角、相交线与平行线
相交线与平行线笔记整理
相交线与平行线笔记整理
相交线与平行线是几何学中的重要概念，下面是有关相交线和平行线的笔记整理：
一、相交线：
1. 定义：在平面上，如果两条直线有一个公共的交点，则称这两条直线为相交线。
2. 特性：
- 两条相交线的交点只有一个。
- 两条相交线的两个交线角互为补角。
- 如果两条相交线的交线角互为补角，则这两条直线相交。
二、平行线：
1. 定义：在平面上，如果两条直线没有交点，且方向相同或者重合，则称这两条直线为平行线。
2. 特性：
- 平行线不相交，也没有公共的交点。
- 平行线的交线角为零度。
- 平行线的交线角是对应角，即对应于同一边的内角互为补角。
三、判定平行线的方法：
1. 对称判定法：如果两条直线作为一条直线的平分线，且分出的同侧角相等，则这两条直线平行。
2. 次对称法：如果两条直线与另外一条直线作为一对同位角，且同位角相等，则这两条直线平行。
3. 逆定理法：如果两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线
平行。
4. 夹角法：如果两条直线与另外一条直线的夹角相等，则这两条直线平行。
5. 给定角的补角法：如果两条直线与另外一条直线的同侧内角互为补角，则这两条直线平行。
四、平行线性质：
1. 平行线的任意一对内错线互为消角。
2. 平行线的任意一对内错线互为内错角。
3. 平行线与切线的夹角等于对应弧所对的圆心角。
4. 平行线所夹平行线上的交线角相等。
以上是有关相交线与平行线的笔记整理，希望对你有所帮助。
平行线和相交线解决角度关系问题
平行线和相交线解决角度关系问题平行线和相交线是几何学中常见的概念，它们之间存在着密切的角度关系。
通过研究这种关系，我们可以解决许多有关角度的几何问题。
本文将详细介绍平行线和相交线之间的角度关系，并通过实例说明如何应用这些关系来解决角度问题。
1. 共线角与内错角当两条平行线被一条直线相交时，所形成的各个角度关系是解决角度问题的基础。
首先，我们来看一下两条平行线被一条直线相交时所形成的共线角和内错角。
共线角：共线角即位于同一直线上的两个相邻角度。
根据平行线与相交线的性质，我们得知在两条平行线被一条直线相交的情况下，所形成的共线角是相等的。
内错角：内错角即位于两条平行线之间、相交线上的两个相邻角度。
同样根据平行线与相交线的性质，我们知道内错角是相等的。
2. 同位角与对顶角继续探讨角度关系，我们将介绍同位角和对顶角的概念，它们同样可以帮助我们解决角度问题。
同位角：同位角是指位于两条平行线之间、相交线同一侧的两个相邻角度。
根据平行线与相交线的性质，我们知道同位角是相等的。
对顶角：对顶角是指由两条平行线被一条直线相交所形成的内错角的对称角。
根据平行线与相交线的性质，我们得出对顶角是相等的。
3. 利用角度关系解决问题通过理解平行线和相交线之间的角度关系，我们能够解决很多有关角度的几何问题。
以下是一些实例：例1：已知在平行线AB和CD之间，EF是一条相交线。
若∠ADE= 60°，求∠BEF的度数。
根据同位角的性质，我们可以得知∠ADE = ∠BEF。
因此，∠BEF的度数也为60°。
例2：已知平行线AB和CD被一条相交线EF相交，∠AED = 110°，求∠BCF。
根据内错角的性质，我们知道∠AED = ∠BCF。
所以，∠BCF的度数也为110°。
例3：已知两条平行线AB和CD之间的一条相交线EF，求证∠AEB = ∠CFD。
根据对顶角的性质，我们可以得知∠AEB = ∠CFD。
中考数学复习之线与角、平行线的性质及判定,考点过关与基础练习题
第二部分图形与几何19.线段、角、相交线与平行线知识过关1.直线、射线、线段(1)直线上一点和它____的部分叫做射线；直线上两点和它们____的部分叫做线段，这两点叫做线段的_______.(2)两点_____一条直线，两点之间线段最短，两点之间_____的长度，叫做两点间的距离.(3)线段的中点把线段_______等分.2.角(1)角：有_____端点的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作由一条_____绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)余角：如果两个角的和等于_____，那么就说这两个角互为余角._____或等角的余角相等.(3)补角：如果两个角的和等于_____，那么就说这两个角互为补角._____或等角的补角相等.(4)一条射线把一个角分成两个______的角，这条射线叫做这个角的平分线.3.相交线(1)对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的_____延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角______.(2)垂直：在同一平面内，两条直线相交成90，叫做两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线.(3)垂直的性质：同一平面内，过一点_____一条直线与已知直线垂直，直线外一点和直线上所有点的连接中，_______最短.(4)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的_____的长度，叫做点到直线的距离.4.平行线(1)平行线：平面内，_______的两条直线叫做平行线.(2)平面内两条直线的位置关系:_________和_________.(3)平行公理：过直线外一点，有且______一条直线与已知直线平行.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相______.(4)平行线的性质：如果两条直线平行，那么同位角相等，_____相等，同旁内角_______.(5)平行线的判定：如果同位角相等，或______或______互补，那么两直线平行.5.命题的概念(1)命题：______的语句叫做命题.(2)命题的组成：命题由______和______两部分组成.(3)命题的形成：命题可以写成“如果.......,那么.......”的形式，以如果开头的部分是_____,以那么开头的部分是________.(4)命题的真假：_______的命题叫做真命题,______的命题叫做假命题.6.尺规作图(1)在几何里，把用没有刻度的____和____这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图.(2)常见的五种基本作图：①作一条线段等于已知线段；①作一个角等于已知角；①作一个角的平分线；①过一个点作已知直线的垂线；①作线段的垂直平分线.➢考点过关考点1 线段长度的有关计算例1已知线段AB＝10cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，并且BC＝2cm，则线段DC＝．考点2对顶角、邻补角的相关计算如图，点O为直线AB上一点，OC平分∠AOD，∠BOD＝3∠BOE，若∠AOC＝α，则∠COE 的度数为（）A．3αB．120°−43αC．90°D．120°−13α考点3平行线的性质例3如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝54°，则∠2等于（）A．108°B．117°C．126°D．54°考点4平行线的判定与性质综合例4如图1，直线HD∥GE，点A是直线HD上一点，点C是直线GE上一点，点B是直线HD、GE之间的一点．（1）过点B作BF∥GE，试说明：∠ABC＝∠HAB+∠BCG；（2）如图2，RC平分∠BCG，BM∥CR，BN平分∠ABC，当∠HAB＝40°时，点C在直线AB右侧运动的过程中，∠NBM的度数是否不变，若是，求出该度数；若不是，请说明理由．考点5命题的真假例5下列结论中，正确的有①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③面积相等的两个三角形全等；④有两边和一个角分别对应相等的两个三角形全等；⑤钝角三角形三条高所在的直线交于一点，且这点在钝角三角形外部．（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点6尺规作图例6如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是．➢真题演练1.如图，OC在∠AOB外部，OM，ON分别是∠AOC，∠BOC的平分线．∠AOB＝110°，∠BOC＝60°，则∠MON的度数为（）A．50°B．75°C．60°D．55°2．如图，OC、OD为∠AOB内的两条射线，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠COD，若∠COD ＝10°，则∠AOB的度数是（）A．30°B．40°C．60°D．80°3．如图，已知ON，OM分别平分∠AOC和∠BON．若∠MON＝20°，∠AOM＝35°，则∠AOB的度数为（）A．15°B．35°C．40°D．55°4．如图，已知∠AOB．按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中不正确的是（）A．∠CEO＝∠DEO B．CM＝MDC．∠OCD＝∠ECD D．S四边形OCED=12CD•OE5．下列说法正确的是（）A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角B．内错角相等C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D．一个角的补角一定是钝角6．下列说法错误的是（）A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线7.如图所示，C为线段AB的中点，D在线段CB上，DA＝6cm，DB＝4cm，则CD的长度为______cm．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，观察图中尺规作图的痕迹，则AD的长是．9．如图，C是线段AB上一点，D，E分别是线段AC，BC的中点，若AB＝10，则DE＝．10．如图，C，D为线段AB上两点，AB＝7cm，AD＝1.5cm，D为线段AC的中点，则线段CB＝cm．11．（1）已知：如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D＝∠BED；（2）已知：如图2，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由．拓展提升：如图3，已知AB∥DE，BF，EF分别平分∠ABC与∠CED，若∠BCE＝140°，求∠BFE的度数．12．如图，AB∥CD，点P为平面内一点．（1）如图①，当点P在AB与CD之间时，若∠A＝20°，∠C＝45°，则∠P＝°；（2）如图②，当点P在点B右上方时，∠ABP、∠CDP、∠BPD之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据）（3）如图③，EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD＝40°，则∠G+∠P＝°．➢课后练习1．如图，已知AB∥DF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（）A．22°B．33°C．44°D．55°2．如图，直线CE∥DF，∠CAB＝135°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（）A．30°B．35°C．36°D．40°3．如图，已知a∥b，则∠ACD的度数是（）A．45°B．60°C．73°D．90°4．如图所示，直线a∥b，∠2＝31°，∠A＝28°，则∠1＝（）A．61°B．60°C．59°D．58°5．下列说法正确的是（）A．延长射线AB到CB．若AM＝BM，则M是线段AB的中点C ．两点确定一条直线D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行6．下列说法正确的是（ ）A ．垂直于同一条直线的两直线互相垂直B ．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C ．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等D ．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离7．下列说法中错误的是（ ）A ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C ．两条直线相交，有且只有一个交点D ．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直8．下列说法正确的是（ ）A ．过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行B ．不相交的两条直线叫做平行线C ．直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行9．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．若△CDB 的面积为12，△ADE 的面积为9，则四边形EDBC 的面积为（ ）A ．15B ．16C ．18D ．2010．如图是用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD ＝∠DAB 的依据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS11．如图，点A 、B 、C 在同一条直线上，点D 为BC 的中点，点P 为AC 延长线上一动点（AD ≠DP ），点E 为AP 的中点，则AC−BP DE 的值是 ．12．如图，点D是线段AB上一点，点C是线段BD的中点，AB＝8，CD＝3，则线段AD长为．13.如图1，已知∠BOC＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）若AO⊥BO，则∠EOF是多少度？（2）如图2，若角平分线OE的位置在射线OB和射线OF之间（包括重合），请说明∠AOC的度数应控制在什么范围．14．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．（1）求证：AC∥DF；（2）如果∠DEC＝105°，求∠C的度数．15．如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2+∠3＝180°．（1）请你判断CF与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）若∠1＝70°，BC平分∠ABD，试求∠ACF的度数．➢冲击A+在半径为5的⊙O中，AB是直径，点C是直径AB上方半圆上一动点，连接AC、BC．（1）如图1，则△ABC面积的最大值是；（2）如图2，如果AC＝8，①则BC＝；②作∠ACB的平分线CP交⊙O于点P，求长CP的长．（3）如图3，连接AP并保持CP平分∠ACB，D为线段BC的中点，过点D作DH⊥AP，在C点运动过程中，请直接写出DH长的最大值．。
相交线与平行线的知识点
相交线与平行线的知识点一、相交线。
1. 邻补角。
- 定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。
- 性质：邻补角互补，即它们的和为180°。
例如，∠AOC和∠BOC是邻补角，那么∠AOC+∠BOC = 180°。
2. 对顶角。
- 定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
- 性质：对顶角相等。
如∠AOC和∠BOD是对顶角，则∠AOC = ∠BOD。
3. 垂直。
- 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
- 性质：- 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
- 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
- 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
二、平行线。
1. 平行线的定义。
- 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
用符号“∥”表示平行关系，如直线a平行于直线b，记作a∥b。
2. 平行公理及推论。
- 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
- 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即如果a∥b，b∥c，那么a∥c。
3. 平行线的判定。
- 同位角相等，两直线平行。
例如，直线a、b被直线c所截，如果∠1 = ∠2（∠1和∠2是同位角），那么a∥b。
- 内错角相等，两直线平行。
如直线a、b被直线c所截，若∠2 = ∠3（∠2是内错角，∠3是同位角），则a∥b。
- 同旁内角互补，两直线平行。
当直线a、b被直线c所截，若∠2+∠4 = 180°（∠2和∠4是同旁内角），那么a∥b。
4. 平行线的性质。
- 两直线平行，同位角相等。
若a∥b，则∠1 = ∠2（∠1和∠2是同位角）。
几何图形初步线、角、平行线
几何图形：点、线、面、体称为几何图形。
圆柱体、圆锥体、球体等各个部分不在同一个平面内的几何图形称为_________.而直线、射线、角、三角形、平行四边形、梯形和圆也都是几何图形，这些图形所表示的各个部分都在同一平面内，称为___________。
线段、射线和直线：线段可以用表示它的两个端点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示，如图的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”，也可以记作“线段a”。
A Ba直线可以用它上面任意两个点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示。
如图的直线可以记作“直线AB”或“直线BA”，也可以记做“直线l”。
射线用表示它的端点和射线上另外任意一点的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面。
如图的射线记做“射线_______”，而不能记做“射线_______”。
为什么？经过两点_________________直线，即两点确定一条直线。
将线段向一个方向无限延长就形成了________；将线段向两个方向无限延长就形成了______；直线上两点间的部分就是______；直线上一点的一旁部分就是________。
如何用直尺和圆规作出一条线段，使它们等于已知线段a?两点之间______最短。
角角可以看成由两条________的射线所组成的图形，这个公共端点叫这个角的_______，或由一条______绕着它的__________旋转而成的图形，起始位置的射线叫做__________，终止位置的射线叫做________角的三种表示方法：______________________________________________-____________________________________________________________________________________________等于90度的角叫______，小于90度的角就是_____，大于直角而小于平角的角是_______如果两个锐角的和为_______,我们就说这两个角互为_______,简称_______;如果两个角的和为平角,我们就说这两个角互为_______,简称_______;从一个角的顶点引出的一条射线。
平行线和相交线的定义和判定
平行线和相交线的定义和判定平行线和相交线是几何学中的基础概念，它们在几何证明和问题解决中起到至关重要的作用。
本文将介绍平行线和相交线的定义、性质以及判定方法。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面中永远不会相交的两条线。
以下是关于平行线的几个重要性质：1. 平行线具有相同的斜率：两条平行线的斜率相等。
这意味着两条平行线在同一平面上具有相同的倾斜程度。
2. 平行线具有相同的方向：两条平行线的方向是相同的。
无论是向上还是向下移动，两条平行线的方向都是一致的。
3. 平行线之间的距离恒定：任意一条平行线与另外一条平行线之间的距离是相等的。
这是因为平行线在同一平面上始终保持相同的距离。
二、相交线的定义和性质相交线是指在同一个平面中交叉的两条线。
以下是关于相交线的几个重要性质：1. 相交线具有交点：两条相交线会在某一点上相交，这个点被称为交点。
交点是两条线的唯一共同点。
2. 相交线的夹角：两条相交线可以形成不同的夹角，如锐角（小于90度）、直角（等于90度）以及钝角（大于90度）。
3. 相交线的垂直性：两条相交线如果相互垂直，则称其为垂直线。
垂直线之间的夹角为直角。
三、平行线和相交线的判定方法判定一个线是否与另一个线平行或相交是解决几何问题的关键。
以下是一些常见的判定方法：1. 平行线的判定：两条线的斜率相等且不相交，即可以判定它们为平行线。
2. 垂直线的判定：两条线的斜率互为倒数且不相交，即可以判定它们为垂直线。
3. 直线与直线的相交：两条直线的斜率不相等时，它们必相交于一个点。
4. 直线与曲线的相交：通过求解方程组来判断直线与曲线是否有交点。
总结：平行线和相交线是几何学中重要的概念。
对于平行线，其定义和性质包括具有相同的斜率、方向以及恒定的距离。
对于相交线，其定义和性质包括具有交点、不同的夹角以及垂直性。
对于判定线是否平行或相交，可以通过斜率、方程组等方法进行判断。
掌握这些定义和判定方法，有助于我们更好地理解和应用几何学知识。
初中数学公式定理大全
直线、射线、线段、角、相交线、平行线1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补任意三个点不在一直线上的n 个点通过任意两点可以确定直线的条数：三角形15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即222a b c +=47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222a b c += ，那么这个三角形是直角三角形四边形48定理 四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论 任意多边的外角和等于360°任意n 边形对角线的条数：52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b ）÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=2a b+；梯形面积 S=L×h三角形与四边形的面积：以a 为底，h 为悬高12S ah= 比例与相似83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a cb d=,那么a b c db d±±=;a b c da b c d--=++;a b c da b c d++=--85 (3)等比性质如果a c e mb d f n===⋅⋅⋅=(b+d+…+n≠0),那么a c e m ab d f n b+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值圆101圆是到定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
平行线与相交线的知识点总结与归纳
平行线与相交线的知识点总结与归纳一、平行线的定义平行线是在同一个平面上，永远也不会相交的两条直线。
平行线的特点是它们的斜率相等，且不相交。
若两条直线平行，则可表示为l，m。
平行线的性质：1.平行线具有等于90°的斜角。
2.平行线与同一条直线垂直的直线也是平行线。
这一性质被称为垂直平行线定理。
3.如果一条直线与两条平行线相交，则它与另一条平行线的交角与第一条直线与第二条直线的交角相等。
4.平行线的反身性质：如果l，m，则m，l。
二、平行线的判定方法1.高度差法：通过计算两线间的垂直距离和斜率判断是否平行。
2.点斜式法：通过两点确定的直线斜率相等来判定。
3.斜率法：两直线斜率相等，则平行。
4.三角形内角和法：若两直线被一条直线所截，则截线两侧内角和相等，则平行。
三、相交线的定义相交线是指在同一个平面上，会相交的两条或更多条直线。
相交线两两相交于一点，称之为交点。
相交线的性质：1.相交线之间的交角之和等于180°，即交角互补。
2.两条相交线总有一对互为垂直的直线。
3.相交线的交点称为顶点，可以通过顶点来判断直线相交的情况，包括内角和外角。
四、平行线与相交线的关系1.平行线切割相交线定理：当一条直线与两条平行线相交时，它切割的两条平行线与该直线所夹的两对内角互补。
2.内错角定理：当两条平行线被一条截线相交时，直线截线所夹的内错角相等。
3.同位角定理：同位角为同侧的内角，当两直线被另一直线切割时，同位角相等。
4.外错角定理：当两条平行线被一条截线相交时，直线截线所夹的外错角互补。
五、应用举例1.在平行四边形中，对角线互相平分。
2.平行线截割三角形：当一条线段与两条平行线相交时，它将三角形切割成两个面积相等的三角形。
3.测量高度：通过测量两个平行线之间的垂直距离来确定垂直高度。
4.道路设计：在公路设计中，平行线可以将车道分隔开，并引导交通流向。
在几何学中，平行线与相交线是解决问题和证明定理中经常用到的概念。
七年级下册数学第五章相交线与平行线《相交线：同位角,内错角,同旁内角》听课记录
2024七年级下册数学第五章相交线与平行线《相交线：同位角，内错角，同旁内角》听课记录一、教师行为1.1 导入•开始时，教师首先回顾两条直线相交时形成的角（如邻补角、对顶角），并提问学生：“当两条直线被第三条直线所截时，它们之间会形成哪些特殊的角呢？”•通过这个提问，教师引导学生进入本课的主题——同位角、内错角、同旁内角。
1.2 教学过程•概念讲解：•教师详细解释“三线八角”的概念，即两条直线被第三条直线所截形成的八个角。
•接着，教师介绍同位角、内错角、同旁内角的定义，并通过图示帮助学生理解这三种角的位置关系。
•特征掌握：•教师通过多个例子和图示，让学生比较、观察并总结同位角、内错角、同旁内角的特征。
•重点强调同位角为“F”型，内错角在截线的同侧、被截线的内部且方向相反，同旁内角在被截线的内部、截线的同旁。
•识别练习：•教师给出一些包含这三种角的复杂图形，让学生练习在图中正确识别同位角、内错角、同旁内角。
•通过练习，加深学生对这三种角的认识和理解。
•总结与提升：•在学生基本掌握识别方法后，教师进一步讲解在复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角的技巧和方法。
•通过一些拓展题目，提升学生的解题能力和思维能力。
二、学生活动•观察与思考：学生在教师的引导下，认真观察图示和例子，思考同位角、内错角、同旁内角的特征和位置关系。
•讨论与交流：学生在小组讨论中分享自己的观察结果和解题思路，互相学习和帮助。
•动手实践：学生积极参与识别练习和拓展题目，通过实践巩固所学知识。
三、过程点评•导入环节：教师通过回顾旧知识和提出问题的方式，成功吸引了学生的注意力，为新课的学习打下了良好的基础。
•教学过程：教师采用了多种教学方法（如图示、例子、练习等），使学生能够更好地理解和掌握同位角、内错角、同旁内角的概念和特征。
同时，教师注重学生的参与和实践，让学生在实践中巩固所学知识。
•学生活动：学生积极参与各个环节的学习活动，表现出浓厚的学习兴趣和良好的学习态度。
初中数学中考复习几何辅助线规律总结(共102条)
初中数学几何辅助线规律线、角、相交线、平行线【规律】1如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。
【规律】2平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕个部分。
【规律】3如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。
【规律】4线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。
【规律】5有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有n(n－1)个。
【规律】6如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n－1）个。
【规律】7如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。
【规律】8平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。
【规律】9互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。
【规律】10平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。
【规律】11互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。
【规律】12当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。
【规律】13已知AB∥DE,如图⑴～⑹,规律如下：【规律】14成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。
三角形部分【规律】15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。
注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。
【规律】16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半。
【规律】17三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半。
数学人教版七年级下册2.1 角、相交线与平行线
2.1 角、相交线与平行线
安徽五年探究
考纲解读 命题解读
了解直线、射线、线段的概念,理解两点之间的距离.理解角的概念及表示,能正确地进行 角的度量与换算;能估计、比较角的大小,能正确地计算角度的和与差.理解角的平分线及 其性质以及补角、余角、对顶角的概念,理解掌握并能熟练运用补角、余角、对顶角的 性质.理解垂线、垂线段、点到直线的距离,理解垂线的性质和垂线段的性质,理解线段的 垂直平分线及其性质.能用三角尺或量角器画出直线的垂线、线段的垂直平分线、角的 平分线.理解掌握平行线的概念,两直线平行的性质和判定,并能用平行线的性质和判定证 明或解决有关问题.能用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线.了解两条平行 线之间的距离的概念,能正确地度量两条平行线间的距离.
判定两条直线平行时,同位角、内错角是相等关系,而同旁内角是互补关系,不能混淆. 4.平行线间的距离. (1)定义:过一条平行线上的一点,向它的另一条平行线作垂线,垂线段的 两条平行线间的距离. (2)性质:平行线间的距离 处处相等 .
长度
,就是这
名师考点精讲
考点扫描 综合探究 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
【答案】 C
名师考点精讲
考点扫描 综合探究 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
【变式训练】(2016· 辽宁大连)如图,直线AB∥CD,AE平分∠CAB,AE与CD相交于点 E,∠ACD=40°,则∠BAE的度数是 ( B )
A.40° C.80°
B.70° D.140°
【解析】∵AB∥CD,∴∠ACD+∠BAC=180°,∵∠ACD=40°,∴∠BAC=180°-40°=140°,∵AE平分 ∠CAB,
性质 条件 两直 线平 行
中考数学复习《角、相交线与平行线》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《角、相交线与平行线》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 线段【命题规律】主要考查：①两点之间线段最短；②两点确定一条直线这两个基本事实．【命题预测】与图形的变换中立体图形的侧面展开结合，求两点之间的最短距离，另外也会与对称性结合，考查两线段和的最小值．1. 如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是( )A. 垂线段最短B. 经过一点有无数条直线C. 经过两点，有且仅有一条直线D. 两点之间，线段最短1. D第1题图第2题图2. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D.则图中能表示点到直线距离的线段共有( )A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条2. D【解析】AD是点A到直线BC的距离；BA是点B到直线AC的距离；BD是点B到直线AD的距离；CA是点C到直线AB的距离；CD是点C到直线AD的距离，共5条，故答案为D.命题点2 角、余角、补角及角平分线【命题规律】主要考查：①角度的计算(度分秒之间的互化)；②余角、补角的计算；③角平分线的性质．【命题预测】角、余角、补角及角平分线等基本概念是图形认识的基础，应给予重视．3. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( )3. B4. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为________．4. 3【解析】如解图，过点P作PD⊥OA于点D，∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，∴PD＝PC，∵PC＝3，∴PD＝3，即点P到点OA的距离为3.5. 1.45°＝________′.5. 87【解析】∵1°＝60′，∴0.45°＝27′，∴1.45°＝87′.6. 已知∠A＝100°，那么∠A的补角为________度．6. 80【解析】用180度减去已知角，就得这个角的补角．即∠A的补角为：180°－100°＝80°.命题点3 相交线与平行线【命题规律】考查形式：①三线八角中同位角、内错角、同旁内角的识别或计算，有时综合对顶角、邻补角求角度；②综合角平分线、垂线求角度；③综合三角形的相关知识求角度；④根据角的关系判断两直线的关系．【命题预测】平行线性质是认识图形的基础知识，也是全国命题的潮流和方向．7. 如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是( )A. 同位角B. 内错角C. 同旁内角D. 对顶角7. B【解析】根据相交线的性质及角的定义可知∠1与∠2的位置关系为内错角，故选B.第7题图第8题图第9题图8. 如图，已知a、b、c、d四条直线，a∥b，c∥d，∠1＝110°，则∠2等于( )A. 50°B. 70°C. 90°D. 110°8. B【解析】如解图，∵a∥b，∴∠3＋∠4＝180°，∵c∥d，∴∠2＝∠4，∵∠1＝∠3，∴∠2＝180°－∠1＝70°，故本题选B.9. 如图，在下列条件中，不能．．判定直线a与b平行的是( )A. ∠1＝∠2B. ∠2＝∠3C. ∠3＝∠5D. ∠3＋∠4＝180°9. C【解析】逐项分析如下：选项逐项分析正误A∵∠1＝∠2，即同位角相等，两直线平行，∴a∥b √B∵∠2＝∠3，即内错角相等，两直线平行，∴a∥b √∵∠3、∠5既不是a与b被第三直线所截的同位角，也不是内错角，×C∴∠3＝∠5，不能够判定a与b平行D∵∠3＋∠4＝180°，即同旁内角互补，两直线平行，∴a∥b √10. 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝50°，那么∠2的度数是( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°10. B 【解析】如解图，∠1＋∠3＝90°，∴∠3＝90°－∠1＝90°－50°＝40°，由平行线性质得∠2＝∠3＝40°.11. 如图所示，AB ∥CD ，EF ⊥BD ，垂足为E ，∠1＝50°，则∠2的度数为( )A . 50°B . 40°C . 45°D . 25°11. B 【解析】∵EF ⊥BD ，∠1＝50°，∴∠D ＝90°－50°＝40°，∵AB ∥CD ，∴∠2＝∠D ＝40°.第10题图 第11题图 第12题图 第13题图12. 如图，AB ∥CD ，直线EF 与AB ，CD 分别交于点M ，N ，过点N 的直线GH 与AB 交于点P ，则下列结论错误的是( )A . ∠EMB ＝∠END B . ∠BMN ＝∠MNC C . ∠CNH ＝∠BPGD . ∠DNG ＝∠AME12. D 【解析】A.两直线平行，同位角相等，∴∠EMB ＝∠END ；B.两直线平行，内错角相等，∴∠BMN ＝∠MNC ；C.两直线平行，同位角相等，∴∠CNH ＝∠APH ，又∠BPG ＝∠APH ，∴∠CNH ＝∠BPG ；D.∠DNG 和∠AME 无法推导数量关系，故不一定相等，答案为D.13. 如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠P＝________°.13. 75 【解析】如解图，过点P 作PH ∥a ∥b ，∴∠FPH ＝∠1，∠EPH ＝∠2，又∵∠1＝45°，∠2＝30°，∴∠EPF ＝∠EPH ＋∠HPF ＝30°＋45°＝75°.命题点4 命 题【命题概况】命题考查的知识点比较多，一般几个知识点结合考查，考查形式有：①下面说法错误(正确)的是；②写出命题…的逆命题；③能说明…是假命题的反例．【命题趋势】命题为新课标新增内容，考查知识比较综合，是全国命题点之一．14. (2016宁波)能说明命题“对于任何实数a ，|a|＞－a”是假命题的一个反例可以是( )A . a ＝－2B . a ＝13C . a ＝1D . a ＝ 214. A 【解析】由于一个正数的绝对值是它本身，它的相反数是一个负数，所以当a ＝13，1，2时，|a |>－a 总是成立，当a ＝－2时，|－2|＝2＝－(－2)，此时|a |＝－a ，故本题选A.15. 写出命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b”的逆命题．．．：________________________． 15. 如果3a ＝3b ，那么a ＝b 【解析】命题由条件和结论构成，则其逆命题只需将原来命题的条件和结论互换即可，即将结论作为条件，将条件作为结论. ∵命题“如果a ＝b ，那么3a ＝3b ，”中条件为“如果a ＝b ”，结论为“那么3a ＝3b ”，∴其逆命题为“如果3a ＝3b ，那么a ＝b ”．中考冲刺集训一、选择题1. 如图，AB∥CD，DA⊥AC，垂足为A，若∠ADC＝35°，则∠1的度数为( )A. 65°B. 55°C. 45°D. 35°第1题图第2题图第3题图2. 如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E.若∠C＝50°，则∠AED＝( )A. 65°B. 115°C. 125°D. 130°3. 如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°36′，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是( )A．75°36′B．75°12′C．74°36′D．74°12′二、填空题4. 如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝50°，则∠A＝________.第4题图第5题图第6题图5. 如图，直线CD∥EF，直线AB与CD、EF分别相交于点M、N，若∠1＝30°，则∠2＝________．6. 如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放．若∠EMB＝75°，则∠PNM等于________度．7. 如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD.若∠1＝54°，则∠2＝________°.第7题图第8题图第9题图8. 如图，AB∥CD∥EF，若∠A＝30°，∠AFC＝15°，则∠C＝________．9.如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝________．答案与解析：1. B【解析】∵DA⊥AC，∠ADC＝35°，∴∠ACD＝90°－∠ADC＝90°－35°＝55°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠ACD＝55°，故选B.2. B【解析】∵AB∥CD，∴∠C＋∠CAB＝180°，∵∠C＝50°，∴∠CAB＝130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝12∠CAB＝65°.又∵AB∥CD，∴∠AED＋∠EAB＝180°，∴∠AED＝180°－∠EAB＝180°－65°＝115°.3. B【解析】根据平面镜反射原理可知，∠ADC＝∠ODE，∵DC∥OB，∴∠ADC＝∠AOE，∴∠ODE＝∠AOE＝37°36′，∴∠DEB＝∠ODE＋∠AOE＝37°36′＋37°36′＝75°12′，故选B.4. 50°5. 30°6. 307. 72【解析】∵CD∥AB，∴∠CBA＝∠1＝54°，∠ABD＋∠CDB＝180°，∵CB平分∠ABD，∴∠DBC＝∠CBA＝54°，∴∠CDB＝180°－54°－54°＝72°，∴∠2＝∠CDB＝72°.8. 15°【解析】由两直线平行，内错角相等，可得∠A＝∠AFE＝30°，∠C＝∠CFE，由∠AFC＝15°，可得∠CFE＝∠C＝∠AFE－∠AFC＝15°.第9题解图9. 2【解析】如解图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OP平分∠AOB，∴PD＝PE，∠AOB＝2∠AOP＝30°，∵PC∥OA，∴∠ECP＝∠AOB＝30°，∴PE＝12PC＝2，∴PD＝PE＝2.。
平行线与相交线的性质
平行线与相交线的性质平行线和相交线是几何学中的基本概念，它们在我们的日常生活中随处可见。
了解平行线和相交线的性质对于我们理解几何学的基本原理和应用是至关重要的。
本文将探讨平行线和相交线的性质，以及它们在实际生活中的应用。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的线。
平行线的性质包括以下几点：1. 平行线具有相同的斜率：在平面直角坐标系中，如果两条线的斜率相等，那么它们是平行线。
这是因为斜率代表了线的倾斜程度，如果两条线的倾斜程度相同，它们就不可能相交。
2. 平行线的对应角相等：当平行线与一条横穿它们的直线相交时，对应角是相等的。
对应角是指位于平行线的同一侧，与横穿线相交的两个角。
这个性质可以通过证明两组对应角的和等于180度来得到。
3. 平行线的内角和是180度：当两条平行线被一条横穿线相交时，内角和是180度。
这是因为内角和等于对应角的和，而对应角是相等的。
二、相交线的性质相交线是指在同一个平面上，交于一点的两条线。
相交线的性质包括以下几点：1. 相交线的交点是唯一的：当两条线相交时，它们交于一个唯一的点。
这个性质可以通过反证法来证明，假设两条线交于两个不同的点，然后推导出矛盾。
2. 相交线的对应角相等：当两条相交线被一条横穿线相交时，对应角是相等的。
对应角是指位于相交线的同一侧，与横穿线相交的两个角。
这个性质可以通过证明两组对应角的和等于180度来得到。
3. 相交线的垂直角相等：当两条相交线互相垂直时，它们的垂直角是相等的。
垂直角是指相交线之间的角，其度数为90度。
这个性质可以通过证明两组垂直角的和等于180度来得到。
三、平行线和相交线的应用平行线和相交线的性质在实际生活中有许多应用。
以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行线和相交线的性质被广泛应用。
建筑师使用平行线来设计平行的墙壁和天花板，以增加空间的感觉。
他们还使用相交线来确定建筑物的结构和布局。
2. 道路交通：在道路交通中，平行线和相交线的性质被用来设计交叉口和标记道路。
讲解平行线和相交线的定义和性质
讲解平行线和相交线的定义和性质平行线和相交线是几何学中重要的概念，对于我们研究和理解平面几何学有着重要的意义。
本文将对平行线和相交线的定义和性质进行讲解，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面上永不相交的两条直线。
在几何学中，我们通常用符号“//”表示平行关系。
下面是平行线的一些主要性质：1. 平行线具有等夹角性质：当一条直线与两条平行线相交时，所形成的内部角和外部角相等。
这一性质可以用来证明两条直线是否平行。
2. 平行线的任意两对内角互补：当两条平行线被一条横切直线相交时，形成的同位角（位于平行线之间的对应角）互补，即其和为180度。
3. 平行线的任意两对外角相等：当两条平行线被一条横切直线相交时，形成的外部角（位于两直线不同边上的对应角）相等。
二、相交线的定义和性质相交线是指在同一个平面上交于一点的两条直线。
相交线的定义相对简单明了，但是其性质却非常重要。
下面是相交线的一些主要性质：1. 相交线的任意两对内角互补：当两条相交线被一条横切直线相交时，形成的内部角互补，即其和为180度。
这一性质可以用来证明两条直线是否相交。
2. 相交线的同位角相等：当两条相交线被一条横切直线相交时，形成的同位角相等。
同位角是指位于两直线同侧的对应角。
3. 相交线的交点：无论相交线如何延长，它们都会在无限远处相交于一点，这个点被称为交点。
交点是平行线和相交线的重要性质之一。
总结：平行线和相交线是平面几何学中最基本的概念之一。
平行线是指在同一个平面上永不相交的两条直线，而相交线是指在同一个平面上交于一点的两条直线。
平行线和相交线有着一些共同的性质，比如内角互补和同位角相等。
理解和掌握这些性质，可以帮助我们解决与平行线和相交线相关的几何问题。
对于平行线和相交线的定义和性质的讲解到此结束。
希望通过本文的阐述，读者能够对平行线和相交线的概念有更清晰的认识，并能够熟练地运用它们来解决几何学问题。
广东中考高分突破课件：第13讲 线、角、相交线与平行线
3．角平分线 角平分线上的点到角两边的距离 相等 4.平行线 （1 ）过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2 ）平行线的性质：两条直线平行， 同位角 相等，内错角 (3)平行线的判定： 同位角 相等，或内错角 相等， 同旁内角 互补． 互补，两条直线平行． 相等，或 同旁内角 ， 到角两边距离相等的点在 角平分线上 .
7. （2013 重庆） 如图， AB∥CD， AD 平分∠BAC， 若∠BAD=70°， 那么∠ACD 的度数为 （ A ） A．40° B．35° C．50° D．45°
★考点梳理★
1.直线、射线、线段与角 (1)直线公理：经过两点有且只有一条直线．直线是向两方无限延伸的，直线没有端点． (2)射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这点叫做射线的端点，射线向一方无限延伸， 射线只有一个端点． (3)线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段． (4)两点确定一条直线，两点之间线段最短，两点间线段的长度叫两点间距离． （5） 1 =60 ， 1 =60 . （6）1 周角=2 平角=4 直角=360 ． （7）如果两个角的和等于 90 ，就说这两个角互为余角，同角或等角的余角相等；如果 两个角的和等于 180 ，就说这两个角互为补角，同角或等角补角相等． 2.对顶角 一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，则称这两个角是对顶角，对顶角 相等．
35
°．
思路点拨：根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断 OQ 是∠AOB 的平分 线，然后根据角平分线的定义解答即可．
5.（2013 济南）如图，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出 这一现象的原因 两点之间线段最短 ．
思路点拨： 根据线段的性质解答即可．
初中数学学会使用平行线与相交线解决问题
初中数学学会使用平行线与相交线解决问题在初中数学中，平行线与相交线的概念极为重要，它们具有广泛的应用。
通过熟练掌握平行线与相交线的性质和定理，我们能够解决许多与角度、长度、面积等相关的问题。
本文将重点探讨如何使用平行线与相交线解决数学问题。
一、平行线与角度问题1. 直线与平行线的夹角关系首先，我们知道两条直线相交时，它们之间的夹角为180度。
当一条直线与两条平行线相交时，两条平行线与这条直线所形成的夹角是相等的。
这是因为平行线之间的夹角是相等的。
2. 平行线切割三角形内、外角关系当一条直线与两条平行线相交时，被这两条平行线切割的三角形内、外角之间有着特定的关系。
根据数学原理，被切割的三角形内角之和为180度，而外角是其对应内角的补角。
因此，我们可以利用平行线所创造的内角和外角关系来解决一些涉及角度的问题。
二、平行线与长度问题1. 平行线分割线段比例关系当一条直线与两条平行线相交时，由这两条平行线所切割的线段之间存在着特定的比例关系。
这个比例关系被称为平行线分割线段的基本定理。
根据基本定理，我们可以确定两条平行线所创造的线段之间的长度比例，从而解决一些涉及线段长度的问题。
三、平行线与面积问题1. 平行线切割平行四边形面积关系当一条直线与两条平行线相交时，被这两条平行线所切割的平行四边形之间存在着特定的面积关系。
根据这一关系，我们可以计算出各个部分的面积，进而解决一些平行四边形面积相关的问题。
2. 平行线切割平行四边形面积之和关系当两条直线分别与两条平行线相交时，被这两条平行线所切割的平行四边形的面积之和等于整个平行四边形的面积。
利用这一关系，我们可以通过已知条件计算出未知面积，从而解决一些涉及平行四边形面积和未知变量的问题。
综上所述，平行线与相交线在初中数学中具有重要的应用价值。
通过熟练掌握平行线与相交线的性质、定理和应用方法，我们能够灵活运用它们解决各种涉及角度、长度、面积等数学问题。
这不仅有助于我们提高解决问题的能力，还能够加深对数学知识的理解和记忆。
初中几何辅助线作法大全
线，角，相交线，平行线规律1.假如平面上有n (n ≥2)个点,其中任何三点都不在同一直线上,那么每两点画一款直线,一共可以画出12n (n －1)款.规律2.平面上地n 款直线最多可把平面分成〔12n (n +1)+1〕个部分.规律3.假如一款直线上有n 个点,那么在这个图形中共有线段地款数为12n (n －1)款.规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段,这两款线段地中点地距离等于线段长地一半.例：如图,B 在线段AC 上,M 是AB 地中点,N 是BC 地中点.求证：MN =12AC 证明：∵M 是AB 地中点,N 是BC 地中点∴AM = BM =12AB ,BN = CN = 12BC ∴MN = MB +BN = 12AB + 12BC = 12(AB + BC )∴MN =12AC练习：1.如图,点C 是线段AB 上地一点,M 是线段BC 地中点.求证：AM =12(AB + BC ) 2.如图,点B 在线段AC 上,M 是AB 地中点,N 是AC 地中点.求证：MN =12BC 3.如图,点B 在线段AC 上,N 是AC 地中点,M 是BC 地中点.求证：MN =12AB 规律5.有公共端点地n 款射线所构成地交点地个数一共有12n (n －1)个.规律6.假如平面内有n 款直线都经过同一点,则可构成小于平角地角共有2n （n －1）个.规律7. 假如平面内有n 款直线都经过同一点,则可构成n （n －1）对对顶角.规律8.平面上若有n （n ≥3）个点,任意三个点不在同一直线上,过任意三点作三角形一共可作出16n (n －1)(n －2）个.规律9.互为邻补角地两个角平分线所成地角地度数为90o .规律10.平面上有n 款直线相交,最多交点地个数为12n (n －1)个.规律11.互为补角中较小角地余角等于这两个互为补角地角地差地一半.N M CB A MC BA N M CB A N MCB A规律12.当两直线平行时,同位角地角平分线互相平行,内错角地角平分线互相平行,同旁内角地角平分线互相垂直.例：如图,以下三种情况请同学们自己证明.规律13.已知AB ∥DE ,如图⑴～⑹,规律如下：规律14.成“8”字形地两个三角形地一对内角平分线相交所成地角等于另两个内角和地一半.例：已知,BE ，DE 分别平分∠ABC 和∠ADC ,若∠A = 45o ,∠C = 55o ,求∠E 地度数.解：∠A ＋∠ABE =∠E ＋∠ADE ①∠C ＋∠CDE =∠E ＋∠CBE ②①＋②得∠A ＋∠ABE ＋∠C ＋∠CDE =∠E ＋∠ADE ＋∠E ＋∠CBE ∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ,∴∠ABE =∠CBE ,∠CDE =∠ADE ∴2∠E =∠A ＋∠C∴∠E =12(∠A ＋∠C )1()∠ABC+∠BCD+∠CDE=360︒E D C BA +=∠CDE∠ABC ∠BCD 2()E DCBA-=∠CDE ∠ABC∠BCD 3()E DC BA-=∠CDE∠ABC ∠BCD 4()E D CBA +=∠CDE ∠ABC∠BCD 5()EDCB A +=∠CDE∠ABC ∠BCD 6()EDCBANME DBCAH GFE D BCAHGFED BCAH GFEDBCA∵∠A =45o,∠C =55o,∴∠E =50o三角形部分规律15．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,假如直接证不出来,可连结两点或延长某边构造三角形,使结论中出现地线段在一个或几个三角形中,再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图,已知D，E为△ABC内两点,求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.证法（一）：将DE向两边延长,分别交AB，AC于M，N在△AMN中, AM＋AN＞MD＋DE＋NE①在△BDM中,MB＋MD＞BD②在△CEN中,CN＋NE＞CE③①＋②＋③得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE证法（二）延长BD交AC于F,延长CE交BF于G,在△ABF和△GFC和△GDE中有,①AB＋AF＞BD＋DG＋GF②GF＋FC＞GE＋CE③DG＋GE＞DE∴①＋②＋③有AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时,常通过引辅助线,把求证地量（或与求证相关地量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图P为△ABC内任一点,求证：12(AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC规律16．三角形地一个内角平分线与一个外角平分线相交所成地锐角,等于第三个内角地一半.例：如图,已知BD为△ABC地角平分线,CD为△ABC地外角∠ACE地平分线,它与BD地延长线交于D.求证：∠A = 2∠D证明：∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACE地平分线∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2∵∠A = ∠ACE－∠ABC∴∠A = 2∠1－2∠2又∵∠D =∠1－∠2∴∠A =2∠D规律17. 三角形地两个内角平分线相交所成地钝角等于90o加上第三个内角地一半.例：如图,BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB, 求证：∠BDC = 90o＋12∠A证明：∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACBFGNMEDBA21C EDBA∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180o∴2(∠1＋∠2)= 180o－∠A①∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)∴(∠1＋∠2) = 180o－∠BDC②把②式代入①式得2(180o－∠BDC)= 180o－∠A 即：360o－2∠BDC =180o－∠A ∴2∠BDC = 180o＋∠A∴∠BDC = 90o＋12∠A规律18. 三角形地两个外角平分线相交所成地锐角等于90o减去第三个内角地一半.例：如图,BD，CD分别平分∠EBC，∠FCB, 求证：∠BDC = 90o－12∠A证明：∵BD，CD分别平分∠EBC，∠FCB∴∠EBC = 2∠1，∠FCB = 2∠2∴2∠1 =∠A＋∠ACB①2∠2 =∠A＋∠ABC②①＋②得2（∠1＋∠2）= ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A2（∠1＋∠2）= 180o＋∠A∴（∠1＋∠2）= 90o＋12∠A∵∠BDC = 180o－(∠1＋∠2)∴∠BDC = 180o－(90o＋12∠A)∴∠BDC = 90o－12∠A规律19. 从三角形地一个顶点作高线和角平分线,它们所夹地角等于三角形另外两个角差（地绝对值）地一半.例：已知,如图,在△ABC中,∠C＞∠B, AD⊥BC于D, AE平分∠BAC.求证：∠EAD = 12(∠C－∠B)证明：∵AE平分∠BAC∴∠BAE =∠CAE =12∠BAC∵∠BAC =180o－(∠B＋∠C)∴∠EAC = 12〔180o－(∠B＋∠C)〕∵AD⊥BC∴∠DAC = 90o－∠C∵∠EAD = ∠EAC－∠DACDCBA2121FEDCBAE D CBA∴∠EAD = 12〔180o －(∠B ＋∠C )〕－(90o －∠C ) = 90o －12(∠B ＋∠C )－90o ＋∠C= 12(∠C －∠B )假如把AD 平移可以得到如下两图,FD ⊥BC 其它款件不变,结论为∠EFD =12(∠C －∠B ).注意：同学们在学习几何时,可以把自己证完地题进行适当变换,从而使自己通过解一道题掌握一类题,提高自己举一反三，灵活应变地能力.规律20.在利用三角形地外角大于任何和它不相邻地内角证明角地不等关系时,假如直接证不出来,可连结两点或延长某边,构造三角形,使求证地大角在某个三角形外角地位置上,小角处在内角地位置上,再利用外角定理证题.例：已知D 为△ABC 内任一点,求证：∠BDC ＞∠BAC证法（一）：延长BD 交AC 于E ,∵∠BDC 是△EDC 地外角,∴∠BDC ＞∠DEC同理：∠DEC ＞∠BAC ∴∠BDC ＞∠BAC 证法（二）：连结AD ,并延长交BC 于F∵∠BDF 是△ABD 地外角,∴∠BDF ＞∠BAD 同理∠CDF ＞∠CAD∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC规律21.有角平分线时常在角两边截取相等地线段,构造全等三角形. 例：已知,如图,AD 为△ABC 地中线且∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,求证：BE ＋CF ＞EF证明：在DA 上截取DN = DB ,连结NE ，NF ,则DN = DC 在△BDE 和△NDE 中,DN = DB∠1 = ∠2ED = ED∴△BDE ≌△NDE ∴BE = NE同理可证：CF = NF在△EFN 中,EN ＋FN ＞EF ∴BE ＋CF ＞EF规律22. 有以线段中点为端点地线段时,常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知,如图,AD 为△ABC 地中线,且∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,求证：BE ＋CF ＞EF证明：延长ED 到M ,使DM = DE ,连结CM ，FMABCDEF FE DCBA FABC DE D C B A 4321NFEDCBABD = CD ∠1 = ∠5ED = MD∴△BDE ≌△CDM ∴CM = BE又∵∠1 = ∠2,∠3 = ∠4∠1＋∠2＋∠3 ＋ ∠4 = 180o ∴∠3 ＋∠2 = 90o 即∠EDF = 90o∴∠FDM = ∠EDF = 90o △EDF 和△MDF 中ED = MD ∠FDM = ∠EDF DF = DF∴△EDF ≌△MDF ∴EF = MF∵在△CMF 中,CF ＋CM ＞MF BE ＋CF ＞EF（此题也可加倍FD ,证法同上）规律23. 在三角形中有中线时,常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知,如图,AD 为△ABC 地中线,求证：AB ＋AC ＞2AD证明：延长AD 至E ,使DE = AD ,连结BE∵AD 为△ABC 地中线∴BD = CD在△ACD 和△EBD 中BD = CD ∠1 = ∠2AD = ED∴△ACD ≌△EBD∵△ABE 中有AB ＋BE ＞AE ∴AB ＋AC ＞2AD规律24.截长补短作辅助线地方式截长法：在较长地线段上截取一款线段等于较短线段。
《相交线与平行线同位角、内错角、同旁内角》
04
05
如果两条相交直线互相垂直， 则它们所成的四个角都是直
角。
平行线定义及性质
01
定义：在同一平面内， 两条永不相交的直线叫 做平行线。
02
性质：平行线具有以下 性质
03
平行线之间的距离是恒 定的，即两平行线间的 任意两点间的距离都相 等。
04
平行线被第三条直线所 截，同位角相等，内错 角相等，同旁内角互补。
《相交线与平行线同位角、 内错角、同旁内角》
contents
目录
• 引言 • 相交线与平行线基本概念 • 同位角、内错角、同旁内角概念解析 • 图形中的特殊角度关系探讨 • 典型例题解析与思路拓展 • 练习题与答案解析
01 引言
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目的和背景
探究相交线和平行线 的性质
掌握相关定理和性质， 为解决几何问题提供 工具
练习题
两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角的角平分 线____。
练习题
已知直线a、b被直线c所截，且a∥b，∠1=70°，则∠2=____°。
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研究同旁内角的关系。当两条平行线被 一条横线所截时，同旁内角的和等于 180°，这也是一个重要的定理。
通过以上的学习和拓展，我们可以进一 步探索平行线和相交线的其他性质和应 用，例如平行线的判定、相交线的角平 分线等。同时，也可以将这些知识应用 到实际生活中，例如在建筑设计、工程 测量等领域中利用平行线和相交线的性 质进行绘图和计算。
04
内错角
两条直线被第三条直线所截，位于这 两条直线之间且分别在第三条直线的 两侧的两个内角称为内错角。
02 相交线与平行线 基本概念
相交线与平行线知识点
相交线与平行线知识点相交线与平行线是几何学中的核心概念，作为直线的特殊情况，它们在解决几何问题以及应用于实际生活中都有着重要的作用。
本文将从定义、性质、应用等多个方面详细介绍相交线与平行线的知识点。
一、相交线的定义与性质1.定义：相交线是指在平面上两条直线相交形成的交点。
两条直线相交时，形成四个角，其中两个相邻角的和为180度，这是相交线的核心性质。
2.垂直相交线：垂直相交线是指两条相交线所形成的角为90度。
垂直相交线的特殊性质使得它在许多几何问题中起着重要的作用，例如在平面坐标系中，直角坐标系的两条坐标轴就是垂直相交线。
3.平行线：平行线是指在同一平面中永远不会相交的两条直线。
平行线间的距离在任意两点间是相等的，这也是平行线的核心性质。
4.平行线的判定：平行线的判定方法有很多，最基本的方法是使用直线的斜率。
当两条直线的斜率相同且不相交时，它们就是平行线。
除此之外，还有使用过直线上两点之间的距离、点斜式等方法判定平行线。
5.平行线的性质：平行线具有多个性质，如在平行线中，对应角、错位内角、同位内角的大小关系是相等的，这些性质为解决几何问题提供了重要的依据。
二、相交线与平行线的应用1.平行线的应用：平行线在实际生活和工程中有广泛的应用。
例如，在建筑工程中，为了保证建筑物的稳定性，常常需要使用平行线技术绘制平行线，使得构件之间保持一定的距离；在道路规划中，为了确保路线在地理空间上的平行性，也需要使用平行线。
2.相交线的应用：相交线在几何问题的解决中具有重要的应用价值。
如在解决三角形相关问题中，能利用两条相交线划分出的角来求解未知量；在解决射影几何问题时，经常会利用相交线的性质进行几何推理。
三、相交线与平行线的扩展知识点1.倾斜平行线：除了平行于坐标轴的水平平行线和垂直平行线之外，还存在倾斜平行线。
倾斜平行线是指在平面上倾斜但永远不相交的两条直线。
2.交错平行线：交错平行线是指两组平行线相互交错而不相交的情况。
相交线与平行线最全知识点
相交线与平行线最全知识点1.平行线的定义：在平面上，如果两条直线在平面内没有交点，那么它们就是平行线。
记作AB，CD。
2.平行线性质：-平行线朝向差：平行线的两个方向向量相等。
-平行线对应角相等：如果两条平行线被截取为若干对应的交线段，那么这些交线段的对应角相等。
-平行线的内错性：如果一条直线与一对平行线相交，那么对这两条平行线上的任意一点A及其在第一条直线上的任意一点B，有AB，CD。
-平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
3.相交线的定义：在平面上，如果两条直线的方向向量不相等，那么它们就是相交线。
4.相交线性质：-相交线对应角相等：如果两条相交线被截取为若干对应的交线段，那么这些交线段的对应角相等。
-相交线的交点：两条相交线的交点是它们的唯一交点。
-相交线的截距恒等：如果两条相交线与同一直线相交，那么它们在这条直线上的截距相等。
5.平行线与垂直线：-平行线与垂直线的性质：平行线与同一直线的垂线垂直；平行线的两个垂线方向向量相等。
-平行线的判定：如果两条直线的垂直方向向量相等，那么它们是平行线。
-直线倾斜角度和斜率：平行线的倾斜角度相等，斜率（如果存在）相等；垂直线的倾斜角度之和为90度，其中一个倾斜角度为负倾斜角度的倒数。
6.平行线的判定：-两条直线判定法：如果两条直线的倾斜角度相等，那么它们是平行线。
-点斜式判定法：如果一条直线的斜率k和一点在直线上，那么直线的方程为y-y1=k(x-x1)；如果两条直线的斜率相等且截距不相等，那么它们是平行线。
- 截距式判定法：如果一条直线的方程为y = kx + b，那么它与直线y = kx + b1平行当且仅当b = b17.平行线的应用：-常见图形的平行线特性：矩形的对边平行，对角线相等；平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分。
-平行线在解题中的应用：根据平行线的性质，可以解决一些几何问题，如求证两条线段平行、证明一个四边形是平行四边形等。
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角、相交线与平行
1.平行线的性质.
【例1】如图,BC⊥AE于点C,CD∥AB,∠B=55°,则∠1等于().
A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 65°
【例2】如图,把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20°,那么∠2的度数是().
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
【例3】如图,直线l1∥l2,l3⊥l4,∠1=44°,那么∠2的度数().
A. 46°
B. 44°
C. 36°
D. 22°
2.平行线的判定.
【例4】(2014·湖南湘潭)如图,直线a,b被直线c所截,若满足,则a,b平行.
名师点拨
1.能记住点、线、面的概念.
2.能利用角的概念判断角的大小及角的表示方法;会进行角的换算;能正确区分角的大小;会进行角的和、差运算.
3.能区分补角、余角的概念,记住补角、余角的性质.
4.掌握角平分线定理和线段垂直平分线定理并能正确使用.
5.会画直线的垂线;能区分垂线、垂线段的联系与区别.
6.掌握平行的概念,会进行平行线的判断.
7.能利用直尺画直线的平行线;会作两平行线间的距离;能确定并准确度量两平行线间的距离.
【例1】如图,△ABC中,∠A=90°,点D在边AC上,DE∥BC.若∠1=155°,则∠B的度数为.
2.平行线的性质和判定的应用.
主要理解和掌握:(1)平行线的性质;(2)平行线的判定.
【例2】如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠P AB,∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以证明.
专项训练
一、选择题
1. (2014·四川峨眉山二模)如图,已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠COB.若∠BOD=70°,则∠COE的度数是().
A. 45°
B. 70°
C. 55°
D. 110°
(第1题)
(第2题)
2.如图,AB∥CD,O为CD上一点,且∠AOB=90°.若∠B=33°,则∠AOC的度数是().
A. 33°
B. 60°
C. 67°
D. 57°
3.将一副三角板按图中的方式叠放,则∠α等于().
A. 75°
B. 60°
C. 45°
D. 105°
(第3题)
(第4题)
4.如图,∠1与∠2是同位角,若∠2=65°,则∠1的大小是().
A. 25°
B. 65°
C. 115°
D. 不能确定
5.如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,AB=6,DE=3,则BC的长为().
A. 9
B. 6
C. 4
D. 3
(第5题)
(第6题)
6.如图,已知直线a∥b,∠1=40°,∠2=60°.则∠3等于().
A. 100°
B. 60°
C. 40°
D. 20°
二、填空题
7.将三角板ABC按下图放置,使其三个顶点分别落在三条平行直线上,其中∠CAB=90°,且CF恰好平分∠ACB.若∠CBA=40°,则∠DAC的度数是.
(第7题)
(第8题)
8.如图,∠1=∠2,∠3=40°.则∠4=.
9.如图AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°,则∠3=.
(第9题)
(第10题)
10.如图, 直线AB,CD相交于点E,EF⊥AB于点E,若∠CEF=59°,则∠AED的度数为.
三、解答题
11.已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:
(1)如图(1),当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60°,则CD=;
(2)如图(2),当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90°,则CD=;
(3)如图(3),当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的∠ACB的度数.
(第11题)
参考答案与解析
1. C[解析]
2. D[解析] ∠AOC=90°-33°=57°.
3. A[解析] ∠α=45°+(90°-60°)=75°.
4.D[解析]两直线平行同位角相等,如果不能确定两直线是平行线则不能确定同位角之间的关系.
5.A[解析]首先利用平行线判定两三角形相似,然后利用相似三角形对应边的比等于相似比求得线段BC的长即可.
6. A[解析]∠3=∠1+∠2=100°.
8. 140°[解析] ∠4=180°-∠3=140°.
9. 60°[解析] ∠3=180°-(∠1+180°-∠2)=60°.
10. 149°[解析]∵EF⊥AB于点E,∠CEF=59°,
∴∠AEC=90°-∠CEF=90°-59°=31°.
∴∠AED=180°-∠AEC=180°-31°=149°.
-
11.(1)33,(2)3632
(3)以点D为中心,将△DBC逆时针旋转60°,则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE.∴CD=ED,∠CDE=60°,AE=CB=a.
∴△CDE为等边三角形.
∴CE=CD.
如图(1),当点E,A,C不在一条直线上时,
有CD=CE<AE+AC=a+b;
如图(2),当点E,A,C在一条直线上时,
CD有最大值,CD=CD=a+b.
此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°,
∴∠ACB=120°.
因此当∠ACB=120°时,
CD有最大值a+b.
(第11题)。