人教版数学八年级上册 三角形解答题单元培优测试卷

人教版数学八年级上册三角形解答题单元培优测试卷

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．小明在学习三角形的知识时, 发现如下三个有趣的结论：

(1)如图①, ∠A＝∠C＝90°, ∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E, 则BE、DE的位置关系是；

(2)如图②, ∠A＝∠C＝90°, BE平分∠ABC, DF平分∠ADC的外角, 则BE与DF的位置关系是；

(3)如图③, ∠A=∠C＝90°, ∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E, 则BE、DE 的位置关系是 . 请你完成命题 (3)证明.

【答案】（1）BE⊥DE；（2）BE//DF；（3）BE⊥DE.证明见解析.

【解析】

【分析】

(1)由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠HDG＝

∠CDG=∠FB H＝∠AB F=1

2

x，则有∠CDG+∠CGD=90°，由∠CGD=∠BGE,可得

∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；

(2) 由∠A＝∠C＝90°可以得到∠HDC＝∠AB H,设∠HDC＝∠AB H=x，可得∠EB H＝∠AB E=1 2 x,

则∠DGE=90°+1

2

x，∠CDM=180°-x，由DF平分∠CDM,则∠CDF=

1

2

（180°-x），所以

∠CDF+∠HDC=1

2

（180°-x）,然后运用同位角相等，即可证明；

（3）设∠BFA＝∠CFD=x,由∠A＝∠C＝90°可以得到∠EBC＝∠FDN=90°+x，由根据题意可

得：∠EDF＝∠EBF=1

2

（90°+x）；且∠BFD=180°+x，最后用四边形内角和，求出

∠BED=90°，完成证明.【详解】

解：（1）BE⊥DE，理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠AB H

设∠HDC＝∠AB H=x

∵∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E

∴∠HDG＝∠CDG=∠FB H＝∠AB F=1 2 x

又∵∠CDG+∠CGD=90°，∠CGD=∠BGE ∴∠BGE+∠FBE=90°，即BE⊥DE；（2）

DF∥AB,理由如下：

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠AB H

∵∠A＝∠C＝90°，∠DHC＝∠BHA

∴∠HDC＝∠AB H

∵BE平分∠ABH，

∴∠EB H＝∠AB E=1 2 x

∴∠DGE=90°+1 2 x

∵∠CDM=180°-x，DF平分∠CDM

∴∠CDF=1

2

（180°-x）=90°-

1

2

x

∴∠HDF=∠CDF+∠CDH=90°-1

2

x+x=90°+

1

2

x

∴∠DGE=∠HDF

∴DF∥AB

（3）

BE⊥DE，证明如下：

设∠BFA＝∠CFD=x,

∵∠A＝∠C＝90°

∴∠EBC＝∠FDN=90°+x，

∵∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E

∴∠EDF＝∠EBF=1

2

（90°+x）

又∵∠BFD=180°-∠AFB=180°-x

∴∠BFD=360°-1

2

（90°+x）-

1

2

（90°+x）-（180°-x）=90°

即BE⊥DE

【点睛】

本题主要考查了直角三角形和多边形内角和的知识，考查知识点简单，但过程复杂，难度较大，运用方程思想是一个不错的方法.

2．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．

（1）如图1，已知AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AEB 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB 的大小．

（2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，又DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CED 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．

（3）如图3，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及延长线相交于E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO 的度数．

【答案】（1）135°；（2）67.5°；（3）60°， 45° 【解析】

【分析】

（1）根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可知∠AOB=90°，再由AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的角平分线得出1BAE OAB 2∠=

∠，1ABE ABO 2∠=∠，由三角形内角和定理即可得出结论；

（2）延长AD 、BC 交于点F ，根据直线MN 与直线PQ 垂直相交于O 可得出∠AOB=90°，进而得出OAB OBA 90∠+∠=︒ ，故PAB MBA 270∠+∠=︒，再由AD 、BC 分别是∠BAP 和∠ABM 的角平分线，可知1BAD BAP 2∠=∠，1ABC ABM 2

∠=∠，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE 、CE 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线可知

CDE DCE 112.5∠+∠=︒，进而得出结论；

（3））由∠BAO 与∠BOQ 的角平分线相交于E 可知

1EAO BAO 2∠=∠,1EOQ BOQ 2

∠=∠ ，进而得出∠E 的度数，由AE 、AF 分别是∠BAO 和∠OAG 的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF 中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．

【详解】

（1）∠AEB 的大小不变，

∵直线MN 与直线PQ 垂直相交于O ，

∴∠AOB=90°，

∴OAB OBA 90∠+∠=︒，

∵AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，