计算理论17复杂理论高级专题
计算概论知识点总结
计算概论知识点总结一、基本概念1. 计算概论的概念计算概论是一门研究计算的基本理论和方法的学科。
它是计算机科学的基础，包括了算法、数据结构、分析技术、计算复杂性理论等内容。
计算概论的研究对象是计算的过程和方法，它研究计算机问题的抽象和形式化描述、计算机问题的求解方式、计算机问题求解的复杂性以及计算机问题求解的效率等问题。
2. 算法的概念算法是解决问题的一种有序的数学过程，它包括了从问题描述到问题求解的所有步骤。
算法是对问题求解的精确描述，是计算机问题求解的基础，因此算法的设计和分析是计算概论中的重要内容。
3. 数据结构的概念数据结构是一种用来组织和存储数据的方式，它包括了数据的逻辑组织和物理存储。
数据结构是算法的载体，它的设计和选择对算法的效率有很大的影响，因此数据结构的研究也是计算概论的重要内容之一。
4. 复杂性理论的概念复杂性理论是研究计算问题的复杂性和可解性的学科。
它研究计算问题求解的时间和空间资源的需求与问题规模之间的关系，同时也研究计算问题的难解性和不可解性等问题。
二、算法分析1. 时间复杂度算法的时间复杂度是描述算法在求解问题时所需的时间资源的度量。
它通常用算法的基本操作数量与问题规模的关系来描述。
时间复杂度是算法效率的重要指标，它决定了算法在不同规模的问题上所需的时间资源。
2. 空间复杂度算法的空间复杂度是描述算法在求解问题时所需的空间资源的度量。
它通常用算法所需的额外空间与问题规模的关系来描述。
空间复杂度是算法效率的另一个重要指标，它决定了算法在不同规模的问题上所需的空间资源。
3. 算法的渐进分析算法的渐进分析是描述算法复杂度的一种常用方法，它用来描述算法在问题规模趋近无穷时的复杂度情况。
渐进分析包括了最坏情况复杂度、平均情况复杂度和均摊情况复杂度等。
4. 算法的正确性算法的正确性是指算法对于所有输入数据都能得到正确的输出。
算法正确性是算法设计的基本要求，同时也是算法分析的关键内容。
计算理论导引习题答案
什么是时间复杂度？请举例说 明。
时间复杂度是评价算法执行时 间快慢的一个指标，通常用大O 表示法来表示。例如，对于一 个简单的顺序查找算法，其时 间复杂度为O(n)，表示随着问 题规模n的增加，算法的执行时 间线性增长。
计算模型习题答案详解
习题1
解释图灵机的基本原理和工作过程。
答案
图灵机是一种理论上的计算模型，由一条无限长的纸带和一个读写头组成。读写头可以读取、写入和移动纸带上 的符号，根据当前状态和读取的符号来决定下一步的动作和状态转移。图灵机的工作过程可以模拟任何计算机程 序的执行过程。
RAM模型的扩展与优化
包括引入并行计算、分布式计算等概念，以 提高RAM模型的计算能力和效率。
其他计算模型
量子计算模型
利用量子力学原理进行计算的模型，具有在某些特定 问题上比传统计算机更高的计算效率。
生物计算模型
模拟生物体内信息处理过程的计算模型，如神经网络、 基因算法等。
光计算模型
利用光学原理进行计算的模型，具有高速并行处理和 低能耗等优点。
形式语言与自动机习题答案详解
习题1
解释什么是形式语言，并给出其定义和性质 。
答案
形式语言是பைடு நூலகம்于描述计算机程序的语法和语 义的一种数学工具。它由一组符号和一组规 则组成，可以表示各种不同类型的数据结构 和算法。形式语言具有确定性、封闭性和可 计算性等性质，这些性质使得我们可以对计
算机程序进行精确的描述和分析。
Python语言基础 掌握Python语言的基本语法、数 据类型、控制结构、函数等，以 及常用的Python库和框架。
其他编程语言 了解其他常见的编程语言，如C#、 JavaScript、Go等，以及它们的 特点和应用场景。
计算复杂性理论
计算复杂性理论计算复杂性理论是计算机科学中重要的一个分支，它研究了计算问题的难度和可解性。
通过对问题的复杂性进行分析和分类，计算复杂性理论为我们提供了解决问题的指导原则和限制条件。
本文将介绍计算复杂性理论的基本概念、主要研究内容以及其在实际应用中的重要性。
一、基本概念1. P和NP问题在计算复杂性理论中，最基本的概念是P问题和NP问题。
P 问题是指可以在多项式时间内解决的问题，即存在一个算法可以在多项式时间内给出问题的正确答案。
而NP问题则是指可以在多项式时间内验证答案的问题，但尚未找到多项式时间内解决的算法。
P问题是NP问题的子集，即所有的P问题也是NP问题，但目前尚不清楚P问题和NP问题是否是相同的类。
2. NP完全性NP完全性是计算复杂性理论中的一个关键概念，它指的是一类最困难的NP问题。
一个问题被称为是NP完全的，如果它既是一个NP问题，又满足以下条件：对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
换句话说，如果我们能够找到一个多项式时间算法来解决一个NP完全问题，那么我们也可以用同样的算法来解决所有的NP问题。
3. NP难度除了NP完全性概念，计算复杂性理论还引入了NP难度的概念。
一个问题被称为是NP难度的，如果对于任何一个NP问题，都可以用多项式时间的算法将其约化为该问题。
虽然NP难度问题不一定是NP问题，但它们和NP完全问题一样，都是十分困难的问题。
二、主要研究内容1. 多项式时间算法计算复杂性理论的一个主要研究内容是寻找和分析多项式时间算法。
多项式时间算法是指可以在多项式时间内解决的算法，即其执行时间与输入规模呈多项式关系。
研究多项式时间算法的目标是寻找高效的解决方法，从而提高问题的可解性。
2. 算法复杂性分析算法复杂性分析是计算复杂性理论中的另一个重要内容。
通过对算法的复杂性进行全面的分析，我们可以预测算法在实际应用中的性能表现。
算法复杂性分析的主要方法包括时间复杂性分析和空间复杂性分析，通过对算法的时间和空间需求进行测量和评估，我们可以判断算法在给定条件下的可行性和效率。
计算理论习题答案
计算理论习题答案计算理论，也称为理论计算机科学，是研究算法和计算过程的数学理论基础的学科。
以下是一些计算理论习题的答案示例：1. 确定性图灵机（Deterministic Turing Machine, DTM）：- 习题：证明一个确定性图灵机可以模拟任何其他确定性图灵机。
- 答案：确定性图灵机可以读取输入，根据当前状态和读取到的符号，按照预定的转移规则移动磁带头并改变状态。
要模拟另一台确定性图灵机，只需要将被模拟机的状态转移表编码为模拟机的转移规则即可。
2. 非确定性图灵机（Nondeterministic Turing Machine, NTM）：- 习题：证明非确定性图灵机比确定性图灵机更强大。
- 答案：非确定性图灵机可以在多个可能的转移中选择，这使得它能够解决一些确定性图灵机无法解决的问题，例如哈密顿回路问题。
此外，任何确定性图灵机都可以被一个非确定性图灵机模拟，但反之则不成立。
3. 可计算性（Computability）：- 习题：证明某个特定的函数是可计算的。
- 答案：要证明一个函数是可计算的，需要展示一个算法或图灵机，它对于该函数的任何输入都能在有限步骤内给出输出。
例如，一个简单的加法函数f(x, y) = x + y是可计算的，因为它可以通过迭代或递归来实现。
4. 不可解问题（Undecidable Problems）：- 习题：解释停机问题（Halting Problem）为什么是不可解的。
- 答案：停机问题是不可解的，因为它涉及到预测一个图灵机是否会在有限步骤内停止。
如果存在一个算法能够解决停机问题，那么我们可以构造一个悖论，即一个图灵机可以模拟自身并决定自己是否会停止，这会导致自指的悖论。
5. 复杂性类（Complexity Classes）：- 习题：区分P类问题和NP类问题。
- 答案：P类问题是指可以在多项式时间内解决的问题，而NP类问题是指可以在多项式时间内验证一个解的问题。
计算理论课件第三章
式时间内可以验证其解的正 问题规模的增大而急剧增加，
确性，但至今尚未找到多项 导致在实际应用中往பைடு நூலகம்难以
式时间算法来求解的问题。
求解。
所有NP完全问题在多项式时间 内可以相互转化，即如果一个 问题能够在多项式时间内求解 ，那么其他所有NP完全问题也 能够在多项式时间内求解。
NP完全问题涵盖了计算机科 学、数学、物理学等多个领
03
探讨利用光的物理特性进行计算的新方法，包括光计算基本原
理、光量子计算技术、光计算应用等。
近似算法与启发式算法研究动态
近似算法设计与分析
研究在多项式时间内求解NP难问题的近似算法，分析其时间复杂度和近似比等性能指标 。
启发式算法原理及应用
探讨模拟自然界现象或过程的启发式算法，如遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等，以及 它们在组合优化、机器学习等领域的应用。
丘奇-图灵论题
1 2
丘奇-图灵论题的定义
所有可有效计算的函数都可以用图灵机来计算。
丘奇-图灵论题的意义
奠定了计算机科学的基础，为计算机程序设计提 供了理论支持。
3
丘奇-图灵论题的应用
用于证明某些问题的不可解性，如停机问题等。
不可计算性证明
01
不可计算性的定义
指某些问题无法用图灵机在有限步骤内得出答案。
可满足性问题（SAT Problem）：给定一个布尔表 达式，求解是否存在一种变量赋值使得表达式为真。
NP完全问题在实际应用中的意义
算法设计挑战
NP完全问题的存在为 算法设计领域提供了持 续的挑战和动力，推动 了计算机科学领域的发 展。
评估问题难度
NP完全问题作为一类 难解问题的代表，为评 估其他问题的难度提供 了一个基准。如果一个 新问题被证明是NP完 全的，那么我们可以认 为这个问题是难解的。
计算理论课件第一章
例如，V＝{0,1}
V+={0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,…}
V*={,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,110,111,…} 六．语言
定义：设V是个字母表, LV*,则称L是V上的一个语言。 例如，V＝{0,1}
Na+A(α2)= Nb+B(α2)。 ② 此派生是对α1中的变元A作代换，必用产生式
A→a|aS|bAA , 显然不论使用哪一个产生式，都能得出结
论Na+A(α2)= Nb+B(α2)。
③ 此派生是对α1中的变元B作代换，必用产生式 B→b|bS|Abb ，显然不论使用哪一个产生式，都能得出
结论：Na+A(α2)= Nb+B(α2)。 综上所述，上述命题成立。
文法不仅作为一个“装置”，给出语言的句子的结构， 而
且本身也是一个数学系统。
例如：前边定义“十进制数”的文法。
G=({F,I,D,N}, {.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, P, F)
F—十进制数、 I—无符号整数、
D—十进制小数、N—数字 于是该文法的产生式集合P中产生式如下： 终极符
例如利用此文法产生3.14:
3.1N3.14
识别法：核心是一个自动机。对于给定的符号串可以
由自动机识别出是否为给定语言中合法的句子。
自动机的具体的例子以后再介绍。
1-1 形式语言基本概念
形式语言必须规定所用基本符号集合，这就是字母表。 一.字母表
字母表：符号的有限集合。通常用V或者表示。 例如 V＝a,b,c 。 二． 符号串 符号串：是由字母表中的符号组成的序列。 例如，aabbcc就是上述字母表V上的一个符号串。 符号串的长度：即是符号串所含符号个数。 例如符号串＝aabbcc 用表示的长度，则 |＝6。 空符号串：不含任何符号的符号串，通常用表示。 显然＝0 。
计算理论基础知识
计算理论基础知识计算理论是计算机科学的核心领域之一，它研究的是计算过程的本质和限制。
在计算机科学的发展过程中，计算理论提供了重要的理论基础和方法，为计算机科学和技术的发展奠定了坚实的基础。
本文将简要介绍计算理论的基础知识。
一、自动机理论自动机是计算理论中的重要概念之一，它用于描述计算过程的抽象模型。
自动机可以分为有限自动机和非确定性有限自动机等多种类型。
有限自动机是一种最简单的计算模型，它由状态、输入字母表、转换函数和初始状态等组成。
通过状态的转换和输入的驱动，有限自动机可以执行特定的计算任务。
非确定性有限自动机则相对更加复杂，它在进行状态转换时可以有多个可能的选项。
二、形式语言与文法形式语言和文法是计算理论中研究自动机行为规律的重要工具。
形式语言是由符号组成的集合，用于表示计算过程中的输入、输出和中间结果等信息。
文法则定义了形式语言的句子生成规则。
常见的文法类型有上下文无关文法、上下文相关文法等。
形式语言和文法的研究使得我们能够通过规则来描述和分析计算过程，从而更好地理解计算机科学中的一些重要概念和问题。
三、图灵机和可计算性理论图灵机是计算理论中最重要的概念之一，它由一个无限长的纸带和一个读写头组成。
图灵机通过读写头在纸带上的移动和改写来模拟计算过程。
图灵机的提出使得我们能够更深入地研究计算过程的本质和限制。
可计算性理论是计算理论中的一个重要分支，它研究的是什么样的问题可以通过某种计算模型解决。
根据可计算性理论，存在一些问题是不可计算的，即无法用任何计算模型来解决。
四、复杂性理论复杂性理论是计算理论中的另一个重要分支，它研究的是计算问题的复杂度。
复杂性理论主要关注计算问题的难解性和可解性。
常见的复杂性类别有P类、NP类等。
P类问题是可以在多项式时间内解决的问题，而NP类问题是可以在多项式时间内验证解的问题。
复杂性理论的研究使得我们能够更好地理解计算问题的本质，从而设计更高效的算法和方法。
五、计算复杂性和可计算性的关系计算复杂性和可计算性是计算理论中两个重要的概念。
计算机科学的知识点总结
计算机科学的知识点总结计算机科学是一门研究计算机系统原理、设计、开发和应用的学科。
它涵盖了广泛的主题，包括计算理论、软件工程、计算机体系结构、数据结构和算法、人机交互和人工智能等。
本文将对计算机科学中的一些重要知识点进行总结。
一、计算理论1. 自动机理论：自动机是一种抽象模型，用来描述计算过程。
有限自动机、正则语言和上下文无关语言是自动机理论的基础概念。
2. 图灵机理论：图灵机是一种理论计算模型，具有无限长的纸带和可执行的指令集。
图灵机理论是计算机科学的基石，用于研究计算的可行性和复杂性。
3. 复杂性理论：复杂性理论研究计算问题的难度和复杂性。
NP完全问题和P与NP问题是复杂性理论的重要概念。
二、软件工程1. 软件开发生命周期：软件开发生命周期包括需求分析、系统设计、编码、测试和维护等阶段。
每个阶段都有不同的任务和目标，以确保软件开发的质量和可靠性。
2. 软件需求工程：软件需求工程是关注软件系统的需求分析和规范的过程。
它涉及到需求获取、需求分析、需求规范和需求验证等步骤。
3. 软件测试和调试：软件测试是验证软件系统是否满足规格和用户需求的过程。
调试是查找和修复软件系统中的错误和故障的过程。
三、计算机体系结构1. 冯·诺依曼体系结构：冯·诺依曼体系结构是目前计算机体系结构的基础模型。
它由存储器、控制器、算术逻辑单元和输入输出设备等核心组件组成。
2. 指令集体系结构：指令集体系结构描述了计算机的指令集和操作方式。
常见的指令集体系结构包括精简指令集（RISC）和复杂指令集（CISC）。
3. 并行计算：并行计算是指多个处理器同时执行任务的计算方式。
并行计算可以提高计算速度和性能，常用于高性能计算和大规模数据处理。
四、数据结构和算法1. 数据结构：数据结构是组织和存储数据的方式。
常见的数据结构包括数组、链表、栈、队列、树和图等。
2. 算法设计与分析：算法是解决问题的一系列指令和步骤。
算法设计包括贪心算法、分治算法、动态规划和回溯算法等。
计算理论计算复杂性ppt课件
3cnf: 每个子句文字数不大于3, 2cnf: 每个子句文字数不大于2
可满足问题SAT
• 可满足性问题: SAT = { <> | 是可满足的布尔公式 }
• 思想: 将字符串对应到布尔公式 利用接受的形式定义.
• 过程: 任取ANP, 设N是A的nk时间NTM. w(|w|=n), N接受w
N有长度小于nk的接受格局序列 能填好N在w上的画面(一个nknk表格) f(w)可满足 • 结论: SAT是NP完全的
N接受w能填好N在w上的画面
# q0 w0 w1 … wn #
2)若0,1都在带上,重复以下步骤. O(n)
3) 检查带上0,1总数的奇偶性,
若是奇数,就拒绝.
O(n) log n
4) 再次扫描带,
第1个0开始,隔1个0删除1个0; O(n)
第1个1开始,隔1个1删除1个1.
总时间:
5)若带上同时没有0和1,则接受. O(n) O(nlogn)
否则拒绝.”
{0k1k|k0}TIME(nlogn)
快速验证
HP = {<G,s,t>|G是包含从s到t的 哈密顿路径的有向图}
CLIQUE={<G,k>|G是有k团的无向图} 目前没有快速算法,但其成员是可以快速验证的. 注意:HP的补可能不是可以快速验证的. 快速验证的特点: 1. 只需要对语言中的串能快速验证. 2. 验证需要借助额外的信息:证书,身份证.
• 二元可满足性问题: 2SAT = { <> | 是可满足的2cnf }
复杂理论与情报研究
韦弗所指的简单系统，包括那些只包含一些静态的相互影响的目标和变量的现象。
1
例如物理学中提及的射线的轨迹，天文学中的人造卫星以及碰撞现象。在科学革命早期这些现象曾吸引了伽利略、笛卡尔、培根和牛顿等科学巨匠的注意。在那个时代，他们发展出一套科学分析的方法，试图把这些简单现象还原成基本的法则和基本粒子。这种主导性的假设构成一整套基础的方法论体系，使研究者能够藉此对更加复杂的现象进行推测。
进入20世纪，一些研究者开始认识到，对于一些更复杂的现象，统计的方法也不能奏效，因为这些现象自身也在不同程度地改变发展变化之中，像城市，蚁丘，经济这类现象，不管进行多么精确的测量，多么严格的实验控制，试图对某一现象准确地预测都几乎是不可能的。
首先，一个系统在另一个本质上大同小异的系统之下反应却大相径庭；其次，更为棘手的是，同样的系统有时对同样的条件体系会有完全不同的反应。
我国科学工作者对复杂性和复杂系统的研究开始于20世纪80年代。钱学森提出了开放的复杂巨系统的概念和处理这类系统的方法论——从定性到定量的综合集成体系（Meta-synthsis，简称M-S）。这一方法的理论基础是思维科学，方法基础是系统科学与数学，技术基础是以计算机为主的信息技术，哲学基础是实践论和认识论。研讨按照分布式交互网络和层次结构组织起来，就成为一种具有纵深层次、横向分布、交互作用的矩阵式研讨体系，为解决开放的复杂巨系统问题提供了规范化、结构化的形式。
四、复杂理论的特征
I think the next century will be the century of complexitg
02
五、情报学的学科特点
情报学是一门边缘性、交叉性、综合性较强的学科，在它成长壮大的过程中，不断吸收其它学科的理论和方法，拓展丰富自己的研究领域和内容，与其他学科的不断交叉融合使情报学呈现出多学科化特征、多方位的发展趋势。
《计算理论》复习题总结
《计算理论》复习题总结《计算理论》复习题总结1、⾃动机、可计算性、复杂性内涵及关系；计算理论的三个传统的核⼼领域：⾃动机、可计算性和复杂性。
通过“计算机的基本能⼒和局限性是什么？“这⼀问题将这三个领域联系在⼀起。
可计算理论与复杂性理论是密切相关的，在复杂性理论中，⽬标是把问题分成容易计算的和难计算的；⽽在可计算理论中，是把问题分成可解的和不可解。
⾃动机阐述了计算的数学模型的定义和性质，主要包含两种模型：有穷⾃动机模型；上下⽂⽆关⽂法模型。
可计算性理论和复杂性理论需要对计算机给了⼀个准确的定义。
⾃动机理论允许在介绍与计算机科学的其他⾮理论领域有关的概念时使⽤计算的形式化定义。
2、有穷⾃动机、正则语⾔、正则表达式、⾮确定有穷⾃动机、⾮正则语⾔；有穷⾃动机：描述能⼒和资源极其有限的计算机模型。
是⼀个5元组（Q，∑，δ，q0,F），其中1）Q是⼀个有穷集合，称为状态集。
2）∑是⼀个有穷集合，称为字母表。
3）δ：Q×∑→Q是转移函数。
4）q0∈Q是起始状态。
5）F?Q是接受状态集。
正则语⾔：如果⼀个语⾔能被有穷⾃动机识别。
正则表达式：⽤正则运算符构造描述语⾔的表达式。
称R是正则表达式，如果R是：1）a，a是字母表中的⼀个元素；2）ε；3）?;4）（R1?R2）；5）(R1 R2)；6）(R1*)⾮确定有穷⾃动机：是⼀个5元组（Q，∑，δ，q0,F），其中1）Q是有穷状态集。
2）∑是有穷字母表。
3）δ：Q×∑ε→P（Q）是转移函数。
4）q0∈Q是起始状态。
5）F?Q是接受状态集。
3、上下⽂⽆关语⾔及上下⽂⽆关⽂法、歧义性、乔姆斯基范式、下推⾃动机、等价性、⾮上下⽂⽆关语⾔；上下⽂⽆关语⾔：⽤上下⽂⽆关⽂法⽣成的语⾔。
上下⽂⽆关⽂法：是⼀个4元组（V，∑，R，S）且1）V是⼀个有穷集合，称为变元集2）∑是⼀个与V不相交的有穷集合，称为终结符集3）R是⼀个有穷规则集，每条规则由⼀个变元和⼀个由变元及终结符组成的字符串构成，4）S∈V是起始变元歧义性：如果字符串W在上下⽂⽆关⽂法G中有两个或者两上以上不同的最左派⽣，则称G歧义地产⽣的字符串W。
《计算理论》
《计算理论》计算理论计算理论是计算机科学的一个重要分支，它研究计算的本质、计算机的局限性、算法的复杂性等问题。
计算理论不仅对计算机科学的理论研究有着重要的贡献，而且对计算机科学的实际应用也有着重要的指导意义。
本文将从计算理论的基础概念、重要方法和应用研究方面分别进行综述。
一、计算理论的基础概念计算理论的基础概念包括自动机、图灵机、可计算性、复杂性等。
1.自动机自动机是一种数学模型，描述一组有限状态与转换规则，它可以接受或拒绝输入的序列。
其种类包括有限自动机、下推自动机、图灵机等，其中图灵机是计算理论中最重要的一种自动机。
2.图灵机图灵机是由英国数学家图灵（Alan Turing）在1936年提出的，它是一种虚拟机器，可以模拟任何其他计算模型的算法，其所能解决的问题可以称之为可计算问题。
图灵机包括状态寄存器、可写磁带、读写头等组成部分，它可以读取磁带上的输入符号，根据规则执行计算，并将结果输出到磁带上。
3.可计算性可计算性是计算理论中的一个基本概念，它指的是能够通过某种计算模型进行计算的问题。
如果一个问题可以被图灵机计算，那么它就具有可计算性。
4.复杂性复杂性是计算理论中的另一个核心概念，它指的是计算的时间和空间复杂度。
时间复杂度指的是算法执行所需的时间，而空间复杂度指的是算法执行所需的空间。
通常通过渐进符号来表示算法的复杂性，如O(n)、O(nlogn)等。
二、计算理论的重要方法计算理论的重要方法包括可计算性理论、复杂性理论、自动机理论等。
1.可计算性理论可计算性理论是研究问题的可计算性的理论。
该理论主要使用图灵机等计算模型来描述问题的可计算性，其重要结论包括：（1）停机问题不可解停机问题是指给定一个程序及其输入，是否可以在有限时间内停止运行。
停机问题不可解意味着不存在一个通用算法，可以判定任意程序是否会在有限时间内停机。
（2）哥德尔不完备定理哥德尔不完备定理指的是，任何形式化的公理化系统都存在某些命题是无法通过该系统来证明的。
计算理论总结
0
1
1
0
01
q1
q2
q3
0,1
M = ( {q1, q2 , q3} , {0,1} , , q1, q2 )
q1 q1 q2 q2 q3 q2 q3 q2 q2
L(M) = { w | w 至少一个 1 并且在最后的 1 后面有偶数个 0 }
4
计算模型—正则语言与有穷自动机
正则语言：被一台有穷自动机识别的语言。 正则运算： A∪B 、AB 、A* 正则语言类的封闭性：并、连接、星运算下封闭。 非确定型有穷自动机 (NFA) 是一个 5 元组 ( Q, , , q0, F ) : QεP(Q)是转移函数。 DFA机器易算，NFA 人易制造， 通常，人造NFA，让机器把它变成DFA。 当用并行技术去实现时实际上是用 NFA。
如果 A≤mB 且 B 是可判定的，则 A 也是可判定的。 如果 A≤mB 且 A 是不可判定的，则 B 也是不可判定的。 如果A≤mB，且B是可图灵可识别的，则A也是图灵可识别的。 如果A≤mB，且A不是图灵可识别的，则B也不是图灵可识别的。 EQTM 既不是图灵可识别的，也不是补图灵可识别的。
不可判定问题 ➢ HALTTM = { <M, w> | M 是一个TM, 且对输入 w 停机} ➢ ETM = { M | M 是一个TM，且 L(M)= } 空问题 ➢ EQTM = { M1, M2 | M1 和 M2 都是 TM，且 L(M1)=L(M2) } ➢ 检查关于语言的任何一个性质是否可由图灵机识别都是不可判定的。 （莱斯定理）
非确定型图灵机N 的运行时间 f(n) 是在任何长度为 n 的输入上所有的计算分支
中最大步数。
大 O 和小 o记法 TIME(t(n)) 为由 O(t(n)) 时间的图灵机判定的所有语言的集合。 在可计算性理论中，所有合理的计算模型都是等价的。 在复杂性理论中，模型的选择影响语言的时间复杂度。根据计算问题的时间复杂
计算理论考试题库及答案
计算理论考试题库及答案一、选择题1. 计算理论中的“图灵机”是由谁提出的？A. 阿兰·图灵B. 约翰·冯·诺伊曼C. 克劳德·香农D. 艾伦·纽曼答案：A2. 下列哪项不是图灵机的基本组成部分？A. 带子B. 读写头C. 状态寄存器D. 随机数生成器答案：D3. 形式语言理论中的“递归可枚举”是指什么？A. 可以通过图灵机在有限步内确定一个字符串是否属于该语言B. 可以通过图灵机枚举出该语言的所有字符串C. 可以通过图灵机在有限步内生成该语言的所有字符串D. 可以通过图灵机在有限步内枚举出该语言的所有字符串答案：B4. 确定性图灵机与非确定性图灵机的区别在于：A. 确定性图灵机有确定的输入输出B. 非确定性图灵机在每一步有多个可能的转移C. 确定性图灵机没有状态寄存器D. 非确定性图灵机有多个读写头答案：B5. 形式语言理论中的“可判定性问题”是指：A. 该问题有一个确定的答案B. 该问题有一个算法可以解决C. 该问题可以通过图灵机在有限步内判断D. 该问题可以通过图灵机枚举出所有可能的解答案：C二、简答题1. 请简述图灵机的工作原理。
答：图灵机由一个无限长的带子、一个读写头、一组状态寄存器和一个转移函数组成。
带子上的每个单元格可以存储一个符号，读写头可以读取、写入或擦除带子上的符号，并在带子上左右移动。
状态寄存器记录当前的状态，转移函数根据当前的状态和带子上的符号来决定读写头的下一步操作和状态寄存器的下一个状态。
图灵机通过这样的方式模拟计算过程。
2. 什么是“图灵完备性”？答：图灵完备性是指一个系统能够模拟任何图灵机的计算过程，也就是说，如果一个问题可以用图灵机解决，那么这个问题也可以在这个系统中解决。
具有图灵完备性的系统能够执行任何可以形式化的算法。
3. 请解释“不可解问题”与“难解问题”的区别。
答：不可解问题是指不存在任何算法能够在有限步内解决的问题，即这些问题是图灵不可判定的。
计算理论导引_6_可计算理论的高级专题
公式
辖域：紧跟在量词化变元后的一对括号中的部分。 前束范式：所有量词都出现在公式的前面。 自由变元：没有被量词的辖域所约束的变元。 句子或命题：没有自由变元的公式。 (1) x (F(x,y)→G(x, z) ) (2) x (F(x)→G(y)) → y (H(x)∧L(x, y, z))
计算理论
康熠华
1
Hale Waihona Puke 主要内容6.1 递归定理
6.1.1 自引用
6.1.2 递归定理的术语 6.1.3 应用
6.2 逻辑理论的可判定性
6.2.1 一个可判定的理论 6.2.2 一个不可判定的理论
6.3 图灵可归约性 6.4 信息的定义
6.4.1 极小长度的描述 6.4.2 定义的优化 6.4.3 不可压缩的串和随机性
13
一个可判定性的理论
定理 6.10
Th(N, +)是可判定的。
思路：对于输入为(N, +)的语言中的句子∮检查其在模型中是否为真。
∮=Q1x1Q2x2 …Qlxl [ψ] 对于 0~l 的每一个i，令公式∮i 为
∮i=Qi+1xi+1Qi+2xi+2 …Qlxl [ψ]
这样，∮0=∮且 ∮l =ψ。 对于从 0 到 l 的每个 i，算法构造了一个有穷自动机 Ai，它识别如下串的 集合：这些串表示∮i 为真的数的 i 元组。算法先直接构造 Ai，然后，对 从 l 向下到 1 的每个 i，它用 Ai 构造 Ai-1。最后，一旦得到 A0，算法就 检查 A0是否接受空串。如果接受，则∮为真，算法也就接受。
20
一个不可判定性的理论
定理 6.15 本定理的证明中描述的句子是unprovable 不可证的。
计算理论基础
计算理论基础计算理论基础是计算机科学领域的重要理论基础之一。
它研究计算语言和计算模型，旨在理解计算的原理和能力，并解决算法、计算复杂性、自动机理论、形式语言及逻辑等相关问题。
本文将从计算语言、计算模型、算法、计算复杂性和形式语言等方面介绍计算理论基础。
一、计算语言计算语言是计算理论中的重要概念，用于描述计算机程序的形式化语言。
常见的计算语言包括命令式语言（如C、Java）、函数式语言（如Haskell、Lisp）、逻辑式语言（如Prolog）等。
计算语言通常有其独特的语法和语义规则，用于描述计算过程中的基本操作和控制结构。
二、计算模型计算模型是计算理论研究中的另一个重点。
它是对计算过程进行抽象和模拟的数学工具，用于描述计算机的工作原理和能力。
常见的计算模型包括图灵机、有限状态机、形式文法等。
这些模型通过定义状态、转换和输入输出规则，揭示了计算的基本要素和规律。
三、算法算法是计算理论中的核心内容，它描述了解决问题的步骤和方法。
算法涉及到输入、输出和计算过程，是一种能够在有限时间内解决问题的指令序列。
计算理论通过研究算法的性质和效率，寻求解决问题的最优和最快的方法。
四、计算复杂性计算复杂性研究的是计算问题的难度和可解性。
通过分析算法的时间复杂度和空间复杂度，计算理论可以对问题的可解性进行分类和评估。
常见的计算复杂性理论包括P类问题、NP类问题以及NP完全问题。
计算复杂性的研究在计算机科学的算法设计和优化方面具有重要意义。
五、形式语言形式语言是计算理论中用于描述计算语言和自动机理论的工具。
形式语言包括正则语言、上下文无关语言和上下文敏感语言等。
通过使用形式语言，计算理论可以描述和分析计算语言的结构和特性，并为计算模型的研究提供基础。
综上所述，计算理论基础涉及到计算语言、计算模型、算法、计算复杂性和形式语言等方面的研究。
它对计算机科学的理论发展和实践应用具有重要意义，为我们理解计算的本质和规律提供了基础。
全国计算机科学理论考试题及解答
全国计算机科学理论考试题及解答第一题题目：什么是计算机科学？解答：计算机科学是研究计算机以及与之相关的计算原理、算法、数据结构等内容的学科。
它涵盖了计算机的硬件和软件方面，包括计算机系统的设计、开发与应用等。
第二题题目：计算机科学的主要研究领域有哪些？解答：计算机科学的主要研究领域包括但不限于以下几个方面：- 算法与数据结构- 人工智能与机器学习- 计算机网络与通信- 数据库与信息检索- 操作系统与系统软件- 编程语言与编译原理- 软件工程与开发方法- 计算机图形学与图像处理- 计算机安全与密码学- 分布式计算与云计算- 计算机体系结构与组成第三题题目：计算机科学的发展历史有哪些里程碑事件？解答：计算机科学的发展历史中有多个重要的里程碑事件，以下是其中几个代表性事件：- 1936年，图灵机的提出，奠定了计算机科学的理论基础。
- 1947年，第一台通用计算机ENIAC诞生，标志着计算机的实际应用。
- 1951年，第一个商用计算机UNIVAC I发布，开创了商用计算机时代。
- 1969年，互联网的雏形ARPANET建立，为后来的互联网打下基础。
- 1971年，英特尔发布第一款微处理器，开创了个人计算机时代。
- 1983年，TCP/IP协议成为互联网的标准协议，实现了互联网的全球化。
- 1991年，万维网的诞生，推动了互联网的普及和应用。
第四题题目：计算机科学的未来发展趋势是什么？解答：计算机科学的未来发展趋势可能包括以下几个方面：- 人工智能的发展将进一步推动机器学习、深度学习等技术的应用。
- 量子计算的研究将带来超高速计算和解决复杂问题的能力。
- 云计算和大数据技术的发展将提供更强大的计算和存储能力。
- 边缘计算和物联网技术的普及将改变人们的生活和工作方式。
- 计算机安全和隐私保护将成为更加重要的研究和应用领域。
第五题题目：计算机科学的学习方法和技巧有哪些？解答：计算机科学的学习方法和技巧包括但不限于以下几个方面：- 注重理论与实践的结合，通过实际编程和项目实践巩固所学知识。
计算机高级理论知识点总结
计算机高级理论知识点总结计算机科学是一个广泛的领域，涉及多个层面的理论和实践。
在计算机高级理论知识中，有许多重要的概念和原理，这些知识点是计算机科学家和工程师必须要掌握的。
本文将对计算机高级理论知识进行较为全面的总结，包括计算机体系结构、计算机体系结构、算法与数据结构、计算机网络、人工智能、并行计算、分布式系统等多个方面的知识点。
一、计算机体系结构计算机体系结构是计算机科学中非常重要的一个领域，它包括计算机硬件、操作系统、编程语言等多个方面。
计算机体系结构的研究内容主要包括指令集、存储器层次结构、总线技术、I/O系统、处理器结构等方面。
1.1 指令集指令集是计算机硬件与软件之间的接口，它定义了一组能够被硬件执行的指令。
常见的指令集包括CISC指令集、RISC指令集等。
CISC指令集通常包含了复杂的指令集合和地址模式，而RISC指令集则更加简单和规范。
1.2 存储器层次结构存储器层次结构是计算机系统中非常重要的一部分，它包括许多不同速度和容量的存储器。
常见的存储器包括寄存器、高速缓存、主存等，它们之间的访问速度和容量存在很大的差异。
1.3 总线技术总线技术是计算机硬件中的关键部分，它扮演着数据传输的桥梁角色。
总线技术包括地址总线、数据总线、控制总线等，它们负责将不同部件的数据和控制信号进行传递。
1.4 I/O系统I/O系统是计算机硬件与外部设备之间的接口。
它包括了各种外部设备的接口标准和协议，以及数据传输、中断处理等功能。
1.5 处理器结构处理器结构是计算机硬件中最重要的部分，它负责执行计算机指令。
处理器结构包括流水线、多核处理器、超标量处理器等，它们对于计算机系统的性能有着非常重要的影响。
二、操作系统操作系统是计算机体系结构中非常重要的一个组成部分，它负责管理计算机系统的硬件资源，并提供各种功能和服务。
常见的操作系统包括Windows、Linux、Unix等。
2.1 进程管理进程管理是操作系统中非常重要的一部分，它负责管理系统中的进程。
量子计算复杂度理论
量子计算复杂度理论
量子查询复杂度
量子查询复杂度
▪ 量子查询复杂度简介
1.量子查询复杂度是衡量量子算法效率的重要指标。 2.与经典查询复杂度相比，量子查询复杂度具有更低的上界。 3.量子查询复杂度的研究有助于探索量子算法的优越性和设计更高效的量子算法。
▪ 量子查询复杂度的定义
1.量子查询复杂度是指在量子算法中查询黑盒函数所需的最小查询次数。 2.量子查询复杂度与量子算法的成功概率和错误率密切相关。 3.定义量子查询复杂度需要考虑到量子算法的特性和量子计算模型的限制。
量子计算复杂度简介
量子计算复杂度的研究意义
1.推动量子计算机的发展：研究量子计算复杂度可以深入了解量子计算机的性能和能力，为设计和 优化量子计算机提供理论支持。 2.提高量子算法的效率：通过研究量子计算复杂度，可以评估不同量子算法的效率和优劣，为选择 和改进量子算法提供依据。 3.促进计算机科学的发展：量子计算复杂度作为计算机科学的一个重要分支，其研究成果也可以应 用于其他领域，推动整个学科的发展。
量子计算模型与算法
▪ 量子并行性与复杂度
1.量子并行性是量子计算的重要特点之一，可以同时处理多个 计算任务，大幅提高计算效率。 2.量子计算复杂度是衡量量子算法效率的重要指标，对于不同 的问题，量子算法的计算复杂度也有所不同。 3.通过优化量子算法和利用量子并行性，可以降低量子计算复 杂度，提高量子计算的效率和可扩展性。
▪ 量子计算复杂度下限的定义
1.量子计算复杂度下限是指在量子计算机上完成某个计算任务 所需的最小计算资源量。 2.量子计算复杂度下限的确定有助于评估量子计算机的性能和 潜力，以及比较不同算法的效率。 3.目前确定量子计算复杂度下限的方法主要基于计算复杂度理 论和量子信息论。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多项式时间概率算法
设F是一个至少含有3m个元素的有限域。 D “对输入 B1 , B2 ，B1和B2是两个只读一次的分支程序： 在F中随机选取m个元素a1， ，am 计算赋给B1和B2的多项式p1和p2在a1， ，am的值 如果p1 (a1， ，am ) p2 (a1， ，am )，则接受；否则拒绝”
wbfeng@
15/55
RP类
定理11.9：
令PRIMES {n n是二进制素数}，PRIMES BPP
单侧错误：当算法输出拒绝时，输入一定是合数，当输出接
受时，只能知道输入可能是素数。
RP是多项式时间概率图灵机识别的语言类，在这里，在语
言中的输入以不小于1/2的概率被接受；不在语言中的输入 以概率1被拒绝。
优解。
在实践中，可能并不一定非要最优解不可，一个接近最优的
解可能是足够好的，而且可能更容易找到。
近似算法是为了求近似最优解而设计的。
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
2/55
顶点覆盖问题
若G是无向图，则G的顶点覆盖是节点的一个子集，使得
G的每条边都与子集中的节点之一相关联。
5 1
5 4
4
1
2 3
2 3
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
3/55
最小顶点覆盖的一个近似算法
下述多项式时间算法近似地解这个最优化问题，它给出一个顶点覆
盖，其大小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。
A＝ “对于输入<G>，这里G是一个无向图：
重复下述操作直至G中所有的边都与有标记的边相邻。
2016/5/26
wbfeng@
22/55
引理10.19 对于f(n)≥n，有 ATIME(f(n))SPACE(f(n))
把O(f(n))时间的交错式图灵机M转换成O(f(n))空间的确定型 图灵机S
S如下模拟M：对于输入w，S对M的计算树做深度优先搜索， 确定哪些顶点接受。如果树根接受，则S接受。
如果p是伪素数则能通过全部测试，如果p不是伪素数则至
多能通过全部测试的一半。于是它通过全部k个随机选择的
测试的概率不大于 2 k，因此该算法以错误概率2 k 识别所 有伪素数组成的语言。
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
14/55
避免卡米切尔数的算法PRIME
Chap 10 复杂性理论中的高级专题
本章提纲 10.1 近似算法、 10.2 概率算法 10.3 交错式
10.4 交互证明，
10.5 并行计算 10.6 密码学
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
1/55
近似算法
在最优化问题中，通常试图在可行解中寻找最好的解，即最
在G中找一条不与任何有标记的边相邻的边。 给这条边作标记。
输出所有有标记边的顶点。 ”
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
4/55
定理1０.1
定理11.1：A是一个多项式时间算法，它给出G的一个顶点覆盖，其大
小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。 证明思路: A的运行时间显然是多项式界限的。 设X是它输出的顶点集合，H是有标记的边的集合。因为G的每一 条边要么属于H，要么与H中的一条边相邻，因此X与G的所有边 关联，因此X是一个顶点覆盖。 证明X的大小不超过最小顶点覆盖Y的大小的2倍。
证明思路：M2用如下方式模拟M1：运行M1多项式次，并且
取这些运行结果中的多数作为计算结果。错误概率将随M1的 运行次数指数下降。
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
12/55
素数性
定理11.6： 如果p是素数，且a ，则a p1
p
1(mod p)。
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
8/55
概率算法
概率算法使用随机过程的结果。典型包含一条“
扔硬币”的指令，并且扔硬币的结果可能影响算 法后面的执行和输出。
BPP类
素数性
只读一次的分支程序
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
X的大小是H的2倍 H不大于Y
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
5/55
k-优算法
如果一个最小化问题的近似算法总能找到不超过最优解k
倍的可行解，则称这个算法是k-优的。
对于最大化问题，一个k-优近似算法总能找到不小于最
优解大小的1/k的可行解。
9/55
概率图灵机
概率图灵机M是一种非确定型图灵机，它的每一非确定步，
称作掷硬币步，并且有两个合法的下次动作。定义分支b的 概率如下，其中k是在分支b中出现的掷硬币步的步数。
定义M接受ω的概率为
Pr[b] 2
k
Pr[ M接受 ]＝
b是接受分支
Pr[b]
10/55
XXXXX
2016/5/26
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
23/55
引理10.20 对于f(n)≥n，有 SPACE(f(n)) ATIME(f2(n))
从O(f(n))空间的确定性图灵机M出发，构造一台O(f 2(n))时间 的交错式图灵机S
cm
∧
∨ …
t/2步内从c1到c2
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
25/55
引理10.21 对于对于f(n)≥log n，有 ASPACE(f(n)) TIME(2O(f(n)))
构造一台2O(f(n))时间的确定型图灵机S，模拟O(f(n))空间的交 错式图灵机。
S构造M对w的计算图如下：顶点集是M关于w的所有格局， 每一顶点最多使用df(n)空间（d是与M有关的常数）。从 每一个格局到M移动一步所得到格局连一条边。
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
20/55
例10.16 永真式是一个布尔公式，对于变量的每一个 赋值，它的值都等于1。
令TAUT={<Ф>| Ф是一个永真式}
对输入Ф ： 1. 全称的选取对Ф的变量的所有赋值 2. 对一个具体的赋值，计算Ф的值 3. 如果Ф的值为1，则接受；否则拒绝
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
wbfeng@
BPP类
对于0<=ε<1/2，如果满足下面的条件则称M以错误概率ε识
别语言A。
A蕴涵 Pr[ M接受 ] 1 A蕴涵 Pr[ M拒绝 ] 1
BPP是多项式时间的概率图灵机以错误概率1/3识别的语言
类。
只读一次的分支程序是指在它的从起
始顶点到输出顶点的每一条有向路径 上，每个变量只能被询问一次。
X3 0
1
0
X2 1
0
1
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
17/55
定理10.12
令EQROBP { B1 , B2 B1和B2是两个等价的只读一次的分支程序} 则有 EQROBP BPP
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
11/55
引理10.5
引理11.5：设ε是一个固定常数，且0<ε<1/2。又设M1是一台
错误概率为ε的多项式时间概率图灵机，则对于任意的多项式 poly (n) poly(n)，存在与M1等价的错误概率为 的多项式时间 2 概率图灵机M2。
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
18/55
交错式图灵机的定义
定义：一种特殊的非确定型图灵机。除 qaccept和qreject 外，它的状态分成全称状态和存在状态。
∨ ∧ ∧ ∨
∧ · · ·
XXXXX 2016/5/26
∧
∨
wbfeng@
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
16/55
只读一次的分支程序
分支程序是一个无圈有向图，除两个
输出顶点标记0和1外，其他顶点（询 问顶点）都标记变量，并引出两条边 ，一条标记0、一条标记1，在分支程 序中指定一个顶点为起始顶点。
1
X1 0 X2 0 1 X3 1 0
试，则称这个数为伪素数，其中可能包含卡米切尔数和素数 。
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
13/55
测试伪素数的多项式概率算法
PSEUDOPRIM E “对于输入p： 在 p中随机地选取a1 , , ak 对于每一个i，计算ai( p 1) mod p 如果所有计算出来的值都等于1，则接受；否则拒绝”
19/55
交错式语言类
ATIME(t(n))={L|L是被一台O(t(n))时间的交错式图灵机判定的 语言} ASPACE(t(n))={L|L是被一台O(f(n))空间的交错式图灵机判定 的语言}
APSPACE ASPACE(n )
k k
AP PTIME (n )
k k
AL ASPACE(log n)
XXXXX
2016/5/26
wbfeng@
7/55
定理1０.2
定理11.2：B是最大割集的2-优的多项式近似算法。 证明：
割的大小不超过G的边数，故B是多项式时间的。 证明B输出的割X至少包含G中的所有边的一半。 G的每个顶点的割边>=非割边。 G的所有顶点的割边数和＝ X的割边总数×2。 G的所有顶点的非割边数和＝ 非割边总数×2。 X的割边数和>= 非割边数和 X的割边数 >= G的所有边数/2 G的所有边数>=最大割边数