线性代数实践9章(线性变换及其特征)

第9章 线性变换及其特征视点3 从x空间变换为y空间
• 把线性代数方程组Ax=y看作由x空间变换为 y空间的运算，研究A的特征如何影响变换 的结果。若A是m×n矩阵，则x是n×1列向 量，在Rn空间，y是m×1列向量，在Rm空 间。A就是它的变换矩阵。 • 二维和三维空间可以用几何图形表示，特 别是二维情况。所以本章着重探讨这两种 情况，高维的问题的概念可从二、三维类 比，而它们的计算可以把低维的计算公式 （已成为程序）扩展而得。
Eigshow(A4)产生的图形
A是对称实矩阵的情况
• 特别要注意A是对称实矩阵的情况，所谓对 称矩阵是满足AT=A的矩阵。，对22矩阵， 只要求A(1,2)=A(2,1)。例如令，A=[1,2;2,2] 再键入eigshow(A)，这时的特点是：Ax=λx 出现在Ax椭圆轨迹的主轴上，所以两个特 征值分别对应于单位圆映射的椭圆轨迹的 长轴和短轴。此时A的特征值为 -0.5616和 3.5616，可以和图形对照起来看。
eigshow([1,2; 2,2])的图形
例9.2 斜体字的生成
• 数据矩阵
0 0 0.50 0.50 6.00 6.00 5.50 5.50 x 0 0 6.42 0 8.00 8.00 1.58 8.00
表示英文大写空心字母N的各个节点 （1）用plot语句在子图1中画出其形状；
基坐标变换的公式
• 设线性空间Rn中的两组基向量u 和v都是n维列向量，它们 在基准坐标系中的n个分量都是已知的，因此u和v都可表 示为nn矩阵。如果Rn中的一个向量w在以u为基的坐标系 内的坐标为wu（n1数组），在以v为基的坐标系内的坐 标为wv（n1数组），它们在基准坐标系内的坐标应分别 为u*wu和v*wv，这两者应该相等。 u* wu =v*wv （9.18） • 所谓基坐标的变换就是已知wu，求出wv。将上式左右均 左乘以inv(v)，得到 wv inv(v) * u wu v \ u * wu （9.19） • 可见，坐标变换矩阵P可由u和v求得： P(u→v)=v \ u （9.20）
用eigshow函数看特征值
• 对于比较复杂的情况，完全凭简单的几何关系去想 像是困难的，应当用eigshow函数，联系x和Ax的 向量图来思考。 • 键入eigshow(A4) 。绿色的x表示原坐标系中的单 位向量，可以用鼠标左键点住x并拖动它围绕原点 转动。图中同时出现以蓝色表示的Ax向量，它表示 变换后的新向量。当两个向量处在同一条直线上时 （包括同向和反向），表示两者相位相同，只存在 一个（可正可负的）实数乘子λ， • Ax=λx
– u=[1,0;0,1], v=[1,1;0,2], P=v\u, – wu=[1;6], wv=P*wu
1 0.5 1 2 wv P * wu 0 0.5 6 3
高阶系统基变换的算例9.5
• 已知R4空间的两组基向量u,v如下：
刚体平面运动用线性变换描述
• 此时可以把平移矩阵写成：
1 M 0 0 0 1 0 c1 c2 1
• 因而平移运动y就可用x经线性变换实现了。
x1 +c1 y M x x +c 2 2 1
• 这个方法在研究刚体平面运动时非常有用。
平面运动模型的齐次坐标系
• 把平面问题映射到高维的空间来建立方程，有可 能把x和y由扩展了的向量空间来覆盖。把原来通 过原点的平面沿垂直方向提高一个单位，与原平 面保持平行，于是原来的x就用三维向量来表示为：
• 这样的坐标系称为齐次坐标系。
x1 x x2 1
9.4 基变换与坐标变换
• 在线性空间中常常需要进行坐标变换。用下图可以形象 地说明这点。按照左图的笛卡儿坐标 ，x向量应该表为 (1,6)，这是x按标准基[e1,e2]度量的结果，在斜坐标纸上 的x点坐标就成为沿b1方向为-2个单位而沿b2方向3个单 位，即(-2,3)了。这反映了不同的基对坐标值的影响。
9.1 平面上线性变换的几何意义
• 例9.1 设x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其 四个顶点的数据可写成
0 1 1 0 x 0 0 1 1 把不同的A矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果 yi=Ai*x。用程序ag901进行变换计算，并画出x及yi图形： x=[0,1,1,0;0,0,1,1]; subplot(2,3,1), fill([x(1,:),0],[x(2,:),0],'r') axis equal,axis([-1.5,1.5,-1,2]),grid on, A1=[-1,0;0,1], y1=A1*x subplot(2,3,2), fill([y1(1,:),0],[y1(2,:),0],'g'), axis equal,axis([-1.5,1.5,-1,2]),grid on …
1.0 1.0 D 4 det( A4) 1, 4 1 1 , p4 0. 0. 0.7071 0.7071 D5 1, 5 0.866 + 0.5i 0.866 0.5i , p5 0 0.7071i 0 + 0.7071i
图9.7的坐标变换
• 由图
1 0 1 1 u e1 ,e 2 , v b1 ,b 2 0 1 0 2 1 0.5 P(u v) v \ u 0 0.5
• 由于x点在u坐标系中的分量为wu=[1,6]，它在v 坐标系中的分量wv（用MATLAB表示）应为:
1 0.25 （2）取 A 0 1 作为变换矩阵对x进行变
换，并在子图2中画出其图形； 画图的要点是要在给定的数据右方，补上第 一点的坐标，使画出的图形封闭。
程序ag902与图形结果
x0=[0,0.5,0.5,6,6,5.5,5.5,0;0,0,6.42,0,8,8,1.58,8]; x= [x0,x0(:,1)]; % 把首顶点坐标补到末顶点后 A= [1,0.25;0,1]; y=A*x; subplot(1,2,1),plot(x(1,:),x(2,:)) subplot(1,2,2),plot(y(1,:),y(2,:)) 画出的两个图形如右：
1 2 u 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 , v 0 1 2 1 0 1 0 1 2 2 2 1 1 2 1 3 1 2
试求把u变换为v的坐标变换矩阵P(u→v)。 • 解的方法为:输入u和v矩阵后 1 1 1 0 键入u\v ，得到 1 1 0 0 给出某点w的u坐标wu, P (u v) 0 0 0 1 即可求其v坐标wv=P*wu 1 1 1 1
平移运动不能用二维变换实现
• 刚体在平面上的运动要用两个平移和一个转动来 描述，转动可以从上面的线性变换A5得到，但平 移y=x+c却不是一个线性变换。因为： • （1）设ya=xa+c；yb=xb+c；则它们的和为 y=ya+yb=xa+xb+2c≠x+c， 可见，它对加法不封闭； • （2）设ya=xa+c；将它乘以常数k， y=kya=k(xa+c)=kxa+kc≠kxa+c=x+c， 可见，它对乘法也不封闭；就是说，这不符合线性 变换的规则，x和y 不属于同一个向量空间，无法 用矩阵乘法来实现平移变换y=x+c。
9.2 二维矩阵特征值的几何意义
• 二维矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向 量的方向上的放大量。例如矩阵A1在第一特征向 正方向的增益为-1，其结果是把原图中横轴正方 向的部分变换到新图的负方向去了；A1在第二特
即纵轴正方向的增益为1，因而保持了新图和原 图在纵轴方向尺度不变。
0 征向量 p1(:, 2) 1 的方向的特征值为λ 1(2)=1，
• 这就是既包括平移，又包括转动的平面齐次坐标 系内的变换矩阵。
例9.3 刚体平面运动描述
• 设三角形的三个顶点坐标为(-1,1),(1,1),(0,2)，今要使它
旋转30度，右移2，上移3，以试设计变换矩阵A，并画出 变换前后的图形。 • 解：程序的要点是： 1。列出三角形的数据矩阵 2。扩展为齐次坐标(第三行加1) 3。平移和转动变换矩阵也 要用三维的变换矩阵 4。按变换次序左乘 5。绘图

计算特征值的MATLAB命令
计算矩阵特征值和特征向量归结为以下步骤： • 1。建立特征方程 (A-λI)x=0,解存在的条件
– det(A-λI)=0, 得出一个n次代数方程 – 涉及计算n阶行列式的问题（很繁） – MATLAB提供的p=poly(A)函数可得出特征行列式系数
同时有旋转和平移的情况
• 对象若同时有旋转和平移，则可以分别列出旋转 矩阵和平移矩阵。不过此时的旋转矩阵也要改为 33维，这可以把上述A5中增加第三行和第三列， 置A(3,3)=1，其余新增元素为零。
cos t sin t c1 , A5 sin t cos t c 2 0 1 0
几种变换的行列式与特征值
D1 det( A1) 1, 1 1 1 , 1 p1 0 0 1 1 0 0 D 2 det( A2) 1.5, 2 1.0 1.5 , p 2 1 0 1 D3 det( A3) 0.2, 3 0.2 1.0 , p3 1 0
特征向量和特征值
• 矩阵A作用于不同方向的x向量，产生的效果是不 同的，y=Ax既有幅度的变化，又有方向的变化。 如果在某个方向的x经过变换得到的y只有幅度增 益λ，方向却与x相同，即满足： y=Ax= λx 满足此条件的x向量称为特征向量，此幅度增益λ 称为特征值。 二维矩阵有两个特征向量和特征值，三维矩阵则 有三个，依此类推，其几何意义可从下面看出。