第49讲、最大公因数、最小公倍数---加深版

第49讲、最大公因数、最小公倍数

----加深版

一、基础知识：

1、约数和倍数： 如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的约数。

2、公约数和最大公约数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

3、公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

二、基本性质的性质：

两个数都除以它们的最大公约数，所得的两个商是互质数。

几个数的最大公约数都是这几个数的约数。

几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。

几个数都乘以一个自然数m 所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m

5、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

6、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

3、求两个数的最大公约数方法：

（1）分解质因数法（2）短除法

（3）辗转相除法（4）小数缩倍法

（5）公式法a ×b = （a,b ）×

[a,b]

4、最小公倍数

求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种：

（1）分解质因数法（2）短除法

（3）公式法 a ×b=（a,b ）×[a,b] =两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。

（4）大数翻倍法

1、两个自然数的最小公倍数是 180 ，最大公因数是 12 ，并且小数不能整除大数。求这两个数？

2、两个自然数的最大公因数是 7 ，最小公倍数是 210 ，已知这两个数的和为 77 ，求这两个数。

3、两个数的最大公约数是20，最小公倍数是560，符合条件的两个数中差最小的两个数各是多少？

4、排练团体操，要求队伍变成 10 行、 15 行、 18 行、 24 行时队伍能成为矩形，问至少要多少人参加排练？

5、一块长方形地面，长 110 米 ，宽 60 米 ，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？

6、两个自然数的最大公因数是 6 ，最小公倍数是 120 ，已知其中一个数为 24 ，求另一个数。

1、 用 96 朵红花和 72 朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？

2、从小明家到学校原来每隔 50 米安装一根电线杆，两端的两根一共是 55 根电线杆，现在改成每隔 60 米安装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途还

3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。至少能剪块。（北京市第一届迎春杯数学竞赛刊赛试题）

4、38支钢笔，41只计算器，平均奖给四、五年级评比的优秀学生，结果钢笔多出2支，计算器差1只。问：评出的优秀学生最多有几人？

5、要使2005×684×375×□的结果的最后5位都是0，请问□里最小是几？

6、甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商为12，若甲、乙两数差为18，这两个数分别是多少？

1、三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书，甲 3 天去一次，乙 4 天去一次，丙 5 天去一次。星期一时，他们三人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又在图书馆相遇？相遇时是星期几？

2、把一张长 1 米 3 分米 5 厘米 、宽 1 米 5 厘米 的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？

3、在一根长木棍上用红、黄、蓝三种着色做标记，分别将木棍平均分成了10等份、12等份、15等份。如果沿着这三种标记把木棍锯断，问木棍总共被锯成了多少段？

4、一次会餐供有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用了 65 瓶，平均每 2 个人合用一瓶 A 饮料，每 3 人合用一瓶 B 饮料，每 4 人合用一瓶 C 饮料。问参加会餐的人数是多少人？

5、加工机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时完成 3 个，第二道工序每个工人每小时完成 10个，第三道工序每个工人每小时完成 5 个，要使生产顺利进行，又不浪费人力、时间，三道工序至少各需多少工人？

6、加工一种零件有三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成48个，第二道工序每个工人每小时可完成32个，第三道工序每个工人每小时可完成28个。在每道工序至少安排多少工人，才能搭配合适，使每道工序不产生积压或停工待料。

7、已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数各是多少？

1、已知两个自然数的差是4，它们的最小公倍数与最大公约数的积为252，求这两个自然数各是多少？

2、在一根长 100 厘米的木棍上，自左至右每隔 6 厘米染上一个红点，同时自右至左每隔 5 厘米染上一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是 1 厘米的短木棍有多少根？

1、1、甲、乙、丙三人定期向王老师求教。甲每隔6天去一次，乙每隔8天去一次，丙每隔9天去一次。如果6月17日他们三人都在王老师家见面，那么下一次三人都在王老师家见面的时间是几月几日？

2、有甲、乙两个互相衔接的齿轮，甲轮有437齿，乙轮有323齿，甲的某一齿与乙的某一齿从第一次接触到第二次接触，需要各转几周？

3、一次会餐，每两人合用一只饭碗，三人合用一只菜碗，四人合用一只汤碗。会餐共用了65只碗，问：参加会餐的人数是多少？