分析力学的出现和发展

分析力学的出现和发展

（一）

分析力学的基本理论体系有微分形式和积分形式两种。分析力学的微分形式，是由虚功原理和达兰贝尔原理相结合而得到的拉格朗日“动力学普遍方程”，进而推广为自由参数的一般动力学方程——拉格朗日方程。“虚功原理”是十八至十九世纪力学发展最重要的成果之一，它的提出使静力学由“几何静力学”时期进入了"分析静力学"时期。

早在古希腊亚里士多德学派的《力学问题》一书中，就已经出现了“虚位移”的概念。亚历山大里亚的希隆也得出过结论：在机械及附属装置中，省力必迟缓，时间越长则举重力越小，即力与时间成反比，这就是所谓的“力学的黄金定则”。十六世纪末叶，荷兰物理学斯台文指出：“得于力者失于速”。伽利略也指出，在同一机械中，提升重物所需之力乘以高度保持不变。J．伯努利在1715年的一封信中曾提出过“虚速度”的概念，并断言，如果诸力平衡，力与力的方向上的虚速度的乘积之和必等于零。他把这个乘积称为“能量”。

这个原理的最终完成，应归功于法国著名数学家和物理学家拉格朗日。拉格朗日出版了《分析力学》一书，该书对力学的发展起了很大的促进作用。在书中，拉格朗日把“虚速度”原理看作是一个普遍原理，认识到全部静力学问题都可以用这个原理作论证。在《分析力学》中他为叙述这一原理写道：“如果某一由任意多个物体或质点组成的系统，受到某一引力或运动的作用而处于平衡中，且系统会有一不大的运动，因此，每一质点将占据无限小的空间范围（虚位移），那么，作用在所有给定点上的力和点在力的方向上产生的位移量之积的和始终为零。在计算中规定，在力的方向上产生的位移为正，反之为负。”

现在这条原理通常表述为：“假定产生一定的运动，对于每一个力，构成力和它的作用点在力的方向经过的路程的乘积，如果这些乘积的和（按照规定的正负符号）为零，那么这种运动就不会发生。”

利用“虚速度”原理，杠杆原理、力的合成和分解原理等都可以由它推导出来。拉格朗日利用这两个原理，将所有静力学的问题归结为纯数学运算。

（二）

分析力学的另一种形式是积分形式。积分形式是从莫泊丢的最小作用量原理发展起来的变分原理。变分原理和牛顿所建立的运动方程等价，我们也可以说牛顿运动原理是变分原理的子集。这是直到十九世纪中叶以前，牛顿力学体系的最重要的进展。变分学是以“最小”观念为基础开辟的一个处理力学问题的全新途径。

至于“最小观念”的提出，可以追溯到公元初期。我们知道，亚历山大里亚的希隆已经把光线取最短路径或最短时间的思想引入光的反射问题上。根据这种反射现象以及哲学、神学和审美的原则，哲学家们形成了这样一种认识，就是大自然以最短捷的可能途径运动，或者说自然界总是力求用尽可能简单的手段来获得某种效果。罗吉尔．培根的老师，林肯教区主教格罗塞特相信，自然总是以数学上最短和最好可能的方式行动。十四世纪时英国的唯名论者奥卡姆的威廉根据这个“经济原则”提出了著名的“奥卡姆剃刀”。而列奥那多．达．芬奇说自然是经济的，而且这种经济是定量的。

到了十七世纪，科学家们很容易接受这种观点。英国哲学学院领导人威尔金斯重新提出自然“从来不用任何麻烦而困难的方法去做那些用简易方

法就可以完成的事情”，即自然界的一切运动和变化都是沿着“用力最小”的途径进行的。

近代物理学史上最早使用最小观念而且成功的例子当属费马原理的

发现。费马知道反射时光线沿需时最少的路径行走，而且相信自然确实是简单

而又经济地行动的。由次，他在1657年和1662年的两封信里，确言了最小时间原理，并据此导出了光的折射定律。最初曾经反对过费马原理的惠更斯，后来证明了光线在变折射率的介质中传播时同样遵守费马原理。在牛顿总结的第一定律中，也表明物体的自然运动是直线的或最短距离的运动。所有这一切似乎预示着存在着某种潜在的普遍性原理。

1834年，由英国的哈密顿作为公设提出的哈密顿原理，真正完成了莫泊丢把费马光程极值原理推进到力学中的尝试，这是牛顿三大运动定律建立之后力学理论发展的一个最大的飞跃。但是，哈密顿不同意把它称为“最小作用原理”，而称为“稳定作用原理”。他在1833年发表于“都柏林大学评论”上的一篇论文中写道：“虽然最小作用原理已如此立足于物理学最高级定理之林，然而在宇宙经济的基地上看，当时人们普遍拒绝把它作为宇宙规律的主张，对此，拒绝恰恰在于其他理由，事实上伪装节约的数量却常常浪费地消耗着”。在1834年和1835年的两篇论文中他阐述了哈密顿原理。质点在一定时间间隔内由一点到另一点满足运动学条件的运动是多种多样的，这就需要在这些运动中找出满足动力学关系的真正运动来。哈密顿原理所给出的就是这样一条准则。哈密顿原理更深刻的揭示了客观事物之间的紧密联系，它把力学原理归结为更为一般的形式，并成为从经典力学到广义相对论的桥梁。