人教版数学八年级上册 三角形解答题单元培优测试卷
人教版数学八年级上册 三角形解答题单元测试卷 (word版,含解析)
人教版数学八年级上册三角形解答题单元测试卷（word版，含解析）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，∠BG1C=70°，求∠A的度数．【答案】（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°．【解析】【分析】（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出∠DCE的度数；③由②得∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，设∠A为x°，即可列得110（133-x）+x=70，求出x的值即可.【详解】（1）如图（1），连接AD并延长至点F，根据外角的性质，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，∵∠A=40°，∠BXC=90°，∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；②由（1），可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，∴12（∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴12ADC ADB∠=∠，12AEC AEB∠=∠，∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE,=12（∠ADB+∠AEB）+∠DAE,=45°+40°, =85°；③由②得∠BG1C=110（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C=70°，∴设∠A为x°，∵∠ABD+∠ACD=133°-x°∴110（133-x）+x=70，∴13.3-110x+x=70，解得x=63，即∠A的度数为63°.【点睛】此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.2．（1）如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；②设AED∠的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）③∠A与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．(2)如图2，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，∠A与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.【答案】（1）①△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；②∠1=180°−2x,∠2=180°−2y；③∠A=12（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=12（∠2-∠1），见详解【解析】【分析】（1）①根据翻折方法可得△ADE≌△A′DE；②根据翻折方法可得∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，再根据平角定义可得∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；③首先由∠1=180°-2x，2=180°-2y，可得x=90-12∠1，y=90-12∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y，再利用等量代换可得∠A=12（∠1+∠2）；（2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】（1）①根据翻折的性质知△EAD≌△EA′D，其中∠EAD=∠EA′D，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE；②）∵∠AED=x，∠ADE=y，∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，∴∠1=180°-2x，∠2=180°-2y；③∠A=12（∠1+∠2）；∵∠1=180°-2x，∠2=180°-2y，∴x=90-12∠1，y=90-12∠2，∴∠A=180°-x-y=190-（90-12∠1）-（90-12∠2）=12（∠1+∠2）．（2））∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，∴∠A′=∠A，又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1，∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°，整理得，2∠A=∠2-∠1．∴∠A=12（∠2-∠1）．【点睛】此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3．探究：（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：∠P＝90°+12∠A．（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论．【答案】（1）见解析；（2）12∠A＝∠P，理由见解析；（3）∠P＝90°﹣12∠A，理由见解析【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的性质进行解答即可：（2）根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果，（3）根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明.【详解】证明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCB＝12∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝12（180°﹣∠A），根据三角形内角和定理可知∠BPC＝180°﹣12（180°﹣∠A）＝90°+12∠A；（2）12∠A＝∠P，理由如下：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCE＝12∠ACE．∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，∴12∠ACP＝12∠ABC+12∠A，∴12∠ABC+12∠A＝∠PBC+∠P，∴12∠A＝∠P．（3）∠P＝90°﹣12∠A，理由如下：∵P点是外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣12（∠FBC+∠ECB）＝180°﹣12（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝180°﹣12（∠A+180°）＝90°﹣12∠A．【点睛】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解.4．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=，∠BQC=；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数．【答案】(1) 70°，125°；(2)∠BAC=60° (3) 45°【解析】分析：（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC=12∠PBC，∠QCB=12∠PCB，求出∠QBC+∠QCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC 的度数.详解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，∴∠CBP+∠BCP=12（∠DBC+∠BCE）=110°，∴∠BPC=180°﹣110°=70°，∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线，∴∠QBC=12∠PBC，∠QCB=12∠PCB，∴∠QBC+∠QCB=55°，∴∠BQC=180°﹣55°=125°；（2）∵BM∥CN，∴∠MBC+∠NCB=180°，∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∴34（∠DBC+∠BCE）=180°，即34（180°+∠BAC）=180°，解得∠BAC=60°；（3）∵∠BAC=120°，∴∠MBC+∠NCB=34（∠DBC+∠BCE）=34（180°+α）=225°，∴∠BOC=225°﹣180°=45°．点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．5．我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：．（填“能“或“不能”）（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．则θ=度；活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．数学思考：（3）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．【答案】（1）能．(2)θ=22.5；(3) 15°≤θ＜18°．【解析】【分析】（1）根据已知条件：小棒两端能分别落在两射线上进行判断即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即得结果；（3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得关于θ的不等式组，解不等式组即得结果.【详解】(1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒两端能分别落在两射线上，∴小棒能继续摆下去；(2)∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，∴∠A2A1A3=45°，∴∠AA2A1+∠θ=45°，∵∠AA2A1=∠θ，∴∠θ=22.5°；(3)如图乙，∵A 2A 1=A 2A 3，∴∠A 2A 3A 1=∠A 2A 1A 3=2θ°， ∵A 2A 3=A 4A 3，∴∠A 3A 2A 4=∠A 3A 2A 4=3θ°， ∵A 4A 3=A 4A 5，∴∠A 4A 3A 5=∠A 4A 5A 3=4θ°，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可得6θ⩾90°，5θ<90°， ∴15°⩽θ<18°. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，根据题意找出规律并结合等腰三角形的性质是解题的关键.6．已知:△ABC 中 ∠A=64°， 角平分线BP 、CP 相交于点P ．1若BP 、CP 是两内角的平分线，则∠BPC=_____(直接填数值)求证:01902BPC A ∠=+∠.2若BP 、CP 是两外角的平分线，则∠BPC=_____(直接填数值)3若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=_______(直接填数值) 4 由①②③的数值计算可知：∠BPC 与∠A 有着密切的数量关系，请就第②③写出你的发现【答案】（1）122°；（2）58°；（3）32°．(4).若BP 、CP 是两外角的平分线，则∠BPC=90°-12∠A ； 若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=12∠A ． 【解析】 【分析】①根据三角形角平分线的性质可得，∠BPC+∠PCB=90°-12∠A，根据三角形内角和定理可得∠BPC=90°+12∠A；②根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP=12（∠A+∠ABC）、∠PBC=12（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BPC=90°-12∠A；③根据BP为∠ABC的角平分线，CP为△ABC外角∠ACE的平分线，可知，∠A=180°-∠1-∠3，∠P=180°-∠4=∠5=180°-∠3-12（∠A+2∠1），两式联立可得2∠P=∠A．④根据前面的情况直接写出∠BPC与∠A的数量关系，【详解】解：（1）证明：∵在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°∴∠PBC+∠PCB=12（180°-∠A）=12×（180°-x°）=90°-12∠A故∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-12∠A）=90°+12∠A；则∠BPC=122°；（2）理由如下：∵BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°∴∠BCP=12（∠A+∠ABC）、∠PBC=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，=180°-12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，=180°-12（∠A+180°），=90°-12∠A；则∠BPC=58°；（3）如图：∵BP为∠ABC的内角平分线，CP为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点P，∴∠1=∠2，∠5=12（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A----①在△CPE中，∠P=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12（∠A+2∠1），即2∠P=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，把①代入②得2∠P=∠A．则∠BPC=32°；（4）若BP、CP是两外角的平分线，则∠BPC=90°-12∠A；若BP、CP是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=12∠A．故填为：（1）122°；（2）58°；（3）32°．【点睛】此类题目考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．7．学习几何的一个重要方法就是要学会抓住基本图形，让我们来做一次研究性学习．（1）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们常把这样的图形叫做“规形图”．请你观察“规形图”，试探究∠BOC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由：（2）如图②，若△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且它们相交于点O，试探究∠BOC与∠A的关系；（3）如图③，若△ABC中，∠ABO=13∠ABC，∠ACO=13∠ACB，且BO、CO相交于点O，请直接写出∠BOC与∠A的关系式为_．【答案】（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．理由见解析；（2）∠BOC=90°+12∠A．理由见解析；（3）∠BOC=60°+23∠A．理由见解析.【解析】【分析】（1）如图1，连接AO，延长AO到H．由三角形的外角的性质证明即可得到结论：∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；（2）利用角平分线的定义，三角形的内角和定理证明可得到结论：∠BOC=90°+12∠A；（3）类似（2）可证明结论：∠BOC=60°+23∠A．【详解】解：（1）∠BOC=∠BAC+∠B+∠C．理由：如图1，连接AO，延长AO到H．∵∠BOH=∠B+∠BAH，∠CAH=∠C+∠CAH，∴∠BOC=∠B+∠BAH+∠CAH+∠C=∠BAC+∠B+∠C，∴∠BOC=∠BAC+∠B+∠C；（2）∠BOC=90°+12∠A．理由：如图2，∵OB，OC是△ABC的角平分线，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC=180°-12（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+12∠A，∴∠BOC=90°+12∠A；（3）∠BOC=60°+23∠A．理由：∵∠ABO=13∠ABC，∠ACO=13∠ACB，∴∠BOC=180°-23（∠ABC+∠ACB）=180°-23（180°-∠A）=60°+23∠A．故答案为：∠BOC=60°+23∠A．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的角的基本知识．8．已知:如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系:_____________________；(2)在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数(写出解答过程)；(3)如果图2中，∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系(直接写出结论即可).【答案】（1）∠A+∠D=∠B+∠C ；（2）35°；（3）2∠P=∠B+∠D【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°，易得∠A+∠D=∠B+∠C ；（2）仔细观察图2，得到两个关系式∠1+∠D=∠3+∠P ，∠2+∠P=∠4+∠B ，再由角平分线的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，两式相减，即可得结论．（3）参照（2）的解题思路.【详解】解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C ；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P ，∠2+∠P=∠4+∠B ，∴∠1-∠3=∠P-∠D ，∠2-∠4=∠B-∠P ，又∵AP 、CP 分别平分∠DAB 和∠BCD ，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P-∠D=∠B-∠P ，即2∠P=∠B+∠D ，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）由（2）的解题步骤可知，∠P 与∠D 、∠B 之间的数量关系为：2∠P=∠B+∠D ．【点睛】考查三角形内角和定理, 角平分线的定义，掌握三角形的内角和定理是解题的关键.9．如图①．ABC 中，AB AC =，P 为底边BC 上一点，PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，垂足分别为E 、F 、H .易证PE PF CH +=.证明过程如下：如图①，连接AP .∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴12ABP S AB PE =⋅，12ACP S AC PF =⋅，12ABC S AB CH =⋅ 又∵ABP ACP ABC S S S +=，∴AB PE AC PF AB CH ⋅+⋅=⋅∵AB AC =，∴PE PF CH +=．如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】PE PF CH -=【解析】【分析】参考题设的证明过程，主要思路就是等面积法：ABP ACP ABC SS S +=，同样，P 为BC 延长线上的点时，也可以用类似的等面积法：ABP ACP ABC SS S =-，即可得出结论． 【详解】∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CH AB ⊥，∴12ABP S AB PE =⋅，12ACP S AC PF =⋅，12ABC S AB CH =⋅ 又∵ABP ACP ABC S S S =-，∴AB PE AC PF AB CH ⋅-⋅=⋅∵AB AC =，∴PE PF CH -=．故答案为：PE PF CH -=．【点睛】本题考查几何图形中等面积法的应用，读懂题目，灵活运用题设条件是解题的关键．10．动手操作，探究：探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系．已知：如图（1），在△ADC 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠ACD ，试探究∠P 与∠A 的数量关系．并说明理由．探究二：若将△ADC 改为任意四边形ABCD 呢？已知：如图（2），在四边形ABCD 中，DP 、CP 分别平分∠ADC 和∠BCD ，请你利用上述结论探究∠P 与∠A +∠B 的数量关系，并说明理由．探究三：若将上题中的四边形ABCD 改为六边形ABCDEF 如图（3）所示，请你直接写出∠P 与∠A +∠B +∠E +∠F 的数量关系．【答案】探究一： 90°+12∠A；探究二：12（∠A+∠B）；探究三：∠P=12（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．【解析】试题分析：探究一：根据角平分线的定义可得∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解.探究二：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.探究三：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究一解答即可.试题解析：探究一：∵DP、CP分别平分∠AD C和∠ACD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠ACD，∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，=180°-12∠ADC-12∠ACD，= 180°-12（∠ADC+∠ACD），=180°-12（180°-∠A），=90°+12∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=12∠BCD，∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，=180°-12∠ADC-12∠BCD，=180°-12（∠ADC+∠BCD），=180°-12（360°-∠A-∠B），=12（∠A+∠B）；探究三：六边形ABCDEF的内角和为：（6-2）×180°=720°，∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，∴∠PDC=12∠EDC，∠PCD=12∠BCD，∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD，=180°-12∠EDC-12∠BCD，=180°-12（∠EDC+∠BCD），=180°-12（720°-∠A-∠B-∠E-∠F），=12（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°，即∠P=12（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．点睛：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，在此类题目中根据同一个解答思路求解是解题的关键.。
人教版数学八年级上册第11章《三角形》培优测试题（含答案）
第11章《三角形》培优测试题一．选择题（共10小题）1．下面分别是三根小木棒的长度，能摆成三角形的是（）A．5cm，8cm，2cm B．5cm，8cm，13cmC．5cm，8cm，5cm D．2cm，7cm，5cm2．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点，将△ABC沿CD 折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．40°B．20°C．55°D．30°3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30，∠2=20°，则∠B=（）A．20°B．30°C．40°D．50°4．三角形的三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（）A．75°B．90°C．105°D．120°5．在△ABC中，若AB=9，BC=6，则第三边CA的长度可以是（）A．3B．9C．15D．166．如图，AD，CE为△ABC的角平分线且交于O点，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°7．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°8．如图，图中直角三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）A．144°B．84°C．74°D．54°10．如图，AE平分△ABC外角∠CAD，且AE∥BC，给出下列结论：①∠DAE=∠CAE；②∠DAE=∠B；③∠CAE=∠C；④∠B=∠C；⑤∠C+∠BAE=180°，其中正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二．填空题（共8小题）11．三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，点F在B C的延长线上，DE∥BC，∠A=44°，∠1=57°，则∠2= ．13．在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，当∠A=50°时，∠BOC= ．14．一个n边形的每个内角都为144°，则边数n为．15．在△ABC中，∠C=∠A=∠B，则∠A= 度．16．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，∠DAE 度．17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=40°，∠2=20°，则∠B= ．18．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，若∠A=60°，则∠BMN的度数是．三．解答题（共7小题）19．（1）已知三角形三个内角的度数比为1：2：3，求这个三角形三个外角的度数．（2）一个正多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度数．21．如图①所示，为五角星图案，图②、图③叫做蜕变的五角星．试回答以下问（1）在图①中，试证明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°；（2）对于图②或图③，还能得到同样的结论吗？若能，请在图②或图③中任选其一证明你的发现；若不能，试说明理由．22．如图，已知△ABC中，高为AD，角平分线为AE，若∠B=28°，∠ACD=52°，求∠EAD的度数．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD．（1）如图1，若△ABC是锐角三角形，∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE= 度；（2）若图1中的∠B=x，∠ACB=y，则∠CFE= ；（用含x、y的代数式表示）（3）如图2，若△ABC是钝角三角形，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？请说明理由．24．如图，BG∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD=BD，∠A=23°，∠BCE=44°，求∠ACB的度数．25．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A= 度，∠P= 度（2）∠A与∠P的数量关系为，并说明理由．【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为．参考答案一．选择题1． C．2． A．3． D．4． C．5． B．6． A．7． C．8． C．9． B．10． A．二．填空题11． 1＜a＜4．12．101°．13．115°．14． 10．15．60．16． 10．17．30°．18．50°．三．解答题19．解：（1）设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，则x+2x+3x=180，6x=180，x=30，则三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°．（2）设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1800°，解得n=12．故这个多边形的边数为12．20．解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，∵AD是BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°．21．解：（1）证明：如图①，设BD、AD与CE的交点为M、N；△MBE和△NAC中，由三角形的外角性质知：∠DMN=∠B+∠E，∠DNM=∠A+∠C；△DMN中，∠DMN+∠DNM+∠D=180°，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．（2）结论仍然成立，以图③为例；延长CE交AD于F，设CE与BD的交点为M；同（1）可知：∠DMF=∠B+∠E，∠DFM=∠A+∠C；在△DMF中，∠D+∠DMF+∠DFM=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．22．解：∵AD为高，∠B=28°，∴∠BAD=62°，∵∠ACD=52°，∴∠BAC=∠ACD﹣∠B=24°，∵AE是角平分线，∴∠BAE=BAC=12°，∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=50°．23．解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=70°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=40°，∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°∴∠BAE=60°∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=60°﹣40°=20°，∵CF∥AD，∴∠CFE=∠DAE=20°；故答案为：20；（2）∵∠BAE=90°﹣∠B，∠BAD=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠BCA），∴∠CFE=∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠BCA）=（∠BCA ﹣∠B）=y﹣x．故答案为： y﹣x；（3）（2）中的结论成立．∵∠B=x，∠ACB=y，∴∠BAC=180°﹣x﹣y，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠BAC=90°﹣x﹣y，∵CF∥AD，∴∠ACF=∠DAC=90°﹣x﹣y，∴∠BCF=y+90°﹣x﹣y=90°﹣x+y，∴∠ECF=180°﹣∠BCF=90°+x﹣y，∵AE⊥BC，∴∠FEC=90°，∴∠CFE=90°﹣∠ECF=y﹣x．24．解：∵AD=BD，∠A=23°，∴∠ABD=∠A=23°，∵BG∥EF，∠BC E=44°，∴∠DBC=∠BCE=44°，∴∠ABC=44°+23°=67°，∴∠ACB=180°﹣67°﹣23°=90°．25．解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，∴∠A=50°，∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB，∴∠BCP+∠CBP=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，∴∠P=180°﹣65°=115°，故答案为：50，115；（2）．证明：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴，，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°，∴，∴，∴；（3）．理由：∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，∴∠CBQ=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠BCQ=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，∴△BCQ中，∠Q=180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）=180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB），又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠Q=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A．。
2020年人教版八年级数学上册《全等三角形》单元培优(含答案)
2020年人教版八年级数学上册《全等三角形》单元培优一、选择题1.如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA2.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（）A.1B.2C.3D.43.如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（）A.PM＞PNB.PM＜PNC.PM=PND.不能确定4.在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）。
A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定5.如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°6.如图,在△ABC中,∠C=900,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.48.如图,在正方形ABCD中,AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP和△DCE全等时,t的值为（）A.3B.5C.7D.3或7二、填空题9.如图EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（填序号）．10.如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．11.如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，则∠AEB= .12.在平面直角坐标系中,点A（2,0），B（0,4），作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为 .13.在△ABC中,AB=8,AC=10,则BC边上的中线AD的取值范围是．14.如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC 的面积= .15.如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（请将所有正确结论的序号都填上）．三、解答题16.如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=CE，求证：∠3=∠1＋∠2.17.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.18.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．19.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB 和∠CAP的度数．20.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B.21.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C=180°．22.如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系？请说明理由．参考答案1.D2.C3.C4.C5.C6.C.7.D.8.D9.答案为：①②③．10.答案为：相等或互补．11.答案为：128°.12.答案为：（-2,0），（-2,4），（2,4）；13.答案为：1＜AD ＜9．14.答案为：50.15.答案为：①②④．16.证明：在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SSS).∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2.∵∠3=∠BAD ＋∠ABD ，∴∠3=∠1＋∠2.17.证明：（1）∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ，即∠EAC=∠BAF ，在△ABF 和△AEC 中，∵，∴△ABF ≌△AEC （SAS ），∴EC=BF ；（2）如图，根据（1），△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC=∠ABF ，∵AE ⊥AB ，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM （对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°，所以EC⊥BF.18.证明：因为∠CEB=∠CAB=90°所以：ABCE四点共元又因为：∠ABE=∠CBE所以：AE=CE所以：∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG所以：∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB所以：△AEC≌△AGB所以：EC=BG=DG所以：BD=2CE19.答案为：80°，50°；20.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD∴AE=AB∵AD平分∠CAB∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B21.证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．22.证明：如图，连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．。
人教版八年级上册数学 三角形解答题单元培优测试卷
人教版八年级上册数学 三角形解答题单元培优测试卷一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，点A 在直线PQ 上运动，点B 在直线MN 上运动． （1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB 的大小． （2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及延长线相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO 的度数．【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45°【解析】【分析】（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=∠，1ABE ABO 2∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=︒ ，故PAB MBA 270∠+∠=︒，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠=∠，1ABC ABM 2∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知CDE DCE 112.5∠+∠=︒，进而得出结论；（3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】（1）∠AEB 的大小不变，∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，∴∠AOB=90°， ∴OAB OBA 90∠+∠=︒，∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，∴1BAE OAB 2∠=∠，1ABE ABO 2∠=∠， ∴()1BAE ABE OAB ABO 452∠+∠=∠+∠=°， ∴∠AEB=135°；（2）∠CED 的大小不变．如图2，延长AD 、BC 交于点F ．∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，∴90∠=AOB °，∴OAB OBA 90∠+∠=°，∴PAB MBA 270∠+∠=°，∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，∴1BAD BAP 2∠=∠，1ABC ABM 2∠=∠， ∴()1BAD ABC PAB ABM 1352∠+∠=∠+∠=°，F 45∠=°， ∴FDC FCD 135∠+∠=°，∴CDA DCB 225∠+∠=°，∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，∴CDE DCB 112.5∠+∠=°，∴E 67.5∠=°；（3）∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ，∴1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2∠=∠ ， ∴()11E EOQ EAO BOQ BAQ ABO 22∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线，∴EAF 90∠=°．在△AEF 中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①EAF 3E ∠=∠，E 30∠=°，ABO 60∠=°；②EAF 3F ∠=∠，E 60∠=°，ABO 120∠=°；③EAF 3E ∠=∠，E 22.5∠=°，ABO 45∠=°；④EAF 3F ∠=∠，E 67.5∠=°，ABO 135∠=°．∴∠ABO 为60°或45°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”．如图，∠MON ＝60°，在射线OM 上找一点A ，过点A 作AB ⊥OM 交ON 于点B ，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于点C （规定0°< ∠OAC < 90°）．（1）∠ABO 的度数为 °，△AOB （填“是”或“不是”灵动三角形）； （2）若∠BAC ＝60°，求证：△AOC 为“灵动三角形”；（3）当△ABC 为“灵动三角形”时，求∠OAC 的度数．【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°.【解析】【分析】（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO 的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；（3）分点C 在线段OB 和线段OB 的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．【详解】（1）答案为：30°；是；（2）∵AB ⊥OM∴∠B AO ＝90°∵∠BAC ＝60°∴∠OAC ＝∠B AO-∠BAC=30°∵∠MON ＝60°∴∠ACO ＝180°-∠OAC-∠MON ＝90°∴∠ACO ＝3∠OAC ，∴△AOC 为“灵动三角形”；（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x , ∠ABC ＝30°∵△ABC 为“智慧三角形”，Ⅰ、当∠ABC ＝3∠BAC 时，°，∴30＝3（90-x ）， ∴x=80Ⅱ、当∠ABC ＝3∠ACB 时，∴30=3（60+x ） ∴x= -50 （舍去）∴此种情况不存在，Ⅲ、当∠BCA ＝3∠BAC 时，∴60+x ＝3（90-x ），∴x ＝52.5°，Ⅳ、当∠BCA ＝3∠ABC 时，∴60+x ＝90°，∴x ＝30°，Ⅴ、当∠BAC ＝3∠ABC 时，∴90-x ＝90°，∴x ＝0°（舍去）Ⅵ、当∠BAC ＝3∠ACB 时，∴90-x ＝3（60+x ），∴x= -22.5（舍去），∴此种情况不存在，∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。
人教版八年级上册数学《三角形》单元测试卷附答案
人教版数学八年级上学期《三角形》单元测试(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分)1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A. 5，6，10B. 5，6，11C. 3，4，8D. 4a，4a，8a(a＞0)2. 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于( )A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°3. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )A. 两点之间线段最短B. 三角形的稳定性C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短4. 能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段是三角形的( )A. 中线B. 高线C. 角平分线D. 以上都不对5. 如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是( )A. 9B. 14C. 16D. 不能确定6. 已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的边数为( )A. 3B. 4C. 5D. 67. 在△ABC中，已知∠A＝4∠B＝104°，则∠C的度数是( )A. 50°B. 45°C. 40°D. 30°8. 如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于( )A. 60°B. 70°C. 50°D. 40°9. 在下列条件中:①∠A＋∠B＝∠C;②∠A＝∠B＝2∠C;③∠A＝∠B＝a∠C;④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，能确定△ABC为直角三角形的条件有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. 如图，在△ABC中，AD，CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB∶BC＝( )A. 3∶4B. 4∶3C. 1∶2D. 2∶111. 一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是( )A. 8B. 12C. 16D. 1812. 若a，b，c是△ABC的三边的长，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是( )A. a＋b＋cB. －a＋3b－cC. a＋b－cD. 2b－2c二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)13. 已知三角形两条边的长分别为3和6，第三边的长为奇数，则第三边的长为________．14. 若一个三角形的三个内角度数之比为5∶4∶3，则这个三角形是________三角形．15. 如图，平面镜A与B之间的夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1＝∠2，则∠1＝________．16. 将一副三角板按如图所示的方式叠放，则角α＝________．17. 如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影＝________．18. 科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为________米．三、解答题(本题共8小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19. 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．20. 已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a、b满足(a－6)2＋|b－8|＝0，求这个三角形最长边c的取值范围．21. 如图:(1)在△ABC中，BC边上的高是________;(2)在△AEC中，AE边上的高是________;(3)若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．22. 如图，说明∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°的理由．23. 如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝100°，求△BDE 各内角的度数．24. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠BAC的平分线交于点O，且∠AOB＝135°.求证:△ABC是直角三角形．25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求△ABC 各边的长．26. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE.(1)若∠BAD＝60°，求∠CDE的度数;(2)当点D在BC(点B，C除外)边上运动时，试写出∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．参考答案一、选择题(本题共12小题，每小题3分，共36分)1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A. 5，6，10B. 5，6，11C. 3，4，8D. 4a，4a，8a(a＞0)【答案】A【解析】试题解析:根据三角形任意两边的和大于第三边，得A中，5+6=11>10，能组成三角形;B中，5+6=11，不能组成三角形;C中，3+4=7<8，不能够组成三角形;D中，4a+4a=8a，不能组成三角形．故选A．2. 如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于( )A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°【答案】C【解析】试题分析:根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可由∠B=40°，∠ACD=120°，得到∠A=∠ACD-∠B=120°-40°=80°．故选C考点:三角形的外角3. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )A. 两点之间线段最短B. 三角形的稳定性C. 两点确定一条直线D. 垂线段最短【答案】B【解析】分析:根据“三角形的稳定性”进行分析判断即可.详解:∵窗钩的两个端点A、B和窗户的下支点O刚好构成一个△AOB，而三角形具有稳定性，∴打开窗户后，用窗钩AB可以将该窗户固定.故选B.点睛;熟知“三角形具有稳定性”是解答本题的关键.4. 能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段是三角形的( )A. 中线B. 高线C. 角平分线D. 以上都不对【答案】A【解析】试题分析:因为三角形的中线能把一个三角形分成两个等底同高的三角形，根据三角形的面积公式可得它们的面积相等，故选:A．考点:三角形的中线5. 如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是( )A. 9B. 14C. 16D. 不能确定【答案】A【解析】根据BD是△ABC的中线，可得AD=CD，根据△ABD的周长为11，可得AB+BD+AD=11，可得BD+AD=11-5=6，而△BCD的周长=BC+BD+CD=BD+AD+BC=6+3=9.故选:A.6. 已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的边数为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】分析:根据“正多边形的每个外角都相等和多边形的外角和为360°”进行分析解答即可.详解:设该正多边形的边数为n，∵正多边形的每个外角都相等，且多边形的外角和为360°，∴n=360°÷60°=6.故选D.点睛:解答本题有以下两个要点:(1)正多边形的每个外角都相等;(2)多边形的外角和都为360°.7. 在△ABC中，已知∠A＝4∠B＝104°，则∠C的度数是( )A. 50°B. 45°C. 40°D. 30°【答案】A【解析】∵4∠B=104°，∴∠B=26°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-104°-26°=50°．故选A.8. 如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于( )A. 60°B. 70°C. 50°D. 40°【答案】B【解析】分析:如下图，由已知条件易得∠ODE=90°，∠AOC=20°，由此可得∠3=70°，结合直尺的对边相互平行可得∠2=∠3=70°，从而由对顶角相等可得∠1=70°.详解:∵OC平分∠AOB，∠AOB=40°，OC⊥DE，∴∠AOC=20°，∠ODE=90°，∴∠3=70°，∵直尺的对边是相互平行，∴∠2=∠3=70°，∴∠1=∠2=70°.故选B.点睛:“由已知条件根据三角形内角和定理求得∠3的度数，由直尺的对边相互平行得到∠2=∠3”是解答本题的关键.9. 在下列条件中:①∠A＋∠B＝∠C;②∠A＝∠B＝2∠C;③∠A＝∠B＝a∠C;④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，能确定△ABC为直角三角形的条件有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】分析:根据所给的4个条件分别求出4个条件下△ABC中的最大角的度数，再进行判断即可.详解:①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°×=90°，∴此时△ABC是直角三角形;②∵∠A=∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴5∠C=180°，解得∠C=36°，∴∠A=∠B=72°，∴此时△ABC不是直角三角形;③∵∠A＝∠B＝a∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴(2a+1)∠C=180°，解得∠C=，∴∠A=∠B=，∴此时△ABC中三个内角的度数是不确定的，∴不能确定△ABC是否是直角三角形;④∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°×=90°，∴此时△ABC是直角三角形.综上所述，根据上述条件能够确定△ABC是直角三角形的有2个.故选B.点睛:本题的解题要点是:“根据已知条件结合三角形内角和是180°确定出△ABC的最大角的度数即可判断此时△ABC是否是直角三角形了”.10. 如图，在△ABC中，AD，CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB∶BC＝( )A. 3∶4B. 4∶3C. 1∶2D. 2∶1【答案】C【解析】分析:由已知条件可得:S△ABC=AB·CE=BC·AD，再代入AD=2，CE=4即可求得AB:BC的值.详解:∵在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的边BC和AB上的高，∴S△ABC=AB·CE=BC·AD∵AD=2，CE=4，∴2AB=BC，∴AB:BC=1:2.故选C.点睛:“由AD、CE分别是△ABC的边BC和AB上的高，得到S△ABC=AB·CE=BC·AD”是解答本题的关键.11. 一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是( )A. 8B. 12C. 16D. 18【答案】C学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...学.科.网...12. 若a，b，c是△ABC的三边的长，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是( )A. a＋b＋cB. －a＋3b－cC. a＋b－cD. 2b－2c【答案】B【解析】分析:根据三角形三边间的关系判断出原式中每个绝对值符号里面的式子的值的正负，再结合绝对值的代数意义进行化简即可.详解:∵a，b，c是△ABC的三边的长，∴a－b－c<0，b－c－a<0，a＋b－c>0，∴|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|=-(a-b-c)-[-(b-c-a)]+(a+b-c)=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b-c.故选B.点睛:解答本题有以下两个要点:(1)熟知三角形三边间的关系:三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边;(2)熟知绝对值的代数意义:正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)13. 已知三角形两条边的长分别为3和6，第三边的长为奇数，则第三边的长为________．【答案】5或7【解析】试题分析:首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式可得x的范围，然后再确定x的值即可．解:设第三边长为x，由题意得:6﹣3＜x＜6+3，解得:3＜x＜9，∵第三边的长为奇数，∴x=5或7．故答案为:5或7．考点:三角形三边关系．14. 若一个三角形的三个内角度数之比为5∶4∶3，则这个三角形是________三角形．【答案】锐角【解析】分析:根据已知条件结合三角形内角和为180°求出这个三角形的每个内角的度数即可作出判断.详解:∵三角形三个内角的度数之比为5:4:3，且三角形的内角和为180°，∴这个三角形的三个内角分别为:180°×=75°，180°×=60°，180°×=45°，∴这个三角形是锐角三角形.故答案为:锐角.点睛:“由已知条件结合三角形内角和为180°求得这个三角形每个内角的度数”是解答本题的关键.15. 如图，平面镜A与B之间的夹角为120°，光线经过平面镜A反射后射在平面镜B上，再反射出去，若∠1＝∠2，则∠1＝________．【答案】30°【解析】分析:根据“光的反射定律:反射角等于入射角”结合“三角形内角和为180°”和已知条件进行分析解答即可. 详解:如下图，由光的反射定律可知:∠1=∠OAB，∠2=∠OBA，∵∠1=∠2，∴∠OAB=∠OBA，又∵∠OAB+∠AOB+∠OBA=180°，∠AOB=120°，∴∠OAB=(180°-120°)=30°，∴∠1=∠OAB=30°.故答案为:30°.点睛:熟知:“光的反射定律:反射角等于入射角”是解答本题的关键.16. 将一副三角板按如图所示的方式叠放，则角α＝________．【答案】75°【解析】如图，根据三角板的特点，可知∠1=45°，然后根据三角形的外角，可求∠α=75°.故答案为:75°.17. 如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影＝________．【答案】1cm2【解析】试题分析:根据三角形的面积公式，知△BCE的面积是△ABC的面积的一半，进一步求得阴影部分的面积是△BEC的面积的一半．解:∵点E是AD的中点，∴△BDE的面积是△ABD的面积的一半，△CDE的面积是△ACD的面积的一半．则△BCE的面积是△ABC的面积的一半，即为2cm2．∵点F是CE的中点，∴阴影部分的面积是△BCE的面积的一半，即为1cm2．考点:三角形的面积．18. 科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为________米．【答案】24【解析】试题分析:根据题意可得机器人每次都是旋转30°，则需要经过12次旋转才能回到起到，即所所走的总路程为12×1=12米.考点:多边形的外角和性质.三、解答题(本题共8小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)19. 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数．【答案】这个多边形的边数是10.【解析】试题分析:设这个多边形有n条边，根据内角和是它的外角和的4倍，列方程，然后解方程即可．试题解析:设这个多边形有n条边．由题意得:(n﹣2)×180°=360°×4，(2分)解得n=10．故这个多边形的边数是10．(2分)考点:多边形的内角和外角和．20. 已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a、b满足(a－6)2＋|b－8|＝0，求这个三角形最长边c的取值范围．【答案】8＜c＜14.【解析】试题分析:根据算术平方根与绝对值的和为0，可得算术平方根与绝对值同时为0，可得a、b的值，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得答案．试题解析:∵(a﹣6)2+|b﹣8|=0，∴a﹣6=0，b﹣8=0，∴a=6，b=8，b﹣a＜c＜a+b，这个三角形的最长边c，c＞b=8，8＜c＜14 .21. 如图:(1)在△ABC中，BC边上的高是________;(2)在△AEC中，AE边上的高是________;(3)若AB＝CD＝2cm，AE＝3cm，求△AEC的面积及CE的长．【答案】(1). AB(2). CD【解析】试题分析:根据三角形的高的定义，可得出三角形的高，然后根据三角形的面积公式可求解.试题解析:(1)AB(2)CD(3)∵AE＝3cm，CD＝2cm，∴S△AEC＝AE·CD＝×3×2＝3(cm2)．∵S△AEC＝CE·AB＝3cm2，AB＝2cm，∴CE＝3cm.22. 如图，说明∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°的理由．【答案】见解析.【解析】分析:如下图，连接BC，易得∠D+∠E=∠DCB+∠EBC，这样结合三角形内角和为180°即可得到所求结论了. 详解:如下图，连接BC，∵∠D+∠E+∠DOE=180°，∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∴∠D+∠E+∠DOE=∠OBC+∠OCB+∠BOC，又∵∠DOE=∠BOC，∴∠D＋∠E＝∠OBC＋∠OCB，∴∠A＋∠ABE＋∠ACD＋∠D＋∠E＝∠A＋∠ABE＋∠EBC＋∠DCB＋∠ACD＝180°.点睛:“作出如图所示的辅助线，由三角形内角和定理证得∠D＋∠E＝∠OBC＋∠OCB”是解答本题的关键.23. 如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝100°，求△BDE 各内角的度数．【答案】100°.【解析】解:如图因为∠BDC=∠A+∠ABD所以∠ABD=∠BDC-∠A=100°-60°=40°…………………………………3分因为BD平分∠ABC所以∠DBC=∠ABD=40°…………………………5分又因为DE∥BC所以∠BDE=∠DBC=40°…………………………7分(注:用其它解法正确的均给予相应的分值)24. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠BAC的平分线交于点O，且∠AOB＝135°.求证:△ABC是直角三角形．【答案】见解析【解析】分析:详解:∵在△ABO中，∠AOB＝135°，∴∠ABO＋∠BAO＝180°－135°＝45°，∵BO，AO分别平分∠ABC，∠BAC，∴∠ABO＝∠ABC，∠BAO＝∠BAC.∴∠ABC＋∠BAC＝45°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∴∠C=180°-90°=90°，∴△ABC是直角三角形．点睛:熟知“三角形内角和定理及角平分线的定义”是正确解答本题的关键.25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求△ABC 各边的长．【答案】△ABC各边的长为AB＝AC＝8cm，BC＝11cm或AB＝AC＝10cm，BC＝7cm.【解析】【试题分析】本题目需要分类讨论，设AB＝2x cm，BC＝y cm. (1)当AB＋AD＝12cm，BC＋CD ＝15cm，列方程组得: ,解得，从而得到AB＝AC＝8cm，BC＝11cm.(2)当AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm时，列方程组得解得，AB＝AC＝10cm，BC＝7cm.最后根据三角形的三边关系，进行验证.【试题解析】设AB＝2x cm，BC＝y cm.有以下两种情况:(1)当AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm时， ,解得即AB＝AC＝8cm，BC＝11cm，符合三边关系;(2)当AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm时，解得即AB＝AC＝10cm，BC＝7cm，符合三边关系．综上所述，AB＝AC＝8cm，BC＝11cm或AB＝AC＝10cm，BC＝7cm.【方法点睛】本题目三角形三边的综合题，体现分类讨论思想，方程思想，三角形的中线及三角形三边关系，难度有点大.视频26. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE＝∠AED，连接DE.(1)若∠BAD＝60°，求∠CDE的度数;(2)当点D在BC(点B，C除外)边上运动时，试写出∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【答案】(1) 30°;(2)∠CDE＝∠BAD，理由见解析.【解析】试题分析:(1)先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°=105°，∠AED=∠C+∠EDC，再根据∠B=∠C，∠ADE=∠AED即可得出结论;(2)利用(1)的思路与方法解答即可．试题解析:(1)∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=105°，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED=∠C+∠EDC．∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∴∠ADC-∠EDC=105°-∠EDC=45°+∠EDC，解得:∠CDE=30°;(2)∠CDE=∠BAD，理由:设∠BAD=x，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+x，∵∠AED是△CDE的外角，∴∠AED=∠C+∠CDE，∵∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∴∠ADC-∠CDE=∠45°+x-∠CDE=45°+∠CDE，得:∠CDE=∠BAD．点睛:本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键.。
人教版八年级数学上册(三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法)竞赛培优题(含答案)
人教版八年级数学上册(三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘法)竞赛培优题分数：100 考试时间：80分钟一、选择题(10×3=30分)1. 下列运算正确的是 （ ）A 、x 2 + x 3 = x 5B 、－2x ·x 2 =－2x 3C 、x 6÷x 2 = x 3D 、(－ x 2 )3 = x 62. (−2)m +2⋅(−2)m−1的值是（ ）A 、0B 、－2C 、2D 、(−2)m+1 3. 下列各组图形中，是全等形的是（ ）A.两个含60°角的直角三角形B.腰对应相等的两个等腰直角三角形C.边长为3和4的两个等腰三角形D.一个钝角相等的两个等腰三角形 4. 若二次三项式26x ax +-可分解成(x −2)(x +b)，则a ，b 的值分别为（ ） A ． 1，3 B ． 1-，3 C ． 1，3- D ． 1-，3-5.要使二次三项式25x x p -+在整数范围内能进行因式分解，那么整数p 的取值可以有（ ） A ． 2个 B ． 4个 C ． 6个 D ．无数个6.如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是( ) A 、3.5 B 、4.2 C 、5.8 D 、77.如图，把矩形纸片ABCD 纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD ，对于下列结论，其中说法错误的是（ ）A.△EBD 是等腰三角形，EB =ED ；B .折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等；C .折叠后得到的图形是轴对称图形 ； D.△EBA 和△EDC 一定是全等三角形。
8.如图,等边三角形△ABC 的边长是6，面积是9√3，AD 是BC 边上的高， 点E 是AB 的中点，在AD 上求一点P ，则P B ＋PE 的和的最小值为( )A 、3B 、6C 、3√3D 、6√39. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，已知△ABC 的 面积为28．AC ＝6，DE ＝4，则AB 的长为（ ） A ．6 B ．8 C ．4 D ．1010. 如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，点B 关于AC 的对 称点B ′恰好落在CD 上，若∠BAD ＝100°，则∠ACB 的 度数为（ ）A ．40°B ．45° C ．60° D ．80° 二、填空题(5×3=15分)11. a 4b −6a 3b +9a 2b 分解因式得正确结果为 ． 12. 满足(n −1)n+2=1的整数n 的值是 ．13. 如图：在△FHI 中，HF ＋FG=GI ，HG ⊥FI ，∠F=058，则∠FHI= 度。
人教版八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)
人教版八年级上册数学全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．（1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程；（2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）．【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM．【解析】【分析】（1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN=60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC．（2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论．【详解】解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°，在△MBD与△ECD中，∵BD CDMBD ECD BM CE，∴△MBD≌△ECD（SAS），∴MD=DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，在△DMN与△DEN中，∵MD DEMDN EDN DN DN，∴△DMN≌△DEN（SAS），∴MN=NE=CE+NC=BM+NC．（2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．理由：在CA上截取CE=BM．∵△ABC是正三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵BD=CD，∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠DCE=90°，在△BMD和△CED中∵BM CEMBD ECD BD CD，∴△BMD≌△CED（SAS），∴DM= DE，∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°，∠BDC=120°，∴∠NDE=∠BDC-（∠BDN+∠CDE）=∠BDC-（∠BDN+∠BDM）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°，在△MDN和△EDN中∵ND NDEDN MDN ND ND，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析【解析】【分析】（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF；（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=12AD，EC=MF=12AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．【详解】（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE；解法1：∵∠AED＝∠ACB＝90°∴B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径，∵点F是BD的中点，∴点F是圆心，∴EF＝CF＝FD＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°∴∠ECF＝45°＝∠CEF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝2EF．解法2：易证∠BED＝∠ACB＝90°，∵点F是BD的中点，∴CF＝EF＝FB＝FD，∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，∴∠DFE＝2∠ABD，同理∠CFD＝2∠CBD，∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，即∠CFE＝90°，∴CE＝2EF．（2）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDF＝∠GBF，又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，∴△EDF≌△GBF，∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，∵AC＝BC，∴CE＝CG，∴∠EFC＝90°，CF＝EF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∴CE＝2FE；解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，又点F是BD的中点，∴FA＝FB＝FD，而AC＝BC，CF＝CF，∴△ACF≌△BCF，∴∠ACF＝∠BCF＝12∠ACB＝45°，∵FA＝FB，CA＝CB，∴CF所在的直线垂直平分线段AB，同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，又DA⊥BA，∴EF⊥CF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝2EF．（3）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，∵DF＝BF，∴FM∥AB，且FM＝12 AB，∵AE＝DE，∠AED＝90°，∴AM ＝EM ，∠AME ＝90°，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°∴CN=AN=12AB ，∠ANC ＝90°， ∴MF ∥AN ，FM ＝AN ＝CN ，∴四边形MFNA 为平行四边形， ∴FN ＝AM ＝EM ，∠AMF ＝∠FNA ，∴∠EMF ＝∠FNC ，∴△EMF ≌△FNC ，∴FE ＝CF ，∠EFM ＝∠FCN ，由MF ∥AN ，∠ANC ＝90°，可得∠CPF ＝90°，∴∠FCN+∠PFC ＝90°，∴∠EFM+∠PFC ＝90°，∴∠EFC ＝90°，∴△CEF 为等腰直角三角形，∴∠CEF ＝45°，∴CE ＝2FE ．【点睛】本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．3．在ABC ∆中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点,B C 重合），以AD 为腰作等腰直角DAF ∆，使90DAF ∠=︒，连接CF ．（1）观察猜想如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为__________；②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________（提示：可证DAB FAC ∆≅∆）（2）数学思考如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；（3）拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线时，将DAF ∆沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE CF 、，若4,CD BC AC ==CE 的长．（提示：做AH BC ⊥于H ，做EM BD ⊥于M ）【答案】（1）①BC ⊥CF ；②BC ＝CF ＋DC ；（2）C ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC ，证明详见解析；（3）【解析】【分析】（1）①根据正方形的性质得，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC （SAS ）；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质可得到=CF BD ，ACF ABD ∠=∠ ，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，证明ADH DEM △≌△ ，推出3EM DH == ，2DM AH == ，推出3CM EM == ，即可解决问题．【详解】（1）①正方形ADEF 中，AD AF =∵90BAC DAF ==︒∠∠∴BAD CAF ∠=∠在△DAB 与△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DAB FAC SAS △≌△∴B ACF ∠=∠∴90ACB ACF +=︒∠∠ ，即BC CF ⊥ ；②∵DAB FAC △≌△∴=CF BD∵BC BD CD =+∴BC CF CD =+（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC证明：∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△FAC （SAS ）∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°∴∠ABD ＝180°－45°＝135°∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°，∴CF ⊥BC∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF∴DC ＝CF ＋BC（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，∵90BAC ∠=︒，AB AV ==∴1422BC AH BH CH BC ======， ∴114CD BC == ∴3DH CH CD =+=∵四边形ADEF 是正方形∴90AD DE ADE ==︒，∠∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥，，∴四边形CMEN 是矩形∴NE CM EM CN ==，∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠∴ADH DEM =∠∠在△ADH 和△DEM 中ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADH DEM △≌△∴32EM DH DM AH ====，∴3CM EM ==∴CE ==【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．4．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE⊥AC，连结DF 交射线 AC 于点 G(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。
人教版八年级上册三角形培优卷
三角形单元测试题一、选择题（每空3分，共30分）1、如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是（）A．15 B．16 C．8 D．72、下列说法中，正确的个数为（）①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点.②三角形的中线都是过三角形的某一个顶点，且平分对边的直线.③在△ABC中，若∠A= ∠B= ∠C，则△ABC是直角三角形.④一个三角形的两边长分别是8和10，那么它的最短边的取值范围是2<b<18.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3、三角形的三条高所在的直线相交于一点，则这个交点的位置（）A．在三角形外 B．在三角形内 C．在三角形边上D．要根据三角形的形状才能定4、有五条线段，长度分别为1、4、5、6、8，从中任取3条，一定能构成三角形的可能性是（）A．20％ B．30％ C．40％ D．50％5、如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E，若∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个6、在△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B的最大值为（）A．30° B．45° C．60° D．90°7、希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A.289B.1024C.1225D.13788、图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n(n≥3) 块纸板的周长为Pn ，则Pn-Pn-1的值为（）A． B．C． D．9、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC=10cm，则△DEC的周长为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm10、如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．4B．3C．2D．二、填空题（每空3分，共18分）11、如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC 内，若∠1＝20°，则∠2=___ ___。
人教版八年级数学上册 三角形认识 单元培优卷(含答案)
八年级数学上册三角形认识单元培优卷一、选择题：1、如图所示的△ABC中,线段BE是△ABC边AC上的高的是( ).2、为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB 间的距离不可能是（）A.15mB.17mC.20mD.28m3、已知一个多边形的内角和是720º，则这个多边形是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形4、若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A.10B.9C.8D.65、将一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是( )A.45°B.50°C.60°D.75°6、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于( )A.50°B.30°C.20°D.15°7、三条线段a,b,c长度均为整数且a=3,b=5.则以a,b,c为边的三角形共有( )A.4个B.5个C.6个D.7个8、现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根可以组成不同三角形的个数 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个9、如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=( )A.118°B.119°C.120°D.121°10、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（）A. 90°B. 135°C. 270°D. 315°11、一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠1= 50°，则∠2+∠3 =（）A.190°B.130°C.100°D.80°12、如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C.当A，B移动后，∠BAO=45°时，则∠C的度数是( )A.30°B.45°C.55°D.60°二、填空题:13、如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有性.14、已知三角形的边长分别为4、a、8，则a的取值范围是；如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长为.15、如果一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形对角线的条数是，它的内角和是，它的外角和是 .16、如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .17、把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点J，则∠BJI的大小为__________.18、如图，已知∠A＝α，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点A1，得∠A1；若∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2……∠A2015BC的平分线与∠A2015CD的平分线相交于点A2018，得∠A2018，则∠A2018=____.(用含α的式子表示)三、解答题:19、如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长.20、在各个内角都相等的多边形中，一个外角比一个内角少120°，求这个多边形的一个内角的度数和它的边数.21、如图, AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线.（1）∠ABE=15°，∠BAD=36°，求∠BED的度数；（2）作出△BED中DE边上的高，垂足为H；（3）若△ABC面积为20,过点C作CF//AD交BA的延长线于点F，求△BCF的面积。
人教版八年级数学上册《全等三角形》培优专题训练(含答案)
《全等三角形》培优专题训练1 全等三角形的概念两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合在一起，重合的角叫做对应角，重合的边叫做对应边.全等三角形的对应角相等，对应边相等. 经典例题如图所示，ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，50B ∠=︒，2BF =.求DFE ∠的度数与EC 的长.解题策略在ABC ∆中，+180A B ACB ∠∠+∠=︒ (三角形内角和为180°).因为30A ∠=︒，50B ∠=︒(已知)，所以1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒ 因为ABC DEF ∆≅∆ (已知)，所以ACB DFE ∠=∠(全等三角形对应角相等) BC EF =(全等三角形对应边相等)， 因此100DFE ∠=︒，所以2EC EF FC BC FC BF =-=-== 画龙点睛1. 在解答与全等三角形有关的问题时，要充分利用全等三角形的定义所得到的对应边相等、对应角相等的结论.2. 在本题中求EC 的长时，不能直接求，可将之转化为两条线段的差，这也是将来求线段长的一种常用的转化方法.举一反三1. 如图，若ABC ADE ∆≅∆，则这对全等三角形的对应边是 ;对应角是 .2. 如图，若ABD ACD ∆≅∆，试说明AD 与BC 的位置关系.3. 如图所示，斜折一页书的一角，使点A 落在同一页书内'A 处，DE 为折痕，作DF平分'A DB ∠，试猜想FDE ∠等于多少度，并说明理由.融会贯通4. 如图，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若θ∠的度数50°，则BAC ∠的度数是 .2 三角形全等的判定判断两个三角形全等，并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角均对应相等，而只需满足全等三角形的判定定理就可以了. 经典例题已知:如图，AO 平分EAD ∠和EOD ∠，求证:(1)AOE AOD ∆≅∆;(2) BOE COD ∆≅∆.解题策略证明:(1)因为AO 平分EAD ∠和EOD ∠，所以OAD OAE ∠=∠，AOE AOD ∠=∠，又因为AO AO =，所以AOE AOD ∆≅∆ ( ASA).(2)由AOE AOD ∆≅∆，得OE OD =，且AEO ADO ∠=∠.又180BEO AEO ∠=︒-∠，180CDO ADO ∠=︒-∠，所以B E O C D O ∠=∠.在AOE ∆和AOD ∆中，因为B E O C D O ∠=∠，OE OD =，BOE COD ∠=∠，所以B O E C O D ∆≅∆(ASA). 画龙点睛1. 判定两个三角形全等，往往需要三个条件，根据题目已知的条件可以得到两个条件(要注意公共角及公共边)，这时.设法证明所缺的条件也成立就是证题的关键了. 2. 要证明两条线段或者两个角相等，常用的方法是证明它们是一对全等三角形的对应边或者对应角.举一反三1. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ∆≅∆的是( ).(A) CB CD = (B)BAC DAC ∠=∠ (C)BCA DCA ∠=∠ (D)90B D ∠=∠=︒2. 如图所示，点D 、C 在BF 上，//AB EF ，A E ∠=∠，BC DF =.求证AB EF =.3. 如图，AB 交CD 于点O ，AD 、CB 的延长线相交于点E ，且OA OC =，EA EC =，你能证明A C ∠=∠吗?点O 在AEC ∠的平分线上吗?融会贯通4. 如图所示，已知BD 、CE 分别是ABC ∆的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =.求证:(1)AP AQ =;(2)AP AQ ⊥.3 全等三角形的应用全等三角形的判定和性质被广泛地应用于几何证明题中。
人教版八年级上册数学《三角形》单元测试题带答案
人教版数学八年级上学期《三角形》单元测试时间:90分钟总分: 100一、选择题1.能将三角形面积平分的是三角形的..)A.角平分..B...C.中..D.外角平分线2.已知三角形的两边长分别为4cm和9cm, 则下列长度的四条线段中能作为第三边的是.. )A.13c..B.6c..C.5c..D.4cm3.三角形一个外角小于与它相邻的内角, 这个三角形是...)A.直角三角..B.锐角三角..C.钝角三角..D.属于哪一类不能确定4.若一个多边形每一个内角都是135º, 则这个多边形的边数是...)A...B...C.1..D.125.某商店出售下列四种形状的地砖:①正三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形.若只选购其中一种地砖镶嵌地面, 可供选择的地砖共有( )A.4..B.3..C.2..D.1种6.一个多边形的外角和是内角和的一半, 则它是. )边形A...B...C...D.47.如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CEF的面积为12cm2，则S △DGF的值为. )学*科*网...学*科*网...A.4cm..B.6cm..C.8cm..D.9cm28.已知△ABC中, ∠A=20°, ∠B=∠C, 那么三角形△ABC是()A.锐角三角..B.直角三角..C.钝角三角..D.正三角形9.试通过画图来判定, 下列说法正确的是()A.一个直角三角形一定不是等腰三角形B.一个等腰三角形一定不是锐角三角形C.一个钝角三角形一定不是等腰三角形D.一个等边三角形一定不是钝角三角形10.如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是()A.35..B.55..C.60..D.70°二、填空题11.如果点G是△ABC的重心.AG的延长线交BC于点D.GD=12.那么AG=________.12.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1= ，∠2= ，则∠3=_____________°.13.若一个多边形的内角和比外角和大360°, 则这个多边形的边数为_______________.14.如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D.E、F，则线段___是△ABC中AC边上的高.15.一个多边形的内角和是外角和的2倍, 则这个多边形的边数为___.16.十边形的外角和是_____°.17.若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3:4:5，则三边长分别为__________．18.如图，⊿ABC中，∠..40°，∠..72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CD.=_________度。
【精选】人教版数学八年级上册 三角形解答题单元培优测试卷
【精选】人教版数学八年级上册三角形解答题单元培优测试卷一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．图（1）是我们常见的“箭头图”，其中隐藏着哪些数学知识呢？下面请你解决以下问题：（1）观察如图（1）“箭头图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间大小的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，回答下列两个问题：①如图（2），把一块三角板XYZ放置在△ABC上，使其两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C．若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX= ；②如图（3），∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G1、G2、G3、G4，若∠BDC=135°，∠BG1C=67°，求∠A的度数．【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C（2）①40°②50°【解析】试题分析：（1）连接AD并延长，根据三角形的外角和内角关系解答；（2）①利用（1）的结论，直接计算出∠ABX+∠ACX的度数；②图（3）利用（1）的结论，根据∠BDC=135°，∠BG1C=67°，计算出相等的角：∠DBG4+∠DCG4的和，再次利用（1）的结论，求出∠A的度数.试题解析：（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由：连接AD并延长到M．因为∠BDM=∠BAD+∠B，∠CDM=∠CAD+∠C，所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．（2）①由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，由于∠BXC=90°，∠A=50°所以∠ABX+∠ACX=∠BXC﹣∠A=90°﹣50°=40°．②在箭头图G1BDC中因为∠BDC=∠G1+∠G1BD+∠G1CD，又∵∠BDC=135°，∠BG1C=67°∵∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G1、G2、G3、G4∴4（∠DBG4+∠DCG4）=135°﹣67°∴∠DBG4+∠DCG4=17°．∴∠ABG1+∠ACG1=17°∵在箭头图G1BAC中∵∠BG1C=∠A+∠G1BA+∠G1CA，又∵∠BG1C=67°，∴∠A=50°．答：∠A的度数是50°．2．（1）如图1．在△ABC中，∠B=60°，∠DAC和∠ACE的角平分线交于点O，则∠O= °，（2）如图2，若∠B=α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O的大小；（3）如图3，若∠B=α，11,PAC DAC PCA En nAC∠=∠∠=∠，则∠P=（用含α的代数式表示）．【答案】（1）∠O =60°；（2）90°－12α；（3）11(1)180P n nα∠=-⨯- 【解析】 【分析】（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O 的大小；（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=111-18022α︒⨯-（），再将2替换成n 即可分析求解. 【详解】解：（1）因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，且∠B=60°， 所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=， 有∠O=180120οο-=60°.（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180° ∵∠ACE 是△ABC 的外角， ∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β ∵CO 平分∠ACE11()22ACO ACE αβ∴∠=∠=+ 同理可得：1()2CAO αγ∠=+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，∴11180180()()22O ACO CAO αβαγ︒︒∠=-∠-∠=-+-+ 1180()2αβαγ︒=-+++111180()1809090222αβααα︒︒︒︒=-++=--=-；（3）∵∠B=α，11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠， 由（2）可知n=2时，有∠P=1180902α︒︒--=111-18022α︒⨯-（），将2替换成n 即可， ∴11(1)180P n nα∠=-⨯-.【点睛】本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.3．探究：（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：∠P＝90°+12∠A．（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论．【答案】（1）见解析；（2）12∠A＝∠P，理由见解析；（3）∠P＝90°﹣12∠A，理由见解析【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的性质进行解答即可：（2）根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果，（3）根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明.【详解】证明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝12∠ABC，∠PCB＝12∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝12（180°﹣∠A），根据三角形内角和定理可知∠BPC＝180°﹣12（180°﹣∠A）＝90°+12∠A；（2）12∠A ＝∠P ，理由如下： ∵BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线， ∴∠PBC ＝12∠ABC ，∠PCE ＝12∠ACE ． ∵∠ACE 是△ABC 的外角，∠PCE 是△BPC 的外角， ∴∠ACE ＝∠ABC +∠A ，∠PCE ＝∠PBC +∠P ， ∴12∠ACP ＝12∠ABC +12∠A ， ∴12∠ABC +12∠A ＝∠PBC +∠P ， ∴12∠A ＝∠P ． （3）∠P ＝90°﹣12∠A ，理由如下： ∵P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的平分线的交点，∠P +∠PBC +∠PCB ＝180° ∴∠P ＝180°﹣（∠PBC +∠PCB ） ＝180°﹣12（∠FBC +∠ECB ） ＝180°﹣12（∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ） ＝180°﹣12（∠A +180°）＝90°﹣12∠A ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解.4．如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4，4OC OB =.① ②（1）若ABC ∆的面积为20，求点B ，C 的坐标.（2）如图①，向x 轴正方向移动点B ，使90ABC ACB ∠-∠=︒，作BAC ∠的平分线AD 交x 轴于点D ，求ADO ∠的度数.（3）如图②，在（2）的条件下，线段AD 上有一动点Q ，作AQM DQP ∠=∠，它们的边分别交x 轴、y 轴于点M ，P ，作FMG DMQ ∠=∠，试判断FM 与PQ 的位置关系，并说明理由. 【答案】（1）10,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，40,03C ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）45°；（3）FM PQ ⊥【解析】 【分析】(1)设OB=a ，根据三角形的面积公式列式求出a ，即可得到点B 、C 的坐标；(2)设ACB α∠=，根据题意得到∠ABC=90°+α，根据三角形内角和定理得到∠BAC=90°-2α，再根据角平分线的定义、三角形外角的性质即可得到答案；(3)延长FM 交QP 于H ，设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β，根据三角形外角的性质、三角形内角和定理求出∠2+∠DMH=90°即可得到答案. 【详解】(1)设OB=a ，则OC=4a ， ∴BC=3a ， 由题意得，134202a ⨯⨯=， 解得：a=103， ∴OB=103，OC=403， ∴10,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，40,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)设ACB α∠=， ∵90ABC ACB ∠-∠=︒， ∴90ABC α∠=︒+，∴180BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠()18090αα=︒-︒+-902α=︒-，∵AD 平分BAC ∠，∴1452DAC BAC α∠=∠=︒-， ∴4545ADO DAC ACB αα∠=∠+∠=︒-+=︒； (3)FM ⊥PQ ，理由如下： 延长FM 交PQ 于点H ，.设∠DQP=∠AQM=α，∠FMG=∠DMQ=β，则∠DMH=∠FMG=β，∠AQM=∠QMD+∠QDM，即α=β+45°，∴∠1=180°-∠DQP-∠ADO=90°-β，∴∠2=∠1=90°-β，∴∠2+∠DMH=β+90°-β=90°，∴∠MHQ=90°，即FM⊥PQ.【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.5．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．（1）求证：∠BAG=∠BGA；（2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B=50°．①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数；②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数；（3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，请直接写出∠ABM：∠PBM的值．【答案】（1）证明见解析；（2）①20°；②160°；（3）13或73【解析】【分析】（1）根据AD//BC可知∠GAD=∠BGA，由AG平分∠BAD可知∠BAG=∠GAD，即可得答案.（2）①根据CF平分∠BCD，∠BCD=90°，可求出∠GCF的度数，由AD//BC可求出∠AEF 和∠DAB的度数，根据三角形外角的性质求出∠AFC的度数即可；②根据三角形外角性质求出即可；（3）根据M点在BP的上面和下面两种情况讨论，分别求出∠PBM和∠ABM的值即可.【详解】（1）∵AD∥BC，∴∠GAD=∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD，∴∠BAG=∠BGA；（2）①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，∴∠GCF=45°，∵AD∥BC，∠ABC=50°，∴∠AEF=∠GCF=45°；∠DAB=180°﹣50°=130°，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD=65°，∴∠AFC=65°﹣45°=20°；②如图：∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；（3）有两种情况：①当M在BC的下方时，如图：∵∠ABC=50°，∠ABP=2∠PBG，∴∠ABP=（1003）°，∠PBG=（503）°，∵AG∥CH，∴∠BCH=∠AGB=65°，∵∠BCD=90°，∴∠DCH=∠PBM=90°﹣65°=25°，∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=（1003+25）°=（1753）°，∴∠ABM：∠PBM=（1753）°：25°=73；②当M在BC的上方时，如图：同理得：∠ABM=∠ABP﹣∠PBM=（1003﹣25）°=（253）°，∴∠ABM：∠PBM=（253）°：25°=13；综上，∠ABM：∠PBM的值是13或73．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，熟练掌握平行线性质是解题关键.6．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α.（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由.（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：.【答案】（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+α；（3）∠1=90°+∠2+α,理由见解析;(4)∠2=90°+∠1﹣α．【解析】试题分析：（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；（2）利用（1）中所求的结论得出∠α、∠1、∠2之间的关系即可；（3）利用三角外角的性质，得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α、∠1、∠2之间的关系．试题分析：（1）∵∠1＋∠2＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∠C＋∠α＋∠CDP＋∠CEP＝360°，∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α，∵∠C＝90°，∠α＝50°，∴∠1＋∠2＝140°，故答案为140；（2）由(1)得∠α＋∠C＝∠1＋∠2，∴∠1＋∠2＝90°＋∠α.故答案为∠1＋∠2＝90°＋∠α.（3）∠1＝90°＋∠2＋∠α.理由如下：如图③，设DP与BE的交点为M，∵∠2＋∠α＝∠DME，∠DME＋∠C＝∠1，∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α.（4）如图④，设PE与AC的交点为F，∵∠PFD＝∠EFC，∴180°－∠PFD＝180°－∠EFC，∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，∴∠2＝90°＋∠1－∠α.故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α点睛：本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键.7．在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上（不与点A、B、C重合），点P是直线AB上的任意一点（不与点A、B重合）．设∠PDA=x，∠PEB=y，∠DPE=m，∠C=n．（1）如图，当点P在线段AB上运动，且n=90°时①若PD∥BC，PE∥AC，则m=_____；②若m=50°，求x+y的值．（2）当点P在直线AB上运动时，直接写出x、y、m、n之间的数量关系．【答案】（1）①90°，②140°；（2）详见解析.【解析】分析：（1）①证明四边形DPEC为平行四边形可得结论；②根据四边形内角和为360°，列等式求出x+y的值；（2）根据P、D、E位置的不同，分五种情况：①y-x=m+n，如图2，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；②x-y=m-n，如图3，点P在BA的延长线上时，根据三角形的内角和与外角定理列等式，化简后得出结论；③x+y=m+n，如图4，点P在线段BA上时，根据四边形的内角和为360°列等式，化简后得出结论；④x-y=m+n，如图5，同理得出结论；⑤y-x=m-n，如图6，同理得出结论．详解：（1）①如图1，∵PD∥BC，PE∥AC，∴四边形DPEC为平行四边形，∴∠DPE=∠C，∵∠DPE=m，∠C=n=90°，∴m=90°；②∵∠ADP=x，∠PEB=y，∴∠CDP=180°-x，∠CEP=180°-y，∵∠C+∠CDP+∠DPE+∠CEP=360°，∠C=90°，∠DPE=50°，∴90°+180°-x+50°+180°-y=360°，∴x+y=140°；（2）分五种情况：①y﹣x=m+n，如图2，理由是：∵∠DFP=n+∠FEC，∠FEC=180°﹣y，∴∠DFP=n+180°﹣y，∵x+m+∠DFP=180°，∴x+m+n+180°﹣y=180°，∴y﹣x=m+n；②x﹣y=m﹣n，如图3，理由是：同理得：m+180°﹣x=n+180°﹣y，∴x﹣y=m﹣n；③x+y=m+n，如图4，理由是：由四边形内角和为360°得：180°﹣x+m+180°﹣y+n=360°，∴x+y=m+n；④x﹣y=m+n，如图5，理由是：同理得：180°=m+n+y+180°﹣x，∴x﹣y=m+n；⑤y﹣x=m﹣n，如图6，理由是：同理得：n+180°﹣x=m+180°﹣y，∴y﹣x=m﹣n．点睛：本题考查了三角形综合、平行四边形的判定.8．如图，将一块三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边PQ上，直尺的另一边MN与三角板的两边AC、BC分别交于两点Ｅ、Ｄ，且AD为∠BAC的平分线，∠B=300，∠ADE=150.（1）求∠BDN的度数；（2）求证：CD=CE.【答案】（1）∠BDN=∠CDE=450（2）CD=CE【解析】试题分析：（1）根据直角三角形的性质，求出∠BAC=60°，然后根据角平分线的性质求出∠CAD=30°，进而根据三角形的内角和求出∠CDA=60°，最后根据角的和差求解即可；（2）结合（1）的关系，由“等角对等边”得出结论.试题解析：（1）在直角三角形ABC中，∠ACB=900，∠B=300,∴∠BAC=600,又AD平分∠BAC，∴∠CAD=300,又∠ACD=900,∴∠CDA=600又∠ADE=150，∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=600-150=450∴∠BDN=∠CDE=450（2）在△CED中，∠ECD=900，∠CDE=450∴∠CED=450∴ CD=CE点睛：此题主要考查了直角三角形、角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题关键是利用三角形的外角和内角求解角之间的和差关系即可.9．我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：．（填“能“或“不能”）（2）设AA1=A1A2=A2A3=1．则θ=度；活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．数学思考：（3）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．【答案】（1）能．(2)θ=22.5；(3) 15°≤θ＜18°．【解析】【分析】（1）根据已知条件：小棒两端能分别落在两射线上进行判断即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即得结果；（3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得关于θ的不等式组，解不等式组即得结果.【详解】(1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒两端能分别落在两射线上，∴小棒能继续摆下去；(2)∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，∴∠A2A1A3=45°，∴∠AA2A1+∠θ=45°，∵∠AA2A1=∠θ，∴∠θ=22.5°；(3)如图乙，∵A2A1=A2A3，∴∠A2A3A1=∠A2A1A3=2θ°，∵A2A3=A4A3，∴∠A3A2A4=∠A3A2A4=3θ°，∵A4A3=A4A5，∴∠A4A3A5=∠A4A5A3=4θ°，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可得6θ⩾90°，5θ<90°，∴15°⩽θ<18°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，根据题意找出规律并结合等腰三角形的性质是解题的关键.10．已知：如图，等边三角形ABD 与等边三角形ACE 具有公共顶点A ，连接CD ，BE ，交于点P .（1）观察度量，BPC ∠的度数为＿＿＿＿.（直接写出结果）（2）若绕点A 将△ACE 旋转，使得180BAC ∠=︒，请你画出变化后的图形.（示意图）（3）在（2）的条件下，求出BPC ∠的度数.【答案】（1）120°;（2）作图见解析；（3）∠BPC =120°．【解析】分析：（1）∠BPC 的度数为120°，理由为：由△ABD 与△ACE 都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB ，AC=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形DAC 与三角形BAE 全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ADC=∠ABE ，利用外角性质，等量代换即可得到所求；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）解法同（1），求出∠BPC 的度数即可．本题解析：（1）∠BPC 的度数为120°，理由为：证明：∵△ABD 与△ACE 都是等边三角形，∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB ，AC=AE ，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC与△BAE中，{AD ABDAC BAE AC AE=∠=∠=，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ADC+∠CDB=60°，∴∠ABE+∠CDB=60°，∴∠BPC=∠DBP+∠PDB=∠ABE+∠CDB+∠ABC=120°；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵△ABD与△ACE都是等边三角形，∴∠ADB=∠BAD=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，∴∠DAB+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠DAC=∠BAE，在△DAC与△BAE中，{AD ABDAC BAC AC AE=∠=∠=，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ABE+∠DBP=60°，∴∠ADC+∠DBP=60°，∴∠BPC=∠BDP+∠PBD=∠ADC+∠DBP+∠ADB=120°．点睛：本题考查了等边三角形的性质，外角性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.。
人教版八年级数学上册单元测试题。三角形(含答案解析)
人教版八年级数学上册单元测试题。
三角形(含答案解析)三角形单元检测一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）1.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（。
A。
）。
A。
2 cm。
3 cm。
5 cmB。
5 cm。
6 cm。
10 cmC。
1 cm。
1 cm。
3 cmD。
3 cm。
4 cm。
9 cm2.下列说法错误的是（。
B。
）。
A。
锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B。
钝角三角形有两条高线在三角形外部C。
直角三角形只有一条高线D。
任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线3.如果多边形的内角和是外角和的 k 倍，那么这个多边形的边数是（。
C。
）。
A。
kB。
2k + 1C。
2k + 2D。
2k - 24.四边形没有稳定性，当四边形形状改变时，发生变化的是（。
C。
）。
A。
四边形的边长B。
四边形的周长C。
四边形的某些角的大小D。
四边形的内角和5.如图，在△ABC 中，D，E 分别为 BC 上两点，且 BD = DE = EC，则图中面积相等的三角形有（。
C ）对。
A。
4B。
5C。
6D。
76.在下列条件中：①∠A + ∠B = ∠C，②∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3，③∠A = 90° - ∠B，④∠A = ∠B - ∠C 中，能确定△ABC 是直角三角形的条件有（。
B ）。
A。
1个B。
2个C。
3个D。
4个7.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形为（。
A ）。
A。
钝角三角形B。
锐角三角形C。
直角三角形D。
以上都不对8.如图，把△ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形BCDE 内部时，∠A 与∠1 + ∠2 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（。
D ）。
A。
∠A = ∠1 + ∠2B。
2∠A = ∠1 + ∠2C。
3∠A = 2∠1 + ∠2D。
3∠A = 2(∠1 + ∠2)9.一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角之间的关系是（。
人教版八年级上册数学：第11章 三角形培优单元测试卷含答案
人教版八年级上册数学：第11章 三角形培优单元测试卷一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．已知一个正多边形的每个外角都等于45°，则这个正多边形的边数是__________．2．一个边形从一个顶点出发引出的对角线可将其分割成5个三角形，则的值为__________．n n 3．如果一个三角形的两边长分别是2 cm 和7 cm ，且第三边为奇数，则三角形的周长是__________cm ．4．如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转50°后得到△．若∠A =40°，=110°，则∠的度数为A B C ''B ∠'BCA '___________．5．如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B =70°，∠C =34°．则∠DAE 的大小是___________．6．如图，五边形ABCDE 是正五边形．若l 1∥l 2，则∠1-∠2=__________°．7．如图，AB ∥CD ，BE 交CD 于点D ，CE ⊥BE 于点E ，若∠B =34°，则∠C 的大小为__________度．8．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=__________．9．直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为__________．10．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8 cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2 cm，则AC=__________cm．二、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）11．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=95°，则∠C的度数为A．24°B．25°C．30°D．35°12．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=A．118°B．119°C．120°D．121°13．如图，图中锐角三角形的个数是A．2个B．3个C．4个D．5个14．已知等腰三角形两边长是10 cm 和5 cm ，那么它的腰长是A ．25 cmB ．15 cmC ．10 cm 或5 cmD ．10 cm15．如图，∠BDC =98°，∠C =38°，∠B =23°，∠A 的度数是A ．61°B ．60°C ．37°D ．39°16．如图，△ABC 的平分线AD 与中线BE 交于点O ，有下列结论：①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是△ABD 的中线，下列说法正确的是A ．①②都正确B ．①不正确，②正确C ．①②都不正确D ．①正确，②不正确17．如图，将含30°角的直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直尺的一边上，已知∠A =30°，∠1=40°，则∠2的度数为A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°18．△ABC 中，∠A =∠B =∠C ，则△ABC 是1314A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．都有可能19．下列说法正确的是①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．A．①②B．②③C．③④D．②④20．如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在CB上的A′处，折痕CD，则∠A′DB=A．10°B．20°C．30°D．40°三、解答题（本大题共7小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE 与BC交于点F．（1）填空：∠AFC=___________度；（2）求∠EDF的度数．22．如图，在△ABC中，∠B=∠C=45°，点D在BC边上，点E在AC边上，且∠ADE=∠AED，连接DE．（1）当∠BAD=60°，求∠CDE的度数；（2）当点D在BC（点B、C除外）边上运动时，试写出∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．23．如图，△ABC中，（1）若∠B=70°，点P是△ABC的∠BAC和∠ACB的平分线的交点，求∠APC的度数．（2）如果把（1）中∠B=70°这个条件去掉，试探索∠APC和∠B之间有怎样的数量关系．24．如图，E是△ABC中AB边上的一点，AD是△ABC的高，已知AD=10，CE=9，AB=12，∠B=65°，∠BCE=25°，求BC的长．25．多边形的内角和与某一外角的度数总和为1350°，那么这个多边形的边数是多少？26．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，（1）若∠ABE=25°，∠BAD=50°，则∠BED的度数是__________度．（2）在△ADC中过点C作AD边上的高CH．（3）若△ABC的面积为60，BD=5，求点E到BC边的距离．27．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点A n ．设∠A =θ．则：（1）求∠A 1的度数；（2）∠A n 的度数．参考答案1．【答案】8【解析】设这个多边形的边数为n ，得，解得n =8．∴这个多边形的边数为8．故答案为：8．45360n ︒⨯=︒2．【答案】7【解析】∵一个边形从一个顶点出发引出的对角线可将其分割成5个三角形，∴n -2=5，解得n =7，故答案n 为：7．3．【答案】16【解析】∵7-2<第三边<7+2，∴5<第三边<9．∵第三边为奇数，∴第三边=7，所以三角形的周长是2+7+7=16（cm ）．故答案为：16．4．【答案】80°【解析】由题意得，∠B =∠B ′=110°，∠ACA ′=50°，∴∠ACB =180°–∠A –∠B =180°–40°–110°=30°，∴∠BCA ′=∠ACB +∠ACA ′=30°+50°=80°．故答案为：80°．5．【答案】18°【解析】∵△ABC 中，∠B =70°，∠C =34°，∴∠BAC =180°–（70°+34°）=76°．∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =38°．∵Rt △ABD 中，∠B =70°，∴∠BAD =20°，∴∠DAE =∠BAE –∠BAD =38°–20°=18°．故答案为：18°．6．【答案】72【解析】如图，过B 点作BF ∥l 1，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠ABC =108°，∵BF ∥l 1，l 1∥l 2，∴BF ∥l 2，∴∠3=180°-∠1，∠4=∠2，∴180°-∠1+∠2=∠ABC =108°，∴∠1-∠2=72°．故答案为：72．7．【答案】56【解析】∵AB ∥CD ，，∴，又∵CE ⊥BE ，34B ∠=︒34CDE B ∠=∠=︒∴Rt △CDE 中，，故答案为：56．903456C ∠=︒-︒=︒8．【答案】540°【解析】如下图，由三角形的外角性质可知∠6+∠7=∠8，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8，又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°，∠4+∠5+∠8+∠9=360°，∠10+∠9=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=（∠1+∠2+∠3+∠10）+（∠4+∠5+∠8+∠9）-（∠10+∠9）=540°，故答案为：540°．9．【答案】40°或15°【解析】当题中的“有一个角”是直角时，和不是直角时.当为直角时，由直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，设“另一角”为x，则有90°=2x-60°，则x=75°，所以最小角为15°，当题中的“有一个角”不是直角时，设直角三角形中一个锐角为x，另一个锐角为2x−60°，根据两个锐角之和为90°可得，x+2x−60°=90°，解得x=50°，较小角为90°−50°=40°，故答案为：40°或15°．10．【答案】10【解析】∵AE是△ABC的中线，∴CE=BE，∵△ACE的周长比△AEB的周长多2 cm，∴（AC+AE+CE）-（BE+AB+AE）=AC-AB=2 cm，∵AB=8 cm，∴AC=10 cm．故答案为：10．11．【答案】B【解析】三角形的内角和为180°，则∠C=180°–60°–95°=25°．故选B．12．【答案】C【解析】根据∠A=60°，∠ABC=42°可得：∠ACB=78°，根据角平分线的性质可得：∠FBC=21°，∠FCB=39°，则∠FBC+∠FCB=60°，在△FBC中应用内角和定理可得：∠BFC=180°–60°=120°．故选C．13．【答案】B【解析】①以A为顶点的锐角三角形△ABC、△ADC共2个；②以E为顶点的锐角三角形：△EDC，共1个，所以图中锐角三角形的个数有2+1=3（个），故选B．14．【答案】D【解析】当腰为5 cm时，5+5=10，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为10 cm时，10-5<10<10+5，能构成三角形，故选D．15．【答案】C【解析】如图，延长BD交AC于点E，根据外角的性质可得：∠BEC=∠BDC–∠C=98°–38°=60°，∠A=∠BEC–∠B=60°–23°=37°，故选C．16．【答案】D【解析】AD是三角形ABC的角平分线，∴AO是∠BAC的角平分线，∴AO是△ABE的角平分线，故①正确；∵BE是三角形ABC的中线，∴E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．故选D．17．【答案】D【解析】∵EF∥MN，∠1=40°，∴∠1=∠3=40°．∵∠A=30°，∴∠2=∠A+∠3=70°．故选D．18．【答案】B【解析】设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，由x+3x+4x=180，解得：x=22.5，∴∠C=4×22.5°=90°，故△ABC是直角三角形．故选B．19．【答案】D【解析】三角形的角平分线是线段；三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；当这个三角形为钝角三角形时，则有两条高在三角形的外部；三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．故选D．20．【答案】B【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，∴∠B=90°-∠A=90°-55°=35°，∠A=∠CA′D，∵∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴55°=35°+∠A′DB，∴∠A′DB=20°．故选B．21．【解析】（1）∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠BAD=∠DAF，∵∠B=50°，∠BAD=30°，∴∠AFC=∠B+∠BAD+∠DAF=110°．故答案为：110°．（2）∵∠B=50°，∠BAD=30°，∴∠ADB=180°–50°–30°=100°，∵△ABD沿AD折叠得到△AED，∴∠ADE=∠ADB=100°，∴∠EDF=∠EDA+∠BDA–∠BDF=100°+100°–180°=20°．22．【解析】（1）∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC =∠B +∠BAD =105°，∵∠AED 是△CDE 的外角，∴∠AED =∠C +∠EDC ．∵∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ，∴∠ADC -∠EDC =105°-∠EDC =45°+∠EDC ，解得：∠CDE =30°．（2）∠CDE =∠BAD ．12理由：设∠BAD =x ，∵∠ADC 是△ABD 的外角，∴∠ADC =∠B +∠BAD =45°+x ，∵∠AED 是△CDE 的外角，∴∠AED =∠C +∠CDE ，∵∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ，∴∠ADC -∠CDE =∠45°+x -∠CDE =45°+∠CDE ，得：∠CDE =∠BAD ．1223．【解析】（1）∵∠B =70°，∴∠BAC +∠BCA =110°，∵点P 是△ABC 的∠BAC 和∠ACB 的平分线的交点，∴∠PAC =∠BAC ，∠PCA =∠BCA ，1212∴∠PAC +∠PCA =（∠PAC +∠PCA ）=×110°=55°，1212∴∠P =180°-55°=125°．（2）∵点P 是△ABC 的∠BAC 和∠ACB 的平分线的交点，∴∠PAC =∠BAC ，∠PCA =∠BCA ，1212∴∠PAC +∠PCA =（∠PAC +∠PCA ），12∴∠P =180°-（∠PAC +∠PCA ）=180°-（∠PAC +∠PCA ）12=180°-（180°-∠B ）12=90°+∠B ．1224．【解析】∵CE =9，AB =12，∴△ABC 的面积=×12×9=54．12因为，在△BCE 中，∠B =65°，∠BCE =25°，所以，∠BEC =180°-∠B -∠BCE =180°-65°-25°=90°．所以，CE 是△BCE 的高．所以，△ABC 的面积=BC ·AD =54，12即BC ·10=54，12解得BC =10.8．25．【解析】设边数为n ，外角为x °，则x +（n -2）×180=1350．∴x =1350-180（n -2）．∵0<x <180，∴0<1350-（n -2）×180<180.解得<n <．1531817118∵n 为整数，∴n =9．26．【解析】（1）75°．（2）如图，CH 为所求的高．（3）如图，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，∵AD 是BC 的中线，∴BD =CD ，∴，11603022ABD ACD ABC S S S ===⨯=△△△同理，11301522BED ABE ABD S S S ===⨯=△△△又∵，1151522BED S BD EF EF =⋅=⨯=△∴EF =6，即点E 到BC 边的距离为6．27．【解析】（1）∵BA 1是∠ABC 的平分线，CA 1是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC =∠ABC ，∠A 1CD =∠ACD ，1212又∵∠ACD =∠A +∠ABC ，∠A 1CD =∠A 1BC +∠A 1，∴（∠A +∠ABC ）=∠ABC +∠A 1，1212∴∠A 1=∠A ，12∵∠A =θ，∴∠A 1=．2θ（2）同理可得∠A 2=∠A 1=·=，12122θ22θ所以∠A n =．2n θ。
人教版八年级数学上册 全等三角形单元培优测试卷
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．
【详解】
选取①②:
在 和 中
选取①④:
在 和 中
选取③④:
在 和 中
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．
人教版八年级数学上册 全等三角形单元培优测试卷
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，在等边 中取点 使得 ， ， 的长分别为3，4，5，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】
把线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60 得到线段AD，由旋转的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理SAS证得△ADB≌△APC，连接PD，根据旋转的性质知△APD是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，∠BPD＝90 ，由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC，则有S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD，根据等边三角形的面积为边长平方的 倍和直角三角形的面积公式即可得到S△ADP＋S△BPD＝ ×32＋ ×3×4＝ ．
即得到∠DEC=α=15°，
故选C.
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题有一点难度，但题型不错．
14．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（ ）
人教版八年级上册数学全等三角形单元培优测试卷
-X八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1.已知0P平分ZAOB, ZDCE的顶点C在射线0P上，射线CD交射线0A于点F,射线 CE交射线0B于点G.（1）如图1，若CD丄OA, CE丄0B,请直接写岀线段CF与CG的数呈:关系；（2）如图2,若ZAOB=120e, ZDCE=ZAOC,试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由・【答案】（1）CF二CG；（2） CF二CG,见解析【解析】【分析】（1）结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.⑵结论：CF二CG,作CM丄0A于CN丄OB于N,证明△ CMF^ACNG,利用全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：VOP 平分ZAOB, CF丄OA, CG丄0B,・・・CF=CG （角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF二CG•理由如下:如图，TOP 平分ZAOB, CM丄OA, CN丄OB, ZAOB二220叫・・.CM=CN （角平分线上的点到角两边的距离相等）， A ZAOC=ZBOC=60^ （角平分线的性质）， VZDCE=ZAOC,••• Z AOC= Z BOC= Z DCE=605,••• ZMCO=905-605 二30签 ZNCO=905-605 =30監.•.ZMCN=305+30^=605,AZMCN=ZDCE,I ZMCF=ZMCN-ZDCN, ZNCG二ZDCE-ZDCN,AZMCF=ZNCG,在AMCF 和ZkNCG 中，ZCMF =乙 CNGCM = CN乙 MCF =乙 NCGA A MCF^A NCG (ASA),・・・CF=CG (全等三角形对应边相等)：【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等.2.如图1,在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA二PE, PE 交 CD 于 F(1)证明:PC=PE；(2)求z CPE的度数：(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,苴他条件不变，当Z ABC二120。
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人教版数学八年级上册三角形解答题单元培优测试卷一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论：(1)如图①, ∠A＝∠C＝90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是；(2)如图②, ∠A＝∠C＝90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是；(3)如图③, ∠A=∠C＝90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE 的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.【答案】（1）BE⊥DE；（2）BE//DF；（3）BE⊥DE.证明见解析.【解析】【分析】(1)由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠HDG＝∠CDG=∠FB H＝∠AB F=12x，则有∠CDG+∠CGD=90°，由∠CGD=∠BGE,可得∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；(2) 由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠EB H＝∠AB E=1 2 x,则∠DGE=90°+12x，∠CDM=180°-x，由DF平分∠CDM,则∠CDF=12（180°-x），所以∠CDF+∠HDC=12（180°-x）,然后运用同位角相等，即可证明；（3）设∠BFA＝∠CFD=x,由∠A＝∠C＝90°可以得到∠EBC＝∠FDN=90°+x，由根据题意可得：∠EDF＝∠EBF=12（90°+x）；且∠BFD=180°+x，最后用四边形内角和，求出∠BED=90°，完成证明.【详解】解：（1）BE⊥DE，理由如下：∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA∴∠HDC＝∠AB H设∠HDC＝∠AB H=x∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E∴∠HDG＝∠CDG=∠FB H＝∠AB F=1 2 x又∵∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠BGE ∴∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；（2）DF∥AB,理由如下：∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA∴∠HDC＝∠AB H∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA∴∠HDC＝∠AB H∵BE平分∠ABH，∴∠EB H＝∠AB E=1 2 x∴∠DGE=90°+1 2 x∵∠CDM=180°-x，DF平分∠CDM∴∠CDF=12（180°-x）=90°-12x∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-12x+x=90°+12x∴∠DGE=∠HDF∴DF∥AB（3）BE⊥DE，证明如下：设∠BFA＝∠CFD=x,∵∠A＝∠C＝90°∴∠EBC＝∠FDN=90°+x，∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E∴∠EDF＝∠EBF=12（90°+x）又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x∴∠BFD=360°-12（90°+x）-12（90°+x）-（180°-x）=90°即BE⊥DE【点睛】本题主要考查了直角三角形和多边形内角和的知识，考查知识点简单，但过程复杂，难度较大，运用方程思想是一个不错的方法.2．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB 的大小．（2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及延长线相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO 的度数．【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45° 【解析】【分析】（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=∠，1ABE ABO 2∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=︒ ，故PAB MBA 270∠+∠=︒，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠=∠，1ABC ABM 2∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知CDE DCE 112.5∠+∠=︒，进而得出结论；（3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．【详解】（1）∠AEB 的大小不变，∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，∴∠AOB=90°，∴OAB OBA 90∠+∠=︒，∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，∴1BAE OAB 2∠=∠，1ABE ABO 2∠=∠， ∴()1BAE ABE OAB ABO 452∠+∠=∠+∠=°， ∴∠AEB=135°；（2）∠CED 的大小不变．如图2，延长AD 、BC 交于点F ．∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，∴90∠=AOB °，∴OAB OBA 90∠+∠=°，∴PAB MBA 270∠+∠=°，∵AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，∴1BAD BAP 2∠=∠，1ABC ABM 2∠=∠， ∴()1BAD ABC PAB ABM 1352∠+∠=∠+∠=°，F 45∠=°， ∴FDC FCD 135∠+∠=°，∴CDA DCB 225∠+∠=°，∵DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，∴CDE DCB 112.5∠+∠=°，∴E 67.5∠=°；（3）∵∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E ，∴1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2∠=∠ ， ∴()11E EOQ EAO BOQ BAQ ABO 22∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∵AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线，∴EAF 90∠=°． 在△AEF 中，∵有一个角是另一个角的3倍，故有：①EAF 3E ∠=∠，E 30∠=°，ABO 60∠=°；②EAF 3F ∠=∠，E 60∠=°，ABO 120∠=°；③EAF 3E ∠=∠，E 22.5∠=°，ABO 45∠=°；④EAF 3F ∠=∠，E 67.5∠=°，ABO 135∠=°．∴∠ABO 为60°或45°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．3．（1）如图1，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，①写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；②设AED ∠的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x 或y 的代数式表示）③∠A 与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律． (2)如图2，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 外部时，∠A 与∠1、∠2的数量关系是否发生变化？如果发生变化，求出∠A 与∠1、∠2的数量关系；如果不发生变化，请说明理由.【答案】（1）①△EAD ≌△EA ′D ，其中∠EAD =∠EA ′D ，∠AED =∠A ′ED ，∠ADE =∠A ′DE ；②∠1=180°−2x ,∠2=180°−2y ； ③∠A=12（∠1+∠2）；（2）变化，∠A=12（∠2-∠1），见详解【解析】【分析】（1）①根据翻折方法可得△ADE ≌△A ′DE ；②根据翻折方法可得∠AEA ′=2x ，∠ADA ′=2y ，再根据平角定义可得∠1=180°-2x ，∠2=180°-2y ； ③首先由∠1=180°-2x ，2=180°-2y ，可得x=90-12∠1，y=90-12∠2，再根据三角形内角和定理可得∠A=180°-x-y ，再利用等量代换可得∠A=12（∠1+∠2）； （2）根据折叠的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】（1）①根据翻折的性质知△EAD ≌△EA ′D ，其中∠EAD =∠EA ′D ，∠AED =∠A ′ED ，∠ADE =∠A ′DE ；②）∵∠AED=x，∠ADE=y，∴∠AEA′=2x，∠ADA′=2y，∴∠1=180°-2x ，∠2=180°-2y ；③∠A=12（∠1+∠2）； ∵∠1=180°-2x ，∠2=180°-2y ，∴x=90-12∠1，y=90-12∠2， ∴∠A=180°-x-y=190-（90-12∠1）-（90-12∠2）=12（∠1+∠2）． （2））∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到，∴∠A′=∠A，又∵∠AEA′=180°-∠2，∠3=∠A′+∠1，∴∠A+∠AEA′+∠3=180°，即∠A+180°-∠2+∠A′+∠1=180°，整理得，2∠A=∠2-∠1． ∴∠A=12（∠2-∠1）． 【点睛】 此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4．如图①所示，在三角形纸片ABC 中，70C ∠=︒，65B ∠=︒，将纸片的一角折叠，使点A 落在ABC 内的点A '处.（1）若140∠=︒，2∠=________.（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，直接写出结论.②当点A 落在四边形BCDE 外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，A ∠，1∠，2∠之间又存在什么关系？请说明．（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的123456∠+∠+∠+∠+∠+∠和是________.【答案】(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°.【解析】【分析】（1）根据题意，已知70C ∠=︒，65B ∠=︒，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解；（2）①先根据折叠得：∠ADE=∠A ′DE ，∠AED=∠A ′ED ，由两个平角∠AEB 和∠ADC 得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；②利用两次外角定理得出结论；（3）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'GF+∠B'FG）以及（∠C'DE+∠C'ED）和（∠A'HL+∠A'LH），再利用三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：（1）∵70C ∠=︒，65B ∠=︒，∴∠A ′=∠A=180°-（65°+70°）=45°，∴∠A ′ED+∠A ′DE =180°-∠A ′=135°，∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A ′ED+∠A ′DE ）=360°-310°=50°；（2）①122A ∠+∠=∠,理由如下由折叠得：∠ADE=∠A ′DE ，∠AED=∠A ′ED ，∵∠AEB+∠ADC=360°，∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A ′DE-∠AED-∠A ′ED=360°-2∠ADE-2∠AED ，∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED ）=2∠A ；②221A ∠=∠+∠，理由如下：∵2∠是ADF 的一个外角∴2A AFD ∠=∠+∠.∵AFD ∠是A EF '△的一个外角∴1AFD A '∠=∠+∠又∵A A '∠=∠∴221A ∠=∠+∠（3）如图由题意知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠B'GF+∠B'FG）-（∠C'DE+∠C'ED）-（∠A'HL+∠A'LH）=720°-（180°-∠B'）-（180°-C'）-（180°-A'）=180°+（∠B'+∠C'+∠A'）又∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．【点睛】题主要考查了折叠变换、三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．5．如图①，在△ABC 中，CD 、CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠BAC ＝α，∠B ＝β（α＞β）．（1）若α＝70°，β＝40°，求∠DCE 的度数；（2）试用α、β的代数式表示∠DCE 的度数（直接写出结果）；（3）如图②，若CE 是△ABC 外角∠ACF 的平分线，交BA 延长线于点E ，且α﹣β＝30°，求∠DCE 的度数．【答案】（1）15°；（2）DCE 2αβ-∠=；（3）75°． 【解析】【分析】（1）三角形的内角和是180°，已知∠BAC 与∠ABC 的度数，则可求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠BCE ，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠DEC 的度数，进而求出∠DCE 的度数；（2）∠DCE ＝2αβ- ．（3）作∠ACB 的内角平分线CE′，根据角平分线的性质求出∠ECE′=∠ACE+∠ACE′=12∠ACB+12∠ACF=90°，进而求出∠DCE 的度数． 【详解】解：（1）因为∠ACB ＝180°﹣（∠BAC+∠B ）＝180°﹣（70°+40°）＝70°，又因为CE 是∠ACB 的平分线，所以1352ACE ACB ∠=∠=︒． 因为CD 是高线，所以∠ADC ＝90°，所以∠ACD ＝90°﹣∠BAC ＝20°，所以∠DCE ＝∠ACE ﹣∠ACD ＝35°﹣20°＝15°．（2）DCE 2αβ-∠=．（3）如图，作∠ACB 的内角平分线CE′，则152DCE αβ-'==︒∠．因为CE 是∠ACB 的外角平分线，所以∠ECE′＝∠ACE+∠ACE′＝11+22ACB ACF ∠∠＝1(+)2ACB ACF ∠∠＝90°， 所以∠DCE ＝90°﹣∠DCE′＝90°﹣15°＝75°．即∠DCE 的度数为75°．【点睛】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3），作辅助线是关键．6．如图，将一块三角板ABC 的直角顶点C 放在直尺的一边PQ 上，直尺的另一边MN 与三角板的两边AC 、BC 分别交于两点Ｅ、Ｄ，且AD 为∠BAC 的平分线，∠B=300，∠ADE=150.（1）求∠BDN 的度数；（2）求证：CD=CE.【答案】（1）∠BDN=∠CDE=450（2）CD=CE【解析】试题分析：（1）根据直角三角形的性质，求出∠BAC=60°，然后根据角平分线的性质求出∠CAD=30°，进而根据三角形的内角和求出∠CDA=60°，最后根据角的和差求解即可；（2）结合（1）的关系，由“等角对等边”得出结论.试题解析：（1）在直角三角形ABC 中，∠ACB=900，∠B=300,∴∠BAC=600,又AD 平分∠BAC ，∴∠CAD=300,又∠ACD=900,∴∠CDA=600又∠ADE=150，∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=600-150=450∴∠BDN=∠CDE=450（2）在△CED 中，∠ECD=900，∠CDE=450∴∠CED=450∴ CD=CE点睛：此题主要考查了直角三角形、角平分线的性质，三角形的内角和定理，解题关键是利用三角形的外角和内角求解角之间的和差关系即可.7．如图，已知，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E的线段AD(除去端点A、D)上一动点，EF⊥BC于点F.(1)若∠B＝40°，∠DEF＝10°，求∠C的度数．(2)当E在AD上移动时，∠B、∠C、∠DEF之间存在怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由．【答案】(1)∠C＝60°.(2)∠C－∠B＝2∠DEF.理由见解析【解析】试题分析：（1）已知：EF⊥BC，∠DEF＝10°可以求得∠EDF的度数，∠EDF又是∆ABD的外角，已知∠B的度数，可求得∠BAD的值，AD平分∠BAC，所以∠BAC的值也可求出，从而求出∠C。