6.5 线性子空间
线性空间子空间
线性空间子空间概念在线性代数中，线性空间是指具有加法和标量乘法运算的集合，它满足以下四个条件：1.加法封闭性：对于任意的两个向量u和v，它们的和u+v也属于线性空间中。
2.标量乘法封闭性：对于任意的标量k和向量u，它们的乘积ku也属于线性空间中。
3.加法结合律：对于任意的三个向量u、v和w，满足(u+v)+w = u+(v+w)。
4.零向量存在性：存在一个零向量0，满足对于任意的向量u，都有u+0 = u。
线性空间中的子空间是指线性空间的一个子集，且在该子集上定义的加法和标量乘法运算仍然满足线性空间的四个条件。
换句话说，如果一个集合是某个线性空间的子空间，那么它也是一个线性空间。
性质线性空间子空间具有以下性质：1.子空间包含零向量：任意线性空间的子空间都必然包含零向量0。
2.子空间封闭性：对于任意子空间中的两个向量，它们的和仍然属于该子空间。
3.子空间封闭于标量乘法：对于任意子空间中的一个向量和一个标量，它们的乘积仍然属于该子空间。
例子考虑一个实数域上的线性空间R^3，其中的向量可以表示为(x, y, z)的形式。
假设我们要研究关于平面x = 0的子空间。
这个子空间可以表示为{(0, y, z) | y, z∈R}。
验证这个集合是线性空间的子空间需满足以下条件：1.加法封闭性：对于任意两个向量(0, y₁, z₁)和(0, y₂,z₂)，它们的和(0, y₁+y₂, z₁+z₂)仍然属于这个集合。
2.标量乘法封闭性：对于任意向量(0, y, z)和标量k，它们的乘积(k⋅0, k⋅y, k⋅z)仍然属于这个集合。
3.加法结合律：满足(u+v)+w = u+(v+w)对于这个集合中任意的向量u、v和w。
4.零向量存在性：这个集合中存在一个零向量(0, 0, 0)，满足任意向量(0, y, z)加上零向量仍然得到(0, y, z)。
由于满足这四个条件，我们可以得出结论，这个集合是我们所考虑的线性空间R^3的子空间。
线性子空间——精选推荐
§6-5 线性子空间一、定义设V 是数域P 上的线性空间，W 是V 的非空子集，如果W 对于V 的两种运算也构成数域P 上的线性空间，则称W 是V 的一个线性子空间，简称子空间。
例如：三维几何空间中，考虑一个过原点的平面，其上所有向量对于向量的加法和数乘构成一个二维子空间。
从定义上看判断一个非空子集是否子空间，需要逐一验证线性空间的8条运算法则，工作量太大，下面给出判断非空子集是否子空间的判断定理。
二、判断定理定理2：如果线性空间V 的非空子集W 对于V 的两种运算是封闭的，则W 是V 的一个线性子空间。
分析：所谓封闭是指，当P k W ∈∈,,βα时，一定有W ∈+βα，及W k ∈α 证明：对于线性空间的8条运算法则逐一验证。
①②因为V 是线性空间，一定满足αββα+=+，且()()γβαγβα++=++，而W 是V 的子集，其中元一定是V 的元，于是也满足③因为对数乘封闭，所以当0=k 时，W k ∈=0α④因为对数乘封闭，所以当1-=k 时，W ∈-=-αα1⑤--⑧同①②的证法。
对于子空间同样可引人维数、基及坐标的概念，由于V W ⊂，所以W 中不可能有比V 中更多的线性无关的向量，故：W 的维数≤V 的维数。
三、几种特殊的子空间1、 零子空间：因为V ∈θ ，可证明单独一个零元组成一个子空间，叫做零子空间。
2、 平凡子空间：由于V 本身也是V 的子空间，所以称零子空间和V 本身叫做V 的平凡子空间（或假子空间）。
其它的子空间都叫做非平凡子空间（或真子空间）。
例1：普通三维几何空间中，过原点而在一个平面上的所有向量构成一个二维子空间，过原点而在一条直线上的所有向量构成一个一维子空间。
例2：nP 中，使第一个分量01=a 的向量()n a a ,,,02 构成一个子空间，是1-n 维的。
例3：[]n x P 是n P 的一个子空间。
例4：在n P 中，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00111111n mn m n n x a x a x a x a （*）的全部解向量构成一个子空间，称为（*）的解空间。
线性空间与子空间的性质
线性空间与子空间的性质线性空间是数学中的一个重要概念，广泛应用于线性代数、函数分析和其他相关领域。
线性空间由两个基本要素组成：一个域和一个向量集合。
在线性空间中，向量之间可以进行加法和数乘操作，并满足相应的性质。
子空间是线性空间的一个重要概念，它由线性空间中的一部分向量组成，同时满足线性空间的定义和运算规则。
本文将介绍线性空间和子空间的性质。
一、线性空间的性质1. 加法封闭性线性空间中的任意两个向量相加仍然属于该空间。
即对于任意的向量u和v，u+v仍然属于线性空间。
2. 数乘封闭性线性空间中的任意向量与一个标量相乘仍然属于该空间。
即对于任意的向量u和标量c，cu仍然属于线性空间。
3. 加法交换律线性空间中的向量加法满足交换律。
即对于任意的向量u和v，u+v=v+u。
4. 加法结合律线性空间中的向量加法满足结合律。
即对于任意的向量u、v和w，(u+v)+w=u+(v+w)。
5. 零向量的存在线性空间中存在一个特殊的向量，称为零向量，它与任意向量相加得到该向量本身。
即对于线性空间中的任意向量u，存在一个零向量0，使得u+0=u。
6. 加法逆元的存在线性空间中的任意向量都存在一个相反向量，使得它们相加等于零向量。
即对于线性空间中的任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0。
二、子空间的性质1. 非空性子空间中至少包含一个向量。
2. 加法封闭性子空间中的任意两个向量相加仍然属于该子空间。
即对于任意的子空间中的向量u和v，u+v仍然属于该子空间。
3. 数乘封闭性子空间中的任意向量与一个标量相乘仍然属于该子空间。
即对于任意的子空间中的向量u和标量c，cu仍然属于该子空间。
4. 包含零向量子空间中必须包含零向量。
5. 子空间的维数子空间的维数是指子空间中所含向量的最大线性无关组的向量个数。
6. 子空间的性质继承子空间继承了线性空间的所有性质。
总结：线性空间是由向量组成的数学结构，具有加法和数乘操作，并满足一系列性质，如加法封闭性和数乘封闭性。
第六章线性空间与线性变换
高等代数第六章 线性空间与线性变换第六章 线性空间与线性变换§6.1 线性空间与简单性质一、线性空间的概念定义 设V 是一个非空集合，F 是一个数域．在V 上定义了一种加法运算“+”，即对V 中任意的两个元素α与β，总存在V 中唯一的元素γ与之对应，记为βαγ+=；在数域F 和V 的元素之间定义了一种运算，称为数乘，即对F 中的任意数k 与V 中任意一个元素α，在V 中存在唯一的一个元素δ与它们对应，记为αδk ＝．如果上述加法和数乘满足下列运算规则，则称V 是数域F 上的一个线性空间．（1） 加法交换律：αββα＋＝+；（2） 加法结合律：()()γβαγβα＋＝+++；（3） 在V 中存在一个元素0，对于V 中的任一元素α，都有αα＝＋0； （4） 对于V 中的任一元素α，存在元素β，使0＝＋βα； （5） α⋅1=α；（6） βαβαk k k ＋＝＋)(，∈k F ； （7） ()∈+l k l k l k ,,ααα＋＝F ； （8） ()()ααkl l k ＝，其中γβα,,是V 中的任意元素，l k ,是数域F 中任意数．V 中适合（3）的元素0称为零元素；适合（4）的元素β称为α的负元素，记为α−．下面我们列举几个线性空间的例子． 例1数域F 上的所有n 维列向量集nF 算规则，它是数域F 上的一个线性空间．特别地，当R F ＝时，n R 称为n 维实向量空间；当C F ＝时，n C 称为n 维复向量空间．例2 数域F 上的全体n m ×矩阵构成一个F 上的线性空间，记为)(F n m M ×． 例3数域F 上的一元多项式全体，记为][x F ，构成数域F 上的一个线性空间．如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域F 上的一个线性空间，记为n x F ][．高等代数讲义例4实系数的n 元齐次线性方程组0=Ax 的所有解向量构成R 上的一个线性空间．称之为方程组0=Ax 的解空间．例5闭区间],[b a 上的所有连续实函数，构成一个实线性空间，记为],[b a C ．例6 零空间．注：线性空间中的元素仍称为向量．然而其涵义比n 维有序数组向量要广泛的多．二、性质性质1 零向量是唯一的． 性质2 负向量是唯一的．注：利用负向量，我们定义减法为：)(βαβα−+=−．性质3 对V 中任意向量γβα,,，有（1） 加法消去律：从γαβα+=+可推出γβ=；（2） 0=⋅α0，这里左边的0表示数零，右边的0表示零向量； （3） 00=⋅k ； （4） αα−=−)1(；（5） 如果0=αk ，则有0=k 或0=α．注：线性空间上的加法和数乘运算与nF 的一样，都满足八条运算规律，所以第四章 中关于向量组的一些概念以及结论，均可以平行地推广到一般的n 维线性空间中来．在这里不再列举这些概念和结论，以后我们就直接引用，不另加说明．§6.2 基与维数本节讨论线性空间的结构一、定义与例子定义1 设V 是数域F 上的一个线性空间，如果V 中的n 个向量n εεε,,,21L 满足 （1）n εεε,,,21L 线性无关；（2）V 中的任意向量都可由n εεε,,,21L 线性表示，则称n εεε,,,21L 为线性空间V 的一组基，n 称为V 的维数，记为n V =dim ，并称V 为数域F 上的n 维线性空间．注1：零空间没有基，其维数规定为0．注2：如果在线性空间V 中存在无穷多个线性无关的向量，则称V 为无限维线性空间，第六章 线性空间与线性变换例：连续函数空间],[b a C 就是一个无限维空间．推论1 n 维线性空间中的任意1+n 个向量必线性相关．注3： 将线性空间V 看成一个向量组，那么它的任意一个极大线性无关组就是V 的一组基，其秩就是维数．推论2 n 维线性空间V 中的任意n 个线性无关的向量组成V 的一组基．定义2 设n εεε,,,21L 是n 维线性空间V 的一组基，则对V 中的任意向量α，存在唯一数组n x x x ,,,21L ，使得n n x x x εεεα+++=L 2211，我们称n x x x ,,,21L 为向量α在基n εεε,,,21L 下的坐标，记作()Tn x x x ,,,21L ．例1 在n 维向量空间nF 中，显然⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=100,,010,00121ML M M n εεε,是nF 的一组基．对任一向量Tn a a a ),,,(21L =α都可表示成n n a a a εεεα+++=L 2211，所以Tn a a a ),,,(21L 就是向量α在这组基下的坐标．选取另一组基：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111,,011,00121ML M M n ηηη，对于向量Tn a a a ),,,(21L =α，有()()()n n n n n a a a a a a a ηηηηα+−++−+−=−−11232121L ，所以α在这组基下的坐标为()Tn n n a a a a a a a ,,,,13221−−−−L ．例2 在线性空间n x F ][中，容易验证121,,,1−===n n x x αααL高等代数讲义是n x F ][的一组基．在这组基下，多项式1110)(−−+++=n n x a x a a x f L 的坐标就是它的系数()Tn a a a 110,,,−L ．考虑n x F ][中的另一组基()121,,,1−−=−==n n a x a x βββL ．由泰勒(Taylor)公式，多项式)(x f 可表示为()1)1()(!1)())((')()(−−−−++−+=n n a x n a fa x a f a f x f L ，因此，)(x f 在基n βββ,,,21L 下的坐标为()Tn n a f a f a f ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−!1)(,),('),()1(L ． 例3 在所有二阶实矩阵构成的线性空间)(22R ×M 中，考虑向量组⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1000,0100,0010,000122211211E E E E ． 首先这是一组线性无关组．事实上，若有实数4321,,,k k k k ，使=+++224213122111E k E k E k E k O k k k k =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛4321， 则有04321====k k k k ，这就说明了22211211,,,E E E E 线性无关．其次，对于任意二阶实矩阵⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211a aa a A , 可表示为2222212112121111E a E a E a E a A +++=，因此22211211,,,E E E E 是22×M 的一组基，22×M 是4维实线性空间，并且A 在这组基下的 坐标为()Ta a a a 22211211,,,．第六章 线性空间与线性变换二、同构关系1．映射设M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ，使M 中的每个元素a 都有N 中的一个唯一确定的元素'a 与之对应，则称ϕ是集合M 到集合N 的一个映射．'a ∈N 称为a 在映射ϕ下的像，而a 称为'a 在映射ϕ下的原像．记作')(a a =ϕ．M 中元素在ϕ下像的全体构成N 的一个子集，记之为ϕIm 或)(M ϕ。
高等代数§6.5 线性子空间
设 l1 1 l 2 2 l r r l r 1 j 0 , 即
l1 ( 1 , 2 , , r , j ) 0, lr l r 1
l1 则有 ( 1 , 2 , , n ) B j l 0 r l r 1
首先 0 ( 0 , 0 , , 0 ) W 3 , W 3
其次， , W 3 , k P ,
设 ( x 1 , x 2 , , x n 1 , 0 ), ( y 1 , y 2 , , y n 1 , 0 ) 则有 ( x 1 y 1 , x 2 y 2 , , x n 1 y n 1 , 0 ) W 3
1 , 2 , , t ( t r ) 为它的一个极大无关组．
因为 1 , 2 , , r 与 1 , 2 , , t 等价， 所以,
L ( 1 , 2 , , r ) L ( 1 , 2 , , t ).
由§3定理1，
②
又秩(A1)＝r，∴方程组②只有零解，即
k1 k 2 k r 0,
1 , 2 , , r
线性无关.
任取 j ( j 1, 2 , , s ), 将A的第j列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj ，则
( 1 , 2 , r , j ) ( 1 , 2 , , n ) B j
1 , 2 , , t 就是 L ( 1 , 2 , , r ) 的一组基，
所以，L ( 1 , 2 , , r ) 的维数＝t．
推论：设 1 , 2 , , s 是线性空间V中不全为零
线性空间的子空间分析
线性空间的子空间分析对于线性代数领域来说，线性空间的子空间是一个重要的概念。
在本文中，我们将深入讨论线性空间的子空间，并分析它的特性以及与原始空间的关系。
一、子空间的定义与性质子空间是指在给定的线性空间中，满足线性组合封闭性质的一个非空集合。
具体而言，对于一个线性空间V，若W是V的一个子集，同时W也是一个线性空间，那么称W为V的子空间。
子空间的定义要求满足以下条件：1. 子空间必须包含零向量。
2. 子空间中的任意两个向量的线性组合仍然属于该子空间。
3. 子空间在对应线性空间中，也是线性无关的。
子空间的这些性质可以让我们更加深入地研究和理解线性空间的结构。
二、子空间与原始空间的关系子空间与原始空间之间存在着一种包含关系。
换句话说，子空间是原始空间的一个子集。
这是因为子空间满足了线性空间的所有特性，同时也满足了原始空间的条件。
我们可以通过一个例子来说明子空间与原始空间的关系。
假设有一个二维平面上的线性空间V，其中所有的二维向量都属于V。
如果我们选取平面上的一条直线L，那么L上的所有向量组成的集合就是V的一个子空间。
这个子空间与原始空间V之间存在着一一对应的关系。
三、子空间的维数和基底的选择与线性空间类似，子空间也可以有维数的概念。
子空间的维数是指子空间的一个最大线性无关向量组中所包含的向量个数。
维数的选择对于描述子空间的特性非常重要。
为了找到子空间的维数，我们可以选择一个合适的基底。
基底是指子空间中的一个最大线性无关向量组，通过基底的选择，我们可以得到子空间的维数。
而子空间的维数等于基底的向量个数。
在选择基底的时候，我们需要确保选择的向量组是线性无关的，并且能够张成整个子空间。
通过选择合适的基底，我们可以更好地描述子空间的几何结构。
四、子空间的应用与意义子空间的概念在数学和工程学科中都有广泛的应用。
在线性代数中，子空间是理解和分析线性空间结构的重要工具。
它可以帮助我们解决线性方程组、矩阵运算等问题。
高等代数§6.5 线性子空间
其次， , W 3 , k P ,
设 ( x 1 , x 2 , , x n 1 , 0 ), ( y 1 , y 2 , , y n 1 , 0 ) 则有 ( x 1 y 1 , x 2 y 2 , , x n 1 y n 1 , 0 ) W 3
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 量乘法构成的线性空间是 n维向量空间Pn 的一个子 空间，称W为方程组(＊)的解空间．
注 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，A
( a ij ) s n
；
② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
例5
判断Pn的下列子集合哪些是子空间：
n 1 (1, 0 , , 0 , 1) 就是W1 的一组基.
而在 W2中任取两个向量 , ，设
( x 1 , x 2 , , x n ), ( y 1 , y 2 , , y n )
则 ( x 1 y 1 , x 2 y 2 , , x n y n )
设 l1 1 l 2 2 l r r l r 1 j 0 , 即
l1 ( 1 , 2 , , r , j ) 0, lr l r 1
l1 则有 ( 1 , 2 , , n ) B j l 0 r l r 1
则对 i , i 1, 2 , , r , 有 i L ( 1 , 2 , , s )， 从而 i 可被 1 , 2 , , s 线性表出；
同理每一个 i 也可被 1 , 2 , , r 线性表出.
第五节 线性子空间
维数为 3 .
▲
§6.5 线性子空间
证毕
§6.5 线性子空间
定理 3 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的
一个 m 维子空间，1 , 2 , … , m 是 W 的一个基 ,
那么这组向量必定可扩充为整个空间的基. 也就是
说在 V 中必定可以找到 n - m 个向量m +1 , m + 2 , …, n ，使得 1 , 2 , … , n 是 V 的基 .
a1n xn 0 , a2n xn 0 ,
amn xn 0
§6.5 线性子空间
的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐 次线性方程组的解空间. 解空间的基就是方程组 的基础解系，它的维数等于 n - r , 其中 r 为系数矩 阵的秩.
§6.5 线性子空间
例6
判断
W
§6.5 线性子空间
定理 1 设W 是P 上的线性空间 V 的非空子集, 则 W 是V 的子空间的充要条件是:
(1) , W + W ; (2) kP , W k W.
注 ◆ 要判定子集W 是 V 的子空间, 需要验证 W 非空, 而定理 1 的条件(1)、(2) 可以合并为：
1) 设 W 是 V 的一个子空间，且 W 包含1, 2, … , r , 则
L (1 , 2 , … , r ) W .
2) 设 V 是一个有限维线性空间，W 是 V 的一
个子空间，则 W 也是有限维的. 设1 , 2 , … , r
是 W 的一个基，就有
W = L (1 , 2 , … , r ) .
可以扩充为整个空间的基. 根据归纳法原理，定理得证.
线性子空间
α1 ,α 2 ,⋯ ,α t ( t ≤ r ) 为它的一个极大无关组． 为它的一个极大无关组．
因为 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 与 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α t 等价， 所以, 等价， 所以,
L(α1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) = L(α1 ,α 2 ,⋯ ,α t ).
第六章 线性空间 §5 线性子空间
例5
判断P 的下列子集合哪些是子空间： 判断 n的下列子集合哪些是子空间：
W1 = {( x1 , x2 ,⋯ , xn ) x1 + x2 + ⋯ + xn = 0, xi ∈ P } W2 = {( x1 , x2 ,⋯ , xn ) x1 + x2 + ⋯ + xn = 1, xi ∈ P } W3 = {( x1 , x2 ,⋯ , xn−1 ,0) xi ∈ P , i = 1,2,⋯ , n − 1}
的一个子空间． 则R[x]为V的一个子空间． 为 的一个子空间 例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间． 的的线性子空间． 的的线性子空间
线性子空间
第六章 线性空间 §5
ห้องสมุดไป่ตู้
例4
n元齐次线性方程组 元齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a x + a x +⋯ + a x = 0 s2 2 sn n s1 1
∀α ∈ L(α1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) ， 可被 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 线性表出， α 线性表出，
线性空间与子空间
线性空间与子空间线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有线性运算和封闭性的向量集合。
在线性空间中，有一个与之相关的概念，那就是子空间。
子空间是线性空间的一个非空子集，且在同样的线性运算下也构成了一个线性空间。
本文将重点讨论线性空间和子空间的相关概念以及它们之间的关系。
一、线性空间的定义与性质线性空间可以定义为一个非空集合V，上面定义了两种运算：“加法”和“数乘”。
具体而言，对于V中的任意两个元素u和v，其和u+v也属于V，并且对于任意的α∈R（实数域）或C（复数域），定义了数乘运算，即αu也属于V。
这样的集合V称为线性空间，也称为向量空间。
对于线性空间V，具有以下性质：1. 零向量：存在一个元素0∈V，对于V中的任意元素v，有0+v=v+0=v。
2. 加法逆元：对于V中任意的元素v，存在一个元素-v∈V，使得v+(-v)=-v+v=0。
3. 数乘分配律：对于α，β∈R（或C）和v∈V，有(α+β)v=αv+βv，α(βv)=(αβ)v。
4. 数乘结合律：对于α∈R（或C）和u，v∈V，有α(u+v)=αu+αv，(α+β)v=αv+βv。
二、子空间的定义与判定条件在线性空间V中，如果非空集合W满足以下条件，则W称为V的一个子空间：1. 零向量：零向量0∈W。
2. 加法封闭性：对于W中任意的元素u和v，有u+v∈W。
3. 数乘封闭性：对于W中任意的元素u和任意的α∈R（或C），有αu∈W。
判定一个集合是否为线性空间V的子空间，可以应用以下方法：1. 非空性：判断该集合是否为空集，如果为空集，则不是V的子空间。
2. 加法封闭性：取集合中的任意两个元素，进行加法运算，看结果是否属于该集合。
3. 数乘封闭性：取集合中的一个元素，进行数乘运算，看结果是否属于该集合。
三、线性空间与子空间的关系子空间是线性空间的一个重要概念，它可以理解为线性空间的一个子集，且在同样的线性运算下也成为了一个线性空间。
子空间与线性空间之间有以下关系：1. 子空间是线性空间的一个子集，即子空间的元素也是线性空间的元素。
高等代数向量空间
注1：刚开始，步骤要完整.
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例5 C[a,b]表示区间[a,b]上连续实函数按照通常的加法 与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间. 证明： 比照例3，给出完整步骤.
例6 （1）数域F是F上的向量空间. （2）R是Q上的向量 空间，R是否为C上的向量空间？
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1. 引例―――定义产生的背景
例1 设 F 是一个数域，F mn 表示上m×n矩阵的集合，
mn
回忆一下 F
上所能够施行的运算（教材P182）：只有
加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：
1. A+B=B+A
5. a(A+B)= aA+Ab
2. (A+B)+C= A+( B+C)
闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于 V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数 和V中元素v, 一定有： v属于V. 加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量，记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足： u+v= 0. 这样的u称为v的负向量.
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例7
设 Amn (aij ), aij F
x1 x2 (1) 把满足AX = 0的解X表示为 X ， x n 显然 X F n。并记AX = 0的解集为 VA,0 {X F n | AX 0}
线性子空间
§5 线性子空间一、线性子空间的概念定义7 数域P 上的线性空间V 的一个非空子集合W 称为V 的一个线性子空间（或简称子空间），如果W 对于V 的两种运算也构成数域P 上的线性空间.定理2 如果线性空间V 的一个非空集合W 对于V 两种运算是封闭的，也就是满足上面的条件1，2，那么W 就是一个子空间.既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可以应用到线性子空间上.因为要线性子空间中不可能比在整个子空间中有更多数目线性无关的向量.所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.例 1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间.例2 线性空间V 本身也是V 的一个子空间.在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做V 的平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间.例3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间. 例4 n x P ][是线性空间][x P 的子空间.例5 在线性空间n P 中，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于r n -，其中r 为系数矩阵的秩.二、生成子空间设r ααα,,,21 是线性空间V 中一组向量，这组向量所有可能的线性组合r r k k k ααα+++ 2211所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是V 的一个子空间，这个子空间叫做由r ααα,,,21 生成的子空间，记为),,,(21r L ααα .由子空间的定义可知，如果V 的一个子空间包含向量r ααα,,,21 ，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含),,,(21r L ααα 作为子空间.在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上，设W 是V 的一个子空间，W 当然也是有限维的.设r ααα,,,21 是W 的一组基，就有),,,(21r L W ααα =.定理3 1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2）),,,(21r L ααα 的维数等于向量组r ααα,,,21 的秩.定理4 设W 是数域P 上n 维线性空间V 的一个m 维子空间，m ααα,,,21 是W 的一组基，那么这组向量必可扩充为整个空间的基.也就是说，在V 中必定可以找到m n -个向量n m m ααα,,,21 ++使得n ααα,,,21 是V 的一组基. 结论 数域P 上线性空间V 的一个非空子集W 是V 的一个子空间W b a W F b a ∈+∈∈∀⇔βαβα都有,,,,.。
第五节线性子空间
2 生成子空间的性质
定理 3 1）两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价； 2） L(1, 2 ,, r ) 的维数等于向量组1,2 ,, r 的秩；
定理 4 设W 是 n 维线性空间V 的 m 维子空间，1, 2 ,, m 是W 的一组 基，那么这组基必定可扩充为整个空间的基，即在V 中必定可以找到 n m 个 向量 m1, m2 ,, n ，使得1, 2 ,, m ， m1, m2 ,, n 是V 的一组基。
例 7 设W {A | A P nn ,且 | A | 0} ，问W 是否是 Pnn 的子空间？
二、子空间的构造 1 生成子空间
r
L(1, 2 ,, r ) { ki i | ki P, i 1,2,, r} i 1
例 8 在 P[x] 中，由1, x, x2 ,, xn1 生成的子空间为 L(1, x, x 2 ,, x n1 ) P[x]n 。
n
例 4 设W {(a1, a2 ,, an ) | ai 0, ai P} ，问W 是否是 Pn 的子空 i 1
间？ 例 5 设 A Pmn ， X (x1, x2 ,, xn ) ，令W {X | AX 0}，问W 是
否是 Pn 的子空间？
例 6 设W {A | A P nn ,且A A} ，问W 是否是 Pnn 的子空间？
3）当
A
0
0
2 0
0
时，求
C(
A)
的维数和一组基。
线性子空间知识点
线性子空间知识点线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、计算机科学等等。
其中，线性子空间是线性代数中的一个重要概念，本文将逐步介绍线性子空间的相关知识点。
1.什么是线性子空间？在了解线性子空间之前，我们首先要明白什么是向量空间。
向量空间是一个满足一系列特定条件的集合，其中包含了一些特殊的向量，可以进行向量的加法和标量乘法运算。
而线性子空间就是向量空间中的一个子集，满足向量加法和标量乘法运算的封闭性。
2.线性子空间的特点线性子空间具有以下几个特点：•包含零向量：线性子空间必须包含零向量，即加法单位元素。
•封闭性：线性子空间对于向量的加法和标量乘法运算都是封闭的，即对于任意属于线性子空间的向量，进行这两种运算后得到的向量仍然属于该线性子空间。
•相对于向量空间的操作：线性子空间是向量空间的一个子集，因此线性子空间遵循向量空间的所有运算规则和性质。
3.线性子空间的例子现在我们通过几个具体的例子来更好地理解线性子空间的概念。
例子1：考虑三维空间中的一个平面P，该平面上的所有向量构成了一个线性子空间。
这个线性子空间满足加法和标量乘法运算的封闭性，包含零向量，并且相对于三维空间的操作遵循向量加法和标量乘法的规则。
例子2：在n维空间中，所有分量为零的向量构成了一个线性子空间，也就是零子空间。
这个线性子空间是向量空间的一个子集，满足线性子空间的所有特点。
4.线性子空间的基与维数对于一个线性子空间来说，它可以由一个或多个向量张成。
我们将这些向量称为线性子空间的基。
一个线性子空间的基向量要满足以下两个条件：•线性无关：基向量之间不能通过线性组合得到零向量。
•极大线性无关组：如果再添加任意一个向量进来，就会导致线性相关。
而线性子空间的维数则是由基向量的个数决定的。
维数是线性子空间的一个重要概念，可以用来描述线性子空间的大小和维度。
5.线性子空间的运算线性子空间之间可以进行加法和标量乘法运算。
线性子空间
它的一组基生成.
类似地，还有
P[ x]n L(1, x, x2,L , xn1)
a0 a1 x L an1xn1 a0 ,a1,L ,an1 P
第六章 线性空间 §5 线性子空间
有关结论 1、设W为n维线性空间V的任一子空间，1,2 ,L ,r 是W的一组基，则有 W L(1,2 ,L ,r ) 2、（定理3）
第六章 线性空间 §5 线性子空间
由于W V，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立．
∵W ，∴ W . 且对 W，由数乘运算 封闭，有 (1) W，即W中元素的负元素就是
它在V中的负元素，4）成立．
由加法封闭，有 0 ( )W ,即W中的零元
就是V中的零元， 3）成立．
第六章 线性空间 §5 线性子空间
例7 在Pn 中，
i
(0,L
, 0,1, 0L i
, 0),
i 1,2,L ,n
为Pn的一组基， (a1,a2,L ,an ) Pn
有 a11 a2 2 L an n
故有 Pn L(1,2,L ,n )
事实上，任一有限 维线性空间都可由
即Pn 由它的一组基生成.
第六章 线性空间 §5 线性子空间
2、线性子空间的判定 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V
(W )，若W对于V中两种运算封闭，即
, W , 有 W ; W ,k P, 有 k W
则W是V的一个子空间． 证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证
W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：W1 、W3是Pn元齐次线性方程组
x1 x2 L xn 0
线性空间和子空间
线性空间和子空间线性空间是线性代数中的重要概念，它是指一个集合，在这个集合中定义了向量的相加和数乘两种运算，并且满足了一系列的性质。
而子空间是线性空间的一个重要概念，它是指线性空间中的一个子集，同时也是一个线性空间。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指一个空间，其中的元素可以进行向量的相加和数与向量的乘法运算。
它的定义如下：定义：设V是一个非空集合，如果在V中定义了两种运算：向量的相加和数与向量的乘法，使得V满足以下性质：1. 向量加法运算：对于任意的u、v∈V，有u+v也属于V，并且满足交换律，即u+v=v+u。
2. 数与向量的乘法：对于任意的k∈R（实数域）和v∈V，有kv 也属于V，并且满足分配律，即k(u+v)=ku+kv。
3. 存在零向量：存在一个元素0∈V，使得对于任意的v∈V，有v+0=v。
4. 对于任意的v∈V，存在一个元素w∈V，使得v+w=0。
根据以上的定义，线性空间V满足了一系列的性质，如交换律、结合律、分配律等。
在实际应用中，线性空间可以是多维的，例如欧几里得空间、函数空间、向量空间等。
二、子空间的定义和判定子空间是线性空间的一个重要概念，它是指线性空间V的一个子集U，同时也是一个线性空间。
子空间的定义如下：定义：设V是一个线性空间，U是V的一个子集。
如果U本身也是一个线性空间，那么U称为V的子空间。
判定一个集合是否是线性空间的子空间，可以通过以下三个步骤进行：1. 非空性：子空间U必须是非空的，即U中必须至少有一个元素。
2. 加法封闭性：对于任意的u、v∈U，必须有u+v∈U，即子空间U在向量的相加运算下封闭。
3. 数乘封闭性：对于任意的k∈R（实数域）和u∈U，必须有ku∈U，即子空间U在数与向量的乘法运算下封闭。
通过以上的判定方法，可以得出一个集合是否是线性空间的子空间。
三、子空间的例子1. 平面空间：设V是三维向量空间，平面P是其中一个过原点的平面。
则平面P是V的一个子空间。
线性代数课件6-3线性子空间
目录
• 线性子空间的定义与性质 • 线性子空间的维数与基 • 线性子空间的表示与投影 • 线性子空间的性质与关系 • 线性子空间的运算与变换 • 线性子空间的应用与实例
线性子空间的定义与
01
性质
线性子空间的定义
01
线性子空间是向量空间的一个非 空子集，对于向量空间中的加法 和标量乘法运算封闭。
线性变换与矩阵表示
线性变换
一个从线性子空间$W_1$到线性子空间$W_2$的映射，如果对于任意向量$w in W_1$， 满足$varphi(k cdot w) = k' cdot varphi(w)$的标量$k'$，则称$varphi$为线性变换。
矩阵表示
如果存在基底${e_1, e_2, ..., e_n}$，使得对于任意向量$w = a_1 e_1 + a_2 e_2 + ... + a_n e_n in W$，有$varphi(w) = A(w) = A(a_1, a_2, ..., a_n)$，则称矩阵A为线性
于0。
投影的性质
投影具有非负性、齐次性和平移 不变性。
投影的几何意义
投影的长度
01
向量$x$在子空间$W$上的投影长度等于向量$x$与垂直于子空
间$W$的平面上任意向量的点积的绝对值。
投影的方向
02
投影的方向与子空间$W$正交，且与向量$x$在子空间$W$上
的方向一致。
投影的意义
03
投影表示向量$x$在子空间$W$上的分量，即向量$x$在子空间
线性子空间在信号处理中的应用
在信号处理中，线性子空间可以用来描述信号的频率、时 间和幅度等特征。例如，在频域分析中，信号可以表示为 一组正弦波的线性组合，而这些正弦波的频率、幅度和相 位可以构成一个线性子空间。
矩阵分析lecture2线性子空间
－m
成为V1的一个基；
2）z1、z2、 · · · 、zn2－m∈ V2，使x1、x2、 · · · 、xm、z1、z2、 · · · 、zn2－m
也是V的线性子空间，称为由x1、x2、 · · · 、xm生（张）成的子空间，
· · · 、xm)或者Span(x1、x2、 · · · 、xm)。 记为L(x1、x2、
若x1、x2、 · · · 、xm线性无关，则
dim{L(x1、x2、 · · · 、xm)}=m
5. 基扩定理：设V1是数域P的线性空间V一个m维子空间，x1、x2、 · · · 、
m
i i
=0
则
∑ λσ ( x ) = 0
i =1 i i
而 σ ( x1 ), σ ( x2 ), , σ ( xm ) 线性无关， 所以 λ1 = 性无关。
= λm = 0 ,即 x1 , x2 ,
, xm 线
4）同构的有限维线性空间，维数相同。
证明： 有限维线性空间的维数就是它的最大线性无关组所含向 量的个数。 设 V 和 V'是两个同构的有限维线性空间， V 到 V'的同构映射为
1
2
· · · 、xm、 yi ∉V1 ∩ V2 ， x1、x2、
y1、y2、 · · · 、yn1－m成为V1的一个基
∴ pi = 0
同理： qi = 0
ki = 0
这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为V1+V2的一个基。
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学习单元5：线性子空间
_________________________________________________________ 导学
学习目标：
了解线性子空间的概念；掌握线性子空间的判别法；理解生成子空间的概念；掌握生成子空间的维数与基的计算；了解齐次线性方程组的解空间。
学习建议：
建议大家多看书，多读定义，注意定义中的条件，多看例题，认真比照例题多做练习题，通过练习掌握理论。
重点难点：
重点：深刻理解子空间的概念与判别。
难点：掌握生成子空间的基与维数的计算。
_________________________________________________________ 学习内容
一、线性子空间的定义与判别
空义设V为P上线性空间，W为V的非空子集合，如果W关于V的运算也构成P上线性空间，则称W为V的线性子空间，简称W为V的子空间，记为
W V。
例1
V P3,W{(a,0,0)|a P},W V。
证明按定义验证。
定理设V为P上线性空间，W为V的非空子集合，则
W V的充要条件是：1）对任何,W，有W；
合也是V的子空间，这两个子空间通常叫V的平凡子空间。
例3
P[
x]
n P[
x]。
证明按判别定理验证。
例4齐次线性方程组的解空间。
解由齐次线性方程组的解向量的性质及子空间的判别定理知一个齐次线性方程组的所有解向量的集合构成Pn的子空间，通常称为齐次线性方程组的解空间。
二、生成子空间
命题设V为P上线性空间，
1,L,
r V，令
L(
1,L,
r){k
1
1L k
r
r|k
1,L,k
r P}，则L(
1,L,
r)V。
定义称
L(
1,L,
r)为由
1,L,
r生成的子空间。
定理设V为P上线性空间，
1,L,
r与
1,L,
s为V中两个向量组。
（1）
L(
1,L,
r)L(
1,L,
s)的充要条件是
1,L,
r与
1,L,
s等价。
（2）
dim(
1,L,
r)R(
1,L,
r)。
（3）
1,L,
r的一个极大线性无关组是L(
1,L,
r)的一个基。
三、V中线性无关组与V的基的关系定理设V为P上n维线性空间，
1,L,
m为V的一个线性无关向量组，m n，则在V中存在n m个向量，
m1,L,
n使
1,L,
m,
m1,L,
n为V的一个基。
证明对
n m用数学归纳法。
当
n m0时，结论显然成立。
假设结论对
n m k成立，则当
n m k1时，由于
1,L,
m不是V的基，而
1,L,
mm2n
1,L,
m,
m1,
m2,L,
n为V的基，故在n m k时，存在
m1,
m2,L,
n使
1,
2,L,
m,
m1,L,
n为V的基，所以结论对n m k1也成立，由数学归纳法，结论对任何n m0成立。
例设
V
1,V
2为V的子空间，V
1V
2，证明V
1V
2的充要条件是dimV 1dimV
2。
证明必要性是显然的。
充分性：设
dimV
1dimV
2n，令
1,
2,L,
n为V
1的基，由于
V
1V
2，dimV
1dimV
2，所以
1,
2,L,
n也是V
2的基，因此
V
1L(
1,
2,L,
n)V
2。
【教师解读】
子概念是研究代数系统的一般方法，从集合的角度来看，研究小集合比研究大集合相对来说要容易一些，在代数系统中，通过子代数系统的研究来研究原代数系统是非常重要的。
_________________________________________________________ 拓展资料
1.若把复数域C看成实数域R上的线性空间，问有理数域Q是否为C的子空间？
2.求由向量
1,
2,
3,
4生成的子空间的基及维数：
1(1,2,1,0),
2(1,1,1,1),
3(0,3,0,1),
4(2,1,0,3)。
_________________________________________________________ 讨论交流
讨论主题：子空间的维数与原空间的维数有怎样的关系。
教师提示：回顾维数与基的概念。