圆周角

∵在△ABC中
CD=AD=BD
A
B
D
∴∠ACB=90°.
直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？
求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个
三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
已知：△ABC 中，CO为AB边上的中线，且CO= 1 AB
求证： △ABC 为直角三角形.
2
C
BAD DAC
1 BOD 2 DAB
DAC 1 (DOC
1 DOC 2 DOB)
2
BAC 1 BOC
2
A
O·
D
C B
结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心 角的一半．
归纳 圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对
的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心
角的一半。
A
A
A
O
O
O
B
CB
CB
C
∠A = 1/12∠BOC或 ∠BOC=2∠A
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通
过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C ，他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？如果同学 丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB 和∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？
丙D
A
乙C 甲O
丁E
B
一、概念
什么叫做圆周角？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
如图： ∠ ADB, ∠ACB,
D
A
∠ AEB都是⊙O的圆周角
C
O·
E
B
辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗?
C C
E D
D E
D
C
E D C
E
圆周角：顶__点__在__圆__上__，并且角的_两__边__都__和__圆__相__交_。 圆心角: 顶__点__在__圆__心___ 的角.
解 ：∵ AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=900
∴ ∠ ABC＝180°－∠A－
∠ACB ＝180°－80°－
90° ＝10°． ∴ ∠ABC的度数是10°．
图 23.1.12
例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点，
经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C，与
⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1
填空：1.梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,则
∠C=_____
A
D
圆的内接梯形一定是＿＿梯形。
O
B
C
2.四边形ABCD内接于⊙O，则∠A+∠C=______
∠B+∠ADC=_______;若∠B=80°，则∠ADC=____
∠CDE=______
AD
A
E B 80 C
100 D
O
B
C
3.四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=100° 则∠B=______∠D=______
4.四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,
已知：如图，四边形ABCD是
圆的内接四边形并且ABCD是
平行四边形。
求证：四边形ABCD
是矩形。 A
B
O
D
C
• .如图，AB是⊙O的直径，∠A＝ 80°．求∠ABC的度数．
C
BC AB2 AC 2 102 62 8 A O B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
∴AD=BD.
D
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
AD BD 2 AB 2 10 5 2(cm)
2
2
推论3
如果三角形一边上的中线等于这条
边的一半，那么这个三角形是直角三角
C
形。
与 ∠A的数量关系？
∠DCE＋∠1 ＝ 180° A
又 ∠A ＋∠1＝ 180°
所以∠A＝∠∠A与D∠CEDCE 为内对角
B
D
O
1
E
C
四、例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分
线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径， ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． 在Rt△ABC中，
交于点E，与⊙O2 交于点F。
D
求证：CE∥DF
A
1
C O1
O2
F
E
B
连结AB
ABFD是⊙O1 ABEC是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形
∠F＋∠1＝180°、∠1＝∠E
D
A
∠E＋∠F＝180°
1
CE∥DF
C O1
E
B
O2
F
内容小结：
(1)一个概念（圆周角）
(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于
该弧所对的圆心角的一半；
(3)四个推论： 同圆内，同弧或等弧所对的圆周角
相等；相等的圆周角所对的弧相等。 半圆或直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
练习
如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少
种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
·
B
方法四
O
∴∠ACB=900 ∴弦AB是直径
三.圆内接多边形
若一个多边形各顶点都在同一个圆上，
那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这
个圆叫做这个多边形的外接圆。
D
BC
E
C
O
A
O
D
A B
F
E
圆内接四边形的性质定理：
圆内接四边形的对角互补. 如图：圆内接四边形ABCD中，
∴∠A＋∠ C＝ 180°
同理∠B＋∠D＝180°
证明： 以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
CO=
1 2
AB,
∴AO=BO=CO.
A
·
B
O
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴∠ACB=
1 2
×180°=
90°.
∴ △ABC 为直角三角形.
练习：判断正误：
1.同弧或等弧所对的圆周角相等（ √ ） 2.相等的圆周角所对的弧相等（ × ） 3.90°圆周角所对的弦是直径（ √ ） 4.直径所对的角等于90°（ × ） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于3（ × ）
一、复习引入:
1.圆心角的定义?
答:顶点在圆心的角叫圆心角
O.
2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、
弦、弦心距四个量之间关系的一个结论，这
个结论是什么？
B
C
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距 有一组量相等，那么它们所对应的其余三个量都分别 相等。
3.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
∴∠BOC=2∠A 即 A 1 BOC B
C
（2）在圆周角的内部．
2
圆心O在∠BAC的内部，作直径AD，利
A
用（１）的结果，有
BAD 1 BOD DAC 1 DOC
2
2
BAD DAC 1 (BOD DOC)
2
O·
B
C
D
BAC 1 BOC 2
（3）在圆周角的外部．
圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（１）的结果，有
2
C
C
1、已知∠AOB＝75°，
O
求：∠ACB=
O
2、已知∠AOB＝120°，
A 求： ∠ACB =
B
A
B
3、已知∠ACD＝30°，
求：∠AOB =
C
4、已知∠AOB＝110°，
O
B 求：∠ACB =
O
B
D
A
A
C
思考：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相 等，它们所对弧一定相等吗？为什么？
推论1 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等， 它们所对弧一定相等．
二.探究同弧所对圆周角与圆心角的关系
如图，在⊙O中，请画出 BC所对 的圆心角和圆周角。
O
B
C
如图， ⊙O中，同弧所对的圆心
角和圆周角情况： A
A
A
O
O
O
B
CB
C
圆心在圆 周角一边上
圆心在 圆周角内部
B
C
圆心在 圆周角外部
（1）在圆周角的一条边上；
∵OA=OC， ∴∠A=∠C．
A
O·
又∠BOC=∠A+∠C
因为，在同圆或等圆中，
F
如果圆周角相等，那么它所
C
对的圆心角也相等，因此它
所对的弧也相等．
A
G
·O
E B
1.如图,AB是直径,则∠ACB=＿9＿0度
2.若∠ACB= 90 0 ，弦AB是直径吗？
A
推论2: 半圆（或直径）所对的圆周角是90°；
90°的圆周角所对的弦是直径。
C
O
B
∵ AB是直径, ∵ ∠ACB= 90 0 ，
A 如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形， ⊙O是四边形 ABCD的外接圆。 思考：∠A+∠C=? 能用圆周角定理证明你的结论B吗？
圆内接四边形的对角互补。
D
·O
C
பைடு நூலகம்
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=1800
推论：
圆内接四边形任意一个外角 都等于它的内对角.
思考：延长BC到E，∠DCE