分式的运算技巧精选精练
分式运算的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法分式运算的常用技巧与方法举例1. 整体通分法例1．化简：21a a --a-1 分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。
解：21a a --a-1=21a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 练习：计算112+-+a a a 2. 逐项通分法例2．计算1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 解：1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b +----222b a b +-3444b a b- =222b a b --222b a b +-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b+----3444b a b - =3444b a b --3444b a b -=0 练习：计算2111111x x x ++++- 3.先约分，后通分例3．计算：2262a a a a +++22444a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 解：2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2 练习：计算：343622322222+--+--+-+--x x x x x x x x x4. 裂项相消法例4 计算)3)(2(1)2)(1(111--+--+-x x x x x分析 我们看到题目中每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分.解：原式=2131112111---+---+-x x x x x =31-x 练习：计算：.5. 整体代入法例5．已知1x +1y =5求2522x xy y x xy y-+++的值 解法1：∵1x +1y=5 ∴x y ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y+-++=25552⨯-+=57 解法2：由1x +1y =5得，x y xy+=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy +-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57练习：若11x y -=5，求3533x xy y x xy y +---的值． 6.运用公式变形法例6．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+41a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a=5 ∴a 4+41a =(a 2+21a)2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2-2=527 练习：（1）已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x 的值． 7. 设辅助参数法例7．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0，则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1当k=2时，原式= 8练习：（1）已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则=+-y x y x 3__________。
分式的运算技巧_初中数学
分式化简的九种技巧一、分式的换元化简【例1】 化简：22223322332223()2ba b a a ba bb a b a b a aba b ab+++÷---+-二、利用乘法公式或因式分解法化简【例2】 计算：221111[]()()()a b a b a ba b-÷-+-+-【例3】 计算：()()()b aa bb aa bb aa b22222222222211-+-++三、分式的递推通分【例4】 计算：3722448811248x xxa xa xa xa xx a---+-+++-【例5】 化简：代数式32411241111x xx x x x +++-+++.【例6】 计算：2482112482111111nn xxxxxx++++++-+++++ (n 为自然数)【例7】 已知24816124816()11111f x xxxxx=+++++++++，求(2)f .四、分式的裂项【例8】 化简：111 (1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.【例9】 化简：22222111113256712920x xx x x x x x x x +++++++++++++【例10】 设n 为正整数，求证：1111 (13)35(21)(21)2n n +++<⋅⋅-+.【例11】 化简：[]1111()()(2)(2)(3)(1)()x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+【例12】 （5级）若21(2)a x b xy -=--，且0ab >，求111...(1)(1)(2007)(2007)xyx y x y +++++++的值．【例13】 化简：()()()()()()a b b c c a c a c b b a a c b c b a ---++------【例14】 化简：222222b c c a a b a ab ac bcb ab bc acc bc ac aba bb cc a---++-----+--+--+---.【例15】 化简：222()()()()()()a bcb ac c ab a b a c b c b a c a c b ---++++++++.【例16】 化简：222222a b c b c a c a b a ab ac bcb ab bc acc ac bc ab------++--+--+--+.五、分式配对【例17】 已知：1ax by cz ===，求444444111111111111abcxyz+++++++++++的值.【例18】 有理数0a ，1a ，2a ，…，n a 满足1i n l a a -= ，0i =，1，2，…，n ．求代数式101010101211111111na a a a ++++++++ 的值．。
典中点分式专训2 分式运算的八种技巧
典中点分式专训2 分式运算的八种技巧
◐名师点金◑
分式的加减运算中起关键作用的就是通分．但对某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常达到事半功倍、化繁为简的效果．
技巧1： 约分计算法
1．计算：a 2＋6a a 2＋3a －a 2
－9a 2＋6a ＋9
.
技巧2： 顺次相加法
2．计算：1x －1＋1x ＋1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1
.
技巧3： 整体通分法
3．计算：a －2＋4a ＋2
.
技巧4：换元通分法
4．计算：(3m －2n)＋（3m －2n ）33m －2n ＋1－(3m －2n)2＋2n －3m 3m －2n －1
.
技巧5：裂项相消法
5．计算：1a （a ＋1）＋1（a ＋1）（a ＋2）＋1（a ＋2）（a ＋3）＋…＋1（a ＋99）（a ＋100）
.
技巧6： 整体代入法
6．已知1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，求abc ab ＋bc ＋ac
的值．
技巧7：倒数求值法
7．已知x x 2－3x ＋1＝－1，求x 2x 4－9x 2＋1
的值．
技巧8：消元法
8．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且xyz ≠0，求5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2的值．。
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
分式计算及方法
（答案： ）
二. 分裂整数法
例2. 计算：
解：原式=
说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
同类方法练习题：有一些“幸福”牌的卡片（卡片数目不为零），团团的卡片比这些多6，圆圆的卡片比这些多2，且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少卡片？（答案：团团8，圆圆4）
三. 拆项法
例3. 计算：
解：原式
说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式 ，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项法。
同类方法练习题：计算：
（答案： ）
四. 活用乘法公式
例4. 计算：
解：当 时，
原式
说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一. 分段分步法
例1. 计算：
解：原式
说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
同类方法练习题：计算：
（答案： ）
五. 巧选运算顺序
例5. 计算：
解：原式
说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号的。
同类方法练习题：解方程
（答案： ）
九年级数学下册综合算式专项练习题分式运算的技巧与窍门
九年级数学下册综合算式专项练习题分式运算的技巧与窍门在九年级数学下册中，我们经常会遇到分式运算的题目。
分式是数学中的一种特殊形式，它是由分子和分母组成的有理数，并且分母不能为零。
分式运算涉及到加减乘除等运算，需要我们掌握一些技巧与窍门。
本文将为大家介绍几种常见的分式运算技巧，帮助大家更好地解决九年级数学下册中的综合算式专项练习题。
一、约分与通分在进行分式运算时，我们经常需要进行的第一步就是约分与通分。
约分是指将分式的分子与分母同时除以它们的最大公因数，使得分式可以化简为最简形式。
通分是指将分式的分母化为相同的分母，便于进行加减运算。
在约分与通分过程中，我们可以运用以下的技巧来简化计算：1.1 约分技巧：- 找出分子与分母的公因数，将其约掉；- 判断分子与分母是否有相同的倍数，可以通过分解因式或列举数表等方法来确定；- 注意负号的处理，当分子与分母有负号时，需要将负号移到分子或分母。
1.2 通分技巧：- 找出分母的最小公倍数，将分子与分母乘以适当的倍数使得分母相同；- 注意符号的处理，当分子与分母有负号时，需要进行相应的变换。
二、加法与减法运算在九年级数学下册的分式运算中，加法与减法运算是经常出现的题型。
在进行加法与减法运算时，我们需要先通分，然后将分子进行相加或相减，分母保持不变。
下面是一些常见的技巧与窍门：2.1 通分技巧：- 找出分母的最小公倍数，将分子与分母乘以适当的倍数使得分母相同；- 注意符号的处理，当两个分式的分母相同且分子为相反数时，它们可以互为抵消；- 利用整数与分数的相互转化，将整数转化为分数再进行运算。
2.2 加法与减法计算技巧：- 先进行分子的加法或减法运算，分母保持不变；- 化简分子，约分分母。
三、乘法与除法运算乘法与除法运算是分式运算中的另一个重要部分。
在进行乘法与除法运算时，我们需要先化简分式，然后将分子与分母进行相应的运算。
以下是一些常见的技巧与窍门：3.1 乘法技巧：- 分子与分母进行相乘；- 约分分子与分母。
分式运算的若干技巧
分式运算的若干技巧
在数学中，分式的运算经常被用来解决一些复杂的方程，这使得计算机科学、物理学及工程学方面的研究都变得更加得心应手。
尽管分式运算看起来有点复杂，但是通过一些有效的技巧，可以让分式运算变得简单易行。
以下是一些有效的分式运算技巧：
1、约分：约分是分式运算中最基本也是最常用的技巧，约分的目的是将分子和分母同时约简，在计算机科学上分式约分可以减少计算量，同时也有助于保持正确的结果。
2、简单运算：有时候分式运算中也可以使用简单运算，比如加减乘除等操作，比如：2/3 + 3/4 = 10/12。
3、使用分母的公约数：如果要将两个或多个分式相加减，那么，可以先将分母转化为同一个公约数，然后在进行加减操作，比如：2/3 + 3/4 = 8/12。
4、共轭分式：共轭分式是一种特殊的分式，其分子和分母的和等于1。
这种可以使用在分式的乘法、除法中，比如：3/5 * 5/3 = 3/5 * 3/5 = 1/1。
5、指数运算：指数不仅可以用来记录分式，也可以用来解决分式运算中的问题，比如：(2/3)^2 = 4/9。
6、求分式的逆数：对于一般的分式，求其逆数的步骤是：将分子和分母互换，然后用分子的取反数再除以分母，比如：2/3的逆数为：-2/3。
7、分式的混合运算：有时候也可以在分式运算中结合上述种运
算来完成混合运算，比如：(2/3 + 3/4) * 5/6 = 20/36。
以上就是一些常见的分式运算技巧，其实还有更多复杂的技巧，这里只是简单介绍了一些最基本的运算技巧。
当然，想要掌握这些技巧，不光是要理论知识，更重要的是要多加练习，不断的练习才能掌握这些技巧，实现分式运算中的高效率。
分式精典题型
分式精典题型一、分式的计算：1、计算2、计算：3、计算：4、当为何值时，分式有意义？5、为何值时，分式有意义？6、计算.7、当为何值时，分式的值为零.8、巧用裂项法:实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，化繁为简，最终达到求和的目的.如公式：111)1(1+-=+n n n n 计算：9、分组通分法: 找出分母的最小公倍数，然后分母扩大了多少倍，分子也扩大多少倍。
计算：10、巧用拆项法:把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项计算：11、参数法：已知，求的值．12、整体代入法：已知，求的值.13、倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法．已知：，求的值．14、主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值．已知：，求的值．15、求x m n x mnx m n x mnx mx n222222---+--⋅--()()的值，其中x m n===-2312。
16、 已知43602700x y z x y z xyz --=+-=≠，，，求x y zx y z+--+2的值。
二、解分式方程： 1．解方程=2、解方程：32121---=-xxx （也可用换元法）3、解方程3323-+=-x x x4、解方程87178=----xx x5、解方程125552=-+-x x x 6、解方程：22321011x x x x x --+=--7、解分式方程x x +27—23x x -=1+1722--x x （提示：对几个分母进行分解后，再找最简公分母,）8、4441=+++x x x x ；（提示：换元法，设y x x =+1）9、569108967+++++=+++++x x x x x x x x （提示：裂项法，61167++=++x x x .）10、若111312-++=--x N x M x x，试求N M ,的值.三、分式方程的增根与无解分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．注意：分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还能使其最简公分母的值为零，解分式方程一定要验根。
分式运算中的技巧与方法
分式运算中的技巧与方法通分一、整体通分法 将后两项看作一个整体,则可以整体通分，简捷求解例1．化简：21a a -—a —1=21a a --(a+1)= 21a a -—(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a -二、逐项通分法1a b --1a b +—222b a b +—3444b a b -=22()()a b a b a b +---—222b a b +-3444b a b -=222ba b -—222ba b +-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b +---—3444b a b -=3444b a b -—3444b a b -=04214121111a a a a ++++++- = =8-18a分组计算技巧21-a +12+a —12-a -21+a =(21-a —21+a )+(12+a —12-a ）=442-a +142--a =)1)(4(1222--a a=++-++-++++34x x 123x x 112x x 112222x x =三、先约分,后通分 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值2262a a a a +++22444a a a -++ =(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2 2312+++x x x +4222--x x x =)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x1132322-++---a aa a a a a ==122-a a2222222222222)()()()()()(b a c c b a a c b b a c c b a a c b -+--+-+--+-+-- = =1四、化简：分子≥分母次数，先化简233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x —3412+-x x =231)23(22+-++-x x x x —651)65(22+-++-x x x x -3412+-x x=1+2312+-x x —1-6512+-x x -3412+-x x=)2)(1(1--x x -)3)(2(1--x x -)3)(1(1--x x =)3)(2)(1(----x x x x裂项相消技巧 利用111)1(1+-=+n n n n )(1m n n +=m 1（n 1—m 1）)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x =（x 1-11+x ）+22(11+x —31+x ）+33(31+x —61+x =)6(6+x x30111209112716512222+++++++++++x x x x x x x x ==12842++x x=+++++++--)3)(2(1)2)(1(1)1(1)1(1x x x x x x x x。
分式计算及方法范文
分式计算及方法范文分式是数学中的一种表示方式，它由分子和分母组成，分母不能为0。
计算分式的方法有以下几种：1.直接计算：将分子和分母进行相应的运算。
例如，计算1/4+1/6，可以先找到两个分数的最小公倍数（12），然后将分子相加得到7，分母保持不变得到12，最终结果为7/122.通分计算：当两个分数的分母不相同时，需要先将分数通分，然后进行相应的运算。
例如，计算1/4+2/3，可以将1/4改写为3/12，然后将两个分数的分子相加得到5，分母保持不变得到12，最终结果为5/123.分数化简：对于一个分数，可以将分子和分母的公因数约去，从而得到一个较简单的分数。
例如，分数3/6可以化简为1/2，分数8/12可以化简为2/34.变化的分式：有时候需要将分式变化为一个更简单的形式进行计算。
例如，计算1/(1+1/2)，可以先将括号内的分数进行计算得到3/2，然后将1除以3/2得到2/35.分式的乘除运算：分式的乘法可以直接将分子和分母相乘得到结果，例如，计算1/2*3/4，结果为3/8、分式的除法可以将除法转化为乘法的逆运算，即用除数的倒数乘以被除数，例如，计算1/2÷3/4，可以转化为1/2*4/3，结果为2/36.分式的加减运算：分式的加减运算需要找到两个分式的最小公倍数，并将分子按照最小公倍数进行相应的运算，分母保持不变。
例如，计算1/4+2/3，可以先找到两个分数的最小公倍数（12），然后将分子进行相应的运算得到11，分母保持不变得到12，最终结果为11/127.分式的比较大小：对于两个分式，可以先将两个分式的分母相同，然后比较分子的大小。
例如，比较1/4和3/8的大小，可以将两个分数的分母改为相同的分数，得到2/8和3/8，然后比较分子的大小，最终结果为3/8大于1/4以上是计算分式的一些基本方法，需要根据具体情况选择合适的方法进行计算。
对于更复杂的分式计算，可能需要使用更高级的数学方法进行推导和计算。
分式运算有技巧
分式运算有技巧山东省郓城县随官屯中学 周长诗一、【顺次相加法】 【例1】运算：1412111142+++-+--x x x x 【分析】本题中有四个分式相加减，假如采纳直截了当通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.只是我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是专门简单的.因此我们能够采纳逐项相加的方法.【解】1412111142+++-+--x x x x =141212422+++--x x x =141444++-x x =1884-x x【例2】运算：14121111432++++++-x x x x x x 【分析】本题的解法与例1完全一样.【解】14121111432++++++-x x x x x x =1412124322++++-x x x x x x =14144343++-x x x x =1887-x x二、【整体通分法】【例3】运算：112---a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a-1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.【解】112---a a a =)1(12+--a a a =111)1(1)1)(1(1222-=---=--+--a a a a a a a a a . 【例4】运算：1132+--+x x x x 【解】1132+--+x x x x =111111)1)(1(11333232--=---=---++-=--++x x x x x x x x x x x x x x 三、【分组运算法】 【例5】运算：34123112112222++-++-++++x x x x x x x x 【分析】本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能显现分子为常数、相同或倍数关系，如此才能使运算简便. 【解】34123112112222++-++-++++x x x x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+34112123112222x x x x x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+)3)(1(1)1(1)2)(1(1)1(12x x x x x x x =)3()1()1(3)2)(1(22++--++++-+x x x x x x x x x=)3()1(2)2)(1(22+++++x x x x x =)3)(2()1()362(222+++++x x x x x x 四、【巧用拆项法】 【例6】运算：)10)(9(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++++++++++a a a a a a a a .【分析】本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母差不多上两个连续整数的积（若a 是整数），联想到111)1(1+-=+a a a a ，如此可抵消一些项.【解】原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1019131212111111a a a a a a a a=1011+-a a =)10(10+-+a a a a =)10(10+a a四、【分式化简法】【例5】运算：652523632222++++-++++x x x x x x x x【分析】本题若采纳直截了当通分的话，运算量较大，因此我们可采纳把分式先化简的方法.在那个地点有2341234)23(236322222+++=+++++=++++x x x x x x x x x x ，652522++++x x x x = 6541654)65(222++-=++-++x x x x x x .【解】原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛++--⎪⎭⎫ ⎝⎛+++6541234122x x x x=65423422+++++x x x x =)3)(2)(1()1(4)3(4++++++x x x x x=)3)(2)(1()2(8++++x x x x=)3)(1(8++x x。
分式运算的技巧(精心整理,非常好用!)
分式运算的几点技巧（精心整理，非常好用！）一、分式运算的几点技巧1、分段分步通分若一次通分，计算量太大，观察各分母之间的关系，采用分段通分。
2、利用除法运算当算式的分子次数与分母次数相同或高于分母次数时，一般要先利用除法或约分对分子降次后再通分。
3、拆项后再通分分式的分子相同，分母是相邻两个连续整数的积，分式加减的项又是无法通分计算的，这类题可用列项的方法计算。
4、约分后再通分若算式中的分式不是最简分式，可先约分，再用适当方法通分，可能较简便。
5、恰当地选择运算顺序6、约分后再通分二、巧解分式求值问题1、活用公式变形2、整体代入法3、设参法4、巧代换典例1、分段分步通分例1、计算：4214111111a a a a ++++++-2、利用除法运算例2、计算：34452312-----+++-++x x x x x x x x3、拆项后再通分例3、计算：127165123112222++++++++++x x x x x x x x4、灵活运用乘法公式例4、计算：)1)(1)(1)(1)(1)(1)(1(21616884422±≠-+++++x x xx x x x x x x x x5、恰当地选择运算顺序 例5、计算：222222)1()1(b a a b a b b a b ---+++-6、约分后再通分例6、计算：343622322222+--+--+-+--x x x x x x x x x二、巧解分式求值问题1、活用公式变形例7、 已知0152=+-x x ，求221x x +2、整体代入法例8、已知分式831332=++x x ，求36212-+x x 的值。
3、设参法例9、已知c b a b a c a c b +=+=+，求))()((a c c b b a abc +++4、巧代换例10、设1=abc ，求111++++++++c ac c b bc b a ab a。
分式运算的常用技巧与方法
分式运算的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式，掌握一些常用的技巧和方法可以帮助我们更快、更准确地进行计算。
以下是一些分式运算的常用技巧和方法：一、化简与约分：化简和约分是分式运算的基本操作，可以简化分式，使其更容易处理。
化简分式的方法有：1.因式分解：将分子和分母同除以其最大公因数，化简为最简形式的分式。
2.合并同类项：对于分子或分母中含有多项的情况，将同类项相加或相减，化简为简单的形式。
3.分解为部分分式：一些分式可以通过分解为部分分式的形式进行化简，如等式两端分别乘以一个分子时。
二、通分：当两个分式的分母不同时，我们需要将分母化为相同的公分母，这个过程称为通分。
通分的方法有：1.找到两个分母的最小公倍数，在分子和分母同时乘上适当的倍数，使得两个分母相等。
2.当两个分式的分母为一次因式的幂指时，可以将较高次幂的分母分解为较低次幂的分母，再进行通分。
三、分式的加减运算：分式的加减运算可以通过通分和合并同类项来进行。
具体的步骤如下：1.找到两个分式的最小公倍数作为通分的分母。
2.将两个分式的分子乘以一个适当的倍数，使得它们的分母相同。
乘上的倍数可以通过最小公倍数与原分母的比值得到。
3.合并同类项，将分子进行相加或相减。
四、分式的乘除运算：分式的乘除运算可以通过相乘或相除的方式进行。
具体的步骤如下：1.乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到新的分子和分母后化简。
2.除法：将一个分式的分子乘以另一个分式的分母，分母乘以另一个分式的分子，得到新的分子和分母后化简。
五、分式的倒数和幂运算：分式的倒数就是将分子和分母互换的操作。
分式的幂运算可以通过将分子和分母同时进行幂运算来进行。
六、一些特殊的分式运算：除了以上常见的分式运算方法，还有一些特殊的分式运算，如：1.分式的比较大小：将两个分式的分子和分母相乘后进行比较。
2.分式的求值：将分式中的变量替换为具体的数值进行计算。
分式计算及方法
分式计算及方法
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一. 分段分步法
例1. 计算：
解：原式
说明：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
同类方法练习题：计算
（答案：）
二. 分裂整数法
例2. 计算：
解：原式=
说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式，
各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。
在解某些分式方程中，也可使用拆项法。
同类方法练习题：计算：
（答案：）
四. 活用乘法公式
例4. 计算：
解：当时，
原式
说明：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。
同类方法练习题：计算：
（答案：）
五. 巧选运算顺序
例5. 计算：
解：原式
说明：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。
同类方法练习题：解方程
（答案：）
六. 见繁化简
例6. 计算：
解：原式
说明：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。
同类方法练习题：解方程
（答案：）
在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。
方能起到事半功倍的效率。
分式的运算
分式的运算分式是数学中一种常见的表示形式，它由分子和分母组成，中间用分数线表示。
分式可以进行加、减、乘、除等运算，下面我将分别介绍这几种运算的方法和规则。
一、分式的加法和减法运算分式的加法和减法运算可以通过求出分母的最小公倍数来进行。
下面通过几个例子来具体说明。
例1：计算分式2/3 + 1/4。
首先找出2/3和1/4的最小公倍数，即12。
然后通过保持分子不变，将两个分式的分母都改为最小公倍数12。
计算得到(2×4)/(3×4) + (1×3)/(4×3) = 8/12 + 3/12 = 11/12。
例2：计算分式5/8 - 3/5。
同样地，求出5/8和3/5的最小公倍数，即40。
然后将两个分式的分母都改为最小公倍数40。
计算得到(5×5)/(8×5) - (3×8)/(5×8)= 25/40 - 24/40 = 1/40。
二、分式的乘法运算分式的乘法运算很简单，只需要将两个分式的分子和分母相乘即可。
下面通过一个例子来说明。
例3：计算分式3/5 × 4/7。
将分子相乘得到3×4=12，将分母相乘得到5×7=35，所以3/5 × 4/7 = 12/35。
三、分式的除法运算分式的除法运算可以通过求出两个分式的倒数，然后进行乘法运算来实现。
下面通过一个例子来说明。
例4：计算分式3/4 ÷ 2/3。
求出2/3的倒数，即3/2。
然后将3/4乘以3/2，得到(3×3)/(4×2) = 9/8。
四、分式的简化和化简有些分式可以进行简化，也就是将分子和分母的公因子约掉，使得分式的值保持不变。
下面通过一个例子来说明。
例5：将分式12/36化简为最简分式。
首先求出12和36的最大公因数，即12。
然后将分子和分母都除以12，得到1/3。
所以12/36化简为1/3。
有些分式也可以通过将分子和分母分别因式分解，然后约掉相同的因子，得到最简分式。
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法分式运算是数学中常见的运算形式之一，它涉及到有理数的运算和表示。
在分式运算中，有一些常用的技巧和方法可以帮助我们更好地进行运算。
以下是一些常见的分式运算技巧和方法。
1.分式化简：分式化简是分式运算的基础技巧。
化简分式可以使运算更加简便。
化简分式的方法包括因式分解、约分等。
例如，对于分式$\frac{12}{18}$，可以化简为$\frac{2}{3}$，使得运算更加简单。
2.公约数与公倍数：在分式运算中，找到分子和分母的公约数或公倍数可以帮助我们进行约分和通分。
例如，对于分式$\frac{6}{15}$，我们可以同时约分分子和分母的公约数2，得到$\frac{3}{5}$。
又如，对于分式$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{6}$，我们可以找到它们的最小公倍数12，通分得到$\frac{3}{12}$和$\frac{2}{12}$。
3.分数的乘法和除法：在分式的乘法中，我们可以直接将分子相乘，分母相乘。
例如，对于分式$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{5}$的乘法运算，可以直接得到$\frac{8}{15}$。
在分式的除法中，我们可以将除法转换为乘法，即将除数的倒数乘以被除数，例如，$\frac{2}{3}$除以$\frac{4}{5}$等价于$\frac{2}{3}*\frac{5}{4}=\frac{10}{12}$，然后再化简得到$\frac{5}{6}$。
4.分数的加法和减法：在分式的加法和减法中，我们需要找到它们的公共分母，然后将分子相加或相减。
例如，对于分式$\frac{1}{4}$和$\frac{2}{3}$的加法运算，我们需要将它们通分为$\frac{3}{12}$和$\frac{8}{12}$，然后再相加得到$\frac{11}{12}$。
对于减法运算，也是类似的步骤，例如，$\frac{2}{3}$减去$\frac{1}{4}$等价于$\frac{8}{12}$减去$\frac{3}{12}$，得到$\frac{5}{12}$。
分式运算的几种技巧
化简
错解：原式
正解：原式
计算
错解：原式
正解：原式
当为何值时，分式有意义？
原式.
由得.
∴时，分式有意义
上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而由得且.
∴当且，分式有意义
2 为何值时，分式有意义？
当，得.
∴当，原分式有意义
上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误] ，得，
由，得.
∴当且时，原分式有意义
计算.
原式
=.
原式
.
当为何值时，分式的值为零
由，得.
∴当或时，原分式的值为零
当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母
由，得.
由，得且.
∴当时，原分式的值为零
7 为何值时，分式有意义
错解：要使分式有意义，须满足，即.
由得，或由得.
当或时原分式有意义
分析：上述解法由得或是错误的因为与中的一个式子成立并不能保证一定成立，只有与同时成立，才能保证
一定成立
故本题的正确答案是且.
解关于的方程.
错解：方程两边同时乘以，得，即.
当时，，
当时，原方程无解
分析：当时，原方程变为取任何值都不能满足这个方程，错解只注意了对的讨论，而忽视了的特殊情况的讨论
正解：方程两边同时乘以，得，即
当且时，，当或时，原方程无解。
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一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a c ad bc b d =⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩
交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c
=⇒= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kd b d b d
±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b
+++=+++（...0b d n +++≠）
二、基本运算
分式的乘法：a c a c b d b d
⋅⋅=⋅ 分式的除法：a c a d a d b d b c b c
⋅÷=⨯=⋅ 乘方：()n n n n
n a a a a a a a a b b b
b b b b b ⋅=⋅=⋅个
个n 个＝(n 为正整数)
整数指数幂运算性质：
⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数)
⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数)
⑶()n n n ab a b =(n 为整数)
⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)
负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a -=
(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c
+±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd ±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 分式的运算技巧
结果以最简形式存在.
一、分式的换元化简
【例1】 化简：222233223322
23()2b a b a a b a b b a b a b a a b a b a b +++÷---+-
二、利用乘法公式或因式分解法化简
【例2】 计算：221111[
]()()()a b a b a b a b
-÷-+-+-
【例3】 计算：
三、分式的递推通分
【例4】 计算：37
224488
11248x x x a x a x a x a x x a ---+-+++-
【例5】 化简：代数式3
2411241111
x x x x x x +++-+++.
【例6】 计算：2482112482111111n n x x x x x x ++++++-+++++(n 为自然数)
【例7】 已知24816
124816()11111f x x x x x x =+++++++++，求(2)f .
四、分式的裂项
【例8】 化简：
111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.
【例9】 化简：
22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++
【例10】 设n 为正整数，求证：
1111...1335(21)(21)2
n n +++<⋅⋅-+.
【例11】 化简：[]1111()()(2)(2)(3)(1)()
x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+
【例12】 （5级）若21(2)a x b xy -=--，且0ab >，求
111...(1)(1)(2007)(2007)xy x y x y +++++++的值．
【例13】 化简：()()()()()()a b b c c a c a c b b a a c b c b a ---++------
【例14】 化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a ---++-----+--+--+---.
【例15】 化简：222()()()()()()
a bc
b a
c c ab a b a c b c b a c a c b ---++++++++.
【例16】 化简：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab
------++--+--+--+.
五、分式配对
【例17】 已知：1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z +++++++++++的值.
【例18】 有理数0a ，1a ，2a ，…，n a 满足1i n l a a -=，0i =，1，2，…，n ．
求代数式
101010
10
01211111111n
a a a a ++++++++的值．。