高考导数 洛必达法则

第二部分：泰勒展开式

1.2311,1!2!3!!(1)!

n n x

x

x x x x x e e n n θ+=++

+++++K 其中(01)θ<<； 2. 231ln(1)(1),2!3!!

n

n n x x x x x R n -+=-

+-+-+K 其中111(1)()(1)!1n n n n x R n x θ++=-++； 3.35211sin (1)3!5!(21)!k k n x x x x x R k --=-

+-+-+-K ，其中21(1)cos (21)!

k k

n x R x k θ+=-+； 4. 24221cos 1(1)2!4!(22)!k k n x x x x R k --=-

+-+-+-K 其中2(1)cos (2)!

k k n x R x k θ=-； 第三部分：新课标高考命题趋势及方法

许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易

让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法.虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了0

”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.

第四部分：洛必达法则及其解法

洛必达法则：设函数()f x 、()g x 满足：

（1）lim ()lim ()0x a

x a

f x

g x →→==； （2）在()U a o 内，()f x '和()g x '都存在，且()0g x '≠；

（3）()lim

()

x a

f x A

g x →'=' （A 可为实数，也可以是±∞）.则()()

lim

lim ()()x a x a f x f x A g x g x →→'=='. （2011新）例：已知函数ln ()1a x b

f x x x

=

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=. （Ⅰ）求a 、b 的值； （Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>+-，求k 的取值范围.

（Ⅰ）略解得1a =，1b =.（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法

由（Ⅰ）知ln 1

()1x f x x x =++，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x

---+=+--.

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22

(1)(1)2'()k x x

h x x -++=

. (i)当0k ≤时，由22

2

(1)(1)'()k x x h x x

+--=知，当1x ≠时，'()0h x <.因为(1)0h =， 所以当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得

2

1

()01h x x

⋅>-；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，可得

21()01h x x ⋅>-，从而当0x >且1

x ≠时，ln ()()01x k f x x x -+>-，即ln ()1x k

f x x x

>+-； （ii ）当01k <<时，由于当1(1,)1x k ∈-时，2(1)(1)20k x x -++>，故'()0h x >，而(1)0h =，故当1

(1,)

1x k

∈-时，()0h x >，可得2

1

()01h x x

⋅<-，与题设矛盾. （iii ）当1k ≥时， '()0h x >，而(1)0h =，故当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，可得2

1

()01h x x ⋅<-，与题设矛盾.

综上可得，k 的取值范围为(0]-∞，.

注：分三种情况讨论：①0k ≤；②01k <<；③1k ≥不易想到.尤其是②01k <<时，许多考生都停留在此

层面，举反例1

(1,

)1x k

∈-更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升. 当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，即ln 1ln 11x x k

x x x x

+>++-，

也即2ln 1ln 2ln 1111x x x x x x k x x x x <+-=++--，记2

2ln ()11x x

g x x

=+-，0x >，且1x ≠ 则2222

222222(1)ln 2(1)2(1)1'()=(ln )(1)(1)1

x x x x x g x x x x x ++-+-=

+--+， 记221()ln 1

x h x x x -=++，则22

2222

14(1)'()+=0(1+)(1+)x x h x x x x x --=>， 从而()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h =，因此当(0,1)x ∈时，()0h x <，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >；当

(0,1)x ∈时，'()0g x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.

由洛必达法则有

221

111

2ln 2ln 2ln 2

lim ()lim(

1)1lim 1lim 0112x x x x x x x x x g x x x x

→→→→+=+=+=+=---， 即当1x →时，()0g x →，即当0x >，且1x ≠时，()0g x >.因为()k g x <恒成立，所以0k ≤.综上所述，当

0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>

+-成立，k 的取值范围为(0]-∞，. 注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k 分离出来.然后对分离出来的函数2

2ln ()11x x

g x x

=

+-求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当=1x 时，函数()g x 值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.

例（2010新）：设函数2

()1x f x e x ax =---.

（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.