贪心策略

贪心法设计举例
例5.2 用贪心法求解货币兑付问题。设支付现金
A=25.9元，支付集合P= {10、5、1、 0.5,0.2、0.1元各10张} 解： 最少货币张数 — 贪心选择货币面值大者。
s s s s = = = = ф {10} {10,10} {10,10,5,0.5,0.2,0.2}
15.9 5.9 0
贪心算法的设计要素
可以用贪心算法求解的问题一般具
有2个重要的性质：
– –
最优子结构性质。 贪心选择性质
贪心算法的设计要素
最优子结构性质
当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时 ，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优 子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心 算法求解的关键特征。
贪心算法的设计要素
贪心算法的基本思路
基本思路
1.建立数学模型来描述问题。 2.把求解的问题分成若干个子问题。 3.对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解。 4.把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解 。 从问题的某一初始解出发； while 能朝给定总目标前进一步 do 求出可行解的一个解元素； 由所有解元素组合成问题的一个可行解；
活动安排问题的正确性证明 贪心算法并不总能求得问题的整体最 优解。但对于活动安排问题，贪心算 法greedySelector却总能求得整体最 优解，即它最终所确定的相容活动集 合A的规模最大。这个结论可以用数学 归纳法证明。
证明：（对算法步数进行归纳） （1）将活动集合按照截止时间递增顺序排列，得到序列 S。
背包问题
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问题描述

给定n个物品和一个背包。物品i的重量为wi， 价值为vi，背包容量为C。问如何选择装入背包 中的物品，使得装入背包的物品的价值最大？ 在装入背包时，每种物品i只有两种选择，装入 或者不装入，既不能装入多次，也不能只装入 一部分。因此，此问题称为0-1背包问题。 如果在装入背包时，物品可以切割，即可以只 装入一部分，这种情况下的问题称为背包问题。

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贪心算法的特点
贪心算法中，较大子问题的解恰好包含 了较小子问题的解作为子集，这与动态 规划算法设计中的优化原则本质上是一 致的。 贪心算法在某一步决定优化函数的最大 或最小值时，不考虑子问题的计算结果 ，而是根据当时情况采取“只顾眼前” 的贪心策略决定取舍。
应用实例
策略1不正确。 活动安排问题—直觉贪心策略分析 反例：S={1, 2, 3}，a1=<0, 20>， a2=<2, 5>， a3=<8, 15>。
策略2不正确。 反例： S={1, 2, 3}，a1=<0, 8>， a2=<7, 9>， a3=<8, 15>。
策略3正确？
活动安排问题
贪心选择性质
贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一 系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。 贪心选择每次选取当前最优解，因此它依赖以往的选 择，而不依赖于将来的选择。 贪心算法通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式 作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问 题简化为规模更小的子问题。 对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质 ，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整 体最优解。

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贪心算法的一般框架


GreedyAlgorithm(parameters){ 初始化； 重复执行以下的操作： 选择当前可以选择的(相容)最优解； 将所选择的当前解加入到问题的解中； 直至满足问题求解的结束条件。 }
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（3）假设算法前k步正确，令i1=1, i2, …, ik是前k步顺序选 择的活动，则原问题最优解可表示为A={i1=1, i2, …, ik}∪B， 令S’是S中剩余的与i1, i2, …, ik相容的活动，即S’={j | sj≥fk, j∈S}，则B是S’的一个最优解。
若不然，假设S’有最优解B’，且|B’| > |B|，那么用B’替 换B可以得到的解={i1=1, i2, …, ik} ∪ B’将比A的活动更多， 与A为最优解矛盾。
template<class Type> 各活动起始时间 void GreedySelector(int n, Type s[], 与结束时间分别 Type f[], bool A[]) { 存储于数组s和f A[1] = true; 活动安排问题 —算法设计与分析中，且f中活动 int j= 1; 按结束时间非递 for (int i=2;i<=n;i++) { 减排序，即f1 ≤f2 if (s[i]>=f[j]) { A[i]=true; ≤… ≤fn。 j=i; } else A[i]=false; 时间复杂度O(n) } 预排序O(nlogn) } 该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排时间段极大化，以 便安排尽可能多的相容活动。
由于输入的活动以其完成时间的非减序排
列，所以算法greedySelector每次总是选 择具有最早完成时间的相容活动加入集合A 中。直观上，按这种方法选择相容活动为 未安排活动留下尽可能多的时间。也就是 说，该算法的贪心选择的意义是使剩余的 可安排时间段极大化，以便安排尽可能多 的相容活动。
应用实例
第四章
贪心策略
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贪心法

在实际问题中，经常会遇到求一个问题的可行 解和最优解的问题，这就是所谓的最优化问题
。

每个最优化问题都包含一组限制条件和一个优 化函数，符合条件的解决方案称为可行解，使 优化函数取得最佳值的可行解称为最优解。
贪心法

贪心法是求解这类问题的一种常用算法，它从问题的 某一个初始解出发，采用逐步构造最优解的方法向给 定的目标前进。(问题：与分治法、递归、动态规划等 的关系、比较?) 在每个局部阶段，都做出一个看上去最优的决策(即某 种意义下的、或某个标准下的局部最优解)，并期望通 过每次所做的局部最优选择产生出一个全局最优解。
计算机算法设计与分析
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其设计方法描述如下：
greedy ( A, n) { solution ; for(i 1; i n; i ) { 选择准则 x select( A); if ( feasible ( solution , x )) solution union ( solution , x ); } return solution ; }
应用实例

活动安排问题—实例计算过程
设待安排的11个活动的开始时间和结束时间按结束时 间的非减序排列如下：
i s[i] 1 1 2 3 3 0 4 5 5 3 6 5 7 6 8 8 9 8 10 2 11 12
f[i]
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
首先选定活动1，其结束时间f[1]=4。 然后因s[4] = 5≥4，选定活动4，这时f[4] = 7。 又因s[8] = 8≥7，选定活动8，这时f[8] = 11。 最后因s[11] = 12≥11，选定活动11。
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再找硬币

若硬币的面值改为一分、五分和一角一分3 种，而要找给顾客的是一角五分钱。

还用贪心算法，将找个顾客1个一角一分的 硬币和4个一分的硬币。
然而，3个五分的硬币显然才是最好的找法。

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计算机算法设计与分析
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贪心算法的特点
顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好 的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考 虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部 最优选择。 贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解， 但对许多问题它能产生整体最优解。 在许多情况下，应用贪心算法能够得到整体最 优解；在一些情况下，即使贪心算法不能得到 整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近 似。


做出贪心决策的依据称为贪心准Fra Baidu bibliotek(策略)
问题：

贪心法的特点/优点是什么？贪心法与穷举法、 回溯法、动态规划等方法的比较？

可以用贪心法解决的问题有什么特点？什么样
的问题适合于用贪心法来解决？ 用贪心法解题时，如何判断能否保证得到最优 解？若不能得到最优解，该如何处理？

找硬币

假设有四种硬币，面值分别为
贪心法的正确性问题
针对具体问题不同，贪心策略的选择可能有多种 ，如何选择合适的贪心策略并证明该策略的正确 性是贪心算法设计中的一个关键问题。 一般可以通过对算法步数的归纳或通过对问题规 模的归纳来证明贪心法的正确性。 证明贪心选择将导致整体的最优解： 首先证明存在问题的一个整体最优解必定包含 了第一个贪心选择。 然后证明在做了贪心选择后，原问题简化为规 模较小的类似子问题，即可继续使用贪心选择。 于是用数学归纳法可证明，经过一系列贪心选 择可以得到整体最优解。
实现该算法的过程：

应用实例——活动安排问题
活动安排问题就是要在所给的活动集合中 选出最大的相容活动子集合，是可以用贪 心算法有效求解的很好例子。该问题要求 高效地安排一系列争用某一公共资源的活 动。贪心算法提供了一个简单、漂亮的方 法使得尽可能多的活动能兼容地使用公共 资源。
应用实例——活动安排问题
（2）算法第一步选择S中的活动1，设算法最终得到问题 最优解为A={i1, i2, …, ij}，则i1=1;（算法第一步正确） 活动安排问题—贪心策略正确性证明 若i1≠1，用1替换i1，可得到A’=(A-{i1})∪{1}，集合A’与A 中活动个数相同，且1比i1结束的更早，因此与i2, i3, …, ij 相容，于是A’也是问题的一个最优解。
活动实例
应用实例
策略1：尽早占用。 策略2：时间占用少 活动安排问题 —直觉贪心策略 的活动先安排。 把活动按照开始时间 从小到大排序，使得 计算每个活动占用时 间fi-si，按照占用时 s1 ≤ s2 ≤… ≤sn，然 后从前向后挑选，只 间从小到大对活动排 要与前面选择的活动 序，使得f1-s1 ≤ f2-s2 相容，便将这项活动 ≤… ≤fn-sn，然后从 选入最大相容集合A。 前向后挑选，只要与 前面活动相容，便将 这项活动选入最大相 容集合A。 策略3：早完成的活 动先安排。 把活动按照截止时间 从小到大排序，使得 f1 ≤ f2 ≤… ≤fn ，然后 从前向后挑选，只要 与前面选择的活动相 容，便将这项活动选 入最大相容集合A。
贪心算法
一般地，有这样一类问题：它有n个输入，而它的解就由 这n个输入的某个子集组成，只是这个子集必须满足某些事 先给定的条件。把那些必须满足的条件称为约束条件；而 把满足约束条件的子集称为该问题的可行解。为了衡量可 行解的优劣，事先给出了一定的标准。一般以函数形式给 出，称为目标函数。那些使目标函数取极值（极大或极小） 的可行解，称为最优解。 贪心法也是一个多步决策法。每一步选择都使得能构成问 题的一个可行解，同时使目标函数的值增加最快（求max） 或增加最小（如求min），这种选择过程是以某些最优量度 为根据，而最优化量度有时可以是目标函数本身，也可以是 别的量度。最优化度量的选择是贪心算法的关键。
有n个活动申请使用同一个礼堂，每项活动有一个开始 活动安排问题 时间和一个截止时间，如果任何两个活动不能同时举 行，问如何选择这些活动，从而使得被安排的活动数 量达到最多？ 设S={1, 2, …, n}为活动的集合，si和fi分别为活动i的开 始和截止时间，i=1, 2, …, n。定义 活动i与j相容：si ≥ fj或sj ≥fi, i≠j 求S最大的两两相容的活动子集。
二角五分 一角 五分 一分
现在要找给某顾客六角三分钱，哪种找钱方法拿出 的硬币个数最少呢？ 首先选出一个面值不超过六角三分的最大硬 币，即二角五分；然后从六角三分中减去二角五 二角五分 二角五分 一角 一分 一分 一分 分，剩下三角八分；再选出一个面值不超过三角 八分的最大硬币，即又一个二角五分，如此一直 做下去。这种方法实际上就是贪心算法。
（4）根据第（2）步，子问题S’存在最优解B*={ik+1, …}， 则 活动安排问题—贪心策略正确性证明 A’={i1=1, i2, …, ik} ∪B*={i1=1, i2, …, ik, ik+1} ∪(B*-{ik+1})为 原问题一个最优解，且恰好包含了前k+1步选择的活动。
应用实例之