高考密码数学猜题卷
高考密码猜题卷新课标版
高考密码猜题卷[新课标版]注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上、考试结束，试题和答题卡一并收回．3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式： 球的表面积公式：S ＝4πR 2，其中R 是球的半径．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率： P n （k ）＝C kn p k （1-p ）n-k （k ＝0，1，2，…，n ）． 如果事件A ．B 互斥，那么P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）．如果事件A ．B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）·P （B ）． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}{}2|log(3),|540A x y x B x x x ==-=-+<，则A B =I（ ）A ．∅B ．()3,4C ．()2,1-D ．()4.+∞2．若复数z 与2(2)8z i +-都是纯虚数，则2z z +所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．一个空间几何体的三视图如下，则这个空间几何体的体积是（ ）A ．423π+B ．823π+C ．413π+D ．108π+4．已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填的是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．165．已知,a b r r 是夹角为120o的单位向量，则向量a b λ+r r 与2a b -r r 垂直的充要条件是实数λ的值为（ ）A ．54B ．52C ．34D ．326．设32:()21p f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，函数2:()43q g x x x m =-+不存在零点则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()ln f x x x =-，则有（ ）A ．132()()()323f f f << B ．231()()()323f f f << C ．213()()()332f f f << D ．321()()()233f f f <<8．已知函数()sin()(,0)4f x x x πωω=+∈>R 的最小正周期为π，为了得到函数()cos()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度9．在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，12,F F 分别是其左右焦点，若122PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围是 （ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦10．若不等式组0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，，，表示的平面区域是一个四边形，则a 的取值范围是（）A ．43a ≥ B ．01a <≤C ．413a <<D ．01a <≤或43a ≥11．设函数()()ln f x g x x x =++，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ）A ．4y x =B ．48y x =-C ．22y x =+D ．112y x =-+12．市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式的种数是 （ ） A ．240 B ．480 C ．600 D ．720第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上。
高考密码数学猜题卷2
高考密码猜题卷理科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-= ，，，一、选择题1．函数y =）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在ABC △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ，， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，，D ．(10)(01)- ，， 10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A ．B ．C ．D ．ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13BCD ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为3，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．CDE AB方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上．．．．．作答无效．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<； （Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．。
东北三校(哈尔滨师大附中2024年高三高考猜题卷(一)数学试题
东北三校（哈尔滨师大附中2024年高三高考猜题卷（一）数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )A ．2B ．455C ．4105D ．81052．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．143．i 是虚数单位，21iz i=-则||z =（ ） A ．1B ．2C 2D ．224．已知椭圆22:13x C y +=内有一条以点11,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦AB ，则直线AB 的方程为( )A ．3320x y --=B ．3320x y -+=C ．3340x y +-=D ．3340x y ++=5．函数()256f x x x =-+ ）A ．{2x x ≤或}3x ≥ B ．{3x x ≤-或}2x ≥- C ．{}23x x ≤≤D ．{}32x x -≤≤-6．若双曲线22214x y b -=的离心率72e =，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A ．23B ．2C ．3D ．17．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b +=-”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解:8．已知函数()()3sin 3cos 0f x x x ωωω=+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min2x x π-=，则下列判断正确的是（ ）A ．16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π=D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭9．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ） A ．()12,-B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,111．函数()xf x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．12．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考密码数学猜题卷3
高考密码猜题卷[新课标版]注意事项： 1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上、考试结束，试题和答题卡一并收回．3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式： 球的表面积公式：S ＝4πR 2，其中R 是球的半径．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率： P n （k ）＝C kn p k （1-p ）n-k （k ＝0，1，2，…，n ）． 如果事件A ．B 互斥，那么P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）．如果事件A ．B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）·P （B ）． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}2|log(3),|540A x y x B x x x ==-=-+<，则A B =（ ）A ．∅B ．()3,4C ．()2,1-D ．()4.+∞ 2．若复数z 与2(2)8z i +-都是纯虚数，则2z z +所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．一个空间几何体的三视图如下，则这个空间几何体的体积是（ ） A ．423π+B ．823π+C ．413π+D ．108π+4．已知流程图如右图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填的是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．165．已知,a b是夹角为120的单位向量，则向量a b λ+ 与2a b - 垂直的充要条件是实数λ的值为（ ）A ．54B ．52C ．34D ．326．设32:()21p f x x x m x =+++在()-∞+∞，内单调递增，函数2:()43q g x x x m =-+不存在零点则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()ln f x x x =-，则有 （ ）A ．132()()()323f f f <<B ．231()()()323f f f <<C ．213()()()332f f f <<D ．321()()()233f f f <<8．已知函数()sin()(,0)4f x x x πωω=+∈>R 的最小正周期为π，为了得到函数()cos()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度9．在椭圆22221(0)x y a b ab+=>>中，12,F F 分别是其左右焦点，若122PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦10．若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，，，表示的平面区域是一个四边形，则a 的取值范围是（ ）A ．43a ≥B ．01a <≤C ．413a <<D ．01a <≤或43a ≥11．设函数()()ln f x g x x x =++，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ）A ．4y x =B ．48y x =-C ．22y x =+D ．112y x =-+12．市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式的种数是 （ ）A ．240B ．480C ．600D ．720第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上。
2022年高三数学新高考测评卷(猜题卷八)(1)
一、单选题二、多选题1. 某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（ ）A ．48种B ．32种C ．24种D ．16种2. 设全集，集合，，则实数的值为（ ）A ．0B ．-1C ．2D ．0或23. 连接正四面体每条棱的中点， 形成如图所示的多面体， 则该多面体的体积是原正四面体体积的（）A．B．C．D．4. 已知，则（ ）A．B．C．D．5. 已知直线与圆相交于，两点(为坐标原点)，且为等边三角形，则实数（ ）A．B．C．D．6.记等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87. 如果复数是实数，（为虚数单位，），则实数的值是（ ）A．B．C．D．8. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则直线在轴上的截距为（ ）A．B．C．D．9. 设实数、、满足，，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．10. 人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（）A ．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增2022年高三数学新高考测评卷（猜题卷八）(1)2022年高三数学新高考测评卷（猜题卷八）(1)三、填空题四、解答题B ．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增C ．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大D ．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元11. 某同学用搜集到的六组数据绘制了如下散点图，在这六个点中去掉点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（）A ．决定系数变小B ．相关系数的绝对值越趋于1C ．残差平方和变小D ．解释变量与预报变量相关性变弱12. 某组数据方差的计算公式为，则（ ）A ．样本的容量是3B ．样本的中位数是3C ．样本的众数是3D ．样本的平均数是313. 已知，点为椭圆上的动点，当取最小值时，点的横坐标的值为________．14. 已知，若过点恰能作两条直线与曲线相切，且这两条切线关于直线对称，则的一个可能值为______．15. 函数，（为常数）的最大值为，则的取值范围为_____16. 在以视觉为主导的社交媒体时代，人们常借助具有美颜功能的产品对自我形象进行美化.移动端的美颜拍摄类APP 主要有两类：类是以自拍人像、美颜美妆为核心功能的APP；类是图片编辑、精修等图片美化类APP.某机构为调查市民对上述，两类APP 的使用情况，随机调查了部分市民.已知被调查的市民中使用过类APP 的占60%，使用过B 类APP 的占50%，设个人对美颜拍摄类APP 类型的选择及各人的选择之间相互独立.(1)从样本人群中任选1人，求该人使用过美颜拍摄类APP 的概率；(2)从样本人群中任选5人，记为5人中使用过美颜拍摄类APP 的人数，设的数学期望为，求；(3)在单独使用过，两类APP 的样本人群中，按类型分甲、乙两组，并在各组中随机抽取8人，甲组对类APP，乙组对类APP 分别评分如下：甲组评分9486929687939082乙组评分8583859175908380记甲、乙两组评分的平均数分别为，，标准差分别为，，试判断哪组评价更合理.（设（），越小，则认为对应组评价更合理.）参考数据：，.17. 如图所示，已知正方体.（1）线段AC上是否存在点O，使得平面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由；（2）求直线与平面所成角的大小.18. 现定义：设是非零实常数，若对于任意的，都有，则称函数为“关于的偶型函数”（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明（2）设定义域为的“关于的偶型函数”在区间上单调递增，求证在区间上单调递减（3）设定义域为的“关于的偶型函数”是奇函数，若，请猜测的值，并用数学归纳法证明你的结论19. 如图，在直四棱柱中，底面四边形是边长为2的正方形，，点，分别为棱，的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.20. 设数列的前n项的和与的关系是，其中b是与n无关的常数，且．(1)求和的关系式；(2)写出用n和b表示的表达式；(3)当时，求极限．21. 如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于、的点．（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．。
江苏省连云港市灌云县2024届高三高考猜题卷(一)数学试题
江苏省连云港市灌云县2024届高三高考猜题卷（一）数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．某人2018年的家庭总收人为80000元，各种用途占比如图中的折线图，2019年家庭总收入的各种用途占比统计如图中的条形图，已知2019年的就医费用比2018年的就医费用增加了4750元，则该人2019年的储畜费用为（ ）A ．21250元B ．28000元C ．29750元D ．85000元3．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（ ）A 3B 3C 3D 34．已知函数2()sin 3cos444f x x x x πππ=，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ）A ．2018B ．1009C ．1010D ．20205．已知()()cos 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的表达式是（ ）A ．32cos 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．2cos 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．2cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．32cos 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭6．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 923449358200 3623486969387481A ．08B ．07C ．02D ．017．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．若直线20x y m ++=与圆222230x x y y ++--=相交所得弦长为25m =（ ） A ．1B ．2C 5D ．310．已知向量()1,3a =，b 是单位向量，若3a b -=，则,a b =（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π11．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-12．已知P 为圆C ：22(5)36x y -+=上任意一点，(5,0)A -，若线段PA 的垂直平分线交直线PC 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为( )A ．221916x y +=B ．221916x y -=C ．221916x y -=（0x <）D ．221916x y -=（0x >）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年高考【文科数学】猜题卷 附解析(全国卷)1
2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学猜题卷 （全国卷）【满分：150 分】一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，.若，，则( ){}22,3,23A a a =--{}0,3B ={}2,C a =B A ⊆{}2A C =I a =A. B. C.1D.33-1-2.设复数z 满足( ) i 4z +=-=A.B. 42i -42i +3.若α是第二象限角，则是( ) 180α︒-A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角4.一批学生分别来自于一班与二班，一班、二班中女生的占比分别为40%，50%.将这两个班的学生合编成一个大班，从大班中随机抽取1名学生，已知抽取到女生的概率为44%，然后从大班中随机抽取1名学生，若抽取到的是女生，则她来自一班的概率为( ) A.B. C.D.611352522755.在等差数列中,若,且它的前n 项和有最小值,则当时,n 的最小值为{}n a 981a a <-n S 0n S >( ) A.14B.15C.16D.176.若函数在点处的切线为直线，若直线l 与圆()()a f x x a x =+∈R (2,(2))f 1:2l y x b =+相切，则r 的值为( ) 222:(0)C r x y r =+>7.执行如图所示的程序框图，若输出S 的值为-90，则判断框中可填写( )A.B.C. 5 ?i <D.5?i >4?i > 4 ?i <8.定义在R 上的偶函数()f x 满足当时，1()f x x x =-，则不等式的解集0x >()0f x x>为( )A.(,1)(1,)-∞-+∞UB. (,1)(0,1)-∞-UC.(1,0)(1,)-+∞UD.(1,0)(0,1)-U 9.已知向量(,3)k =a ，，，且，则实数k 的值为( )(1,4)=b (2,1)=c (23)-⊥a b c A.B.0C.3D.92-15210.已知四棱锥SABCD 的底面是边长为2的正方形，平面平面ABCD ，SAD ⊥SA SD ⊥，，则四棱锥的外接球的表面积为( ). SA SD =S ABCD -11.已知为锐角,且，则( ) ,αβtan 2,cos()ααβ=+=tan()αβ-=A. B.C. D.913-913712-71212.已知函数在区间上有最小值，则实数a 的取值范围是( ). 3()e (3)1x f x x a x =++-+(0,1)A.B.C.D.(e,2)-(e,1e)--(1,2)(,1e)-∞-二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷(理科)(解析版)
2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件地集合P地个数是（ ）A．3B．4C．7D．82．已知i是虚数单位,复数地虚部为（ ）A．﹣1B．1C．﹣i D．i3．某样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本地平均值为1,则样本方差为（ ）A．2B．C．D．4．双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,焦点到渐近线地距离为,则C地焦距等于（ ）A．2B．2C．4D．45．若不等式组表示地平面区域是一个直角三角形,则该直角三角形地面积是（ ）A．B．C．D．或6．已知,则tan2α=（ ）A．B．C．D．7．《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学地智慧,其中第六章"均输"中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题地思想设计了如下图所示地程序框图,若输出地m地值为35,则输入地a地值为（ ）A．4B．5C．7D．118．如下图所示,过抛物线y2=2px（p＞0）地焦点F地直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线地方程为（ ）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥地三视图是（ ）A．B．C．D．10．在△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,则cosA地值所在区间为（ ）A．（﹣0.4,﹣0.3）B．（﹣0.2,﹣0.1）C．（﹣0.3,﹣0.2）D．（0.4,0.5）11．已知符号函数sgn（x）=,那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）地大致图象是（ ）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=﹣,若对任意地x1,x2∈[1,2],且x1≠x2时,[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0,则实数a地取值范围为（ ）A．[﹣,]B．[﹣,]C．[﹣,]D．[﹣e2,e2]二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13．已知,则地值是 ．14．已知一个公园地形状如下图所示,现有3种不同地植物要种在此公园地A,B,C,D,E这五个区域内,要求有公共边界地两块相邻区域种不同地植物,则不同地种法共有 种．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f （x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈﹣1N*）,则m地最小值为 ．16．已知等腰直角△ABC地斜边BC=2,沿斜边地高线AD将△ABC折起,使二面角B﹣AD﹣C为,则四面体ABCD地外接球地表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}地通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1,求数列{b n}地前n项和T n．18．如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DF地中点．（I）求证:BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角地余弦角．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格地花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观地大展示．该景区自2023年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客地具体情形以及采集旅客对园区地建议,特别在2023年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:（表一）年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）①②③④[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中地空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2023年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二,并问你能否有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查地100位游客中地10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上（含）地人数为ξ,求ξ地分布列（表二）50岁以上50岁以下合计男生 女生 合计 P （K 2≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式:k 2=,其中n=a +b +c +d ）20．给定椭圆C:=1（a＞b＞0）,称圆心在原点O,半径为地圆是椭圆C地"准圆"．若椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．（Ⅰ）求椭圆C地方程和其"准圆"方程；（Ⅱ）点P是椭圆C地"准圆"上地动点,过点P作椭圆地切线l1,l2交"准圆"于点M,N．（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴地交点时,求直线l1,l2地方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证:线段MN地长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,求a,b地值；（2）讨论方程f（x）=0解地个数,并说明理由．[选修4-4:坐标系与参数方程]22．已知曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以极点为原点,极轴为x 轴地正半轴建立平面直角坐标系,直线l地参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l地一般方程与曲线C地直角坐标方程,并判断它们地位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换得到曲线E,设曲线E上任一点为M（x,y）,求地取值范围．[选修4-5:不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|,a∈R（Ⅰ）当a=5,解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时,若∃x∈R,使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立,求实数m 地取值范围．2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）参考解析与试卷解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件地集合P地个数是（ ）A．3B．4C．7D．8【考点】18:集合地包含关系判断及应用．【分析】解出集合Q,再根据P⊆Q,根据子集地性质,求出子集地个数即为集合P 地个数；【解答】解:集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},∴Q={0,1,2},共有三个元素,∵P⊆Q,又Q地子集地个数为23=8,∴P地个数为8,故选D；2．已知i是虚数单位,复数地虚部为（ ）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【考点】A5:复数代数形式地乘除运算．【分析】利用复数地运算法则、虚部地定义即可得出．【解答】解:复数==i﹣2地虚部为1．故选:B．3．某样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本地平均值为1,则样本方差为（ ）A．2B．C．D．【考点】BC:极差、方差与标准差．【分析】根据平均数公式先求出a,再计算它们地方差．【解答】解:设丢失地数据为a,则这组数据地平均数是×（a+0+1+2+3）=1,解得a=﹣1,根据方差计算公式得s2=×[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2．故选:A．4．双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,焦点到渐近线地距离为,则C地焦距等于（ ）A．2B．2C．4D．4【考点】KC:双曲线地简单性质．【分析】根据双曲线地离心率以及焦点到直线地距离公式,建立方程组即可得到结论．【解答】解:∵:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,∴e=,双曲线地渐近线方程为y=,不妨取y=,即bx﹣ay=0,则c=2a,b=,∵焦点F（c,0）到渐近线bx﹣ay=0地距离为,∴d=,即,解得c=2,则焦距为2c=4,故选:C5．若不等式组表示地平面区域是一个直角三角形,则该直角三角形地面积是（ ）A．B．C．D．或【考点】7C:简单线性规划．【分析】依题意,三条直线围成一个直角三角形,可能会有两种情形,分别计算两种情形下三角形地顶点坐标,利用三角形面积公式计算面积即可．【解答】解:有两种情形:（1）由y=2x与kx﹣y+1=0垂直,则k=﹣,三角形地三个顶点为（0,0）,（0,1）,（,）,三角形地面积为s=×1×=；（2）由x=0与kx﹣y+1=0形垂直,则k=0,三角形地三个顶点为（0.0）,（0,1）,（,1）,三角形地面积为s=×1×=．∴该三角形地面积为或．故选:D．6．已知,则tan2α=（ ）A．B．C．D．【考点】GU:二倍角地正切．【分析】将已知等式两边平方,利用二倍角公式,同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．【解答】解:∵,∴,化简得4sin2α=3cos2α,∴,故选:C．7．《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学地智慧,其中第六章"均输"中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题地思想设计了如下图所示地程序框图,若输出地m地值为35,则输入地a地值为（ ）A．4B．5C．7D．11【考点】EF:程序框图．【分析】模拟程序框图地运行过程,求出运算结果即可．【解答】解:起始阶段有m=2a﹣3,i=1,第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9,i=2,第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21,i=3,第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45,i=4,第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93,跳出循环,输出m=32a﹣93=35,解得a=4,故选:A8．如下图所示,过抛物线y2=2px（p＞0）地焦点F地直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线地方程为（ ）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．【考点】K8:抛物线地简单性质．【分析】分别过点A,B作准线地垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,根据抛物线定义可知|BD|=a,进而推断出∠BCD地值,在直角三角形中求得a,进而根据BD∥FG,利用比例线段地性质可求得p,则抛物线方程可得．【解答】解:如图分别过点A,B作准线地垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°,在直角三角形ACE中,∵|AE|=3,|AC|=3+3a,∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6,从而得a=1,∵BD∥FG,∴=求得p=,因此抛物线方程为y2=3x．故选C．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥地三视图是（ ）A．B．C．D．【考点】L!:由三视图求面积、体积．【分析】由已知中地四个三视图,可知四个三视图,分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥,但其中有一个是错误地,根据A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,可得A,C均正确,而根据AC可判断B正确,D错误．【解答】解:三棱锥地三视图均为三角形,四个解析均满足；且四个三视图均表示一个高为3,底面为两直角边分别为1,2地棱锥A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,故A,C表示同一棱锥设A中观察地正方向为标准正方向,以C表示从后面观察该棱锥B与D中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同,不满足实际情况,故B,D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥,根据B中正视图与A中侧视图相同,侧视图与C中正视图相同,可判断B是从左边观察该棱锥故选D10．在△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,则cosA地值所在区间为（ ）A．（﹣0.4,﹣0.3）B．（﹣0.2,﹣0.1）C．（﹣0.3,﹣0.2）D．（0.4,0.5）【考点】HR:余弦定理；HP:正弦定理．【分析】由题意求得cosA=﹣,再由余弦定理,得出关于﹣地方程,构造函数,利用函数零点地判断方法得出cosA地取值范围．【解答】解:△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,∴c=b=2,﹣acosA=1,cosA=﹣＜0,且4＞a＞2；由余弦定理得,cosA==,∴﹣=,化为:8•﹣8•+1=0,令﹣=x∈（﹣,﹣）,则f（x）=8x3﹣8x2+1=0,∵f（﹣0.4）=﹣1.4×1.28+1＜0,f（﹣0.3）=0.064＞0,∴cosA∈（﹣0.4,﹣0.3）．故选:A．11．已知符号函数sgn（x）=,那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）地大致图象是（ ）A．B．C．D．【考点】3O:函数地图象．【分析】构造函数f（x）=x3﹣3x2+x+1,可整理得f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+）,利用排除法即可得到解析．【解答】解:令f（x）=x3﹣3x2+x+1,则f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+）,∴f（,1）=0,f（1﹣）=0,f（1+）=0,∵sgn（x）=,∴sgn（f（1））=0,可排除A,B；又sgn（f（1﹣））=0,sgn（f（1﹣））=0,可排除C,故选D．12．已知函数f（x）=﹣,若对任意地x1,x2∈[1,2],且x1≠x2时,[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0,则实数a地取值范围为（ ）A．[﹣,]B．[﹣,]C．[﹣,]D．[﹣e2,e2]【考点】6B:利用导数研究函数地单调性．【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增,分类讨论,根据函数地性质及对勾函数地性质,即可求得实数a地取值范围．【解答】解:由任意地x1,x2∈[1,2],且x1＜x2,由[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0,则函数y=丨f（x）丨单调递增,当a≥0,f（x）在[1,2]上是增函数,则f（1）≥0,解得:0≤a≤,当a＜0时,丨f（x）丨=f（x）,令=﹣,解得:x=ln,由对勾函数地单调递增区间为[ln,+∞）,故ln≤1,解得:﹣≤a＜0,综上可知:a地取值范围为[﹣,],故选B．二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13．已知,则地值是 （）2018 ．【考点】DB:二项式系数地性质．【分析】利用二项式定理,对等式中地x赋值﹣2,可求得a0=0,再令x=,即可求出解析．【解答】解:∵（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+…+a2018（x+2）2018,∴令x=﹣2,得a0=0再令x=﹣,得到a0+=（﹣+1）2（﹣+2）2016=（）2018,∴=,故解析为:（）2018,14．已知一个公园地形状如下图所示,现有3种不同地植物要种在此公园地A,B,C,D,E这五个区域内,要求有公共边界地两块相邻区域种不同地植物,则不同地种法共有 18 种．【考点】D8:排列、组合地实际应用．【分析】根据题意,分2步进行分析:①、对于A、B、C区域,将3种不同地植物全排列,安排在A、B、C区域,由排列数公式可得其排法数目,②、对于D、E区域,分2种情况讨论:若A,E种地植物相同,若A,E种地植物不同；由加法原理可得D、E 区域地排法数目,进而由分步计数原理计算可得解析．【解答】解:根据题意,分2步进行分析:①、对于A、B、C区域,三个区域两两相邻,种地植物都不能相同,将3种不同地植物全排列,安排在A、B、C区域,有A33=6种情况,②、对于D、E区域,分2种情况讨论:若A,E种地植物相同,则D有2种种法,若A,E种地植物不同,则E有1种情况,D也有1种种法,则D、E区域共有2+1=3种不同情况,则不同地种法共有6×3=18种；故解析为:18．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1N*）,则m地最小值为 8 ．【考点】H2:正弦函数地图象．【分析】由正弦函数地有界性可得,对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f （x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,然后作图可得满足条件地最小m值．【解答】解:∵y=sinx对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m）﹣1﹣f（x m）|=12,按下图取值即可满足条件,∴m地最小值为8．故解析为:8．16．已知等腰直角△ABC地斜边BC=2,沿斜边地高线AD将△ABC折起,使二面角B﹣AD﹣C为,则四面体ABCD地外接球地表面积为 ．【考点】LG:球地体积和表面积．【分析】由题意,△BCD是等边三角形,边长为1,外接圆地半径为,AD=1,可得四面体ABCD地外接球地半径==,即可求出四面体ABCD地外接球地表面积．【解答】解:由题意,△BCD是等边三角形,边长为1,外接圆地半径为,∵AD=1,∴四面体ABCD地外接球地半径==,∴四面体ABCD地外接球地表面积为=,故解析为:．三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}地通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1,求数列{b n}地前n项和T n．【考点】8E:数列地求和；82:数列地函数特性；8H:数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列地通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=．对n分类讨论"裂项求和"即可得出．【解答】解:（Ⅰ）∵等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,∴S n==n2﹣n+na1,∵S1,S2,S4成等比数列,∴,∴,化为,解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==．∴T n=﹣++…+．当n为偶数时,T n=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时,T n=﹣++…﹣+ =1+=．∴Tn=．18．如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DF地中点．（I）求证:BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角地余弦角．【考点】MT:二面角地平面角及求法；LS:直线与平面平行地判定．【分析】（1）连接BD和AC交于点O,连接OF,证明OF∥BE．然后证明BE∥平面ACF．（II）以D为原点,以DE所在直线为x轴建立如下图所示地空间直角坐标系,求出相关点地坐标,求出平面BEF地一个法向量,平面BCF地一个法向量,设平面BCF 与平面BEF所成地锐二面角为θ,利用数量积求解即可．【解答】解:（1）连接BD和AC交于点O,连接OF,因为四边形ABCD为正方形,所以O为BD地中点．因为F为DE地中点,所以OF∥BE．因为BE⊄平面ACF,OF⊂平面AFC,所以BE∥平面ACF．（II）因为AE⊥平面CDE,CD⊂平面CDE,所以AE⊥CD．因为ABCD为正方形,所以CD⊥AD．因为AE∩AD=A,AD,AE⊂平面DAE,所以CD⊥平面DAE．因为DE⊂平面DAE,所以DE⊥CD．所以以D为原点,以DE所在直线为x轴建立如下图所示地空间直角坐标系,则E（2,0,0）,F（1,0,0）,A（2,0,2）,D（0,0,0）．因为AE⊥平面CDE,DE⊂平面CDE,所以AE⊥CD．因为AE=DE=2,所以．因为四边形ABCD为正方形,所以,所以．由四边形ABCD为正方形,得==（2,2,2）,所以．设平面BEF地一个法向量为=（x1,y1,z1）,又知=（0,﹣2,﹣2）,=（1,0,0）,由,可得,令y1=1,得,所以．设平面BCF地一个法向量为=（x2,y2,z2）,又知=（﹣2,0,﹣2）,=（1,﹣2,0）,由,即:．令y2=1,得,所以．设平面BCF与平面BEF所成地锐二面角为θ,又cos===．则．所以平面BCF与平面BEF所成地锐二面角地余弦值为．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格地花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观地大展示．该景区自2023年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客地具体情形以及采集旅客对园区地建议,特别在2023年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:（表一）年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）①②③④[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中地空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2023年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二,并问你能否有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查地100位游客中地10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上（含）地人数为ξ,求ξ地分布列（表二）50岁以上50岁以下合计男生 5 40 45 女生 15 40 55 合计 20 80 100 P （K 2≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式:k 2=,其中n=a +b +c +d ）【考点】CG:离散型随机变量及其分布列；BL:独立性检验．【分析】（1）由频率分布表地性质能完成表（一）,从而能完成频率分布直方图,进而求出30岁以下频率,由此以频率作为概率,能估计2023年7月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格,求出K 2=≈4.04＜5.024,从而得到没有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数:10×0.2=2人,50岁以下人数ξ地取值可能0,1,2,分别求出相应地概率,由此能求出ξ地分布列．【解答】解:（1）完成表（一）,如下表:年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）150.1578[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555完成频率分布直方图如下:30岁以下频率为:0.1+0.15+0.25=0.5,以频率作为概率,估计2023年7月1日当日接待游客中30岁以下人数为:12000×0.5=6000．（2）完成表格,如下:50岁以上50岁以下合计男生54045女生154055合计2080100K2==≈4.04＜5.024,所以没有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数:10×0.2=2人,50岁以下人数ξ地取值可能0,1,2P（ξ=0）==,P（ξ=1）==,P（ξ=2）==．∴ξ地分布列为:ξ012P20．给定椭圆C:=1（a＞b＞0）,称圆心在原点O,半径为地圆是椭圆C地"准圆"．若椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．（Ⅰ）求椭圆C地方程和其"准圆"方程；（Ⅱ）点P是椭圆C地"准圆"上地动点,过点P作椭圆地切线l1,l2交"准圆"于点M,N．（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴地交点时,求直线l1,l2地方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证:线段MN地长为定值．【考点】KH:直线与圆锥曲线地综合问题．【分析】（Ⅰ）利用已知椭圆地标准方程及其即可得出；（Ⅱ）（i）把直线方程代入椭圆方程转化为关于x地一元二次方程,利用直线与椭圆相切⇔△=0,即可解得k地值,进而利用垂直与斜率地关系即可证明；（ii）分类讨论:l1,l2经过点P（x0,y0）,又分别交其准圆于点M,N,无论两条直线中地斜率是否存在,都有l1,l2垂直．即可得出线段MN为准圆x2+y2=4地直径．【解答】（Ⅰ）解:∵椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．∴,,∴=1,∴椭圆方程为,∴准圆方程为x2+y2=4．（Ⅱ）证明:（ⅰ）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴地交点为P（0,2）,设过点P（0,2）且与椭圆相切地直线为y=kx+2,联立得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切,∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0,解得k=±1,∴l1,l2方程为y=x+2,y=﹣x+2．∵,∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设直线l1斜率不存在,则l1:,当l1:时,l1与准圆交于点,此时l2为y=1（或y=﹣1）,显然直线l1,l2垂直；同理可证当l1:时,直线l1,l2垂直．②当l1,l2斜率存在时,设点P（x0,y0）,其中．设经过点P（x0,y0）与椭圆相切地直线为y=t（x﹣x0）+y0,∴由得．由△=0化简整理得,∵,∴有．设l1,l2地斜率分别为t1,t2,∵l1,l2与椭圆相切,∴t1,t2满足上述方程,∴t1•t2=﹣1,即l1,l2垂直．综合①②知:∵l1,l2经过点P（x0,y0）,又分别交其准圆于点M,N,且l1,l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4地直径,|MN|=4,∴线段MN地长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,求a,b地值；（2）讨论方程f（x）=0解地个数,并说明理由．【考点】6K:导数在最大值、最小值问题中地应用；54:根地存在性及根地个数判断；6H:利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数,利用f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,列出方程组求解a,b．（2）通过a=0,a＜0,判断方程地解．a＞0,求出函数地导数判断函数地单调性,求出极小值,分析出当a∈[0,e）时,方程无解；当a＜0或a=e时,方程有惟一解；当a ＞e时方程有两解．【解答】解:（1）因为:（x＞0）,又f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b所以解得:a=2,b=﹣2ln2…（2）当a=0时,f（x）在定义域（0,+∞）上恒大于0,此时方程无解；…当a＜0时,在（0,+∞）上恒成立,所以f（x）在定义域（0,+∞）上为增函数．∵,,所以方程有惟一解．…当a＞0时,因为当时,f'（x）＞0,f（x）在内为减函数；当时,f（x）在内为增函数．所以当时,有极小值即为最小值…当a∈（0,e）时,,此方程无解；当a=e时,．此方程有惟一解．当a∈（e,+∞）时,,因为且,所以方程f（x）=0在区间上有惟一解,因为当x＞1时,（x﹣lnx）'＞0,所以x﹣lnx＞1,所以,,因为,所以,所以方程f（x）=0在区间上有惟一解．所以方程f（x）=0在区间（e,+∞）上有惟两解．…综上所述:当a∈[0,e）时,方程无解；当a＜0或a=e时,方程有惟一解；当a＞e时方程有两解．…[选修4-4:坐标系与参数方程]22．已知曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以极点为原点,极轴为x 轴地正半轴建立平面直角坐标系,直线l地参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l地一般方程与曲线C地直角坐标方程,并判断它们地位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换得到曲线E,设曲线E上任一点为M（x,y）,求地取值范围．【考点】Q4:简单曲线地极坐标方程；O7:伸缩变换．【分析】（I）直线l地参数方程消去数t,能求出直线l地一般方程,由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,能求出曲线C地直角坐标方程,由圆心（2,3）到直线l地距离d=r,得到直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换,得到曲线E地方程为,从而点M地参数方程为（θ为参数）,由此能求出地取值范围．【解答】解:（I）∵直线l地参数方程为（t为参数）．∴消去数t,得直线l地一般方程为,∵曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,∴由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,得曲线C地直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．∵圆心（2,3）到直线l地距离d==r,∴直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换,得到曲线E地方程为,则点M地参数方程为（θ为参数）,∴,∴地取值范围为[﹣2,2]．[选修4-5:不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|,a∈R（Ⅰ）当a=5,解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时,若∃x∈R,使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立,求实数m 地取值范围．【考点】R2:绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）将a=5代入解析式,然后解绝对值不等式,根据绝对值不等式地解法解之即可；（Ⅱ）先利用根据绝对值不等式地解法去绝对值,然后利用图象研究函数地最小值,使得1﹣2m大于等于不等式左侧地最小值即可．【解答】解:（I）a=5时原不等式等价于|x﹣5|≤3即﹣3≤x﹣5≤3,2≤x≤8,∴解集为{x|2≤x≤8}；（II）当a=1时,f（x）=|x﹣1|,令,由图象知:当时,g（x）取得最小值,由题意知:,∴实数m地取值范围为．2023年7月23日31。
高考数学猜题试卷一含详细解析 试题
大余中学2021届高考数学猜题试卷〔一〕命题人：钟卫平 2009-4-10一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分． 1．假设)()221(•∈-+N n ii n对应的点在实轴上,那么n 的最小值为〔 〕 A ．2B ．3C ．4D ．82．集合{}1,2,3,4M =，{}3,4,5N =，:f M N →，那么能建立多少个定义域为Ｍ，值域为Ｎ的函数〔 〕A ．81B ．72C ．36D ．183．假设)()()(b f a f b a f ⋅=+且f (1)＝2,那么(2)(1)f f ＋(4)(3)f f ＋(6)(5)f f ＋…＋(2008)(2007)f f 等于〔 〕A ．2021B ．2007C ．2021D ．20214．函数f (x )=x 5－5x 4+10x 3－10x 2+5x －1，那么f (x )的反函数为〔 〕 A ．)(1)(51R x x x f ∈-=- B ．)(1)1()(51R x x x f ∈--=-C ．)(1)(51R x x x f∈+=-D ．)(1)2()(51R x x x f∈+-=-5．假如)1(log )3(log ,)(220f f C m m f ni in i 那么∑==等于〔 〕A ．2B ．21 C ．1D ．36 “神七〞飞天，举国欢庆，据计算，运载飞船的为HY ，在点火1分钟通过的路程为2km ，以后每分钟通过的路程增加2km ，在到达离地面240km 的高度时，HY 与飞船别离，那么这一过程大约需要的时间是是〔 〕A ．10分钟B ．13分钟C ．15分钟D ．20分钟7．假设等差数列}{},{n n b a 的前n 项和为nn n n n n n b a n nT S T S ∞→+=lim ,132,,则又的值等于〔 〕A ．1 B ．32C ．56D ．94 8．函数]4,3[sin 2)(ππω-=在区间x x f 上的最小值为－2，那么ω的取值范围是〔 〕A ．[)+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,629, B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2329,C ．(][)+∞-∞-,62,D ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∞-,232, 9．正四棱锥ABCD V -的五个顶点在同一个球面上,假设其底面边长为4,侧棱长为62,那么此球的外表积为〔 〕A ．π18B ．π36C ．π72D ． π910．对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界，假设,,1a b R a b +∈+=且，那么122a b--的上确界为〔 〕(A )－3(B )4- (C )－41 (D )92-11．O 是平面上的一个定点，A ，B ，C ，是平面上不一共线三个点，动点P 满足),0(+∞∈++=λλAC AB OA OP ，那么动点P 的轨迹一定通过△ABC 的〔 〕A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心12．设函数1463)(23+++=x x x x f ，且1)(=a f ，19)(=b f ，那么b a +的值是〔 〕A.2B.1C.0D.2-二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分． 13．n xx )1(3+的各项系数之和大于8,小于32,那么展开式中系数最大的项是 。
2023届新高考金榜押题卷猜题卷数学试题含解析(第2套)
2023届新高考数学金榜押题卷（2）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}22,{0,1,2,3}A xx x B =-≥=∣，则()B A =R I ð( ) A.{0} B.{0,1} C.{1,2} D.{0,1,2}23i =-(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数是( ) A.8i + B.8i - C.4i -+ D.4i --3.已知πsin 122α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A.710-B.710C.79-D.79A. B.C. D.5.已知函数的最小正周期为π，将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是( )()cos (0)f x x x ωωω=+>π3A.函数在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B.函数的图象关于直线π4x =-对称 C.函数是奇函数D.函数()g x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称 6.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且A B B C C D ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为( )B.3D.27.已知5a <且5e 5e a a =，4b <且4e 4e b b =，3c <且3e 3e c c =，则( ) A.c b a << B.b c a << C.a c b <<D.a b c <<形，1230PF F ∠=︒，则该椭圆的离心率为() 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是( )()g x ()g x ()g xA.成绩在[70,80)内的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分10.已知平面向量(1,1)=a ，(3,4)=-b ，则下列说法正确的是( )A.cos ,〈〉=a bB.b 在a 方向上的投影向量为2C.与b 垂直的单位向量的坐标为43,55⎛⎫⎪⎝⎭D.若向量λ+a b 与向量λ-a a 共线，则0λ=11.在某市商业区有一个圆形的广场，称为“阿氏圆广场”.阿氏圆是古希腊著名数学家阿波罗尼斯的发现：“平面内到两个定点,A B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点的轨迹是圆”.从广场的外圆周的任意一点P ，以同样的速度，到达A 商场的所用时间是到达B 商场所用时间的2倍.建立平面直角坐标系xOy ，(2,0),(1,0)A B -，点P 满足||2||PA PB =，广场外圆周即点P 的轨迹设为C ，下列结论正确的是( ) A.C 的方程为22(2)4x y -+=B.居民经过商场B ，从广场一侧直线到达另一侧，需走的最短路程为C.过A 做广场的切线，切点为M 和N ，则MN 过点BD.一条市政公路所在直线为60x y +-=，则从广场到公路的最短距离为4 12.已知三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，1114AB BC CA ===.若点O 到三棱柱111ABC A B C -的所有面的距离都相等，则( ) A.1BB ⊥平面ABC B.1AB AA =C.平面111A B C 截球O 所得截面圆的周长为4πD.球O 的表面积为24π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在二项式5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.14.已知直线4y x =-与抛物线22(0)y px p =>交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，则p =_____________.15.已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，且236,14S S ==，则数列2211log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2021项和为___________. 16.已知函数()e 2x f x x =+-的零点为1x ，函数()2ln g x x x =--的零点为2x ，给出以下三个结论：①12e e 2e x x +>；②1234x x >；③2112ln ln 0x x x x +<.其中所有正确结论的序号为________.四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan 2tan A c bB b-=. (1)求角A ；(2)若ABC △的外接圆半径2r =，2b c a +=，求ABC △的面积.18.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为11,2,3232n n n n n a S a S S +=-=+⨯-. (1)记113n n n a b --=，证明：{}n b 是等差数列，并求{}n b 的通项公式； (2)记数列{}n a 的前n 项和为n T ，求n T ，并求使不等式2022n T <成立的最大正整数n .19.（12分）在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//CD AB ，1AD DC CB ===，2AB =，DP（1）证明：BD PA ⊥；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值.20.（12分）医学权威杂志《柳叶刀》指出，中国19岁男性平均身高达到175.7厘米，女性达到163.5厘米，位列东亚第一.关老师随机调查了高三(满19岁)100名学生的身高情况，并将统计结果整理如表.(1)能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为是否达到平均身高与性别有关?(2)现在从本次调查的“达到平均身高”的学生中利用分层抽样的方法随机抽取10人进一步调查，再从这10人中抽取4人作为案例进行分析，记这4人中男生的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.附：2K =a b c d =+++.21.（12分）双曲线22:1(0,0)x y C a b a b-=>>经过点(2,1)P ，且虚轴的一个顶点到一(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P 的两条直线1l ，2l 与双曲线C 分别交于A ，B 两点(A ，B 两点不与P 点重合)，设直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，若121k k +=，证明：直线AB 过定点. 22.（12分）已知函数2()ln 1,,()f x x ax x a a f x '=-++∈R 为()f x 的导函数. (1)讨论()f x '的极值；(2)若存在，使得不等式()0f t <成立，求a 的取值范围.[2,e]t ∈答案以及解析1.答案：B解析：集合{(1)(2)0}{1A x x x x x =+-≥=≤-∣∣或2}x ≥，则{12}A x x =-<<R ∣ð.又{0,1,2,3}B =，所以(){0,1}B A =R I ð.故选B.2.答案：B解析：由题知，复数()()12i 23i 23i 4i 68i z =+-=-++=+，则复数z 的共轭复数是8i -，故选B. 3.答案：C解析：πsin 122α⎛⎫-=⎪⎝⎭Q 2ππ1cos 12sin 61223αα⎛⎫⎛⎫∴-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22πππ17sin 2cos 22cos 12163639ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4.答案：A解析：本题考查函数的图象.根据函数解析式，因为5.答案：A解析：π()cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭Q ，2ππω∴=，得2ω=， 因此π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ()2sin 22cos 236g x x x ⎡⎤⎛⎫∴=-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，对于A ，由ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π2,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时cos2y x =单调递减，则函数()g x 单调递增，故A 正确；对于B ，令2πx k =，k ∈Z ，得π2k x =，k ∈Z ，故B 错误；对于C ，()2cos(2)2cos2()g x x x g x -=--=-=，则函数()g x 是偶函数，故C 错误；对于D ，令π2π2x k =+，k ∈Z ，得ππ42k x =+，k ∈Z ，当π6x =时，16k =-∉Z ，故D 错误.故选A. 6.答案：A解析：如图，取AC 的中点为N ，连接MN ，BN ，则//MN CD 且12MN CD =，所以BMN ∠即异面直线BM 与CD 的夹角或其补角.因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥，又B C C D ⊥，ABBC B =，所以平面ABC ，所以MN ⊥平面ABC ，所以.设2AB BC CD ===，则，BN =，在Rt BMN △中，，所以异面直线BM 与CD.7.答案：D解析：由，4e 4e b b =，得5e e 5a a =，，3e e 3c c =.构造函数，0x >，则.由()0f x '>得，由()0f x '<得01x <<，所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以(3)(4)(5)f f f <<，因为(5)()f f a =，(4)()f f b =，(3)()f f c =，所以()()()f c f b f a <<.画出函数()f x 的大致图象，如图所示，故01a b c <<<<，故选D.CD ⊥MN BN ⊥1MN=BM=cos 3MN BMN BM ∠==5e 5e aa =3e 3e cc =4e e 4b b =e ()x f x x =2(1)e ()xx f x x -'=1x >8.答案：B=e9.答案：ABC解析：由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)内的频率为10(0.010.015)0.25⨯+=，因此不及格的人数为40000.251000⨯=，故B正确；C选项，由频率分布直方图可得，平均分约为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分），故C正确；因为成绩在[40,70)内的频率为10(0.010.0150.02)0.45⨯++=，在[70,80)内的频率为0.3，所以中位数为0.50.45701071.670.3-+⨯≈，故D 错误.故选ABC. 10.答案：AD解析：选项A ：由题意知||=a ||5=a ，341⋅=-+=a b ，则cos ,||||10⋅〈〉==a b a b a b ，A 正确； 选项B ：b 在a 方向上的投影向量为21||cos ,||||||||2⋅⋅〈〉⋅=⋅==a b a a b b a b a a a a a a a ，B 错误；选项C ：与b 垂直的单位向量的坐标为43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C 错误；选项D ：因为向量λ+a b 与向量λ-a b 共线，所以若存在t ∈R ，使得()t λλ+=-a b a b ，则1t t λλ=⎧⎨=-⎩， 所以0λ=，D 正确. 11.答案：ABC解析：设点P 的坐标为(),x y ，由||2||PA PB ==()222244421x y x x y x +++=+-+，整理得曲线C 的方程为22(2)4x y -+=，故选项A 正确；若过B 的路程最短，即需求过点B 的最短弦长，即当B 与圆心C 的连线和弦垂直时弦长最短，由勾股定理得最短弦长为故选项B 正确；由题意可知,,,A C M N 四点共圆且在以AC 为直径的圆上，圆的方程为224x y +=.又,M N 在22(2)4x y -+=上，联立两个方程化简得直线MN 的方程为10x -=，则点B 在MN 上，所以MN 过点B ，故选项C 正确；当圆心C 与直线垂直时，距离最短，圆心C=因为圆的半径为2，所以最短距离为2，故选项D 错误，故选ABC.12.答案：AC解析：三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，根据球的对称性可知三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，所以1BB ⊥平面ABC ，因此A 正确.因为1114AB BC CA ===，所以AB BC CA ==.因为点O 到三棱柱111ABC A B C -的所有面的距离都相等，所以三棱柱111ABC A B C -的内切球与外接球的球心重合.设该三棱柱的内切球的半径为r ，则12,AA r AB ==，所以1AB ，因此B 错误.由14AB =，可知2222214121616BB AB r r r +=+==，解得1r =(负值已舍去)，则AB BC CA ===易得111A B C V 的外接圆的半径22r =，所以平面111A B C 截球O 所得截面圆的周长为22π4πr =，因此C 正确.三棱柱111ABC A B C -外接球的半径R ==O 的表面积24π20πS R ==，因此D 错误.故选AC. 13.答案：135解析：因为二项式5nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，各项的系数之和为512，所以令1x =，得8512n=，解得3n =.又因为35x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为(333321335C )3C 5rr r r r rr r T xx ---+⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令3302r-=，解得1r =，所以展开式中常数项为211233C 5135T =⨯⨯=.故答案为：135. 14.答案：2解析：设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程，得224,2(4)2y x y p y y px=-⎧⇒=+⎨=⎩， 即2280y py p --=，128y y p ∴=-，OA OB ⊥，12120x x y y ∴+=，又2212121622y y x x p p=⋅=，16(8)0p ∴+-=，解得2p =.15.答案：20212022解析：因为233212118,6a S S a q S a a q =-===+=，所以211143a q a a q =+，所以23440q q --=，得2q =或23-（舍去），所以12a =，故2n n a =. 因为2211111log log (1)1n n a a n n n n +==-⋅++，所以20211111112021112232021202220222022T =-+-++-=-=. 故答案为：2021202216.答案：①③解析：由题意得12ln 1222e 20,ln 2e ln 20x x x x x x +-=+-=+-=，则()()12ln 0f x f x ==，易知()f x 在R 上单调递增，()f x ∴在R 上有且仅有一个零点，12212ln 2,2x x x x x ∴==-∴+=，易知12121,ee 2e x x x x ≠≠∴+>=，①正确；又1131(0)10,0,0222f f x ⎛⎫=-<=>∴<< ⎪⎝⎭， ()121111322224x x x x ⎛⎫∴=-<⨯-= ⎪⎝⎭，②错误；1122130,2,222x x x x <<+=∴<<Q ，则()122112221212221ln ln ln ,ln ln ln ln ln x x x x x x x x x x x x x x <=-∴+<-+=-⋅，易知1220,ln 0x x x -<>，故2112ln ln 0x x x x +<，③正确. 综上，所有正确结论的序号为①③. 17.答案：(1)π3A =. (2)ABC S =△解析：(1)因为tan 2tan A c bB b -=，所以由正弦定理，得tan 2sin sin tan sin AC BB B -=， 所以sin cos 2sin sin cos sin sin A B C BA B B-=， 所以sin cos (2sin sin )cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=-，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=， 即sin 2sin cos C C A =，又sin 0C ≠， 所以1cos 2A =. 又0πA <<，故π3A =.(2)由题意知π2sin 4sin 23a r Abc a ===+==由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22()3a b c bc =+-，所以223bc =-，则12bc =，故11sin 1222ABC S bc A ==⨯=△18.答案：(1)证明过程见解析，21n b n =-. (2)n 为5.解析：(1)由13232n n n n S a S +-=+⨯-，得13232n n n n S S a +-=+⨯-， 即()113232,13123n n n n n n a a a a ++=+⨯-∴-=-+⨯，1111233n n n n a a +---∴=+. 即12n n b b +-=， 又110113a b -==Q ， ∴数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列，1(1)221n b n n ∴=+-⨯=-.(2)由(1)知1(21)31n n a n -=-⋅+.0121133353(21)3n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+L ，① 1233133353(21)33n n T n n =⨯+⨯+⨯++-⨯+L ，②①-②，得12121232323(21)32n n n T n n --=+⨯+⨯++⨯--⨯-L3312(21)3223(21)3213nn n n n n n n -=+⨯--⨯-=-+--⨯--22(1)32n n n =---⨯-，1(1)3n n T n n ∴=++-⨯， {}0,n n a T >∴Q 是递增数列，56556439782022,75336522022T T =+⨯=<=+⨯=>，∴使不等式2022n T <成立的最大正整数n 为5.19.答案：（1）证明见解析（2 解析：解：（1）如图所示，取AB 中点为O ，连接DO ，CO ，则1OB DC ==.又//DC OB ，所以四边形DCBO 为平行四边形. 又1BC OB ==，所以四边形DCBO 为菱形，所以BD CO ⊥. 同理可得，四边形DCOA 为菱形，所以//AD CO ， 所以BD AD ⊥.因为PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PD BD ⊥， 又AD PD D =，,AD PD ⊂平面ADP ，所以BD ⊥平面ADP . 因为PA ⊂平面ADP ，所以BD PA ⊥.（2）由（1）知BD AD ⊥，又2AB AD =，所以60DAO ∠=︒， 所以三角形ADO 为正三角形.过点D 作垂直于DC 的直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1,0)2A -，3,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，P ，(0,0,0)D . 则(0,2,0)AB =，12AP ⎛=-⎝，DP =. 设平面PAB 的法向量为(,,)x y z =n，则2001002y AB y AP =⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩n n . 令2x =，则0y =，1z =，所以(2,0,1)=n . 设直线PD 与平面PAB 所成的角为α，则||sin cos ,||||5DP DP DP α⋅=〈〉===⋅n n n所以直线PD 与平面PAB . 20.答案：(1)在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为是否达到平均身高与性别有关 (2)1.6解析：(1)补全22⨯列联表如下：所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为是否达到平均身高与性别有关.(2)利用分层抽样的方法可得，在10人中，达到平均身高的女生有6人，男生有4人.所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，()46410C 0C P X ==()3164410C C 1C X ==()2264410C C 2C P X ===()1364410C C 43C 35X ===()44410C 14C 210P X ===所以X 的分布列为1.6. 21.答案：(1)2212x y -=.(2)证明过程见解析.解析：(1)由题得双曲线C 的一条渐近线方程为0bx ay -=，虚轴的一个顶点为(0,)b ， ==， 即()222232a b a b =+，①又点(2,1)P 在双曲线C 上， 所以，即22224a b b a =-，② 由①②解得，21b =，所以双曲线C 的方程为2212x y -=.(2)当直线AB 的斜率不存在时，点A ，B 关于x 轴对称，22411a b-=22a =设()00,A x y ，()00,B x y -， 则由121k k +=，解得000011122y y x x ---+=--， 即0212x -=-，解得00x =，不符合题意，所以直线AB 的斜率存在.不妨设直线AB 的方程为y kx t =+，代入2212x y -=，整理得()()2222214220210k x ktx t k -+++=-≠，0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421kt x x k +=--，21222221t x x k +=-，由121k k +=，得121211122y y x x --+=--，即121211122kx t kx t x x +-+-+=--，整理得()1212(21)(21)40k x x t k x x t -+-++-=，所以222224(21)(21)402121t kt k t k t k k +⎛⎫-⋅+-+⋅--= ⎪--⎝⎭， 整理得2(22)120t k t k +-+-=，即(1)(21)0t t k -+-=， 所以1t =或12t k =-.当1t =时，直线AB 的方程为1y kx =+，经过定点(0,1)；当12t k =-时，直线AB 的方程为(2)1y k x =-+，经过定点(2,1)P ，不符合题意. 综上，直线AB 过定点(0,1).22.答案：(1)当0a ≤时，()f x '没有极值；当0a >时，()f x '的极小值为ln 2aa -，无极大值.(2)取值范围为2e 1,e 1⎛⎫++∞⎪-⎝⎭. 解析：(1)由题意知，2()ln 1f x x ax x a =-++的定义域为(0,)+∞，()2(1ln )f x x a x '=-+， 设()()g x f x '=，则2()2ax ag x xx-'=-=，①当0a ≤时，()0,()g x g x '>在(0,)+∞上单调递增，()f x '没有极值；②当0a >时，若0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,()g x f x ''<在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，若,2ax ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0,()g x f x ''>在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x '在2a x =处取得极小值，且极小值为ln ,()22a a f a f x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上没有极大值.综上，当0a ≤时，()f x '没有极值；当0a >时，()f x '的极小值为ln 2a a -，无极大值.(2)由题意知，存在[2,e]t ∈，使得2()ln 10f t t at t a =-++<， 即存在[2,e]t ∈，使得1ln 0at a t t+-+<， 构造函数1()ln ah t t a t t+=-+， 则221(1)(1)()1a a t t a h t tt t ++--'=--=， 当12a +≤，即1a ≤时，()0h t '≥在[2,e]上恒成立，()h t 单调递增，所以(2)0h <，得52ln 21a >-，与1a ≤矛盾，不满足题意.当21e a <+<，即1e 1a <<-时，若[2,1]t a ∈+，则()0,()h t h t '≤单调递减， 若[1,e]t a ∈+，则()0h t '≥，()h t 单调递增，此时min ()(1)h t h a =+， 由min ()(1)0h t h a =+<，得(1)ln(1)10a a a +-++<，所以2ln(1)a a a +<+，因为21e a <+<，所以不等式2ln(1)a a a +<+不成立. 当1e a +≥，即e 1a ≥-时，()0h t '≤在[2,e]t ∈上恒成立，()h t 单调递减，所以(e)0h <，得2e 1e 1a +>-，满足题意.综上，实数a 的取值范围为2e 1,e 1⎛⎫++∞⎪-⎝⎭.。
2023届全国新高考高三下学期4月数学猜题卷(3)(PDF版)
2023届高三下学期4月新高考数学猜题卷（3）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{1,2}A =-，{}2|430B x x x =-+=，则()U A B =ð( ) A.{1,3}B.{0,3}C.{2,1}-D.{2,0}-2.若复数z 满足()42i (3i)z +=-=( )=a =+=b4.设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm 规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为120，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为( ) A.15B.110C.115D.1205.圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是( ) A.8B. C.D.6.已知的图象关于点(1,0)对称，且对任意x ∈R ，都有(1)(3)f x f x -=-成立，当[1,0)∈-时，，则(2021)f =( ). A.-8B.-2C.0D.27.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著.《九章算术》内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，它是一本综合性的历史43(1)y f x =-2()2f x x =著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.其中卷第五《商功》中记载了如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何?”其意思为“现在有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，无宽，上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少?”(1丈为10尺).该问题中涉及的几何体如图所示，在多面体中，//EF 平面的中点G 在底面ABCD 上的射影为矩形的中心,4,3,2,1O AB BC EF OG ====，则异面直线与CF 所成角的余弦值为( )A.C. 8.已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A ，若12AF AF ⊥，122AF F S =V ，则椭圆C 的方程为( )A.22162x y += B.22184x y += C.22182x y +=D.2212016x y += 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是( ) A.222a b ab +≥ B.a b +≥1b+>2a b≥10.已知函数()sin(2)f x x ωϕ=+（ω为正整数，π||2ϕ<）的最小正周期3π3π,42T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数()f x 的说法正确的是( ) A.6π-是函数()f x 的一个零点 B.函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称 C.方程1()2f x =在[0,π]上有三个解 ABCDEF ,ABCD EF ABCD BDD.函数()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减11.已知函数32()(,,)f x x ax bx c a b c =+++∈R ，则下列说法正确的是( ) A.若实数1x ，2x 是()f x 的两个不同的极值点，且满足1212x x x x +=，则0a >或6a <-B.函数()f x 的图象过坐标原点的充要条件是0c =C.若函数()f x 在R 上单调，则23b a ≤D.若函数()f x 的图象关于点(1,(1))f 中心对称，则3a =-12.正四面体PABC 中，点,M N 分别满足1,2PM PA PN PB λ==uuu ruu r uuur uu r，其中[0,1]λ∈，则下列说法正确的有( ) A.当12λ=时，//MN 平面ABC B.不存在λ使得MN PC ⊥C.异面直线BM 与PCD.若正四面体的棱长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n a n S -=，则2023a =________.14.()82112x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_________.（用数字作答）15.已知双曲线2222:1(0,x y C a b a b-=>>交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，O 为坐标原点.若点M 的横坐标为1，则16.已知函数e ()xf x x=，，当21x x >时，不等式恒成立，则实数a 的取值范围为____________.四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(0,)x ∈+∞()()112221f x ax f x ax x x --<17.（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为. （1）若12S =，，证明：12n n S a +=-；（2）在（1）的条件下，若，数列{}n b 的前n 项和为，求证12311112nT T T T ++++<. 18.（12分）已知菱形ABCD 的边长为2，，E 是边BC 上一点，线段DE 交AC 于点F .(1)若CDE △，求DE 的长. (2)若4DF =，求.19.（12分）某工厂统计了某产品的原材料投人x (万元)与利润y (万元)间的几组数据如下： (1)根据经验可知原材料投人x (万元)与利润y (万元)间具有线性相关关系，求利润y (万元)关于原材料投人x (万元)的线性回归方程.(2)当原材料投人为100万元时，预估该产品的利润为多少万元?附：ˆb=y bx =-.20.（12分）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，，AB AC ⊥，E 是PB 的中点.n S 122n n S S +=+2log n n b a =n T 60DAB ∠=︒sin DFC ∠PA PB =（1）求证：平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，，5PA =，求二面角正余弦值. 21.（12分）已知O 是平面直角坐标系的原点，F 是抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且OAB △的重心G 在曲线29620x y -+=上.(1)求抛物线C 的方程；(2)记曲线29620x y -+=与y 轴的交点为D ，且直线AB 与x 轴相交于点E ，弦AB 的中点为M ，求四边形DEMG 面积的最小值.22.（12分）已知函数e (1)()ea axx f x -=(其中e 为自然对数的底数，a ∈R ). (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；(2)若，方程()10f x a +-=有两个不同的实数根，求证：22122e x x +>.//OE 3PO =C AE B --0a >12,x x答案1.答案：D2.答案：D3.答案：B4.答案：B5.答案：A6.答案：B7.答案：D8.答案：A9.答案：AD 10.答案：ABD 11.答案：ABD 12.答案：AD 13.答案：202321- 14.答案：18215.答案：)+∞16.答案：e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦17.答案：（1）见解析 （2）见解析解析：（1）因为12S =，122n n S S +=+， 所以()1222n n S S ++=+，124S +=，所以数列{}2n S +是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以122n n S ++=，122n n S +∴=-，当2n ≥时，122n n S -=-，12n n n n S S a --==， 当1n =时，112a S ==满足上式，所以2n n a =，所以12n n S a +=-成立. （2）由（1）知2n n a =，2log n n b a n ==，所以(1)2n n n T +=， 则12112(1)1n T n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++⎝⎭， 所以1231111n T T T T ++++=11111111212122233411n n n ⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-++-=⨯-< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以12311112nT T T T ++++<成立. 18.答案：(2)14解析：(1)依题意，得60BCD DAB∠=∠=︒. 因为CDE △的面积1sin 2S CD CE BCD=⋅⋅∠=所以122CE ⨯=，解得1CE =. 在CDE △中，由余弦定理得DE ==(2)方法一：连接BD .依题意，得30,60ACD BDC ∠=︒∠=︒， 设CDE θ∠=，则060θ︒<<︒，在CDF △中，由正弦定理得sin sin CF DFACDθ=∠， 因为4DF =，所以sin2CF DF θ==，所以cos θ=()1sin sin 30+2DFC θ∠=︒==. 方法二：连接BD .依题意，得30ACD ∠=︒，60BDC ∠=︒，设CDE θ∠=，则0060︒<<︒，设4CF x =，因为4DF =，则DF ，在CDF △中，由余弦定理，得2222cos DF CD CF CD CF ACD =+-⋅∠，即227416x x =+-，解得x =x =.又因为12CF AC ≤=x ≤，所以所以DF =在中，由正弦定理得sin sin CD DFDFC ACD=∠∠， 所以19.答案：(1)221040y x =- (2)1160万元()18284858688855=⨯++++=，()1770800830850900830,5y =⨯++++= 所以()()()51521ˆii i ii xx y y bxx ==--=-∑∑()()()()2222360130012037022(3)(1)013-⨯-+-⨯-++⨯+⨯==-+-+++所以83022851040a y bx =-=-⨯=-， 所以线性回归方程为221040y x =-.(2)当100x =时，2210010401160y =⨯-=(万元)，即当原材料投人为100万元时，预估该产品的利润为1160万元 20.答案：（1）证明见解析 （2）1113解析：（1）如图，取AB 的中点D ，连接DP ，DO ，DE .x =CDF △sin DFC ∠因为AP PB =，所以PD AB ⊥.因为PO 为三棱锥P ABC -的高，所以PO ⊥平面ABC ， 因为AB ⊂平面ABC ，所以PO AB ⊥.又,PO PD ⊂平面POD ，且PO PD P =，所以AB ⊥平面POD . 因为OD ⊂平面POD ，所以AB OD ⊥，又AB AC ⊥，所以//OD AC ，因为OD ⊂/平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//OD 平面PAC .因为D ，E 分别为BA ，BP 的中点，所以//DE PA ， 因为DE ⊂/平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以//DE 平面PAC . 又,OD DE ⊂平面ODE ，OD DE D =， 所以平面//ODE 平面PAC .又OE ⊂平面ODE ，所以//OE 平面PAC . （2）连接OA ，因为PO ⊥平面ABC ，,OA OB ⊂平面ABC ， 所以PO OA ⊥，PO OB ⊥，所以4OA OB ===. 易得在AOB △中，30OAB ABO ∠=∠=︒，所以1sin 30422OD OA =︒=⨯=，22cos3024AB AD OA ==︒=⨯= 又60ABC ABO CBO ∠=∠+∠=︒，所以在Rt ABC △中，tan 6012AC AB =︒=.以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0)A ，(43,0,0)B ，(0,12,0)C ，(23,2,3)P ，333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面AEC 的法向量为(,,)x y z =n ，则00AE AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即33302120x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩， 令23z =，则(1,0,23)=-n .设平面AEB 的法向量为()111,,x y z =m ，则0AE AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即111133302430x y z x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，令12z =，则(0,3,2)=-m .所以43|cos ,|||||13⋅〈〉==⋅n m n m n m .设二面角C AE B --的大小为θ，则24311sin 11313θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭.21.答案：(1)22x y = 0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，显然直线AB 的斜率存在，设:2p AB y kx =+，与22x p y=联立，消去y 得2220x pkx p --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,G x y ，则212122,x x pk x x p +==-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，所以0202,32,3pk x pk p y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且20032x y =22341293p k =⋅+=即222221pk p p k +=+，整理得()2211pk p p -=-对任意的k 恒成立，故1p =，所求抛物线C 的方程为22x y =.(2)由题知10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,02E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0k ≠，M x k =，G x 23=.又弦AB 的中点为M，△=O G O M ==//ME .点D 到直线AB 的距离1d =DG =1122k k k ⎫⎛⎫=--+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭ 所以四边形DEMG 的面积25111132123212k k S k k k ⎛⎫⎛⎫=++=+≥⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==22.答案：(1)1ey =(2)见解析解析：(1)当1a =时，e(1)()ex x f x -=， 则121(),(2)e e x x f x f --=='， 因此()'20f =，故曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为1e y =.(2)由题意知方程e 0ax x a --=有两个不同的实数根12,x x . 对于函数e (0),e (1)ax ax y x a a y ax --=>=-'-， 令e (1)0ax y ax -=->'，解得1x a <，令e (1)0ax y ax -=-<'，解得1x a>，则函数e ax y x a -=-在区间1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以11e 0a a -->，得21e a <. 又当0x <时，e 0ax x a --<，所以方程e 0ax x a --=的两个不同的实数根12,x x 均大于0.当0x >时，方程e 0ax x a --=即方程ln ln e e x ax a -=， 则原问题等价于ln ln x ax a -=有两个不同的正实数根12,x x . 令()ln ln (0)g x x ax a x =-->， 则1()(0)g x a x x->'=，所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 不妨设12x x <，则1210x x a<<<. 令21()(),0,G x g x g x x a a ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则22()2201(2)G x a a x ax a=->-'=-， 因此()G x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，从而当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x <， 所以()()1212g x g x g x a ⎛⎫=<- ⎪⎝⎭， 因为2121,,x x a a ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，函数()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以212x x a >-，即122x x a +>，则()2122212222e 2x x x x a ++>>>， 故原命题得证.。
2023届新高考金榜押题卷猜题卷数学试题含解析(第1套)
2023届新高考数学金榜押题卷（1）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U =R ，集合{}{12},|22x A x x B x =-<<=≥∣，则()U A B =I ð( )A.[]1,1-B.()1,1-C.[)1,1-D.(]1,1-2.已知复数213i z z -=+，其中i 是虚数单位，则z =( ) A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i --3.已知向量(1,2),(1,1),(,2)m ==-=a b c ，且(2)-⊥a b c ，则实数m =( ) A.-1B.0C.1D.任意实数4.中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有( ) A.60B.66C.72D.805.在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭.在方亭1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为( )A.3B.283D.1436.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π||2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得到的函数()g x 的图象关于原点对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2C.πD.3π27.设函数22e 1()x f x x +=，2e ()e x xg x =.若对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是( ) A.(1,)+∞B.[1,)+∞C.(0,1)D.(0,1]8.如图，点,M N 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,BC CC 的中点，则( )A.11//B D 平面DMNB.MN ⊥平面11B CDC.直线MN 与平面ABCD 所成的角为45°D.平面//MND 平面11AB D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.设0,0a b c >>≠，则( )A.2ac bc <22b c a c +<+ C.21a a->211b a b+>+10.如图，在正五棱柱11111ABCDE A B C D E -中，14,AB AA F ==为BC 的中点，,M N 分别为1CC 上两动点，且1()MN BM BN =<，则( )A.EF BN ⊥B.三棱锥M BEN -的体积随点M 的位置的变化而变化C.当N 为1CC 的中点时，BM ⊥平面1B EFD.直线BN 与平面BME 11.已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q .若抛物线C 上存在一点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3.则下列说法正确的( ) A.抛物线的方程是22x y = B.抛物线的准线方程是1y =- C.sin QMN ∠的最小值是12D.线段AB 的最小值是612.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e (1)x f x x -=-.下列命题正确的是( )A.当0x <时，()e (1)x f x x =+B.函数()f x 有5个零点C.若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的范围是[(2),(2)]f f -D.对1x ∀，2x ∈R ，()()212f x f x -<恒成立 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若无穷等比数列{}n a 的各项均大于1，且满足15144a a =，2430a a +=，则公比q =__________.14.已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2e x f x x =+，则函数()f x 在1x =-处的切线斜率为___________.15.中国传统文化博大精深，民间高人更是不计其数.为推动湘西体育武术事业发展，增强全民搏击健身热度，让搏击这项运动融入人们的生活，“2021年中国湘西边城全国拳王争霸赛”于5月2日至5月3日在花垣县体育馆举行.某武术协会通过考核的方式从小郑、小汤、小王三人中挑选人员到现场观看比赛，已知小郑、小汤、小王三人通过考核的概率分别为23，34，45，且三人是否通过考核相互独立，那么这三人中仅有两人通过考核的概率为_________.16.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且12PF PF ⊥，2PF 的延长线交椭圆于点Q，若椭圆的离心率2e =，则1||PQ FQ =______.四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+. （1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若4a ，7a ，9a 成等比数列，求n S 的最小值.18.（12分）已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，满足222sin sin sin sin A B C A B +-=.(1)求角C 大小.(2)若2c =的取值范围.b +19.（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，的面积为22.（1）求A 到平面的距离；（2）设D 为1A C 的中点，，平面1A BC ⊥平面，求二面角A BD C --的正弦值.20.（12分）2020年11月2日湖南省衡阳市衡南县清竹村，由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的晚稻品种“叁优一号”亩产为911.7公斤.在此之前，同一基地种植的早稻品种亩产为619.06公斤.这意味着双季亩产达到1530.76公斤，实现了“1500公斤高产攻关”的目标.在水稻育种中，水稻的不同性状对水稻的产量有不同的影响.某育种科研团队测量了株高(单位：cm)和穗长的数据，如下表(单位：株)：(1)根据表中数据判断，能否在犯错概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系？(参考公式：，其中n a b c d =+++)(2)在采样的稻田里随机抽取3株测量每穗总粒数，把抽取的低杆长穗株数记为X ，求X 的分布列和数学期望(把频率当成概率计算).1A BC △1A BC 1AA AB =11ABB A 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21.（12分）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、有焦点，126F F =，P 是C 上一点，112PF F F ⊥，且12PF PF +=（1）求双曲线C 的标准方程.（2）经过点2F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，过点A 作直线2x =的垂线，垂足为D ，过点O 作OM BD ⊥（O 为坐标原点），垂足为M .则在x 轴上是否存在定点N ，使得||MN 为定值？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.22.（12分）已知函数2()ln ()2a f x x x x x a =--∈R . (1)若()0f x <恒成立，求a 的取值范围； (2)若函数()f x 存在两个极值点12,x x ，且12a x x λλ+>恒成立，求λ的取值范围.答案以及解析1.答案：B解析：由题意得集合{1}B x x =≥∣，则{1}U B x x =<∣ð，所以(){11}U A B x x =-<<I ∣ð，故选B. 2.答案：C解析：设i z a b =+，b ∈R ，则23i 13i z z a b -=-+=+， 故1a =-，1b =，1i z =-+， 故选：C. 3.答案：B解析：(1,2),(1,1),2(3,0)==-∴-=Q a b a b .由(,2),(2)m =-⊥c a b c ，得(2)30m -⋅==a b c ，解得0m =.故选B. 4.答案：C解析：5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有种安排方法，若甲乙在同一实验舱的种数有种，故甲乙不在同一实验舱的种数有种. 故选：C. 5.答案：B解析：如图，过点1A 作1A E AB ⊥，垂足为E ，由四个侧面的面积之和为侧面11ABB A的面积为()11112AB A B A E +⋅=1A E 由题意得()11112AE AB A B =-=，在1Rt AA E △中，1AA =连接AC ，11A C ，过点1A 作1A F AC ⊥，垂足为F ，易知四边形11ACC A 为等腰梯形，且AC =11AC =则AF =11A F =，所以该方亭的体积(2212824133V =++⨯=，故选B. 112534C C C 90=111332C C C 18=901872-=6.答案：B解析：由题意得，3A =，π3ππ422T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，6πT ∴=，13ω∴=，又3(0)3sin 2f ϕ==，π||2ϕ<，π6ϕ∴=，π()3sin 36x f x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移(0)m m >个单位长度后得到的函数解析式为π()3sin 363x m g x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由题意可知，函数()y g x =为奇函数，ππ()63m k k ∴-=∈Z ，π3π()2m k k ∴=-∈Z ，当0k =时，π2m =，故选B.7.答案：B解析：对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，不等式()()121g x f x kk ≤+恒成立，max min()()1g x f x k k ⎡⎤⎡⎤∴⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦≤.由2e (1)()0e x x g x -'==，得1x =.当(0,1)x ∈，()0g x '>，当(1,)x ∈+∞，()0g x '<.0k >，max()(1)e g x g k k k ⎡⎤∴==⎢⎥⎣⎦.令222e 1()0x f x x -'==，得1e x =（1ex =-舍去）.当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,ex ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>.0k >，min1()2e e111f f x k k k ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎝⎭∴==⎢⎥+++⎣⎦，e 2e 1k k ∴≤+，1k ∴≥，故选B. 8.答案：C解析：如图，连接BD .结合已知条件及正方体的性质可知，11//BD B D .因为BD I 平面DMN D =，所以11B D 与平面DMN 不平行，因此A 不正确.连接11,BC C D .易得1//BC MN .又，所以1C BD ∠为直线与11B D 所成的角.因为，11//B D BD MN 11BC BD DC ==所以160C BD ∠=o ，所以与11B D 不垂直，所以与平面11B CD ，不垂直，因此B 不正确.由平面ABCD ，得为直线MN 与平面ABCD 所成的角.易得45NMC ∠=︒，所以直线MN 与平面ABCD 所成的角为45°，因此C 正确.因为11//B D BD ，BD 与平面DMN 相交，所以直线11B D 与平面MND 相交，则平面MND 与平面11AB D 相交，因此D 不正确.故选C.9.答案：BC解析：因为0,0a b c >>≠，所以20c >，所以22ac bc >，故A 错误；因为0,0a b c >>≠，所以220,0,b ac a c -<>+>()2222()b c c b a a c a a c +--=<++<确；因为0a b >>，所以221,a b a ><11a b >-，所以221a b a ->-取1,2a b ==21a +291,4b b =+=221b a +<10.答案：ACD解析：因为F 为BC 的中点，所以结合正五边形的对称性可知，EF BC ⊥.由正棱柱的性质易知1BB EF ⊥.又因为1BB BC B =I ，所以EF ⊥平面11BCC B .因为BN ⊂平面11BCC B ，所以EF BN ⊥，故A 正确.易知BMN △的面积为定值，点E 到平面11BCC B 的距离为定值.因为三棱锥M BEN -的体积等于三棱锥E BMN -的体积，所以三棱锥M BEN -的体积为定值，故B 错误.当N为1CC 的中点时，1CM =.因为11tan tan BF CM BB F CBM BB BC ∠==∠===，所以1BB F CBM ∠=∠.因为1BB BC ⊥，所以190CBM B FB ∠+∠=o，则1BM B F ⊥.由选项A 的解答易知EF BM ⊥.MN MN 1CC ⊥NMC ∠又因为,EF B F F =I ，所以BM ⊥平面1B EF ，故C 正确.由题图可知，当点M 与点C 重合时，直线BN 与平面BME 所成的角最大，且最大角为CBN ∠，所以tanCN CBN BC ∠===D 正确.选ACD. 11.答案：BC解析：抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p y =-，由点(,2)E t 到焦点F 的距离等于3，可得232p+=，解得2p =，则抛物线C 的方程为24x y =，准线方程为1y =-，故A 错误，B 正确； 易知直线l 的斜率存在，(0,1)F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1,y kx =+ 由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 并整理，得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-， 所以()21212242y y k x x k +=++=+， 所以AB 的中点Q 的坐标为()22,21k k +，2212||42244AB y y p k k =++=++=+，故线段AB 的最小值是4，故D 错误； 圆Q 的半径222r k =+，在等腰QMN 中，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++， 当且仅当0k =时取等号，所以sin QMN ∠的最小值为12，故C 正确，故选BC. 12.答案：AD解析：本题考查函数的基本性质、函数的解析式、函数的零点，由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则当0x <时，0x ->，()()e (1)e (1)x x f x f x x x =--=---=+，故A 正确；由于函数是定义在R 上()f x的奇函数，则(0)0f =；当时，由()e (1)0x f x x -=-=，可得；结合奇函数的图象性质可知还有一个零点为1x =-，则函数有3个零点，故B 错误；当0x >时，由，得()e (2)x f x x -'=-+，由()0f x '=得2x =，所以()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，所以，此时()(1,(2)]f x f ∈-；由的图象知若方程()f x m =有解，则，故C 错误；由C 项可知，当0x >时，；而当0x <时，，则()(1,1)f x ∈-，则对，2x ∈R ，()()212f x f x -<恒成立，故D 正确，故选AD. 13.答案：2解析：本题考查等比数列的性质.因为数列{}n a 是等比数列，所以2415144a a a a ==.又因为2430a a +=，解得246,24,a a =⎧⎨=⎩或2424,6.a a =⎧⎨=⎩由无穷等比数列{}n a 的各项均大于1，可知1q ≥，所以246,24.a a =⎧⎨=⎩因为242a a q =⋅，所以2246q =，解得2q =（负值舍去）.14.答案：12e --解析：()2e x f x x =+Q ，()12e x f x '∴=+，(1)12e f '∴=+.Q 函数()f x 为定义在R 上的偶函数，∴函数()f x 在1x =-处的切线斜率与函数()f x 在1x =处的切线斜率互为相反数，(1)(1)12e f f ''∴-=-=--.15.答案：1330解析：设“这三人中仅有两人通过考核”为事件M ，“小郑通过考核”“小汤通过考核”“小王通过考核”分别为事件A ，B ，C ，则2()3P A =，3()4P B =，4()5P C =，所以1()3P A =，1()4P B =，1()5P C =，所以()()()P M P ABC P ABC =++21413423()34534534P ABC =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯113530=. 0x >1x =()f x ()e (1)x f x x -=-max ()(2)f x f =()f x (1,1)m ∈-()(1,(2)]f x f ∈-()[(2),1)f x f ∈-1x ∀16.答案：45解析：第一步：利用已知条件及椭圆的定义求1PF ，2PF设122F F c =，，因为，所以，，由椭圆的定义，得，即，又，即，又，所以，所以，，于是，2PF =.第二步：利用椭圆的定义及勾股定理求解2F Q设2F Q m =，则1FQ m =-，根据22211||PF PQ FQ +=，得222)))m m ++=-，解得m =. 第三步：求得结果故1||45PQ FQ +==. 17.答案：（1）证明见解析 （2）-78 解析：（1）由221nn S n a n+=+，得222n n S n a n n +=+①， 所以2112(1)2(1)(1)n n S n a n n ++++=+++②， ②-①，得112212(1)21n n n a n a n a n ++++=+-+， 化简得11n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为1的等差数列.12PF F θ∠=12PF PF ⊥12cos PF c θ=22sin PF c θ=1222cos 2sin 2(cos sin )a PF PF c c c θθθθ=+=+=+1cos sin c a θθ=+c e a ==cos sin θθ+=1sin 22θ+=sin 21θ=π02θ<<π4θ=sin θ=cos θ=1PF =（2）由（1）知数列{}n a 的公差为1.由2749a a a =，得()()()2111638a a a +=++， 解得112a =-.所以22(1)251256251222228n n n n n S n n --⎛⎫=-+==--⎪⎝⎭， 所以当12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78. 18.答案：(1)5π6C =.(2)取值范围是.解析：(1)因为222sin sin sin sin A B C A B +-=，所以由正弦定理得222a b c +-=，所以222cos 2a b c C ab +-=== 因为(0,π)C ∈，所以5π6C =.(2)由正弦定理得24sin cR C==，2sin )b R A B +=+π4sin 6A A ⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦14cos 2A A A ⎫=+-⎪⎪⎭ π4sin 6A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为π0,6A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,663A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin 62A ⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，b +的取值范围是.19.答案：（1（2 解析：（1）设点A 到平面1A BC 的距离为h ， 因为直三棱柱111ABC A B C -的体积为4， 所以11111114333A A BC ABC ABC ABC V S AA V --=⨯==△，又1A BC △的面积为11114333A A BC A BC V S h -==⨯=△，所以h =即点A 到平面1A BC 的距离为2.（2）取1A B 的中点E ，连接AE ，则1AE A B ⊥，因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC 平面111ABB A A B =， 所以AE ⊥平面1A BC ，所以AE BC ⊥， 又1AA ⊥平面ABC ， 所以1AA BC ⊥，因为1AA AE A =，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以BC AB ⊥.以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，1BB 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，由（1）知，2AE =，所以12AA AB ==，122A B =，因为1A BC △的面积为22，所以11222A B BC =⨯⨯，所以2BC =，所以(0,2,0)A ，(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，1(0,2,2)A ，(1,1,1)D ，(0,1,1)E ， 则(1,1,1)BD =，(0,2,0)BA =， 设平面ABD 的法向量为(,,)x y z =n ， 则0,0,BD BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20,x y z y ++=⎧⎨=⎩令1x =，得(1,0,1)=-n ，又平面BDC 的一个法向量为(0,1,1)AE =-，所以1cos ,2||||AE AE AE ⋅〈〉===-⋅n n n ，设二面角A BD C --的平面角为θ， 则sin ,AE θ=〈〉=n ， 所以二面角A BD C --的正弦值为20.答案：(1)能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系. (2)分布列见解析，数学期望为310. 解析：(1)根据2×2列联表中的数据，可得22100(34401610)50504456K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯23.377 6.635≈>，因此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为株高和穗长之间有关系. (2)记“在采样的稻田里抽出低杆长穗稻株”为事件A ， 则101()10010P A ==，所以1~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭. X 的所有可能取值为0，1，2，3，31729(0)1101000P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，21311243(1)C 110101000P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，2231127(2)C 110101000P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 311(3)101000P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 所以随机变量X 的分布列如表所示，随机变量X 的数学期望13()31010E X =⨯=. 21.答案：（1）22163x y -=（2）在x 轴上存在定点5,04N ⎛⎫⎪⎝⎭，使得||MN 为定值54 解析：（1）由题意得212PF PF a -=， 因为112PF F F ⊥，1226F F c ==， 所以222136PF PF -=，又2|||PF PF +=∣，所以236a ⋅，解得a = 所以26a =，2293b a =-=，所以双曲线C 的标准方程为22163x y -=.（2）由（1）得2(3,0)F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()12,D y ， 易知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为3x ty =+，t ≠联立直线l 与双曲线C 的方程，消去x 得()222630t y ty -++=，()22410t ∆=+>，12262t y y t +=--，12232y y t =-. 因为直线BD 的斜率21212221y y y yk x ty --==-+，所以直线BD 的方程为2112(2)1y y y y x ty --=-+， 若在x 轴上存在定点N ，使得||MN 为定值，则直线BD 过x 轴上的某个定点.在直线BD 的方程2112(2)1y y y y x ty --=-+中，令0y =，得()12112121121222ty y y ty y y x y y y y y ++=-=-=-+-1122121233152222263222222t ty y t t t t y y t t ++---=-=+=⎛⎫---+ ⎪--⎝⎭， 所以直线BD 过定点5,02E ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为OM BD ⊥，所以OEM △为直角三角形，取OE 的中点5,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则15||||24MN OE ==，为定值. 综上，在x 轴上存在定点5,04N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得||MN 为定值54. 22.答案：(1)22,e a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭. (2)λ的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 解析：(1)由题可知(0,)x ∈+∞，要使()0f x <恒成立，即ln 102a x x --<恒成立. 令()ln 12a g x x x =--，则1()2a g x x '=-.当0a ≤时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又(e)1e 1e 022a a g =--=-≥，与()0g x <矛盾，不满足题意.当0a >时，若20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0g x '>；若2,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()0g x '<.所以()g x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以max 22()ln 20g x g a a ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，所以2222e ,,e a a ⎛⎫<∈+∞ ⎪⎝⎭. 综上，22,e a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭. (2)由题可知()ln f x x ax '=-，所以12,x x 是方程ln 0x ax -=的两个根，所以1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩，所以()2211ln x a x x x =-，所以2121lnx x a x x =-.又12a x x λλ+>，所以()()212121212121ln0x x x ax x x x x x x x x λλ-+=⋅-+<-.不妨设120x x <<，则上式转化为22221221112112ln ln 0x x x x x x x x x x x x λλ⎛⎫--=--< ⎪⎝⎭.令21(1)x t t x =>，则1ln 0t t t λ⎛⎫--< ⎪⎝⎭在(1,)+∞上恒成立. 由1ln 0,0t t t>->，易知0λ>.令1()ln (1)H t t t t t λ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，则()222111()1(1)t t H t t t t t λλ-+⎛⎫'=-+=> ⎪⎝⎭. 令()2()1G t t t λ=-+，则函数()G t 的图象开口向下，且对称轴为12t λ=. ①当112λ≤，即12λ≥时，(1)120G λ=-≤， 则()0G t <在(1,)+∞上恒成立，()H t 在(1,)+∞上单调递减，则1()ln1101H t λ⎛⎫<--= ⎪⎝⎭，符合题意.②当112λ>，即102λ<<时，(1)120G λ=->，此时存在唯一的0(1,)t ∈+∞， 使得()00G t =，则()H t 在()01,t 上单调递增，在()0,t +∞上单调递减，从而()01ln1101H t λ⎛⎫>--= ⎪⎝⎭，不合题意.综上所述，λ的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(新高考I卷)押题密卷(含答案)
试卷类型：A2024年普通高等学校招生全国统一考试 押题密卷2数学 新高考I 卷注意事项：1． 答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2． 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合A ＝{3,2a }，B ＝{a ,b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝A ．{1,2,3}B ．{2,3,4}C ．{1,2,4}D ．{2,3,5}2． 设复数z 的共轭复数为 z ，则下列一定为纯虚数的是A ．z ＋zB ．z －zC ．z ·zD ．zz̅3． 设α，β是两个不同平面，直线m ⊂α，直线n ⊂β，则A ．m ⊥β是m ⊥n 的充分条件B ．m //n 是α//β的必要条件C ．m ⊥β是m ⊥n 的必要条件D ．m ⊥n 是α⊥β的必要条件4． 已知随机变量ξi 的分布列如表所示（i ＝1,2）．若0＜p 1＜12＜p 2＜23，则A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)5． 已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则A ．tan θ2＜cot θ2B ．tan θ2＞cot θ2C ．sin θ2＜cos θ2D ．sin θ2＞cos θ26． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对于任意n ∈N *，都有a n a n +1＜0，a n S n 恒为定值c（c ＞0），则A ．|a 2|＜|a 3|＜|a 4|B ．|a 3|＜|a 2|＜|a 4|C ．|a 3|＜|a 4|＜|a 2|D ．|a 4|＜|a 3|＜|a 2|7． 设非负实数x ,y ，2x ＝3y ，则A ．2x ＝3yB ．2x ＞3yC ．2x ＜3yD ．无法比较2x 与3y 的大小8． 已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＜|PF 2|，PF 1的垂直平分线经过点F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则 e 12－2e 2的最小值是 A ．2 B ．－2 C ．6D ．－6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9． 掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这5次的统计结果，下列选项中有可能出现点数1的是 A ．中位数：3，众数：2 B ．平均数：4，中位数：5 C ．极差：4，平均数：2D ．平均数：4，众数：510．已知函数f (x )＝x 4－x 2＋x －1，则A ．f(x)有两个零点B ．f(x)有唯一极值C ．过坐标原点可作曲线y ＝f (x )的一条切线D ．曲线y ＝f (x )上存在三条互相平行的切线11．如图，与圆柱底面成60°的平面α截此圆柱，其截面图形为椭圆．已知该圆柱底面半径为2，则 A ．椭圆的离心率为√32B ．椭圆的长轴长为 8√33C ．椭圆的面积为32πD ．椭圆内接三角形面积的最大值为 6√3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在△ABC 中，C ≠π2，若cos A ＝sin B ，则A 的取值范围是_________．13．已知a ，b ，c 成等差数列，点P （－1,0）到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离为 2√2 ，则直线l 的倾斜角是_________．14．设点P 是边长为2的正△ABC 的三边上的动点，则 P A ⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ）的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（满分13分）已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，a ＝6，b ＋12cos B ＝2c ． （1）求A 的大小；（2）请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使△ABC 存在，并解决问题： M 为△ABC 内一点，AM 的延长线交BC 于点D ，求△ABC 的面积.①M 为△ABC 的外心，AM ＝4； ②M 为△ABC 的垂心，MD ＝√3 ； ③M 为△ABC 的内心，AD ＝3√3 ．16．（满分15分）图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母C 表示．如图所示，边长为1的正三角形被n （n ∈N *）层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为n 时，等圆的半径为a n ．图中已给出n 等于1，2，10时的覆盖情形．（1）写出a 1，a 2的值，并求数列{a n }的通项公式；（2）证明：此正三角形的被覆盖率低于91%．（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73）17．（满分15分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1．（1）求概率P(ξ＝0)；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．18．（满分17分）如图，已知抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（1）求r的取值范围；（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．19．（满分17分）已知函数f(x)＝(x－a)(e x－a)，a≥0．（1）当a＝0时，讨论f(x)的单调性；（2）证明：f(x)有唯一极小值点x0，并求f(x0)的最大值．2024年普通高等学校招生全国统一考试 押题密卷2数学 参考答案单项选择题 1．A 2．B 3．A 4．D 5．B6．C7．C8．B多项选择题 9．BCD对于A ，中位数是3，则这5个数从小到大排列后，第3个数是3，第1、2个数是2才能使众数为2，故第1个数不是1，故A 不正确，对于B ，有可能出现点数1，例如1,2,5,6,6； 对于C ，有可能出现点数1，例如1,1,1,2,5； 对于D ，有可能出现点数1，例如1,4,5,5,5； 故选BCD.10．ACD对于A ，()32()(1)1f x x x x =−++，对于函数322()1,()32g x x x g x x x +=′=++， 令gg ′(xx )<0⇒−23<xx <0，令gg ′(xx )>0⇒xx <−23或xx >0，所以函数gg (xx )在(−23,0)上单调递减，在(−∞,−23)和(0,+∞)上单调递增，则函数gg (xx )在xx =−23，xx =0处分别取极大值和极小值， 由gg (0)>0，知gg (xx )只有一个零点，所以ff (xx )有两个零点，故A 正确；对于B ，假设B 成立，设切点坐标为�xx 0,ff (xx 0)�，切线方程为()()342000004211y xx x x x x x =−+−+−+−，即()34200042131y xx x x x =−+−+−，∴4200310x x −+−=，但显然4200310x x −+−<，故B 错误； 对于C ，32()421,()122f x x x f x x ′=′+′=−−， 令ff ″(xx )<0⇒−√66√6，令ff ″(xx )>0⇒xx <−√66或xx >√66，所以函数()f x ′在(上单调递减，在(−∞,−√66)和(√66,+∞)上单调递增，∴函数()f x ′在x =处分别取到极大值和极小值，由0f >′知()f x ′只有一个零点，ff (xx )有一个极值点，故C 正确； 对于D ，若D 正确，则存在实数m 使得3()421f x x x m ′=−+=有三个不同的根， 即函数yy =4xx 3−2xx +1mm 3个交点，由选项C 可知，,m f f∈ ′′，故D 正确.故选ACD. 11．AD对于A ，bb =rr =2，aa =rrcccccc 60°=2124，所以cc =√aa 2−bb 2=√16−4=2√3，所以离心率ee =ccaa =2√34=√32，所以A 正确；对于B ，长轴长2248a =×=，所以B 不正确；对于C ，椭圆的面积SS =ππaabb =2×4ππ=8ππ，所以C 不正确； 对于D ，椭圆方程为xx 2aa 2+yy 2bb 2=1，椭圆内接三角形一个顶点在长轴左顶点，另两点在直线xx =mm (mm >0)上，此时另两点的距离为：2bb �1−mm 2aa2，三角形的面积为：12(aa +mm )⋅2bb �1−mm 2aa 2=bb ⋅�(aa +mm )(aa +mm )�1−mm aa ��1−mm aa�=aabb √3⋅��1+mmaa��1+mm aa ��3−3mm aa ��1+mm aa � ≤aabb √3��1+mm aa +1+mm aa +3−3mm aa +1+mm aa 4�4=aabb√3×94=3√3bbcc4 当且仅当1+mm aa=3−3mm aa，即mm =aa2时，取等号．∴SS3√3aabb 43√3×4×24√3△mmaaxx，所以D 正确，故选AD ． 填空题 12．�0,ππ4�因为ssss ss BB >0，ccccss AA =ssss ss BB ，所以ccccss AA >0，所以AA <ππ2. 若BB <ππ2，由ccccss AA =ssss ss BB ，可得ssss ss (ππ2−AA )=ssss ss BB ，由正弦函数在(0,ππ2)的单调性可得，BB =ππ2−AA ，则CC =ππ2，原题设不成立； 若π2B >，同理可得BB =AA +ππ2，由AA +BB <ππ，解得π(0,)4A ∈．故答案为(0,ππ4)．13．ππ4∵a ，bb ，cc 成等差数列，2b a ∴=+，即cc =2bb −aa ，点PP (−1,0)到直线ll :aaxx +bbyy +cc =0，=，两边平方化简可得(aa +bb )2=0，即bb =−aa ，则直线ll 的斜率为1ab−=，故直线的倾斜角是ππ4，故答案为ππ4．14．�−98,2�根据题意，以AABB 中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标： 正三角形AABBCC 的边长为2，则AA (−1,0),BB (1,0),CC�0,√3�，点PP 是AABBCC 三边上的动点，�����⃗=(−1−tt,0),PPBB�����⃗=(1−tt,0),PPCC�����⃗=�−tt,√3�则PPAA�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�所PPAA=(−1−tt,0)⋅�(1−tt,0)+�−tt,√3��=(−1−tt)⋅(1−2tt)=2�tt+14�2−98,(−1≤tt≤1)所以当tt=−14时取得最小值为−98；当tt=1时取得最大值为2. ②，当PP在线段CCBB上时，直线CCBB的方程为yy=−√3xx+√3，设PP�mm,−√3mm+√3�,(0≤mm≤1)，�����⃗=�−1−mm,√3mm−√3�,PPBB�����⃗=�1−mm,√3mm−√3�,PPCC�����⃗=�−mm,√3mm�，则PPAA�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�所PPAA=�−1−mm,√3mm−√3�⋅��1−mm,√3mm−√3�+�−mm,√3mm��=�−1−mm,√3mm−√3�⋅�1−2mm,2√3mm−√3�=8�mm−12�2,(0≤mm≤1)所以当mm=12时取得最小值为0；当mm=1或mm=0时取得最大值为2. ③，当PP在线段AACC上时，直线AACC的方程为yy=√3xx+√3，设PP�ss,√3ss+√3�,(−1≤ss≤0)，�����⃗=�−1−ss,−√3ss−√3�,PPBB�����⃗=�1−ss,−√3ss−√3�,PPCC�����⃗=�−ss,−√3ss�，则PPAA�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�，所PPAA=�−1−ss,−√3ss−√3�⋅��1−ss,−√3ss−√3�+�−ss,−√3ss��，=�−1−ss,−√3ss−√3�⋅�1−2ss,−2√3ss−√3�，=8�ss+58�2−98,(−1≤ss≤0)，所以当ss=−58时取得最小值为−98；当ss=0时取得最大值为2.�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�的取值范围为�−98,2�，综上可知，PPAA解答题15．（1）在△AABBCC 中，由余弦定理得ccccss BB =aa 2+cc 2−bb 22aacc，又因为aa =6，12cos 2b B c +=， 所以2221222a c b b c ac+−+⋅=，整理得2236b c bc +−=.在△AABBCC 中，由余弦定理得22362cos b c bc A +−=，所以bbcc =2bbcc ccccss AA ， 即ccccss AA =12又因为AA ∈(0,ππ)，所以AA =ππ3.（2）选①，设△AABBCC 的外接圆半径为R ，则在△AABBCC 中，由正弦定理得62sin sin 3BCR A π===，即R =因为MM 为外心，所以AAMM =2√3，与AAMM =4盾，故不能选①. 选②，因为MM 为△AABBCC 的垂心，所以222BMDMBD ACB ACB πππ∠=−∠=−−∠=∠， 又MMMM =√3，所以在△MMBBMM中，tan BD MD BMD ACB =⋅∠=∠，同理可得CDABC =∠，又因为6BD CD +=6ABC ACB ∠∠=，即tan tan ABC ACB ∠+∠又因为在△AABBCC中，tan()tan ABC ACB BAC ∠+∠=−∠=所以tan tan 1tan tan ABC ACBABC ACB∠+∠=−∠∠tan tan 3ABC ACB ∠∠=，故ttaass ∠AABBCC ，tan ACB ∠为方程xx 2−2√3xx +3=0两根，即tan tan ABC ACB ∠=∠因为∠AABBCC ，∠AACCBB ∈(0,ππ)，所以3ABC ACB π∠=∠=，所以△AABBCC 为等边三角形， 所以SS △AAAAAA =12×62×√32=9√3.选③，因为MM 为△AABBCC 的内心，所以∠BBAAMM =∠CCAAMM =12∠BBAACC =ππ6， 由SS △AAAAAA =SS △AAAAAA +SS △AAAAAA ， 得111sin sin sin 232626bc c AD b ADπππ=⋅+⋅， 因为AAMM =3√3，所以1()2b c =+，即3bc b c +=，由（1）可得2236b c bc +−=，即(bb +cc )2−3bbcc =36，所以2()33609bc bc −−=， 即(9)409bc bc+−=， 又因为bbcc >0，所以bbcc =36，所以SS ΔΔAAAAAA =12bbcc ssss ss ππ3=12×36×√32=9√3.16．（1）由题意得，1a =，2a =当覆盖的等圆有ss 层时，最下面一层的圆有ss 个，相邻两圆的圆心距为2aa nn ，最左边与最右边的两圆的圆心距为()21n n a −．又最左边与最右边的两圆的圆心在三角形底边上投影与底边最近顶点距离之和为n ，则()211n n n a −+=，∴n a =．（2）证明：被覆盖面积()211π2n n n S a +==2S =．被覆盖率120.9050.91S C S =<≈<， ∴对任意的层数ss ，此正三角形的被覆盖率CC 低于91%．17．（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 32对相交棱，因此P(ξ＝0)＝232128C C ＝8×366＝411.（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或√2，其中距离为√2的共有6对，故P(ξ＝√2)＝2126C ＝111， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝√2)＝1－411－111＝611， 所以随机变量ξ的分布列是 ξ1√2P(ξ)411611111因此E(ξ)＝1×611＋√2×111＝6+√211.18．（1）联立方程组与，可得，所以方程由两个不等式正根由此得到解得，所以r的范围为（2）不妨设E与M的四个交点坐标分别为设直线AC,BD的方程分别为，解得点p的坐标为设t=，由t=及（1）可知由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积将代入上式，并令，得求导数，令，解得当时，，当，；当时，当且仅当时，由最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为（）19．（1）当aa=0时，()e x=，f x x则ff′xx，令ff ′(xx )=0，得xx =−1， 则ff (xx )在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增.（2）由ff (xx )=(xx −aa )(ee xx −aa )，得()f x ′=e ()e (1)e x x x a x a x a a −+−=−+−， 令()(1)e x G x x a a =−+−，得()G x ′=(2)e x x a −+. 令()0G x ′=，则xx =aa −2， 所以()f x ′在(−∞,aa −2)上单调递减，在(aa −2,+∞)上单调递增， 易知()e a f a a ′=−，设函数()e x H x x =−， 令()e 10x H x ′−，可得xx =0，则()e x H x x =−在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， 又HH (0)=1>0，故()e 0x H x x =−>在RR 上恒成立，故()e 0a f a a ′=−>，又2(2)e 0a f a a −′−=−−<， 所以存在0(2,)x a a ∈−，使得()00f x ′=. 又当(,2)x a ∈−∞−时，易知()0f x ′<，故ff (xx )有且仅有一个极小值点xx 0.因为()00f x ′=，所以()0001e 0e 1x x x a +≥+，即xx 0≥−1， 则ff (xx 0)=�xx 0−(xx 0+1)ee xx 0ee xx 0+1��ee xx 0−(xx 0+1)ee xx 0ee xx 0+1�=−ee xx 0(ee xx 0−xx 0)2(ee xx 0+1)2设()()22e e ()e 1x x x x g x −=−+，求导得()g x ′=()()23e e e (1)e 2e 1x x x x x x x x −++−− −+. 设2()e (1)e 2x x h x x x =++−−，求导得2()2e (2)e 1x x h x x ′=++−，注意到ℎ′(xx )在[−1,+∞)上单调递增，且�ℎ′(−1)=2ee −2+ee −1−1<0ℎ′(0)=3>0， 所以存在cc ∈(−1,0)，使得()0h c ′=，从而()h x 在(−1,cc )上单调递减，在(,)c +∞上单调递增， 又(0)0h =，2(1)e 10h −−=−<，ee xx −xx >0，所以当−1≤xx <0时，gg′(xx )>0；当xx >0时，()0g x ′<. 所以gg (xx )在(−1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，则()01(0)4f x g ≤=−， 即ff (xx 0)的最大值为−14.。
2024年新高考数学押题密卷(三)(解析版)
2024年新高考数学押题密卷（三）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}21,3,A a =，{}1,2B a =+，若B A ⊆，则=a （）A ．2B ．1C ．2-D ．1-【答案】A【解析】由{}21,3,A a =，得21≠a ，即1a ≠±，此时21,23a a +≠+≠，由B A ⊆，得22a a =+，而1a ≠-，所以2a =.故选：A2．复数z 满足()2i 2z +=（i 为虚数单位），在复平面内z 的共轭复数所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由()2i 2z +=，得()()()22i 242i 2i 2i 2i 55z -===-++-，所以42i 55z =+，对应的点为42,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限.故选：A.3．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，则谷雨日影长为（）A ．1.5尺B ．3.5尺C ．5.5尺D ．7.5尺【答案】C【解析】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长分别为1a ，2a ，⋅⋅⋅，12a ，前n 项和(12)n S n ≤，由小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺，前八个节气日影长之和为80尺，得2461813931.5878802a a a a d S a d ++=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得113.5a =，1d =-，所以谷雨日影长为91813.58 5.5a a d =+=-=（尺）．故选：C4．2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比—热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（）3cm．A ．100π3B ．103π3C ．106π3D ．104π3【答案】D【解析】由模型的轴截面可知圆锥的底面半径为2cm ，高为2cm ；圆柱的底面半径为2cm ，高为8cm ，故该模型球舱体积为221104ππ22π2833⨯⨯⨯+⨯⨯=（3cm ），故选：D.5．已知F 为椭圆222:1(0)x C y a a+=>的右焦点，过原点的直线与C 相交于,A B 两点，且AF x ⊥轴，若35BF AF =，则C 的长轴长为（）ABC．D【答案】B【解析】设(),0F c ，如图，记F '为C 的左焦点，连接AF '，则由椭圆的对称性可知AF BF '=，由35BF AF =，设3,5AF m BF m ==，则5AF m '=.又AF x ⊥轴，所以42FF m c ==='，即2c m =，所以2228214AF AF m a a c m ⎧+=-='=⎨=⎩，解得3a m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以C 的长轴长为23a =.故选：B6．已知函数()y f x =的图像如图所示，则此函数可能是()A ．2()||2x xe ef x x x --=+-B ．2()||2x xe ef x x x --=+-C ．3||11||()e ex x x xf x --+=-D ．3||11||()e ex x x xf x ---=-【答案】B【解析】对于A ，2()||2x xe ef x x x --=+-，有2||20x x +-≠，解得1x ≠±，即()f x 的定义域为{|1}x x ≠±，在区间(0,1)上，0x x e e --<，2||20x x +-<，()0f x >，与所给图象不符；对于B ，2()||2x xe ef x x x --=+-，()f x 的定义域为{|1}x x ≠±，又由22()()||2||2x x x xe e e ef x f x x x x x -----===-+-+-，()f x 为奇函数，在区间(0,1)上，0x x e e -->，2||20x x +-<，()0f x <，在区间(1,)+∞上，0x x e e -->，2||20x x +->，()0f x >，与所给图象不矛盾；对于C ，3||11||()e ex x x xf x --+=-，有||11||0x x e e ---≠，解得1x ≠±，即()f x 的定义域为{|1}x x ≠±，在区间(3,)+∞上，311()x x x xf x e e --+=-，231111112(31)()()()()()x x x x x x e e e x x e e e x f x ------+-++-'-=，111232312(31)(31)()x x x x x x e e e x x e x x ----+----+++=，而x>3时，3x 2+1<x 3+x ，()0f x '<，f (x )在(3,)+∞上递减，与所给图象不符；对于D ，3||11||()e ex x x xf x ---=-，()f x 的定义域为{|1}x x ≠±，在区间(0,1)上，||11||0x x e e ---<，30x x -<，()0f x >，与所给图象不符.故选：B7．已知函数()()πcos 3π3cos 32f x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭()x ∈R ，关于()f x 的命题：①()f x 的最小正周期为2π3；②()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π3；③()f x 图像的对称轴方程为()ππ34k x k =+∈Z ；④()f x 图像的对称中心的坐标为()ππ,034k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ；⑤()f x 取最大值时()2ππ34k x k =+∈Z .则其中正确命题是（）A ．①②③B ．①③⑤C ．②③⑤D ．①④⑤【答案】B【解析】()()ππcos 3π3cos 3cos3sin 3324f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为2π3T =，故①正确；()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π23T =，故②错误；令()ππ3π42x k k -=+∈Z ，则()ππ43kx k =+∈Z ，故③正确；令()π3π4x k k -=∈Z ，则()ππ123k x k =+∈Z ，故④错误；令()ππ32π42x k k -=+∈Z ，则()π2π43k x k =+∈Z ，故⑤正确.故选：B.8．已知函数()f x 的定义域为R ，且()22f x +-为奇函数，()31f x +为偶函数，()10f =，则()20241k f k =∑=（）A ．4036B ．4040C ．4044D ．4048【答案】D【解析】由题意得()22f x +-为奇函数，所以()()22220f x f x +-+-+-=，即()()224f x f x ++-+=，所以函数()f x 关于点()2,2中心对称，由()31f x +为偶函数，所以可得()1f x +为偶函数，则()()11f x f x +=-+，所以函数()f x 关于直线1x =对称，所以()()()22f x f x f x +=-=--+，从而得()()4f x f x =+，所以函数()f x 为周期为4的函数，因为()10f =，所以()()134f f +=，则()34f =，因为()f x 关于直线1x =对称，所以()()314f f =-=，又因为()f x 关于点()2,2对称，所以()22f =，又因为()()()420f f f =-=，又因为()()()22422f f f -=-+==，所以()()()()12348f f f f +++=，所以()()()()()202412024123440484k f k f f f f =⎡⎤=⨯+++=⎣⎦∑，故D 正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量a ，b 不共线，向量a b + 平分a 与b的夹角，则下列结论一定正确的是（）A ．0a b ⋅=B ．()()a b a b +⊥- C ．向量a ，b 在a b +上的投影向量相等D ．a b a b+=- 【答案】BC【解析】作向量,OA a OB b == ，在OACB 中，=+ OC a b ，BA a b =-，由向量a b +平分a 与b 的夹角，得OACB 是菱形，即||||a b = ，对于A ，a与b 不一定垂直，A 错误；对于B ，220()()a b a b a b +⋅-=-= ，即()()a b a b +⊥- ，B 正确；对于C ，a 在a b + 上的投影向量222()()()||||a ab a a b a b a b a b a b ⋅++⋅+=+++ ，b 在a b + 上的投影向量22222()()()()||||||b a b b a b a a b a b a b a b a b a b a b ⋅++⋅+⋅+=+=++++，C 正确；对于D ，由选项A 知，a b ⋅不一定为0，则||a b + 与||a b - 不一定相等，D 错误.故选：BC10．A ，B 分别为随机事件A ，B 的对立事件，下列命题正确的是（）A ．若A ，B 为相互独立事件且()()1P A P B +=，则()()P AB B P A =B ．若()()P A B P A =，则()()P B A P B =C ．()()1P A B P A B +=D ．若()0P A >，()0P B >，则()()1P B A P B A +=【答案】ABC【解析】对于A ，由A ，B 为相互独立事件且()()1P A P B +=，得()()()[1()][1()]()(P AB P A P B P A P B P A P B ==--=，A 正确；对于B ，由()()P A B P A =，得()()()P AB P A P B =，即()()(|)()P AB P B P B A P A ==，B 正确；对于C ，事件,AB AB 互斥，则()()()()()()1()()()()P AB P AB P AB AB P B P A B P A B P B P B P B P B ++=+===，C 正确；对于D ，由选项C 同理得()()1P B A P B A +=，()P B A 与()P B A 不一定相等，因此()()1P B A P B A +=不一定成立，D 错误.故选：ABC11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3,,,E F G 分别为棱111,,BB DD CC 的点，且111112,,333BE BB DF DD CG CC ===，若点P 为正方体内部（含边界）点，满足：,AP AE AF λμλμ=+ ，为实数，则下列说法正确的是（）A ．点P 的轨迹为菱形AEGF 及其内部B ．当1λ=时，点P 的轨迹长度为C ．1AP 最小值为10D ．当12μ=时，直线AP 与平面ABCD 所成角的正弦值的最大值为11【答案】ABD【解析】对于A ，因为AP AE AF λμ=+，由空间向量基本定理可知，所以P 在菱形AEFG 内，A 正确；对于B ，取1CC 上一点H ，使得113CH CC =，连接,EH FH ，HB ，易证四边形AFHB 和四边形BHGE 是平行四边形，所以//,AF EG AF EG =，所以四边形AFGE 是平行四边形，所以AE FG =，当1λ=时，AP AE AF AP AE AF λμμ=+⇒=+,所以AP AE EG μ-= ，即EP EG μ= ，P 在线段EG 上，P 的轨迹长度为线段EG，B 正确；对于C ，由AP AE AF λμ=+知，P 在菱形AEFG 内，所以1AP 的最小值即为点1A 到平面AEFG 的距离，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()13,0,0,0,0,1,3,3,1,3,0,3A F E A ，可得()()()13,0,1,0,3,1,0,0,3AF AE AA =-==设平面AFGE 的法向量为()1,,n a b c = ，则113030n AF a c n AE b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取3c =，可得1,1a b ==-，所以()11,1,3n =-，所以1A 到平面AEFG的距离为：11111n AA d n ⋅=== ，故C错误；对于D ，当12μ=时，12AP AE AF AP AE AF λμλ=+⇒=+ ,分别取,AF EG 的中点,M N ，连接MN ，P 在线段MN 上，3133,0,,,3,2222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()01MP MN λλ=≤≤ ，可得31,3,22P λλ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，平面ABCD 的法向量为()0,0,1m = ，31,3,22AP λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，设AP 与面ABCD 所成角为θ，所以12sin cos ,AP m AP m AP mλθ+⋅===⋅设121t λ=+，因为[]0,1λ∈，则1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则1122t λ=-代入化简可得sin θ当12t =时，直线AP 与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为11，D 正确．故选：ABD ．第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2024年新高考数学猜题密卷01(原卷版)
2024年新高考数学猜题密卷01（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．现有随机选出的20个数据，统计如下，则（）7243954616673828282879195898102102108114120A ．该组数据的众数为102B ．该组数据的极差为112C ．该组数据的中位数为87D ．该组数据的80%分位数为1022．在建筑中很多圆顶建筑的顶部会使用抛物线形状，例如飞机库、穹顶体育场和博物馆采用了抛物线形状的圆顶，因为这种形状可以提供良好的结构稳定性，并能使空间更加开阔.图1为某机场的一个飞船库，它的一个纵截面呈抛物线形，将其置于平面直角坐标系xOy 中，如图2.已知该飞船库的底面宽度约为96m ，高度约为60m ，则此纵截面所在抛物线的方程为（）A ．21925x y =-B ．2965x y =-C ．2752x y =-D ．275x y=-3．若数列{}n a 满足211a =，111n na a +=-，则985a =（）A ．1110B ．11C ．110-D ．10114．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，体积为3，则该正四棱台的高为（）A ．1B ．43C ．65D ．975．甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A ．518B ．625C ．925D ．896．在平面直角坐标系中，集合(){},0A x y kx y k =-+=，集合(){},1B x y y kx ==-，已知点M A ∈，点N B ∈，记d 表示线段MN 长度的最小值，则d 的最大值为（）A ．2BC ．1D 7．在ABC 中，4AB =，π3ACB ∠=，D 为AB 的中点，则CD 的最大值为（）AB ．C ．D ．8．已知复数12,z z 满足1128811z i z i z p p i pp ⎛⎫+-+-+==+++ ⎪⎝⎭，（其中0,p i >是虚数单位），则12z z -的最小值为（）A ．2B ．6C ．2D ．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()ππsin 2cos 236f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．()f x 的最大值为2B ．()f x 在ππ,86⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 在[]0,π上有2个零点D ．把()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象关于原点对称10．如图，在梯形ABCD 中，2AB DC =，点E 是CD 的中点，点F 是BD 上靠近点B 的三等分点，则（）A ．12AE AB AD=+B ．2133AF AB AD=+C ．52123EF AB AD =-D ．1263CF AB AD =- 11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别是棱11,B B C C 上的动点，11111224AA A B A C ===，111π3AC B ∠=，则下列说法正确的是（）A ．直三棱柱111ABC ABC -的体积为43B ．直三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为16πC ．若,E F 分别是棱11,B B C C 的中点，则异面直线1A F 与AE 所成角的余弦值为14D ．1AE EF FA ++取得最小值时，1A F EF=第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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高考密码猜题卷[新课标版]注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上、考试结束，试题和答题卡一并收回．3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：球的表面积公式：S ＝4πR 2，其中R 是球的半径. 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率： P n （k ）＝C kn p k (1-p )n-k （k ＝0，1，2，…，n ）. 如果事件 A ．B 互斥，那么P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）. 如果事件 A ．B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）·P （B ）.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合{}6,5,4=P ，{}3,2,1=Q ，定义{}Q q P p q p x x Q P ∈∈-==⊕,,|，则集合Q P ⊕的所有真子集的个数为（ ）A ．32B ．31C ．30D ．以上都不对 2．已知函数()cos 2f x x π=+（x R ∈），则下列叙述错误的是（ ）A ．()f x 的最大值与最小值之和等于π B ．()f x 是偶函数C ．()f x 在[]4,7上是增函数D ．()f x 的图像关于点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称3．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点。
公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 （ ）A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法4．在圆x y x522=+内，过点)23,25(有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项1a ，最长弦长为n a ，若公差]31,61(∈d ，那么n 的取值集合为（ ）A ．}6,5,4{B ．}9,8,7,6{C ．}5,4,3{D ．}6,5,4,3{5．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m 、n ，有下列四个命题： ①若α⊥m n m ,//，则α⊥n②若βαβα//,,则⊥⊥m m ；③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ；④若n m n m //,,,//则=βααI其中不正确的命题的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．右图是一个空间几何体的三视图,根据图中尺寸（单位:cm ）,可知几何体的表面积是（ ） A ．183+B ．1623+C ．173+D ．183+7．在ABC ∆中，c b a ,,分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量m (),,b c c a =--n (),b c a =+，若向量m ⊥n ，则角A 的大小为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．32π8．定义{}⎩⎨⎧<≥=),(),(,maxb a b b a a b a 设实数x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤,2,2y x且{}y x y x z -+=3,4m ax ，则z 的取值范围为（ ）A ．]0,6[-B ．]10,7[-C ．]8,6[-D ．]8,7[-9．对任意x R ∈，2234x x a a -++≥-恒成立，则a 的取值范围是 （ ）A ．15a -≤≤Ｂ．15a -<≤C ．15a -≤<D ．15a -<<10．如右图所示的曲线是以锐角ABC ∆的顶点B 、C 为焦点，且经过点A 的双曲线，若ABC ∆的内角的对边分别为,,a b c ,且sin 34,6,c A a b a === ） A 37+B 37-C ．37D ．3711．在113)23(x x -的展开式中任取一项，则所取项为有理项的概率为α，则=⎰-11αx（ ）A ．61B ．712 C ．98 D ．512 12．如图所示，为了测量该工件上面凹槽的圆弧半径R ，由于没有直接的测量工具，工人用三个 半径均为r （r 相对R 较小）的圆柱棒123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡 尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直 深度h ，若10,4rmm h mm ==时，则R 的值为 （ ） A ．25mmB ．5mmC ．50mmD ．15mm第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上。
13．若复数z ＝sin α－i （1－cos α）是纯虚数，则α= ；14．若函数f （x ）＝x 3－3bx ＋b 在区间（0，1）内有极小值，则b 应满足的条件是 ；15．根据如图所示的算法流程图，可知输出的结果T 为 ；16．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i a i =，P 是该四边形内任意一点，P 点到第i 条边的距离记为i a ，若31241234a a a a k ====，则412()i i S ih k ==∑．类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i=，Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为i H ，相应的正确 命题是 ；三、解答题：共大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2。
（Ⅰ）若cos B ＝－36，求sin C 的值； （Ⅱ）求角C 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面 ABCD ，AB＝3，BC ＝1，P A ＝2，E 为PD 的中点． （Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥面P AC ，并求出点N 到AB 和AP 的距离．19．（本小题满分12分）设两球队A ， B 进行友谊比赛，在每局比赛中A 队获胜的概率都是 p （0≤p ≤1）， （Ⅰ）若比赛6局，且p ＝23，求其中一队至多获胜4局的概率是多少？（Ⅱ）若比赛6局，求A 队恰好获胜3局的概率的最大值是多少？（Ⅲ）若采用“五局三胜”制，求A 队获胜时的比赛局数ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝log a 1－mxx－1是奇函数（a>0，a≠1）。
（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求f′（x）和函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若当x∈（1，a－2）时，f（x）的值域为（1，＋∞），求实数a的值。
21．（本小题满分12分）已知M 是以点C 为圆心的圆22(1)8x y ++=上的动点，定点(1,0)D ．点P在DM 上，点N 在CM 上，且满足2,0DM DP NP DM =⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u u r．动点N 的轨迹为曲线E 。
（Ⅰ）求曲线E 的方程； （Ⅱ）线段AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求AOB ∆面积S 的取值范围。
22．（本小题满分14分）已知数列{a n }中，a 1＝12，点（n ，2a n ＋1－a n ）（n ∈N ）在直线y ＝x 上，（Ⅰ）计算a 2，a 3，a 4的值；（Ⅱ）令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证：数列{b n }是等比数列；（Ⅲ）设S n 、T n 分别为数列{a n }、{b n }的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列{S n ＋λT nn}为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．解析：B ，由所定义的运算可知{}5,4,3,2,1=⊕Q P ，Q P ⊕∴的所有真子集的个数为31125=-．故选B 。
2．解析：C ，由题意得()cos cos 22f x x x ππ=+=+，因此结合各选项知()f x 在[]4,7上是增函数是错误的，选C 。
3．解析：B ；① 因为抽取销售点与地区有关，因此要采用分层抽样法；②从20个特大型销售点中抽取7个调查，总体和样本都比较少，适合采用简单随机抽样法。
4．解析：A ；由题意得4])023()2525[()25(22221=-+--=a ，5225=⨯=n a ，1111-=--=∴n n a a d n ，3161≤<d Θ，311161≤-<∴n ，613<-≤∴n ，74<≤∴n ，*N ∈n Θ，6,5,4=∴n ．故选A 。
5．解析：Ｂ，真命题有①，②，③．假命题是④，这可以举出反例。
6．解析：D ，由三视图可得,该几何是一个底面边长为2高为3的正三棱柱,其表面积22332322182 3 S cm =⨯⨯+⨯⨯=+。
7．解析：B ；m ⊥n ⇒m ⋅n 0=⇒2221()()()0cos 2b c b c a c a b c a bc A -+-+=⇒+-=⇒=3A π⇒=。
8．解析：B ，y x y x y x 2)3()4(+=--+Θ，⎩⎨⎧-+=∴y x yx z 34 ).02(),02(<+≥+y x y x 直线02=+y x 将约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤22y x 所确定的平面区域分为两部分．如图，令y x z +=41，点),(y x 在四边形ABCD 上及其内部，求得1071≤≤-z ；令y x z -=32，点),(y x 在四边形ABEF 上及其内部（除AB 边），求得872≤≤-z ．综上可知，z 的取值范围为]10,7[-．故选 B ．评析：表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是y x z +=4还是y x z -=3并没有明确确定下来，直线02=+y x 又将原可行域分为两部分．本H题看似风平浪静，实际暗藏玄机，化动为静，在静态状态下，从容破解问题 9．解析：A ，因为235x x -++≥，要2234x x a a-++≥-恒成立，即：254aa ≥-，解得：15a -≤≤。
10．解析：D ，sin 33sin 2sin sin 232c A a c C a A C=⇒==⇒=,因为C 为锐角， 所以C=3π，由余弦定理知2222212cos 4624628,272ca b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯== 37627a ebc ===+--评析：离心率是圆锥曲线的一个重要特征量，是高考“经久不衰”的重点和热点内容，必须高度重视．本题以椭圆为载体，巧妙地将光的反射融于其中，对平面几何及解析几何的考查均非常深刻，对计算能力要求较高，极富思考性和挑战性，具有较好的区分和选拔功能11．解析：A ，因为展开后展开式一共12项，其通项公式为r r r r x x C T )2()3(311111-⋅⋅=-+6331111)2(3r rrrxC --⋅-⋅⋅=，,11,,1,0Λ=r其中只有第4项和第10项是有理项， 故所求概率为61122=． 12．解析C ，如图所示，在H O O 21∆中， 2021=O O ，4)(2=-+=r h r H O 。