高中数学 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案 新人教版选修2-3

§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质

教学目标：

知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。

过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。

情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教学过程： 一、复习引入：

1．二项式定理及其特例：

（1）01()()n n n

r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++++

+∈，

（2）1(1)1n r r

n n n x C x C x x +=++

++

+.

2．二项展开式的通项公式：1r n r r

r n T C a b -+=

3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性

二、讲解新课：

1二项式系数表（杨辉三角）

()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，

除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和

2．二项式系数的性质：

()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r

n

C 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m

n n

C C -=）． 直线2

n

r =

是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k

k n n n n n n k n k C C k k

----+-+==⋅，

∴k n C 相对于1

k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112

n k n k k -++>⇔<，

当12

n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得

最大值；

当n 是偶数时，中间一项2n

n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n

C -，12n n

C

+取得最大值．

（3）各二项式系数和：

∵1

(1)1n r r

n n n x C x C x x +=++

++

+，

令1x =，则012

2n r

n

n n n n n

C C C C C =+++

++

+ 三、讲解范例：

例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和

证明：在展开式01()()n n n

r n r r

n n

n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++

++

+∈中，令

1,1a b ==-，则0123

(11)(1)n n n

n n n n n

C C C C C -=-+-+

+-， 即02

13

0()()n n n n C C C C =++-++，

∴0213n n n n C C C C ++

=++

，

即在()n

a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

说明：由性质（3）及例1知02

13

12n n n n n C C C C -++

=++

=.

例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=+++

+，求：

（1）127a a a ++

+； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a ++

+.

解：（1）当1x =时，7

7

(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为

0127a a a a +++

+

∴0127a a a a +++

+1=-，

当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-， （2）令1x =， 0127a a a a +++

+1=- ①

令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②

①-② 得：7

13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7

132

+-.

（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，

∴ 7

0246132

a a a a -++++=，

∴017||||||a a a ++

+=01234567a a a a a a a a -+-+-+-

702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=

例3.求(1+x)+(1+x)2

+…+(1+x)10

展开式中x 3

的系数

解：)

x 1(1]

)x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(1010

2

+-+-+=

+++++）（ =x

x x )1()1(11+-+，

∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7

11C 例4.在(x 2

+3x+2)5

的展开式中，求x 的系数

解：∵5

552)2x ()1x ()2x 3x (++=++

∴在(x+1)5

展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，

在(2+x)5

展开式中，常数项为25

=32，含x 的项为x 80x 2C 4

15=

∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅， ∴此展开式中x 的系数为240 例5.已知n

2

)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项