实数知识点及易错题型

《实数》复习与回顾

一、知识梳理

1.平方根

（1）算术平方根的定义：一个正数x的平方等于a,即_____，那么这个正数x就叫做a的________.0的算术平方根是_____。

（2）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的_______。

（3）平方根的性质：一个正数有_____个平方根，它们________；0只有_____个平方根，它是_____；负数_____平方根。

（4）开平方：求一个数a的________的运算，叫做开平方。

2.立方根

（1）立方根的定义：如果一个数x的_____等于a，即_____，那么这个数x就叫做a的立方根。

（2）立方根的性质：每个数a都只有_____个立方根。正数的立方根是_____；0的立方根是_____；负数的立方根是_____。

（3）开立方：求一个数a的________的运算叫做开立方。

3.实数

（1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_____。

（2）实数的定义：_____和_____统称实数。

（3）实数的分类：①按定义分：________________________；②按性质分：________________________。

（4）实数与数轴上的点的对应关系：_____与数轴上的点是_____对应的。

（5）有关概念：在实数围，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数

围的意义_____。

4.实数的运算：

（1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_______一样，而且有理数的运算律对__________仍然适用。

（2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，

算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为

__________；__________。

二、考点例析

考点1 平方根、立方根的定义与性质

例1 （1）下列各数是否有平方根？若有，求出其平方根；若没有，说明理由。

①625 ②（－2）2 ③（－1）3

（2）下列各数是否有立方根？若有，求出其立方根。 ①27

1 ②－343 ③－2

2 分析：（1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转

化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。

（2）因为正数、0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方

根。

解：（1）①因为625>0，故其平方根有两个，即±625=±25；②

因为（－2）2=4>0，故其平方根有两个，即±2)2( =±2；

③因为（－1）3=－1<0, 故其不存在平方根。

（2）由立方根的性质可知，所给各数均有立方根。

①3

12713=； ②73433-=- ； ③－22的立方根34-。

说明：只有非负数才有平方根，这一点同学们一定要牢固掌握。 考点2 实数的分类与性质

例2 下列各数中： －4

1，7，3.14159, －π,310,－34,0,0.⋅3,38,16,2.2… 其中有理数有__________________________；

无理数有__________________________。

分析：对于38、16等应先化简再判断。 解：有理数：－4

1，3.14159,0,0.3,38,16 无理数有：7,－π,

310,－34,2.…… 说明：本题考查有理数和无理数的概念，要正确判断一个数属于哪一类，理解各数的意义是关键。

例3 12-的相反数是

；11-的绝对值是 ；－121

81的倒数是 。 分析：如果a 表示一个正实数，那么－a 就表示一个负实数，a 与－

a 互为相反数；0的相反数依然是0。一个正实数的绝对值是

它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

非零实数a 的倒数是a

1。

解：12-的相反数是1－2；11-的绝对值是11；－12181=－119，所以－121

81的倒数是－911。 说明：解决此问题要牢记实数的性质，实数围一个数的相反数、倒数、

绝对值的意义和在有理数围的意义是一样的。

考点3 实数的运算

例4 （1 （2）化简)22(28+-得（ ）

（A ）－2 （B ）22- （C ）2 （D ）224- 分析：有理数的运算法则、性质、运算律等在实数围仍然适用，本例根据运算顺序直接计算即可。

（1）=0.2×)51(22545-÷-=

41757541)5(154551=+=-⨯-⨯；

（2）)22(28+-

2=-2=-=－2。故

选（A ）。

说明：在实数围进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，运算顺序依

然是从高级到低级。值得注意的是，在进行开方运算时，正实数和零可以开任何次方，负实数能开奇次方，但不能开偶次方。

考点4 非负数

例 5 已知x ，y 23(2)0y -=，则x y -的值为（ ）.

（A ）3 （B ）－3 （C ）1 （D ）－1

分析：本题主要考查非负数的性质及其应用，非负数，即不是负数，

也即正数和零，常见的非负数主要有三种：实数的绝对值、实

数的算术平方根、实数的偶次方。它有一个非常重要的性质：

若干个非负数的和为0，这几个非负数均为零。利用这个性质

可解本题，

解：由题意，得10x -=，20y -=，即1x =，2y =，所以1x y -=-。故选（D ）。

说明：非负数是中考常考的知识点，同学们应从其意义入手，理解并掌握它。

考点5 数形结合题

例6 已知实数 a 、b 在数轴上的位置如图所示：试化简：｜a －b ｜－｜a ＋b ｜

分析：要化简｜a －b ｜－｜a ＋b ｜，需根据数轴上a 、b 的位置判断a －b 和a+b 的符号。 解：因为a>0，b<0，且∣a ∣<∣b ∣，所以a －b>0，a+b<0，

所以原式=（a －b ）+（a+b ）=a －b+a+b=2a

说明：数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。

考点6 探究题

例7 阅读下列解题过程：

()()221

⨯===-