三角恒等变换中的综合问题

三角恒等变换中的综合问题

新课标的理念就是将学生由单纯的知识接受者转变为学习的主人,注重的是学生能力的培养,高考命题突出以能立意,加强了对知识综合性和应用性的考查,故常常在知识的交汇处命题,对于三角恒等变换中涉及的题型较多,学习时应理清基本题型,特别是具有典型性的题型,掌握这些基本题型解题的通性和通法,关于三角恒等变换的综合问题归纳起来主要有以下几类:

1 三角函数式的化简

解决这类问题常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一),二是三角名称的变化,尽量减少函数的名称。常用方法有:异名函数化为同名函数,异角化为同角,异次化为同次,切弦互化,特殊角的三角函数与特殊值的互化,或通过函数互化创造条件。

例1、化简其中,α∈(π,2π),分析:题中的角有α和,故必须实行角的统一

解原式=

=

==

∵α∈(π,2π) ∴<<π, ∴cos<0∴原式=cosα

点评:这类问题着重抓住角的统一或函数名称的统一,通过观察角、函数名,项的次数等,找到突破口,利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简。

练习:已知函数f(x)=

①求f(x)的定义域(答案:f(x)的定义域为x|x≠kπ+,k∈Z;②设α是第四象限的角,且tanα=-,求f(α)的值(答案:)

2 三角函数的求值

求值题常见的类型及解法。

2.1 给角求值:解题时,要认真观察,结合和差化积,积化和差,升降幂公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而求解,主要有下面一些方法:①特殊值代换法:如=sin30°,=cos30°,=sin45°=cos45°;②拼角,拆角法:通过拼(拆)角来寻找特殊角和非特殊角的联系。③常见变化换法,在求值过程中,常见的变换方法有常值代换,切割化弦,收缩变换,降幂与升幂,和差化积,积化和差,以及化异角为同角,化异名为同名,化异次为同次。

2.2 给值求值:给出某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系。

2.3 给值求角:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

例2:设4cosAcosB=,4sinAsinB=,求(1-cos4A)(1-cos4B)的值?

分析:以已知条件和被求式的角度差异来看,一方面应将条件中的角度变换为2A、2B,另一方面应将被求式中的角度4A、4B变为2A、2B.

解:∵4cosAcosB=,4sinAsinB=

∴16cosAcosB·sinAsinB=2

∴2sin2A·sin2B= ∴(1-cos4A)(1-cos4B)=22·sin22A·sin22B=(2sin2Asin2B)2=()2=3

点评:本例是“给值求值”型,根据问题的具体特点,从变换已知条件和被求式的角度入手,进行双向变换,实现角的统一,然后利用代入法将已知条件代入被求式,从而达到求值目的。

练习:已知α∈(,π),β∈(0,),且cos(-α)=,sin(π+β)=-,求cos(α+β).

3 三角恒等式的证明

解决此类问题,要根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一等方法,使等式两端化异为同;证明三角条件等式,要观察所给条件和欲证结论在形式上、结构上的异同点,找到其内在联系,将条件与结论有机结合起来。

例3:证明:+=

证明:左边=+

=+

=+

=+===右边

∴+=

点评:证明三角恒等式要注意两点:①强化“目标意识”证明过程中,应盯住目

标,逐步向它靠拢。②强化“化异为同”意识,注重:化异角为同角,化异名为同名,化异次为同次。

练习:已知α,β均为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求证:α+2β=

4 三角恒等变换与三角函数的综合问题

解此类问题要会利用三角公式和基本的三角恒等变换的思想方法,可以化简三角函数的解析式,进而才能顺利地探求三角函数的有关性质,反过来,利用三角函数的性质,可确定解析式,进而可求出有关三角函数值,因而三角恒等变换与三角函数的综合问题是考试命题的热点。

例:已知函数f(x)=2sincos-2sin2+

①求函数f(x)的最小正周期及最值;②令g(x)=f(x+),判断函数g(x)的奇偶性,并说明理由。

解:①f(x)=sin+(1-2sin2)=sin+cos=2sin(+)∴f(x)的最小正周期T==4π,当sin(+)=-1时,f(x)取得最小值-2;当sin(+)=1时,f(x)取得最大值2

②由①知f(x)=2sin(+)又g(x)=f(x+)

∴g(x)=2sin[(x+)+]= 2sin(+)=2cos

∵g(-x)=2cos(-)=2cos=g(x)

∴函数g(x)是偶函数。

点评:解决三角恒等等变换与三角函数的综合问题关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想\方法,对其解析式变形、化简,尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数,再解决与图象和性质有关的问题。

练习:已知函数f(x)=cos2-sin2+sinx,①求函数f(x)的最小正周期;②当x0∈(0,)且f(x0)=时,求f(x0+)

5 三角恒等变换与平面向量的交汇

平面向量与三角恒等变换的综合问题已成为考试的一个热点和亮点。这类问题中,平面向量往往只起到“穿针引线”和“点缀”的作用,实则考查三角恒等变形的基本思想和方法。

例5:已知0<α<,β为f(x)=cos(2x+)的最小正周期=(tan(α+β),-1)

=(cosα,2)且.=m,求的值。