容斥原理

BZOJ 1042 硬币购物
最终方案数=不考虑限制的方案数-一种硬币
超出限制的方案数+两种硬币超出限制的方案 数-三种硬币超出限制的方案数+四种硬币超 出限制的方案数 如果某种硬币的限制为a[i]，且超出了限制， 那么这种硬币至少选择了a[i]+1个 方案数即为f[n-(a[i]+1)*w[i]] 多个硬币超出限制同理
然后就枚举计算即可
链剖时间复杂度O(nlog^2n*2^k)
线段树维护DFS序时间复杂度O(nlogn*2^k)
挺吓人的但是不会TLE 放心写吧 这题啥时候变土豪了0.0 我写的时候还没呢
适用范围
1.计数/求和问题
2.支持区间加法和区间减法 3.本来这题是能做的，但是加了一些令人很
其实仔细看看还是能看懂的
治好了我多年的公式恐惧症
理论基础铺垫完毕
下面进入例题阶段
BZOJ 2005 NOI2010 能量采集
给定n和m，求
考虑当n=m的情况 枚举最大公因数p，那么以p为最大公因数的
点对的数量等于n/p以内互质的点对的数量 而n/p以内互质的点对数=φ(n/p)的前缀和*2-1 利用线性筛得到所有数的欧拉函数，这个问题 就可以线性出解 但是n和m的限制不同，这个方法失效了！
如果不会链剖可以写线段树维护DFS序 看到并集妥妥容斥原理
O(2^k)枚举，利用状压确定符号和方案
两条链的交集求法如下：
令链顶为一条链中深度最小的节点，链底为
深度最大的
BZOJ 3589 动态树
那么交集的链底为两条链链底的LCA
交集的链顶为两条链链顶中深度较大者 若交集的链顶深度大于链底则交集为空
容易发表一些感慨的限制，并且限制数非常 少(<=20) 4.反正到最后就是求并集的大小时利用交集 的大小来代替
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本蒟蒻的Blog
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/2652523
设有x人参加了三项体育训练
显然有25+22+24-12-9-8+x=45 由Casio定理解得x=3
这里我们用到了容斥原理
容斥原理：
描述成文字就是： n个集合的并集的大小=总和-两两之交+三三
之交-四四之交……
稍微贴一下度受百科上的证明
稍微贴一下度受百科上的证明
这证明太吓人了
容斥原理
吉大附中 PoPoQQQ
首先来Βιβλιοθήκη Baidu小学奥数题
某校六(1)班假期有45名同学参加了体育训练
队，其中参加足球队的有25人，参加排球队 的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排 球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9 人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都 参加的有多少人？
小学奥数？你在逗我！
考虑容斥原理
沿用之前的解法，仍旧枚举最大公因数i
令f[i]为以i为最大公因数的点对数 这个不是很好求
令g[i]为以i为公因数的点对数
那么显然有g[i]=(n/i)*(m/i)
然而这其中有些数的最大公因数为2i,3i,4i,...
我们要把它们减掉
考虑容斥原理
故有
有人可能会有疑问：这不是O(n^2)的么 不然
BZOJ 3589 动态树
其实这题和动态树毛关系没有……
给定一棵以1为根的有根树，每个节点有点权，
提供两种操作： 1.以某个节点为根的子树所有节点权值+x 2.求一些链的并集的点权和，其中这些链都 是由某个节点出发指向链的根
BZOJ 3589 动态树
子树修改链上求和，显然树链剖分
对于每个i 枚举的次数是O(n/i)
O(1/1+1/2+...+1/n)=O(logn)
时间复杂度均摊O(nlogn)
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给定4种硬币的面值，多次询问当这四种硬币





有一定数量限制时达到某一价值的方案数 每次跑一遍多重背包一定TLE 考虑容斥原理 首先不考虑限制 跑一遍完全背包 令f[i]为不考虑限制时达到i价值的方案数 然后我们容斥原理