计算理论17复杂理论高级专题
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Chap 10 复杂性理论中的高级专题
本章提纲 10.1 近似算法、 10.2 概率算法 10.3 交错式
10.4 交互证明，
10.5 并行计算 10.6 密码学
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@staff.shu.edu.cn
1/55
近似算法
在最优化问题中，通常试图在可行解中寻找最好的解，即最
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@staff.shu.edu.cn
23/55
引理10.20 对于f(n)≥n，有 SPACE(f(n)) ATIME(f2(n))
从O(f(n))空间的确定性图灵机M出发，构造一台O(f 2(n))时间 的交错式图灵机S
cm
∧
∨ …
t/2步内从c1到c2
XXXXX
2016/5/26
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25/55
引理10.21 对于对于f(n)≥log n，有 ASPACE(f(n)) TIME(2O(f(n)))
构造一台2O(f(n))时间的确定型图灵机S，模拟O(f(n))空间的交 错式图灵机。
S构造M对w的计算图如下：顶点集是M关于w的所有格局， 每一顶点最多使用df(n)空间（d是与M有关的常数）。从 每一个格局到M移动一步所得到格局连一条边。
证明思路：M2用如下方式模拟M1：运行M1多项式次，并且
取这些运行结果中的多数作为计算结果。错误概率将随M1的 运行次数指数下降。
XXXXX
2016/5/26
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12/55
素数性
定理11.6： 如果p是素数，且a ，则a p1
p
1(mod p)。
XXXXX
2016/5/26
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定理1０.2
定理11.2：B是最大割集的2-优的多项式近似算法。 证明：
割的大小不超过G的边数，故B是多项式时间的。 证明B输出的割X至少包含G中的所有边的一半。 G的每个顶点的割边>=非割边。 G的所有顶点的割边数和＝ X的割边总数×2。 G的所有顶点的非割边数和＝ 非割边总数×2。 X的割边数和>= 非割边数和 X的割边数 >= G的所有边数/2 G的所有边数>=最大割边数
XXXXX
2016/5/26
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8/55
概率算法
概率算法使用随机过程的结果。典型包含一条“
扔硬币”的指令，并且扔硬币的结果可能影响算 法后面的执行和输出。
BPP类
素数性
只读一次的分支程序
XXXXX
2016/5/26
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在G中找一条不与任何有标记的边相邻的边。 给这条边作标记。
输出所有有标记边的顶点。 ”
XXXXX
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定理1０.1
定理11.1：A是一个多项式时间算法，它给出G的一个顶点覆盖，其大
小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。 证明思路: A的运行时间显然是多项式界限的。 设X是它输出的顶点集合，H是有标记的边的集合。因为G的每一 条边要么属于H，要么与H中的一条边相邻，因此X与G的所有边 关联，因此X是一个顶点覆盖。 证明X的大小不超过最小顶点覆盖Y的大小的2倍。
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概率图灵机
概率图灵机M是一种非确定型图灵机，它的每一非确定步，
称作掷硬币步，并且有两个合法的下次动作。定义分支b的 概率如下，其中k是在分支b中出现的掷硬币步的步数。
定义M接受ω的概率为
Pr[b] 2
k
Pr[ M接受 ]＝
b是接受分支
Pr[b]
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XXXXX
2016/5/26
5 1
5 4
4
1
2 3
2 3
XXXXX
2016/5/26
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最小顶点覆盖的一个近似算法
下述多项式时间算法近似地解这个最优化问题，它给出一个顶点覆
盖，其大小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。
A＝ “对于输入<G>，这里G是一个无向图：
重复下述操作直至G中所有的边都与有标记的边相邻。
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引理10.19 对于f(n)≥n，有 ATIME(f(n))SPACE(f(n))
把O(f(n))时间的交错式图灵机M转换成O(f(n))空间的确定型 图灵机S
S如下模拟M：对于输入w，S对M的计算树做深度优先搜索， 确定哪些顶点接受。如果树根接受，则S接受。
19/55
交错式语言类
ATIME(t(n))={L|L是被一台O(t(n))时间的交错式图灵机判定的 语言} ASPACE(t(n))={L|L是被一台O(f(n))空间的交错式图灵机判定 的语言}
APSPACE ASPACE(n )
k k
AP PTIME (n )
k k
AL ASPACE(log n)
XXXXX
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26/55
由于f(n)≥log n，M关于w的格局数为2O(f(n))。因此，计算图的 大小为2O(f(n))，可在2O(f(n))时间内构造它。 扫描时间类似，且扫描总次数不超过顶点数，所以，使用总 时间为2O(f(n))。
只读一次的分支程序是指在它的从起
始顶点到输出顶点的每一条有向路径 上，每个变量只能被询问一次。
X3 0
1
0
X2 1
0
1
XXXXX
2016/5/26
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17/55
定理10.12
令EQROBP { B1 , B2 B1和B2是两个等价的只读一次的分支程序} 则有 EQROBP BPP
XXXXX
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6/55
最大割集的近似算法
5 1
4
把顶点集V划分成两个不相交的子集S和T，称为无向图中的 2
割。顶点分别在两个子集 中的边称为割边，割边的数目称 3 为割的大小。
B＝ “对于输入<G>，这里G是顶点集为V的无向图：
令S＝Ø和T＝V。 如果把一个顶点从S移到T或者从T移到S，使割的大小变 大，则做这样的移动，并且重复这一步。 如果不存在这样的顶点，则输出当前的割X并且停止。”
例子：
p 7, a 2 p 6, a 2
2( 71) 26 64, 64 mod 7 1 2( 61) 25 32, 32 mod 5 2
Baidu Nhomakorabea
p通过在a的费马测试是指
a p 1 1(mod p)
如果一个数能通过所有关于小于它且与它互素的数的费马测
起始格局
∧
t/2步内从 c1到cm
XXXXX 2016/5/26
2df(n) 接受格局
24/55
t/2步内从 cm到c2
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S的每个分支使用的最大时间：O(f(n)) 递归深度：log2df(n) = O(f(n))
因此，算法在交错时间O(f2(n))内运行
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15/55
RP类
定理11.9：
令PRIMES {n n是二进制素数}，PRIMES BPP
单侧错误：当算法输出拒绝时，输入一定是合数，当输出接
受时，只能知道输入可能是素数。
RP是多项式时间概率图灵机识别的语言类，在这里，在语
言中的输入以不小于1/2的概率被接受；不在语言中的输入 以概率1被拒绝。
优解。
在实践中，可能并不一定非要最优解不可，一个接近最优的
解可能是足够好的，而且可能更容易找到。
近似算法是为了求近似最优解而设计的。
XXXXX
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2/55
顶点覆盖问题
若G是无向图，则G的顶点覆盖是节点的一个子集，使得
G的每条边都与子集中的节点之一相关联。
TAUT∈AP
XXXXX
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21/55
例：令L={<Ф>| Ф不是一个永真式}
对输入Ф ：
1. 2.
存在的选取对Ф的变量的所有赋值 对一个具体的赋值，计算Ф的值
3.
如果Ф的值为0，则接受；否则拒绝
L ∈NP TAUT ∈coNP
XXXXX
基本原理是：对于任意素数p，1恰好有两个模p的平方根：
1和-1。而对于许多合数，包括卡米切尔数在内，1有4个或 更多的平方根。
引理11.7：如果p是一个奇素数，则
Pr[ PRIME 接受p] 1
引理11.8：如果p是一个奇合数，则
Pr[ PRIME 接受p] 2 k
XXXXX
2016/5/26
XXXXX
2016/5/26
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XXXXX
2016/5/26
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例10.16 永真式是一个布尔公式，对于变量的每一个 赋值，它的值都等于1。
令TAUT={<Ф>| Ф是一个永真式}
对输入Ф ： 1. 全称的选取对Ф的变量的所有赋值 2. 对一个具体的赋值，计算Ф的值 3. 如果Ф的值为1，则接受；否则拒绝
X的大小是H的2倍 H不大于Y
XXXXX
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5/55
k-优算法
如果一个最小化问题的近似算法总能找到不超过最优解k
倍的可行解，则称这个算法是k-优的。
对于最大化问题，一个k-优近似算法总能找到不小于最
优解大小的1/k的可行解。
XXXXX
2016/5/26
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18/55
交错式图灵机的定义
定义：一种特殊的非确定型图灵机。除 qaccept和qreject 外，它的状态分成全称状态和存在状态。
∨ ∧ ∧ ∨
∧ · · ·
XXXXX 2016/5/26
∧
∨
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XXXXX
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只读一次的分支程序
分支程序是一个无圈有向图，除两个
输出顶点标记0和1外，其他顶点（询 问顶点）都标记变量，并引出两条边 ，一条标记0、一条标记1，在分支程 序中指定一个顶点为起始顶点。
1
X1 0 X2 0 1 X3 1 0
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BPP类
对于0<=ε<1/2，如果满足下面的条件则称M以错误概率ε识
别语言A。
A蕴涵 Pr[ M接受 ] 1 A蕴涵 Pr[ M拒绝 ] 1
BPP是多项式时间的概率图灵机以错误概率1/3识别的语言
类。
多项式时间概率算法
设F是一个至少含有3m个元素的有限域。 D “对输入 B1 , B2 ，B1和B2是两个只读一次的分支程序： 在F中随机选取m个元素a1， ，am 计算赋给B1和B2的多项式p1和p2在a1， ，am的值 如果p1 (a1， ，am ) p2 (a1， ，am )，则接受；否则拒绝”
如果p是伪素数则能通过全部测试，如果p不是伪素数则至
多能通过全部测试的一半。于是它通过全部k个随机选择的
测试的概率不大于 2 k，因此该算法以错误概率2 k 识别所 有伪素数组成的语言。
XXXXX
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14/55
避免卡米切尔数的算法PRIME
XXXXX
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11/55
引理10.5
引理11.5：设ε是一个固定常数，且0<ε<1/2。又设M1是一台
错误概率为ε的多项式时间概率图灵机，则对于任意的多项式 poly (n) poly(n)，存在与M1等价的错误概率为 的多项式时间 2 概率图灵机M2。
试，则称这个数为伪素数，其中可能包含卡米切尔数和素数 。
XXXXX
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13/55
测试伪素数的多项式概率算法
PSEUDOPRIM E “对于输入p： 在 p中随机地选取a1 , , ak 对于每一个i，计算ai( p 1) mod p 如果所有计算出来的值都等于1，则接受；否则拒绝”
本章提纲 10.1 近似算法、 10.2 概率算法 10.3 交错式
10.4 交互证明，
10.5 并行计算 10.6 密码学
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近似算法
在最优化问题中，通常试图在可行解中寻找最好的解，即最
XXXXX
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引理10.20 对于f(n)≥n，有 SPACE(f(n)) ATIME(f2(n))
从O(f(n))空间的确定性图灵机M出发，构造一台O(f 2(n))时间 的交错式图灵机S
cm
∧
∨ …
t/2步内从c1到c2
XXXXX
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25/55
引理10.21 对于对于f(n)≥log n，有 ASPACE(f(n)) TIME(2O(f(n)))
构造一台2O(f(n))时间的确定型图灵机S，模拟O(f(n))空间的交 错式图灵机。
S构造M对w的计算图如下：顶点集是M关于w的所有格局， 每一顶点最多使用df(n)空间（d是与M有关的常数）。从 每一个格局到M移动一步所得到格局连一条边。
证明思路：M2用如下方式模拟M1：运行M1多项式次，并且
取这些运行结果中的多数作为计算结果。错误概率将随M1的 运行次数指数下降。
XXXXX
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素数性
定理11.6： 如果p是素数，且a ，则a p1
p
1(mod p)。
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定理1０.2
定理11.2：B是最大割集的2-优的多项式近似算法。 证明：
割的大小不超过G的边数，故B是多项式时间的。 证明B输出的割X至少包含G中的所有边的一半。 G的每个顶点的割边>=非割边。 G的所有顶点的割边数和＝ X的割边总数×2。 G的所有顶点的非割边数和＝ 非割边总数×2。 X的割边数和>= 非割边数和 X的割边数 >= G的所有边数/2 G的所有边数>=最大割边数
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概率算法
概率算法使用随机过程的结果。典型包含一条“
扔硬币”的指令，并且扔硬币的结果可能影响算 法后面的执行和输出。
BPP类
素数性
只读一次的分支程序
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在G中找一条不与任何有标记的边相邻的边。 给这条边作标记。
输出所有有标记边的顶点。 ”
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定理1０.1
定理11.1：A是一个多项式时间算法，它给出G的一个顶点覆盖，其大
小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。 证明思路: A的运行时间显然是多项式界限的。 设X是它输出的顶点集合，H是有标记的边的集合。因为G的每一 条边要么属于H，要么与H中的一条边相邻，因此X与G的所有边 关联，因此X是一个顶点覆盖。 证明X的大小不超过最小顶点覆盖Y的大小的2倍。
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概率图灵机
概率图灵机M是一种非确定型图灵机，它的每一非确定步，
称作掷硬币步，并且有两个合法的下次动作。定义分支b的 概率如下，其中k是在分支b中出现的掷硬币步的步数。
定义M接受ω的概率为
Pr[b] 2
k
Pr[ M接受 ]＝
b是接受分支
Pr[b]
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1
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最小顶点覆盖的一个近似算法
下述多项式时间算法近似地解这个最优化问题，它给出一个顶点覆
盖，其大小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。
A＝ “对于输入<G>，这里G是一个无向图：
重复下述操作直至G中所有的边都与有标记的边相邻。
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引理10.19 对于f(n)≥n，有 ATIME(f(n))SPACE(f(n))
把O(f(n))时间的交错式图灵机M转换成O(f(n))空间的确定型 图灵机S
S如下模拟M：对于输入w，S对M的计算树做深度优先搜索， 确定哪些顶点接受。如果树根接受，则S接受。
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交错式语言类
ATIME(t(n))={L|L是被一台O(t(n))时间的交错式图灵机判定的 语言} ASPACE(t(n))={L|L是被一台O(f(n))空间的交错式图灵机判定 的语言}
APSPACE ASPACE(n )
k k
AP PTIME (n )
k k
AL ASPACE(log n)
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由于f(n)≥log n，M关于w的格局数为2O(f(n))。因此，计算图的 大小为2O(f(n))，可在2O(f(n))时间内构造它。 扫描时间类似，且扫描总次数不超过顶点数，所以，使用总 时间为2O(f(n))。
只读一次的分支程序是指在它的从起
始顶点到输出顶点的每一条有向路径 上，每个变量只能被询问一次。
X3 0
1
0
X2 1
0
1
XXXXX
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定理10.12
令EQROBP { B1 , B2 B1和B2是两个等价的只读一次的分支程序} 则有 EQROBP BPP
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6/55
最大割集的近似算法
5 1
4
把顶点集V划分成两个不相交的子集S和T，称为无向图中的 2
割。顶点分别在两个子集 中的边称为割边，割边的数目称 3 为割的大小。
B＝ “对于输入<G>，这里G是顶点集为V的无向图：
令S＝Ø和T＝V。 如果把一个顶点从S移到T或者从T移到S，使割的大小变 大，则做这样的移动，并且重复这一步。 如果不存在这样的顶点，则输出当前的割X并且停止。”
例子：
p 7, a 2 p 6, a 2
2( 71) 26 64, 64 mod 7 1 2( 61) 25 32, 32 mod 5 2
Baidu Nhomakorabea
p通过在a的费马测试是指
a p 1 1(mod p)
如果一个数能通过所有关于小于它且与它互素的数的费马测
起始格局
∧
t/2步内从 c1到cm
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2df(n) 接受格局
24/55
t/2步内从 cm到c2
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S的每个分支使用的最大时间：O(f(n)) 递归深度：log2df(n) = O(f(n))
因此，算法在交错时间O(f2(n))内运行
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15/55
RP类
定理11.9：
令PRIMES {n n是二进制素数}，PRIMES BPP
单侧错误：当算法输出拒绝时，输入一定是合数，当输出接
受时，只能知道输入可能是素数。
RP是多项式时间概率图灵机识别的语言类，在这里，在语
言中的输入以不小于1/2的概率被接受；不在语言中的输入 以概率1被拒绝。
优解。
在实践中，可能并不一定非要最优解不可，一个接近最优的
解可能是足够好的，而且可能更容易找到。
近似算法是为了求近似最优解而设计的。
XXXXX
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2/55
顶点覆盖问题
若G是无向图，则G的顶点覆盖是节点的一个子集，使得
G的每条边都与子集中的节点之一相关联。
TAUT∈AP
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例：令L={<Ф>| Ф不是一个永真式}
对输入Ф ：
1. 2.
存在的选取对Ф的变量的所有赋值 对一个具体的赋值，计算Ф的值
3.
如果Ф的值为0，则接受；否则拒绝
L ∈NP TAUT ∈coNP
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基本原理是：对于任意素数p，1恰好有两个模p的平方根：
1和-1。而对于许多合数，包括卡米切尔数在内，1有4个或 更多的平方根。
引理11.7：如果p是一个奇素数，则
Pr[ PRIME 接受p] 1
引理11.8：如果p是一个奇合数，则
Pr[ PRIME 接受p] 2 k
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XXXXX
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例10.16 永真式是一个布尔公式，对于变量的每一个 赋值，它的值都等于1。
令TAUT={<Ф>| Ф是一个永真式}
对输入Ф ： 1. 全称的选取对Ф的变量的所有赋值 2. 对一个具体的赋值，计算Ф的值 3. 如果Ф的值为1，则接受；否则拒绝
X的大小是H的2倍 H不大于Y
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5/55
k-优算法
如果一个最小化问题的近似算法总能找到不超过最优解k
倍的可行解，则称这个算法是k-优的。
对于最大化问题，一个k-优近似算法总能找到不小于最
优解大小的1/k的可行解。
XXXXX
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交错式图灵机的定义
定义：一种特殊的非确定型图灵机。除 qaccept和qreject 外，它的状态分成全称状态和存在状态。
∨ ∧ ∧ ∨
∧ · · ·
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∨
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只读一次的分支程序
分支程序是一个无圈有向图，除两个
输出顶点标记0和1外，其他顶点（询 问顶点）都标记变量，并引出两条边 ，一条标记0、一条标记1，在分支程 序中指定一个顶点为起始顶点。
1
X1 0 X2 0 1 X3 1 0
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BPP类
对于0<=ε<1/2，如果满足下面的条件则称M以错误概率ε识
别语言A。
A蕴涵 Pr[ M接受 ] 1 A蕴涵 Pr[ M拒绝 ] 1
BPP是多项式时间的概率图灵机以错误概率1/3识别的语言
类。
多项式时间概率算法
设F是一个至少含有3m个元素的有限域。 D “对输入 B1 , B2 ，B1和B2是两个只读一次的分支程序： 在F中随机选取m个元素a1， ，am 计算赋给B1和B2的多项式p1和p2在a1， ，am的值 如果p1 (a1， ，am ) p2 (a1， ，am )，则接受；否则拒绝”
如果p是伪素数则能通过全部测试，如果p不是伪素数则至
多能通过全部测试的一半。于是它通过全部k个随机选择的
测试的概率不大于 2 k，因此该算法以错误概率2 k 识别所 有伪素数组成的语言。
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14/55
避免卡米切尔数的算法PRIME
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引理10.5
引理11.5：设ε是一个固定常数，且0<ε<1/2。又设M1是一台
错误概率为ε的多项式时间概率图灵机，则对于任意的多项式 poly (n) poly(n)，存在与M1等价的错误概率为 的多项式时间 2 概率图灵机M2。
试，则称这个数为伪素数，其中可能包含卡米切尔数和素数 。
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13/55
测试伪素数的多项式概率算法
PSEUDOPRIM E “对于输入p： 在 p中随机地选取a1 , , ak 对于每一个i，计算ai( p 1) mod p 如果所有计算出来的值都等于1，则接受；否则拒绝”