过点”切线2：切线条数【典例分析】若过点(),s t 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（）A ．ln s t >B ．ln s t <C ．ln t s <D ．ln t s >【变式演练】1.已知函数()()1e xf x x =+，过点M （1，t ）可作3条与曲线()y f x =相切的直线，则实数t 的取值范围是（）A ．24,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．242,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．36,2e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．36,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭2.若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线，则（）A ．2log m n >B ．2log n m >C ．2log m n <D ．2log n m <3.过点()0,b 作曲线e x y =的切线有且只有两条，则b 的取值范围为（） A ．()0,1B ．(),1-∞C ．(],1-∞D ．(]0,1【题型五】“过点”切线3：最值与范围【典例分析】已知函数()e xf x b =+的一条切线为y ax a =+，则ab 的最小值为（）A ．12e- B ．C ．12eD【变式演练】1.已知曲线()|ln |f x x =在点()()11,x f x 与()()22,x f x 处的切线互相垂直且相交于点()00,P x y ，则（） A ．121x x ⋅=-B ．12⋅=x x eC ．1202x x x +=D ．0122=+x x x2.若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．3.过直线1y x =-上一点P 可以作曲线()ln f x x x =-的两条切线，则点P 横坐标t 的取值范围为（） A ．01t << B ．1t e <<C ．0t e <<D ．11t e<<【题型六】双函数公切线【典例分析】若函数1()33(0)f x x x x =+->的图象与函数()e xg x tx =的图象有公切线l ，且直线l 与直线122y x =-+互相垂直，则实数t =（）A ．1e B ．2e C ．1e 或D ．1e 或【变式演练】1.若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（）A ．e 2B ．eCD ．2e2.若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则k =（） A ．2 B ．4 C ．2e D ．2e -3.．若曲线ln y x =与曲线：y =2x -k 有公切线，则实数k 的最大值为（）A ．78+1ln22B ．78-1ln22C ．12+1ln22D ．121ln22-【题型七】三角函数的切线【典例分析】函数()2cos 2sin f x x x x =-在πx =处的切线在y 轴上的截距为（）A ．2π2π-B ．2πC ．2π2-D ．22ππ22π--【变式演练】1.设函数321()(1)sin 3f x x a x a x =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线斜率为（）A ．3B ．2C ．1D ．122.过曲线cos y x =上一点1,32P π⎛⎫⎪⎝⎭且与曲线在P 点处的切线垂直的直线的方程为（）A ．2203x π-=B ．212032x y π+--=C．2203x π-= D ．212032x y π--+=3.已知函数()3sin 4cos f x x x =-，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为（） A ．34y x =- B ．0y = C ．4y =- D ．43y x =-+【题型八】切线与倾斜角【典例分析】设点P是曲线32y x =-+上的任意一点，P 点处切线倾斜角为α，则角α的取值范围是______.【变式演练】1.函数()2ln 1sin y x x=++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（） A ．310B ．±310C ．35D ．±352.已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（） A ．)⎡⎣ B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞3.已知M 是曲线()21ln 12y x x a x =++-上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于4π的锐角，则实数a 的取值范围是（） A ．[)2,+∞ B ．[)4,+∞C ．(],2-∞D ．(],4-∞【题型九】“切线法应用”题型1：直线上点到曲线距离【典例分析】已知111ln 20x x y --+=，22252ln 20x y +--=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（） A B C ．95D ．165【变式演练】1.曲线e x y =上到直线e y x =12的点的个数为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．12.曲线ln y x =上的点到直线2y x =+的最短距离是（）A．B C D3.已知实数a ，b ，c ，d 满足：2e 111a a cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则22()()ac bd -+-的最小值是（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【题型十】“切线法应用”题型2：两曲线上点距离最值【典例分析】设P 为曲线e x y =上一点，Q 为曲线ln y x =上一点，则|PQ |的最小值为（）AB ．1CD ．2【提分秘籍】基本规律两曲线最短距离数学思想，可以借鉴如下“双飞燕”思维图【变式演练】1.已知函数43e x y -=的图象与函数ln(1)14x y --=的图象关于某一条直线l 对称，若P ，Q 分别为它们上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为______．2.已知点P 为曲线ln exy =上的动点，O 为坐标原点．当OP 最小时，直线OP 恰好与曲线ln y a x =相切，则实数a ＝___．3.若12,x x R ∈，则()()212212e e x x x x -+-的最小值是 A ．1B ．2C ．3D ．4【题型十一】“切线法应用”题型3：恒成立与存在求参【典例分析】已知函数()0,ln ,0,x f x x x x ⎧=⎨>⎪⎩，若关于x 的不等式()e f x ax >-（e 是自然对数的底数）在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）A ．21e 1,3e 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21e 1,3e 2⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．21e ,22e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．21e ,22e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【变式演练】1.已知函数()2e 2xf x ax ax =++在()0,x ∈+∞上有最小值，则实数a 的取值范围为（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．e 1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2.已知P 是曲线)2:ln C y x x a x =++上的一动点，曲线C 在P 点处的切线的倾斜角为θ，若32ππθ≤<，则实数a 的取值范围是（）A ．)⎡⎣ B ．)⎡⎣C ．(,-∞D ．(-∞3.若曲线e x y =过点(2,0)-的切线恒在函数212()e 31e e x f x a x x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭的图象的上方，则实数a 的取值范围是__________．【题型十二】“切线法应用”题型4：零点（交点）求参【典例分析】若函数()ln 1f x x ax =-+有3个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,1 B ．(]0,1 C ．()1,1- D ．()()1,00,1-【变式演练】1.已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()()g x f x x m =-+恰有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．()1,2(,0]4-∞-⋃-B ．()12,0,,4⎛⎫+∞⋃ ⎪⎝⎭C ．[)12,0,4⎛⎤--⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．[)1,20,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭2.已知函数()eln ||f x x x a =--，2[1,e ]x ∈.若()y f x =的图象与x 轴有且仅有两个交点，则实数a 的取值范围是（） A ．[1,e] B ．(0,e]C ．2[1,e 2e]-D ．2(0,e 2e]-3.函数234,2()log (1),2x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()3g x kx k =-，若函数()f x 与()g x 的图象有三个交点，则实数k 的取值范围为（）A ．6,0)B ．6,0)C ．(2,0)-D ．6,0)【题型十三】“切线法应用”题型5：等式（不等式）整数解求参【典例分析】已知函数()()1ln f x kx x x =+-，若()0≤f x 有且只有两个整数解，则k 的取值范围是（） A ．ln 5ln 2,3010⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．ln 5ln 2,3010⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 2ln 3,1012⎛⎤⎥⎝⎦ D ．ln 2ln 3,1012⎛⎫⎪⎝⎭ 【变式演练】1.已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（）A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.．已知不等式ln (1)2ln 2++<x x x k x 的解集中仅有2个整数，则实数k 的取值范围是（）A ．340,ln 43⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．342ln ,ln 2433⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．342ln ,ln 2433⎡⎫⎪⎢⎣⎭3.若关于x 的不等式()()1e 21x a x x ->-（其中1a ≥-），有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（） A ．235,43e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．31,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．235,43e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．235,2e 3e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦【题型十四】“切线法应用”题型6：恒等式、不等式等【典例分析】已知直线()R y ax a =∈与曲线ln y x =相交于11(,)M x y ､22(,)N x y 两点，若12x x <，则下列结论错误的是（） A ．10e x <<B ．122e x x +>C ．21y >D ．122y y +<【变式演练】1.已知m ，n 为实数，不等式ln 0x mx n --≤恒成立，则nm的最小值为______．2.若直线l 与函数()e xf x =，()lng x x =的图象分别相切于点()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，则1212x x x x -+=______.3.若曲线ln y x =在点()11,P x y 处的切线与曲线x y e =相切于点()22,Q x y ，则12111x x x ++=-__________.【题型十五】综合应用【典例分析】过点()()1,P m m ∈R 有n 条直线与函数()e xf x x =的图像相切，当n 取最大值时，m 的取值范围为（）A ．25e e m -<<B ．250e m -<<C ．10em -<< D ．e m <【变式演练】1.已知函数()2ln ,021,0x x f x x x x ⎧>=⎨+-≤⎩，若方程()1f x ax =-有且仅有三个实数解，则实数a 的取值范围为（）A ．01a <<B ．02a <<C ．1a >D ．2a >2.已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.已知方程cos (0)xk k x=>有且仅有两个不同的实数解θ，()ϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是A ．cos sin ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos cos θθϕ=D ．sin sin θθϕ=-1.若过点(),a b 可以作曲线e xy =的两条切线，则（） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a << D ．0e a b << 2021年全国新高考I 卷数学试题2.若直线l 与曲线y 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +122020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①）3.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①）4.曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．2021年全国高考甲卷数学（理）试题5.曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________.2019年天津市高考数学试卷（文科）6.已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则 A ．,1a e b ==- B ．,1a e b == C ．1,1a e b -== D ．1,1a e b -==- 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标①）7.设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）8.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.2019年江苏省高考数学试卷9.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 2019年江苏省高考数学试卷10.设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则①PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞) 2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）11.已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 2021年全国新高考II 卷数学试题1.函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（） A ．(,2]-∞B ．11,22,2e e ∞⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2,+∞D ．()0,∞+2.如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是210y x =-+，则()()44f f +'的值为（）A ．0B ．1C ．-1D ．23.曲线213ln 2y x x =-在点P 处的切线与直线220x y +-=垂直，则点P 的横坐标为（） A ．e B ．1 C ．3 D ．2e4.已知函数()sin f x x x =+.曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（）A ．223y x π=-B ．223y x π=-C ．3y x π=-+D ．3y x π=-+5.函数2ln(1)cos y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则cos2=α（）A ．310B ．310±C ．35D ．35.6.已知0a >，0b >，直线y x b =+与曲线e x a y -=相切，则41a b+的最小值是（）A ．6B ．7C ．8D ．97.若过点(1,2)可作曲线3y x ax =+的三条切线，则实数a 的取值范围是（） A ．(3,1)-- B ．(2,1)-- C ．(1,2) D ．(1,3)8.曲线2ln y x =上的点到直线2ln20x y -+=的最短距离是（） A．2 B ．2ln2-C ．ln2D9.已知过原点的直线与函数()e ,0ln ,0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（）A ．()1,e e ⎧⎫-∞-⎨⎬⎩⎭B ．{}1e 0,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1e,e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．()1,e 0,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭10.已知曲线()1f x x=-在点()()1,1f --处的切线l 与曲线()ln g x a x =相切，则实数a 所在的区间为（ln 20.69≈，ln5 1.61≈）（）A ．()2,3B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,611.已知函数2ln ()2x f x x x =-在1x =处的切线为l ，第一象限内的点(,)P a b 在切线l 上，则1111a b +++的最小值为（）A B C D12.已知曲线()ln()1(1)=-+>f x mx nx m 的一条切线为直线:210l x y -+=，则mn 的最小值为________．江西省抚州市七校联考2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题13.若对0x ∀>，关于x 的不等式21ln 12mx mx x x +-≥+恒成立，则整数m 的最小值为___________.14.已知a ，b 为正实数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有ln ax b x -≥成立，则2ba的最大值是______．15.设函数()()sin 12sin 223f x x x αα--=+-（R α∈）图象在点（1，()1f ）处切线为l ，则l 的倾斜角θ的最小值是（） A ．4πB ．3π C ．56π D ．34π16..已知函数()21f x x =+，()ln g x x =，若曲线()y f x =与()y g x =的公切线与曲线()y f x =切于点()11,x y ，则()211ln 2x x -=___________.。

两条曲线的公切线问题

两条曲线的公切线问题➢方法导读在近几年高考导数大题的命制过程中,求曲线的公切线问题成为高考中的热点题型之一.学生在做题过程中,解决单一曲线的切线问题相对比较熟练,对于单一曲线的切线问题,求解过程中常用的数学思想主要是转化与化归思想,函数与方程思想,数形结合思想,求解方法也较容易理解:(1)判断切点是否可直接找到,若可以直接找到则直接求导即可;若不能直接找到则需设出切点;(2)利用导数的几何意义,即曲线在处的导数为切线的斜率;(3)根据切点既在曲线上又在切线上进行求解.但是对于两条曲线的公切线问题的求解,显然就比单一曲线的切线问题要复杂得多,灵活得多,难度也大得多.具体的求解方法:设曲线在点处的切线为,整理得到:.设曲线在点处的切线为,整理得到:.由于与是相同直线(即与的公切线),故有且(即斜率相等,纵截距相等), 从而求解出与公切线有关的一些问题.➢高考真题【2020·全国II卷理·20】已知函数.(1)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点;(2)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.➢解题策略【过程分析】本题第一问首先函数问题定义域优先原则,故得到的定义域为,进而对函数求导得到,因为函数的定义域为,从而判断出,因此函数在和上是单调增函数(注意函数的单调区间不可用“”符号连接,可用“,”或者“和”连接);然后利用极限法分析当时,,而(此处利用极限法的分析过程建议在平时的做题中多多训练,在很多题型中都有所涉及),从而根据零点存在性定理判断当,函数有零点,又根据函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点;当时,,,因为,所以根据零点存在性定理判断函数在必有零点,根据函数在上也是单调递增,故当时,函数有唯一的零点.于是得到第一问的全部结论,函数在和上是单调增函数并且函数在定义域内有个零点;第二问要证明两条曲线的公切线问题,就可以用到我们前面提到的方法,首先因为是的一个零点,所以必然满足函数解析式,即(注意一定要合理应用题中所给条件),然后我们分别求出两条曲线的切线,在求解切线的过程中要注意切点是否可以直接找到,对于而言,切点已经给出,所以直接求导,从而得到曲线在处的切线的斜率,进而表示出曲线在处的切线的方程为:,然后应用题中所给条件,所以的方程整理后为,它的斜率,在纵轴的截距为.紧接着我们继续研究曲线,由于曲线的切点不能直接找到,所以我们设曲线的切点为,然后利用导数求出曲线过切点的切线的方程,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的方程为,它的斜率,在纵轴的截距为.当切线的斜率等于直线的斜率时,即,则,而,所以. 最后由于直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此判断出直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线,本题得证.【深入探究】纵观本题的分析过程,主要是攻克以下的几个难点:(1)第一问中定义域中的“”,以及分析零点时的极限思想的应用;(2)第二问中由是的一个零点得到;(3)第二问中分别求解曲线与曲线的切线方程时切点的问题,尤其是求解曲线的切线方程时要设出切点,此处应该是本题求解过程中的“精髓”之处;(4)结合,再利用斜率和截距都相等,从而得出两直线,重合,进而说明直线是两条曲线的公切线;综上,只需攻克以上的几个难点本题就会迎刃而解.➢解题过程【解析】(1)函数的定义域为,,因为函数的定义域为,所以,因此函数在和上是单调增函数;当,时,,而,显然当,函数有零点,而函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点; 当时,,,因为,所以函数在必有一零点,而函数在上是单调递增,故当时,函数有唯一的零点, 综上所述,函数的定义域内有个零点.(2)因为是的一个零点,所以,,所以曲线在处的切线的斜率,故曲线在处的切线的方程为:,而, 所以的方程为,它在纵轴的截距为.设曲线的切点为,过切点的切线,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的方程为,当切线的斜率等于直线的斜率时,即,切线在纵轴的截距为,而,所以,直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线.➢解题分析在上述题目第二问的解题过程中,首先我们根据是的一个零点,得到关于的等量关系,其次我们分别求解曲线与曲线的切线方程,最后我们再由切线,重合来说明此直线就是两条曲线的公切线.此处我们主要是用到了求解两条曲线的公切线问题的常用方法:分别求出两条曲线的切线方程,然后利用直线重合得到该直线即为两条曲线的公切线,此种解题方法通俗易懂,学生上手比较方便,也是我们最常用的解决两条曲线公切线问题的方法.➢拓展推广解决两条曲线的公切线问题的一般策略:第一步:利用题中所给条件得到相应的等量关系;第二步:分别求解两条曲线在各自切点处的切线方程,设曲线在点处的切线为,整理得到:,设曲线在点处的切线为,整理得到:;第三步:根据公切线定义,得到两切线重合,建立方程组,求解相关问题,由于与是相同直线(即与的公切线),则和(即斜率相等,纵截距相等),建立方程组,从而求解出与公切线有关的一些问题.常见两条曲线的公切线问题的题型:(1)求两条曲线的公切线方程以及证明直线为两曲线的公切线问题;(2)求与两条曲线的公切线有关的曲线中的参数的取值范围问题;(3)探究两条曲线是否存在公切线的问题;(4)求曲线中参数的值问题;(5)判断公切线条数问题.变式训练1已知曲线与,直线是和的公切线,求公切线的方程.变式训练2已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若存在与函数,的图象都相切的直线,求实数的取值范围.变式训练3设函数,.(1)讨论的极值;(2)若曲线和曲线在点处有相同的切线,且当时,,求的取值范围.变式训练4（2018天津理）已知函数,,其中.(1)求函数的单调区间;(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,证明:;(3)证明:当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.变式训练5已知函数,.(1)当时,,求实数的取值范围.(2)当时,曲线和曲线是否存在公共切线?并说明理由答案变式训练1见解析设与的切点,与的切点,曲线在处的导数为,在曲线上过点的切线方程为,即,曲线在处的导数为,在曲线上过点的切线方程为,即,由题意知直线与重合,则有,解得或,所以两曲线和的公切线的方程为或.变式训练2见解析(1)函数的定义域为,, 所以,所以当,即时,,在上单调递增; 当,即或时,当时,,在上单调递增;当时,令得,随着变化,,的变化情况如下表:综上:当时,在上单调递增;当时,在和内单调递增,在内单调递减.(2)设函数在点与函数在点处切线相同,由,,得到,,所以函数在点处的切线方程为,即,函数在点处的切线方程为,即,由斜率相等得到,所以,由截距相等得到,把代入化简得,则,不妨设,当时,,当时,,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,代入可得,设,则对恒成立,所以在区间上单调递增,又,所以当时,即当时,又当时,,因此当时,函数必有零点;即当时,必存在使得成立;即存在,使得函数在点与函数在点处切线相同, 又由在上单调递增可得的取值范围,因此,,变式训练3见解析(1)由题意,则,①当时,恒成立,所以在上单调递增,无极值.②当时,由得,故当时,,单调递减;当时,,单调递增, 所以当时,有极小值,且极小值为,无极大值.③当时,由得,故当时,,单调递增;当时,,单调递减, 所以当时,有极大值,且极大值为,无极小值.综上所述,当时,无极值;当时,有极小值,无极大值;当时,有极大值,无极小值.(2)由题意得,∴,即,解得,∴,令,则,由题意可得,解得,由得,,①当,即时,则,∴当时,,单调递减;当时,,单调递增,∴在上的最小值为,∴恒成立.②当,即时,则,∴当时,,在上单调递增,又,∴当时,,即恒成立.③当,即时,则有,从而当时,不可能恒成立.综上所述的取值范围为.变式训练4(1)函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)见解析;(3)见解析.本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.(1)由已知,有,令,解得;由,可知当变化时,,的变化情况如下表:所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)由,可得曲线在点处的切线斜率为,由,可得曲线在点,处的切线斜率为,因为这两条切线平行,故有,即,(3)曲线在点处的切线,曲线在点处的切线.要证明当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,,使得与重合.即只需证明当时,方程组有解,由①得,代入②,得③,因此,只需证明当时,关于的方程③存在实数解.设函数.即要证明当时,函数存在零点,,可知时, ;时,单调递减,又,,故存在唯一的,且,使得, 即.由此可得在上单调递增,在上单调递减, 在处取得极大值;因为,故,所以,下面证明存在实数,使得,由(1)可得,当时,有,所以存在实数,使得,因此,当时,存在,使得;所以,当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.变式训练5见解析(1)令,则,若,则,若,则,所以在上是增函数,在上是减函数,所以是的极大值点,也是的最大值点,即,若恒成立,则只需,解得,所以实数的取值范围是.(2)假设存在这样的直线且直线与曲线和曲线分别切于点,,由,得,曲线在点处的切线方程为,即,同理可得,曲线在点处的切线方程为,所以,即,构造函数,存在直线与曲线和曲线均相切,等价于函数在上有零点,对于,当时,,在上单调递增,当时,因为,所以在上是减函数,又,,所以使得,即,且当时,,当时,,综上,在上是增函数,在上是减函数,所以是的极大值,也是最大值,且,又,,所以在内和内各有一个零点,故假设成立,即曲线和曲线存在公共切线.。

(完整版)利用导数求曲线的切线和公切线

利用导数求曲线的切线和公切线一. 求切线万程【例11 .已知曲线f(x)=x 3-2x 2+1.(1) 求在点P (1,0 )处的切线l 1的方程；⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二. 有关切线的条数【例21.( 2014?北京)已知函数f (x ) =2x 3 - 3x .(I)求f (x )在区间［-2, 1］上的最大值；(n)若过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切，求t 的取值范围;(川)问过点 A (- 1, 2), B (2, 10), C (0, 2)分别存在几条直线与曲线 y=f (x )相切？(只需写出结论)【解答1 解：(I)由 f (x ) =2x 3 - 3x 得 f '( x ) =6x 2- 3, 令 f '(x ) =0 得，x= -^_或 x=」,•- f (-2) =- 10, f (-=) =：-：, f (斗)=-::,f (1) =- 1, .f (x )在区间［-2, 1］上的最大值为：.：.(n)设过点P (1, t )的直线与曲线y=f (x )相切于点(X 。

，y °),则y °=2诃-3X 0，且切线斜率为k=6爲-3, .切线方程为 y -y o = (6-,- - 3)(x - x o ), +t+3=0，设 g (x ) =4x 3 - 6x 2+t+3 ,则“过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切”，等价于“ g (x )有3 个不同的零点”.T g '(x ) =12x 2- 12x=12x (x - 1),.g (0) =t+3是g (x )的极大值，g (1) =t+1是g (x )的极小值. .g (0)> 0 且 g (1)v 0,即-3v t v- 1,.当过点过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切时，t 的取值范围是 (-3,- 1).(rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x )相切；过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x )相切；过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x )相切.(6t - y o = -3)( 1-X 。

高三数学微点-公切线

1 1
切点---隐零点
切点(x1, ex1 ), (x2 , ln x2 )
k=e x1
1
e x1
ln x2
x2 x1 x2
ex1 ex1 +x1
x1
1 e x1
x1 ex1 1 ex1 x1
ex1 x1 1 x1 1
切点---隐零点
切点---隐零点
拓展迁移
x2是函数f
(x)
= ln
则 x1x2－x1＋x2 等于( )
A．－2
B．－1
C．1
D．2
答案 B 解析由 f(x)＝ex，g(x)＝ln x，得 f′(x)＝ex，g′(x)＝1x，
变式（设问）（1）(x1 1) (x2 1)
则 ex1 ＝x12， ln ex1 ＝ln x12，即 x1＝－ln x2.
曲线 y＝f(x)在点 A 处的切线方程为 y＝ ex1 x＋ ex1 (1－x1)，
注重对学科基本概念、基本原理、基本技能和思维方法等方面的考查。考查学生运用知识、能力和素养解决问题的能力，帮助学生领悟所学内容的应用价值。充分体现四翼的基础性与应用性。
例.f (x) ax2 1(a 0), g(x) 1 ln x图象有公切线，求amin.
凹凸相反，要有公切线，至多有一交点
交点及公切点（x0, 1 ax02）,（x0, 1 ln x0）
k=
2 ax0
1 x0
a=
1
2
x2 0
代入得x0 =
e
所以，amin
.
=
1 2e
解后反思
1.公切线条数---零点个数 2 .公切线条数---凹凸性相反，无交点（两条） 3 .公切线条数---凹凸性相反，1交点（一条） 4.抛物线开口开阔程度

公切线公式

公切线公式摘要：一、公切线的概念与性质1.定义及引入2.公切线的性质二、公切线的重要公式1.两圆公切线的性质2.三圆公切线的性质3.圆与直线公切线的性质三、公切线的应用1.求解几何问题2.构建几何模型四、公切线的计算方法1.解析法2.参数方程法3.向量法正文：一、公切线的概念与性质在几何学中，公切线是指同时与两个或多个圆、曲线或直线相切的直线。

它具有以下几个重要的性质：1.定义及引入：公切线是在一个点或多个点处与两个或多个圆、曲线或直线相切的直线。

引入公切线的概念，有助于更好地分析与解决几何问题。

2.公切线的性质：公切线具有以下几个性质：a) 公切线与切线重合；b) 公切线与圆、曲线或直线相切于切点；c) 公切线将圆、曲线或直线分为两段，使得这两段的性质相同。

二、公切线的重要公式公切线在求解几何问题时，具有重要的作用。

以下是一些重要的公式：1.两圆公切线的性质：若两个圆O1 和O2 相切于点A，B，则它们的公切线l 与O1A、O2B 的连线垂直，且满足l = O1A * O2B。

2.三圆公切线的性质：若三个圆O1、O2 和O3 相切于点A、B 和C，则它们的公切线l1、l2 和l3 满足l1 * l2 = l1 * l3 = l2 * l3，且l1、l2 和l3 两两垂直。

3.圆与直线公切线的性质：若一个圆O 与一条直线l 相切于点A，则圆O 在点A 处的切线与直线l 垂直，且满足切线的长度等于圆心O 到直线l 的距离。

三、公切线的应用公切线在解决几何问题中具有广泛的应用，例如求解相切圆问题、构建共线圆问题等。

1.求解几何问题：通过利用公切线的性质和公式，可以求解一些复杂的几何问题，如求解两个圆的交点、证明两条直线平行等。

2.构建几何模型：在解决实际问题时，公切线可以帮助我们构建一些具有特定性质的几何模型，如构建等腰三角形、等边三角形等。

四、公切线的计算方法在求解公切线时，可以采用以下方法：1.解析法：通过求解圆、曲线或直线的方程，找到切点，进而求出公切线。

专题02 曲线的切线问题探究【解析版】

第一章函数与导数专题02 曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有： 1.已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点()()11,x f x ，即解方程()f x k '=.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．（1）已知切点求切线方程：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为()()000y y f x x x '-=-．（2）求过点P 的曲线的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f(x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f(x 1))的切线方程为y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)可得过点P(x 0，y 0)的切线方程．3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6.导数几何意义相关的综合问题．【压轴典例】例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1xy x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .例2.（2019·全国高考真题（理））已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2211()ln ()1(1)x x f x x f x x x x ++'=-⇒=--，因为函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()0f x '>，因此函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数；当(0,1)x ∈，时，0,x y →→-∞，而11112()ln 0111e f e e e e+=-=>--，显然当(0,1)x ∈，函数()f x 有零点，而函数()f x 在(0,1)x ∈上单调递增，故当(0,1)x ∈时，函数()f x 有唯一的零点；当(1,)x ∈+∞时，2222221213()ln 0,()ln 01111e e ef e e f e e e e e e +-+-=-=<=-=>----，因为2()()0f e f e ⋅<，所以函数()f x 在2(,)e e 必有一零点，而函数()f x 在(1,)+∞上是单调递增，故当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有唯一的零点综上所述，函数()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞内有2个零点；（2）因为0x 是()f x 的一个零点，所以000000011()ln 0ln 11x x f x x x x x ++=-=⇒=-- 1ln y x y x'=⇒=，所以曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的斜率01k x =，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的方程为：0001ln ()y x x x x -=-而0001ln 1x x x +=-，所以l 的方程为0021x y x x =+-，它在纵轴的截距为021x -.设曲线xy e =的切点为11(,)x B x e ，过切点为11(,)x B x e 切线'l ，x x y e y e '=⇒=，所以在11(,)x B x e 处的切线'l 的斜率为1x e ，因此切线'l 的方程为111(1)x xy e x e x =+-，当切线'l 的斜率11xk e =等于直线l 的斜率01k x =时，即11001(ln )x e x x x =⇒=-，切线'l 在纵轴的截距为01ln 110001(1)(1ln )(1ln )x xb e x ex x x -=-=+=+，而0001ln 1x x x +=-，所以01000112(1)11x b x x x +=+=--，直线',l l 的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线',l l 重合，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线也是曲线x y e =的切线.例3. （2019·湖北高考模拟（理））已知函数2()1f x x ax =-+，()ln ()g x x a a R =+∈. （1）讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],1-∞ 【解析】（1）函数()h x 的定义域为()0,∞+,()()()2h x f x g x x ax lnx a 1(x 0)=+=-+++>，所以()212x ax 1x 2x a x xh -+=-+='所以当2Δa 80=-≤即a -≤≤()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当2Δa 80=->即a a ><-当a <-()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时，令()'x 0h =得x =综上：当a ≤时，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时()h x 在⎛ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭单调递增，在⎝⎭单调递减.（2）设函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同，()()111x 2,x f x a g x''=-=，则()()()()121212f x g x x x x x f g -==-''，由1212x a x -=，得121a x 2x 2=+，再由()2112212x ax 1lnx a 1x x x -+-+=- 得2121122x x x ax 1lnx a x -=-+--，把121a x 2x 2=+代入上式得()222221a a lnx a 20*4x 2x 4++++-= 设()221a a F x lnx a 24x 2x 4=++++-（∵x 2＞0，∴x ∈（0，+∞））, 则()23231a 12x ax 1x 2x 2x x 2xF --=--+=' 不妨设20002x ax 10(x 0)--=>. 当00x x <<时，()x 0F '<，当0x x >时，()x 0F '>所以()F x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0x ,∞+上单调递增，把001a=2x x -代入可得：()()20000min1F x F x x 2x lnx 2x ==+-+- 设()21G x x 2x lnx 2x =+-+-，则()211x 2x 20x xG =+++>'对x 0>恒成立，所以()G x 在区间()0,∞+上单调递增，又()G 1=0所以当0x 1<≤时()G x 0≤，即当00x 1<≤时()0F x 0≤,又当2ax e -=时，()22a 42a 2a 1a a F x lne a 24e 2e 4---=-+++- 22a 11a 04e -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭因此当00x 1<≤时，函数()F x 必有零点；即当00x 1<≤时，必存在2x 使得()*成立；即存在12x ,x 使得函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同．又由()1y 2x 0,1x=-在单调递增得，因此(]0001a=2x ,x 0,1x -∈所以实数a 的取值范围是(],1-∞．【总结提升】（1）求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程；(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 例4.（2019·山东高考模拟（文））已知函数ln 1()x f x x+=. (Ⅰ)证明：2()f x e x e ≤-； (Ⅱ)若直线(0)yax b a =+>为函数()f x 的切线，求b a的最小值.【答案】(1)见解析.(2) 1e-.【解析】(Ⅰ)证明：整理2()f x e x e ≤-得22ln 10(0)x e x ex x -++≤>令22()ln 1g x x e x ex =-++，2221(1)(21)()e x ex ex ex g x x x-++-+'==-当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '<，所以()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1()0g x g e ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，不等式得证.(Ⅱ)221(ln 1)ln ()x xf x x x-+-'==，设切点为()()00,x f x ，则02ln x a x -=，函数()f x 在()()00,x f x 点处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=- ()000200ln 1ln x x y x x x x +-=--，令0x =，解得002ln 1x b x +=，所以()0002ln 1ln x x ba x +=-，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，因为0a >，02ln 0x x ->，所以100<<x ， ()()()()20000000022202ln 3ln 2ln 12ln 1ln 12ln ln 1ln ln ln x x x x x x x h x x x x +---++-'=-=-=-，当010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为100<<x ，()011h x h e e⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭. 【思路点拨】（1）由2()f x e x e ≤-即为22ln 10(0)x e x ex x -++≤>，令22()ln 1g x x e x ex =-++，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可得到结论；（2）求得函数()f x 的导数，设出切点，可得020ln x a x -=的值和切线方程，令0x =，求得002ln 1x b x +=，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，利用导数求得函数()0h x 的单调性与最小值．对于恒成立问题，往往要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．例5.（2014·北京高考真题（文））已知函数3()23f x x x =-. （1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论）【答案】【解析】(1)由3()23f x x x =-得2'()63f x x =-，令'()0f x =，得x =或2x =，因为(2)10f -=-，(2f -=()2f -=(1)1f =-，所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f =（2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，()g x '=21212x x -=12(1)x x -，()g x 与()g x '的情况如下：所以，31t -<<-是()g x 的极大值，31t -<<-是()g x 的极小值，当，即1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当，(1,)P t 时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(,0)-∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当且(3,1)--，即时，因为，，所以()g x 分别为区间和()g x 上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是.（3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切；过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切；过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.例6. （2018·天津高考真题（理））已知函数()xf x a =， ()log a g x x =，其中a >1.（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线平行，证明()122lnln ln ax g x a+=-；（III ）证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 【答案】(Ⅰ)单调递减区间(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】（I ）由已知， ()xh x a xlna =-，有()xh x a lna lna ='-.令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时， ()h x '， ()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.（II ）由()x f x a lna '=，可得曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线斜率为1xa lna .由()1g x xlna='，可得曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线斜率为21x lna .因为这两条切线平行，故有121xa lna x lna=，即()1221x x a lna =. 两边取以a 为底的对数，得21220a log x x log lna ++=，所以()122lnlnax g x lna+=-. （III ）曲线()y f x =在点()11,x x a 处的切线l 1： ()111xxy a a lna x x -=⋅-.曲线()y g x =在点()22,a x log x 处的切线l 2： ()2221a y log x x x x lna-=⋅-. 要证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线，只需证明当1ea e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞， ()20,x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.即只需证明当1ea e ≥时，方程组1112121{1x x x a a lna x lnaa x a lna log x lna=-=-①②有解，由①得()1221x x a lna =，代入②，得1111120x x lnlna a x a lna x lna lna-+++=. ③ 因此，只需证明当1ea e ≥时，关于x 1的方程③存在实数解. 设函数()12x x lnlnau x a xa lna x lna lna=-+++，即要证明当1ea e ≥时，函数()y u x =存在零点.()()21x u x lna xa '=-，可知(),0x ∈-∞时， ()0u x '>；()0,x ∈+∞时， ()u x '单调递减，又()010u '=>， ()()212110lna u a lna ⎡⎤=-<⎢⎥⎥'⎢⎣⎦，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得()00u x '=，即()02010x lna x a-=.由此可得()u x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值()0u x .因为1ea e ≥，故()1ln lna ≥-，所以()()000000201212220xxlnlna lnlna lnlna u x a x a lna x x lna lna lna lna x lna +=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <.由（I ）可得1xa xlna ≥+，当1x lna>时，有()()()1211lnlnau x xlna xlna x lna lna≤+-+++()22121lnlna lna x x lna lna=-++++，所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1e a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞，使得()10u x =.所以，当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 例7.（2015·广东高考真题（理））（14分）（2015•广东）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2）e x﹣a ．（1）求f （x ）的单调区间；（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．【答案】（1）f （x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）见解析（3）见解析【解析】（1）f'（x ）=e x（x 2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x ）≥0，∴f（x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．又f （0）=1﹣a ， ∵a＞1．∴1﹣a ＜0∴f（0）＜0．当x→+∞时，f （x ）＞0成立． ∴f（x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点（3）证明：f'（x ）=e x（x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f（x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0， ∴x 0=﹣1将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，∴…10分令；g （m ）=e m﹣（m+1）g （m ）=e m﹣（m+1），则g'（m ）=e m﹣1，由g'（m ）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0 当m∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g（m ）的最小值为g （0）=0…12分 ∴g（m ）=e m ﹣（m+1）≥0 ∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即： ∴m≤…14分例8.（2019·四川棠湖中学高考模拟（文））已知抛物线2:4C x y = ，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ，切点分别为A,B.（1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程；（2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M. 【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明【解析】（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．（2）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB xk =，切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-．又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．因为2110(,1)4x MA x x =-+uuu r ，2220(,1)4x MB x x =-+uuu r ，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++uuu r uuu r22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦．将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．【压轴训练】1．（2019·湖南高考模拟（理））过抛物线()220x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点()12P -，，则直线AB 的方程为（） A ．122y x =+ B ．134y x =+ C ．132y x =+ D ．124y x =+ 【答案】D 【解析】由22x py =，得22x y p=，∴'x y p =．设()()1122,,,A x y B x y ，则1212','x x x x x x y y p p====，抛物线在点A 处的切线方程为2112x x y x p p=-，点B 处的切线方程为2222x x y x p p=-，由21122222x x y x p px x y x p p⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x x y p +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又两切线交于点()1,2P -，∴12121222x x x x p+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故得12122,4x x x x p +==- （*）． ∵过,A B 两点的切线垂直，∴121x x p p⋅=-，故212x x p =-，∴4p =，故得抛物线的方程为28x y =．由题意得直线AB 的斜率存在，可设直线方程为y kx b =+，由28y kx bx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2880x kx b --=， ∴12128,8x x k x x b +==- （**），由（*）和（**）可得14k =且2b =， ∴直线AB 的方程为124y x =+．故选：D ．2.（2019·山东高考模拟（文））设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】，即又，即本题正确结果：3.（2019·山东高考模拟（理））已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】【解析】设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b的最大值是1144b e elne ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故答案为：4.（2013·北京高考真题（理））设l 为曲线C ：在点(1，0)处的切线.(I)求l 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方【答案】(I)(II)见解析【解析】 (1)设f(x)＝，则f′(x)＝所以f′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)． g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减；当x>1时，x 2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．5.（2015·天津高考真题（文））已知函数（Ⅰ）求的单调区间;（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】（Ⅰ）的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）见试题解析;（Ⅲ）见试题解析.【解析】（Ⅰ）由,可得的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）,,证明在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）设方程的根为,可得,由在单调递减,得,所以.设曲线在原点处的切线为方程的根为,可得,由在在单调递增,且,可得所以.试题解析:（Ⅰ）由,可得,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.（Ⅱ）设,则,曲线在点P处的切线方程为,即,令即则.由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有.（Ⅲ）由（Ⅱ）知,设方程的根为,可得,因为在单调递减,又由（Ⅱ）知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为可得,对任意的,有即.设方程的根为,可得,因为在单调递增,且,因此,所以.6.（2013·福建高考真题（文））已知函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（Ⅲ）的最大值为【解析】（1）由,得．又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得．（2）,①当时,,为上的增函数,所以函数无极值．②当时,令,得,．,;,．所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值．（3）当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解．假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．又时,,知方程在上没有实数解．所以的最大值为．解法二:（1）（2）同解法一．（3）当时,．直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:（*）在上没有实数解．①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．②当时,方程（*）化为．令,则有．令,得,当变化时,的变化情况如下表:当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为．所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．综上,得的最大值为．7.（2013·北京高考真题（文））已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）求两个参数，需要建立两个方程.切点在切线上建立一个，利用导数的几何意义建立另一个，联立求解.（Ⅱ）利用导数分析曲线的走势，数形结合求解.【解析】由f(x)＝x 2＋xsin x ＋cos x ，得f′(x)＝2x ＋sin x ＋x(sin x)′－sin x ＝x(2＋cos x)．（1）因为曲线y ＝f(x)在点(a ，f(a))处与直线y ＝b 相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b ＝f(a)．解得a ＝0，b ＝f(0)＝1. （5分）（2）设g(x)＝f(x)－b ＝x 2＋xsin x ＋cos x －b. 令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x ＝0. 当x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y ＝f(x)与y ＝b 最多有一个交点，不合题意． ②当1－b<0时，即b>1时，有g(0)＝1－b<0， g(2b)＝4b 2＋2bsin 2b ＋cos 2b －b>4b －2b －1－b>0. ∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y ＝g(x)在R 上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点．故当b>1时，y ＝g(x)在R 上有两个零点，则曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．（12分）8.（2019·北京高考模拟（文））已知函数32()f x x ax =-．（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在区间]2,0[上的最小值；（Ⅱ）当3a >时，求证：过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切．【答案】（I ）4-.（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）当a ＝3时，f （x ）＝x 3﹣3x 2，f '（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）．当x ∈[0，2]时，f '（x ）≤0，所以f （x ）在区间[0，2]上单调递减．所以f （x ）在区间[0，2]上的最小值为f （2）＝﹣4．（Ⅱ）设过点P （1，f （1））的曲线y ＝f （x ）的切线切点为（x 0，y 0），f '（x ）＝3x 2﹣2ax ，f （1）＝1﹣a ，所以()()()32000200001321y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩，．所以()3200023210x a x ax a -+++-=．令g （x ）＝2x 3﹣（a +3）x 2+2ax +1﹣a ，则g '（x ）＝6x 2﹣2（a +3）x +2a ＝（x ﹣1）（6x ﹣2a ），令g '（x ）＝0得x ＝1或3ax =，因为a ＞3，所以1a ＞．∴g （x ）的极大值为g （1）＝0，g （x ）的极小值为()103a g g ⎛⎫=⎪⎝⎭＜，所以g （x ）在3a ，⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点x ＝1．因为g （a ）＝2a 3﹣（a +3）a 2+2a 2+1﹣a ＝（a ﹣1）2（a +1）＞0，所以g （x ）在3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上有且只有一个零点．所以g （x ）在R 上有且只有两个零点．即方程()3200023210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根，所以过点P （1，f （1））恰有2条直线与曲线y ＝f （x ）相切． 9.（2019·四川高考模拟（理））已知函数，.（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由题意，可得，，令，得. ①当时，在上单调递减，∴.②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴.综上，当时，，当时，.（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，∴，∴，代入得.∴问题转化为：关于的方程有解，设，则函数有零点，∵，当时，，∴. ∴问题转化为：的最小值小于或等于0.，设，则当时，，当时，.∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.由知，故.设，则，故在上单调递增，∵，∴当时，，∴的最小值等价于.又∵函数在上单调递增，∴.10.（2019·湖南高考模拟（理））设函数()()()22,42x f x e ax g x x x =+=++.（Ⅰ）讨论()y f x =的极值；（Ⅱ）若曲线()y f x =和曲线()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线，且当2x ≥-时，()()mf x g x ≥，求m 的取值范围 .【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21,e ⎡⎤⎣⎦.【解析】（Ⅰ）∵()()2xf x eax =+，∴()()2xf x e ax a '=++．①当0a =时，()20xf x e '=>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，无极值．②当0a >时，由()0f x '=得2a x a+=-，且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '<单调递减；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '>单调递增．所以当2a x a+=-时，()f x 有极小值，且()2=a a f x ae +--极小值，无极大值． ③当0a <时，由()0f x '=得2a x a+=-，且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '>单调递增；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '<单调递减．所以当2a x a+=-时，()f x 有极大值，且()2=a a f x ae +--极大值，无极小值．综上所述，当0a =时，()f x 无极值；当0a >时，()2=a af x ae +--极小值，无极大值；当0a <时， ()2=a af x ae +--极大值，无极小值．（Ⅱ）由题意得()2+4g x x '=，∵()y f x =和()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线， ∴(0)(0)f g =''，即24a +=，解得2a =， ∴()()22xf x ex =+．令()()()()222(42)xF x mf x g x me x x x =-=+-++，则()()()124xF x me x '=-+，由题意可得()0220F m =-≥，解得1m ≥．由()0F x '=得12ln ,2x m x =-=-．①当ln 2m ->-，即21m e ≤<时，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()0,()F x F x '<单调递减；当()1,x x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增， ∴()()2,F x -+∞在上的最小值为()()2112111224220F x x x x x x =+---=-+≥，∴()()mf x g x ≥恒成立．②当ln 2m -=-，即2m e =时，则()()2()124x F x ex +'=-+，∴当2x ≥-时，()0,()F x F x '≥在()2,-+∞上单调递增，又(2)0F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()mf x g x ≥恒成立． ③当ln 2m -<-，即2m e >时，则有()222(2)2220F me em e --=-=--+<-，从而当2x ≥-时，()()g x mf x ≤不可能恒成立．综上所述m 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．11.（2019·天津高考模拟（理））已知函数()()()()21ln f x x x x a a R =---∈.(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求a 的取值范围；(2)若()f x 在1x =处取得极值，判断当(]0,2x ∈时，存在几条切线与直线2y x =-平行，请说明理由； (3)若()f x 有两个极值点12,x x ，求证：1254x x +>. 【答案】(Ⅰ)(],1-∞；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】(Ⅰ)由已知,()()11ln 2ln 2120x f x x x a x x a x x-=+--=--++≤'恒成立令()1ln 212g x x x a x=--++,则()()()222221111212(0)x x x x g x x x x x x-+--++='=+-=>, ()210x -+<,令()'0g x >,解得:01x <<,令()'0g x <,解得:1x >,故()g x 在()0,1递增,在()1,+∞递减,()()max 122g x g a ∴==-，由()'0f x ≤恒成立可得1a ≤.即当()f x 在()0,+∞上单调递减时,a 的取值范围是(],1-∞. (Ⅱ)()f x 在1x =处取得极值，则()’10f =，可得1a =. 令()1ln 232f x x x x -'=-+=-，即 1ln 250x x x--+=. 设()1ln 25h x x x x =--+，则()()()222221111212x x x x h x x x x x-+--++='=+-=. 故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，注意到()55520h eee --=--<，()()112,2ln202h h ==+>，则方程1ln 250x x x--+=在(]0,2内只有一个实数根，即当(]0,2x ∈时，只有一条斜率为2-且与函数()f x 图像相切的直线. 但事实上，若1a =，则()1'ln 23f x x x x=--+， ()()()2121''x x f x x--+=，故函数()'f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,2上单调递减，且()'101230f =--+=，故函数()'0f x ≤在区间(]0,2上恒成立，函数()f x 在区间(]0,2上单调递减，即函数不存在极值点，即不存在满足题意的实数a ，也不存在满足题意的切线. (Ⅲ)若函数有两个极值点12,x x ,不妨设120x x <<，由(Ⅰ)可知1a >,且：()11111ln 212f x x x a x -+'=-+①, ()22221ln 212f x x x a x -+'=-+②, 由①-②得:()()112112122121221211ln20,2ln 0,2x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+--=∴--=->∴< ⎪⎝⎭, 即12112x x e>> , 由①+②得:()()12121212ln 2240x x x x x x a x x ++--++=, ()121212ln 24124512242x x a x x x x ++-++∴+=>=++. 12.（2019·辽宁高考模拟（理））已知a R ∈，函数()()2ln ,0,6.f x a x x x =+∈()I 讨论()f x 的单调性；()II 若2x -是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x ()12xx <处的切线相互平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为12,b b ，求12b b -的取值范围【答案】()I 当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；()II 2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）()2222a ax f x x x x-'=-+=.()0,6x ∈Q ∴ ①当0a ≤时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立. ∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；②当0a >，且26a≥，即103≤a <时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立.∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；③当0a >，且26a <，即13a >时，在20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，在2,6x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，∴ ()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上，当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）2x =是()f x 的极值点，∴由()1可知22,1a a=∴= 设在()()11.P x f x 处的切线方程为()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()()22,Q x f x 处的切线方程为()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+，121112x x ∴+= 令0x =，则1114ln 1b x x =+-，同理，2224ln 1b x x =+- 【解法一】211112x x =-Q121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ 111211114ln ln 22x x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()182ln ln 2g x x x x ⎛⎫=--+-⎪⎝⎭，11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2211168180122x x g x x x x x-+'∴=--=<--，()g x ∴在区间11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭即12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法二】12122x x x =-Q 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭1182ln 12x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭令()1182ln 12x g x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中()3,4x ∈ ()()2228181622x x g x x x x x -+'∴=-+=-- ()()22402x x x -=>-∴函数()g x 在区间()3,4上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法三】()12122x x x x =+Q g121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ ()2111224ln ·x x x x x x -+ ()2112122ln x x x x x x -=++ 12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=++设()()21ln 1x g x x x-=++，则()()()()22214111x g x x x x x --'=+=++ 11211,122x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭Q，()0g x ∴'>，∴函数()g x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.13.（2019·安徽高考模拟（文））已知函数()ln x f x x =+，直线l ：21y kx =-.（Ⅰ）设(,)P x y 是()y f x =图象上一点，O 为原点，直线OP 的斜率()k g x =，若()g x 在(,1)x m m ∈+(0)m >上存在极值，求m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得直线l 是曲线()y f x =的切线？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由. 【答案】11e m e k -<<=Ⅰ，（Ⅱ），（Ⅲ）见解析【解析】（Ⅰ）∵()ln (0)y x x g x x x x +==>，∴()1ln 0xg x x='-=，解得x e =. 由题意得： 01m e m <<<+，解得1e m e -<<.（Ⅱ）假设存在实数k ，使得直线是曲线()y f x =的切线，令切点()00,P x y ， ∴切线的斜率0121k x =+. ∴切线的方程为()()00001ln 1y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，又∵切线过（0，-1）点，∴()()000011ln 10x x x x ⎛⎫--+=+- ⎪⎝⎭.解得01x =，∴22k =， ∴1k =.（Ⅲ）由题意，令ln 21x x kx +=-，得 ln 12x x k x++=.令()ln 1(0)2x x h x x x ++=>， ∴()2ln 2xh x x-='，由()0h x '=，解得1x =. ∴()h x 在（0,1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11h x h ==,又0x →时，()h x →-∞；x →+∞时，()1ln 11222x h x x +=+→， {}1,12k ⎛⎤∴∈-∞⋃ ⎥⎝⎦时，只有一个交点；1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有两个交点；()1,k ∈+∞时，没有交点.14. （2019·河北高考模拟（理））已知函数()xf x e =，()g x alnx(a 0)=>． ()1当x 0>时，()g x x ≤，求实数a 的取值范围；()2当a 1=时，曲线()y f x =和曲线()y g x =是否存在公共切线？并说明理由．【答案】（1）(]0,e ；（2）存在公共切线，理由详见解析.【解析】()1令()()ln m x g x x a x x =-=-，则()1a a x m x x x-=-='. 若0x a <<，则()0m x '>，若x a >，则()0m x '<.所以()m x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数.所以x a =是()m x 的极大值点，也是()m x 的最大值点，即()max ln m x a a a =-.若()g x x ≤恒成立，则只需()max ln 0m x a a a =-≤，解得0a e <≤.所以实数a 的取值范围是(]0,e . ()2假设存在这样的直线l 且与曲线()y f x =和曲线()y g x =分别相切与点()()1122,,,ln x A x e B x x . 由()x f x e =，得()xf x e '=. 曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x xy e x x e =+-. 同理可得，曲线()y g x =在点B 处的切线方程为()2121ln y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-. 所以()11212111x x e x x e lnx ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩则()1111lne 1x x x e --=-，即()111110x x e x -++= 构造函数()()x11,h x x e x =-++ x R ∈ 存在直线l 与曲线()y f x =和曲线()y g x =相切,等价于函数()()x11h x x e x =-++在R 上有零点对于()1xh x xe ='-. 当0x ≤时，()0h x '>，()h x 在上单调递增.当0x >时，因为()()()'10x h x x e +'=-<，所以()h x '在()0,+∞上是减函数.又()()010,110h h e ''=>=-<，，所以存在()00,1x ∈，使得()00010x h x x e'=-=，即001x e x =. 且当()000,x x ∈，()0h x '>时，当()00,x x ∈+∞时，()0h x '<.综上，()h x 在()00,x 上是增函数，在()0,x +∞上是减函数.所以()0h x 是()h x 的极大值，也是最大值，且()()()()0000000max 0011111?10x h x h x x e x x x x x x ==-++=-++=+＞. 又()22310h e --=-<，()2230h e =-+<，所以()h x 在()02,x -内和()0,2x 内各有一个零点. 故假设成立，即曲线()y f x =和曲线()y g x =存在公共切线.15.（2019·广西高考模拟（理））已知函数1()ln f x x mx x =--在区间(0,1)上为增函数，m R ∈.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求+a b 的最小值.【答案】（1）2m ≤；（2）+a b 的最小值为-1.【解析】（1）∵()1ln f x x mx x =--， ∴()211f x m x x=+-'．又函数()f x 在区间()0,1上为增函数，∴()2110f x m x x =-'+≥在()0,1上恒成立， ∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立．令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭，则当1x =时，()t x 取得最小值，且()2min t x =，∴2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2∞-．（2）由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，则()211F x x x +'=，设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则切线的斜率()020011a f x x x ==+'，又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--， ∴020011ln 1a b x x x +=+--．令()211ln 1(0)h x x x x x=+-->，则()()()23233211212x x x x h x x x x x x'+-+-=-+==，故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增． ∴当1x =时，()h x 有最小值，且()()11min h x h ==-，∴a b +的最小值为1-．16．（2019·四川高考模拟（理））已知函数()ln x a f x x e +=-．（1）若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与x 轴正半轴有公共点，求a 的取值范围；（2）求证：11a e>-时，()1f x e <--．【答案】（1）1a <-；（2）证明见解析.【解析】（1）函数f （x ）＝lnx ﹣e x +a 的导数为f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为1﹣e 1+a ，切点为（1，﹣e 1+a ），可得切线方程为y +e 1+a ＝（1﹣e 1+a ）（x ﹣1），可令y ＝0可得x ＝111a e +-，由题意可得111a e+-＞0，可得e 1+a ＜1，解得a ＜﹣1；（2）证明：f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．设g （x ）＝f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．可得g ′（x ）＝﹣（21x +e x +a ），当x ＞0时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减；由a ＞1﹣1e ，e x +a ＞e x ．若e x ＞1x ，g （x ）＜1x﹣e x ＜0，当0＜x ＜1时，e x +a ＜e 1+a ．若e 1+a ＜1x，即x ＜e ﹣1﹣a ，故当0＜x ＜e ﹣1﹣a 时，g （x ）＞0，即g （x ）＝f ′（x ）有零点x 0，当0＜x ＜x 0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ＞x 0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减，可得f （x ）≤f （x 0），又f （x 0）＝lnx 0﹣e x 0+a ，又e x 0+a ＝01x ，可得f （x 0）＝lnx 0﹣01x ，在x 0＞0递增，又a ＝ln 01x ﹣x 0＝﹣（lnx 0+x 0）， a ＞1﹣1e ⇔﹣（lnx 0+x 0）＞1﹣1e ＝﹣（ln 1e +1e），所以lnx 0+x 0＜ln 1e +1e，由于lnx 0+x 0递增，可得0＜x 0＜1e ，故f （x ）≤f （x 0）＜f （1e ）＝﹣1﹣e ．。

两函数图象的公切线问题

＝
ｋｌｎｘꎬ分离参数得
ｋ
＝
ｌｘｎ２ｘ.
设
ｆ( ｘ)
＝
ｘ２ｌｎｘ
ꎬ则
ｆ
′( ｘ)
＝
ｘ(
２ｌｎｘ－１ ( ｌｎｘ) ２
)
.
ｆ(ｘ)在(０ꎬ ｅ ] 上单减ꎬ在[ ｅ ꎬ ＋ ∞ )上单增ꎬ
∴
ｋ＝ｆ( ｅ) ＝２ｅꎬ∴
切点为(
ｅ
ꎬ
１２
)ꎬ∴
切线斜率为１ ꎬ ｅ
∴ 公切线的方程为ｙ－
１２
函数ｙ＝
－
１ｘ
的图象和函数ｙ＝３ｘ３的图象的公
切线方程为 .
解设两函数图象的公切线的斜率为ｋꎬ公切线与曲
线ｙ＝
－
１ｘ
切于点( ｘ１ ꎬ －
１ｘ１
)
ꎬ与曲线
ｙ＝３ｘ３切于点( ｘ２ ꎬ
３ｘ２３ ) ꎬ则
ｋ
＝
１ｘ１２
＝９ｘ２２ ꎬ又
ｋ
３ｘ２２＝ｘ２
＋
１ｘ１
ｇ( ｘ２ ) ) 处的切线为ｌ２ :ｙ－ｇ( ｘ２ ) ＝ｇ′( ｘ２ ) ( ｘ－ｘ２ ) ꎬ整理得
ｙ＝ｇ′( ｘ２ ) ��ｘ－ｇ′( ｘ２ ) ��ｘ２＋ｇ( ｘ２ ) . 由于ｌ１与ｌ２是相同的
{ｆ ′(ｘ１ ) ＝ｇ′(ｘ２ )ꎬ
直线ꎬ 故有
＋ｂ是曲线ｙ＝ｌｎｘ＋２的切线ꎬ也是曲线ｙ＝ｌｎ( ｘ＋１) 的切
线ꎬ则ｂ＝ .
解设直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与曲线ｙ＝ｌｎｘ＋２相切于点Ａ
( ｘ１ ꎬｌｎｘ１

公切线知识点

公切线知识点
公切线作为几何学中的重要概念，常常被用于解决与圆、椭圆以及其他曲线相关的问题。

它是指与两个相交曲线切于同一点的直线，具有许多特殊的性质和应用。

下面将介绍一些公切线的知识点。

首先，公切线的存在性是公切线问题的关键。

对于两个相交的曲线，如果它们的切线方向不相同，那么它们一定存在两条公切线。

而如果两个曲线相切，那么它们存在一条公切线。

这些公切线可以通过求解方程组或者利用几何性质来确定。

其次，公切线的性质使得它在许多问题中发挥重要作用。

首先，公切线与切点处的切线相切于同一点，这一性质可以用于求解切线问题。

例如，可以利用公切线的性质求解切线与曲线的交点坐标。

其次，如果两个相交曲线的半径向量与切点的连线垂直于公切线，那么这两个半径向量的夹角也是直角。

这一性质可以用于证明切线与半径之间的关系。

再次，公切线还有一些重要的应用。

例如，在计算机图形学中，公切线常常被用于处理曲线和曲面的相交问题。

通过计算曲线和曲面的公切线，可以确定它们的交点和相交的位置。

此外，公切线还被应用于优化问题中。

例如，在运动学和机器人学中，可以利用公切线的性质来求解机器人的最优路径或者姿态。

总之，公切线是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和应用。

通过对公切线的研究和应用，我们可以解决许多与曲线相关的问题。

对于学习几何学和相关学科的人来说，了解公切线的知识点是非常重要的。

通过深入研究公切线，我们可以进一步发展和应用这一概念，推动科学和技术的发展。

两曲线的公切线问题解题方法

两曲线的公切线问题解题方法
1. 嘿，先找到两条曲线的导数呀！就像找宝藏先确定地图一样。

比如说曲线 y=x^2 和 y=x^3，它们的导数能帮我们找到切线的斜率呢。

通过求导，我们就能知道在哪些地方可能存在公切线哦。

2. 接下来，假设公切线存在呀！这就像是假设我们能找到宝藏一样。

还是用刚才那两个例子，设出公切线的方程，然后带入到两条曲线中去看看是否满足呀。

这一步是不是很有趣呢？
3. 然后呢，建立方程组呀！这就好像搭积木一样，一块块把条件凑起来。

根据公切线与两条曲线的关系列出等式，通过解方程来确定公切线的具体情况呢。

比如求解上面的例子，不就能知道公切线到底存不存在啦！
4. 还要注意特殊情况呢！千万可别漏了呀，这就像是注意路上的小坑一样重要。

有时候可能会有一些不太明显的情况，得仔细想想，像一些渐近线之类的地方。

哎呀，可别掉进坑里啦！比如有的曲线在某个点看起来像是有公切线，但实际上不是哦。

5. 别忘了检验答案呀！就像检查作业一样仔细。

看看求出的公切线是不是真的满足条件，可不能马虎呢。

一旦不小心，就可能出错呀！
6. 嘿嘿，不断练习才是王道呀！就像练功一样，多练才能厉害。

多找些题目来做做，熟练掌握方法，以后遇到任何两曲线的公切线问题都能轻松搞定啦！就像大侠闯荡江湖一样轻松！总之呢，只要按照这些办法去做，两曲线的公切线问题就不再难啦！。

公切线

公切线作者：王善俊来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第01期摘要：与两曲线同时相切的直线即为两曲线的公切线，公切线可分切点相同和切点不同这两种情况. 比较两曲线大小，可通过数形结合思想，用公切线加以解决.关键词：比较两曲线大小；公切线；数形结合思想在平时的解题中，笔者发现：公切线在比较两曲线大小时发挥着非常好的中介作用，大大优化了此类试题的解题过程，给我们全新的解题视角，现分两类举例说明.[⇩] 切点相同型当切点相同时，公切线可很好地处理“f（x）≥g（x）”这种情况.例1 （2011年辽宁卷）设函数f（x）=x+ax2+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在点P处的切线斜率为2.（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）≤2x-2.分析：在证明f（x）≤2x-2时，我们常直接构造函数：h（x）=f（x）-2x+2，通过导数研究函数y=h（x）的单调性，再证明：函数y=h（x）≤0恒成立就行了，所以高考给出如下参考答案.证明：（2）f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）知f（x）=x-x2+3lnx.设h（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx，则h′（x）=-1-2x+=-.当00；当x>1时，h′（x）所以h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减.而h（1）=0，故当x>0时，h（x）≤0，即f（x）≤2x-2.上述解题方法很常规，没什么新意，笔者经研究发现：借助公切线能很好地处理此题，另证明如下：（1）（略）a=-1，b=3.（2）要证：f（x）≤2x-2，即要证：x2+x-2≥3lnx.设函数g（x）=x2+x-2，h（x）=3lnx，易得：当x=1时，g（x）=h（x）.而函数g（x）=x2+x-2与函数h（x）=3lnx在（1，0）点处的切线均为：y=3x-3，即直线y=3x-3为两函数g（x）=x2+x-2，h（x）=3lnx的公切线.结合图象（如图1）易得：g（x）≥3x-3≥h（x），且g（x）=3x-3与h（x）=3x-3同时在x=1时成立.所以：g（x）≥h（x），即f（x）≤2x-2成立.[y][O][x][-2][1]图1[⇩] 切点不同型当切点不同时，公切线可很好地处理“f（x）>g（x）”这种情况.例2 已知函数f（x）=ax-lnx（a∈R），g（x）=，（1）若a=1，求f（x）的极小值；（2）在（1）的条件下证明：f（x）-1>g（x）-.分析：（1）利用导数求解；（2）在证明f（x）-1>g（x）-时，我们常直接构造函数：h（x）=f（x）-g（x）+-1，通过导数研究函数y=h（x）的单调性，再证明：函数y=h（x）>0恒成立就行了. 于是就有如下解题过程：设函数h（x）=f（x）-g（x）+-1=x-lnx-+-1.令h′（x）=1--==0，即得：x2-x+lnx-1=0.评析：此方程是个超越方程，一般情况下，超越方程的根是目测出来的，而不是求出来的. 而恰恰此超越方程的根就无法目测，而通过两函数y=x2-x-1和y=-lnx的图象，我们又知道方程：x2-x+lnx-1=0必定有根，但就是求不到，所以到这里，此题做不下去了. 我们发现常用方法对此题不适用.当然，公切线也能很好地处理此题，证明如下：证明：（1）略.（2）函数y=f（x）-1在（0，1）上是单调递减函数，在（1，+∞）上是单调递增函数，在点（1，0）处的切线为x轴，函数y=g（x）-在（0，e）上是单调递增函数，在（e，+∞）上是单调递减函数，在点（e，0）处的切线也为x轴.即x轴为两函数y=f（x）-1，y=g（x）-的公切线.结合图象（如图2）易得：f（x）-1≥0≥g（x）-，而f（x）-1=0与g（x）-=0不能同时成立，所以只能得：f（x）-1>g（x）-.众所周知，在数学学习中，没有创新就没有进步，没有创新就没有数学能力的发展与提高，通过上述两例，我们发现了一个新事物——公切线，这就是创新，通过这个小小的创新，让我们的解题思路更宽、更广了，希望读者在平时的数学解题中，多多进行这样的创新思考和探索.。

高中数学讲义：函数的切线问题

函数的切线问题一、基础知识：（一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B，并使B 沿曲线不断接近A。

这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。

（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。

例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。

（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。

对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。

例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +D +D ，则割线AB 斜率为：()()()()()000000AB f x x f x f x x f x k x x x x +D -+D -==+D -D 当B 无限接近A 时，即x D 接近于零，\直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：()()000limx f x x f x k xD ®+D -=D ,即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000limx f x x f x k f x xD ®+D -==D 。

双曲线的公切线问题

双曲线的公切线问题一、双曲线的定义与性质1.1 双曲线的定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，其定义形式通常为$ - = 1 ，其中a和b$为正实数。

1.2 双曲线的性质双曲线有许多有趣的性质，下面我们将介绍其中几个重要的性质。

1.2.1 两分支与椭圆类似，双曲线也由两个分支组成，分别位于x轴的正半轴和负半轴上。

两个分支在坐标原点处相交，且在无穷远处趋于平行于x轴。

1.2.2 镜像对称性双曲线具有关于x轴和y轴的镜像对称性。

即，如果(x,y)在曲线上，则(−x,y)、(x,−y)和(−x,−y)也在曲线上。

1.2.3 渐近线双曲线有两条渐近线，分别与两分支无限接近但永远不会相交。

渐近线的方程分别x。

为y=±ba1.2.4 FOcal LENgth双曲线的焦点与顶点之间的距离称为焦距，用字母c表示。

焦距与双曲线的形状密切相关，当c<a时，双曲线的形状更加扁平；当c>a时，双曲线的形状更加狭长。

二、双曲线的公切线问题2.1 公切线的定义公切线是指曲线和直线的交点处，曲线在该点处的切线重合。

2.2 如何求解公切线对于双曲线的公切线问题，我们需要先找到双曲线上某一点的切线斜率，然后通过该点的坐标和切线斜率得到切线方程。

2.2.1 求解切线斜率设双曲线的方程为$ - = 1 ，要求双曲线上某一点P(x_0,y_0)处的切线斜率。

我们可以使用隐函数求导的方法来求解，具体步骤如下：1.将双曲线方程对x求导，得到 - = 0 。

2.将得到的式子整理为 = 。

3.将点P(x_0, y_0)$的坐标代入上述表达式，即可得到切线斜率。

2.2.2 求解切线方程已知切线斜率和一点的坐标，我们可以利用点斜式来表示切线方程。

设点P(x0,y0)处的切线斜率为k，切线方程为y−y0=k(x−x0)。

2.3 公切线的数量和性质分析对于双曲线的公切线问题，公切线的数量和性质取决于两个条件：切点与切线之间的距离和双曲线的形状。

第3-2讲两条曲线的公切线问题-2024高三数学一轮复习课件

典例2 已知曲线 <m></m> ,曲线 <m></m> .
(1)求证:<m></m>与<m></m>相交；
(2)求<m></m>与<m></m>的公切线方程.
【解](2)方法1:设与的公切线分别与相切于点，则消去得令，则 .设则,，故在上单调递增，又，即只有一个零点1,即方程有唯一的根 ∴ 解得 , ,.∴ 切点分别为公切线的方程为如图）
第3-2讲两条曲线的公切线问题
[问题解读] 在近几年高考导数试题的命制过程中，求曲线的公切线问题成为高考的热点题型之一. 我们在解题过程中，解决单一曲线的切线问题相对比较熟练，求解方法也较容易理解. 但是对于两条曲线的公切线问题的求解，显然就比单一曲线的切线问题要复杂得多，灵活得多，难度也大得多. 下面通过典型例题分析一下常见的三类公切线问题.
【解】由得 .令则 . 当时,时,,∴ 在上单调递减，在上单调递增, 故.即函数有且仅有一个零点即方程仅有唯一根 ,故方程组仅有一组解又 ,∴ ， ∴ 与相切于点∴ 其公切线方程为即（如图）.
(2)求<m></m>与<m></m>的公切线方程.
【解】(1)证明：由得 .
令则 . ∴ 在上增，
类型2 两曲线相交时，公切线方程
典例2 已知曲线 <m></m> ,曲线 <m></m> .
(1)求证:<m></m>与<m></m>相交；
(2)求<m></m>与<m></m>的公切线方程.

两条曲线的公切线问题

两条曲线的公切线问题两条曲线的公切线问题⽅法导读在近⼏年⾼考导数⼤题的命制过程中,求曲线的公切线问题成为⾼考中的热点题型之⼀.学⽣在做题过程中,解决单⼀曲线的切线问题相对⽐较熟练,对于单⼀曲线的切线问题,求解过程中常⽤的数学思想主要是转化与化归思想,函数与⽅程思想,数形结合思想,求解⽅法也较容易理解:(1)判断切点是否可直接找到,若可以直接找到则直接求导即可;若不能直接找到则需设出切点;(2)利⽤导数的⼏何意义,即曲线在处的导数为切线的斜率;(3)根据切点既在曲线上⼜在切线上进⾏求解.但是对于两条曲线的公切线问题的求解,显然就⽐单⼀曲线的切线问题要复杂得多,灵活得多,难度也⼤得多.具体的求解⽅法:设曲线在点处的切线为,整理得到:.设曲线在点处的切线为,整理得到:.由于与是相同直线(即与的公切线),故有且(即斜率相等,纵截距相等), 从⽽求解出与公切线有关的⼀些问题.⾼考真题【2020·全国II卷理·20】已知函数.(1)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点;(2)设是的⼀个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.解题策略【过程分析】本题第⼀问⾸先函数问题定义域优先原则,故得到的定义域为,进⽽对函数求导得到,因为函数的定义域为,从⽽判断出,因此函数在和上是单调增函数(注意函数的单调区间不可⽤“”符号连接,可⽤“,”或者“和”连接);然后利⽤极限法分析当时,,⽽(此处利⽤极限法的分析过程建议在平时的做题中多多训练,在很多题型中都有所涉及),从⽽根据零点存在性定理判断当,函数有零点,⼜根据函数在上单调递增,故当时,函数有唯⼀的零点;当时,,,因为,所以根据零点存在性定理判断函数在必有零点,根据函数在上也是单调递增,故当时,函数有唯⼀的零点.于是得到第⼀问的全部结论,函数在和上是单调增函数并且函数在定义域内有个零点;第⼆问要证明两条曲线的公切线问题,就可以⽤到我们前⾯提到的⽅法,⾸先因为是的⼀个零点,所以必然满⾜函数解析式,即(注意⼀定要合理应⽤题中所给条件),然后我们分别求出两条曲线的切线,在求解切线的过程中要注意切点是否可以直接找到,对于⽽⾔,切点已经给出,所以直接求导,从⽽得到曲线在处的切线的斜率,进⽽表⽰出曲线在处的切线的⽅程为:,然后应⽤题中所给条件,所以的⽅程整理后为,它的斜率,在纵轴的截距为.紧接着我们继续研究曲线,由于曲线的切点不能直接找到,所以我们设曲线的切点为,然后利⽤导数求出曲线过切点的切线的⽅程,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的⽅程为,它的斜率,在纵轴的截距为.当切线的斜率等于直线的斜率时,即,则,⽽,所以. 最后由于直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此判断出直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线,本题得证.【深⼊探究】纵观本题的分析过程,主要是攻克以下的⼏个难点:(1)第⼀问中定义域中的“”,以及分析零点时的极限思想的应⽤;(2)第⼆问中由是的⼀个零点得到;(3)第⼆问中分别求解曲线与曲线的切线⽅程时切点的问题,尤其是求解曲线的切线⽅程时要设出切点,此处应该是本题求解过程中的“精髓”之处;(4)结合,再利⽤斜率和截距都相等,从⽽得出两直线,重合,进⽽说明直线是两条曲线的公切线;综上,只需攻克以上的⼏个难点本题就会迎刃⽽解.解题过程【解析】(1)函数的定义域为,,因为函数的定义域为,所以,因此函数在和上是单调增函数;当,时,,⽽,显然当,函数有零点,⽽函数在上单调递增,故当时,函数有唯⼀的零点; 当时,,,因为,所以函数在必有⼀零点,⽽函数在上是单调递增,故当时,函数有唯⼀的零点, 综上所述,函数的定义域内有个零点.(2)因为是的⼀个零点,所以,,所以曲线在处的切线的斜率,故曲线在处的切线的⽅程为:,⽽, 所以的⽅程为,它在纵轴的截距为.设曲线的切点为,过切点的切线,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的⽅程为,当切线的斜率等于直线的斜率时,即,切线在纵轴的截距为,⽽,所以,直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线.解题分析在上述题⽬第⼆问的解题过程中,⾸先我们根据是的⼀个零点,得到关于的等量关系,其次我们分别求解曲线与曲线的切线⽅程,最后我们再由切线,重合来说明此直线就是两条曲线的公切线.此处我们主要是⽤到了求解两条曲线的公切线问题的常⽤⽅法:分别求出两条曲线的切线⽅程,然后利⽤直线重合得到该直线即为两条曲线的公切线,此种解题⽅法通俗易懂,学⽣上⼿⽐较⽅便,也是我们最常⽤的解决两条曲线公切线问题的⽅法.拓展推⼴解决两条曲线的公切线问题的⼀般策略:第⼀步:利⽤题中所给条件得到相应的等量关系;第⼆步:分别求解两条曲线在各⾃切点处的切线⽅程,设曲线在点处的切线为,整理得到:,设曲线在点处的切线为,整理得到:;第三步:根据公切线定义,得到两切线重合,建⽴⽅程组,求解相关问题,由于与是相同直线(即与的公切线),则和(即斜率相等,纵截距相等),建⽴⽅程组,从⽽求解出与公切线有关的⼀些问题.常见两条曲线的公切线问题的题型:(1)求两条曲线的公切线⽅程以及证明直线为两曲线的公切线问题;(2)求与两条曲线的公切线有关的曲线中的参数的取值范围问题;(3)探究两条曲线是否存在公切线的问题;(4)求曲线中参数的值问题;(5)判断公切线条数问题.变式训练1已知曲线与,直线是和的公切线,求公切线的⽅程.变式训练2已知函数,.(1)讨论函数的单调性;(2)若存在与函数,的图象都相切的直线,求实数的取值范围.变式训练3设函数,.(1)讨论的极值;(2)若曲线和曲线在点处有相同的切线,且当时,,求的取值范围.变式训练4（2018天津理）已知函数,,其中.(1)求函数的单调区间;(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平⾏,证明:;(3)证明:当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.变式训练5已知函数,.(1)当时,,求实数的取值范围.(2)当时,曲线和曲线是否存在公共切线?并说明理由答案变式训练1见解析设与的切点,与的切点,曲线在处的导数为,在曲线上过点的切线⽅程为,即,在曲线上过点的切线⽅程为,即,由题意知直线与重合,则有,解得或,所以两曲线和的公切线的⽅程为或.变式训练2见解析(1)函数的定义域为,, 所以,所以当,即时,,在上单调递增; 当,即或时,当时,,在上单调递增;当时,令得,随着变化,,的变化情况如下表:综上:当时,在上单调递增;当时,在和内单调递增,在内单调递减.(2)设函数在点与函数在点处切线相同,由,,得到,,所以函数在点处的切线⽅程为,即,函数在点处的切线⽅程为,即,由斜率相等得到,所以,由截距相等得到,把代⼊化简得,则,不妨设,当时,,当时,,所以在区间上单调递减,在区间上单调递增,代⼊可得,设,则对恒成⽴,所以在区间上单调递增,⼜,所以当时,即当时,⼜当时,,因此当时,函数必有零点;即当时,必存在使得成⽴;即存在,使得函数在点与函数在点处切线相同, ⼜由在上单调递增可得的取值范围,因此,,变式训练3见解析(1)由题意,则,①当时,恒成⽴,所以在上单调递增,⽆极值.②当时,由得,故当时,,单调递减;当时,,单调递增, 所以当时,有极⼩值,且极⼩值为,⽆极⼤值.③当时,由得,故当时,,单调递增;当时,,单调递减, 所以当时,有极⼤值,且极⼤值为,⽆极⼩值.综上所述,当时,⽆极值;当时,有极⼩值,⽆极⼤值;当时,有极⼤值,⽆极⼩值.(2)由题意得,∴,即,解得,∴,令,则,由题意可得,解得,由得,,①当,即时,则,∴当时,,单调递减;当时,,单调递增,∴在上的最⼩值为,∴恒成⽴.②当,即时,则,∴当时,,在上单调递增,⼜,∴当时,,即恒成⽴.③当,即时,则有,从⽽当时,不可能恒成⽴.综上所述的取值范围为.变式训练4(1)函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)见解析;(3)见解析.本⼩题主要考查导数的运算、导数的⼏何意义、运⽤导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和⽅法.考查函数与⽅程思想、化归思想.考查抽象概括能⼒、综合分析问题和解决问题的能⼒.(1)由已知,有,令,解得;由,可知当变化时,,的变化情况如下表:所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为.(2)由,可得曲线在点处的切线斜率为,由,可得曲线在点,处的切线斜率为,因为这两条切线平⾏,故有,即,(3)曲线在点处的切线,曲线在点处的切线.要证明当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线,只需证明当时,存在,,使得与重合.即只需证明当时,⽅程组有解,由①得,代⼊②,得③,因此,只需证明当时,关于的⽅程③存在实数解.设函数.即要证明当时,函数存在零点,,可知时, ;时,单调递减,⼜,,故存在唯⼀的,且,使得, 即.由此可得在上单调递增,在上单调递减, 在处取得极⼤值;因为,故,所以,下⾯证明存在实数,使得,由(1)可得,当时,有,所以存在实数,使得,因此,当时,存在,使得;所以,当时,存在直线,使是曲线的切线,也是曲线的切线.变式训练5见解析(1)令,则,若,则,若,则,所以在上是增函数,在上是减函数,所以是的极⼤值点,也是的最⼤值点,即,若恒成⽴,则只需,解得,所以实数的取值范围是.(2)假设存在这样的直线且直线与曲线和曲线分别切于点,,由,得,曲线在点处的切线⽅程为,即,同理可得,曲线在点处的切线⽅程为,所以,即,构造函数,存在直线与曲线和曲线均相切,等价于函数在上有零点,对于,当时,,在上单调递增,当时,因为,所以在上是减函数,⼜,,所以使得,即,且当时,,当时,,综上,在上是增函数,在上是减函数,所以是的极⼤值,也是最⼤值,且,⼜,,所以在内和内各有⼀个零点,故假设成⽴,即曲线和曲线存在公共切线.。

用导数研究曲线的切线应注意的几个问题

用导数研究曲线的切线应注意的几个问题■江苏省泰兴市第二高级中学高峰用导数研究曲线的切线是高考一个主要考点,常与解析几何知识交汇命题,旨在考查同学们对导数的几何意义的正确理解。

主要涉及求曲线切线的斜率与方程、曲线切线的条数、曲线的公切线、满足条件的切线是否存在及满足条件的切线的参数范围等问题。

一、曲线在某点处的切线例1(2021 届四川省遂宁市高三三模)已知函数f(x)=ex-x2+lnx,g(x)=2-ex-lnx。

(1)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为k1,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线的斜率为k2,求k1+k2的值;(2)若h(x)=f(x)+g(x),设曲线y=h(x)在点(t,h(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为s(t),求s(t)的最小值。

解析:(1)因为f(x)=ex-x2+lnx,所以f＇(x)=ex-2x+,所以k1=f＇(1)=e-1。

又因为g(x)=2-ex-lnx,所以g＇(x)=-ex-,所以k2=g＇(1)=-e-1。

所以k1+k2=-2。

(2)h(x)=f(x)+g(x)=2-x2(x＞0),h＇(x)=-2x,则h＇(t)=-2t。

又因为点(t,h(t))为(t,2-t2),所以y=h(x)在点(t,2-t2)处的切线方程为y-(2-t2)=-2t(x-t),故当x=0 时,y=t2+2;当y=0时,x=。

感悟:曲线在某点(x0,f(x0))处的切线,则已知点一定是切点,求切线方程的步骤为:①求出函数f(x)的导数f＇(x);②求出切线的斜率k=f＇(x0);③写出切线方程yf(x0)=f＇(x0)(x-x0),并化简为直线方程的一般式。

二、过某点的曲线的切线例2(2022 届山东省潍坊市高三上学期期中)已知a∈r,函数f(x)=lnx+a(1-x),g(x)=ex。

(1)讨论f(x)的单调性;(2)过原点分别作曲线y=f(x)和y=g(x)的切线l1和l2,求证:存在a＞0,使得切线l1和l2的斜率互为倒数。

双曲线的公切线问题

双曲线的公切线问题双曲线是一种常见的数学曲线，它由两个相交的渐进直线围成的曲线所组成。

在双曲线上，每个点都有一个切线，而对于特定的点，它可能还有许多其他切线。

在本文中，我们将探讨如何找到双曲线的公切线。

要解决这个问题，我们首先需要了解什么是公切线。

公切线是两个曲线共有的切线，也就是说，它同时是这两个曲线在某个点的切线。

如何找到双曲线的公切线呢？首先，我们需要确定两个双曲线的方程。

通常，这可以通过将双曲线旋转45度来实现。

假设我们有两个双曲线的方程分别为：y1 = a1x^2 - b1y2 = a2x^2 - b2这里，a1、b1、a2和b2是已知常数。

我们用“（x0，y0）”表示两个曲线在某个点相交。

现在，我们将使用以下方法来找到双曲线的公切线：方法1：使用斜率切线的斜率是曲线在该点处的导数。

因此，我们可以通过计算y1和y2的导数来找到它们在相交点处的切线斜率。

y1' = 2a1x0y2' = 2a2x0如果这两个导数相等，则说明它们在相交点处共有一条切线。

我们可以使用以下公式来计算该切线的方程：y - y0 = m（x - x0）其中m是切线的斜率，即2a1x0或2a2x0。

这是一种有效的方法，但存在一个问题。

如果两个导数都为零，那么这两个曲线在该交点处可能没有公切线。

因此，我们需要另一种方法来检查这种情况。

方法2：使用二次方程如果y1和y2在（x0，y0）处有公切线，那么这条公切线必须同时满足以下两个条件：1.它通过点（x0，y0）。

2.在（x0，y0）处，y1和y2的斜率相等。

我们可以使用以下公式计算这种情况下的斜率：m = y1' = 2a1x0 = y2' = 2a2x0然后，我们可以将这个斜率带入以下公式，并解出x：a1x^2 - b1 = a2x^2 - b2(a1 - a2)x^2 = b1 - b2x = sqrt((b1 - b2) / (a1 - a2))有了x之后，我们就可以使用以下公式计算y：y = a1x^2 - b1这样，我们就可以找到公切线的方程了。

有关两曲线的公切线问题的题型及其解法

有关两曲线的公切线问题的题型及其解法
公切线是指在两曲线之间，找出一条直线，使得其与两曲线的切点关系最佳的直线。

这类问题有很多，比如给定两曲线求它们之间的公切线，求两曲线的公切曲线等等。

下面，我们来讨论一下关于两曲线的公切线问题的题型及其解法。

首先，我们来看一下求两曲线的公切线的题型及其解法。

通常情况下，要求两曲线的公切线，需要先用极坐标方程求出它们的函数表达式，然后用梯度下降法对函数求导，可以得到两个曲线的切线方程，最后再求出切线的交点，即两曲线的公切线的方程。

其次，我们来看一下求两曲线的公切曲线的题型及其解法。

求两曲线的公切曲线，首先要求出两曲线的法线方程，然后用梯度下降法求出法线的倾斜角，求出两曲线的法线的倾斜角的和，将其除以
2，即为两曲线的公切曲线的倾斜角，最后用此倾斜角求
出公切曲线的方程。

最后，我们来看一下求两曲线的公共切点的题型及其解法。

关于求两曲线的公共切点，可以用坐标方程求出两曲线的函数表达式，然后将其转化为一元二次方程，再用求根公式求出两曲线的切点，即为两曲线的公共切点。

以上就是关于两曲线的公切线问题的题型及其解法的介绍。

从上面的介绍中可以看出，求解两曲线的公切线问题，需要用到极坐标方程、梯度下降法、坐标方程等数学知识，解题时需要灵活运用这些知识。

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