实数-知识点+题型归纳
实数知识点及典型例题
实数知识点及典型例题一、实数知识点。
（一）实数的分类。
1. 有理数。
- 整数：正整数、0、负整数统称为整数。
例如：5，0，-3。
- 分数：正分数、负分数统称为分数。
分数都可以表示为有限小数或无限循环小数。
例如：(1)/(2)=0.5，(1)/(3)=0.333·s。
- 有理数：整数和分数统称为有理数。
2. 无理数。
- 无理数是无限不循环小数。
例如：√(2)，π，0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。
3. 实数。
- 有理数和无理数统称为实数。
（二）实数的相关概念。
1. 数轴。
- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
- 实数与数轴上的点是一一对应的关系。
2. 相反数。
- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
a的相反数是-a，0的相反数是0。
例如：3与-3互为相反数。
- 若a、b互为相反数，则a + b=0。
3. 绝对值。
- 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。
- 当a≥slant0时，| a|=a；当a < 0时，| a|=-a。
例如：| 5| = 5，| -3|=3。
4. 倒数。
- 乘积为1的两个数互为倒数。
a(a≠0)的倒数是(1)/(a)。
例如：2的倒数是(1)/(2)。
（三）实数的运算。
1. 运算法则。
- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。
- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘都得0。
- 除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为0）。
2. 运算律。
- 加法交换律：a + b=b + a。
- 加法结合律：(a + b)+c=a+(b + c)。
- 乘法交换律：ab = ba。
实数知识点大题总结归纳
实数知识点大题总结归纳一、实数概念实数是数学中的一个重要概念，是指包括有理数和无理数在内的数的集合。
实数是所有数的集合，包括正数、负数、零以及所有的小数和分数。
实数的概念是数学分析和代数学的基础，它涉及到数轴上所有点的集合，实数的概念在数学分析和代数学的研究中有广泛的应用。
实数可以用来表示现实生活中的各种量和计算过程，比如长度、时间、温度、速度等等。
实数是一种用来比较、计算和度量现实生活中各种量的数学工具。
在数学的各个分支中，实数都有着重要的作用，比如在代数、几何、微积分、概率论等方面都有着广泛的应用。
实数的概念是从有理数的概念推广而来的，有理数是整数和分数的集合，而实数则包括了有理数以及无理数。
实数的概念比有理数更加广泛，它包括了所有可以用数轴上的点表示出来的数。
数轴是表示实数的一种图形工具，可以用来比较和计算各种实数的大小和关系。
实数的运算规则和性质是数学中的重要内容，实数的加减乘除运算和各种性质都是数学教育的重点。
实数的运算规则和性质是代数学的基础，它们是解决各种数学问题和证明数学定理的基础。
实数的运算规则和性质可以帮助人们更深刻地理解和使用实数，它们是数学分析和代数学的重要内容。
二、实数的分类实数根据其表示形式和特点可以分成不同的种类，比如有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，它包括整数、分数和各种有限小数。
有理数是数学中比较容易理解和使用的一类数，它们有着严格的运算规则和性质，可以进行加减乘除等各种运算。
无理数是不能表示为两个整数的比值的数，它们是一些特殊的数，比如根号2、圆周率π等。
无理数在数轴上的位置很难准确表示出来，因为它们不能用整数比值的形式表示。
无理数是实数中比较独特和特殊的一类数，它们在数学研究和应用中有着独特的地位。
实数还可以根据其大小和性质进行分类，比如正数、负数、零等。
正数是大于零的实数，负数是小于零的实数，零是一个特殊的实数。
正数、负数和零是实数中的基本分类，它们有着严格的定义和性质，可以用来表示各种计量和度量。
初二(下)实数的知识点与练习题
第十三章 实数知识要点一： 1．实数的性质（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数）；（2）两实数的大小关系：正数大于0，0大于负数；两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小；（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零）、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意，正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方；（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同． 2．实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．3．实数的分类（1）按实数的定义分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 （2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数4．实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的实数较大；两个负实数，绝对值大的实数反而小．实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数．【典型例题】2-1C B A 例1若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1)分析：本题主要考查负数和非负数的概念,同时涉及考查字母表示数这个知识点.由于a 为实数, a 2、( a +1)2、2a 均为非负数，∴－a 2≤0，－( a +1)2≤0，－2a ≤0．而0既不是正数也不是负数，是介于正数与负数之间的中性数．因此，A 、B 、C 不一定是负数．又依据绝对值的概念及性质知－(a -+1)﹤0．故选D例2 实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a =分析：这里考查了数形结合的数学思想,要去掉绝对值符号,必须清楚绝对值符号内的数是正还是负.由数轴可知:1﹤a ﹤2,于是,22)2(,112a a a a a -=-=--=-所以, 2)2(1-+-a a =a －1+2－a =1.例3 如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ） A. 5－2 B. 2－5 C.5－3 D.3－5分析：这道题也考查了数形结合的数学思想,同时又考查了对称的性质．B 、C 两点关于点A 对称，因而B 、C 两点到点A 的距离是相同的，点B 到点A 的距离是5－1，所以点C 到点A 的距离也是5－1，设点C 到点O 的距离为a ，所以a +1=5－1，即a =5－2．又因为点C 所表示的实数为负数，所以点C 所表示的实数为2－5．例4 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为分析：因为（a －2）2+3-b =0，所以a －2=0，b －3=0。
实数知识点归纳
启东教育 a )2=a（a≥0），与
a2 = a
6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于 0，则每一个非负数都为 0（此性质应用很广，务必 掌握）。 综合演练 一、填空题 1、 （-0.7）2 的平方根是 2、若 a 2 =25, b =3,则 a+b= 3、已知一个正数的两个平方根分别是 2a﹣2 和 a﹣4，则 a 的值是 4、 3 4 ＝ ____________ 5、若 m、n 互为相反数，则 m 5 n ＝_________ 6、若
( 7 ) 2 7
49 7
）
49 7
） B、 9 的平方根是 3
C、 9 的算术平方根是 3 D、 9 的算术平方根是 3 9．下列说法：(1) 3 是 9 的平方根；(2)9 的平方根是 3 ；(3)3 是 9 的平方根；(4)9 的平方根是 3，其中正确的有（ A．3 个 10．下列语句中正确的是（ A、任意算术平方根是正数 B、只有正数才有算术平方根 C、∵3 的平方是 9，∴9 的平方根是 3 D、 1 是 1 的平方根 三、利用平方根解下列方程． （1） （2x-1）2-169=0； ） D．4 个 ） B．2 个 C．1 个
1
___，x=___
__。
13、当 x _______ 时， 1 x 有意义。
x 1 14、当 x ________ 时，式子 x 2 有意义。
15、若 4a 1 有意义，则 a 能取的最小整数为 二、选择题 1． 9 的算术平方根是（ ） A．-3 B．3 C．±3 ）
( 9) 2 81 =9
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一 一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 3、 a 本身为非负数，有非负性，即 a ≥0； a 有意义的条件是 a≥0。 4、公式：⑴( a )2=a（a≥0） ；⑵ 3 a = 3 a （a 取任何数） 。
实数知识点归纳
专题一实数知识点归纳【知识点一】实数的分类1、按定义分类： 2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数.【知识点二】实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数 a+b=0.2.绝对值|a|≥0．3.倒数（1）0没有倒数 (2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数 .4.平方根(1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作．(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a(a≥0)的算术平方根记作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．【知识点三】实数与数轴数轴定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．【知识点四】实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.3.无理数的比较大小：【知识点五】实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．4.除法除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方(1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．(3)零指数与负指数【知识点六】有效数字和科学记数法1.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．2.科学记数法：把一个数用(1≤ ＜10，n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．。
实数知识点及例题
实数知识点及例题一、实数的概念实数是有理数和无理数的总称。
有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数是无限不循环小数。
例如，π（圆周率）、根号 2 等都是无理数。
而像 3、－5、025 等则是有理数。
二、实数的分类1、按定义分类：有理数：整数和分数。
无理数：无限不循环小数。
2、按性质分类：正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
三、实数的基本性质1、实数的有序性：任意两个实数 a 和 b，必定有 a ＞ b、a ＝ b 或a ＜b 三种关系之一成立。
2、实数的稠密性：两个不相等的实数之间总有另一个实数存在。
3、实数的四则运算：实数的加、减、乘、除（除数不为 0）运算满足相应的运算律。
四、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。
实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
例如，在数轴上表示 2 的点在原点右侧距离原点 2 个单位长度。
五、绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a。
绝对值的性质：1、｜a| ≥ 0，即绝对值是非负的。
2、若｜a| ＝｜b|，则 a ＝ ±b。
例如，｜3| ＝ 3，｜－5| ＝ 5。
六、相反数实数 a 的相反数是 a，它们的和为 0，即 a ＋（a) ＝ 0。
例如，5 的相反数是－5，它们的和为 0。
若两个实数的乘积为 1，则这两个数互为倒数。
非零实数 a 的倒数是 1/a。
例如，2 的倒数是 1/2，－3 的倒数是－1/3。
八、实数的运算1、加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
2、减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
3、乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
实数知识点归纳及典型例题
第十三章实数----知识点总结一、算术平方根1.算术平方根的定义：一般地，如果的等于a ，即，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为，读作“根号a ”，a 叫做．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2(x ≥0)中，规定a x =。
理解：a x =2(x ≥0)a x =a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的算术平方根a 的算术平方根是x 2.a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
3.当被开方数扩大(或缩小)时，它的算术平方根也扩大(或缩小)；4.夹值法及估计一个（无理）数的大小（方法：）二、平方根1.平方根的定义：如果的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的．即：如果，那么x 叫做a 的． 理解：a x =2<—>a x ±=a 是x 的平方x 的平方是ax 是a 的平方根a 的平方根是x2.开平方的定义：求一个数的的运算，叫做．开平方运算的被开方数必须是才有意义。
3.平方与开平方：±3的平方等于9，9的平方根是±34.一个正数有平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数平方根，即负数不能进行开平方运算5.符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．6.平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
三、立方根1.立方根的定义：如果的等于a ，这个数叫做a 的（也叫做），即如果，那么x 叫做a 的立方根。
2.一个数a “三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。
理解：a x =3<—>3a x =a 是x 的立方x 的立方是ax 是a 的立方根a 的立方根是x3.一个正数有一个正的立方根；0有一个立方根，是它本身；一个负数有一个负的立方根；任何数都有唯一的立方根。
实数知识点归纳总结
实数知识点归纳总结一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。
有理数是可以表示为分数形式的数，包括正整数、负整数、零、正分数和负分数。
无理数是无法用分数形式表示的数，如开根号或π。
有理数又可以分为整数和分数两类。
整数包括正整数、负整数和零，分数指的是整数之间的比值。
二、实数运算1.加法和减法实数的加法和减法满足交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
加法的逆元是减法，即a+(-a)=0。
2.乘法和除法实数的乘法和除法满足交换律和结合律，即a*b=b*a，(a*b)*c=a*(b*c)。
乘法的逆元是除法，a/b * b/a = 1。
3.乘幂和开方实数的乘幂满足乘法的分配律，即(a*b)^n=a^n*b^n。
实数的开方是指找出一个数的n次方等于给定的数，如a^n=b，则a为b的n次方根。
4.比较大小实数的大小关系可以通过比较大小来确定，满足传递性和完全性。
传递性指的是如果a>b 且b>c，则a>c；完全性指的是对于任意实数a，b，要么a>b，要么a=b，要么a<b。
三、实数的性质1.有序性实数集合具有明确的大小关系，可以进行大小的比较。
任意两个实数a，b，存在且只存在下列三种关系之一：a>b，a=b，a<b。
2.稠密性实数集合中，任意两个不相等的数之间都有有理数，也有无理数。
在实数轴上，任意两个不相等的实数之间都存在无数个实数。
3.区间性实数轴上的一段连续的部分称为一个区间，包括开区间、闭区间、半开半闭区间等。
4.费马小定理p为素数，a为整数，则p不能整除a和p互质的一次方程ap-x=1有整数解x。
5.实数的稳定性实数的乘、除、取幂和开根号等有限次运算保持实数的性质。
6.实数的基数实数集合的基数是不可数的，比如自然数集合、有理数集合和无理数集合的基数都是不可数的。
四、实数的应用1.实数在几何中的应用实数可以用来表示点的坐标、线段的长度、角度的大小等。
实数知识点总复习含答案解析
【解析】
【分析】
由于 ，于是 ，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．
【详解】
由于 ，于是 ，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．
解：∵ ，
∴ ，
10与9的距离小于16与10的距离，
∴与 最接近的是3．
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【答案】B
【解析】
分析：直接利用2＜ ＜3，进而得出答案．
详解：∵2＜ ＜3，
∴3＜ +1＜4，
故选B．
点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 的取值范围是解题关键．
10．若 则 的值是（）
A．2 B、1 C、0 D、
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B．
【详解】
，
∴25的算术平方根是：5.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了算术平方根，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
19．估计 的值是在（）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间
【答案】B
【解析】
解：由于16＜19＜25，所以4＜ ＜5，因此6＜ +2＜7．故选B．
点睛：本题主要考查了估算无理数的大小的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
4．在－3.5， ，0， ，－ ，－ ，0.161161116…(相邻两个6之间依次多一个1)中，无理数有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
实数期末常考题型总结
实数期末常考题型总结一、实数的性质1. 实数的分类：有理数和无理数的概念，以及它们在数轴上的位置。
2. 实数集的完备性：介绍实数集的上确界、下确界、最大值、最小值等概念，并在数轴上进行图示。
3. 实数的比较和大小：掌握实数的大小比较，通过数轴的位置进行判断。
二、实数的运算1. 实数的加、减、乘、除运算：熟练掌握实数四则运算的规则，注意有理数和无理数运算的特点。
2. 实数的幂运算：知道实数的幂运算的定义、性质和计算法则。
3. 符号函数：了解符号函数的性质和运算规律，进行计算和简化表达式。
三、实数的表示1. 实数的小数表示和数轴表示：熟悉实数的小数表示法，掌握无限不循环小数和无限循环小数的表示方法。
2. 实数的近似表示和有效数字：了解实数的近似表示法和有效数字的概念，计算近似值和有效数字的位数。
四、实数的性质证明1. 实数的有序性证明：通过实数的定义和性质，证明实数的大小关系。
2. 实数的不等式证明：根据实数的性质，推导和证明实数的不等式关系。
3. 实数的有理数性质证明：利用有理数性质和实数的定义，证明某个数是有理数。
4. 实数的无理数性质证明：利用无理数性质和实数的定义，证明某个数是无理数。
五、实数的绝对值和距离1. 实数的绝对值：根据绝对值的定义和性质，计算实数的绝对值。
2. 实数的距离：了解实数之间的距离概念，计算实数之间的距离。
六、实数的逼近和误差估计1. 实数的逼近和截断误差：了解逼近的概念和方法，估计实数的截断误差。
2. 误差的运算和估计：掌握误差运算和误差估计的方法，确定结果的精确性。
七、实数的方程和不等式1. 实数方程：解实系数的一元一次方程和二次方程。
2. 实数不等式：解实系数的一元一次不等式和二次不等式，并求解其解集。
八、实数数列和级数1. 实数数列的定义、性质和分类：熟悉数列的概念和定义，了解等差数列、等比数列等常见数列的性质。
2. 实数数列的极限和收敛：了解数列极限的概念和性质，计算数列的极限值。
《实数》题型分类归纳
精心整理《实数》知识点比较：（1）100 （2）6449（3）1691（4）0.0025（5）0（6）2（7）()26- 例2、求下列各数的平方根。
（1）100（2）6449（3）1691（4）0.0025（5）0（6）2（7）()26- 例3、求下列各数的立方根。
（1）1000（2）278（3）27102（4）0.001（5）0（6）2（7）()36-类型二：化简求值例1、 求下列各式的值。
（1）22=（2）256169-=（3）0196.0= （4）2224-25-=（5）327--=（6）33512729+= 例2、求下列各式的值（1）一、 例1例2（1）例3二、 例4例5例6算术平方根：被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。
立方根：被开方数的小数点向右（左）每移动三位，立方根的小数点向右（左）移动一位。
例1、 观察：已知84.227.521284.2217.5==， 填空：______52170______05217.0== 例2、 令858.46.23536.136.2==，则①________00236.0_______;236==②若__________,04858x ==x③若153610a 6=⨯，求a 的值。
例3、若b ==337,a 15，则____37000____,15.03==。
类型五、平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数。
例1、 一个非负数的两个平方根是 12-a 和5-a ，这个非负数是多少？ 例2、 已知一个数的两个平方根分别是13+a 和11+a ，求这个数的立方根 类型六、解方程。
例1、求下列各式中的x 的值：（1）2x =196；（2）010x 52=-；（3）0253362=--）（x 。
（4）3x 3例1例2、求A B -例1、 例2、例3A 、2与例4例5例1、下列判断错误的是()A 、若b a =，则b a =B 、若33b a =，则b a =C 、若3333b a =，则b a =D 、若22b a =，则b a =例2、如图实数 a 、b 对应数轴上的点A 和点B ,化简：2222)()(a b a b a b +---+ 提示：|a |＝算；())0(2≥=a a a类型八、平方运算与开平方运算互为逆运立方运算与开立方运算互为逆运算。
《实数》知识点及典型例题
6
3
）
C、 －9＝－3
D、
1 1 16 ＝4 9 3 ） ） ）
5、一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （ A、1 B、0 C、1 或 0 D、1 或 0 或－1 6、已知 x＋10＋ y－13＝0，则 x＋y 的值是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （ A、13 B、3 C、－3 D、23 7、两个连续自然数，前一个数的算术平方根是 x，则后一个数的算术平方根是 · · · · · · · · · （ A、x＋1 2 A、 3
· 1 24、在－ ，π ，0， 2，－22，2.121121112„(两个 2 之间依次多一个 1)，0. 3 。 3
（1）是有理数的有： （2）是无理数的有： （3）是整数的有： （4）是分数的有：
； ； ； 。
5
25、跳伞运动员跳离飞机，在未打开降落伞前，下降的高度 d(米)与下降的时间 t(秒)之间有关系式：t＝ （不计空气阻力） （1）填表： 下降高度 d（米） 下降时间 t（秒） （2）若共下降 2000 米，则前 500 米与后 1500 米所用的时间分别是多少？ 20 80 245 320
考点六、实数非负性的应用 1．已知：
3a b | a 49 | a7
2
0 ，求实数 a，b 的值。
2．已知(x-6) +
实数知识点总结及典型例题练习
实数知识点总结考点一、实数的概念及分类(3分)1、实数的分类｛正有理数r有理数零有限小数和无限循环小数负有理数实数｛正无理数｝无理数无限不循环小数负无理数Y 整数包括正整数、零、负整数。
匚正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类:(1)开方开不尽的数，如万,迈等；(2)有特定意义的数，如圆周率心或化简后含有7T的数，如扌+8 等；(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等;(4)某些三角函数，如sin6()“等(这类在初三会出现)考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0, a二b,反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|A0。
零的绝对值是它本身，若|a|=a,则Q0；若|a|二a,则a<0。
正数大于零, 负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和・1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于心那么这个数就叫做巾的平方根(或二次方跟)。
一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“土蘇”。
2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“亦”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a ( a >0) > 0、庐=|询=_ -a ( a <0) ;注意需的双重非负性Ya >03、立方根如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
实数常识知识点总结
实数常识知识点总结一、实数的定义实数包括有理数和无理数两个部分，有理数是可以表示为两个整数的比值，而无理数是不能以有限小数位数表示为两个整数的比值的数。
有理数包括整数和分数两部分，整数包括正整数、负整数和0，分数是整数的比值，可以表示为a/b的形式，其中a是分子，b是分母，a和b都是整数且b不等于0。
无理数是不能被表示为两个整数的比值的数，如π和根号2等。
二、实数的性质1. 交换律：对于任意实数a和b，a+b=b+a, a*b=b*a2. 结合律：对于任意实数a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)，(a*b)*c=a*(b*c)3. 分配律：对于任意实数a、b和c，a*(b+c)=a*b+a*c4. 含元性：对于任意实数a，总有唯一的实数-b，使得a+(-b)=05. 乘除法的保号性：对于任意实数a和b，如果a大于0，且b大于0，则a*b大于0；如果a小于0，且b大于0，则a*b小于0；如果a等于0，或者a和b中有一个等于0，则a*b等于0。
另外，如果a大于0，且b大于0，则a/b大于0；如果a小于0，且b大于0，则a/b小于0。
6. 分数的乘除法：对于任意有理数a、b、c和d，(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)；对于a、b和c(d≠0)，a/(b/c)=(a*c)/b7. 全序性：对于任意实数a和b，要么a大于b，要么a小于b，或者a等于b8. 混合运算：对于任意实数a、b、c和d，有a+b=c+d，a*c=b*d时可以进行混合运算9. 实数的无限性：实数是无限的，没有开头和结尾10. 实数的稠密性：有理数和无理数混合在一起，将实数轴分成无数不可数的点11. 实数的最大最小性：任何非空有界的实数的集合有最小和最大值12. 实数的完备性：实数的有界非空集合必有上确界和下确界13. 实数的稳定性：如果一个数列有上确界和下确界，则有界数列一定有收敛子列14. 实数的分解性：任意正实数x，总可以分解成两个实数的乘积，即x=a*b，其中a是最小正实数，b是正实数三、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。
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第六章实数知识讲解+题型归纳知识讲解一、实数的组成1、实数又可分为正实数，零，负实数2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。
数轴上的点与实数一一对应二、相反数、绝对值、倒数1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。
数a的相反数是-a。
正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。
2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
非0实数a的倒数为1a.0没有倒数。
4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.三、平方根与立方根1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。
数a的平方根记作（a>=0）特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。
负数没有平方根。
正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。
开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。
数a的立方根用3a表示。
任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。
开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。
四、实数的运算有理数的加法法则：a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b)异号两数相加。
绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。
a| |a2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为04.有理数除法法则：a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何非0实数都得0。
b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。
5.有理数的乘方:在a n中，a叫底数，n 叫指数a ）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何次幂都是0b）a0=1（a不等于0）6.有理数的运算顺序：a）同级运算，先左后右b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减。
五·实数大小比较的方法1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数2）比差法：若a-b>0则a>b；若a-b<0则a<b；若a-b=0则a=b3）比商法：A.两个数均为正数时，a/b>1则a>b；a/b<1则a<bB.两个数均为负数时，a/b>1则a<b；a/b<1则a>bC.一正一负时，正数>负数4）平方法：a、b均为正数时，若a2>b2，则有a>b；均为负数时相反5)倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）●题型归纳●经典例题类型一．有关概念的识别1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）A、1B、2C、3 D、4解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，1.010010001…，3π，是无理数故选C举一反三：【变式1】下列说法中正确的是（）A、的平方根是±3B、1的立方根是±1C、=±1D、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，∵=9，9的平方根是±3，∴A正确．∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，∴B、C、D都不正确．【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（）A、1B、1.4C 、D、【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，∴A表示数为，故选C．【变式3】【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10因此3π-9＞0，3π-10＜0∴类型二．计算类型题2．设，则下列结论正确的是（）A. B. C.D. 解析：（估算）因为，所以选B举一反三：【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根是__________.2）-27立方根是__________. 3）___________，___________，___________. 【答案】1）；.2）-3. 3），，【变式2】求下列各式中的（1）（2）（3）【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4类型三．数形结合 3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______解析：在数轴上找到A 、B 两点，举一反三：【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A 的对称点为C，则点C表示的数是（）．A．－1 B．1－C．2－D．－2【答案】选C[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示：化简【答案】：类型四．实数绝对值的应用4．化简下列各式：(1) |-1.4|(2) |π-3.142|(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)(5) |x2+6x+10|分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。
解：(1) ∵=1.414…＜1.4∴|-1.4|=1.4-(2) ∵π=3.14159…＜3.142∴|π-3.142|=3.142-π(3) ∵＜, ∴|-|=-(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|=|2x-3| =说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。
(5)|x 2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0∴|x 2+6x+10|= x2+6x+10举一反三：【变式1】化简：【答案】=+-=类型五．实数非负性的应用5．已知：=0，求实数a, b的值。
分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，则要求a+7＞0，分子+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组从而求出a, b的值。
解：由题意得由(2)得a 2=49 ∴a=±7由(3)得a>-7，∴a=-7不合题意舍去。
∴只取a=7把a=7代入(1)得b=3a=21∴a=7, b=21为所求。
举一反三：【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。
解：∵(x-6)2++|y+2z|=0且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。
∴解这个方程组得∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65【变式2】已知那么a+b-c的值为___________【答案】初中阶段的三个非负数：，a=2,b=-5,c=-1;a+b-c=-2类型六．实数应用题6．有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。
解：设新正方形边长为xcm，根据题意得x2=112+13×8∴x2=225∴x=±15∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，∴只取x=15(cm)答：新的正方形边长应取15cm。
举一反三：【变式1】拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。
（4个长方形拼图时不重叠）（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？（2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm 时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2，求中间小正方形的边长.解析：（1）如图，中间小正方形的边长是：，所以面积为=大正方形的面积=，一个长方形的面积=。
所以，答：中间的小正方形的面积，发现的规律是：（或）(2) 大正方形的边长：，小正方形的边长：，即，又大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2 所以有，化简得：将代入，得：cm 答：中间小正方形的边长2.5 cm。
类型七．易错题7．判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是-3；（2）的平方根是±15.（3）当x=0或2时，（4）是分数解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，故的平方根是.（3）注意到，当x=0时，=，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故x≠0，所以当x=2时，x=0.（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.类型八．引申提高8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.（2）把下列无限循环小数化成分数：①②③（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分．解：由得的整数部分a=5, 的小数部分，∴（2）解：(1) 设x=①则②②-①得9x=6∴.(2) 设①则②②-①，得99x=23∴.(3) 设①则②②-①，得999x=107，∴.。