符号运算
运算符号
运算符号如加号（+），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或/），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√￣），对数（log，lg，ln），比（:），绝对值符号| |，微分（d），积分（∫），闭合曲面（曲线）积分（∮）等。
关系符号如“=”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“>”是大于符号，“<”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”），“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”），“→ ”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号，“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“≱”是垂直符号，“∝”是正比例符号，“∈”是属于符号，“⊆”是包含于符号，“⊇”是包含符号，“|”表示“能整除”（例如a|b表示”a能整除b“)，x可以代表未知数，y也可以代表未知数，任何字母都可以代表未知数。
结合符号如小括号“（）”中括号“[ ]”，大括号“{ }”横线“—”，比如（2+1）+3=6，[2.5×（23+2）+1]=x，3.5+[3+1]+1=y等。
性质符号如正号“+”，负号“－”，正负号“±”省略符号如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin），余弦（cos），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠），∵因为，（一个脚站着的，站不住）∴所以，（两个脚站着的，能站住）(口诀：因为站不住，所以两个点；因为上面两个点，所以下面两个点)总和，连加：∑，求积，连乘：∏，从n个元素中取出r个元素所有不同的组合数C，幂等。
排列组合符号C 组合数A(或P) 排列数N元素的总个数R参与选择的元素个数! 阶乘，如5！=5×4×3×2×1=120，规定0！=1!! 半阶乘(又称双阶乘)，例如7!!=7×5×3×1=105,10!!=10×8×6×4×2=3840离散数学符号∀全称量词∃存在量词├ 断定符（公式在L中可证）╞ 满足符（公式在E上有效，公式在E上可满足）﹁命题的“非”运算，如命题的否定为﹁p∧命题的“合取”（“与”）运算∨命题的“析取”（“或”，“可兼或”）运算→ 命题的“条件”运算↔ 命题的“双条件”运算的p<=>q命题p与q的等价关系p=>q命题p与q的蕴涵关系A* 公式A的对偶公式wff 合式公式iff 当且仅当↑ 命题的“与非” 运算（“与非门” ）↓ 命题的“或非”运算（“或非门” ）□ 模态词“必然”◇模态词“可能”∅空集∈属于A∈B,即“A属于B”∉不属于P(A) 集合A的幂集|A| 集合A的点数R²=R○R [R=R○R] 关系R的“复合”א阿列夫⊆包含⊂（或下面加≠）真包含∪集合的并运算∩ 集合的交运算-或\ 集合的差运算〡限制集合关于关系R的等价类A/R集合A上关于R的商集[a] 元素a产生的循环群I环，理想Z/(n) 模n的同余类集合r(R) 关系R的自反闭包s(R) 关系R的对称闭包CP 命题演绎的定理（CP 规则）EG 存在推广规则（存在量词引入规则）ES 存在量词特指规则（存在量词消去规则）UG 全称推广规则（全称量词引入规则）US 全称特指规则（全称量词消去规则）R 关系r 相容关系R○S 关系与关系的复合domf 函数的定义域（前域）ranf 函数的值域f:x→y f是x到y的函数(x,y) x与y的最大公约数[x,y] x与y的最小公倍数aH(Ha) H关于a的左（右）陪集Ker(f) 同态映射f的核（或称f同态核）[1，n] 1到n的整数集合d(A,B),|AB|,或AB点A与点B间的距离d(V) 点V的度数G=(V,E) 点集为V，边集为E的图GW(G) 图G的连通分支数k(G) 图G的点连通度Δ(G) 图G的最大点度A(G) 图G的邻接矩阵P(G) 图G的可达矩阵M(G) 图G的关联矩阵C复数集I 虚数集N 自然数集，非负整数集（包含0在内）N*（N+）正自然数集，正整数集（*表示从集合中去掉元素“0”）P素数（质数）集Q 有理数集R 实数集Z 整数集Set 集范畴Top 拓扑空间范畴Ab 交换群范畴Grp 群范畴Mon 单元半群范畴R ing 有单位元的（结合）环范畴R ng 环范畴C R ng 交换环范畴R-mod 环R的左模范畴mod-R环R的右模范畴Field 域范畴Poset 偏序集范畴希腊数学符号字母古希腊语名称英语名称古希腊语发音现代希腊语发音中文注音数学意思Α α?λθαAlpha [a],[a?] [a] 阿尔法角度；系数；平面Β ββ?ηαBeta [b] [v] 贝塔角度；系数；平面Γ δδ?ληαDelta [d] [ð] 德尔塔变动；求根公式Δ ε?ψιλονEpsilon [e] [e] 伊普西隆对数之基数Ε δδ?ηαZeta [zd] [z] 泽塔系数；Θ θθ?ηαTheta [t?] [θ]西塔温度；相位角Ι ιι?ηαIota [i] [i] 约塔微小，一点儿Λ λλ?μβδα(现为λ?μδα)Lambda [l] [l] 兰姆达波长（小写）；体积Μ μμυ(现为μι)Mu [m] [m] 谬微（千分之一）；放大因数（小写）Ξ ξξιXi [ks] [ks] 克西随机变量Π ππιPi [p] [p] 派圆周率=圆周÷直径≈3.1416Σ ζζ?γμαSigma [s] [s] 西格玛总和（大写）；统计学上的标准差（小写）Τ ηηαυTau [t] [t] 陶时间常数Φ θθιPhi [p?] [f] 弗爱辅助角Ω ωωμ?γαOmega [??] [o] 欧米咖角genhao 意义编辑符号(Symbol)意义(Meaning)= 等于is equal to≠ 不等于is not equal to≈ 约等于approximately equal to< 小于 is less than> 大于 is greater than//平行is parallel to平行且相等≱垂直≥ 大于或等于is greater than or equal to≤ 小于或等于is less than or equal to≡ 恒等于或同余π 圆周率约等于3.1415926536e 自然常数约等于2.7182818285|x| 绝对值absolute value of X∽相似is similar to≌全等 is equal to(especially for geometric figure) >> 远大于<< 远小于∪并集∩交集⊆包含于∈属于≰圆\ 求商值α，β，γ，…角度；系数（数学中常用作表示未知角）φ角（数学中常用作表示未知角）∞无穷大ln x以e为底的对数lg x以10为底的对数floor(x)或[x] 下取整函数ceil(x)上取整函数x mod y求余数x-floor(x) 或{x} 小数部分d y，d f(x) 函数y=f(x)的微分（或线性主部）∫f(x)d x 不定积分，函数f的全体原函数平面二维k-ε紊流模型不同壁函数的对比及研究函数f从a到b的定积分表示i从m到n逐一递增对连加求和表示i从m到n逐一递增对连乘求积。
Mathcad-数学运算-符号运算
(2)在左占位符中输入代数式，在右占 位符输入关键字expand；
(3)把光标移开并单击，便得： (x+1)3(x-1) expand →x4+2·x3-2·x-1
Mathcad-数学运算-符号运算
(c)代数式的 因式分解(Factor)
Mathcad-数学运算-符号运算
图 29
Mathcad-数学运算-符号运算
用户可在此框内输入浮点数的精度， 范围为1～4000之间的整数，当此数大于 255时将计算结果存入剪贴板中而不显示 在屏幕上。例：
解析解： 10
x2 dx
1000
0
3
10
实数解： x2dx floa,6t33.3333
(1)输入多项式； (2)指定展开变量或式子 (3)使用“Symbolics”菜单中的“Polynomial Coefficients”命令即可。 也可用指定代数符号运算符来返回含有指 定变量或指定子式的多项式系数的向量，其步 骤是：
Mathcad-数学运算-符号运算
(1) 按 “ Ctrl+Shift+.” ， 出 现 指 定 代 数符号运算符；
0
复数解：e 2 in co m c2 o p n s l ) ( e isx 2 in n )(
Mathcad-数学运算-符号运算
(3)方程、不等式 的解析解
Mathcad-数学运算-符号运算
使用“Symbolics”菜单“Variable”命 令 的 子 命 令 “ Solve” 可 以 求 出 一 元 方 程 、 多元方程组、不等式的解析解，运用 given-find 求 解 模 块 也 可 以 求 得 多 元 方 程组的解析解。由于Mathcad2001在求解 方程时首先是对代数式进行因式分解， 因此对不能分解成基本因式的方程无法 求出解析解，但可以得到数值解。
符号运算
S=sym(A, flag)将数值A转换成flag格式的符号对象
syms函数的格式为: syms('arg1', 'arg2', …,参数) syms arg1 arg2 …参数 功能:创建多个符号变量.
syms arg1 arg2 … arg1=sym(′arg1′),arg2=sym(′arg2′)
补充知识: 补充知识: 符 号 运 算
符号对象的创建和使用 1 符号对象的创建和使用 在MATLAB的数值计算中,数值表达式所引用的变量必须事 先被赋值, 否则无法计算.因此,前面介绍的有关数值运算, 其运算变量都是被赋值的数值变量.而在MATLAB的符号运算中, 运算变量则是符号变量,所出现的数字也作为符号来处理.实 际上,符号数学是对字符串进行的运算. 进行符号运算时,首先要创建(即定义)基本的符号对象, 它可以是常数,变量和表达式.然后利用这些基本符号对象构 成新的表达式,进而完成所需的符号运算.
例3.2.2 将 ( x + y ) n 展开 n=input('Please input n? ') syms x y; expand((x+y)^n) Please input n? 8 n= 8 ans = x^8+8*x^7*y+28*x^6*y^2+56*x^5*y^3+70* x^4*y^4+56*x^3*y^5+28*x^2*y^6+8*x*y^7 +y^8
使用syms函数定义符号变量和符号表达式 >> syms a b c x >> f = sym('a*x^2 + b*x + c') f= a*x^2 + b*x + c >> g=f^2+4*f-2 g= (a*x^2+b*x+c)^2+4*a*x^2+4*b*x+4*c-2
第二章 符号计算
2.5 符号计算基本运算符 矩阵运算： + , - , * , / , \ , ^ , ' 数组运算： + , - , .* , ./ , .\ , .^, .‘
2.6 符号计算中函数指令 (表2.1-2) 三角、双曲函数：sin、cosh等 指数、对数函数：exp、expm、log(即ln) 复数函数：conj(共轭)、real、abs (模) 矩阵分解：eig 方程求解：solve 微积分函数：diff、int 绘图函数：ezplot
第二章 符号计算
—— matlab 不仅具有数值运算功能，还开 发了在matlab环境下实现符号计算的工具 包Symbolic Math Toolbox,通过调用Maple 软件实现符号计算。 Maple——强大的符号运算软件
介绍教材第二章内容
Matlab程序设计
符号运算的功能 • • • • • • 符号表达式、符号矩阵的创建 符号线性代数 因式分解、展开和简化 符号矩阵分析和代数方程解 符号微积分 微分方程符号解法
• 默认自变量为 ‘t‘,可任意指定自变量‘x‘, ‗u‘等 • 解中任意常数C的数目等于缺少的初始条件数 • 解存放在构架数组S中 • 微分方程的各阶导数项以大写字母D表示
Matlab程序设计
dy dy 或 y的一阶导数—— Dy dt dx
d y d y 2 或 2 y的二阶导数—— D2y dt dx d y d y y 的 n 阶导数 —— Dny n 或 n dt dx
(4) syms a b c x;
f3= ax^2+bx+c
%二次三项式
Matlab程序设计
例2.1-5: 区分数值矩阵、字符矩阵、符号矩阵
运算符号的运用与理解
运算符号的运用与理解运算符号是数学中不可或缺的工具，它们用于表示数值之间的关系和操作。
在数学中，常用的运算符号包括加号（+）、减号（-）、乘号（×）、除号（÷）等。
在本文中，我们将探讨运算符号的运用与理解。
一、加法运算符号的运用与理解加法运算符号（+）常用于表示两个数值之间的相加关系。
例如，1 + 2 = 3，表示将1加上2得到3。
在数学中，加法运算符号还具有交换律，即a + b = b + a。
这意味着加法的顺序不影响最终结果。
二、减法运算符号的运用与理解减法运算符号（-）用于表示两个数值之间的相减关系。
例如，5 - 3 = 2，表示将5减去3得到2。
与加法不同，减法不满足交换律，即a -b ≠ b - a。
这意味着减法的顺序会影响最终结果。
三、乘法运算符号的运用与理解乘法运算符号（×）常用于表示两个数值之间的相乘关系。
例如，2 × 3 = 6，表示将2乘以3得到6。
乘法运算符号还满足交换律，即a × b = b × a。
这意味着乘法的顺序不影响最终结果。
四、除法运算符号的运用与理解除法运算符号（÷）用于表示两个数值之间的相除关系。
例如，10÷2 = 5，表示将10除以2得到5。
与减法类似，除法也不满足交换律，即a ÷ b ≠ b ÷ a。
这意味着除法的顺序会影响最终结果。
除法运算还存在一个特殊情况，即除数为零的情况。
当除数为零时，除法运算是不合法的，因为在数学中，除法零是没有意义的。
在编程语言中，除数为零可能会导致程序错误或异常。
五、其他算术运算符号的运用与理解除了加法、减法、乘法和除法运算符号外，数学中还有其他一些运算符号。
例如，指数运算符（^）用于表示一个数值的幂，例如2^3表示2的3次方，结果为8。
取余运算符（%）用于表示两个数的余数，例如10 % 3的结果为1。
此外，括号也是数学运算中常用的符号之一。
符号运算参考答案讲解
符号运算参考答案讲解实验3 符号运算⼀、实验⽬的1.掌握符号对象的创建及符号表达式化简的基本⽅法；符号(symbol)运算的基本功能.2.掌握符号微积分、符号⽅程的求解的基本⽅法。
⼆、实验内容与要求1. 字符型变量、符号变量、符号表达式、符号⽅程的建⽴⽤单引号设定字符串变量>>a ='u+4'%定义a为字符型变量a =u+4⽤命令sym(‘’)创建单个符号变量、符号表达式、符号⽅程. >>x= sym('m+n+i') %定义x为符号型变量x=m+n+i>>y = sym（'d*x^2 + x – 4'）%定义y为符号表达式y=d*x^2 + x – 4>>e = sym(' a*x^2+b*x+c=0') %定义e为符号⽅程e=a*x^2+b*x+c=0⽤命令syms创建多个符号变量、符号表达式.>>syms a b x y %定义a，b，x，y为符号变量，字母间必须⽤空格>>s = a*x^4+b*cos(y)-x*y %定义s为符号表达式s=a*x^4+b*cos(y)-x*y基于MA TLAB的数学实验16注意：sym(‘’)中的单引号不要漏，syms后的符号变量之间不能⽤逗号，⽤syms不能建⽴符号⽅程.2. 复合函数计算格式：compose(f,g,x,y)%返回复合函数f [ g (y)]，f = f (x)，g = g (y).>>syms x y>>f = 1/(1 + x^2*y); g = sin(y);>>C = compose(f,g,x,y) % 结果为1/(1+sin(y)^2*y)2 合并同类项格式：collect(S) %是对S中的每⼀函数，按缺省变量x的次数合并系数.collect(S,v) %是对指定的变量v计算，操作同上.【例1.18】>> syms x y %定义x,y为符号变量>> R1=collect((exp(x)+x)*(x+2)); %结果为x^2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x)>> R2=collect((x+y)*(x^2+y^2+1),y);%结果为y^3+x*y^2+(x^2+1)*y+x*(x^2+1) 4.符号表达式的展开格式：R=expand(S) %展开符号表达式S中每个因式的乘积。
符号运算
4.5 符号积分变换
4.5.1 Fourier变换
F＝fourier(f,t ,w) %求以t为符号变量f的fourier变 换F
2. findsym函数
findsym(S,n) %确定符号对象S中的n个自由
符号变量
练习
4.3.2符号表达式的化简
多项式的符号表达式有多种形式，例如， f(x)=x3+6x2+11x-6可以表示为： 合并同类项形式：f(x)=x3+6x2+11x-6 因式分解形式：f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) 嵌套形式：f(x)=x(x(x-6)+11)-6
例：
>> syms x y t v n
>> f=x+y;
>> g=t*v; >> y1=compose(f,g)
%以x为符号变量求复合函数
y1 =
t*v+y >> y4=compose(f,g,y,t,'n')%以n代替t求复合函数f(g(n))
y4 =
x+n*v
4.3.5 多项式符号表达式
1. 多项式符号表达式的通分 [N,D] = numden(s)%提取多项式符号表达式s的分子 和分母
6. simplify函数 simplify函数是一个功能强大的函数，利用各种形 式的代数恒等式对符号表达式进行化简，包括求和 、分解、积分、幂、三角、指数、对数、Bessel以及 超越函数等方法来简化表达式。 7. simple函数 找出字符最少的简化表达式，simple 函数适用于 三角函数化简。 例：
符号计算
这就完成了一个符号矩阵的创建。 注意：符号矩阵的每一行的两端都有方 括号，这是与 Matlab数值矩阵的
一个重要区别。
用字符串直接创建矩阵
模仿Matlab数值矩阵的创建方法 需保证同一列中各元素字符串有相
同的长度。 例：A =['[ a,2*b]'; '[3*a, 0]'] A= [ a, 2*b] [3*a, 0]
• 泰勒级数逼近分析界面
(由命令taylortool引出)
图示ห้องสมุดไป่ตู้符号计算器
• 由三个独立的窗口构成，通过函数运算
控制窗口来演示另外两个图形窗口，任 何时候，只有一个窗口属于激活状态。 而被激活的函数图像可随运算控制窗口 的操作而做相应的变化。 • 下面给出运算控制窗口的键位功能。
• 前两行是函数 f 和 g 的具体解析式，第三
• Funtool计算器存有一张函数列表fxlist • • • • • • •
这7个功能键分别是： Insert：把当前激活窗的函数写入列表 Cycle：依次循环显示fxlist中的函数 Delete：从fxlist列表中删除激活窗的函数 Reset：使计算器恢复到初始调用状态 Help：获得关于界面的在线提示说明 Demo：自动演示 Close：关闭整个计算器
‘ ’ 里的内容可以是函数表达式，也 可以是方程。 例： f1='a*x^2+b*x+c' —— 二次三项式 f2= 'a*x^2+b*x+c=0' —— 方程 f3='Dy+y^2=1' ——微分方程 ※函数表达式或方程可以赋给字符串 或符号变量，以后方便调用。
符号变量
• 符号变量是内容可变的符号对象。 • 符号变量通常是指一个或几个特定的字
基本运算符号
基本运算符号在我们日常生活和学习中，数学无处不在，而基本运算符号则是数学的基石。
它们就像是构建数学大厦的砖块，看似简单，却蕴含着无穷的力量和奥秘。
首先，让我们来认识一下最常见的基本运算符号：加（＋）、减（）、乘（×）、除（÷）。
加法，用“＋”表示，是将两个或多个数量合并在一起。
比如，你有3 个苹果，我给你 2 个苹果，那么现在你就有 3 ＋ 2 ＝ 5 个苹果。
加法在生活中的应用非常广泛，比如计算购物时的总花费，计算一段时间内的收入总和等等。
减法，用“”表示，与加法相反，是从一个数量中去掉另一个数量。
例如，你有 5 元钱，买了一支 2 元的笔，那么你还剩下 5 2 ＝ 3 元钱。
减法可以帮助我们计算剩余量、比较数量的多少。
乘法，用“×”表示，是一种快速的加法运算。
比如，一个班级有 5排座位，每排有 6 个座位，那么班级里总共有 5 × 6 ＝ 30 个座位。
乘法在计算面积、体积等方面经常用到。
除法，用“÷”表示，是将一个数量平均分成若干份。
比如，有 12 个糖果要平均分给 3 个小朋友，那么每个小朋友能得到 12 ÷ 3 ＝ 4 个糖果。
除法常用于分配、比例等问题。
除了这四个基本运算符号，还有一些其他常见的运算符号。
求余数的运算符号“％”。
比如 7 ÷ 3 ＝ 21，其中的 1 就是余数，可以表示为 7 ％ 3 ＝ 1。
在计算机编程和一些数学问题中，求余数的运算经常会被用到。
还有指数运算符号“＾”。
比如 2 ＾ 3 表示 2 的 3 次方，即 2 × 2 × 2＝ 8。
指数运算在科学计算、数学推导中都有着重要的地位。
在数学的世界里，这些基本运算符号并不是孤立存在的，它们之间有着密切的关系。
加法和减法互为逆运算。
例如，5 ＋ 3 ＝ 8，那么 8 3 ＝ 5，8 5 ＝3。
乘法和除法也互为逆运算，如 4 × 6 ＝ 24，那么 24 ÷ 6 ＝ 4，24 ÷ 4 ＝ 6。
第5章 符号运算
号变量a，因此系统不能进行f-a运算，给出了错误信息。
字符串、表达式或字符表达式等等。
【例6-1】使用sym函数创建符号变量和符号表达式。 分别输入以下语句：
x=sym('x') y=sym('hello') z=sym('(1+sqrt(5))/2') f= sym ('a*x^2+b*x+c') f-a 返回结果依次为：
5.1 符号变量的创建
符号变量和符号表达式的创建
sym函数 定义单个符号变量
>>f1=sym(‘ax^2+bx+c’) %创建符号变量f1和一个符号表达式
>>a=sym(‘a’)
syms函数 一次定义多个符号变量
>> clear
>> syms a b c x
>> whos
Name Size
Bytes Class Attributes
例 反函数
>>clear >>syms x y >>finverse(1/tan(x)) ans =
atan(1/x) >>f = x^2+y; >>finverse(f,y) ans =
数学运算符号的应用技巧
数学运算符号的应用技巧一、运算符号的分类及作用1.算术运算符号：加（+）、减（-）、乘（×）、除（÷）、乘方（^）、开方（√）、百分比（%）。
2.关系运算符号：大于（>）、小于（<）、等于（=）、大于等于（≥）、小于等于（≤）、不等于（≠）。
3.逻辑运算符号：且（∧）、或（∨）、非（¬）。
二、运算符号的优先级1.括号：优先级最高，先计算括号内的运算。
2.指数：乘方、开方，优先于加减乘除。
3.乘除：优先于加减。
4.加减：优先级最低。
三、四则运算技巧1.结合律：a × (b + c) = (a × b) + (a × c)，a + (b × c) = (a + b) × c。
2.分配律：a × (b + c) = a × b + a × c，(a + b) × c = a × c + b × c。
3.交换律：加法交换律：a + b = b + a；乘法交换律：a × b = b × a。
4.互补律：a + b = 0，则a = -b。
四、代数运算技巧1.代数式的化简：合并同类项，提取公因式。
2.一元一次方程的解法：加减消元法、代入法、移项法。
3.一元二次方程的解法：因式分解法、配方法、求根公式。
4.不等式的解法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到。
五、函数运算技巧1.函数的定义：函数是一种映射关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。
2.函数的性质：单调性、奇偶性、周期性。
3.函数的图像：直线、曲线、抛物线等。
4.函数的计算：解析式法、图像法、列表法。
六、几何运算技巧1.平面几何：点、线、面的基本性质，勾股定理、相似三角形、平行线等。
2.立体几何：棱锥、棱柱、球体的体积和表面积计算。
符号计算
1.符号矩阵运算
数值运算中，所有矩阵运算操作指令都比 较直观、简单。例如：a=b+c; a=a*b ； A=2*a^2+3*a-5等。 符号运算中，很多方面在形式上同数值计 算都是相同的，没必要重新学习新的规则。
2. 任意精度的数学运算
在symbolic中有三种不同的算术运算：
1. 2. 3.
数值类型
这就完成了一个符号矩阵的创建。 注意：符号矩阵的每一行的两端都有方 括号，这是与 Matlab数值矩阵的
一个重要区别。
用字符串直接创建矩阵
模仿Matlab数值矩阵的创建方法 需保证同一列中各元素字符串有相 同的长度。
例：A =['[ a,2*b]'; '[3*a, 0]'] A= [ a, 2*b] [3*a, 0]
符号积分变换
ztrans(f) —— Z变换 Invztrans(f) —— 反Z变换 Laplace(f) —— 拉氏变换 Invlaplace(f) —— 反拉氏变换 fourier(f) —— 付氏变换 Invfourier(f) —— 反付氏变换 注意 ：上述函数均缺省了部分参数
符号常量
当数值常量作为sym( )的输入参量时，就 建立了一个符号对象——符号常量。
虽然看上去是一个数值量，但已经是一 个符号对象了。 例：a=3/4; b='3/4'; c=sym(3/4); d=sym('3/4'); whos 查看变量类型 a为实双精度浮点数值类型；b为实字符类 型；c和d都是符号对象类型。
由符号变量构成的符号函数和符 号方程
符号表达式是由符号常量、符号变量、符号函 数运算符以及专用函数连接起来的符号对象。
第四讲符号运算
-5-
1 ans = 1 （5）利用 whos 观察内存变量的类别和其它属性 >> whos Mn Mc Ms % 观察三个变量的类别和属性 Name Size Bytes Class Mc 1x9 18 char array Mn 2x2 32 double array Ms 2x2 408 sym object Grand total is 21 elements using 458 bytes
-3-
例 4.1.3 用符号计算验证三角等式 sin ϕ1 cos ϕ 2 − cos ϕ 1 sin ϕ 2 = sin(ϕ1 − ϕ 2 ) 。 >> syms fai1 fai2; >> y=simple(sin(fai1)*cos(fai2)-cos(fai1)*sin(fai2)) y= sin(fai1-fai2)
4.1.2 符号计算中的算符和基本函数
由于新版 MATLAB 采用了重载技术，使得用来构成符号计算表达式的算符和基本函 数，无论在形状、名称上，还是在使用方法上，都与数值计算中的算符和基本函数几乎完全 相同。这无疑给编程带来极大的便利。 下面就符号计算中的基本算符和函数作简单的归纳。 （1） 基本运算符 算符“+”，“-”，“*”，“\”，“/”, “^”分别实现矩阵的加、减、乘、左除、右除、求 幂运算。 算符“.*”，“./”，“.\”，“.^”分别实现“元素对元素”的数组乘、除、求幂。 算符“’”，“.’”分别实现矩阵的共轭转置、非共轭转置。 （2） 关系运算符 在符号对象的比较中，没有“大于”、“大于等于”、“小于”、“小于等于”的概念， 而只有是否“等于”的概念。 算符“= =”，“~ =”分别对算符两边的对象进行“相等”、“不等”的比较。当事实 为“真”时，比较结果用 1 表示；当事实为“假”时，比较结果则用 0 表示。 （3） 三角函数、双曲函数及它们的反函数 除 atan2 仅能用于数值计算外，其余的三角函数（如 sin） 、双曲函数（如 cosh） 及它们的反函数（如 asin,acosh） ，无论在数值计算还是符号计算中，它们的使 用方法相同。 （4） 指数、对数函数 在数值、符号计算中，函数 sqrt,exp,expm 的使用方法完全相同。至于对数函 数，符号计算中只有自然对数 log(即一般教材中用 ln)，而没有数值计算中的 log2,log10。 （5） 复数函数 涉及复数的共轭 conj、求实部 real、求虚部 imag 和求模 abs 函数，在符号、数 值计算中的使用方法相同。但注意，在符号计算中，MATLAB 没有提供求相 角的命令。
引用运算符号
引用运算符号
引用运算符号是指在数学或逻辑表达式中使用特定的
符号来表示运算。
以下是一些常见的引用运算符号及其用法：
1.加法符号（+）：用于表示加法运算。
例如，2 + 3 表示 2 和 3 相加的结果为 5。
2.减法符号（-）：用于表示减法运算。
例如，5 - 2 表示 5 减去 2 的结果为 3。
3.乘法符号（*）：用于表示乘法运算。
例如，2 * 3 表示 2 和 3 相乘的结果为 6。
4.除法符号（/）：用于表示除法运算。
例如，10 / 2 表示 10 除以 2 的结果为 5。
5.取余符号（%）：用于表示取余运算。
例如，10 % 3 表示 10 除以 3 的余数为 1。
6.幂运算符号（x^y）：用于表示幂运算，其中 x 是底数，y 是指数。
例如，2^3 表示 2 的 3 次方，结果为 8。
7.开方运算符号（sqrt）：用于表示开平方运算。
例如，sqrt(9) 表示 9 的平方根，结果为 3。
这些是常见的引用运算符号及其用法示例。
在数学和逻辑表达式中，根据需要使用适当的符号来表示不同的运算。
基础篇-第3章-符号运算
3.1.4 符号运算中的运算符
MATLAB中为符号运算提供了多种多样的运算符，如表3-2所示 表3-2 符号运算中的运算符
符号 + .* * ^ .^ \ / .\ ./ kron ， ； 符号用途说明 加 减 点乘 矩阵相乘 矩阵求幂 点幂 左除 右除 点左除 点右除 张量积 分隔符 (a)写在表达式后面时运算后不显示计算结果 (b)在创建矩阵的语句中指示一行元素的结束，例如m=[x y z;i j k] 创建向量的表达式分隔符，如x=a:b:c a(:,j)表示j列的所有行元素；a(i,:)表示i行的所有列元素 创建数组、向量、矩阵或字符串(字母型)
>> [n，d]=numden(k)
n=
[3， 2*x+1] [4， 3*x+4] d=
[ 2，3]
[x^2，1] 这个表达式k是符号数组，numden返回两个新数组n和d，其中n是分子数组，d是分母 数组。如果采用s=numden(f)形式，numden仅把分子返回到变量s中。
findsym(x+i*y-j*z,3)
syms x a y z b; %定义5个符号变量 %定义两个符号表达式 s1=3*x+y;s2=a*y+b
findsym(s1)
findsym(s2,2) syms x y; s=2*x+3*y; findsym(s) ans = x, y
>>
【例3-2】创建符号变量，求复数表达式z=x+i*y的共轭复数
>> x=sym('x','real'); >> y=x+i*y; >> x=sym('x','real'); >> y=sym('y','real'); >> z=x+i*y; >> conj(z)
数学中的运算符号
数学中的运算符号
数学中的运算符号
数学是一门精妙的学科，普遍存在于很多学科之中，而在其中的运算符号是数学中重要的工具之一，由此可见，学习运算符号是学习数学的必备知识。
运算符号（operator）是指常用的数学中的某些字符，其具有特定的意义，这些字符可以用来表示某种运算。
一般来说，数学运算符号可以分为常用运算符（common operator）与特殊运算符（special operator）两类。
1、常用运算符
（1）加号（ + ）：表示两个数相加的运算，即相加；
（2）减号（ - ）：表示两个数相减的运算，即相减；
（3）乘号（×）：表示两个数相乘的运算，即相乘；
（4）除号（÷）：表示两个数相除的运算，即相除；
（5）百分号（ % ）：表示将一个数百分之几的运算；
（6）括号（（））：表示括号内的数要首先运算，运算完成后才能进行后面的数学运算。
2、特殊运算符
（1）平方（）：表示变量的平方；
（2）立方（）：表示变量的立方；
（3）乘方（^）：表示变量的乘方；
（4）根号（√）：表示开根号运算；
（5）正弦（sin）：表示正弦函数的运算；
（6）余弦（cos）：表示余弦函数的运算；
（7）正切（tan）：表示正切函数的运算；
（8）对数（log）：表示以2为底10为对数的运算。
以上就是数学中常用的运算符号及其含义，学习使用它们将有助于加快计算速度，提高计算准确性。
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x3 x 1 x3 6 x 2 6 x 1 y 2 2 x( x 1) x ( x 2) x ( x 1)(x 2)
例3.4.2 求出 的分子、分母
f
1
x
3
6
x
2
12
x
8
>>syms x >>f=1/(x^3)+6/x/x+12/x+8 >>[n,d]=numden(f) f= 1/x^3+6/x^2+12/x+8 n= 1+6*x+12*x^2+8*x^3 d =x^3
syms x; y=((x+3)/(x*(x+1)))+((x-1)/(x^2*(x+2))); [n,d]=numden(y)%提取有理多项式的分子、分母多项式。其中y
是符号表达式，n为符号表达式y的分子，d为符号表达式y的分母。
n =x^3+6*x^2+6*x-1 d =x^2*(x+1)*(x+2) 即：
进行符号运算时，首先要创建（即 定义）基本的符号对象， 它可以是常 数、变量和表达式。然后利用这些基 本符号对象构成新的表达式，进而完 成所需的符号运算。
符号对象的创建使用函数 sym （）和 syms （）来完成， 它们的调用格式如下：
S ＝ sym （ A ）将数值 A转换成符号对象 S ，A 是数字（值）
2. 符号运算中的运算符号和基本函数 2.1. 基本运算符 (1） 运算符号“+”、“－”、“*”、“＼”、“／”、 “^”分别实现矩阵的加法、减法、乘法、左除、右除与求幂运 算。
(2） 运算符号“.*”、“.＼”、“./”、“.^”分别实现
元素对元素的数组相乘、左除、右除与求幂运算。 (3） 运算符号“′”实现矩阵的Hermition转置或复数矩阵 的共轭转置； 运算符号“.′”实现数组转置或复数矩阵的非共 轭转置。
>> y=sqrt(x^5)
%
y= (x^5)^(1/2)
>> z=log10(x)
%求以10
z= log(x)/log(10)
【例2.2】 矩阵代数运算演示。求矩阵A的行列式值、逆和特 征值。 【解】 在MATLAB syms a11 a12 a21 a22; %定义符号变量a11,a12, a21, a22 A=[a11,a12;a21,a22] %生成矩阵A 运行结果为: A =[ a11, a12] [ a21, a22] >>DA=det(A) %求矩阵A的行列式 >>IA=inv(A) %求矩阵A的逆矩阵 DA = a11*a22-a12*a21
y2=x(e-t)2+(2x2+1)e-t+(x2+1)x
例3.1.2 合并多项式 的同类项。
( x x 1)( x 1)
3 2
x=sym('x'); f=(x^3+x+1)*(x^2+1); g=collect(f)
g= 1+x^5+2*x^3+x^2+x
3.2. 表达式展开
例3.2.1 已知数学表达式y(x)=cos(3arccosx),试将其展开。 【解】 在MATLAB syms x; y=cos(3*acos(x)); y1=expand(y) %展开
【解】 在MATLAB syms x t; y=sym('(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t))'); y1=collect(y) %默认合并x同幂项系数 y2=collect(y,‘exp(-t)’) %合并y变量里的exp(－t)同幂项系数 运行结果为: y1 =x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t) y2 =x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x 即: y1=x3+2e-tx2+［1+(e-t)2］x+e-t,
补充知识： 符 号 运 算
1
在MATLAB的数值计算中，数值表达式所引用的变量必须事
先被赋值， 否则无法计算。因此，前面介绍的有关数值运算， 其运算变量都是被赋值的数值变量。而在MATLAB的符号运算中， 运算变量则是符号变量，所出现的数字也作为符号来处理。实 际上，符号数学是对字符串进行的运算。
进行符号运算时，首先要创建（即定义）基本的符号对象，
log2（）及log10（）等。
2.5. 涉及复数的共轭函数 conj （）、求实部的函数 real （）、
求虚部的函数 imag （）和求绝对值的函数 abs （），在符号与
数值计算中的使用方法相同。 2.6. 矩阵代数运算 在符号运算中， MATLAB 提供的常用矩阵代数函数有 diag （）、inv（）、det（）、rank（）、poly（）、expm（）及
>> syms a b c x >> f = sym('a*x^2 + b*x + c') f= a*x^2 + b*x + c >> g=f^2+4*f-2 g= (a*x^2+b*x+c)^2+4*a*x^2+4*b*x+4*c-2
【例1.2】 字符表达式转换为符号变量演示。 【解】 在MATLAB >> y=sym('2*sin(x)*cos(x)') 运行结果为: y= 2*sin(x)*cos(x) >> y=simple(y) %将已有的y符号表达式化成最简形式 %将字符表达式转换为符号变量
2.2. 在符号对象的比较中，没有“大于”、“大于等于”、
“小于”、“小于等于”的概念，而只有是否“等于”的概
念。 运算符号“＝＝”和“～＝”分别对它两边的对象进行 “相等”、“不相等”的比较。当事实为“真”时，比较结 果用1表示； 当事实为“假”时，比较结果用0表示。 需要特别指出的是，MATLAB的符号对象无逻辑运算功 能。
3.3. 因式分解 例 3.3.1 已知数学表达式 y(x)=x4-5x3+5x2+5x-6, 试对其 进行因式分解。
【解】 在MATLAB
syms x; y=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6 y1=factor(y) %把符号表达式y转换为多个因式相乘的形式，各多项式的系数均为有理数。 y =x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6 y1 =(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1) 即: y=x4-5x3+5x2+5x-6=(x-1)(x-2)(x-3)(x+1)
例3.2.3 证明正弦函数和余弦函数的两角和、差 公式。
syms t s expand([cos(t+s) sin(t-s);sin(t+s) cos(t-s)])
ans = [ cos(t)*cos(s)-sin(t)*sin(s), sin(t)*cos(s)-cos(t)*sin(s)] [ sin(t)*cos(s)+cos(t)*sin(s), cos(t)*cos(s)+sin(t)*sin(s)]
y= sin(fai1-fai2)
说明：
由本例可看出，使用函数syms创建符号对 象较函数sym()简单。
但注意，使用syms arg1 arg2 …格式定义 符号变量时，变量名之间只能用空格符隔 离，而不能采用逗号或分号，如写成 syms fai1，fai2就是错误的，它不能把fai2定义为 符号变量。
【例1.1】 创建符号变量和符号表达式演示。 【解】 在MATLAB >> y=sym('x'); 运行结果为: y= x >> f=sym('x^3+x^2+4*x+4') %定义变量f，它代表符号表达式x3+x2+4x+4 %定义变量y，它代表字符x
f= x^3+x^2+4*x+4
使用syms函数定义符号变量和符号表达式
例3.3.2 分解因式
x a
3
3
>>syms x a >>f=factor(x^3-a^3) f= -(a-x)*(a^2+a*x+x^2)
3.4. 表达式通分
例3.4.1 已知数学表达式
试对其进行通分。
x3 x 1 , y ( x) 2 x( x 1) x ( x 2)
【解】 在MATLAB命令窗口中输入:
S＝sym（′x′）
将字符串x转换成符号对象S
S＝sym（A， flag）将数值Ams(‘arg1’, ‘arg2’, …,参数) syms arg1 arg2 …参数 功能：创建多个符号变量。
syms arg1 arg2 … arg1＝sym（′arg1′），arg2＝sym（′arg2′）
2.3. 除函数 atan2 （）仅能用于数值计算外，其余的三角函数
（如 sin （））、双曲函数（如 cosh （））及其反函数（如
asin （）、 acosh （）），无论在数值计算还是符号运算中， 其使用方法都相同。
2.4.
在数值计算与符号运算中，指数函数与对数函数的使用方
法完全相同，如函数sqrt（）、exp（）、expm（）、log（）、
它可以是常数、变量和表达式。然后利用这些基本符号对象构 成新的表达式，进而完成所需的符号运算。