数学建模与问题解决——函数模型的应用
第4章 数学建模 建立函数模型解决实际问题 (学生版)
数学建模建立函数模型解决实际问题知识讲解1.用函数构建数学模型解决实际问题的步骤(1)观察实际情景:对实际问题中的变化过程进行分析;(2)发现和提出问题:析出常量、变量及其相互关系;(3)收集数据、分析数据:明确其运动变化的基本特征,从而确定它的运动变化类型;(4)选择函数模型:根据分析结果,选择适当的函数类型构建数学模型,将实际问题化归为数学问题;(5)求解函数模型:通过运算推理,求解函数模型;(6)检验模型:利用函数模型的解说明实际问题的变化规律,达到解决问题的目的。
2面临实际问题,自己建立函数模型的步骤(1)收集数据;(2)画散点图(3)选择函数模型;(4)求函数模型;(5)检验;(6)用函数模型解释实际问题.3.数学建模活动的要求(l)组建合作团队;(2)开展研究活动;(3)撰写研究报告;(4)交流展示。
一、选择题 1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y=5x+4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( )A.200副B.400量C.600副D.800副 2.下面是一幅统计图,根据此图得到的以下说法中,正确的个数是( )(1)这几年生活水平逐年得到提高；(2)生活费收入指数增长最快的一年是2008年；(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2009年；(4)虽然2010年生活费收入增长缓慢,但生活价格指数也略有降低,因而生活水平有较大的改善。
A.1B.2C.3D.4 3.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是()A.增加7.84%B.减少7.84%C.减少9.5%D.不增不减4.某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为⎪⎩⎪⎨⎧∈≥∈<<+∈≤≤,,100,5.1,,10010,102,,101,4N x x x N x x x N x x x 其中,x 代表拟录用人数,y 代表面试人数,若面试人数为60,则该公司拟录用人数为( )A.15B.40C.25D.1305.某地固定电话市话收费规定:前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算),以后每加一分钟增加0.10元(不满一分钟按一分钟计算),那么某人打市话550秒,应支付电话费( )同步练习A.1.00元B.0.90元C.1.20元D.0.80元二、填空题 1.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是)1ln(2000m M v +⋅=.当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.2.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本.某企业一个月生产某种商品x 万件时生产成本为)(20212)(2万元++=x x x C ,一万件售价是20万元,为获得更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为 万件。
数学建模—函数模型及其应用
(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
1 (),∈1 ,
了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
2020年5月1日
2020年5月15日
加油量(升)
12
48
加油时的累计里程(千米)
35 000
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为(
A.6升 B.8升
C.10升 D.12升
)
答案 B
解析 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,
3
log 4 8 + = 1,
+ = 1,
解析依题意得
即 2
解得 a=2,b=-2.则
log 4 64 + = 4,
3 + = 4.
y=2log4x-2,当 y=8 时,即 2log4x-2=8,解得 x=1 024.
关键能力 学案突破
考点1
利用函数图像刻画实际问题
【例1】 (2020北京东城一模,10)
故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35 600-35 000=600千米.
所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为
48
×100=8升,故选B.
600
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为
函数模型解决实际应用问题
建立函数模型解决实际问题1、数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．2、数学建模就是把实际问题加以 抽象概括 建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键．3、实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 ． 建立函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； （3）解模：求解数学模型，得到数学结论；（4）结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论． 典例解析：例1、有一块半径为R 的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求出它的定义域．分析：关键是用半径R 与腰长x 表示上底，由对称性：2CD AB AE =-，故只要求出AE ．例2、某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm ；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质，两侧的温度差为T ∆，单位时间内，在单位面积上通过的热量T Q k d ∆=⋅，其中k 为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为3410 J mm/C -⨯⋅，空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅．） （1）设室内，室外温度均分别为1T ，2T ，内层玻璃外侧温度为1T '，外层玻璃内侧温度为2T '，且1122T T T T ''>>>．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用1T ，2T 及x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计x 的大小？图1图2例3、将一张长8cm ，宽6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S 1cm 2，S 2cm 2，其中S 1≤S 2．记折痕长为l cm ． （1）若l ＝4，求S 1的最大值；（2）若S 1∶S 2＝1∶2，求l 的取值范围．解析：如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，其中点A 在面积为S 1的部分内．折痕有下列三种情形：①折痕的端点M ，N 分别在边AB ，AD 上； ②折痕的端点M ，N 分别在边AB ，CD 上； ③折痕的端点M ，N 分别在边AD ，BC 上．ABCD （情形③）MNABCD （情形②）MNABCD （情形①）MN例4、如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。
高中数学同步教学 用函数模型解决实际问题
的强度水平L1表示,它们满足以下关系: L1=10·lg(单位为分
0
-12
2
贝,L1≥0,其中I0=1×10 W/m ).回答以下问题:
(1)树叶沙沙声的强度是1×10-12 W/m2,耳语的强度是1×10-10
W/m2,恬静的无线电广播的强度是1×10-8 W/m2,试分别求出它们的
示的曲线.当Leabharlann ∈(0,14]时,曲线是二次函数图像的一部分,当t∈[14,40]
时,曲线是函数f(t)=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图像的一部分.根据专家
研究,当注意力指数P大于等于80时听课效果最佳.
(1)试求P=f(t)的函数关系式.
(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?
1
=1,所以1 =10·lg 1=0,则树叶沙沙声的强度水平为 0 分贝;耳语的
0
强度是 I2=1×10-10 W/m2,则 2 =102,所以2 =10·lg 102=20,即耳语声
0
的强度水平为 20 分贝;恬静的无线电广播强度是 I3=1×10-8 W/m2,
3
则 =104,所以3 =10·lg 104=40,即恬静的无线电广播的强度水平为
强度水平;
(2)在某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水
平必须保持在50分贝以下,试求该小区内公共场所的声音强度I的
范围.
分析:(1)正确理解声音的强度I与强度水平L1的区别,将I代入公式,
求出L1;
(2)利用L1的范围确定I的范围.
题型一
题型二
题型三
使用函数建模和解决问题
使用函数建模和解决问题在现代科学和工程领域中，函数建模是一种重要的数学工具，它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
通过将现实世界的问题转化为数学函数的形式，我们可以更好地分析和预测事物的行为。
本文将介绍函数建模的基本概念，并通过一些实例来说明其在问题解决中的应用。
函数建模是将一个问题转化为数学函数的过程。
它的核心思想是通过数学模型来描述事物的变化规律。
在实际应用中，我们通常会遇到各种各样的问题，例如物理学中的运动问题、经济学中的供求关系、生物学中的生长模式等等。
这些问题都可以通过函数建模来解决。
首先，让我们以物理学中的运动问题为例来说明函数建模的过程。
假设有一个物体在直线上运动，我们想要知道它在某个时刻的位置。
首先，我们需要定义一个函数来描述物体的位置与时间的关系。
假设物体的初始位置为x0，初始速度为v0，加速度为a，时间为t。
我们可以得到如下的函数：x(t) = x0 + v0t + 0.5at^2通过这个函数，我们可以根据物体的初始条件和时间来计算物体在任意时刻的位置。
这个函数就是通过函数建模得到的数学模型，它可以帮助我们预测物体的位置。
除了物理学中的运动问题，函数建模在经济学中也有广泛的应用。
例如，我们可以使用函数建模来描述供求关系。
假设某个商品的需求量D和价格P之间存在着某种关系。
我们可以将这个关系表示为一个函数：D(P) = a - bP其中，a和b是常数。
通过这个函数，我们可以根据商品的价格来预测需求量。
当价格上升时，需求量会下降；当价格下降时，需求量会上升。
这个函数可以帮助企业决策者制定合理的价格策略，以最大化利润。
除了物理学和经济学，函数建模在生物学中也有重要的应用。
例如，我们可以使用函数建模来描述生物的生长模式。
假设一个细胞的数量N随时间t的变化满足以下的函数关系：N(t) = N0 * e^(kt)其中，N0是初始细胞数量，k是一个常数，e是自然对数的底。
通过这个函数，我们可以预测细胞数量随时间的变化。
《函数模型的应用实例》教案
《函数模型的应用实例》教案一、教学目标1. 理解函数模型在实际问题中的应用。
2. 学会构建函数模型解决实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力和创新思维。
二、教学内容1. 函数模型概述2. 常见函数模型及其应用3. 函数模型的构建方法4. 函数模型在实际问题中的应用案例分析5. 函数模型的评估与优化三、教学重点与难点1. 教学重点：函数模型在实际问题中的应用，函数模型的构建方法。
2. 教学难点：函数模型的评估与优化。
四、教学方法1. 案例分析法：通过实际问题案例，引导学生学会构建函数模型解决问题。
2. 讨论法：分组讨论，分享不同函数模型在实际问题中的应用。
3. 实践操作法：让学生动手实践，优化函数模型。
五、教学准备1. 教学PPT2. 实际问题案例及解决方案3. 计算机软件（如MATLAB、Excel等）4. 练习题教案内容示例：第一课时：函数模型概述1. 导入：介绍函数模型在实际生活中的应用，如线性规划、最优化问题等。
2. 讲解：讲解函数模型的概念、特点和分类。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生理解函数模型。
4. 练习：让学生练习构建简单的函数模型。
第二课时：常见函数模型及其应用1. 导入：介绍常见函数模型，如线性函数、二次函数等。
2. 讲解：讲解常见函数模型的性质及其在实际问题中的应用。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生运用常见函数模型解决问题。
4. 练习：让学生运用常见函数模型解决实际问题。
后续课时依次讲解函数模型的构建方法、函数模型在实际问题中的应用案例分析、函数模型的评估与优化等内容。
教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数模型在实际问题中的应用。
注重培养学生的创新思维和动手实践能力，提高他们的数学建模能力。
六、教学活动设计1. 课堂讲解：介绍函数模型的基本概念和重要性。
2. 案例分析：分析实际问题，引导学生识别和构建函数模型。
高中数学 函数模型及其应用
高中数学：函数模型及其应用在数学的世界里，函数是一个重要的概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
而在高中数学中，函数模型及其应用成为了学生们必须掌握的重要内容。
一、函数模型的理解函数，对于很多人来说，可能是一个复杂的概念。
但实际上，函数却是极其普遍的存在。
在我们的日常生活中，函数无处不在。
比如，身高随着年龄的增长而增长，这就是一个函数关系。
在这个例子中，年龄是自变量，身高是因变量。
再比如，购买商品时，价格随着数量的增加而增加，这里数量是自变量，价格是因变量。
函数模型，就是用来描述这种变量之间关系的数学工具。
它将生活中的各种关系，转化为数学公式，使我们能更好地理解和分析这些关系。
二、函数模型的应用函数模型的应用广泛存在于我们的生活中。
比如，在商业领域，公司需要根据市场需求和价格来决定生产量。
这就需要使用函数模型来预测市场的趋势，从而做出最佳的决策。
在物理学中，牛顿的第二定律就是一个函数模型，它描述了力、质量和加速度之间的关系。
而在生物学中，细胞分裂的模型也是一个函数，它描述了细胞数量随时间的变化情况。
三、高中数学中的函数模型在高中数学中，我们主要学习了一些基本的函数模型，如线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
这些函数模型可以帮助我们解决生活中的很多问题。
比如，线性函数可以帮助我们解决速度和时间的问题，二次函数可以帮助我们解决几何图形的问题，而指数函数和对数函数则可以帮助我们解决增长和衰减的问题。
四、总结函数模型是高中数学中的一个重要内容。
它不仅可以帮助我们解决生活中的问题，还可以帮助我们更好地理解这个世界。
因此，学生们应该积极学习函数模型及其应用，努力提高自己的数学素养。
高中数学函数的概念课件课件标题：高中数学函数的概念课件一、引言函数是高中数学的核心概念，是数学学习中不可或缺的一部分。
函数的概念是理解函数的基础，也是进一步学习函数性质和应用的前提。
本课件旨在帮助学生理解函数的基本概念，掌握函数的定义和性质，为后续的学习奠定坚实的基础。
第1部分 第3章 核心素养之建模思想——函数模型的应用
【方法提炼】 解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合和函数的
思想解答． 第(1)问可以根据图象直线经过点的信息获得 k，b，方法如下： 由“点（0，30）” ⇒ b＝30
由“点（7，100）” ⇒ k＝10 可以根据双曲线经过的点信息获得 a，方法如下： 由“点（7，100）” ⇒ a＝700 注意函数图象是循环出现的． 第(2)问根据(1)中的函数解析式可以解答本题；分类讨论，分段函数的分析也是本题 的关键．
由题意，得 100＝a7，解得 a＝700. 此时，y 关于 x 的函数关系式为 y＝70x0.
10x＋30（0≤x≤7）， ∴y 与 x 的函数关系式为 y＝70x0（7＜x≤730）.
(2)怡萱同学想喝高于 50 ℃的水，请问她最多需要等待多长时间？ 解：将 y＝50 代入 y＝10x＋30，得 x＝2； 将 y＝50 代入 y＝70x0，得 x＝14. ∵14－2＝12，730－12＝334. ∴怡萱同学想喝高于 50 ℃的水，她最多需要等待334 min.
(1)求 1 只 A 型节能灯和 1 只 B 型节能灯的售价各是多少元； 解：设 1 只 A 型节能灯的售价是 x 元，1 只 B 型节能灯的售价是 y 元． 根据题意，得32xx＋ ＋53yy＝ ＝5301， ，解得xy＝＝75.， 答：1 只 A 型节能灯的售价是 5 元，1 只 B 型节能灯的售价是 7 元．
化规律，给出理由，并求出其解析式；
解：设 y＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)． 由题意，得34kk＋＋bb＝＝64，.5.解得kb＝＝－101.5.5. ， ∴y＝－1.5x＋10.5. 当 x＝2.5 时，y＝6.75≠7.2. ∴一次函数不能表示其变化规律． 设 y＝mx (m 为常数，m≠0)．
数学函数模型及应用怎么做
数学函数模型及应用怎么做数学函数模型是数学领域中的一个重要概念，它描述了变量之间的关系，并且可以应用于多个实际问题中。
下面将详细介绍数学函数模型及其应用。
一、数学函数模型的定义与性质数学函数模型是一种将输入映射到输出的关系，它由以下几个要素组成：1. 自变量：自变量是函数的输入，通常用x表示。
它可以是数字、变量、向量或者其他一切能够被映射到输出的东西。
2. 因变量：因变量是函数的输出，通常用y表示。
它的取值取决于自变量的值和函数的性质。
3. 函数关系：函数关系描述了因变量和自变量之间的映射关系，通常用f(x)表示。
4. 定义域和值域：定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数可能取值的集合。
数学函数模型具有以下几个性质：1. 单值性：对于定义域中的每一个自变量值，函数关系只有一个对应的因变量值。
2. 唯一性：不同的自变量值不会对应相同的因变量值。
3. 映射性：定义域中的每一个自变量都在值域中有对应的因变量。
4. 可逆性：如果在定义域中存在一个自变量值x1，使得f(x1) = y，则在值域中存在一个自变量值x2，使得f(x2) = x1。
二、数学函数模型的应用1. 自然科学领域：数学函数模型在自然科学领域中有广泛的应用。
例如，物理学中的牛顿第二定律F = ma可以用函数模型来表示，其中F是力，m是物体的质量，a是加速度；化学中的反应速率也可以用函数模型来表示，其中反应速率与反应物的浓度之间存在一定的关系。
2. 经济学领域：经济学中的供求关系、消费曲线、生产函数等都可以用数学函数模型来描述。
例如，供求函数模型可以用来分析市场上的价格和数量之间的关系；消费函数可以用来预测个人或家庭的消费行为。
3. 数据分析领域：数学函数模型在数据分析领域有重要的应用。
例如，线性回归模型可以用来拟合数据点，从而建立变量之间的关系；指数函数可以用来拟合指数增长的数据。
4. 金融领域：金融领域中的利率计算、财务分析等问题也可以用数学函数模型来解决。
数学建模与实际应用初中数学中的模型建立与问题解决
增强解决问题的能力：数学建模涉及的问题往往比较复杂，通过建模过程，学生 能够学习如何分析问题、建立模型并解决问题，提高解决问题的能力。
激发学习兴趣：通过解决实际问题，学生能够感受到数学的趣味性和实用性，激 发学习数学的兴趣和热情。
数学建模在化学中 的应用：计算化学 反应速率、预测化 学物质性质等
数学建模在生物学 中的应用：研究生 物种群增长、病毒 传播等
数学建模在经济学 中的应用：预测股 票价格、分析经济 增长等
数学建模在工程中的应用
数学建模在工 程设计中的应 用，如结构分 析、流体动力
学模拟等。
在工程项目中， 数学建模可以 用于预测和优 化，例如施工 进度、成本和 资源消耗等。
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建立步骤：确定研究问题、选择 合适的几何模型、建立数学方程、 求解方程、验证结果。
应用领域：在物理学、工程学、经 济学等领域中广泛应用，用于描述 和研究物体的形状、大小、位置关 系以及运动规律等问题。
概率与统计模型的建立
概率模型：描述随机事件发生的可能性 统计模型：基于数据分析和推断的数学方法 应用场景：解决实际问题，如预测、决策等 建立步骤：明确问题、收集数据、建立模型、验证与优化
多做数学建模的练习和案例分析
练习：通过大量练习，熟悉数学建模的步骤和技巧，提高建模能力。 案例分析：学习并分析经典的数学建模案例，理解建模过程和解决方法。 参与实际项目：将数学建模应用于实际问题中，提高建模实战能力。 参加数学建模竞赛：通过竞赛提高数学建模能力和团队协作能力。
THANK YOU
汇报人：
基于数学建模核心素养下《函数模型的应用》的课堂诊断和教学反思
基于数学建模核心素养下《函数模型的应用》的课堂诊断和教学反思一、引言数学建模是一种运用数学方法和工具解决实际问题的过程。
在数学教育中，培养学生的数学建模核心素养是非常重要的。
本文主要通过对《函数模型的应用》教学过程的观察和反思，进行课堂诊断和教学反思，以提升学生的数学建模能力。
二、教学背景和课堂观察本次教学针对高中数学选修课《函数模型的应用》的第一节课。
课堂观察发现学生对函数模型的概念和应用了解较为薄弱，同时学生对数学建模的意识欠缺，对数学在实际问题中的应用能力也较弱。
因此，本次教学的目标是提高学生对函数模型的理解和应用能力，培养学生的数学建模能力。
三、课堂诊断和教学方法在教学过程中，我采用了以下几种教学方法来达到课堂诊断和教学反思的目的：1. 激发学生的兴趣：通过引入生动的实例和实际问题，激发学生对函数模型的兴趣，并使他们能够真实地感受到数学建模在解决实际问题中的重要性。
2. 探究式学习：鼓励学生主动思考和探索，在教学中通过提问、讨论等方式引导学生寻找问题的解决方法，培养他们的问题解决能力和创新思维。
3. 实践操作：引入实际的数据和情境，让学生通过实践操作来建立函数模型，提升学生的应用能力和动手实践能力。
4. 反思总结：在教学结束后，通过课堂讨论和个别交流的方式，让学生对本堂课的内容进行总结和反思，加深对函数模型的理解。
四、课堂实施根据以上的教学方法，我设计了一堂《函数模型的应用》的课堂实施方案：1. 导入阶段：通过教师简短的引导，通过一个实际问题引起学生对函数模型的思考，并提出问题：“我们如何用数学模型来解决这个问题？”2. 发现问题：将学生分组，每个小组讨论并总结出问题中的变量，并确定自变量和因变量。
通过小组交流，让学生找到问题中隐藏的规律和联系。
3. 建立函数模型：教师引入函数的概念，并通过实例引导学生建立函数模型。
同时，教师辅助学生进行数据的收集和整理，并通过实验验证提出的模型的准确性。
数学建模 建立函数模型解决实际问题
数学 必修 第一册 A
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谢谢观看！
Q(t)＝(12－gt)(60＋rt)－6t－720；① 其中r＝2.5，g＝0.1. 求t(t≥0)使Q(t)最大．
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第四章 指数函数与对数函数
模型求解 这是求二次函数最大值问题，用代数的方法容易求得 t＝6r－3g0rg－3. ②
当 r＝2.5，g＝0.1 时，t＝36，Q(36)＝324，即 36 天后出售，可得最大纯利润 324 元．
第四章 指数函数与对数函数
2．模型假设 (1)条件假设：将题目所处环境进行简化，提出简化条件(作出简化假设：船速、 水速为常数)． (2)符号假设：建立模型需要的字母、字符进行假设(用符号表示有关量：x, y 表 示船速和水速) 说明：假设是在建模最后阶段才能整理出来的． 3．模型建立：根据问题背景，选取适当的数学方法进行建模xx－＋yy××5300＝＝775500.， 4．模型求解：纯数学求解、计算机求解yx＝＝52.0，
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第四章 指数函数与对数函数
7．模型应用：进行模型应用方面的推广(作出简化假设：船速、水速为常 数)(用符号表示有关量：x, y表示船速和水速)．
解 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(用物理定律“距离＝速度×时间”列出数学式子)
x＋y×30＝750， x－y×50＝750.
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第四章 指数函数与对数函数
5．模型分析解释：分析模型本身的稳定性、收敛性等性质． 对于本问题，由于解是精确解，所以不存在误差，不存在收敛性问题；由于模 型是静态的，所以不存在时间稳定性问题；由于模型是连续的，所以解对系数及右 端项都是适定的． 答：船速每小时20千米 6．模型检验：与实际数据、客观事实进行对比检验．
数学建模课引--建立函数模型解决实际问题
模型.
由图可以看出,5个点显示出随着旋钮角度逐渐增大,燃气量
有一个从大到小又从小到大的过程.在我们学习过的函数图
象中,二次函数的图象与之最接近,所以可以用二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)近似地表示这种变化(其中x表示旋钮角
度,y表示燃气量).
所获纯利润与投资金额有关,随投资金额的变化而变化,二者
之间存在某种函数关系,但这种函数关系没有明确给出,我们
可以根据给出的数据画出散点图,借助散点图直观地分析这
组数据的变化规律,从而帮助我们选择函数模型.
以投资额x为横坐标,纯利润y为纵坐标,在平面直角坐标系中
画出散点图如下图.
由散点图可知,可以用二次函数模型近似表示投资A种商品所
= . × - ,
解得 = -. × - ,
= . × - .
故函数解析式为 y=1.903 3×10-5x2-1.472 2×10-3x+1.503 3×10-1.
检验模型 将已知的表中数据代入上述得到的函数解析式,或
者画出函数的图象,可以发现,这个函数模型与实际数据基本
建立函数模型的过程:首先要对实际问题中的变化过程进行
分析,析出其中的常量、变量及其相互关系;明确其运动变化
的基本特征,从而确定它的运动变化类型;然后根据分析结果,
选择适当的函数类型构建数学模型,将实际问题化归为数学
问题;通过运算、推理,求解函数模型;最后利用函数模型的解
说明实际问题的变化规律,达到解决问题的目的.在构建函数
算得y≈63.98,因为78÷63.98≈1.22>1.2,所以这个男性体型偏胖.
函数模型在实际问题中的应用
函数模型在实际问题中的应用在我们的日常生活和工作中，数学的身影无处不在，而函数作为数学中的重要概念，更是有着广泛且实用的应用。
函数模型能够帮助我们理解和解决各种各样的实际问题，从经济领域的成本与收益分析，到物理世界中的运动规律描述，从环境科学中的资源分配，到工程技术中的优化设计，都离不开函数模型的助力。
先来说说经济领域中的成本与收益问题。
假设一家工厂生产某种产品，其生产成本 C 与产量 x 之间的关系可以用函数 C(x) ＝ ax ＋ b 来表示，其中 a 表示单位产品的变动成本，b 是固定成本。
而产品的销售收益 R 与产量 x 的关系可以用函数 R(x) ＝ px 来表示，其中 p 是单位产品的销售价格。
那么，工厂要想获得利润，就需要考虑收益大于成本，即R(x) ＞C(x)，通过这样的函数关系，我们可以确定最佳的产量，使得利润最大化。
再看物理中的运动问题。
比如一个物体做自由落体运动，其下落的距离 h 与时间 t 的关系可以用函数 h ＝ 1/2gt²来表示，其中 g 是重力加速度。
通过这个函数，我们可以计算出物体在不同时刻所处的位置，从而预测其运动轨迹。
在环境科学中，函数模型也发挥着重要作用。
例如，研究某个区域的水资源分配问题。
假设该区域的水资源总量是固定的，而不同部门的用水需求可以用函数表示。
通过建立这些函数关系，我们可以合理地规划水资源的分配，以满足各个部门的需求，同时保证水资源的可持续利用。
工程技术方面，以桥梁的设计为例。
桥梁的承重能力与桥梁的结构参数之间存在着函数关系。
工程师们需要通过建立准确的函数模型，来确定桥梁的最佳设计方案，既要保证桥梁的安全性，又要控制建设成本。
让我们通过一个具体的例子来更深入地理解函数模型的应用。
假设我们要设计一个矩形的花坛，花坛的周长为一定值 L。
我们知道矩形的周长 L ＝ 2(x ＋ y)，其中 x 和 y 分别是矩形的长和宽。
而花坛的面积 S ＝ xy。
函数模型及其在解决实际问题中的应用 教育类毕业论文.doc
毕业论文函数模型及其在解决实际问题中的应用Function Model and Its Application in Solving the Practical Problems姓名：学号：系别：专业：年级：指导教师：2012年1月4日摘要本文论述了数学模型的概念、函数模型及其解题步骤，并对中学常见的函数建模类型归类分析，包括一次函数模型、二次函数模型、三角函数模型、指数函数模型以及对数函数模型，同时针对建立函数模型提出几点注意事项。
关键词：函数模型；实际问题；应用AbstractThis article discussed the concept of mathematical models and function model, as well as steps of solving problem in function model. Some common types in middle school were analyzed in this paper, including linear function model, quadratic objective function mode, trigonometric function model, exponential function model and logarithm functions model. At the same time, aiming at the construction of function model, some points for attention were put forward.Keywords: function model; practical problems; application目录中英文摘要 (I)引言 (1)1函数模型 (1)2应用函数模型解题的步骤 (1)2.1读懂题意，加深理解 (1)2.2引进数学符号，建立函数模型 (2)2.3求解函数模型 (2)2.4还原模型 (2)3函数模型在中学数学中的应用 (2)3.1幂函数模型 (2)3.1.1一次函数模型 (3)3.1.2二次函数模型 (4)3.2三角函数模型 (5)3.3指数函数、对数函数模型 (7)4注意事项 (9)结束语 (10)参考文献 (11)致谢 (12)引言2001年，2003年相继颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》和《普通高中数学课程标准（实验）》，新课程标准下强调数学与人的发展和现实生活之间的联系，因此重视开展数学应用教学活动是十分有必要的。
利用建模方法解决函数应用问题
利用建模方法解决函数应用问题应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。
数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。
在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.解题思维导图：第一步审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l（一条南北方向的直线）上的点A、B 处，两观察哨所相距32 n mile，在海岸线东侧有一半径为6 n mile圆形暗礁区，该暗礁区中心点C位于乙观察哨所北偏东的方向上，与甲观察哨所相距n mile，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于n mile；（1）求暗礁中心点C到海岸线l的距离；（参考数据：）（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求的取值范围．解：在三角形ABC中，由余弦定理可得：，即：，整理得：解得：，或者（舍去）过点C作CD垂直于l，垂足为D，在直角三角形CDB中，CD=BC故暗礁中心点C到海岸线l的距离为nmile,，以点C为坐标原点，建立如图所示由（1）可知平面直角坐标系，则A（，），D（，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为假设缉私艇在点T（x,y）处拦截成功，则，则点T满足方程：，化简得：要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，只需要圆与圆外离，故整理得：135，解得或（舍去）．答：（1）暗礁中心点C到海岸线l的距离是n mile；1.当时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功．。
数学建模 建立函数模型解决实际问题
4.研究计划(包括对选题的分析,解决问题的思路等) 关于身高与体重的话题可以说是我们身边经常聊到的,但如何用函 数来刻画这两者之间的内在的规律性就需要我们进行理性分析,为 了得到较为理想的函数模型,首先要对适宜群体进行数据采集,然 后结合散点图对数据的变化趋势进行分析,再选用我们已学过的能 拟合这一变化规律的函数模型,最后对获得的模型进行验证,并能 解决有关未成年男性身高和体重的定量分析等问题
参考答案:
1.课题名称
关于未成年男性体重(kg)与身高(cm)关系的函数建模 2.课题组成员及分工 成员:指导教师和全班同学 分工:指导教师负责选课题方向,并对所得模型进行评价 全班分成4个小组,每个小组分别独立完成课题研究 3.选题的意义 通过这一个课题使学生熟悉函数建模的一般过程,并能培养同学们 的团队协作的意识和勇于探索的精神.通过整个建模流程的参与, 也使同学们认识到了很多实际问题最终可以用函数模型来刻画,对 未成年男性的身高与体重的关系有了更深入的理解
7.收获与体会 8.对此研究的评价(由评价小组或老师填写)
指数函数与对数函数
数学建模 建立函数模型解决实际问题
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（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤 害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能 使蔬菜避免受到伤害？
解：（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0） ∵线段AB过点（0，10），（2，14） 代入得 b＝10 2k1+b＝14 解得 k1＝2 ∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5） ∵B在线段AB上当x=5时，y=20 ∴B坐标为（5，20） ∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10） 设双曲线CD解析式为：y= k （k2≠0） x ∵C（10，20） ∴k2=200 200 ∴双曲线CD解析式为：y= x （10≤x≤24）
例1、随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户借助市 场优势，一次性收购了10000Kg小龙虾，计划养殖一段 时间后再出售.已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天 的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元.设 这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为 y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为
方法提炼： 本题主要考察的是一元一次方程与一次函数的应用， 解决此类问题的关键是首先用待定系数法求出函数表达 式，然后利用两直线的交点转换为一元一次方程，从而 得出经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家 还有480m，突出体现了函数与方程转化的思想。
例3、某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统 的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒 温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x （h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统 开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶 段．请根据图中信息解答下列问题：
中考专题复习资料
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【专题解读】
数学思想是数学学科发生和发展的根本．数学的基本思想包 括：抽象的思想，推理的思想，建模的思想等等，是课程目标--“四基”的一个重要方面．模型思想是《数学课程标准 (2011版)》 . 新增的核心概念，是近年中考数学考查的要点和热点题型，主要 考查建立数学模型解决实际应用问题的能力．其意图是引领学生 建立数学与生活的联系，让学生明确数学是解决现实生活和生产 实践问题的有效工具，并能利用所学的数学知识解决生活中的实 际问题．
解:（1）依题意得
10m n 166000 30m n 178000
解得
m 600 n 160000
答：每天的养殖成本为600元，收购成本为160000元.
方法提炼： 本题是二元一次方程组、一次函数、二次函数的综 合应用，整个问题的设置联系生活实际，符合现实情境， 考查综合运用所学知识解决问题的能力，第一问解答的 关键是提炼题目中的等量关系，恰当建立方程模型；而 第二问中，根据已知的图象，可以分析出y是t的一次函 数，可以用待定系数法建立函数模型．但是，因为图象 呈折线型，应该根据放养时间t的不同，进行分类讨论， 分别求出此时的一次函数表达式.第三问通过分析可知， 利润是时间的函数，根据题目中的数量关系，当 20 t 50 时建立二次函数模型，再利用二次函数的性质，确定何 时取得最大值，最大值是多少，从而确定最大利润.
【专题解读】
关于数学建模与问题解决的中考试题，是把在实际中出现的 相关问题从数学的角度去分析和解决，目的是让学生明确数学是 解决现实生活和生产实践问题的有效工具．
【专题解读】
数学建模与问题解决的中考试题是山西省中考的必考题．一 类是建立代数模型（方程，函数，不等式）解决问题，这类试题 通常会设计一个现实情境，其中隐含若干个数学模型，需要学生 将实际问题转化为数学问题，并建立方程模型、不等式模型或函 数模型来求解.另一类是建立几何模型（主要是“相似三角形模型” 与“直角三角形模型”）解决问题.它们或以三角形为背景，或以 四边形为背景，通常还会与图形变换、平面直角坐标系等知识结 合起来，在解决此类问题时，最终要根据题目中的内容抽象成数 学问题中相似三角形模型与直角三角形的模型，根据其性质使问 题得到解决．
方法提炼： 本题主要考查反比例函数的应用，解决这类问题首 x 先应用待定系数法分段求函数解析式，特别是反比例函 表达式的确定，增减倒置，观察图象可得恒温系统设定 的恒定温度，代入临界值y=10即可，解答时应注意临界 点的应用.
【专题潜能挑战】 详见滚动迁移课本
谢 谢 大 家 ！
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∴y关于x的函数解析式为： y=
2 x + 10(0 ≤ x 5) 20(5≤ x 10) 200 (10 ≤ x ≤24) x
（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C
（3）把y=10代入y= 200 中，解得，x=20 x ∴20-10=10 答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤 害．
例2．小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距 2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以 96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局 停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为s1m，小明爸爸与家之 间的距离为s2m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、 s2与t之间的函数关系的图象．
0 t 20 10000 y与t的函数关系如图所示. a 100t 8000 20 t 50
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m 与n的值； （2）求y与t的函数关系式； （3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润 为W元.问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一 次性出售所得利润最大？最大利润是多少？ （总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额-总成 本）
（1）求s2与t之间的函数关系式 ； （2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸 爸？这时他们距离家还有多远？
解：(1) s2与t之间的函数关系式：s2=-96t+2400
(2)由题可知小明的速度为240m/min，可得点D(22，0)、 点B(12，2400) ， 设BD的表达式为y=kx+b,代入可得k=-240 b=5280, BD的表达式为y=-240x+5280. 联立 y=-240x+5280与y=-96x+2400. 可得 -240x+5280=-96x+2400 解得 x=20 y=480 答：小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸， 这时他们距离家还有480m.
【专题解读】
在近几年的山西中考中，关于数学建模与问题解决的中考试 题，占比都很大，通常结合方程、函数、不等式和几何图形，考 查学生数学建模、几何直观、推理能力、运算能力、阅读素养和 应用意识．预计在2019年的中考题中，此类题目仍会涉及．在解 决此类问题时，要根据题目中的数据抽象成数学模型问题，根据 所学数学知识进行解答．