常用信号的的拉普拉斯变换 《信号与系统》课件
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信号与系统 拉普拉斯变换分析法一.ppt
12
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.6.2 电路的复频域求解(1)
分析思路（与相量法类似）
将时域电路模型改画成复频域电路模型 对复频域电路模型求解，得复频域解 将复频域解作拉普拉斯反变换得时域解
电路元件的复频域模型
电阻元件
iR (t ) R
°
°
+
uR (t )
I R (s) R
°
4.7.1 系统函数与单位冲激响应 4.7.2 系统函数与微分方程 4.7.3 具体电路中系统函数的确定 4.7.4 系统的复频域特性 4.7.5 拉普拉斯变换分析法的物理意义 4.7.6 系统框图
17
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.7.1 系统函数与单位冲激响应
系统函数与单位冲激响应是拉普拉斯变换对
K 1( q 1) + L +
K 12 +
K 11
( s j 0 )q ( s j 0 )q 1 ( s j 0 )2 s j 0
式中Fa (s) 的极点均位于 s 左半平面
FF (
)
=
FL (
s)
s = j+
q i =1
K (i
1i j 1)!
i
1 ( i
1) (
0)
4
电路基础教学部
2004年12月7日11时20分
4.5 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系(4)
例：FL
(
s)
= s
2
s +
2 0
FF ( ) = ?
解： 0 = 0
s
1/2 1/2
FL ( s) = 2 s +
《信号与系统》第二版第五章：拉普拉斯变换
∫ =
1 2π j
( ) ( ) σ +j∞
σ -j∞ F1 z F2 s − z dz
f1 (t )
f1 (t ) ⋅ f2 (t )
拓扑性质（微/积分性质）： 9 微分：
f2 (t)
图 5-3
3
（5-12）
《信号与系统》
第五章：拉普拉斯变换
L
⎧d
⎨ ⎩
dt
f
(t )⎫⎬
⎭
=
s
L
{f
(t )} −
⎡⎣
y
(
t
)
−
v
(
t
)⎤⎦
=
0
⇔
e
(
∞
)
=
0
e
(
∞
)
=
lim
s→0
sE
(
s
)
=
lim
s→0
s
1
+
1 W
(
s
)
为稳态误差／系统误差。
6
《信号与系统》
第五章：拉普拉斯变换
2） s → 0, s = σ + jω,σ → 0,ω → 0 （慢变信号） 3）
图 5-7
定理条件：
sF
(
s
)
在除原点外的
π
+ r
∫ lim sF (s) =
s→0
f
(0+
)
+
lim
s→0
∞ 0+
f (1) (t ) e−stdt
∫ =
f (0+ ) +
∞d 0+ dt
f (t ) dt
信号与系统教学课件第九章拉普拉斯变换
其他数值计算方法简介
数值逆变换方法
介绍基于数值计算的拉普拉斯逆 变换方法，如直接数值积分法、
离散化方法等。
优缺点分析
比较各种数值计算方法的优缺点， 如计算精度、计算速度、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用范围 等。
应用场景
根据实际需求，选择适合的数值计 算方法进行拉普拉斯逆变换求解， 并给出具体应用场景和实例。
04 拉普拉斯变换在信号处理 中的应用举例
频移性质
时域函数的频移对 应频域函数的相移 和幅度变化。
积分性质
时域函数的积分对 应频域函数的除法 运算。
拉普拉斯变换与傅里叶变换关系
01
02
03
04
拉普拉斯变换是傅里叶变换的 推广，可以处理不收敛的信号
。
傅里叶变换是拉普拉斯变换在 虚轴上的特例，即s=jω时的拉
普拉斯变换。
拉普拉斯变换提供了更广泛的 信号分析工具，适用于更复杂
信号与系统教学课件第九章拉普拉 斯变换
目录
• 拉普拉斯变换基本概念 • 拉普拉斯变换在信号与系统中的应用 • 拉普拉斯逆变换及计算方法 • 拉普拉斯变换在信号处理中的应用举
例
目录
• 拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析 中的应用
• 总结回顾与拓展延伸
01 拉普拉斯变换基本概念
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变 换，用于将时间域函数转换为复
上升时间与峰值时间
上升时间是指系统响应从某一低电平上升到高电平所需的时间，峰值时间是指系统响应达到最大值所需的时 间。上升时间和峰值时间是评价系统快速性的重要指标之一。
超调量与调节时间
超调量是指系统响应在达到稳态值之前出现的最大偏离量，调节时间是指系统响应从瞬态过程进入稳态过程 所需的时间。超调量和调节时间是评价系统准确性和稳定性的重要参数。
信号与系统-连续系统的拉普拉斯变换分析 ppt课件
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
第四章 连续时间信号与系统的
复频域分析
♣ 在前一章里，我们学习了傅里叶变换，用傅里叶分析法 分析信号与系统的频域特性。
♣ 傅里叶分析法带来的好处
1. 建立了信号与其频谱之间一一对应的关系，可以得到信号的频谱 分布、带宽等频域特性。
t t F j FFra bibliotek j f t estdt
自变量为t的函数变 成自变量为s的函数
由傅立叶反变换
f (t)et 1
2
F1(
j)e
jt d
1
2
F ( j)e jtd
f (t) 1 F( j)e j td
2
由s j. ds jd
lim
t
n! ne t
0 时，
lim t net 0
t
即 0 0 ，收敛轴为虚轴，收敛域为右半S平面。
13
ppt课件
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
例4.3 设函数 f1 t et t , 0 ；f2 t et t , 0 。
σ 表征了正弦函数和余弦函数振幅随时间变化的情况，称为衰减因子。
ω表征了正弦函数和余弦函数的角频率，称为振荡因子。
傅立叶变换将时间函数 f t 变换为频域函数 F j 拉斯变换将时间函数 f t 变换为复变函数 F s
10
ppt课件
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
2 拉普拉斯变换的收敛域
F1s 的收敛域
F2 s 的收敛域
所以时间函数只有在给定收敛域内与其拉普拉斯变换式一一对应。
SIGNALS ＆ SYSTEMS
第四章 连续时间信号与系统的
复频域分析
♣ 在前一章里，我们学习了傅里叶变换，用傅里叶分析法 分析信号与系统的频域特性。
♣ 傅里叶分析法带来的好处
1. 建立了信号与其频谱之间一一对应的关系，可以得到信号的频谱 分布、带宽等频域特性。
t t F j FFra bibliotek j f t estdt
自变量为t的函数变 成自变量为s的函数
由傅立叶反变换
f (t)et 1
2
F1(
j)e
jt d
1
2
F ( j)e jtd
f (t) 1 F( j)e j td
2
由s j. ds jd
lim
t
n! ne t
0 时，
lim t net 0
t
即 0 0 ，收敛轴为虚轴，收敛域为右半S平面。
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ppt课件
信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
例4.3 设函数 f1 t et t , 0 ；f2 t et t , 0 。
σ 表征了正弦函数和余弦函数振幅随时间变化的情况，称为衰减因子。
ω表征了正弦函数和余弦函数的角频率，称为振荡因子。
傅立叶变换将时间函数 f t 变换为频域函数 F j 拉斯变换将时间函数 f t 变换为复变函数 F s
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信号与系统
SIGNALS ＆ SYSTEMS
2 拉普拉斯变换的收敛域
F1s 的收敛域
F2 s 的收敛域
所以时间函数只有在给定收敛域内与其拉普拉斯变换式一一对应。
信号与系统3-2拉普拉斯反变换课件
7
部分分式展开法 复数极点
返回
原函数的形式之二
F(s) K1 K2
s j s j
K１ A jB
f (t) K1e( j ) t K2e( j ) t ( A jB) e( j ) t ( A jB) e( j ) t
e t [ A(e j t e j t ) jB(e j t e j t )]
2(s2
1)2 4s(s2 (s2 1)4
1)2s
1
s0
K4
1 s3(s 1)
1 s1 2
K5
1 s3(s 1)
1 s1 2
f (t) － 1 t 2 1 1 e t 1 e t (t)
2
2 2
5
部分分式展开法
返回
复数极点： 若 D(s)=(s –-j )(s –+j ) , 其根为 p1,2= j
s1 j2 (1 j2) j4 4 5
20
f
(t)
1 5
5 10
e
t
cos(2t
153.4)
(t)
10
例 3.16
反变换公式
已知
F (s)
s(s2
1 2s
5)
，求 f (t)。
解二： s2 2s 5 0 解得： s1,2 1 j2
F (s) K1 K2 K2 s s 1 j2 s 1 j2
f (t) 1 1 e t cos 2t 1 et sin 2t (t)
5 5
10
12
MATLAB计算
F=sym('1/(s^3-2*s^2+5*s)');f=ilaplace(F)
>>1/5-1/5*exp(t)*cos(2*t)+1/10*exp(t)*sin(2*t)
信号与系统拉普拉斯变换分析法二课件
商的规则表明对两个函数的商进行拉普拉斯变换，等于被除 数的拉普拉斯变换除以除数的拉普拉斯变换。
03
拉普拉斯反变换
幂级数法
总结词
通过将拉普拉斯变换式进行整理，得到一个幂级数形式，再利用幂级数展开式进行反变换。
详细描述
首先将拉普拉斯变换式进行整理，得到一个幂级数形式。然后利用幂级数展开式，将整理后的拉普拉斯变换式进 行反变换，得到原函数的表达式。
在信号处理中的应用
1 2 3
信号滤波
通过拉普拉斯变换，可以对信号进行滤波处理， 去除噪声和干扰信号，提高信号的信噪比。
信号调制与解调
在信号调制与解调过程中，拉普拉斯变换用于将 信号从时域转换到频域，便于信号的分析和处理 。
信号处理算法
在信号处理算法中，拉普拉斯变换用于将信号从 时域转换到频域，便于信号的分析和处理。
论上是等价的，但在实际应用中各有侧重。
傅里叶变换与拉普拉斯变换的对应关系
定义域
应用范围
傅里叶变换适用于全时间域，而拉普 拉斯变换则适用于有限的、非零时间 区域。
傅里叶变换在通信、振动分析等领域 应用广泛，而拉普拉斯变换则在控制 系统、电路分析等领域应用广泛。
收敛条件
傅里叶变换的收敛条件较为严格，而 拉普拉斯变换的收敛条件相对较为宽 松。
02 03
交流电路分析
在交流电路分析中，拉普拉斯变换用于求解正弦稳态电路的响应，通过 将时域函数转换为复频域函数，可以方便地计算出电路的阻抗、导纳等 参数。
动态电路分析
在动态电路分析中，拉普拉斯变换用于求解一阶和二阶常微分方程，通 过将时域函数转换为复频域函数，可以方便地计算出电路的传递函数和 极点、零点等参数。
部分分式法
总结词
03
拉普拉斯反变换
幂级数法
总结词
通过将拉普拉斯变换式进行整理，得到一个幂级数形式，再利用幂级数展开式进行反变换。
详细描述
首先将拉普拉斯变换式进行整理，得到一个幂级数形式。然后利用幂级数展开式，将整理后的拉普拉斯变换式进 行反变换，得到原函数的表达式。
在信号处理中的应用
1 2 3
信号滤波
通过拉普拉斯变换，可以对信号进行滤波处理， 去除噪声和干扰信号，提高信号的信噪比。
信号调制与解调
在信号调制与解调过程中，拉普拉斯变换用于将 信号从时域转换到频域，便于信号的分析和处理 。
信号处理算法
在信号处理算法中，拉普拉斯变换用于将信号从 时域转换到频域，便于信号的分析和处理。
论上是等价的，但在实际应用中各有侧重。
傅里叶变换与拉普拉斯变换的对应关系
定义域
应用范围
傅里叶变换适用于全时间域，而拉普 拉斯变换则适用于有限的、非零时间 区域。
傅里叶变换在通信、振动分析等领域 应用广泛，而拉普拉斯变换则在控制 系统、电路分析等领域应用广泛。
收敛条件
傅里叶变换的收敛条件较为严格，而 拉普拉斯变换的收敛条件相对较为宽 松。
02 03
交流电路分析
在交流电路分析中，拉普拉斯变换用于求解正弦稳态电路的响应，通过 将时域函数转换为复频域函数，可以方便地计算出电路的阻抗、导纳等 参数。
动态电路分析
在动态电路分析中，拉普拉斯变换用于求解一阶和二阶常微分方程，通 过将时域函数转换为复频域函数，可以方便地计算出电路的传递函数和 极点、零点等参数。
部分分式法
总结词
信号与系统三大变换PPT课件
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换可以将时域信 号转换为复频域,能够分析 系统的动态特性,是分析线 性时不变系统的重要工具。
Z变换
Z变换可以将离散时间信号 转换为复频域,广泛应用于 数字信号处理、数字滤波器 设计等领域。
信号与系统分析的一般流程
信号建模
1
根据实际问题,建立合适的数学模型
系统分析 2
对系统的输入输出关系进行分析
信号与系统分析实例
频域分析
运用傅里叶变换将时域信号转换到频域,分析信号的频谱特性,如频带、主频、谐波等。
时域分析
利用时域函数描述信号的波形、幅值、时间特性,如上升时间、延迟时间、衰减特性等。
系统建模
建立信号传输系统的数学模型,运用拉普拉斯变换或Z变换分析系统的响应特性。
滤波设计
利用频域分析结果设计合适的滤波器,如低通、高通、带通滤波器,优化系统性能。
系统
系统指由相互关联的元素组成的 整体,对输入信号进行处理并产 生输出信号的装置或过程。
输入输出
系统接受外界信号作为输入,经 过一系列的处理过程后产生输出 信号。输入输出是系统的基本特 性。
为什么要学习信号与系统
理解现代技术的 基础
信号与系统是现代技 术的基础之一,涉及 电子、通信、控制、 信息处理等诸多领域 。学习这门课程可以 帮助我们深入理解这 些技术的工作原理变换F(s)的收敛性 由实部大于某个门限值的s 决定。即当Re(s) > σ₀时, 拉普拉斯变换收敛。
拉普拉斯变换的性质
线性性
拉普拉斯变换满足线 性性质,即对任意常 数a和b以及信号x(t) 和y(t),有 L{ax(t)+by(t)}=aL{ x(t)}+bL{y(t)}。这 使得拉普拉斯变换在 信号分析中有很强的 适用性。
信号与系统 信拉普拉斯变换
•缺点： •物理概念不如傅氏变换那样清楚。
信号与系统
一．拉普拉斯变换的定义
1. 从傅立叶变换到拉普拉斯变换 信号 f (t) 乘以衰减因子
e t ( 为任意实数)后容易满足绝
t
对可积条件，依傅氏变换定义：
F1 ( ) F f (t ) e
f (t ) e t e j t d t
•收敛域
Re[s] > 0
Re[s] > 0
信号与系统
三．一些常用函数的拉氏变换
6．衰减的正余弦信号
L [e
t
cos(0t )u (t )]
L [e t sin(0t )u (t )]
1 ( j0 )t ( j0 )t L (e e )u (t ) 2 j
t
收敛坐标
所以，单边拉氏变换的的收敛域 可表示为：
σ0
O
σ
σ σ0
或
Re[s] σ0
信号与系统
二．拉氏变换的收敛域
说明：
1. 满足 lim f (t ) e t 0(σ σ 0 ) 的信号称为指数阶信号；
t
2. 有界的非周期信号的拉氏变换一定存在； 3. lim t e
0
1 st 1 e d t e s
st
0
1 s
(σ 0)
L e
α t
e 0
α t st
1 e e dt sα (α s ) 0
全 s 域平面收敛
(αs )t
(σ α )
3.单位冲激信号
L (t ) (t ) e st d t 1
信号与系统教学第九章拉普拉斯变换PPT课件
80%
幂级数展开
一个解析函数可以展开为幂级数 。
复数域的微积分
01
02
03
导数
复数域函数的导数定义为 函数值的增量与自变量增 量的比值。
积分
复数域函数的积分是函数 值的累积。
微分方程
在复数域中，微分方程是 描述函数行为的一种重要 工具。
03
拉普拉斯变换的求解方法
直接法
定义法
根据拉普拉斯变换的定义， 通过积分计算得出函数的 拉普拉斯变换。
02
01
03
定义法
根据卷积的定义，通过积分计算得出函数的卷积。
表格法
利用卷积表，查表得出函数的卷积。
性质法
利用卷积的性质，简化计算过程。
04
拉普拉斯变换的性质与定理
线性性质
总结词
线性性质是指拉普拉斯变换具有类似于线性代数中的线性性质，即对于两个函 数的和与积，其拉普拉斯变换可以分别通过各自拉普拉斯变换的和与积来获得。
拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析中的应用，有 助于设计更加稳定、可靠的控制系统，提高工程实 践中的控制效果。
信号处理中的拉普拉斯变换
在信号处理中，拉普拉斯变换 用于分析信号的频域特性。通 过将信号从时域转换到频域， 可以更好地理解信号的频率成 分和频率特性。
拉普拉斯变换在信号处理中的 应用包括：信号的频谱分析、 滤波器设计、信号调制与解调 等。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at)的拉普拉斯变换为 |a|F(s/a)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(t-b)的拉普拉斯变换为 e−bF(s)。
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f'(t)的拉普拉斯变换为 sF(s)-f(0)。
5-4拉普拉斯变换的基本性质 《信号与系统》课件
0 df (t)est dt df (t)est dt f (0 )
0 dt
0 dt
f
(t)
0 0
df (t)est dt 0 dt
f (0 ) f (0 )
df (t)est dt f (0 ) 0 dt
f (0 ) df (t)est dt 0 dt
对上式取极限 s ，其中lim[
所以
L
[ f1(t) * f2 (t)]
dF(s) d
f (t)est dt
f (t) d est dt
[tf
(t )]est dt
L[tf
(t)]
ds ds 0
0
ds
0
同理可推出
d nF(s) dsn
(t)n f (t)est dt L[(t)n f (t)]
0
例题
八.S域积分特性
对于 f (t) 有拉氏变换F(s) ，则对于 f (t) 的拉氏变换
s0
s0 0 dt
十一.卷积定理
若 f1(t) ，f2 (t)的拉氏变换分别为为 F1(s) ，F2 (s)，则可推
出 f1(t)* f2 (t) 的拉氏变换 f1(t)* f2 (t) F1(s)F2 (s)
证明：由卷积定义可得
f1(t)* f2 (t) 0 f1( ) f2 (t )d
f ( )d
s
所以可推导出
0
t
f ( )d F(s)
f ( )d
s
s
七.S 域微分特性
若f (t)的拉氏变换为 F(s) ，则对于tf (t) 的拉氏变换
有
dF (s)
tf (t)
且对于其
信号与系统第2章ppt课件
(B) u(t)Limetu(t) 0
假设u(t)的傅立叶变换为：
F ()A ()jB ()
e t u (t ) 的傅立叶变换为 ：
依据傅立叶变换具有唯一性：
F e()A e()jB e()
F()li m0Fe()
所以
A()li m0Ae()精选pBpt()li m0Be()
第二章 傅立叶变换
F ()A ()jB () A()li m0Ae() B()li m0Be()
，这种频谱搬移技术在通信系统中
得到广泛的应用。调幅，调频都是
在该基础上进行的。
精选ppt
由此可见，将时间信号f(t)乘以Cs(ω0t) 或Sin(ω0t)
，等效于将f(t)的频谱一分
为二，即幅度减小一半，沿
频率轴向左和向右各平移ω0.
第二章 傅立叶变换
例2 求如下矩形调幅信号的频谱函数
f(t) G (t)c o s 0 t
例7 如图a所示系统，已知乘法器的输入为
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
系统的频率响应为：
求输出y(t).
精选ppt
第二章 傅立叶变换
f (t) sin(2t) s(t)co3st)(
t
乘法器的输出信号为： x(t)f(t)s(t)
依频域卷积定理可知：X(j)21F(j)*S(j) 这里 f(t)F(j) s(t)S(j)
精选ppt
第二章 傅立叶变换
11周期信号的傅里叶变换
周期信号的频谱------用傅里叶级数表示。 非周期信号的频谱——用傅里叶变换表示。 周期信号的频谱可以用傅里叶变换表示吗？ （1）正弦、余弦信号的傅里叶变换 直流信号的博立叶变换为
信号与系统双边拉普拉斯变换 PPT
信号与系统双边拉普拉斯变换
若 Fa s 、Fb s 同时存在，且二者有公共收敛域，则 f t 的双边拉氏变换为 右边函数 fa t 的拉氏变换 Fa s 和左边函数 fb t 拉氏变换 Fb s 之和。
Fd (s) Fb s Fa s
如 Fa s与Fb s 没有公共收敛域，则 f t 的双边拉氏变换就不存在。
t
1
Ld
s
2
2
1 s3
2e2t e3t
ut
故系统的响应
r t Ld1 R s ra t rb t 2e2t e3t u t etu t
例 2
R
1
E
C
vc (t)
R
e(t )
C vc (t) e(t) Eu(t)
4、13 拉普拉斯变换与傅里 叶变换的关系
(2)对
fb 求单边拉氏变换得 Fb p ;
(3)对复变量 p 取反,即 p s ,就求得 Fb s 。
例1 求双边指数函数 f t et t et t ， 0 的双边拉普拉斯变换。
解：首先求右边函数的拉氏变换 Fa s
Fa
s
s
1
,
左边函数的拉氏变换 Fb s 求取如下:
（1） fb fb t t e , ；0
可见，Fd s 与 H s 有公共收敛域 ，2 1 故 Rs 存在,则有
Rs
Fd
s
H
s
s
2
1s 2s
3
1 s 1
s
2
2
1 s3
,
2 1
由收敛域可知, s 1 为右侧极点,对应的左边时间函数为
rb
t
1
Ld
1 s 1
若 Fa s 、Fb s 同时存在，且二者有公共收敛域，则 f t 的双边拉氏变换为 右边函数 fa t 的拉氏变换 Fa s 和左边函数 fb t 拉氏变换 Fb s 之和。
Fd (s) Fb s Fa s
如 Fa s与Fb s 没有公共收敛域，则 f t 的双边拉氏变换就不存在。
t
1
Ld
s
2
2
1 s3
2e2t e3t
ut
故系统的响应
r t Ld1 R s ra t rb t 2e2t e3t u t etu t
例 2
R
1
E
C
vc (t)
R
e(t )
C vc (t) e(t) Eu(t)
4、13 拉普拉斯变换与傅里 叶变换的关系
(2)对
fb 求单边拉氏变换得 Fb p ;
(3)对复变量 p 取反,即 p s ,就求得 Fb s 。
例1 求双边指数函数 f t et t et t ， 0 的双边拉普拉斯变换。
解：首先求右边函数的拉氏变换 Fa s
Fa
s
s
1
,
左边函数的拉氏变换 Fb s 求取如下:
（1） fb fb t t e , ；0
可见，Fd s 与 H s 有公共收敛域 ，2 1 故 Rs 存在,则有
Rs
Fd
s
H
s
s
2
1s 2s
3
1 s 1
s
2
2
1 s3
,
2 1
由收敛域可知, s 1 为右侧极点,对应的左边时间函数为
rb
t
1
Ld
1 s 1
信号与系统课件--§5.2 拉普拉斯变换性质
s
st
t
0
1 t st f τ d τ f t e d t s 0 0
▲ ■
第 9页
1 0 f ( x) d x n F ( s) s
t
n
例1: t2(t)<---->?
t
t 0
( x) d x t (t )
2
( x) d x 0
t
0
x ( x) d x
t
2
2
(t )
t (t )
2
2 s
3
▲
■
第 10 页
例2:已知因果信号f(t)如图 ,求F(s)
解：对f(t)求导得f’(t)，如图
f(t)
f'(t) 1
t 0
f ' ( x) d x f (t ) f (0 )
▲
-1
0
■
1
t
第 4页
例2:已知f1(t) ←→ F1(s),求f2(t)←→ F2(s)
解： f2(t) = f1(0.5t) –f1[0.5(t-2)] f1(0.5t) ←→ 2F1(2s) f1[0.5(t-2)] ←→ 2F1(2s)e-2s f2(t) ←→ 2F1(2s)(1 –e-2s) 例3:求f(t)= e-2(t-1)ε(t) ←→ F (s)=?
f τ d τ f τ d τ
t 0
① f 1 0 ②
0
①
②
0
t f τ d τ e st d t e 0 s 1 t st f t e d t F s s 0 s
信号与系统课件--§5.3拉普拉斯逆变换
3
K 2 sF ( s ) |s 0
|s 0 2
▲ ■ 第 14 页
F ( s)
3 ( s 1)
3
2 ( s 1)
t
2
2 ( s 1)
2 s
f (t ) ( t e 2t e 2 e 2) (t ) 2
2
3
t
t
▲
■
第 15 页
s pi
1
Kn s pn
K i ( s pi ) F ( s)
L [
1 s pi
]e
pi t
(t )
▲
■
第 5页
假分式情况：
F ( s) s 5s 9s 7
3 2
作长除法
2 3 2 3 2
s2
s 3s 2
2
s 3s 2 s 5s 9s 7 s 3s 2s
sin t
▲
t 0
■ 第 9页
第三种情况：有重根存在
F ( s) s
2 2
( s 2)( s 1)
K1 s2
K2 s 1
K3 ( s 1)
2
K1 为单根系数, K3为重根最高次系数
K1 ( s 2) s
2 2 s 2
( s 2)( s 1) s
e
α t
K
e K1 e 1
β t
*
β t
=2|K1|e-tcos(t+)(t)
2e
α t
A cost B sint
▲ ■ 第 8页
K 2 sF ( s ) |s 0
|s 0 2
▲ ■ 第 14 页
F ( s)
3 ( s 1)
3
2 ( s 1)
t
2
2 ( s 1)
2 s
f (t ) ( t e 2t e 2 e 2) (t ) 2
2
3
t
t
▲
■
第 15 页
s pi
1
Kn s pn
K i ( s pi ) F ( s)
L [
1 s pi
]e
pi t
(t )
▲
■
第 5页
假分式情况：
F ( s) s 5s 9s 7
3 2
作长除法
2 3 2 3 2
s2
s 3s 2
2
s 3s 2 s 5s 9s 7 s 3s 2s
sin t
▲
t 0
■ 第 9页
第三种情况：有重根存在
F ( s) s
2 2
( s 2)( s 1)
K1 s2
K2 s 1
K3 ( s 1)
2
K1 为单根系数, K3为重根最高次系数
K1 ( s 2) s
2 2 s 2
( s 2)( s 1) s
e
α t
K
e K1 e 1
β t
*
β t
=2|K1|e-tcos(t+)(t)
2e
α t
A cost B sint
▲ ■ 第 8页
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2j
再根据指数函数的拉普拉斯变换式，得
L
[sin t ]
L
[1 2j
(e jt
e jt )]
1 2j
[ s
1
j
s
1]
j
s2
2即sin ts22同理可得
cost s s2 2
一些常用函数的拉氏变换
5. eat sin t 衰减正弦函数
因为 eat sin t 1 (e(a j)t e(a j)t )
L
[sh t]
s2
2
即
sh t
s2
2
同理可得
ch t
s2
s
2
一些常用函数的拉氏变换
7. (t) 冲激函数
L [ (t)]
(t)est dt
1
0
即 (t) 1
同理可得 (t t0 ) est0
s
即
依次类推，得
L
[tn ]
n L
[t n1 ]
n.n
1 L
[tn2 ]
n. n 1
s
ss
ss
即
tn
n! s n 1
2 1 1 n! s s s sn1
一些常用函数的拉氏变换 特别的，当 n 1 时
1 t
s2
一些常用函数的拉氏变换
4. sint 正弦函数
根据欧拉公式
sin t 1 (e jt e jt )
2j
即
L [eat sin t] 1 L[(e(a j)t e(a j)t )]
2j
1[ 2j s
1 a
j
1 sa
]
j
(s
a)2
2
即
eat
sin t
(s
a)2
2
同理可得
eat
cost
(s
sa
a)2 2
一些常用函数的拉氏变换
6. sht 双曲正弦函数
sh t 1 (et et )
即
2
0
sa
则 eat 1
sa
一些常用函数的拉氏变换
（
3. t n 幂函数n（ 为正整数）
L [tn ] tnest dt
使用分部积分0 法，则有
t nest dt t n est n t n1est dt n t e n1 st dt
0
s 0 s0
s0
所以 L [tn ] n L[tn1]
5-2常用信号的的拉普拉斯变换 《信 号与系统》课件
一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
单位阶跃信号 f (t) u(t) 的拉普拉斯变换为
L [u(t)] est dt est 1
0
s0 s
则 u(t) 1
s
2. 指数函数
指数信号 f (t) eatu(t) 的拉普拉斯变换为
L [eat ] eatest dt 1
再根据指数函数的拉普拉斯变换式，得
L
[sin t ]
L
[1 2j
(e jt
e jt )]
1 2j
[ s
1
j
s
1]
j
s2
2即sin ts22同理可得
cost s s2 2
一些常用函数的拉氏变换
5. eat sin t 衰减正弦函数
因为 eat sin t 1 (e(a j)t e(a j)t )
L
[sh t]
s2
2
即
sh t
s2
2
同理可得
ch t
s2
s
2
一些常用函数的拉氏变换
7. (t) 冲激函数
L [ (t)]
(t)est dt
1
0
即 (t) 1
同理可得 (t t0 ) est0
s
即
依次类推，得
L
[tn ]
n L
[t n1 ]
n.n
1 L
[tn2 ]
n. n 1
s
ss
ss
即
tn
n! s n 1
2 1 1 n! s s s sn1
一些常用函数的拉氏变换 特别的，当 n 1 时
1 t
s2
一些常用函数的拉氏变换
4. sint 正弦函数
根据欧拉公式
sin t 1 (e jt e jt )
2j
即
L [eat sin t] 1 L[(e(a j)t e(a j)t )]
2j
1[ 2j s
1 a
j
1 sa
]
j
(s
a)2
2
即
eat
sin t
(s
a)2
2
同理可得
eat
cost
(s
sa
a)2 2
一些常用函数的拉氏变换
6. sht 双曲正弦函数
sh t 1 (et et )
即
2
0
sa
则 eat 1
sa
一些常用函数的拉氏变换
（
3. t n 幂函数n（ 为正整数）
L [tn ] tnest dt
使用分部积分0 法，则有
t nest dt t n est n t n1est dt n t e n1 st dt
0
s 0 s0
s0
所以 L [tn ] n L[tn1]
5-2常用信号的的拉普拉斯变换 《信 号与系统》课件
一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
单位阶跃信号 f (t) u(t) 的拉普拉斯变换为
L [u(t)] est dt est 1
0
s0 s
则 u(t) 1
s
2. 指数函数
指数信号 f (t) eatu(t) 的拉普拉斯变换为
L [eat ] eatest dt 1