线性代数实践9章(线性变换及其特征)
线性变换初步线性变换的定义表示与性质
线性变换初步线性变换的定义表示与性质线性变换初步线性变换是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍线性变换的定义、表示以及一些性质。
1. 定义线性变换是指保持向量加法和数乘运算的变换。
具体来说，对于两个向量u和v以及一个数k，如果对于线性变换T有以下两个性质成立：a) T(u + v) = T(u) + T(v)b) T(ku) = kT(u)则称T为一个线性变换。
线性变换可以将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。
2. 表示线性变换可以用矩阵表示。
设V和W分别是两个向量空间，假设它们的维度分别为n和m。
如果存在一个n×m的矩阵A，使得对于任意的向量u∈V，都有T(u) = Av，则称矩阵A表示线性变换T。
例如，对于一个二维平面上的旋转变换，可以通过一个2×2的矩阵来表示。
对于一个三维向量的缩放变换，可以通过一个3×3的矩阵来表示。
3. 性质线性变换具有一些重要的性质：a) 线性变换保持向量加法。
即，对于线性变换T和任意的向量u、v，有T(u + v) = T(u) + T(v)。
b) 线性变换保持数乘运算。
即，对于线性变换T和任意的向量u以及数k，有T(ku) = kT(u)。
c) 线性变换保持零向量。
即，对于线性变换T，有T(0) = 0。
d) 线性变换保持线性组合。
即，对于线性变换T和任意的向量组u₁, u₂, ..., uₙ以及对应的系数k₁, k₂, ..., kₙ，有T(k₁u₁ + k₂u₂ + ... + kₙuₙ) = k₁T(u₁) + k₂T(u₂) + ... + kₙT(uₙ)。
e) 线性变换的复合仍然是线性变换。
即，如果T₁表示线性变换S₁，T₂表示线性变换S₂，则T₁∘T₂表示线性变换S₁∘S₂。
这些性质使得线性变换在代数运算和几何变换中具有重要的应用。
总结线性变换是保持向量加法和数乘运算的变换。
线性代数中线性变换与特征值
线性代数中线性变换与特征值线性代数是数学的一个重要分支，涉及了许多与线性空间和线性变换有关的概念与理论。
在线性代数中，线性变换和特征值是两个核心概念，对于深入理解矩阵和向量空间的性质与行为具有重要意义。
一、线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，同时满足两个条件：保持向量加法和数乘运算的线性性。
也就是说，对于线性变换T和向量v，满足以下关系式：T(u + v) = T(u) + T(v)T(kv) = kT(v)其中u和v分别是向量空间V中的两个向量，k是一个实数。
线性变换有着许多重要的性质和应用。
它们可以用来描述许多实际问题，如投影变换、旋转变换和尺度变换等。
线性变换也可以用矩阵表示，这样就可以利用矩阵运算的性质来简化计算。
二、特征值与特征向量在线性代数中，特征值和特征向量是描述线性变换行为的重要工具。
对于线性变换T和向量v，如果存在一个非零向量v使得下式成立：T(v) = λv其中，λ是一个常数，被称为特征值；v是一个非零向量，被称为特征向量。
特征值和特征向量具有许多重要的性质。
它们可以帮助我们理解线性变换的基本行为和性质。
特征值决定了线性变换对于特定方向的伸缩程度，而特征向量则表示了在这些方向上的移动。
特征值和特征向量也与矩阵紧密相关。
矩阵A的特征值和特征向量可以通过求解方程组(A - λI)v = 0来得到，其中I是单位矩阵。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到矩阵的一些重要的性质，如对角化和相似矩阵。
三、线性变换与特征值的应用线性变换和特征值在实际应用中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 图像处理：线性变换可以用于图像的旋转、缩放和平移等操作。
特征值和特征向量可以帮助我们找到图像中的对称轴和重要特征。
2. 机器学习：线性变换和特征值可以用于降维和特征提取。
通过找到数据集的主成分，我们可以减少特征的维度，从而达到简化模型和提高计算效率的目的。
3. 数值计算：线性变换和特征值在数值计算中有着广泛的应用。
线性代数之线性变换说明
最近想明白特点值、特点值到底有什么物理意义，搜到了这篇文章，共享一下。
来源：孙哲的日记[1. 特点的数学意义]咱们先考察一种线性转变，例如x,y坐标系的椭圆方程能够写为x^2/a^2+y^2/b^2=1，那么坐标系关于原点做旋转以后，椭圆方程就要发生变换。
咱们能够把原坐标系的(x,y)乘以一个矩阵，取得一个新的(x',y')的表示形式，写为算子的形式确实是(x,y)*M=(x',y')。
那个地址的矩阵M代表一种线性变换：拉伸，平移，旋转。
那么，有无什么样的线性变换b(b是一个向量)，使得变换后的结果，看起来和让(x,y)*b像是一个数b乘以了一个数字m*b? 换句话说，有无如此的矢量b，使得矩阵A*b如此的线性变换相当于A在矢量b上面的投影m*b? 若是有，那么b确实是A的一个特点向量，m确实是对应的一个特点值。
一个矩阵的特点向量能够有很多个。
特点值能够用特点方程求出，特点向量能够有特点值对应的方程组通解求出，反过来也一样。
例如，设A为3阶实对称矩阵，a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，a≠2,那么常数a=? 因为a1=(a,-a,1)T是Ax=0的解,说明a1=(a,-a,1)T是A的属于0的特点向量，a2=(a,1,-a)T是(A+E)x=0的解，说明a2=(a,1,-a)T是A的属于-1的特点向量。
实对称矩阵属于不同特点值的特点向量式正交的，因此a^2-a-a=0,a≠2,因此a=0。
仍是太抽象了，具体的说，求特点向量的关系，确实是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得A的向量集合能够表示为每一个向量a在各个特点向量上面的投影长度。
例如A是m*n的矩阵,n>m，那么特点向量确实是m个(因为秩最大是m)，n个行向量在每一个特点向量E上面有投影，其特点值v确实是权重。
那么每一个行向量此刻就能够够写为Vn=(E1*v1n,E2*v2n...Em*vmn)，矩阵变成了方阵。
线性变换的特征值与特征向量.2021优秀PPT文档
0 F 。那么我们有 f ( ) 0 AX 0 X
由此可得
（1.8.1）
定理：0是 f 的特征值 0是 A的特征值。 是 f 的属于0 的特征向量 X 是 A的 属于 0 的特征向量。
设 a1,a2, an是 n 维线性空间V 的一组基向量， 线性变换 A在这组
基下的矩阵表示是 A.若设0是 A的一个特征值， 它的一个特征向量 在基 a1,a2, an下的坐标是
( x1, x2 , xn )T ，即
=（a1,a2 ,
x1
an
）
x2
（1.8.2）
x4
把（1.8.2）代入式（1.8.1）得
A(a1 , a2 ,
x1
an
)
x2
=
0
(a1
,
a2
,
x4
x1
an
)
x2
x4
此即 (a1 , a2 ,
x1
an
)A
记及重数）。矩阵 A的所有特征值的全体称为
A的谱，并用 A表示。
定理 相似矩阵有相同的特征多项式。
推论 1 相似矩阵有相同的谱。
推论 2 设 是矩阵 A的特征值 所对应的特征 向量，则 P 1 是矩阵 B P 1 AP 的特征值 所
对应的特征向量。
线性变换的特征值和特征向量
定义 设 f 是数域 F 上的线性空间V 的一个线
对于特征值-6，解齐次线性方程组
(6I A)X 0
得到一个基础解系：
1 2 2T
从而 f 的属于-6 的极大线性无关特征向量组是
3 1 22 23
于是 f 的属于-6 的全部特征向量
k3 , k K
这里k 为数域 K 中任意非零数。
线性变换的特征值和特征向量ppt课件
相似的矩阵有相同的特征多项式, 因此有相同的特征值
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9
.
例题 3.5
解: (1) 特征多项式; (2) 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间．
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1
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例子: 线性变换的矩阵
12.08.2020向量
1) 特征向量与经过线性变换后的向量共线.
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3
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例子
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4
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例子
思考: 对于n维欧氏空间中的镜像变换求出其特征值和特征向量.
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5
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特征子空间, 矩阵的特征值与特征向量
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例题
因此, 矩阵R在实数域上没有特征值. 如果把R看成复数域上的矩阵, 则有两个特征值, 但没有几何意义.
特征值与特征向量与矩阵所在的数域有关系
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特征值与行列式, 迹
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§3 线性变换的特征值与特征向量
在有限维的线性空间中，取定一组基后，线性变换的矩阵就 确定下来。线性变换在不同基下的矩阵是相似的。这一节 初步讨论如何选择基，使得线性变换的矩阵的形式尽量简单。
线性变换的特征值与特征向量 若干例子 矩阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的求法
➢ 特征多项式, 齐次线性方程组 特征值的一些重要性质
如果存在非零列向量X使得
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线性代数线性变换分析
线性代数线性变换分析线性代数线性变换分析线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间、线性映射、线性方程组等概念和性质。
其中，线性变换是线性代数中的一个重要概念，也是线性代数的核心内容之一。
本文将对线性变换进行深入分析。
一、线性变换的定义线性变换是指将一个向量空间的元素映射到另一个向量空间的元素，同时满足两个条件：保持加法运算和标量乘法运算的线性性。
换句话说，对于任意向量a和b，以及任意标量c，线性变换T满足以下等式：1. T(a+b) = T(a) + T(b)2. T(c * a) = c * T(a)二、线性变换的矩阵表示线性变换可以使用矩阵来表示，具体方法如下：设有一个线性变换T，原向量空间为V，目标向量空间为W。
若V中的一个向量a经过线性变换T后得到目标向量空间W中的向量b，可以表示为T(a) = b。
若选定了V和W的一组基，可以得到V和W的坐标系，进而可以得到向量a和b在各自坐标系中的坐标。
设V的基为{v_1, v_2, ..., v_n}，W的基为{w_1, w_2, ..., w_m}，则线性变换T可以表示为一个m x n的矩阵A，使得：[T(a)]_W = A * [a]_V其中，[a]_V表示向量a在坐标系V中的坐标，[a]_W表示向量b在坐标系W中的坐标。
三、线性变换的性质线性变换具有以下几个重要的性质：1. 线性变换保持直线的性质：线性变换对原空间中的直线进行映射后，得到的是目标空间中的直线。
这是因为直线上的任意两点经过线性变换后仍然是目标空间中的两点，同时线性变换保持加法运算，所以线性变换对直线的保持是自然的。
2. 线性变换对原点的保持：线性变换将原点映射到目标空间的原点。
这是因为线性变换对加法运算的保持，所以线性变换将原点映射到目标空间中的零点是必然的。
3. 线性变换对向量的放缩：线性变换对向量的放缩具有可加性，即T(c * a) = c * T(a)。
这是因为线性变换对标量乘法运算的保持，所以线性变换对向量的放缩也是保持的。
线性变换的相关知识点总结
线性变换的相关知识点总结一、线性变换的定义线性变换是指一个向量空间V到另一个向量空间W的一个函数T，满足以下两条性质：1.加法性质：对于向量空间V中的任意两个向量x和y，有T(x+y)=T(x)+T(y)。
2.数乘性质：对于向量空间V中的任意向量x和标量a，有T(ax)=aT(x)。
根据以上的定义，我们可以得出线性变换的几个重要性质：1. 线性变换保持向量空间中的原点不变；2. 线性变换保持向量空间中的直线和平面不变；3. 线性变换将线性相关的向量映射为线性相关的向量；4. 线性变换将线性无关的向量映射为线性无关的向量。
二、线性变换的矩阵表示在研究线性变换时，我们通常会使用矩阵来表示线性变换。
设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}。
线性变换T可以用一个m×n的矩阵A来表示，假设向量x在基{v1, v2, ..., vn}下的坐标为[x]，向量T(x)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标为[T(x)]，则有[T(x)]=[A][x]。
由此可见，矩阵A中的每一列都是T(vi)在基{w1, w2, ..., wm}下的坐标，而T(vi)可以写成基{w1, w2, ..., wm}的线性组合，所以矩阵A的列向量就是线性变换T对基{v1, v2, ..., vn}下的坐标系的映射。
另外，矩阵A的行空间也是线性变换T的像空间，而零空间是T的核空间。
线性变换的基本性质在矩阵表示下也可以得到进一步的解释，例如线性变换的复合、逆变换等都可以在矩阵表示下进行研究。
因此，矩阵表示是研究线性变换的重要工具。
三、特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的一个非常重要的概念，它们在研究线性变换的性质时有非常重要的应用。
设T是一个n维向量空间V上的线性变换，那么存在一个标量λ和一个非零向量v，使得Tv=λv。
这里的λ就是T的特征值，v就是T的特征向量。
线性变换的定义和性质
汇报人：XX
• 线性变换的基本概念 • 线性变换的基本性质 • 线性变换的矩阵表示 • 线性变换的应用举例 • 线性变换与空间结构的关系
01
线性变换的基本概念
定义与性质
线性变换定义
保持原点不动
保持向量共线性
保持向量比例不变
线性变换是一种特殊的映射， 它保持向量空间中的加法和数 乘运算的封闭性。即对于向量 空间V中的任意两个向量u和v 以及任意标量k，都有 T(u+v)=T(u)+T(v)和 T(kv)=kT(v)。
矩阵性质
线性变换的矩阵表示具有一些特殊的性质。例如，两个线性变换的复合对应于它们矩阵的乘积；线性变换的可逆 性对应于矩阵的可逆性；线性变换的特征值和特征向量对应于矩阵的特征值和特征向量等。
02
线性变换的基本性质
线性变换的保线性组合性
线性组合保持性
对于任意标量$a$和$b$，以及向量 $mathbf{u}$和$mathbf{v}$，线性 变换$T$满足$T(amathbf{u} + bmathbf{v}) = aT(mathbf{u}) + bT(mathbf{v})$。
通过引入复数和极坐标等 概念，可以将某些函数图 像进行旋转。
微分方程中的线性变换
变量代换
通过适当的变量代换，可以将某些非线性微分方 程转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
拉普拉斯变换
将时间域内的微分方程通过拉普拉斯变换转换到 频域内，从而方便求解和分析。
傅里叶变换
将时间域内的函数通过傅里叶变换转换到频域内 ，可以分析函数的频率特性和进行滤波等操作。
数乘保持性
对于任意标量$k$和向量$mathbf{v}$，线性变换$T$满足$T(kmathbf{v}) = kT(mathbf{v})$。
线性变换知识点总结
线性变换知识点总结一、引言线性变换是线性代数中的重要概念，它是在向量空间中的一种特殊映射。
线性变换具有许多重要的性质和应用，因此研究线性变换对于理解线性代数和应用数学有着重要的意义。
本文将从线性变换的基本概念、性质和应用进行总结，希望能够帮助读者对线性变换有更深入的理解。
二、线性变换的定义线性变换是向量空间之间的一种映射，具体来说，设V和W是两个向量空间，f:V→W是从V到W的映射。
如果对于V中的任意向量u、v和任意标量a，b,都有f(au+bv)=af(u)+bf(v)那么f称为一个线性变换。
三、线性变换的矩阵表示线性变换可以用矩阵来表示，假设V和W是n维向量空间，我们选择V和W的基，那么可以得到V和W中的向量可以用n维列向量表示。
设f:V→W是一个线性变换，选择V和W的基分别为{v1,v2,...,vn}和{w1,w2,...,wn}，那么f的矩阵表示为[f]=(f(v1) f(v2) ... f(vn))其中f(vi)表示w中的基向量wi在f映射下的像，也就是f(vi)对应的列向量。
根据线性变换的定义，我们可以得到映射f的矩阵表示满足下列关系f(av1+bv2)=af(v1)+bf(v2)等价于[f](av1+bv2)=a[f]v1+b[f]v2其中[f]v1和[f]v2为f(v1)和f(v2)的列向量表示。
四、线性变换的性质1. 线性变换的保直性线性变换f:V→W将V中的任意向量线性映射到W中，这种映射保持向量之间的直线性质，即通过f映射后的图像仍然是一条直线。
这是线性变换的一个重要性质，它保证了线性变换后的图像具有一些有用的性质，比如直线上的点在f映射后仍然在同一条直线上。
2. 线性变换的局部性线性变换f:V→W保持向量之间的“相对位置”不变，即如果向量v1和v2之间的相对位置关系在V中是一定的，那么在映射f下，向量f(v1)和f(v2)之间的相对位置关系也是一定的。
这一性质对于理解线性变换的几何意义有着重要的作用，它意味着线性变换可以保持向量之间的某些几何性质。
线性变换和特征值
2）
解法1：先计算 A 1，令 B=I+A-，1 求出特征方
程 I - B 0的根即可。
解法2：因为 A12320,所以A可逆，p i
为对应于A的特征值 i 的特征向量，则
又 A -1 pi
1
i
pi
Ipi = pi
所以 (I+A -1)pi(1 1 i)pi,
i1,2,3
从而矩阵I A1的特征值为1
体所构成的集合称为像集，记作 T X 。
定义6.2 设 Vn , U m 是实数域上的向量空间， T是一个从V n 到U m 的映射，若映射T满足
1) x 1 ,x 2 V n , 有 T ( x 1 + x 2 ) = T ( x 1 ） + T ( x 2 )
2) x V n ,k R ,有 T ( k x ) = k T ( x ）
可得它的一个基础解系
1 1
ξ1
2
,
ξ
2
0
,所以k1ξ1k2ξ2(k1,k2都不为
0
1
零）是A对应于特征值1ห้องสมุดไป่ตู้ 1的全部特征向量。 对于特征值 ，解齐次线性方程组 ，得它3的 一8 个基础解系
(8I-A)x0
2 ，所以
是A对应于特征
ξ
3
1
k3ξ3,(k3 0)
值8的全 2 部 特征向量。
1
，即
i
2
,
3 2
,0
定理6.1 设 1,2,L ,m为方阵A的互不相同的 特征值，ξ1,ξ2,L ,ξm分别为对应于特征值 1,2,L ,m 的特征向量，则 ξ1,ξ2,L ,ξm线性无关。
推论 矩阵A的 m 个互不相同特征值所对应 的 m 组各自线性无关的特征向量并在一起
矩阵特征向量解析线性变换的特性
矩阵特征向量解析线性变换的特性矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，而矩阵的特征向量则是矩阵应用的关键概念之一。
在解析线性变换的特性时，我们不可避免地需要探索和理解矩阵特征向量的作用和意义。
本文将重点分析矩阵特征向量在解析线性变换中的特性，以及与矩阵特征值的关系。
一、特征向量与线性变换在线性代数中，线性变换是指将一个向量空间中的向量映射为另一个向量空间中的向量的操作。
一个n×n的方阵A可以看作是一个线性变换，它将n维向量x映射为n维向量Ax。
对于一个线性变换来说，特征向量是其重要的性质之一。
特征向量是指在线性变换下，变换后的向量与原始向量方向相同或相反，只是长度发生了变化。
简而言之，特征向量表达了线性变换不改变方向的特性。
二、特征值与特征向量与特征向量密切相关的是特征值。
特征值是描述线性变换对应的矩阵A的特征性质的一个数值。
对于矩阵A和向量v而言，如果存在一个标量λ，使得Av=λv成立，那么v就是A的特征向量，λ就是A的特征值。
特征值的求解可以通过求解特征方程来实现。
特征方程是一个关于λ的多项式方程，它由A的特征矩阵A-λI的行列式为零所确定。
三、特征向量解析线性变换的特性1. 方向不变性：特征向量在线性变换下的方向保持不变，只发生长度的伸缩。
这个特性使得特征向量成为了线性代数中的重要工具，在很多实际应用中得到了广泛的运用，如图像处理和信号处理等领域。
2. 相似性变换：矩阵的特征向量可以解析线性变换的相似性。
即通过对特征向量的变换，可以将原始矩阵变换为一个对角阵。
这个性质为矩阵分析和计算提供了一种便捷的方法，简化了计算的过程。
3. 特征向量线性无关性：一个矩阵的不同特征值所对应的特征向量线性无关。
这个性质对于矩阵的对角化以及求解线性方程组都具有重要的作用。
4. 特征向量的基变换：如果一个线性变换具有一组完备的特征向量，那么这组特征向量可以构成一个新的基，通过基变换，线性变换的矩阵表示可以简化为一个对角阵。
线性变换的基本性质
λ1+λ2=1).
x
x'
设直线 l 在线性变换
=
y
y'
的作用下变成γ'=A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ(λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1).
(1)如果Aα≠Aβ,则由Aα和Aβ的终点确定直线l',即把直线l变为直
线l'.
题型三
题型四
解:设直线 l 的方程为 3x+5y+c=0,把(3,-2)代入,得 c=1,
故直线 l 的方程为 3x+5y+1=0.
1 0
, 令点P(x,y)是 l 上任
又切变变换对应的矩阵为 A= 1
1
2
一点,在 A 对应的变换作用下的像为点 P'(x',y'),
x
x'
= ',
' = ,
三
线性变换的基本性质
(一)线性变换的基本性
质
1.理解数乘平面向量和平面向量的加法的概念,掌握线性变换的
基本性质1、性质2及定理1.
2.会利用线性变换的性质及定理进行相关的计算,会确定直线在
线性变换后的图形,并能解决简单的实际问题.
为什么线性变换把平面上的直线变成直线(或一点)?
剖析:设 P1,P2 为直线 l 上的两个定点,P 为 l 上的一个动点,如图
正解:过 A(1,0),B(0,2)两点的直线 l 的方程为
2
x+ = 1, 即2x+y-2=0.
0.8 0
令(x,y)为直线 l 上任一点,在矩阵
第九章 线性变换
第九章 线性变换9.1 判别下述所定义的映射是否线性变换?（1） 从R 3到R 2的映射：()();,2,,3221321TTT ξξξξξξξ+-=（2）V 自身上的映射：(),a x x T +=其中;V a ∈（3）R 3自身上的映射：()();,,,,233221321TTT ξξξξξξξ+=（4）[]x F 自身上的映射：()()();1+=x f x f T （5）[]x F 自身上的映射：()()();,00F x x f x f T ∈= （6）复数域C 自身上的映射：()α=T ；（7）n n F ⨯自身上的映射：()BXC X F =，其中B 、C ∈n n F ⨯ 解：（1）任取()()3321321,,.,,R b T∈==ηηηξξξα（1）因为 ()()332211,,ηξηξηξ+++=+T b a T()()()()()33222211,2ηξηξηξηξ++++-+=()()()()b T a T +=+-++-=32213221,2,2ηηηηξξξξ()()()()()a T T a T τξξξξττξτξτξτξτξτξτξτ=+-=+-==32213221321,2,2,,所以，T 为线性变换. （2）任取V y x ∈,，因为()a y x y x T ++=+，()()a y x y T x T 2++=+所以当0≠a 时，T 不是线变换. （3）因为：任()3321,,R a ∈=ξξξ()()()a T a T τξττξτξξττ≠+=23232212,,所以：T 不是线性变换. （4）因为：任()()[]x F x g x f ∈.()()()()()()()()()x g T x f T x g x f x g x f T +=+=+00()()()()()x f T x f x f T τττ==0所以T 为线性变换. （5）任()()[]x F x g x f ∈.()()()()()()()()()x g T x f T x g x f x g x f T +=+++=+11()()()()()x f T x f x f T τττ=+=1 T 是线性变换. （6）任R C∈∈τβα,()()()βαβαβαT T T +=+=+{}()ατατταT T == T 是线性变换.（7）(){}R A F ij n n ij n n ∈==⨯⨯αα 任取 n n F Y X ⨯∈, ()()()()Y T X T BYC BXC C Y X B Y X T +=+=+=+ ()()()()X T BXC C X B X T ττττ=== T 为线性变换.9.2 证明线性变换将子空间变为子空间.证：设T ：V V '→为线性变换，W 为V 的子空间，V '的子集合(){}(){}W w w T w w W w w T W ∈∀=''=∈∀='则，任取 W w w '∈''21,，必有21,w w 使()()2211,w w T w w T '='= ()()()W w w T w T w T w w '∈+=+='+'212121()()()W kw T w T k w k '∈=='111所以W '也为子空间，W W T W '→:为子空间到子空间的线性变换9.3 求下述线性变换在指定基底下的矩阵.（1）求9.1（1）中的变换在基底321,,e e e 及{⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,01}下的矩阵.（2）对任意()[]2x F x f ∈，线性变换T ：()()()5-=x f x f T 在基底 {}2,,1x x , (){}25,5,1++x x 下的矩阵各是什么？解：（1）()()TTT 3221321,2,,ξξξξξξξ+-= 即 ()()TT3221321,2,,ξξξξξξξ+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011ε, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102ε()()()1120,20,0,1ε===TT e T()()()2121,10,1,0εε+-=-==TTT e T()()()231,01,0,0ε===T e T()()21321,,,εε=e e e T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110012,T 的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110012A（2）在基 {}2,,1x x 下：记 3221,,1e x e x e ===,则 ()111e e T ==()21255)(e e x x T e T +-=-==()()321223102525105e e e x x x e T +-=+-=-=()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10010102551,,,,321321e e e e e e T在基{}2,,1x x 下，T 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10010102551A在基 2)5(,5,1{++x x 下： 记 ()23215,5,1+='+='='x e x e e ,则 ()111e e T '==' ()212555)5(e e x x x T e T '+'-=-+==+=' ()()3212223107575)5(10)5(5e e e x x x x T e T '+'-'=++-+==+=' ()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--'''='''10010107551,,,,321321e e e e e e T在基{}2)5(,5,1++x x 下，T 的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10010107551A9.4 在F 2×2中,定义线性变换T ，对任意22⨯∈F X()X X T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=δγβα求T 在基底{}22211211,,,E E E E 下的矩阵解: ()211111000001E E E T γαγαδγβα+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ()221212000010E E E T γαγαδγβα+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ()211121000100E E E T δβδβδγβα+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ()221222001000E E E T δβδβδγβα+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛= {}22211211,,,E E E E T {}⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=δγδγβαβα00000000,,,22211211E E E E (9.5)设∈T ￡[V ],若()01≠-x T k ,但()0=x T k ，证明：()()(){}x T x T x T x k 12,,,,- ()0>k为线性无关组.证： 令 ()()()012321=++++-x T x T x T x k k ξξξξ ,假设 i ξ是 k ξξξ,,,21 中第一个不为零的数，用 1=-i k T 作用两端得:()01=-x T k i ξ n i ≤≤1由于0)(1≠-x T k 知，0=i ξ，n i ≤≤1 从而得：021====k ξξξ 即()(){}x T x T x k 1,,,- 线性无关.9.6 在n 维线性空间V 中的线性变换T 对V x ∈有()()0,01=≠-x T x T n n . 证明：存在V 的基底U ，使得T 在U 的矩阵是：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01010 A =证明：取基底()()(){}{}n n e e e x T x T x T x ,,,,,,,2112 =-,则()()()().1,,1,0,11-====++n i e x T x T T e T i i i i()()()()()()()()A x T x T x T x x T x T x T x T n n 1212,,,,,,,,--= 9.7 证明V 上与全体线性变换可交换的线性变换是数乘变换.证：设T 是V 上的线性变换，A 是与之对应的矩阵，任取 ∈T ~￡[V ],与之对应的矩阵为X ,由 T T T T ~~=，应有XA AX =,由 T ~的任意性，即X 的任意性知，A 与任意方阵X 可交换，为数量阵.9.8 设 ∈T ￡[V ]，证明：若T 在V 的任一基底下的矩阵均相同，则T 是数乘变换. 证：设 {}n u u u U ,,,21 =是V 的一个基，A 是T 在U 下的矩阵， ()()A u u u u u u T n n ,,,,,,2121 =任取 V 的一组基 },,,{21n w w w W =，U 到W 的过渡阵为X()()X u u u w w w n n ,,,,,,2121 = 且A 仍是T 在W 下的矩阵即()()A w w w w w w T n n ,,,,,,2121 =由 ()()()AX u u u X u u u T w w T n n n ,,,,,21211==()AX X w w w n 121,,,-= 得AX X A 1-= 即 AX XA =A 与任意矩阵可交换，即A 为数量阵.9.9 证明：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 21 与 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n i i i λλλ 21 相似，其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列；证：设},,,{21n e e e U =为V 的一个基，T 为线性变换。
线性变换的特征值与特征子空间
线性变换的特征值与特征子空间线性变换是线性代数中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在研究线性变换时，特征值和特征子空间是两个核心概念。
本文将介绍线性变换的特征值和特征子空间，并探讨其在线性代数中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个n维线性空间V和一个线性变换T：V→V，若存在一个非零向量v∈V，使得T(v)=λv，其中λ是一个标量，则称λ为线性变换T的一个特征值，而v则称为对应于特征值λ的一个特征向量。
特征向量是指在线性变换下只发生伸缩变换而不改变方向的向量。
特征值则告诉我们特征向量在伸缩变换中的比例关系。
通过求解线性方程组(T-λI)v=0，可以得到特征值λ及其对应的特征向量v。
二、特征子空间的定义给定一个特征值λ，由于存在无数个与特征向量v成比例的向量，我们可以定义特征子空间，即同一个特征值下的所有特征向量所组成的子空间。
特征子空间可以用来描述线性变换的性质。
三、特征值的性质和求解方法特征值具有以下性质：1. 特征值的和等于线性变换的迹（trace），即所有特征值的代数和等于线性变换的主对角线元素之和。
2. 特征值的积等于线性变换的行列式，即所有特征值的乘积等于线性变换的行列式。
3. 不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
求解特征值的方法有多种，常用的方法有幂迭代法、QR算法、Jacobi方法等。
这些方法通过迭代逼近的方式计算特征值和特征向量。
四、特征子空间的性质和应用特征子空间具有以下性质：1. 对于不同的特征值，对应的特征子空间是线性无关的。
2. 对于同一个特征值，特征子空间的维度可以大于等于1。
特征子空间在线性代数中有广泛的应用，例如：1. 矩阵的对角化：通过特征子空间的基变换可以将线性变换表示为对角矩阵，从而简化线性变换的计算。
2. 特征脸识别：通过特征子空间分析，可以将人脸图像表示为特定的特征向量组合，从而实现人脸识别的功能。
五、总结本文介绍了线性变换的特征值和特征子空间，并讨论了它们在线性代数中的应用。
线性变换PPT课件
再结合引理, 我们就有 Ker f1 ( A ) Ker f2 ( A ) = Ker h( A )
2) 设 h1 ( x ) = f1 ( x ) / h( x ) , h2 ( x ) = f2 ( x ) / h( x ) , 则有 u ( x ) h1 ( x ) + v ( x ) h2 ( x ) = 1 . 故 u ( A ) h1 ( A ) + v ( A ) h2 ( A ) = I . 注意到 g( x ) = f1 ( x ) f2 ( x ) / h( x ) , 对任意 Ker g( A ) , 我们有
证: 由题设, 存在 u , v K[ x ] , 使得
u ( x ) f1 ( x ) + v ( x ) f2 ( x ) = 1 ; 于是 u ( A ) f1 ( A ) + v ( A ) f2 ( A ) = I . 对任意 V , 有
= u ( A ) f1 ( A ) + v ( A ) f2 ( A )
从多项式到子空间
定理 : 设 f1 ( x ) , f2 ( x ) K[ x ] , 且 h( x ) = ( f1 ( x ) , f2 ( x ) ) , g( x ) = [ f1 ( x ) , f2 ( x ) ] .
设 V 是 K-线性空间, A 是 V 上的线性变换. 则有
1) Ker h( A ) = Ker f1 ( A ) Ker f2 ( A )
第九章 线性变换
1 像空间与核空间 2 线性映射的矩阵 3 特征值与特征向量 4 不变子空间 5 零化多项式 6 幂零变换的结构 7 Jordan 标准型及其应用
线性变换与特征值
线性变换与特征值线性变换是线性代数中的重要概念，它描述了向量空间中的一个向量如何通过矩阵的乘法转化为另一个向量。
特征值则是线性变换中的一个关键指标，它可以帮助我们理解变换对向量空间的影响程度。
本文将探讨线性变换与特征值的基本概念，以及它们在实际问题中的应用。
一、线性变换的定义与性质线性变换是指一个向量空间中的向量通过一个线性映射转化为另一个向量的过程。
它可以用一个矩阵来表示，并具有以下性质：1. 加法性：对于向量空间中的任意两个向量u和v，有T(u+v) = T(u) + T(v)。
2. 数乘性：对于向量空间中的任意向量u和标量k，有T(ku) =kT(u)。
3. 保持零向量：对于所有向量空间中的零向量0，有T(0) = 0。
二、特征值与特征向量的定义与性质在线性变换中，特征向量是指在线性变换后，仅被伸缩而不改变方向的向量。
特征值则是对应于特征向量的伸缩比例。
设A是一个n阶方阵，若存在非零向量v和标量λ，使得Av = λv，那么v称为A的特征向量，λ称为A的特征值。
特征向量具有以下性质：1. 非零特征向量对应的特征值为零。
2. 一个方阵可以有一个或多个特征向量和对应的特征值。
3. 特征向量可以相互线性组合形成新的特征向量。
三、计算特征值与特征向量的方法计算特征值和特征向量是线性代数中的重要问题，有多种方法可以解决。
1. 特征值的计算：特征值可以通过求解方程|A-λI|=0来求得，其中A是一个n阶方阵，λ是要求解的特征值，I是单位矩阵。
2. 特征向量的计算：计算得到特征值后，可以通过求解方程(A-λI)v=0来求得特征向量v。
其中v是一个n维列向量。
四、线性变换与特征值的应用线性变换与特征值在各个学科领域中都有广泛的应用。
1. 物理学中的应用：线性变换是量子力学中的基本概念，用于描述粒子在空间中的运动和变换。
特征值则可以用于求解量子力学中的能量等问题。
2. 计算机图形学中的应用：线性变换被广泛应用于计算机图形学中的三维渲染和动画。
线性变换的特征值和特征向量 PPT
的基础解系.
特征子空间:
特征子空间
变换的特征值与特征向量的求法
(1) 特征多项式; (2) 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间．
例题
因此, 矩阵R在实数域上没有特征值. 如果把R看成复数域上的矩阵, 则有两个特征值, 但没有几何意义. 特征值与特征向量与矩阵所在的数域有关系
一个n阶方阵在数域 K 上至多有 n 个特征值, 在复数域上正好有 n 个特征值(重根计算重数).
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
特征多项式的性质
➢线性变换的特征值是与基的取法没有关系的量 ➢ 在不同的基下的矩阵应该有相同的特征值
➢矩阵的特征向量是线性变换的特征向量在基下的坐标 ➢随着基的变化而变化
相似的矩阵有相同的特征多项式, 因此有相同的特征值
例题 3.5
解: (1) 特征多项式; (2) 求特征值； (3) 求解相应的齐次线性方程组; (4) 以矩阵的特征向量为坐标构造变换特征向量； (5) 写出特征子空间．
例3.5 续
解: 1) 特征多项式
特征值： 2) 特征向量
的基础解系.
…
例3.5 续
线性变换的特征值和特征向量
例子: 线性变换的矩阵
线性变换的特征值与特征向量
1) 特征向量与经过线性变镜像变换求出其特征值和特征向量.
特征子空间, 矩阵的特征值与特征向量
如果存在非零列向量X使得
变换的特征向量与矩阵的特征向量
特征矩阵与特征多项式
线性变换与特征值
线性变换与特征值线性变换是线性代数中非常重要的概念之一，与特征值有密切的联系。
在本文中，我们将探讨线性变换以及特征值的相关概念和性质。
1. 线性变换的定义与性质线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的映射，同时保持加法和标量乘法运算。
设V和W是两个向量空间，如果对于任意的向量x，y∈V和任意的标量a，b∈F，其中F是域，满足以下条件：1）T(x + y) = T(x) + T(y)，对任意的x，y∈V；2）T(ax) = aT(x)，对任意的向量x∈V和标量a∈F；则称映射T：V→W为线性变换。
线性变换具有以下性质：a) 零向量的线性变换是零向量；b) 线性变换保持向量的线性组合，即对于任意的向量x1,x2,...,xn∈V和标量a1,a2,...,an∈F，有T(a1x1+a2x2+...+anxn) = a1T(x1) + a2T(x2) +...+ anT(xn)；c) 线性变换保持向量的线性无关性，即对于任意的向量x1,x2,...,xn∈V，如果它们线性无关，则它们的像T(x1),T(x2),...,T(xn)也线性无关。
2. 特征值与特征向量对于一个线性变换T：V→V，如果存在一个非零向量v∈V，使得T(v) = λv，其中λ是一个标量，则称λ为线性变换T的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的求解可以通过解方程组得到。
设A是线性变换T的矩阵表示，则有Av = λv，即(A - λI)v = 0，其中I是单位矩阵。
如果(A - λI)的秩小于n（n为矩阵A的阶数），则零解v = 0是唯一解，此时λ不是特征值。
如果(A - λI)的秩大于等于n，则零解v = 0以外存在非零解，此时λ是特征值。
特征值与特征向量的性质如下：a) 线性变换T的每个特征值都对应至少一个特征向量；b) 特征向量构成由零向量组成的空间V的一个子空间；c) 特征向量对应的特征值是线性变换的一个性质，与特征向量的长度和方向无关。
线性变换的特征值与特征向量
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在奇异值分解中，可以将一个矩阵表 示为一个正交矩阵、一个对角矩阵和 一个正交矩阵的乘积，其中对角矩阵 的对角线元素即为特征值。
在求解微分方程中的应用
在求解微分方程时，特征值和特征向量可以用于分析解的性质。例如，对于常微分方程，特征值和特征向量可 以用于分析解的稳定性。
在偏微分方程中，特征值和特征向量可以用于分析解的振动频率和模式。例如，在波动方程中，特征值和特征 向量可以用于计算波速和波长。
在信号处理和图像处理中的应用
在信号处理中，特征值和特征向量可以用于信号压缩和降噪。例如，通过将信号表示为一组特征向量 的线性组合，可以去除噪声并保留信号的主要特征。
在图像处理中，特征值和特征向量可以用于图像识别和分类。例如，通过将图像表示为一组特征向量 的线性组合，可以提取图像的主要特征并进行识别。此外，在图像压缩中，也可以利用特征值和特征 向量的性质进行压缩和重建。
02
03
计算方法
特性
通过构建线性变换的矩阵，并对 其进行行列式运算，得到特征多 项式。
特征多项式的根即为特征值，根 的重数等于相应特征值的代数重 数。
特征值的求解
定义
特征值是线性变换在特征向量上的一个标量乘数， 它决定了特征向量的变化规律。
计算方法
通过解特征多项式得到特征值，也可以通过直接 计算矩阵的特征值得到。
对于给定的线性变换 $T$ 和标量 $lambda$，如果存在一个非零 向量 $vec{v}$ 使得 $T(vec{v}) = lambda vec{v}$，则 $vec{v}$ 是 $T$ 的对应于特征值 $lambda$ 的特征向量。 特征向量可以是实数向量或复数向量。
特征值与特征向量的关系01 Nhomakorabea04
线性代数实践9章(线性变换及其特征)
换，并在子图2中画出其图形； 画图的要点是要在给定的数据右方，补上第 一点的坐标，使画出的图形封闭。
程序ag902与图形结果
x0=[0,0.5,0.5,6,6,5.5,5.5,0;0,0,6.42,0,8,8,1.58,8]; x= [x0,x0(:,1)]; % 把首顶点坐标补到末顶点后 A= [1,0.25;0,1]; y=A*x; subplot(1,2,1),plot(x(1,:),x(2,:)) subplot(1,2,2),plot(y(1,:),y(2,:)) 画出的两个图形如右：
同时有旋转和平移的情况
• 对象若同时有旋转和平移，则可以分别列出旋转 矩阵和平移矩阵。不过此时的旋转矩阵也要改为 33维，这可以把上述A5中增加第三行和第三列， 置A(3,3)=1，其余新增元素为零。
cos t sin t c1 , A5 sin t cos t c 2 0 1 0
1 1(1) 1 ，即横轴 量 p1(:,1) 方向的特征值为 0
形状和面积的变换关系
• 可以看出，矩阵A1使原图对纵轴生成镜像，矩阵 A2使原图在横轴方向膨胀，矩阵A3使原图在纵轴 方向压缩，矩阵A4使原图向右方剪切变形，矩阵 A5使原图沿反时针方向旋转t=pi/6。分别计算出 这五个矩阵的行列式和特征值， • 前已指出，对二维空间（平面），两个向量的行 列式是它们所构成的平行四边形的面积。此处又 看出，变换所造成的图形的面积变化，取决于该 变换的行列式。A1，A4和A5的行列式绝对值都 是1，所以它们不会使变换后图形的面积发生改变。 而A2和A3的行列式分别等于图形的面积的增加倍 数(1.5和0.2)。
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• 把线性代数方程组Ax=y看作由x空间变换为 y空间的运算，研究A的特征如何影响变换 的结果。若A是m×n矩阵，则x是n×1列向 量，在Rn空间，y是m×1列向量，在Rm空 间。A就是它的变换矩阵。 • 二维和三维空间可以用几何图形表示，特 别是二维情况。所以本章着重探讨这两种 情况，高维的问题的概念可从二、三维类 比，而它们的计算可以把低维的计算公式 （已成为程序）扩展而得。
Eigshow(A4)产生的图形
A是对称实矩阵的情况
• 特别要注意A是对称实矩阵的情况，所谓对 称矩阵是满足AT=A的矩阵。，对22矩阵， 只要求A(1,2)=A(2,1)。例如令，A=[1,2;2,2] 再键入eigshow(A)，这时的特点是：Ax=λx 出现在Ax椭圆轨迹的主轴上，所以两个特 征值分别对应于单位圆映射的椭圆轨迹的 长轴和短轴。此时A的特征值为 -0.5616和 3.5616，可以和图形对照起来看。
eigshow([1,2; 2,2])的图形
例9.2 斜体字的生成
• 数据矩阵
0 0 0.50 0.50 6.00 6.00 5.50 5.50 x 0 0 6.42 0 8.00 8.00 1.58 8.00
表示英文大写空心字母N的各个节点 （1）用plot语句在子图1中画出其形状；
基坐标变换的公式
• 设线性空间Rn中的两组基向量u 和v都是n维列向量，它们 在基准坐标系中的n个分量都是已知的，因此u和v都可表 示为nn矩阵。如果Rn中的一个向量w在以u为基的坐标系 内的坐标为wu（n1数组），在以v为基的坐标系内的坐 标为wv（n1数组），它们在基准坐标系内的坐标应分别 为u*wu和v*wv，这两者应该相等。 u* wu =v*wv （9.18） • 所谓基坐标的变换就是已知wu，求出wv。将上式左右均 左乘以inv(v)，得到 wv inv(v) * u wu v \ u * wu （9.19） • 可见，坐标变换矩阵P可由u和v求得： P(u→v)=v \ u （9.20）
用eigshow函数看特征值
• 对于比较复杂的情况，完全凭简单的几何关系去想 像是困难的，应当用eigshow函数，联系x和Ax的 向量图来思考。 • 键入eigshow(A4) 。绿色的x表示原坐标系中的单 位向量，可以用鼠标左键点住x并拖动它围绕原点 转动。图中同时出现以蓝色表示的Ax向量，它表示 变换后的新向量。当两个向量处在同一条直线上时 （包括同向和反向），表示两者相位相同，只存在 一个（可正可负的）实数乘子λ， • Ax=λx
– u=[1,0;0,1], v=[1,1;0,2], P=v\u, – wu=[1;6], wv=P*wu
1 0.5 1 2 wv P * wu 0 0.5 6 3
高阶系统基变换的算例9.5
• 已知R4空间的两组基向量u,v如下：
刚体平面运动用线性变换描述
• 此时可以把平移矩阵写成：
1 M 0 0 0 1 0 c1 c2 1
• 因而平移运动y就可用x经线性变换实现了。
x1 +c1 y M x x +c 2 2 1
• 这个方法在研究刚体平面运动时非常有用。
平面运动模型的齐次坐标系
• 把平面问题映射到高维的空间来建立方程，有可 能把x和y由扩展了的向量空间来覆盖。把原来通 过原点的平面沿垂直方向提高一个单位，与原平 面保持平行，于是原来的x就用三维向量来表示为：
• 这样的坐标系称为齐次坐标系。
x1 x x2 1
9.4 基变换与坐标变换
• 在线性空间中常常需要进行坐标变换。用下图可以形象 地说明这点。按照左图的笛卡儿坐标 ，x向量应该表为 (1,6)，这是x按标准基[e1,e2]度量的结果，在斜坐标纸上 的x点坐标就成为沿b1方向为-2个单位而沿b2方向3个单 位，即(-2,3)了。这反映了不同的基对坐标值的影响。
9.1 平面上线性变换的几何意义
• 例9.1 设x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其 四个顶点的数据可写成
0 1 1 0 x 0 0 1 1 把不同的A矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果 yi=Ai*x。用程序ag901进行变换计算，并画出x及yi图形： x=[0,1,1,0;0,0,1,1]; subplot(2,3,1), fill([x(1,:),0],[x(2,:),0],'r') axis equal,axis([-1.5,1.5,-1,2]),grid on, A1=[-1,0;0,1], y1=A1*x subplot(2,3,2), fill([y1(1,:),0],[y1(2,:),0],'g'), axis equal,axis([-1.5,1.5,-1,2]),grid on …
1.0 1.0 D 4 det( A4) 1, 4 1 1 , p4 0. 0. 0.7071 0.7071 D5 1, 5 0.866 + 0.5i 0.866 0.5i , p5 0 0.7071i 0 + 0.7071i
图9.7的坐标变换
• 由图
1 0 1 1 u e1 ,e 2 , v b1 ,b 2 0 1 0 2 1 0.5 P(u v) v \ u 0 0.5
• 由于x点在u坐标系中的分量为wu=[1,6]，它在v 坐标系中的分量wv（用MATLAB表示）应为:
1 0.25 （2）取 A 0 1 作为变换矩阵对x进行变
换，并在子图2中画出其图形； 画图的要点是要在给定的数据右方，补上第 一点的坐标，使画出的图形封闭。
程序ag902与图形结果
x0=[0,0.5,0.5,6,6,5.5,5.5,0;0,0,6.42,0,8,8,1.58,8]; x= [x0,x0(:,1)]; % 把首顶点坐标补到末顶点后 A= [1,0.25;0,1]; y=A*x; subplot(1,2,1),plot(x(1,:),x(2,:)) subplot(1,2,2),plot(y(1,:),y(2,:)) 画出的两个图形如右：
1 2 u 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 , v 0 1 2 1 0 1 0 1 2 2 2 1 1 2 1 3 1 2
试求把u变换为v的坐标变换矩阵P(u→v)。 • 解的方法为:输入u和v矩阵后 1 1 1 0 键入u\v ，得到 1 1 0 0 给出某点w的u坐标wu, P (u v) 0 0 0 1 即可求其v坐标wv=P*wu 1 1 1 1
平移运动不能用二维变换实现
• 刚体在平面上的运动要用两个平移和一个转动来 描述，转动可以从上面的线性变换A5得到，但平 移y=x+c却不是一个线性变换。因为： • （1）设ya=xa+c；yb=xb+c；则它们的和为 y=ya+yb=xa+xb+2c≠x+c， 可见，它对加法不封闭； • （2）设ya=xa+c；将它乘以常数k， y=kya=k(xa+c)=kxa+kc≠kxa+c=x+c， 可见，它对乘法也不封闭；就是说，这不符合线性 变换的规则，x和y 不属于同一个向量空间，无法 用矩阵乘法来实现平移变换y=x+c。
9.2 二维矩阵特征值的几何意义
• 二维矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向 量的方向上的放大量。例如矩阵A1在第一特征向 正方向的增益为-1，其结果是把原图中横轴正方 向的部分变换到新图的负方向去了；A1在第二特
即纵轴正方向的增益为1，因而保持了新图和原 图在纵轴方向尺度不变。
0 征向量 p1(:, 2) 1 的方向的特征值为λ 1(2)=1，
• 这就是既包括平移，又包括转动的平面齐次坐标 系内的变换矩阵。
例9.3 刚体平面运动描述
• 设三角形的三个顶点坐标为(-1,1),(1,1),(0,2)，今要使它
旋转30度，右移2，上移3，以试设计变换矩阵A，并画出 变换前后的图形。 • 解：程序的要点是： 1。列出三角形的数据矩阵 2。扩展为齐次坐标(第三行加1) 3。平移和转动变换矩阵也 要用三维的变换矩阵 4。按变换次序左乘 5。绘图
计算特征值的MATLAB命令
计算矩阵特征值和特征向量归结为以下步骤： • 1。建立特征方程 (A-λI)x=0,解存在的条件
– det(A-λI)=0, 得出一个n次代数方程 – 涉及计算n阶行列式的问题（很繁） – MATLAB提供的p=poly(A)函数可得出特征行列式系数
同时有旋转和平移的情况
• 对象若同时有旋转和平移，则可以分别列出旋转 矩阵和平移矩阵。不过此时的旋转矩阵也要改为 33维，这可以把上述A5中增加第三行和第三列， 置A(3,3)=1，其余新增元素为零。
cos t sin t c1 , A5 sin t cos t c 2 0 1 0
几种变换的行列式与特征值
D1 det( A1) 1, 1 1 1 , 1 p1 0 0 1 1 0 0 D 2 det( A2) 1.5, 2 1.0 1.5 , p 2 1 0 1 D3 det( A3) 0.2, 3 0.2 1.0 , p3 1 0
特征向量和特征值
• 矩阵A作用于不同方向的x向量，产生的效果是不 同的，y=Ax既有幅度的变化，又有方向的变化。 如果在某个方向的x经过变换得到的y只有幅度增 益λ，方向却与x相同，即满足： y=Ax= λx 满足此条件的x向量称为特征向量，此幅度增益λ 称为特征值。 二维矩阵有两个特征向量和特征值，三维矩阵则 有三个，依此类推，其几何意义可从下面看出。