圆锥曲线基础题及标准答案

n
mn)
(
10
)
2
,
mn
2
将 m+n=2,代入得 m·n= 3
②
4
由①、②式得 故椭圆方程为
m= 1 ,n= 3 或 m= 3 ,n= 1
22
22
x 2 + 3 y2=1 或 3 x2+ 1 y2=1.
22
22
-4-/4
1. k
kx 0Fra Baidu bibliotek5
5 1 3k 2 ,
x0 ky0 k 0,
15 k
即
1
3k 2
5k 1 3k 2
k
0,又 k
0, k 2
7
故所求 k=± 7 . （ 为了求出 k 的值 , 需要通过消元 , 想法设法建构 k 的方程 . ）
-3-/4
15．（本小题满分 12 分）分析：左焦点 F(1,0)，直线 y=kx 代入椭圆得 ( 3k 2 1) x2 6 x 30 ，
一、选择题：
圆锥曲线训练题
x2
1． 已知椭圆
y 2 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ，则 P 到另一焦点距离为
（
）
25 16
A． 2 B． 3C． 5
D． 7
2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为
18 ，焦距为 6 ，则椭圆的方程为
（
）
x2
A．
9
y2 1
16
x2 y2
B．
1
25 16
y 2 1.
3
（ 2）把 y kx 5 代入 x 2 3 y 2 3 中消去 y，整理得 (1 3k 2 ) x 2 30kx 78 0 .
设 C(x1, y1), D (x 2, y 2), CD 的中点是 E( x0 , y0 ) ，则
x0 k BE
x1 x 2 2
y0 1 x0
15 k 1 3k 2 y0
3 y2 6 有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？ y 4x 5 的距离最短。
13．双曲线与椭圆有共同的焦点 求渐近线与椭圆的方程。
F1(0, 5), F2(0,5) ，点 P (3, 4) 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，
14． (本题 12 分 )已知双曲线 x2 a2
y2 b2
1的离心率 e
20 5
x2 y2
当 0 时，
1,
25, 20 ；
4
4
y2 x2
当 0 时，
1, ( ) 25, 20
4
4
8． ( , 4) (1, ) (4 k)(1 k) 0,( k 4)( k 1) 0, k 1,或 k 4
9． x
3 2p 6, p 3, x
p
3
2
22
10． 1
y2 焦点在 y 轴上，则
5 k
2 3 ，过 A( a,0), B(0, b) 的直线到原点的距离是
3
3. 2
（ 1）求双曲线的方程； （2）已知直线 y kx 5(k 0) 交双曲线于不同的点 C， D 且 C， D 都在以 B 为
圆心的圆上，求 k 的值 .
( x 3) 2 y 2
15（本小题满分 12 分）经过坐标原点的直线 l 与椭圆
3
当
72k 2 48 0 ，即 k
6 ,或k
3
6
时，直线和曲线有一个公共点；
3
当
72k 2 48 0 ，即
6k
6
时，直线和曲线没有公共点。
3
3
12．解：设点 P (t, 4t 2 ) ，距离为 d ， d
4t 4t 2 5 17
4t 2 4t 5 17
当t
1
1
时， d 取得最小值，此时 P( ,1)为所求的点。
2 0 ，焦距为 10 ，这双曲线的方程为 _______________。
x2
8．若曲线
y2 1 表示双曲线，则
4 k 1k
9．抛物线 y2 6x 的准线方程为 .
k 的取值范围是。
10．椭圆 5 x2 ky 2 5 的一个焦点是 (0,2) ，那么 k 。
三、解答题
11． k 为何值时，直线 y kx 2 和曲线 2 x2 12．在抛物线 y 4x2 上求一点，使这点到直线
x2
C．
y2 1或 x2
y 2 1 D．以上都不对
25 16
16 25
3．动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ，则点 P 的轨迹是
（
）
A．双曲线
B．双曲线的一支
4．抛物线 y 2 10x 的焦点到准线的距离是
C．两条射线
D．一条射线
5
A．
2 5．若抛物线 y 2
B． 5
15
C．
2
D． 10
8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ，则点 P 的坐标为
（
）
（
）
A． (7, 14)
二、填空题
B． (14, 14)
C． (7, 2 14)
D． ( 7, 2 14)
6．若椭圆 x 2 my2 1 的离心率为 7．双曲线的渐近线方程为 x 2 y
3
，则它的长半轴长为 _______________.
2
2
13．解：由共同的焦点
F1(0, 5), F2(0,5) ，可设椭圆方程为
y2 a2
x2 a2 25
1；
y2 双曲线方程为 b2
x2 25 b 2
1，点 P(3, 4) 在椭圆上，
16 a2
9 a 2 25
1,a 2
40
双曲线的过点 P (3, 4) 的渐近线为 y
b x ，即 4 25 b2
b
3,b2 16
25 b2
所以椭圆方程为 y 2
x2
y2
1 ；双曲线方程为
x2 1
40 15
16 9
14 ． ( 本 题 12 分 ) ∵ （ 1 ） c a
2 3 , 原 点 到 直 线 AB ： x y 1 的 距 离
3
ab
ab
ab
d
a2
b2
c
b 1, a
3.
3 2 . . 故所求双曲线方程为
x2
3
6
x12x
3k 2
, x1 1
x2
3k 2
，
1
y1 y2
2
3k 。 3k 2 1
由 AF BF 知 y1 · y2 x1 1 x2 1
1。
将上述三式代入得 k
3， 3
30 或 150 。
16．（本小题满分 12 分）解：设椭圆方程为 mx2+ny2=1( m＞ 0,n＞ 0)， P(x1,y1),Q(x2,y2)
2． C 2a 2b 18, a b 9, 2c 6, c 3,c2 a2 b2 9, a b 1
得 a 5, b 4 ， x2 y2 1 或 x2 y 2 1
25 16
16 25
3． D PM PN 2, 而 MN 2 ， P 在线段 MN 的延长线上
4． B 2 p 10, p 5 ，而焦点到准线的距离是 p
5． C 点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x 2 的距离，得 xP 7, y p 2 14
6． 1,或 2
x2 当 m 1时，
1
y2 1,a 1 ；
1 m
当 0 m 1 时， y2 1
x2 1
1,e2
a2 b2 a2
3 1 m ,m
4
1 ,a2 4
1 m
4, a
2
m
2
2
7． x y
1 设双曲线的方程为 x2 4 y2 ,( 0) ，焦距 2c 10,c2 25
x2 1,c 2 1
5 1 4, k 1
k
三、解答题
11．解：由
y kx 2 2x2 3y2
，得 2 x2 6
3(kx 2) 2
6 ，即 (2 3k 2 )x2 12 kx 6
0
144k 2 24(2 3k 2 ) 72k2 48
-2-/4
当
72k 2 48 0 ，即 k
6 ,或k
3
6
时，直线和曲线有两个公共点；
y x1 由
mx2 ny2
得 (m+n)x2+2nx+n－ 1=0, 1
Δ=4n2－ 4(m+n)( n－ 1)＞ 0,即 m+n－mn＞0, 由 OP⊥OQ ,所以 x1x2+y1y2=0,即 2x1x2+(x1+x2 )+1=0,
∴ 2(n 1)
2n +1=0, ∴ m+n=2
①
mn mn
又 2 4(m
1 相交于 A、 B 两
6
2
点，若以 AB 为直径的圆恰好通过椭圆左焦点 F，求直线 l 的倾斜角．
16．（本小题满分 12 分）已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线 圆交于 P和 Q，且 OP⊥OQ， | PQ|= 10 ，求椭圆方程 . 2
y=x+1 与椭
参考答案
-1-/4
1． D 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a 10,10 3 7