【典中点】2017春人教版八年级数学下册 16.2.2 教用《典中点》(有答案)
2020春人教版八年级数学下册 第16章 阶段核心方法专训 比较含二次根式的式子的大小的八种方法 典中点习题
第十六章 二次根式
阶段核心方法专训 比较含二次根式的式子的大小的八种
方法
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1．比较 6＋ 11与 14＋ 3的大小．
解：因为( 6＋ 11)2＝17＋2 66，( 14＋ 3)2＝17＋2 42， 17＋2 66＞17＋2 42，所以( 6＋ 11)2>( 14＋ 3)2. 又因为 6＋ 11>0， 14＋ 3>0，所以 6＋ 11＞ 14＋ 3.
6．已知 x＝ n＋3－ n＋1，y＝ n＋2－ n，试比较 x，y 的大
小．
解：1x＝
1 n＋3－
n＋1＝
n＋3＋ 2
n＋1＞0，
1y＝
1 n＋2－
＝ n
n＋2＋ 2
n＞0，
∵ n＋3＋ n＋1＞ n＋2＋ n＞0，∴1x＞1y＞0，∴x＜y.
7．用“<”连接 x，1x，x2， x(0<x<1)． 解：取特殊值 x＝14，则1x＝4，x2＝116， x＝12， ∴x2＜x＜ x＜1x.
8．比较 5－a与3 a－6的大小．
解：∵5－a≥0，∴a≤5. ∴a－6＜0. ∴3 a－6＜0. 又∵ 5－a≥0，∴ 5－a＞3 a－6.
＝ 2
3＋
2，
2＋ 3＞ 3＋ 2，
∴2－1
＞ 3
1 3－
2.
5．比较 193－1与23的大小． 【点拨】利用作差法比较两个式子的大小的方法，即 a－b>0， 则 a>b；a－b<0，则 a<b；a－b＝0，则 a＝b.
hk版八年级下数学典中点
hk版八年级下数学典中点摘要：一、引言二、HK 版八年级下数学典中点的概述1.内容简介2.特点与优势三、HK 版八年级下数学典中点的使用建议1.针对不同学生的需求2.提高学生的学习兴趣与动力3.与课堂教学相结合四、HK 版八年级下数学典中点在数学学习中的重要性1.培养数学思维能力2.巩固基础知识3.提高考试成绩五、结论正文：【引言】HK 版八年级下数学典中点是一本针对初中八年级下学期学生的数学辅导教材，许多学生通过使用这本教材取得了显著的数学学习成果。
本文将对HK 版八年级下数学典中点进行详细介绍，并探讨其在数学学习中的重要性。
【HK 版八年级下数学典中点的概述】HK 版八年级下数学典中点涵盖了初中八年级下学期数学课程的所有知识点，包括几何、代数、概率与统计等内容。
每个知识点都配有详细的例题解析和练习题，帮助学生巩固所学知识。
此外，该教材还注重培养学生的数学思维能力，提高其解决实际问题的能力。
【HK 版八年级下数学典中点的特点与优势】HK 版八年级下数学典中点的特点在于其内容的全面性与系统性。
它不仅涵盖了所有课程知识点，还能够根据学生的实际需求进行有针对性的讲解和练习。
此外，该教材的题目设置灵活多样，既注重基础知识的巩固，又能够激发学生的思考。
【HK 版八年级下数学典中点的使用建议】针对不同学生的需求，教师和家长可以根据学生的实际情况，指导他们使用HK 版八年级下数学典中点进行自主学习和复习。
为了提高学生的学习兴趣与动力，可以鼓励他们参加一些数学竞赛或活动，将所学知识运用到实际中。
同时，HK 版八年级下数学典中点也可以与课堂教学相结合，作为课堂教学的补充和延伸。
【HK 版八年级下数学典中点在数学学习中的重要性】HK 版八年级下数学典中点对于培养学生的数学思维能力具有重要意义。
通过对教材的学习，学生可以掌握数学的基本概念、定理和公式，并学会运用这些知识解决实际问题。
同时，该教材还可以帮助学生巩固基础知识，提高考试成绩。
八年级下典中点答案
八年级下典中点答案will people have robots? Unit 1 正文练习答案：Section A 基础巩固 3.trees 2. paper 1.robots一、5.pollution e 5.wants; will succeed4.will be 3.had 2.buildings t ride ’1.won二、 3.B2.B 1.A 三、5.A 4.C 5.less 4.fewer3.More2.less 1.more 四、’3.don 2.will be; crowded 1.Will;live to be 五、t; will; pollution 5.will have a robot4.on; computer; free time5.How soon will t think; will ’4.don 3.Will; be t ’2.won 1.will work六、’1.won七、5.less 4.fewer t. ’3.No,there won2.Will; go t 能力提升3.D 2.A 1.C 一、5.F4.G 9.C 8.C 7.B 6.D5.A 4.A 3.C 2.D 1.B 二、10.A Section B & Self check 基础巩固单独的6. 5.fall 4.moon 3.fly 2.space 1.astronaut （一）一、7.pet 13.interview 12.myself 11.even10.which 9.dress 也许；大概8.15. 14.sound 的过去式）think认为（16. 公司 4.be able to do sth.去滑冰3. 2.fall in love with 1.space station （二）7.one day 实现；达到 6. 5.the World Cup 1.fly rockets to （三） 3.go skating; swimming2.think; will be 5.There are; predictions 4.will be able to 5.unable 4.even3.space 2.pet 1.fly 、二7.alone pany 10.probably 9.casually 8.astronauts 5.disagrees4.prediction 3.will be 2.fell 1.will be 三、 12.C 11.C 10.B 9.B 8.D 7.C 6.D5.A 4.A 3.C 2.B 1.C 四、 8.will live 7.took6.lives 5.will fly 4.lived 3.will be 2.am 1.lives 五、t take ’1.won六、t think ’4.don 3.What will 2.Where will your 5.What; be like 5.will win 4.dresses; work 3.keep birds 2.on vacation 1.Which 七、能力提升s really a beautiful city. ’1.She thinks it一、ll meet lots of interesting people. ’2.She thinks she t like living alone. ’3.Because she doesn ll go to Hong Kong on vacation. ’4.She thinks she s life in tem years. ’5.Ming你不可能成为一位作家。
八年级上册(初二上学期)语文15.《典中点》习题课件
4．练练你的表刻， 文采斐然,化抽象为形象，给人深刻的印象。请结 合下面的 语句进行赏析。
生命在那些终于要凋谢的花朵里永存，不断给世 界以色 彩，不断给世界以芬芳。 _生__命__在_“__终__于__要__凋__谢__”__的__花__朵__里__“__永__存__”__，__看_似__矛__盾__，___实__ _则__充__满__哲__理__。__“__生__命__自__身__”__是__神__奇__和__不__朽__的__，__它__能__给__世__界__ _以__色__彩__和__芬__芳__。__作__者__将__生__命__具__体__化__，__用__浅__显__的__语__言__诠__释__了__ _生__命__的__伟__大__，__乐__观__、_豁__达__的__观__点__给__人__以__无__限__的__启__迪__。______
1．考考你的记忆 1. 《永久的生命》一文从三个方面谈生命，一是 __谈__时__光__易__逝__、__生__命__有__限____，二是 __谈__生__命__的__神__奇______，三是____高__度__赞__美__生__命____。 2. 《要生活得写意》先从个人的生活体验说起，然后 以 恺撒与亚历山大 为例，指出日常生活的重要性; 接着从 反面 指出人们对生活的偏见；最后得出结 论 我们最豪迈、最光荣 的事业乃是生活得写意 。
2．说说你的理解
《永久的生命》中作者用“地面上的小草”说明了什 么？ _生__命__自__身__的__伟__大__，__生__命__能__够__不__绝__地__创__造__新__的__生__命_。___
“写意的生活”是怎样的生活？ _就__是__顺__应__天__性__的__生__活__，__舒__展__身__心__，__不__被__劳__役__所__拘__。__
2020春人教版八年级数学下册 第16章 全章典中点习题(付,213) 典中点习题
14．当 x 取什么实数时，式子 3x－1＋2 的取值最小？并求出这 个最小值．
解： 3x－1≥0 且由二次根式有意义的条件得 3x－1≥0，即 x≥13， 所以当 x＝13时，式子 3x－1＋2 的取值最小，最小值为 2.
【点拨】根据|m－2|＋ n－4＝0 得 m＝2，n＝4，再根据三角形 三边关系定理得：三角形三边长分别为 4，4，2，故选 B.
12．【2019·黄石】若式子 xx－－21在实数范围内有意义，则 x 的取 值范围是( A ) A．x≥1 且 x≠2 B．x≤1 C．x>1 且 x≠2 D．x<1
【点拨】本题易错在漏掉分母不为 0 这个条件，由题意知 x－1≥0 且 x－2≠0，解得 x≥1 且 x≠2.
13．已知 x＋1＋ x＋y－2＝0，求 x，y 的值． 【方法总结】a2，|a|， a都为非负数，即 a2≥0，|a|≥0， a ≥0(a≥0)．可利用“若几个非负数之和为零，则这几个非负数同 时为零”解决问题．
4
3．化简|a－3|＋( 1－a)2 的结果为( D ) A．－2 B．2 C．2a－4 D．4－2a
4．【2019·常州】下列各数中与 2＋ 3的积是有理数的是( D ) A．2＋ 3 B．2 C． 3 D．2－ 3
A. －x－2
B. x
C. x2＋2
D. x2－2
2．下列式子不一定是二次根式的是( A )
A. a
B. b2＋1
C. 0
D. （a＋b）2
【点拨】根据二次根式的定义进行识 别. a中 a＜0 时不是二次根式．
2020春人教版八年级数学下册 第16章 全章典中点习题(付,213) 典中点习题
5．【2018·重庆】估计(2 30－ 24)· 16的值应在( B ) A．1 和 2 之间 B．2 和 3 之间 C．3 和 4 之间 D．4 和 5 之间
6．如图，在数轴上表示数 55×(－5)的点可能是( B )
－2|c－a－b|的结果为( B )
A．3a＋b－c
B．－a－3b＋3c
C．a＋3b－c
D．2a
【点拨】∵a，b，c 为三角形的三边长，∴a＋c＞b，a＋b＞c，
即 a－b＋c＞0，c－a－b＜0.
∴ （a－b＋c）2－2|c－a－b|＝(a－b＋c)＋2(c－a－b)
＝－a－3b＋3c.故选 B.
第2节 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法
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1B 2C
3B 4A 5B
6B 7D 8B 9B 10 D
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11 B 12 B 13 见习题 14 见习题 15 见习题
16 见习题 17 见习题
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1．【2019·株洲】 2× 8＝( B )
A．4 2
9．【2019·安顺】若实数 a，b 满足|a＋1|＋ b－2＝0，则 a＋b＝ ____1____.
10．【2018·桂林】若|3x－2y－1|＋ x＋y－2＝0，则 x，y 的值为
(D ) x＝1，
A.y＝4 x＝0，
C.y＝2
x＝2， B.y＝0
x＝1， D.y＝1
【点拨】注意到 2a＋2b－3 只需变形得 2(a＋b)－3，再将 a＋b ＝12整体代入即可．
13．【2019·重庆】按如图所示的运算程序，能使输出 y 值为 1 的
是( D )
A．m＝1，n＝1
典中点初中数学八下试卷
1. 已知等腰三角形底边长为8cm，腰长为10cm，那么该等腰三角形的周长为（）A. 16cmB. 24cmC. 26cmD. 30cm2. 若一个数加上3后是5的倍数，那么这个数加上2后一定是（）A. 5的倍数B. 4的倍数C. 3的倍数D. 2的倍数3. 已知一个长方体的长、宽、高分别为2cm、3cm、4cm，那么该长方体的体积为（）A. 24cm³B. 36cm³C. 48cm³D. 60cm³4. 在一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k=2，b=1时，函数图象经过（）A. 第一、二、四象限B. 第一、二、三象限C. 第一、三、四象限D. 第一、二、三、四象限5. 已知一个等差数列的前三项分别为2、5、8，那么该数列的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 若一个二次函数的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-2），那么该函数的解析式为（）A. y=x²-2x-1B. y=x²+2x-1C. y=-x²-2x+1D. y=-x²+2x+17. 已知一元二次方程x²-5x+6=0的解为x₁和x₂，那么x₁+x₂的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 88. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于y轴的对称点为（）A. （-2，-3）B. （2，-3）C. （-2，3）D. （2，3）9. 已知一个圆的半径为r，那么该圆的面积为（）A. πr²B. 2πr²C. 4πr²D. 8πr²10. 若两个角的和为180°，则这两个角互为（）A. 相邻角B. 对顶角C. 对角线D. 相邻补角二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个等腰三角形的底边长为8cm，腰长为10cm，那么该三角形的周长为______cm。
12. 若一个数加上3后是5的倍数，那么这个数加上2后一定是______的倍数。
hk版八年级下数学典中点
hk版八年级下数学典中点典中点，作为数学中的重要概念之一，在我们的学习过程中扮演着重要的角色。
本文将深入探讨典中点的概念、性质以及相关应用，希望能够帮助大家更好地理解和应用这一概念。
1. 典中点的概念典中点，顾名思义，即为线段的中心点。
在数学中，我们通常将一条线段AB表示为线段两个端点A和B之间的部分。
而典中点恰好是线段AB的中心点，记作M。
2. 典中点的性质(1) 典中点将线段平分：典中点M将线段AB平分，即AM=MB。
这一性质是典中点的基本特征，对于任意一条线段都成立。
(2) 典中点在线段上：典中点M必然在线段AB上，且满足AM=MB。
(3) 典中点唯一：每一条线段只有一个典中点，且不受线段的长度变化而改变。
3. 典中点的应用(1) 构造典中点：我们可以利用尺规作图的方法来构造一个线段的典中点。
具体操作是，先将AB线段延长，然后以A和B为圆心、AB为半径画两个交于一点O的圆，圆与AB的交点即为典中点M。
(2) 利用典中点的性质求解问题：典中点的平分性质可以帮助我们解决一些几何问题。
比如，若已知线段的一个端点和典中点，我们可以通过利用典中点将线段平分的特点，求解出线段的另一个端点坐标。
典中点作为数学中的重要概念，在几何问题中有着广泛的应用。
通过本文的介绍，我们对典中点的概念、性质以及应用有了更深入的理解。
掌握好典中点的概念和性质，能够帮助我们更好地解决几何问题，提高数学解题的能力。
让我们在接下来的学习中注重典中点的应用，不断提高自己的数学水平。
典中点数学(八年级下册)--第十八章达标检测卷.doc
第十八章达标检测卷（120分，90分钟）一、选择题（每题3分，共30分）1.己知四边形ABCZ ）是平行四边形，下列结论中，错误的是（）A. AB — CDB. AC — BDC.当AC 丄时，它是菱形D.当ZA5C = 9O Q 时，它是矩形2.己知在平行四边形ABCD 中，BC-AB = 2cm, BC = 4cm ,则平行四边形ABC/）的周长是（）A. 6cmB. 12cmC. 8cmD. 10cm3. 如图，跷跷板AS 的支柱OD 经过它的中点0,且垂直于地面BC,垂足为D, OD = 50cm,当它的一端着地时，另一端A 离地面的高度AC 为 A.25cmB. 50cm 4. 下列命题中，真命题是A.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 5. 若顺次连接四边形/ISCD 四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形?1SCD —定是6.如图，在矩形AfiCZ ）中，对角线AC, 相交于点（9,过（9的直线£F 分别交AB, CD 于点E ，F ，若图中阴影部分的面积为6,则矩形4SCD 的面积为（）A. 12B. 18C. 24D. 307. 平行四边形A5CD 的对角线交于点O,有五个条件：®AC = BD f ②ZASC = 90°，③A5二AC ，④AB = BC ，⑤AC 丄则下列哪个组合可判定这个四边形是正方形？（）A.①②B.①③C.①④D.④⑤8.如图，正方形AfiC£>的边长为4,点£在对角线上，且ZR4£ = 22.5Q , EF 丄AB ，垂足为F ， 则的长为（）A. 1B. y/2C. 4-2V2D. 3V2-49. 如图，将边长为2cm 的菱形ABCD 沿边所在的直线/翻折得到四边形？1£?£厂.若/£）/42?二30°,则C. 75cmD. 100cmB.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形四边形CD/^的面积为A< 2cm210.如图，正方形中，点£，F分别在5C，CD上，ZVIEF是等边三角形，连接AC交于G，下列结论:① BE=DF ，② ZD/IF = 15°，③ AC 垂直平分 ，④ BE+DF = EF ，⑤ S ACEF = 2S AABE .其中正确结论有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（每题3分，共30分）11.如图，在平行四边形ABCZ ）中，S 石丄AS 交对角线AC 于点£ ,若= 20°,则Z2的度数为 ___________ .12. ____________________________________________________________________ 如图，在菱形A5CD 中，对角线AC = 6, B£> = 10,则菱形ABCD 的面积为 ________________________ .13. 如图，ZACB = 90° , 7）为的中点，连接DC 并延长到£，^CE = -CD,过点B 作BF//DE ，3与/1£的延长线交于点厂.若/18 = 6,则权F 的长为 ____________.14. 如图，在矩形A5CD 中，对角线AC ，SZ ）相交于0，£>£丄/1（?于点£，ZEDC:Z£7X4 = 1:2,且AC = 10,则£C 的长度是 __________ .15. ____________________________________ 如图，在四边形ABGD 中，点£，F ，G ，//分别是边BC,CD ，Z ）A 的中点，如果四边形 为菱形，那么四边形ABC7）是对角线 的四边形.16. 如图，菱形纸片ABCD 中，Z4 = 60°,折叠菱形纸片45CD,使点C 落在£>P （/>为Afi 的中点）所在的直线上点C 处，得到经过点D 的折痕/）£.则ZDEC 的大小为 __________ .17. _____________ 正方形ABC7）的边长是4,点尸是AD 边的中点，点£是正方形边上的一点，若是等腰角形, 则腰长为 ___ .18. 菱形T IBCT ）在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A 的坐标为“，0），点S 的坐标为（0，人），动点尸从点A 出发，沿A 4 B 巧C 4 D 4 4 4 B 4…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度 移动，移动到第2016秒时，点P 的坐标为 ________________ .19. ___________________________________________________________ 如图，四边形ABCZ ）为矩形，过点Z ）作对角线的垂线，交BC 的延长线于点£，取的中点 连接DF ，= 4.设AB = x ，AD=y t 则x 2+（y-4）2的值为 ___________________________________________________ .20.如图，RtAABC 中，ZACB = 90°,以斜边为边向外作正方形AS£>£ ,旦正方形的对角线交于点 0,连接OC.己知AC = 5, OC = 6^2,则另一直角边BC 的长为 __________________________ .（第14题）（第15题）（第16题）（第18题）（第19题）（第20题）三、解答题(21题8分，26题12分，共余每题10分，共60分)21.如图，四边形AflCD是菱形，丄交的延长线于点£，DF丄SC交BC的延长线于点F . 求证：DE=DF.22.如图，正方形A5C7)的边长为4, £，F分别为DC，5C的中点.(1)求证：(2)求的面积.尸23.如图，平行四边形ABCD中，点£，F在直线4C上(点£在芦左侧)，BEIIDF.(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若AS 丄AC, AB = 4, BC = 2Vl324.如图，在矩形ABCD中，点£，F分别在边fiC，ADh,连接£厂，交AC于点O.连接A£，CF. 若沿折叠矩形ASCD,则点A与点C重合.(1)求证：四边形为菱形；(2〉若二4, 5C = 8,求菱形A£CF的边长；(3)在(2)的条件下求的长.25.如图，已知在Rt/XASC 中，ZACB = 90°,现按如下步骤作图：② 过似，2V 两点作直线M7V 交于点门，交/IC 于点£; ③ 将△/!£>£绕点£顺时针旋转180° ,设点£>的对应点为点F.(1) 请在图中直接标出点F 并连接CF; (2) 求证：四边形BC/7)是平行四边形； (3) 当ZS 为多少度时，四边形J5CF79是菱形？26.在正方形4SCD 外侧作直线AP ，点B 关于直线的对称点为£，连接B£, DE ，其中£>£交直线 4尸于点(1) 依题意补全图①： (2) 若ZPAB 二20° ,求乙的度数； (3) 如图②，若45° < < 90Q ,用等式表示线段AS, FE ，之间的数量关系，并证明.•、①分别以A , C 为圆心，为半径作弧，两弧分别交于M N 两点;① ②一、l.B 2.B 3.D 4.C5. D 点拨：运用三角形的中位线定理和矩形的性质解答.6. C 点拨：据题意易知ACOF 的面积与AAOE 的面积相等，阴影部分的而积为矩形而积的四分之一.7. C 8. C点拨：根据正方形的对角线平分一组对角可得ZAfi£> = ZAZ)B = 45Q ，再求出的度数.根据三角形的内角和定理求从而得到=再根据等角对等边得到AT) = £>£，然后求出正方形的对角线再求出5£，进而在等腰直角三角形中利用勾股定理求出的长.9. C10. C 点拨：Y 四边形ZlfiCD 是正方形，••• AB = BC = CD = AD, ZB = ZBCD = ZD = ZBAD = 90°. •••△A£F 是等边三角形，A AE = EF = AF^ ZEAF = 60°.••• ZBAE+ZDAF = 30o .在 RtAABE 和 Rt/XADF 中，RtAABE^RtAADF （HL ）, /. BE = DF （故①正确）.ZBAE = ZDAF . A ZDAF +二30o ，即 ZDAF = 15° （故②正确）.••• BC = CD ，... BC-BE = CD-DF ，即 C£ = CF,又•.•/!£ = AF ，/MC 垂直平分（故③正确）.设£C = x,由勾股定理，得EF = AE = yfix ，A EG = CG = —x^ A AG = —x^ A AC = ^'X + :. AB = BC = 々X + X17. 2^或兰或18.（1,0）2 219. 16 点拨：四边形4SCD 是矩形，AB = x, AD=y f .-.CD = AB = x, BC = AD = y f ZBCD = 90°. 又••• BDi DE ，点F 是B£的中点，DF = 4,:.BF = DF = EF=4, ... CF 二4-5C 二4-v.在RtADCF 中，DC 2 + CF 2 = DF 2，即 A ;2+ （4 — ）’）2 = 42 = 16. ... .v 2 +（y-4）2 =16.20.7 点拨：如图所示，过点O 作CM!丄CA ，交CA 的延长线于点似；过点O 作ON iBC 于点N ，jAE = AF\AB = ADA BEy/3x + x y[3x-x•VBEyJ^X-X y/^X 七 X,•••5£ + Z ）F = ^.r —x 关 Vir （故④错误），•: S L CEF2 2 A 2S/\AI3E~4:S^CEF (故⑤正确).二、11. 110°12.30 13. 8 14.2.5 15.相等 16. 75°点拨：如图，连接S7),由菱形的性质及Z/1二60%得到三角形ABZ)为等边三角形.由尸为的 中点，利用等腰三角形三线合一的性质得到ZADP = 30°.由题意易得ZAZ)C = 120°, ZC=60Q ，进 而求出ZPDC 二90°,由折叠的性质得到ZC£)£二ZPD£二45°,利用三角形的内角和定理即可求出:ZDEC = 75° •易证 AOAM 空△0灌，CN = OM ，:. OM = ON , MA = NB..•.0点在ZACB 的平分线上./.AOCM 为等腰直角三角形.'• 0(3 = 6芯，••• CM 二=6. ••. MA = CM-AC = 6-5 = l. :. 5€ = 0；7 + 卿=6^ + 从4 = 6十1 = 7.故答案为7.三、21.证明：连接DB. ?四边形/1BGD 是菱形，/. 平分ZABC.又丄5C, ...DE = DF •22. (1)证明：•••四边形 ABCD为正方形，••• AB = AD = DC = CB, ZD = ZB = 9G°. •: E, F 分别为 DC ，AD = AB二丄BC ，.••£>£ = 6芦.在2\儿0£和八/^厂中，JZ£> = ZS , 2DE = BF.•• AAD£^AABF (SAS).⑵解：由题知AABF , AADE > AC£F 均为直角三角形，且AB = A£> = 4,DE=BF=CE=CF +4=2 ’=4x4-丄x4x2-丄x4x2-丄x2x2=6.23. (1)证明：如图，连接B7),设交/1C 于点O. Y 四边形ABGD 是平行四边形， /. OB = .由 BEHDF ，魯 ZB£O二 ZDFO.而 ZEOB = ZFOD, :.£\BEO 洤 ADFO. ••• BE=DF.又 BEIJDF ，：.四边形 REDF 是平行四边形.⑵解：？AS 丄 AC, AB = 4 , BC = 2yfl3 , A AC = 6 , = 3 • •••在 Rt △凡4(?中B0 = yjAB 2 + AO 2 = V42 + 32 =5.又•••四边形BEDF 是矩形，0£ = 0B = 5. .•.点£在04的延长线上，且A£ = 2.24. (1)证明：由题意可知，OA = OC, 丄？1C, ••• AD//BC , .•• ZFAC = Z£CA.在 AAOF 和△(%>£ZFAO = ZECO中，\AO = CO ，/. AAOF^ACOE. A OF = OE. V OA = OC, 丄 AC,ZAOF = ZCOE.••四边形AECF 为菱形.(2)解：设菱形的边上为 x ，贝ij/i 五二X ， B£二5C-CE 二8-x .在 RtAASE 中，⑽中点，•••#，CEFBE 2 + AB 2 = AE 2, A （8-X ）2+42=X 2,解得x = 5.即菱形的边长为5.⑶解：在Rt △厦中，，OA=^C = 2^5.(2)证明：连接AF, DC. 是由AADF 顺时针旋转180°后得到的，A 与C 是对应点，D 与F 是对应点，.•. AE = CE, DE = FE. .•.四边形/U9CF 是平行四边形.AD//CF .由作图可知胃垂 直平分AC,又ZACS = 90°, /.AlAWBC. •••四边形BC/7)是平行四边形. ⑶解：当 Z5 二 60° 时，四边形 BCFD 是菱形.理由如下：••• Z5 = 60° , ZACB = 90°, /. Z5AC 二 30。