大学物理教程课件讲义 周期震动

4.5 阻尼振动
前几节讨论的简谐振动都是在不计能量损耗条件下的理想 情况。实际上，弹簧振子、单摆、复摆这类机械振动系统在振 动过程中不可避免地要受到空气阻力等摩擦阻力作用。而在LC 电路这类电磁振荡系统中，线圈和导线不可能完全没有电阻。 所以，在振动过程中，机械能或电磁能总要逐渐转化为热量耗 散掉。这样的能量损耗作用称为摩擦阻尼或电磁阻尼。
4.1 简谐振动的运动学描述
图4.2 位移、速度、加速度与时间的关系
4.1 简谐振动的运动学描述
4.1.2 简谐振动的特征量
1.周期 频率 角频率
式(4-1)中的ω称为角频率，也称圆频率。我们知 道，简谐振动物体位置的变化具有时间周期性，以T表 示周期，即振动往复一次所经历的时间，在国际单位制 中，角频率ω的单位是弧度·秒-1（rad/s
轴的距离为h，求复摆的振 动周期。
图4.6 例4.3图
4.3 旋转矢量法
为了形象地描述简谐振动，进一步理解振幅、相位、角频率 等量的物理意义，更形象地描述简谐振动的周期性特征。我们常 采用一种比较直观的几何方法——旋转矢量法描述简谐振动。
如图4.7所示，自Ox轴的原点O作一矢量A，矢量的模等于振 幅A，使矢量A在如图平面内绕O点做逆时针方向的匀速转动，其 角速度的数值等于简谐振动的角频率ω，这个矢量A就称为旋转 矢量.设在t=0时，矢量A与x轴之间的夹角为φ，等于简谐振动的 初相。
4.6 受迫振动 共振
在近代物理学中，共振的概念已被推广，凡是有能量交换的 系统，在某状态下能使能量交换达到最大，就称为共振。
共振现象的应用极为普遍。收音机利用电磁共振来选台，乐 器利用共鸣来提高音响效果，核磁共振用于物质结构研究及医疗 诊断。而在桥梁、建筑、机械的设计和机器的安装中，则应使系 统的固有频率远离可能发生的周期性外力频率的概率，以避免共 振产生的破坏。
在角频率ω和振幅A已知的简谐振动中，根据式(4-1) 可知，振动物体在任意时刻t的位移和速度，即振子的运 动状态都由(ωt+φ)决定。(ωt+φ)是决定简谐振动状态 的物理量。
4.1 简谐振动的运动学描述
通常把A、ω及φ三个量称为描述简谐振动的三个特征量，因为只 要这三个量确定了，就可以写出简谐振动的运动方程，得到简谐振动 的全面信息.在下一节中我们会看到，A和φ由初始条件确定，而ω取 决于振动系统自身的动力学性质。
图4.11 振动合成矢量图
4.4 简谐振动的合成
例4.6 图4.12所示为两 个同方向、同频率简谐振动 的振动曲线。若这两个同方 向的简谐振动可叠加，求合 振动的振幅和相位。
图4.12 例4.6图
4.4 简谐振动的合成
4.4 简谐振动的合成
图4.13 例4.7图
4.4 简谐振动的合成
4.4.2 两个同方向不同频率简谐振动的合成拍
4.5 阻尼振动
4.5 阻尼振动
式(4-25)为小阻尼时阻尼振动的位移表达式，其中，A0和φ0是由初 始条件决定的两个积分常数，其振动曲线如图4.15所示。
图4.15 阻尼振动曲线
4.5 阻尼振动
4.5 阻尼振动
此时物体也不做往复运 动，对应的是小阻尼与过阻 尼之间的临界情况，与过阻 尼相比，物体从运动到静止 在平衡位置所经历的时间最 短，故称为临界阻尼。图 4.16反映的是三种不同情况
4.1 简谐振动的运动学描述
2.振幅
式(4-1)中的A称为振幅，表示简谐振动的物体偏离平 衡位置的最大位移的绝对值。它给出了物体的振动范围是 在+A和-A之间，反映了振动的强弱，描述了简谐振动的空
4.1 简谐振动的运动学描述
3.相位 初相
在简谐振动的运动方程中，(ωt+φ)称为简谐振动的 相位，初始时刻t=0的相位φ
设质点在一个方向上同时参与两个独立的同频率简谐振动。 每个简谐振动的运动方向均沿x轴方向，它们的角频率都是ω， 振幅分别为A1和A2，初相分别为φ1和φ2，则它们的运动方程分
x1=A1cos （ ωt+φ1 ） x2=A2cos （ωt+φ2 ）
x=x1+x2
4.4 简谐振动的合成
研究此问题有两种简便的方 法，用旋转矢量法求合振动的位 移将更加直观简便。如图4.11所 示，两个分振动的旋转矢量分别 为A1和A2. 当t=0时，它们与x轴 的夹角分别为φ1和φ2，在x轴上 的投影分别为x1及x2. A1与A2的 合矢量为A，而A在x轴上的投影 为 x=x1+x2，
4.6 受迫振动 共振
4.6 受迫振动 共振
1.振幅
由式(4-33)可知，稳态 受迫振动的位移振幅随策动 力的频率而改变，其变化情 况如图4.17所示。当策动力 的频率为某一特定值时，振 幅达到极大值。
图4.17 位移共振曲线
4.6 受迫振动 共振
2.速度
用类似的方法可以分析受迫振动时的速度振动，结论是，当 策动力的频率正好等于系统固有频率时，速度振幅达到最大值， 称为速度共振。在小阻尼的情况下，二者结论相同，可不加区分 。
4.2 简谐振动的动力学描述
4.2 简谐振动的动力学描述
由上述分析可知， 弹簧振子系统的动能和 弹性势能都是随时间t 做周期性变化的，如图 4.5所示，但其总能量 不随时间改变，即其机 械能守恒。
图4.5 弹簧谐振子的能量
4.2 简谐振动的动力学描述
例4.3 如图4.6所示，质量为 m的任意形状的物体，可绕光滑水 平轴O在铅直面内自由转动。将它 拉开一个微小角度θ后释放，物体 将绕O轴做微小的自由摆动。这样 的装置叫作复摆.若复摆对O轴的转 动惯量为J，复摆的质心C到O
4.1 简谐振动的运动学描述
图4.1 弹簧振子
4.1 简谐振动的运动学描述
由此可见，当物体做简谐振动时，其速度和加速度也随 时间作周期性变化，也可以说速度、加速度在做简谐振动。 速度和加速度简谐振动的周期与物体位移的振动周期是一样 的，只不过振幅、振动的步调不一致。图4.2给出了某简谐 振动的位移、速度、加速度与时间的关系。
mg－kh=0
图4.3 例4.1图
4.2 简谐振动的动力学描述
4.2.2 简谐振动的能量
在每一种运动形式中，采用能量的观点描述物理的运 动，这是物理学中非常重要的基本思路。仍然以弹簧振子为 例，来说明简谐振动系统的能量。在弹簧振子模型中，弹簧 的弹性势能就是系统的弹性势能，振子振动的动能就是系统 的动能。当物体的位移为x，速度为v时，弹簧振子的弹性势 能和动能分别为
如果两个简谐振动的振动方向相同而频率不同，那 么它们的合振动虽然仍与原来的振动方向相同，但不再 是简谐振动。下面先用解析法对其合成进行定量讨论。
为了使问题简化，假设两个简谐振动的振幅都为A， 初相都为φ
x1=Acos (2πν1t+φ) x2=Acos (2πν2t+φ)
4.4 简谐振动的合成
上式不符合简谐振动的定义，所以合振动不再是简谐振动。这样振幅就 随时间变化，且具有周期性，表现出振动忽强忽弱的现象，如图4.14所示。
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例4.4 一简谐振动的振 动曲线如图4.8(a)所示。求角 频率ω、初相φ及简谐振动的 运动方程。由振动曲线可以看 出，t=0时，x0=0，v0>0，与此 状态相对应的旋转矢量如图 4.8 (b) 所示。
图4.8 例4.4图
4.3 旋转矢量法
依据初始条件由旋转 矢量法来确定初相φ.如图 4.9所示，满足x0=0.06 m条 件，有P和Q两个点，但是 只有P点在x轴的投影沿x正 向运动。
。
图4.16
4.6 受迫振动 共振
阻尼振动中的振幅在减小，要维持有阻尼的振动系 统等幅振动，必须给振动系统不断地补充能量。如果对 振动系统施加一个周期性的外力，其所发生的振动称为 受迫振动。这个周期性外力称为策动力。许多实际的振 动属于受迫振动，如声波引起耳膜的振动、机器运转时 引起基座的振动等。
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第4章 周期振动
4.1 简谐振动的运动学描述
4.4
简谐振动的合成
4.2 简谐振动的动力学描述
4.5
阻尼振动
4.3 旋转矢量法
4.6 受迫振动 共振
4.1 简谐振动的运动学描述
4.1.1 简谐振动的运动方程
下面以弹簧振子为例讨论简谐振动的规律。弹簧振子是 理想模型，实际并不存wenku.baidu.com。只有满足不考虑物体的形变和可 忽略弹簧的质量的条件时，弹簧和物体组成的系统才可以称 为弹簧振子，如图4.1所示。弹簧振子系统中轻弹簧的一端 固定，另一端系一个质量为m的物体。
图4.14 两个同方向不同频率的简谐振动的合成
4.4 简谐振动的合成
拍是一种很重要的现象，它在声学、电磁振荡和无线电技 术中都有广泛的应用.例如，若已知一个高频振动的频率，使 之与另一频率相近但未知的振动叠加，通过测量拍频，我们就 可以进行未知频率的测量.在无线电技术中，调幅、调频以提 高传输信号的能力，也是利用了拍的规律。拍现象还广泛运用 于速度测量、地面卫星跟踪等技术领域。
4.3 旋转矢量法
这正是式(4-1)所表示的简 谐振动的运动方程。由此可见， 匀速旋转的矢量A，其端点M在 x 轴上的投影点P的运动是简谐运 动。在矢量A的转动过程中，M点 做匀速圆周运动，对应的圆周称 为参考圆，故旋转矢量法又称参 考圆法。
图4.7 旋转矢量法
4.3 旋转矢量法
4.3 旋转矢量法
4.2 简谐振动的动力学描述
4.2.1 简谐振动的动力学方程
以弹簧振子为例，进行简谐振动的动力学分析，见图
4.1.弹簧振子系统的平衡位置位于x轴的坐标原点O，物体沿x
轴方向运动.根据胡克定律，在小幅度振动情况下，物体所受
的弹性力F与物体离开平衡位置的位移x
F=-kx
(4-7)
4.2 简谐振动的动力学描述
图4.9 例4.5图
4.3 旋转矢量法
由x=-6 cm，向x轴负方向 运动这一已知条件可知，这一 运动状态对应的旋转矢量位置 如图4.10所示，其旋转矢量与 Ox轴的夹角。旋转矢量逆时针 转动到与Ox轴。物体第一次回 到平衡位置。
图4.10
4.4 简谐振动的合成
4.4.1 两个同方向同频率的简谐振动的合成
4.2 简谐振动的动力学描述
4.2 简谐振动的动力学描述
例4.1 垂直悬挂的弹簧下端系一 质量为m的小球，静平衡时弹簧伸长量 为h.先用手将重物上托使弹簧保持自然 长度然后放手。试证明放手后小球做简 谐振动，并写出其振动的运动学方程。
证明：取静平衡位置为坐标原点， 如图4.3所示。当小球挂在弹簧上