分式的运算技巧精选精练

一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a c ad bc b d =⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩

交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c

=⇒= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kd b d b d

±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b

+++=+++（...0b d n +++≠）

二、基本运算

分式的乘法：a c a c b d b d

⋅⋅=⋅ 分式的除法：a c a d a d b d b c b c

⋅÷=⨯=⋅ 乘方：()n n n n

n a a a a a a a a b b b

b b b b b ⋅=⋅=⋅个

个n 个＝(n 为正整数)

整数指数幂运算性质：

⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数)

⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数)

⑶()n n n ab a b =(n 为整数)

⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)

负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a -=

(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c

+±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，

a c ad bc ad bc

b d bd bd bd ±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 分式的运算技巧

结果以最简形式存在.

一、分式的换元化简

【例1】 化简：222233223322

23()2b a b a a b a b b a b a b a a b a b a b +++÷---+-

二、利用乘法公式或因式分解法化简

【例2】 计算：221111[

]()()()a b a b a b a b

-÷-+-+-

【例3】 计算：

三、分式的递推通分

【例4】 计算：37

224488

11248x x x a x a x a x a x x a ---+-+++-

【例5】 化简：代数式3

2411241111

x x x x x x +++-+++.

【例6】 计算：2482112482111111n n x x x x x x ++++++-+++++(n 为自然数)

【例7】 已知24816

124816()11111f x x x x x x =+++++++++，求(2)f .

四、分式的裂项

【例8】 化简：

111.....(1)(1)(2)(99)(100)x x x x x x ++++++++.

【例9】 化简：

22222111113256712920x x x x x x x x x x +++++++++++++

【例10】 设n 为正整数，求证：

1111...1335(21)(21)2

n n +++<⋅⋅-+.

【例11】 化简：[]1111()()(2)(2)(3)(1)()

x x m x m x m x m x m x n m x nm ++++++++++-+

【例12】 （5级）若21(2)a x b xy -=--，且0ab >，求

111...(1)(1)(2007)(2007)xy x y x y +++++++的值．

【例13】 化简：()()()()()()a b b c c a c a c b b a a c b c b a ---++------

【例14】 化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a ---++-----+--+--+---.

【例15】 化简：222()()()()()()

a bc

b a

c c ab a b a c b c b a c a c b ---++++++++.

【例16】 化简：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab

------++--+--+--+.

五、分式配对

【例17】 已知：1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z +++++++++++的值.

【例18】 有理数0a ，1a ，2a ，…，n a 满足1i n l a a -=，0i =，1，2，…，n ．

求代数式

101010

10

01211111111n

a a a a ++++++++的值．