弹性力学第七章 平面问题的直角坐标解答PPT课件
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《弹塑性力学》第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答.ppt
x
应力：r, ,r= r 应变：r, ,r= r
P
y
位移：u r , u
2020/10/9
3
§7-1平面极坐标下的基本公式
直角坐标与极坐标之间关系:
x=rcos, y=rsin
r cos sin
x r x x
r r
r sin cos
y r y y
r
r
2 r
r )( f r
r
f 1
r
fr 0 0 f
fr ) r
2＝ 2 1 1 2
r 2 r r r 2 2
力的边界条件如前所列。
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14
§7-1平面极坐标下的基本公式
1.8 应力函数解法
当体力为零 fr=f=0时, 应力法基本方程中的应
力分量可以转为一个待求的未知函数 ( r, ) 表示,而应力函数 ( r, ) 所满足方程为
16
§7-2 轴对称问题
2.1 轴对称问题的特点
1.截面的几何形状为圆环、圆盘。
2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体 积力分量 f=0 ； 在边界上 r=r0 ：F 0， u （0 沿环向的受力和约束为零） 。
3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴 对称的：
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17
§7-2 轴对称问题
上式代入平衡微分方程可得到用位移表 示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。
r
r
1 r r
( r
r
)
Kr
0
r
r
1 r
2 r
r
K
0
力的边界条件也同样可以用位移表示。
2020/10/9
弹性力学-第7章 空间问题
zx
z
dz
zy
zy
z
dz
z 0
y
y
yx yz
xy
x
yz
yz
y
dy
fz
fy fx
xz
yx
y yx dy
y
y y
dy
zx zy
x
x
x x
dx
z
根椐平衡条件： Fx 0
xz
xzx
x
dx
x
x
x
dx dydz
xdydz
(
yx
yx
x
dy)dxdz
yxdxdz
( zx
zx
z
dz)dxdy
zxdxdy
Xdxdydz
0
§7-1平衡微分方程
x x
yx y
zx
z
fx
0
xy
y
x
y
zy
z
f y
0
xz yz
x
y
z z fz 0
（7-1）
平面应力问题：
1、平面应力问题z方向应力为零：
0
xz
yz
0
z
2、所有的应力、应变和位移分量均与z无关，仅是x,y的函数。 以上方程可以直接转化为平面应力的平衡方程。
在计算任一平面上的应力时，方向余弦l,m,n可变化，但 均为有限值，故必存在某个平面，其上正应力取得极值。
主平面：正应力取得极值的平面。 主应力：主平面上的正应力。 主方向：主应力的方向，也称应力主向。 在主平面上，正应力取极值、剪应力为零。
二、主应力的确定：
设主平面存在，其外法线为n，
弹性力学-平面问题的直角坐标解答.
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
弹性力学平面问题的基本方程
（1）平衡方程： （3）物理方程：
x yx fx 0 x y xy y fy 0 x y
（2）几何方程：
u x x v y y v u xy x y
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
按应力求解平面问题的基本方程
（1）平衡方程
x xy fx 0 x y yx y fy 0 x y
常体力下可以简化： （ 1）
结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。 2a 2c 2c x y 2a
0
xy b
x
0
2
y2
y
试求图示板的应力函数。 例：
0
0
x
x
y
( x, y )
0
2
x
2
y
0
( x, y) 0 xy
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
h 2 h 2
x y dy M
h 2 h 2
6dy dy M
2
2M d 3 ( 或 d ) h M 3 h 2
M 12 M x 6dy 3 y (h3 / 12) y h
可见：此结果与材力中结果相同，
说明
M x y I
(1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精 确的。 (2) 若按其它形式分布，如： 则此结果不精确，有误差；
弹性力学平面问题的基本方程
（1）平衡方程： （3）物理方程：
x yx fx 0 x y xy y fy 0 x y
（2）几何方程：
u x x v y y v u xy x y
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
按应力求解平面问题的基本方程
（1）平衡方程
x xy fx 0 x y yx y fy 0 x y
常体力下可以简化： （ 1）
结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。 2a 2c 2c x y 2a
0
xy b
x
0
2
y2
y
试求图示板的应力函数。 例：
0
0
x
x
y
( x, y )
0
2
x
2
y
0
( x, y) 0 xy
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
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h 2 h 2
x y dy M
h 2 h 2
6dy dy M
2
2M d 3 ( 或 d ) h M 3 h 2
M 12 M x 6dy 3 y (h3 / 12) y h
可见：此结果与材力中结果相同，
说明
M x y I
(1) 组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精 确的。 (2) 若按其它形式分布，如： 则此结果不精确，有误差；
弹性力学直角坐标解答
根据材料的本构关系， 引入物理方程来表达应 力分量与应变分量之间 的关系。
针对具体问题的边界条 件，如固定端、自由端 或受力边界等，对平衡 方程和几何方程进行适 当的处理。
根据问题的性质和复杂 程度，选择合适的求解 方法，如分离变量法、 积分变换法或数值方法 等，以求解平衡方程和 几何方程，得到应力分 量和位移分量的解答。
多场耦合问题
涉及多个物理场的相互作用，如热-力、电-力等耦 合问题，使得边界条件更加复杂。
处理复杂边界条件方法
坐标变换法
通过坐标变换将复杂边界转换为简单边界，从而简化问题的求解。
近似解法
采用近似函数逼近复杂边界条件，将问题转化为可求解的近似问题。
数值解法
利用数值计算方法（如有限元法、有限差分法等）对复杂边界条件 进行离散化处理，进而求解弹性力学问题。
直角坐标系下应力应变关系
应力分量
在直角坐标系下，一点的应力状态可以用六个应力分量来 表示，即三个正应力分量和三个剪应力分量。
应变分量
与应力分量相对应，一点的应变状态也可以用六个应变分 量来表示，即三个正应变分量和三个剪应变分量。
应力应变关系
在弹性力学中，应力和应变之间存在一定的关系，这种关 系可以用广义胡克定律来描述。对于各向同性材料，应力 应变关系可以简化为三个独立的方程。
03
空间问题直角坐标解答方 法
空间应力问题求解思路
应力分量求解
叠加原理应用
根据弹性力学基本方程，利用直角坐标 系下的应力分量表达式，通过给定的边 界条件和载荷，求解各应力分量。
对于多个载荷同时作用的情况，可利用 叠加原理将问题分解为多个简单问题分 别求解，再将结果叠加得到最终解。
应力函数引入
弹性力学平面应力平面应变问题 ppt课件
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz yE 1yzx
xy
1
G
xy
yz
1
G
yz
zE 1zxy
zx
1
G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
1
0
对 1 0
称
1
2
对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式
中，以 E
1 2
代E，
1
代μ即可。
小结
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σDε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
平面应变问题
位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是
uux,y vv(x,y) w0
应变：由几何方程应变-位移关系，得
x
u x
1x,
y,
y
v y
3x,
y,
xy yz
u y
v x
2x,
v w0 z y
y
z
w0, z
zx
u z
弹性力学平面问题极坐标
r
r
2 2 2 x2 y2
sin cos
r
r
cos2 sin2
r2
sin cos
r2
2
2
2 r 2
1 r
r
1 r2
2 r 2
二. 极坐标系下的平衡微分方程
1. 直角坐标与极坐标系下的应力分量关系
（1）极坐标系下的应力分量和体力分量
O
如图，根据应力状态的定义，过P
点分别以 r 方向和 方向为法线的截面
由半圆上的应力和外力的平衡关系，有
M
O
x
a
r r r
y
Fx 0
Fy 0 Mz 0
0
r
r
a
cos
ad
0
r
r a
sin
ad
0
0
r
ra
cos
r
ra
sin
d
0
0
r
ra
sin
r
ra
cos
d
0
a 0 a 0
0
r
ra
a ad
M
0
0
r
a2d M
ra
a 0
0
r
1 r
2 r
r
Fb
0
三. 极坐标系下的几何方程
1. 直角坐标与极坐标系下的位移分量关系
类似体力分量的投影关系 2. 极坐标系下的应变分量
O
x
r
Pu
u
ur
v
r
y
将P点分别沿 r 和 方向（相互垂直）两线元的线应变 r、 及其切应变 r ， 作为P点的应变分量。
3. 极坐标系下的几何方程
《弹性力学》第七章 平面问题的差分解
4 f 1 2 2 4 [4 f 0 2( f1 f 2 f 3 f 4 ) ( f 5 f 6 f 7 f8 )] x y h 0 4 f 4 y 1 4 [6 f 0 4( f 2 f 4 ) ( f10 f12 )] h 0
弹性力学的经典解法存在一定的局限性，当弹性体的边 界条件和受载情况复杂一点，往往无法求得偏微分方程的边 值问题的解析解。因此，各种数值解法便具有重要的实际意 义。差分法就是数值解法的一种。 所谓差分法，是把基本方程和边界条件（一般均为微分 方程）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，把求解 微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题。
T (T0 Te ) x 0
其中 Te 为边界以外的介质的已知温度。应用差分公式，可得：
T1 T3 (T0 Te ) 2h
解出 T1 ，代入（1）式，即得修正的差分方程：
2h 2h 4 T0 T2 2T3 T4 Te
第七章 平面问题的差分解
§7-1 差分公式的推导 §7-2 稳定温度场的差分解 §7-3 不稳定温度场的差分解 §7-4 应力函数的差分解 §7-5 应力函数差分解的实例 §7-6 温度应力问题的应力函数差分解 §7-7 位移的差分解 §7-8 位移差分解的实例 §7-9 多连体问题的位移差分 解 习题课
2 2 2 T h T 2 T0 TA h 2 x A x A 2 1 T 2 2 T T3 TA (1 )h (1 ) h 2 x x A 2 A
§7-2
稳定温度场的差分解
本节以无热源的、平面的、稳定的温度场为例，说明差分 法的应用。 在无热源的平面稳定场中，t 0, z 微分方程简化为调和方程 2T 0 ，即：
弹性力学 第七章平面问题的极坐标解答
x r cos
arctan y
x
y r sin
x
y
r x
y
两种坐标系下位移分量坐标转换公式：
ur u
v sin u cos
v
cos
u
sin
u v
ur ur
cos sin
u u
sin cos
r
u
x
u
v
ur y
2、极坐标下的平衡微分方程
•几何描述
PB面积：rd AC面积：(r+dr)d
第七章 平面问题的极坐标解答
•本质上坐标系的选择并不影响弹性力学问题的求 解。 •但是影响边界条件的描述和表达，从而关系问题 的求解难易程度。 •圆形，楔形，扇形等物体，采用极坐标系求解比 较方便。
采用极坐标可更方便几何定位描述。
§7－1 平面问题的极坐标方程
1、极坐标与直角坐标之间的关系式：
r2 x2 y2
rds 1 xds cos 1 cos yds sin 1 sin
xyds cos 1 sin yxds sin 1 cos 0
用 xy 代替 yx 简化以后，得
r x cos2 y sin2 2 xy sin cos
o
yx y
x
y
B x
y
r
xy xya
c
A
x
b r r
同样可由三角板A的平衡条件F=0，得到 r ( y x )sin cos xy (cos2 sin2 )
和y分别改换为r和 。
r
1
E
2
( r
1
)
1 2
E
(
1
r
)
r
arctan y
x
y r sin
x
y
r x
y
两种坐标系下位移分量坐标转换公式：
ur u
v sin u cos
v
cos
u
sin
u v
ur ur
cos sin
u u
sin cos
r
u
x
u
v
ur y
2、极坐标下的平衡微分方程
•几何描述
PB面积：rd AC面积：(r+dr)d
第七章 平面问题的极坐标解答
•本质上坐标系的选择并不影响弹性力学问题的求 解。 •但是影响边界条件的描述和表达，从而关系问题 的求解难易程度。 •圆形，楔形，扇形等物体，采用极坐标系求解比 较方便。
采用极坐标可更方便几何定位描述。
§7－1 平面问题的极坐标方程
1、极坐标与直角坐标之间的关系式：
r2 x2 y2
rds 1 xds cos 1 cos yds sin 1 sin
xyds cos 1 sin yxds sin 1 cos 0
用 xy 代替 yx 简化以后，得
r x cos2 y sin2 2 xy sin cos
o
yx y
x
y
B x
y
r
xy xya
c
A
x
b r r
同样可由三角板A的平衡条件F=0，得到 r ( y x )sin cos xy (cos2 sin2 )
和y分别改换为r和 。
r
1
E
2
( r
1
)
1 2
E
(
1
r
)
r
弹性力学平面问题的极坐标解答课件
b
a
2
ln
a
b2
a
2
0
位移的确定
H, I, K待定
u
1 E
(1 )
A
(1 3 )B
2(1 )B(ln
1)
2(1
)C
I
sin
K
cos
u
4B
E
H
I
cos
K
sin
左端固定：(u )0 0
0,
(u ) 0 0
0,
u
0
0
0
常数的确定：
H
I
0,
K
1 E
极坐标下的双调和方程
代入协调方程，得到应力函数U需满足
的双调和方程
2
2
1
1
2
2
2
2U
2
1
U
1
2
2U
2
0
§7-2 轴对称应力及其位移
应力函数与无关，双调和方程为
d2
d 2
1
d
d
d2 U
d 2
1
dU
d
0
4
d4 U
d 4
23
d3 U
d 3
2
d2 U
d 2
dU
问题描述 任一截面上的弯矩：
M () F cos R tan F R sin
应力函数：
U f () sin
O
m
ba
F
x
n
y
f()的求解及应力表达式
微分方程及其通解
d2
d 2
1
d
d
1
2
d2 f
弹性力学 第七章 平面问题的极坐标解
第七章平面问题的极坐标解知识点极坐标下的应力分量极坐标下的应变分量极坐标系的Laplace算符轴对称应力分量轴对称位移和应力表达式曲梁纯弯曲纯弯曲位移与平面假设带圆孔平板拉伸问题楔形体问题的应力函数楔形体应力楔形体受集中力偶作用极坐标平衡微分方程几何方程的极坐标表达应力函数轴对称位移厚壁圆筒作用均匀压力曲梁弯曲应力曲梁作用径向集中力孔口应力楔形体边界条件半无限平面作用集中力一、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。
对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。
本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。
二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题§7.1 平面问题极坐标解的基本方程学习思路:选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。
本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。
由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。
应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。
学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。
1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由两个相距dρ的圆柱面和互成dϕ的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用σρ 表示径向正应力，用σϕ 表示环向正应力,τϕρ 和τρϕ 分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，τϕρ ＝τρϕ 。
数学弹性力学PPT课件
应变有关。
第48页/共210页
说明
物理方程的两种形式：
ε f─(应σ)变用应力表示，用于
按应力求解；
(2 4) n l 21 m2 2
l 2 m2 1 n l 21 (1 l 2 ) 2 n l 2 (1 2 ) 2
0l
1 max
min
1 2
第31页/共210页
xy 0, x 1, y 2
(2 5) n lm( 2 1)
l 2 m2 1 n l 1 l 2 ( 2 1) l 2 l 4 (1 2 )
形变与位移的关系
形变确定，位移不完全确定 ：
从物理概念看， 、 确 定，物体还可
作刚体位移。
从数学推导看， 、 确定，求位移是
积分运算，出现待定函数。
第40页/共210页
形变与位移的关系
例：若 x y ,x求y 位0移：
由
u x
x两边0 对x积分，
u(x,y)0 f1( y).
由
v y
y两 边0 对y积分，
第22页/共210页
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲
必然相同（可用来检验方程的正确性）。
2.将条件 M,c改0为对某一角点的
，
将得出M什0么结果？
3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，
将得出什么结果？
第23页/共210页
问题
§2－3 平面问题中一点的 应力状态
问题的提出：
已知坐标面上应力 σx , σ y，, xy
只有 εx , εy，, γxy
且为 f x, y
第13页/共210页
平面应变
ox z
y
定义
§2－2 平衡微分方程 平衡微分方程 ─表示物体内任一点的微分体的
第48页/共210页
说明
物理方程的两种形式：
ε f─(应σ)变用应力表示，用于
按应力求解；
(2 4) n l 21 m2 2
l 2 m2 1 n l 21 (1 l 2 ) 2 n l 2 (1 2 ) 2
0l
1 max
min
1 2
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xy 0, x 1, y 2
(2 5) n lm( 2 1)
l 2 m2 1 n l 1 l 2 ( 2 1) l 2 l 4 (1 2 )
形变与位移的关系
形变确定，位移不完全确定 ：
从物理概念看， 、 确 定，物体还可
作刚体位移。
从数学推导看， 、 确定，求位移是
积分运算，出现待定函数。
第40页/共210页
形变与位移的关系
例：若 x y ,x求y 位0移：
由
u x
x两边0 对x积分，
u(x,y)0 f1( y).
由
v y
y两 边0 对y积分，
第22页/共210页
思考题
1.试检查，同一方程中的各项，其量纲
必然相同（可用来检验方程的正确性）。
2.将条件 M,c改0为对某一角点的
，
将得出M什0么结果？
3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，
将得出什么结果？
第23页/共210页
问题
§2－3 平面问题中一点的 应力状态
问题的提出：
已知坐标面上应力 σx , σ y，, xy
只有 εx , εy，, γxy
且为 f x, y
第13页/共210页
平面应变
ox z
y
定义
§2－2 平衡微分方程 平衡微分方程 ─表示物体内任一点的微分体的
弹性力学ppt课件
研究对象
弹性体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复原状的物 体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
连续性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初始应力假设。
约束条件
几何约束（物体形状和尺寸的限制）、物理约束（物体材料属性的限制）。
应力、应变及位移关系
01
应力
单位面积上的内力，表示物体内部 的受力状态。
分析圆柱形容器在内压或外压 作用下的应力分布和变形情况 。
球体受均匀内压或外压作 用
分析球形容器在内压或外压作 用下的应力分布和变形情况。
地基沉降问题
分析地基在荷载作用下的沉降 变形及其对上部结构的影响。
06
弹性力学在工程领 域应用探讨
土木工程：建筑结构、地基基础等方面应用
建筑结构
弹性力学在建筑结构中应用广泛，如高层建筑、大跨度桥梁等。通过弹性力学分析，可以预测结构在荷载作用下的变 形和应力分布，为结构设计提供重要依据。
优化设计
利用弹性力学原理，可以对机械 结构进行优化设计。通过改变结 构的形状、尺寸或材料属性等参 数，可以实现结构性能的最优化 ，提高机械产品的整体性能。
航空航天工程
01 02 03
飞行器结构强度校核
弹性力学在航空航天工程中主要用于飞行器结构的强度校 核。通过对飞行器结构在飞行过程中的受力状态进行分析 ，可以评估其结构强度是否满足设计要求，确保飞行安全 。
复合材料结构分析
随着复合材料在航空航天领域的广泛应用，弹性力学在复 合材料结构分析中合材料结构的力学性能进行预测和评估，为复 合材料的设计和应用提供指导。
结构优化设计
弹性力学还可以用于航空航天工程中结构的优化设计。通 过对飞行器结构进行拓扑优化、形状优化或尺寸优化等， 可以实现结构轻量化、提高结构刚度等目标，从而提高飞 行器的整体性能。
弹性体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复原状的物 体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
连续性假设、完全弹性假设、小变形假设、无初始应力假设。
约束条件
几何约束（物体形状和尺寸的限制）、物理约束（物体材料属性的限制）。
应力、应变及位移关系
01
应力
单位面积上的内力，表示物体内部 的受力状态。
分析圆柱形容器在内压或外压 作用下的应力分布和变形情况 。
球体受均匀内压或外压作 用
分析球形容器在内压或外压作 用下的应力分布和变形情况。
地基沉降问题
分析地基在荷载作用下的沉降 变形及其对上部结构的影响。
06
弹性力学在工程领 域应用探讨
土木工程：建筑结构、地基基础等方面应用
建筑结构
弹性力学在建筑结构中应用广泛，如高层建筑、大跨度桥梁等。通过弹性力学分析，可以预测结构在荷载作用下的变 形和应力分布，为结构设计提供重要依据。
优化设计
利用弹性力学原理，可以对机械 结构进行优化设计。通过改变结 构的形状、尺寸或材料属性等参 数，可以实现结构性能的最优化 ，提高机械产品的整体性能。
航空航天工程
01 02 03
飞行器结构强度校核
弹性力学在航空航天工程中主要用于飞行器结构的强度校 核。通过对飞行器结构在飞行过程中的受力状态进行分析 ，可以评估其结构强度是否满足设计要求，确保飞行安全 。
复合材料结构分析
随着复合材料在航空航天领域的广泛应用，弹性力学在复 合材料结构分析中合材料结构的力学性能进行预测和评估，为复 合材料的设计和应用提供指导。
结构优化设计
弹性力学还可以用于航空航天工程中结构的优化设计。通 过对飞行器结构进行拓扑优化、形状优化或尺寸优化等， 可以实现结构轻量化、提高结构刚度等目标，从而提高飞 行器的整体性能。
弹性力学课件chapter7-(1-5)
16
应用弹性力学
APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS
〈2〉位移分量： 由几何方程：
r ur
r
ur 1 u
r r
r 1 ur u u 0
r r r
积分： ur 1 [(1 ) A (1 3 )Br
7-2 轴对称问题
对轴对称问题，应力，应变和位移分量都不随 而变。 1. 应力函数 ： <1>由于轴对称， = （r），与 无关
<2>相容方程为：
2 (
1 )2 0 即
d2 (
1 d )2 0
r 2 r r
dr 2 r dr
展开：( d 4 2 d 3
r 2
r r r 2 2
2 sin
c
os
(
1 r2
1 r
2 )
r
于是有：
2 2
2 1 1
2
x2 y 2 r 2 r r r 2 2
2
相容方程： ▽2▽=0
表达成：
2 ( r 2
1 r
r
1 r2
2 2 2 )( r 2
<3> 物理方程:
(平面应力)
APPLIED ELASTO-PLASTICITY OF SOLIDS
r 1 (r )
1 ( r)
r 2(1 ) r
对平面应变问题：
以 E 代替E，
1 2
以 代替 。
3.极坐标系下的应力函数与相容方程: <1> 以极坐标表示的变形协调方程: 10. 坐标系间的变换关系:
弹性力学平面问题教学课件
弹性力学平面问题教学课件
contents
目录
• 弹性力学基础 • 平面问题的基本概念 • 弹性力学平面问题的解析方法 • 弹性力学平面问题的数值解法 • 弹性力学平面问题的实例分析
01
弹性力学基础
弹性力学简介
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下变形和内力的规律的科学 。
弹性力学的发展历程
有限差分法的优点在于简单 直观，适用于规则区域的问
题，且精度可调。
有限差分法的步骤包括建立离 散化的网格、选择合适的差分 格式、建立差分方程、求解离
散化的方程等。
边界元法
边界元法是一种将弹性力学问题转化为边界积分方程，然后通过离散化的 方式求解该边界积分方程的数值方法。
边界元法的优点在于精度高，适用于规则区域的问题，且对于复杂边界条 件处理能力强。
1. 初始化解的近似值。
在此添加您的文本16字
2. 根据迭代公式计算新的近似值。
在此添加您的文本16字
3. 检查收敛性，如果满足收敛条件则停止迭代，否则返 回步骤2。
在此添加您的文本16字
特点：简单易行，但收敛速度较慢，需要多次迭代才能得 到较为精确的结果。
牛顿-拉夫森法
• 概念：牛顿-拉夫森法是一种基于牛顿定理 的迭代方法，通过构造迭代公式来逼近真 实解。
从17世纪的材料力学到20世纪的有限元方法，弹性力学在理论和 实践方面都取得了重要进展。
弹性力学的重要性
在工程领域，弹性力学是解决复杂结构问题的基础，对于保证工程 安全和优化设计具有重要意义。
弹性力学的基本假设
01
02
03
连续性假设
假设物体由无数微小的单 元组成，每个单元之间没 有间隙。
contents
目录
• 弹性力学基础 • 平面问题的基本概念 • 弹性力学平面问题的解析方法 • 弹性力学平面问题的数值解法 • 弹性力学平面问题的实例分析
01
弹性力学基础
弹性力学简介
弹性力学定义
弹性力学是研究弹性物体在外力作用下变形和内力的规律的科学 。
弹性力学的发展历程
有限差分法的优点在于简单 直观，适用于规则区域的问
题，且精度可调。
有限差分法的步骤包括建立离 散化的网格、选择合适的差分 格式、建立差分方程、求解离
散化的方程等。
边界元法
边界元法是一种将弹性力学问题转化为边界积分方程，然后通过离散化的 方式求解该边界积分方程的数值方法。
边界元法的优点在于精度高，适用于规则区域的问题，且对于复杂边界条 件处理能力强。
1. 初始化解的近似值。
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2. 根据迭代公式计算新的近似值。
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3. 检查收敛性，如果满足收敛条件则停止迭代，否则返 回步骤2。
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特点：简单易行，但收敛速度较慢，需要多次迭代才能得 到较为精确的结果。
牛顿-拉夫森法
• 概念：牛顿-拉夫森法是一种基于牛顿定理 的迭代方法，通过构造迭代公式来逼近真 实解。
从17世纪的材料力学到20世纪的有限元方法，弹性力学在理论和 实践方面都取得了重要进展。
弹性力学的重要性
在工程领域，弹性力学是解决复杂结构问题的基础，对于保证工程 安全和优化设计具有重要意义。
弹性力学的基本假设
01
02
03
连续性假设
假设物体由无数微小的单 元组成，每个单元之间没 有间隙。
弹性力学平面问题的直坐标系解答
物理方程描述了应力与应变之 间的关系，它是通过材料的弹 性常数建立的。在直坐标系中 ，物理方程可以表示为
03
直坐标系中的弹性力学平面问题
直坐标系中的平衡方程
80%
平衡方程概述
在直坐标系中，弹性力学平面问 题的平衡方程描述了物体在受力 作用下的静力平衡状态。
100%
平衡方程的推导
通过分析物体的受力情况，结合 牛顿第二定律，可以推导出平衡 方程的具体形式。
弹性力学的基本概念
应力和应变
在弹性力学中，物体在外力作用下会发生形变，这 种形变程度可以用应力和应变来描述。
胡克定律
胡克定律指出，在弹性范围内，物体的应力和应变 之间存在线性关系，即应力与应变成正比。
边界条件和初始条件
在弹性力学问题中，物体边界上的条件和问题开始 前的初始状态对于确定物体的应力和应变是必要的 。
总结词
考虑弹性体在平面内受拉伸的情况， 分析其应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设弹性体受到沿x轴方 向的拉伸力作用，根据弹性力学基本 方程，可以求出弹性体内各点的应力 和应变分布，以及位移场。
圆盘受压问题
总结词
研究圆盘在受到垂直向下的均匀 压力作用下的应力分布和变形。
详细描述
在直坐标系中，设圆盘中心位于 原点，半径为R。根据弹性力学基 本方程，可以求出圆盘内各点的 应力和应变分布，以及位移场。
弹性力学平面问题的直坐标系 解答
目
CONTENCT
录
• 引言 • 弹性力学平面问题的基本方程 • 直坐标系中的弹性力学平面问题 • 解法举例 • 结论
01
引言
主题简介
弹性力学平面问题
在弹性力学中，平面问题指的是应变和应力分量在空间中仅随两 个坐标变量变化的情形。
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第一种:在z=0和z=L的两端有边界条件
zx zy0, w0
以上条件平面应变问题是精确满足的.如图7.1a
(7.10)
第二种:柱体很长.除两端外,w=0,侧面上z向外力也为零.也可按平 面应变问题求解,如图7.1b
z z
z
x
x
x
y
(a)水坝
y
(b)隧道 图7.1
y
(c)滚轴
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-1 平面应变问题
在oxy平面内构§7-1 平面应变问题
C. 变形特征
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
设 z方向为无限长，则 x , x , u, 沿 z 方向都不变化，
仅为 x，y 的函数。 任一横截面均可视为对称面
u u ( x , y ) ,v v ( x , y ) ,w 0 ( x , y ) A (7.1)
(e)
式(7.8)是应力表示的协调方程,边界条件为
n T
在 s 上(7.9)
平面应变问题:二个位移分量,三个应变分量和三个应力分量.满 足几何方程(7.2),本构关系(7.4)和平衡方程(7.6)共八个方程及边 界条件(7.9)
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-1 平面应变问题
三种可以按平面应变问题求解的情况
xxxx yyyx yxfzxzx0fx 0 xyxxxyyyy yfyzzy0fy 0
(7.6)
应f x 和变协f y调是方x,程y的(3函.3数4cxx)中z五个yy自z动满z足z ,剩f下z 一0个为
将物理方2y2z2x2程y(7.2x42y)22y代z2y入2x2x上2yxyy式zyz2得x222yyx22zxzy2xy2x(( xyyxyyxzzyxzxzyz(x7xy)y.7z)) (3.34c)
为xy 平面，垂直于中面的任一直线 为 z 轴。 由于板面上不受力，有
b
x
z
2h
z zh0 因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。
zxzh0 可认为整个薄板的
z 0 zx 0
y
a
y
zyzh0 各点都有：
zy 0
(7.11)
由剪应力互等定理，有 zxxz0 zy yz 0 y
结论： 平面应力问题只有三个应力分量：
第七章 平面问题的直角坐标解答
第七章 平面问题的直角坐标解答
§7-1 平面应变问题 §7-2 平面应力问题 §7-3 平面问题及体积力为常量时的特性 §7-4 §7-5 平面应力问题的近似性质 §7-6 自由端受集中力作用的悬壁梁 §7-7 受均布荷载作用的简支梁 §7-8 三角形水坝
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-1 平面应变问题
2 x 2y xy x x 2 x2 xy xy 2yf 2 x y 0 x fx y fy0
(d)
利用式(d )消2(去式xx y(xc)中y)的 y (剪y1 应力f1y)(得 x f0x y fy)0
(7.6) (7.8)
式中 2 是二维Laplace算子
2 2 2 x2 y2
2z x2
2 y 2z2 2x x 2 x 2x2 y xyz1 (2 2 y x22 y yz 2 zx (2 x) zx2 y (1 xy1 z ) x 2 y xx y y )z
(c)
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-1 平面应变问题
对平衡方程(7.6)中的两式分别相对于x和y求导,相加得
2(1
E
)zx
(. b)
(5.26b)
x
y
1 ( E1 1 ( E1
x 1 y 1
y) x)
xy
11 E1
xy
E 11 E 2 ,
(7.4)
11 (7.5)
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-1 平面应变问题
1 11
E
E1
应力分量只是x,y的函数,且Z方向体积力为0,则平衡方程变为
一个方向的尺寸比另两个 b 方向的尺寸小得多。
x
z
2h
ha,h b —— 平板
y
y
a
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等
B. 受力特征
外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用， 沿 z 方向不变化。
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-2 平面应力问题
C. 应力特征
如图选取坐标系，以板的中面
(7.2) (3(a.1)3)
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-1 平面应变问题
因 zx zy z 0由胡克定律
x
E1[z x E 1[(z y(zx) ] , y)] xy0
2(1
E
)xy
,
y
E1 [y
z(z (xx)], y)yz
2(1E)yz
,(7.3)
六个应z力分E1量[中z 独z立(x的x 也zy只y)]有,0三个zx
§7-1 平面应变问题
A. 几何特征
一个方向的尺寸比另两 个方向的尺寸大得多，且沿 长度方向几何形状和尺寸不 变化。柱体所占空间V
V { (x ,y ,z)(x ,y ) A ,0 z L }
—— 近似认为无限长
B. 外力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作 用，且沿长度 z 方向不变化。
约束 —— 沿长度 z 方向不变化。
第三种:柱体很长.高应力区远小于低应力区,且低应力区的应力 近似为零.除两端外,也可按平面应变问题求解,如图7.1c
z
x
y
(a)水坝
x y
(b)隧道 图7.1
z y
z x
(c)滚轴
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-2 平面应力问题
§7-2 平面应力问题
A. 几何特征
V{(x,y,z)(x,y) A ,zh},
yx
x x(x,y) y y(x,y)
xyyxxy(x,y)
(7.12)
x xy
x
xy x
yx
yy
应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
第七章 平面问题的直角坐标解答 §7-2 平面应力问题
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
满足条件(7.1)及以上特征的弹性力学问题称为平面应变问题
将(7.1)代入几何方程(3.13)
xz xu x, xy
y ux , y v, xy xy 12 (1 2 (uy u y vx ) v x)
zy
yv ,
z y0z
1 2
(
v z
w y
)
在平面应变 z问题wz中, ，独zx 立 的12 (应wx变分uz量) 只有三个