圆周角2优质

能力提升
（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是 AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E， 过点D作DF∥BC，交⊙O于点F． 求证：（2）AF＝EF （2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形， ∴∠ECF+∠EAF＝180°， ∵BD∥CF， ∴∠ECF+∠B＝180°，
旧知回放:
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它 所对圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
推论2： 直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
巩固练习
1．（2018•衢州）如图，点A，B，C在⊙O上， ∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是（ B ） A．75° B．70° C．65° D．35°
所以∠A＝∠2
A
B
D
· O 12 E
C
因为∠A是与∠2相邻的内角
∠1的对角，我们把∠A叫做
∠DCE的内对角。
D
圆内接四边形的一 A
个外角等于它的内
对角。
B
· O 12 E
C
定理：圆的内接四边形的对角互补， 并且任何一个外角都等于它的内对角。
几何表达式：
∵ABCD是⊙O的内接四边形， D
∴ ∠A+∠C=180°
证明：
∵ED=EC，
∴∠1=∠C，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
1
∴∠1=∠B，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC
课小结
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 推论2：直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
定理：圆的内接四边形的对角互补， 并且任何一个外角都等于它的内对角
A· ·1 E
且∠B=∠1 ·
B·
·C
巩固练习
1．（2019•兰州）如图，四边形ABCD内接于
⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（ D ）
A．110° B．120° C．135° D．140°
巩固练习
2．（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD 为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则 ∠DCE的度数为 100° ；
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
C
在Rt△ABC中，
6
∵CD平分∠ACB，
A 10 ·O
B
∴ ∠ACD= ∠BCD=45°． ∴ ∠ABD= ∠BAD=45°．
∴AD=BD．
D
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
新课讲解：
若一个多边形各顶点都在同一 个圆上，那么，这个多边形叫做圆 内接多边形，这个圆叫做这个多边 形的外接圆。
例题2：
典型例题
（2020•雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，
∠ABC=60°，对角线BD平分∠ADC．
求证：△ABC是等边三角形；
证明：∵四边形ABCD内接于圆．
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=120°，
∵BD平分∠ADC， ∴∠ADB=∠CDB=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°， ∴∠ABC=∠BCA=∠BAC， ∴△ABC是等边三角形．
接四边形，AB是直径， C⌒D =C⌒B. 若∠C＝110°，
则∠ABC的度数等于（ A ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
解：连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，
∵C⌒D =C⌒B
∴∠1＝
1 2
∠DAB
＝35°
1
∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，
巩固练习
2．（2017•绍兴）如图，一块含45°角的 直角三角板，它的一个锐角顶点A在⊙O 上，边AB，AC分别与⊙O交于点D，E， 则∠DOE的度数为 90° ．
3．（2015•漳州）如图，一块直角三角板 ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合， 点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数
为 61° ．
巩固练习
3.若ABCD为圆内接四边形，则下列
哪个选项可能成立（B ）
（A）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4
（B）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4 （C）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4 （D）∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
巩固练习
4．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内
∴∠EAF＝∠B， ∴∠AEF＝∠EAF， ∴AE＝EF．
58° O 29°
4．（2017•青岛）如图，AB是⊙O的直径，点C， D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的 度数为（ B ）A．100° B．110°
C．115° D．120°
典型例题
例题1：如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为
6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、
BD的长．
能力提升
（2020•南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是 AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E， 过点D作DF∥BC，交⊙O于点F． 求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
证明：（1）∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B， ∵DF∥BC， ∴∠ADF＝∠B， ∵∠BAC＝∠CFD， ∴∠ADF＝∠CFD， ∴BD∥CF， ∵DF∥BC， ∴四边形DBCF是平行四边形；
巩固练习
1.如图，已知四边形ABCD内接于圆O， 连结BD，∠BAD=105°∠DBC=75°． 求证：BD=CD．
证明：∵四边形ABCD内接于圆O， ∴∠DCB+∠BAD=180°， ∴∠DCB=180°-∠BAD=75°， ∵∠DBC=75°， ∴∠DCB=∠DBC， ∴BD=CD
巩固练习
2.（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O 分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC． 求证：AB＝AC；
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°
巩固练习
5．（2018•青海）如图，A、B、C是⊙O 上的三个点，若∠AOC＝110°， 则∠ABC＝ 125° ．
巩固练习
6.半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：2两部分，
则弦所对的圆周角的度数是 60°或120°．
.O
结论： 同圆或等圆中，一条弦所对的圆 周角相等或互补
D E
B
C
C
O
A B
A
O
D
F
E
如图，四边形ABCD为⊙O的内 接四边形；⊙O为四边形ABCD 的外接圆。
D
A ·
O
B
C
如图：圆内接四边形ABCD中，
A 1 ,B 1
2
2
D
∴∠A＋∠C＝ 180°
A
同理∠B＋∠D＝180°
β ·O ɑ
B
C
圆的内接四边形的对角互补。
如果延长BC到E，那么 ∠2＋∠1＝__1_8_0_°__ 又 ∠A ＋∠1＝ 180°