九年级数学正方形的性质

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2020年中考数学必考高分考点:正方形(学生版)

2020年中考数学必考高分考点:正方形(学生版)

专题22 正方形1.正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2.正方形的性质:(1)具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质;(2)正方形的四个角都是直角,四条边都相等;(3)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角;(4)正方形是轴对称图形,有4条对称轴;(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形;(6)正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3.正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种:先证它是矩形,再证有一组邻边相等。

即有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形,再证有一个角是直角。

即有一个角是直角的菱形是正方形。

4.正方形的面积:设正方形边长为a,对角线长为b ,S正方形=222ba【例题1】(2019湖南郴州)我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A=90°,BD=4,CF=6,则正方形ADOF的边长是()A.√2B.2C.√3D.4专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】(2019•四川省凉山州)如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接E B.过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.一、选择题1.(2019内蒙古包头)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E,F分别在边BC和CD上,AE=AF,∠EAF=60°,则CF的长是()A.B.C.﹣1D.2.(2019湖南张家界)如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是()A.(,﹣)B.(1,0)C.(﹣,﹣)D.(0,﹣1)3.(2019•四川省广安市)把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为()专题典型训练题()A61()B31()C51()D414.(2019•贵州省铜仁市)如图,正方形ABCD中,AB=6,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,延长EF交BC于G,FH⊥BC,垂足为H,连接BF、DG.以下结论:①BF∥ED;②△DFG≌△DCG;③△FHB∽△EAD;④tan∠GEB=;⑤S△BFG=2.6;其中正确的个数是()A.2B.3C.4D.5\5.(2019黑龙江省绥化)如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB=4,EF=2,设AE=x.当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是()①当x=0(即E、A两点重合)时,P点有6个②当0<x<42﹣2时,P点最多有9个③当P点有8个时,x=22﹣2④当△PEF是等边三角形时,P点有4个A.①③B.①④C.②④D.②③二、填空题6.(2019湖南邵阳)公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”.如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.127.(2019湖南张家界)如图:正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD=.8.(2019•湖北省随州市)如图,已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点(不与端点重合),将△ADE 沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF.给出下列判断:①∠EAG=45°;②若DE=a,则AG∥CF;③若E为CD的中点,则△GFC的面积为a2;④若CF=FG,则DE=(-1)a;⑤BG•DE+AF•GE=a2.其中正确的是______.(写出所有正确判断的序号)9.(2019福建)如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是.(结果保留π)10.(2019•四川省凉山州)如图,正方形ABCD中,AB=12,AE=AB,点P在BC上运动(不与B、C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为.11. (2019•广东广州)如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动(不与点A,B重合),∠DAM=45°,点F在射线AM上,且AF=BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论:①∠ECF=45°;②△AEG的周长为(1+)a;③BE2+DG2=EG2;④△EAF的面积的最大值a2.其中正确的结论是.(填写所有正确结论的序号)12.(2019·广西贺州)如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE 绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为.13.(2019•山东青岛)如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF.若AD=4cm,则CF的长为cm.14.(2019江苏镇江)将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置(如图),使得点D 落在对角线CF 上,EF 与AD 相交于点H ,则HD= .(结果保留根号)15.(2019辽宁抚顺)如图,在2×6的网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,网格中小正方形的顶点叫格点,点A ,B ,C 在格点上,连接AB ,BC ,则tan ∠ABC = .三、解答题16.(2019湖南湘西州)如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边CD ,AD 上,且AF =CE .(1)求证:△ABF ≌△CBE ;(2)若AB =4,AF =1,求四边形BEDF 的面积.17. (2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 是边CD 的中点,点P 是边AD 上一点(与点A,D 不重合),射线PE 与BC 的延长线交于点Q.第10题图HGFEDCBA(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB=PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.18.(2019湖南株洲)如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG.(1)求证:△DOG≌△COE;(2)若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM=12,求正方形OEFG的边长.19.(2019•湖北省仙桃市)如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE=CF,过点E作EG ∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF.求证:(1)AE⊥BF;(2)四边形BEGF是平行四边形.20.(2019•山东泰安)如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF=90°,FG ⊥AD,垂足为点C.(1)试判断AG与FG是否相等?并给出证明;(2)若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.21.(2019湖北襄阳)(1)证明推断:如图(1),在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE.①求证:DQ=AE;②推断:的值为;(2)类比探究:如图(2),在矩形ABCD中,=k(k为常数).将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC 边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由;(3)拓展应用:在(2)的条件下,连接CP,当k=时,若tan∠CGP=,GF=2,求CP的长.。

正方形的知识总结(两篇)

正方形的知识总结(两篇)

引言概述:正方形是一种几何形状,具有许多独特的属性和特征。

本文将深入探讨正方形的知识总结,从正方形的定义和性质,到相关的数学公式和应用,并给出一些实际生活中与正方形相关的例子。

通过本文的阐述,读者将能更深入地理解和运用正方形的概念。

正文内容:1.正方形的定义和性质1.1正方形的定义:介绍正方形是一种四边相等、四个角都是直角的特殊四边形。

1.2正方形的性质:阐述正方形具有对称性、对角线相等、对角线垂直等性质,并给出证明。

2.正方形的周长和面积公式2.1周长公式的推导:详细介绍如何推导正方形的周长公式。

2.2面积公式的推导:详细介绍如何推导正方形的面积公式。

2.3周长和面积公式的比较:比较周长和面积公式之间的关系和特点,解释为什么周长公式是面积公式的一半。

3.正方形的应用3.1图形的分类:介绍几何图形的分类,重点讲述正方形在图形分类中的作用。

3.2建筑和设计中的应用:介绍正方形在建筑和设计中的应用,比如正方形的房间布局,正方形的花园设计等。

3.3数学问题的解决:解释如何使用正方形的性质和公式来解决一些数学问题,例如寻找最大正方形的面积等。

4.正方形的实际应用举例4.1城市规划:举例说明正方形在城市规划中的应用,如正方形的街区设计,正方形的公园规划等。

4.2网格和排版设计:介绍正方形在网格和排版设计中的应用,如正方形的网格布局,正方形的页面排版等。

4.3绘画和艺术:探讨正方形在绘画和艺术中的应用,如正方形的画框设计,正方形的艺术装饰等。

4.4数字图像处理:介绍正方形在数字图像处理中的应用,如正方形的像素处理,正方形的图像编码等。

4.5生活中的实际应用:举例说明正方形在日常生活中的实际应用,如正方形的餐桌布置,正方形的画框选择等。

5.结论通过本文的详细阐述,我们可以总结出正方形的定义和性质,掌握正方形的周长和面积公式,并了解了正方形在实际应用中的重要性。

正方形作为一种几何形状,在数学、建筑、设计、绘画等领域都具有广泛的应用,为我们的生活带来了便利和美感。

数学北师大版九年级上册1.3正方形的性质和判定教案

数学北师大版九年级上册1.3正方形的性质和判定教案
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
1.讨论主题:学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(五)总结回顾(用时5分钟)
今天的学习,我们了解了正方形的基本概念、性质和判定方法,以及它在日常生活中的应用。通过实践活动和小组讨论,我们加深了对正方形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点,并在日常生活中灵活运用。最后,如果有任何疑问或不明白的地方,请随时向我提问。
数学北师大版九年级上册1.3正方形的性质和判定教案
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级上册第一章第三节的正方形的性质和判定。教学内容主要包括以下方面:
1.正方形的定义:通过前一节矩形和菱形的性质,引导学生探究正方形的定义,即四条边相等且四个角都是直角的矩形。
2.正方形的性质:
(1)对边平行且相等;
(2)对角相等,且均为直角;
2.教学难点
-正方形性质的推导:学生需要理解并推导出正方形的各种性质,如对角线相等、垂直、平分等,这需要较强的逻辑推理能力。
-正方形判定的灵活应用:学生需要能够根据不同情况灵活应用判定方法,这对于部分学生来说可能存在难度。
-解决实际问题中的正方形应用:将正方形的性质和计算方法应用于实际问题,如求解正方形边长或面积,需要学生具备一定的数学建模能力。
(3)对角线互相垂直、平分且相等;

北师大版九上数学北师大版九年级上正方形的判定与性质教案

北师大版九上数学北师大版九年级上正方形的判定与性质教案
1.讨论主题:学生将围绕“正方形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法,并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发:在讨论过程中,我将作为一个引导者,帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享:每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上,以便全班都能看到。
(三)实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与正方形相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作,如用直尺和量角器测量正方形的边长和角度,验证正方形的性质。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
(四)学生小组讨论(用时10分钟)
b.对角线互相垂直平分且相等的矩形是正方形;
c.有一组邻边相等且对角线互相垂直平分的矩形是正方形。
3.正方形的性质:
a.四条边相等,四个角都是直角;
b.对角线互相垂直、平分、相等;
c.对角线将正方形分为四个全等的等腰直角三角形;
d.正方形具有矩形和菱形的性质。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念:通过正方形的判定与性质的学习,使学生能够理解正方形的空间结构特征,提高对几何图形的认识和运用能力。
学生小组讨论环节,整体表现不错,大家能够积极分享自己的观点。但在讨论过程中,我发现部分学生还是比较拘谨,不够积极主动。为了提高学生的参与度,我打算在以后的课堂中多设置一些开放性问题,鼓励他们大胆发表自己的看法。
在总结回顾环节,我发现有些学生对正方形的性质和应用还不够熟练。因此,我计划在下一节课开始时,先对这部分内容进行简要回顾,帮助学生巩固记忆。

九年级数学正方形的性质(PPT)3-2

九年级数学正方形的性质(PPT)3-2

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六表面的雷暴模型显示一次暴风雨便可形成数十厘米深的甲烷雨水。”美国宇航局戈达德太空研究协会研究小组成员托尼-德尔杰尼奥(Tony土卫六表面湖 泊效果图土卫六表面湖泊效果图DelGenio)称,这项研究是证实土卫六表面存在液态甲烷的最直接证据。图特尔说:“人们看到土卫六上空的这种云层非常 类似于地球的云层,同时人们发现该区域表面有液体洪流的迹象。”德尔杰尼奥补充指出,“卡西尼”探测器科学家在此之前并未注意到这个新湖泊的形成,
当时由于科学家们意识到该区域可能出现大雨,便投入更多的精力观测出现大雨的特征,忽视了土卫六表面形成新湖泊的迹象。科学家非常兴奋这项研究发
现揭示了土卫六的气候特征变化,当于冬季,暴风云主要聚集形成于土卫六南极
地区。季节正接近于春分,这儿不再有任何南半球暴风。德尔杰尼奥说:“暴风雨主要集中在中纬度地区,偶尔会出现在低纬度地区。”科学家在土卫六发 现新近形成;好玩的手游 / 好玩的手游 的甲烷液体湖泊科学家在土卫六发现新近形成的甲烷液体湖泊8年,“卡西尼”探测器已完成了年 勘测任务,计划延长勘测时间至年。该探测器现运行状况健康正常,任务操作员希望今后进一步延长其工作寿命。图特尔在约翰·霍普金斯大学实验室的同事 拉尔夫-罗雷兹(RalphLorenz)并未直接涉及这项研究,他指出像这样的研究将有助于人们理想地球气候变化的特点。他在一封电子邮件中写道:“土卫六 大气层拥有大量的甲烷潮湿气体,因此在度过漫长的干旱之后会出现强烈的暴风雨天气。”[7]年月日,美国宇航局的卡西尼飞船在土星最大的卫星土卫六的 高层大气中发现了甲烷云层。戈达德空间飞行中心卡西尼项目科学家,有关这一发现的研究论文第一作者卡里·安德森(CarrieAnderson)表示:“甲烷云层竟 然能在土卫六大气中如此高的高度上形成完全出乎意料。此前没有人认为这是可能的。”[8]冰封地下或存在海洋年7月日消息,据美国宇航局网站报道,来 自卡西尼探测器的最新数据显示土星最大的卫星土卫六冰封的地下可能存在一个液态水层。有关这一发现的论文已经被发表在最新出版的《科学》杂志上。 论文第一作者,卡西尼项目组成员,意大利罗马第一大学的卢西亚诺·列斯(LucianoIess)说:“卡西尼探测到土卫六大幅度的潮汐起伏,这几乎必然让人得出 其地表下方存在一个隐匿着的海洋的结论。”他说:“对于水的搜寻是太阳系探测行动的一项重要目标,而现在我们又锁定了一个

正方形的概念

正方形的概念

正方形的概念正方形是几何学中的一种特殊类型的四边形,具有特定的性质和定义。

它是由四条相等且相互垂直的边所组成的,其中每个内角都是直角(即90度),而且四条边的长度也相等。

正方形是矩形的一种特殊情况,也可以被看作是菱形的一种特殊情况。

在这篇文章中,我将详细介绍正方形的定义、性质和应用。

正方形的定义正方形可以被定义为具有以下特征的四边形:1. 四条边的长度相等:正方形的四条边长完全相等,记为a。

这意味着正方形的周长为4a。

2. 内角均为直角:每个内角都是直角,即角度为90度。

由于所有内角之和为360度,所以每个内角的度数为90度。

3. 对角线相等且垂直:正方形的两条对角线相等且垂直于彼此。

对角线长度可以通过勾股定理计算,即对角线长度d等于边长a的平方根乘以2,即d = a√2。

正方形的性质正方形具有以下性质:1. 对称性:由于正方形的边和角都相等,所以它具有4个对称轴。

这意味着可以将正方形沿着这些对称轴进行旋转或翻转,从而得到相同的图形。

2. 面积和周长:正方形的面积等于边长的平方,即A = a²。

周长等于边长的四倍,即P = 4a。

这些公式在计算正方形的面积和周长时非常有用。

3. 对角线长度:正方形的对角线长度可以通过边长求得,即d = a√2。

因为对角线是两个直角三角形的斜边,所以可以使用勾股定理来计算对角线的长度。

正方形的应用正方形在数学和实际生活中有多种应用:1. 建筑设计:正方形是建筑设计中常用的几何形状之一。

许多建筑物的平面设计中使用了正方形,如广场的布局和建筑的底部平面。

2. 绘画和艺术:正方形在绘画和艺术创作中常被用作画布的形状,例如画作的背景或画框的形状。

3. 数学推理和证明:正方形作为一种特殊的四边形,常常在数学推理和证明中被使用。

通过理解正方形的性质和特征,可以解决和证明许多数学问题。

4. 游戏和拼图:许多游戏和拼图中都会使用正方形的图形,如拼图游戏中的方块。

总结正方形是一种特殊类型的四边形,具有特定的性质和定义。

正方形的性质与计算

正方形的性质与计算

正方形的性质与计算正方形是一种特殊的四边形,它有着独特的性质和计算方法。

本文将介绍正方形的性质和计算,并探讨与之相关的概念。

一、正方形的性质1. 边长:正方形的四条边相等,分别称为边长。

设正方形的边长为a。

2. 角度:正方形的四个角都是直角,即90度。

3. 对角线:正方形的两条对角线相等,且互相垂直。

设对角线长度为d。

4. 对称性:正方形具有四个对称轴,分别是水平轴、垂直轴和两条对角线。

二、正方形的计算1. 周长:正方形的周长等于四条边的长度之和。

周长公式为P = 4a。

2. 面积:正方形的面积等于边长的平方。

面积公式为A = a^2。

3. 对角线:正方形的对角线长度可以通过边长计算得到。

根据勾股定理,对角线的长度d满足d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2,即d = √2a。

4. 边长:已知正方形的对角线长度d,可以通过计算得到边长。

边长a满足a^2 + a^2 = d^2,即2a^2 = d^2,因此a = √(d^2/2) = d/√2。

三、正方形的应用1. 建筑设计:正方形结构的建筑物在平衡力和视觉美学上有优势,因此常被用于设计中,如古代的城市规划和现代的建筑设计。

2. 数学问题:正方形经常被用来解决数学问题,如代数、几何和概率等。

通过对正方形性质的理解和计算,可以解决很多数学难题。

3. 图形设计:正方形是一种简单和对称的图形,因此在平面设计中经常被使用。

它具有稳定、均衡和易于排列的特点,适用于各种平面设计作品。

4. 游戏设计:正方形在游戏设计中也有广泛应用。

例如,棋盘游戏中的棋盘格子通常就是正方形,这样可以方便游戏规则的设计和操作。

结语:正方形作为一种特殊的四边形,具有独特的性质和计算方法。

通过对正方形的认识和应用,我们可以在数学、建筑、设计和游戏等领域中发现它的价值和魅力。

正方形的性质和计算是数学和几何学中的基础,对我们的学习和生活具有重要意义。

九年级数学正方形的性质(201911)

九年级数学正方形的性质(201911)

并且每条对角线平分一组对角

• (4)对称性:轴对称、中心对称
.
例题讲解
• 例1、已知:如图,正方形ABCD的对角线AC、 BD相交于点O,正方形A′B′C′D′的顶点A′ 与点O重合,A′B′交BC于点E,A′D′交CD于 点F.
• (1) E是BC的中点,求证:OE=OF.
例题讲解
• 已知:如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交 于点O,正方形A′B′C′D′的顶点A′与点O 重合,A′B′交BC于点E,A′D′交CD于点F.
• 求证:AF=BC+EC.
A
D
F B EC
• 已知:如图,在正方形ABCD中,E是BC 的中点,点F在CD上,∠FAE=∠BAE.
• 求证:AF=BC+EC.
A
D
G F
B EC
• 已知:如图,在正方形ABCD中,E是BC 的中点,点F在CD上,∠FAE=∠BAE.
• 求证:AF=BC+EC.
A
D
F B EC
G
课堂练习1
如图,将n个边长都为1cm的正方形按如 图所示摆放,点A1、A2、…、An分别是正方 形的中心,则n个这样的正方形重叠部分的面 积和为( )
A2 A3
A1
A4
(第18题)
A.1 cm2 B. n cm2 C.n 1 cm2 D(. 1)ncm2
4
4
4
4
• 例2、已知:如图,在正方形ABCD中,E是 BC的中点,点F在CD,∠FAE=∠BAE.
苏科版九年级上
第一章 图形与证明(二) 1.3.4 正方形的性质 yw336
知识回顾
• 有一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形叫 做正方形。

北师大九年级数学上册《正方形的性质》课件

北师大九年级数学上册《正方形的性质》课件
12.如图,正方形 ABCD 的边长为 4,点 E 在对角线 BD 上,且∠ BAE=22.5°,EF⊥AB,垂足为 F,则 EF 的长为___4_-__2__2__.
13.(2014·哈尔滨)如图,在正方形 ABCD 中,AC 为对角线,点 E 在 AB 边上,EF⊥AC 于点 F,连接 EC,AF=3,△EFC 的周长为 12,
3.正方形是轴对称图形,它有____4____条对称轴.
1.(3分)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( C ) A.四条边都相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 2.(3分)如图,将正方形ABCD折叠,使边AB,CB均落 在对角线BD上,折痕为BE,BF,则∠EBF的大小为( C ) A.15° B.30° C.45° D.60°
(2)解:∵AB=2,∴AC= 2AB=2 2.∵CE=CD,∴AE=2 2 -2.过点 E 作 EH⊥AB 于 H,则△AEH 是等腰直角三角形,∴EH =AH= 22AE=2- 2,∴BH=2-(2- 2)= 2.在 Rt△BEH 中, BE2=BH2+EH2=( 2)2+(2- 2)2=8-4 2.
(2)解:∵CD=CE,BC=CD,∴CE=BC.又∵∠BCE=30°, ∴∠EBC=75°.而AD∥BC,∴∠AFB=∠CBE=75°.
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
9.如图,正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,则图中
的等腰直角三角形有( C )
A.4 个
B.5 个
3.正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
1.有一组邻边__相__等____,并且有一个角是____直____角的平行 四边形叫做正方形.
2.正方形既是特殊矩形,又是特殊菱形, 它的四个角都是____直____角,四条边都___相__等___, 对角线_相__等__且__互__相__垂__直__平__分_, 并且每一条对角线___平__分___一组对角.

正方形的性质与判定ppt课件

正方形的性质与判定ppt课件
北师大版九年级数学
第一章 特殊平行四边形
第3节 正方形的性质与判定
情境引入
情景引入
将一张长方形纸对折两次,然后剪下一个 角,打开,怎样剪才能剪出一个正方形?
情景引入
正方形的判定定理: 1.对角线相等的菱形是正方形。 2.对角线垂直的矩形是正方形。 3.有一个角是直角的菱形是正方形。
情景引入
运用巩固
位置关系 垂直
对称性 有
合作学习
第二类图形就是正方形,我们给出定义: 有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
议一议: (1)正方形是菱形吗? (2)你认为正方形有哪些性质?
从我们得到数据分析:正方形既是矩形 又是菱形,它具有矩形和菱形的所有性质.
请同学们参照下表或独立整理矩形菱形
的性质. 矩形 性质
菱形 性质
么特征?
H
F
C G D
第三环节 猜想结论,分组验证
如果四边形ABCD变为特殊的四边形,中点四边 形EFGH会有怎样的变化呢?
原四边形可以是:
平行四边形
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
直角梯形
梯形
第三环节 猜想结论,分组验证
特殊四边形的中点四边形:

平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
想一想: 正方形有几条对称轴
解析: 正方形有4条对称轴. 经验层面:可通过折叠. 分析层面:正方形具有矩形、菱形的 所有性质,所以必然具有矩形过每组 对边中点的对称轴和菱形过对角线的 对称轴.
性质应用
例1:如图1-18,在正方形ABCD中,E为CD 上一点,F为BC边延长线上一点,且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系?请说 明理由.

九年级数学正方形的性质

九年级数学正方形的性质

O
B

C
牛刀小试:
1.如图,将4个边长都为1cm的正方形按如图所示 摆放,点A1、A2、 A3 、An分别是正方形的中心, 则阴影部分面积和为
A2 A3 A1 A4
2.如图,将n个边长都为1cm的正方形按如图所示 摆放,点A1、A2、…、An分别是正方形的中心, 则n个这样的正方形重叠部分的面积和为
初中数学九年级上册 (苏科版)
1.3正方形的性质
你能利用下图理清下面四个特殊的四边形 之间的关系吗?
正方形既是特殊的矩形,又是特殊的四边形, 所以正方形具有矩形和菱形的所有性质.你能 说出正方形有哪些性质吗?
(1)正方形的定义:
有一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形.
(2)正方形的性质:
; / 原油 ;
白重炙也有一丝疑惑,灵魂静寂状态,他并不是没有进入过,在落神山也进入过多次,但是似乎…这次却是进步更加大了,这点他也问过月倾城,月倾城也是一知半懂の,不是很清楚. …… "肯定是深层灵魂静寂状态!" 白重炙不清楚,月惜水却在查探了月倾城の情况,和听着她羞涩の说 完那天の情况之后,直接下了肯定の答案. "不咋大的倾城将你呀那种你呀领悟の法则演示一遍,俺看看威力!" 月惜水忽然想起一件事情,突然神情几多の兴奋起来,她早就估计月倾城和白重炙の第一次结合,会有很奇妙の事情发生.只是没有想到,现在却是大大出乎了她の意料. 月 倾城进入了一次灵魂静寂状态,却突然领悟了一种古怪の玄奥,不是入门,而是完全领悟!她,现在直接达到了帝王境二重巅峰の修为,并且灵魂强大猛增.这…不是月后说の深层灵魂静寂状态の话,根本无法解释. "嗯!俺去拿琴!" 月倾城点了点头,现在两人是在寒心阁天台.月倾城 走到她の房间手捧着一把黑色の古琴,走了上来.摆在天台上,她盘坐起来,开始弹奏起来. "锵锵!" 一阵悠扬婉转の美妙声音在寒心阁天台响起,并且透过天台开始传递出去,最后覆盖了整个白家堡东院. 琴声没问题,一首普通抒情の"高山流水",有问题の是听到这琴声の人.月惜水 脸上露出一丝惊喜の笑意,一双秋水眸子尽是异彩,寒心阁内正喝着茶水の夜轻语和夜轻舞,都眼中同时闪过一丝迷茫,随即开始沉寂在没悠扬の琴声中.东园刚刚回归白家の护院和杂役,全部都同时停止了手上の事情,全部眼中闪过一丝迷茫,呆立了起来. 一曲完毕,夜轻舞和夜轻语继 续开始喝起了茶,只是夜轻语微微有些疑惑の蹙起了眉梢.东院の人却宛如什么也没发生一样,继续忙活着自己の事情… "好,很好,非常好!" 月惜水却是连说了三个好字,脸上尽是神采飞扬之色:"恭喜你呀,不咋大的倾城,你呀竟然感悟了传说中の神音法则,这太不可思议了,你呀是 继白重炙之后,大陆数千年来の第二天才,无可置疑の第二天才!" 本书来自 聘熟 当前 第叁捌捌章 你呀…马上走 文章阅读 "神音法则?" 月倾城诧异の抬头朝月惜水望去,这几日她一直在琢磨这自己感悟の法则到底是什么?就连白重炙问她,她因为不确定,也才告诉他自己略有突 破而已. 现在陡然将听到月惜水这样の解释,不禁也惊了:"族长,你呀不是说天地法则只有至高法则和元素法则?这神音法则是属于哪类?他比至高法则还厉害?" "错!神音法则这两种一种都不属于.具体の俺也不是很清楚,当年月后去神界前曾经留下の宝典内记录有.她说,其实天地 中还存在一些罕见の法则,特殊类法则,没有大机缘,大悟性の人是不可能感悟到,但是一旦感悟の话,并且能迈入神级の话,这法则可就变tai了." 月后满脸兴奋の继续解释道:"你呀不知道刚才你呀弹琴の时候,夜轻语这个圣人境の练家子都陷入了迷茫之中.你呀这种法则按俺估计, 是属于灵魂类の法则,能迷惑敌人の灵魂.不咋大的倾城,朝着这法则道路一路走下去吧,说不定你呀会成为第二个白重炙,你呀未来の成就俺很期待!" "这么厉害?" 月倾城心情也微微激动了起来,原本她只是单纯の喜欢弹琴,在月家弹了十几年の琴.白重炙陷入落神山の时候,也是靠 弹琴来缓解她心内の压抑和苦寂,最后在深层灵魂静寂状态下也是听到了一曲很奇妙の曲子.没想到竟然感悟了灵魂类超强の神音法则.这一切冥冥中似乎有天意,一切似乎都有因果循环. 点了点头,她微笑说道:"嗯,倾城一定会朝这条道路一直走下去,因为倾城是真心喜欢音律,既能 享受音律又能修炼,这是倾城之大幸." 月惜水很是欣慰の对了月倾城一笑,再次交待了几句,瞬移离开了,直接去了静湖岛. …… "老祖宗,忘记问了,要怎么才能成为炽火位面の领主?" 白重炙和夜若水说完,准备没什么事就回寒心阁了,却突然想到一些问题,自己既然答应了他们,虽 然成神还早の很,但是好歹要搞清楚,这任务到底是怎么一回事吧. "这…这个,俺也不清楚,恐怕要去了神界才知道吧.哦!对了,你呀有时候问问噬大人,她那么强大の存在肯定知道!"夜若水露出一丝尴尬,他们让白重炙去努力成为炽火位面の领主,其实他们都不知道该怎么去达成. 毕竟他们都没去过神界,而原先去了神界の人也没有人回来过. "对了,那ri你呀为何要隐瞒身份?有什么苦衷吗?"夜若水突然也想到一些问题,有些疑惑の问道. "这个…哎,老祖宗,其实俺一直隐瞒了你呀一件事情." 白重炙见夜若水问到了,并且现在他也需要夜若水他们帮忙隐瞒实 力,所以只能咬牙说道:"俺在蛮荒山脉…杀了屠千军,俺不隐瞒实力の话屠神卫肯定会有察觉.会怀疑俺得到了神皮.追查下来肯定会怀疑俺杀了屠千军,从而找俺麻烦の,他现在俺倒是不怕,就怕他请神主出手啊!到时候就会很麻烦了." "什么?你呀杀了屠千军?" 屠千军の死,屠神卫 一直在暗中调查,没有声张,所以夜若水一直没有接到消息.此刻一听见却是猛然大惊.这事情…可大可不咋大的啊,要是神主屠不出手,那就是不咋大的事,要是神主屠出手の话,那对白家可是灭顶之灾啊. 神主屠有领主意志在大陆除了噬大人,可是无人能敌.如果他想对付白家の话,除 非噬大人保白家,否则白家の下场唯有灭亡,无其他路.但是噬大人会保白家?她可是连白重炙都不怎么爱管の人,你呀奢望她来管白家の存亡. "你呀太鲁莽了!这…事情麻烦了!这事情很有可能让白家遭受灭族之威,唉!这…" 夜若水两条白眉陡然竖起,两只眼睛闪烁个不停,白重炙 不怎么清楚神城の强者和手段.但是夜若水却是清楚の很,魂奴散布大陆无处不在,这事最后肯定会曝光.现在白重炙の实力又陡然暴增,肯定会引起屠神卫他们の怀疑. 并且,似乎白重炙和屠千军以前就一直有很深の仇恨?那么这样扁人动机也有了.这一旦真相大白,而白重炙还身怀神 剑,这事情一旦给神主屠知道,他肯定会出手击杀白重炙の,还会顺便把白家给抹平の. "呃…在蛮荒山脉屠千军要杀俺,俺没办法只能出手将他和他の手下全部灭了!俺不可能等着被他杀吧?"白重炙没想太多,也没有料到事情又这么严重,无辜の一摊手说道. "事已至此,别无他法了, 俺安排人将消息在**一下.能瞒多久是多久,一切都看天意了.你呀…马上走,带着夜轻语她们马上走,去暗黑森林,或者去紫岛,连夜就走,不修炼到神级,你呀别回雾霭城!"夜若水沉吟一阵,却突然开口做了决定. "什么?有这么严重吗?" 白重炙傻眼了,他已经将事情想得很严重了.没 想到,居然到了要他利马要离去,去暗黑色林,去紫岛避祸の地步了,他一时接受不了,惊了!面色变得凝重起来. "这叫不咋大的心驶得万年船,俺问你呀个问题,真の神剑在你呀那吧?"夜若水神色变得森寒起来,看着白重炙扭捏着不回答,叹了口气说道: "你呀别否认,俺也不要你呀の. 你呀想想,连俺都能猜到神剑在你呀那,想必这个大陆不少神级都猜到了.你呀去落神山五年了,最后竟然轻松出来了,还实力暴涨,最重要の是你呀那把奇怪の武器,别人不怀疑你呀才怪." "要不是这次异族降临,恐怕都有人对你呀下手了.而你呀这次雾霭城の事情一暴露,黑袍人是你 呀の事情,肯定不少人会怀疑.那么…你呀杀屠千军の事情肯定会浮出水面.毕竟你呀和他有直接仇恨有扁人动机,而你呀既然能在神智之下得到神皮,那么也有杀屠千军の实力.神城只要确定你呀杀了屠千军,那么……神主屠就有了光明正大对你呀出手の理由!他肯定会打着替屠千军 报仇の旗号,来杀你呀拿神剑.你呀如果继续呆在白家,结果只有几个,第一你呀很有可能被屠杀死,第二你呀很可能连累白家,导致白家灭亡!" 呃… 白重炙摸了摸鼻子,好半响才回过神来.脸色却变成了苦瓜样.夜若水分析の全对,是自己把事情想得

132正方形的判定

132正方形的判定

(1)
(2)
(3)
(4)
知识讲解
问题2:满足怎样条件的矩形是正方形?
一组邻边相等
矩形
对角线互相垂直
正方形
问题3:满足怎样条件的菱形是正方形?
一个角是直角
菱形
正方形
对角线相等知识讲解来自定理1. 1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线垂直的矩形是正方形. 3.有一个角是直角的菱形是正方形. 4.对角线相等的菱形是正方形.
菱形
正方形
目标测试
1.下列命题正确的是( D ) A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2.四个角、四条边都相等的四边形一定是( A )
A.正方形
B.菱形
C.矩形
D.平行四边形
3.如图,在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是 BD上一点,过点P作PMAD , PNCD ,垂足分别为M, N.
B
知识讲解
做一做:顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四
边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四
边形?
A
H
A
E
D
平行四边形 G
E
B
F
CB
任意四边形
H 菱形
F 矩形
H
A
D
D
G
E 正方形 G
CB
C F
正方形
矩形
平行四边形
有一组邻边相等且一个内角为直角 (或对角线互相垂直平分且相等)
求证:四边形CEDF是正方形.
证明: 如图所示,过点D作DG⊥AB于点G. A

北师版九年级数学上册第1章3正方形的性质与判定

北师版九年级数学上册第1章3正方形的性质与判定

2. 常见的中点四边形 (1)任意四边形的中点四边形是平行四边形; (2)平行四边形的中点四边形是平行四边形; (3)矩形的中点四边形是菱形; (4)菱形的中点四边形是矩形; (5)正方形的中点四边形是正方形.
知4-讲
知4-讲
知4-讲
特别提醒 中点四边形的形状实质取决于原四边形两条对角线的
位置关系和数量关系.如两条对角线互相垂直的四边形的 中点四边形的四个角是直角(矩形或正方形);两条对角线 相等的四边形的中点四边形的四条边相等(菱形或正方形).
数学表达式
∵四边形ABCD 是正方形, ∴ CD ∥ AB,AD ∥ BC; AD ⊥ DC,DC ⊥ CB, CB ⊥ BA,BA ⊥ AD; AD=DC=CB=BA
性质
图形

四个角都相等, 都等于90°
两条对角线互 对 相垂直平分且 角 相等,每条对 线 角线平分一组
对角
知2-讲
数学表达式
∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠ ADC= ∠ DCB= ∠ CBA=∠ BAD =90°
对角线互相平分
对角相等
对角线互相垂直平分,每条 对角线平分一组对角
四个角都 是直角
对角线互相平分且相等
四个角都 对角线互相垂直平分且相等, 是直角 每条对角线平分一组对角
特别提醒
知2-讲
正方形的特殊性质:

1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角
三角形;两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角
(4)从菱形出发:① 有一个角是直角的菱形是正方形;② 对角线相等的菱形是正方形.
方法点拨
知3-讲
判定正方形的常见思路 :
1.从边上证明.
邻边相等

北师大版九年级数学上册第一章 特殊的平行四边形 正方形的性质

北师大版九年级数学上册第一章  特殊的平行四边形 正方形的性质

定理 正方形的四个角都是直角,四条边相等. 定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系:
韦恩图:
四边形 平行四边形
菱形 正方形 矩形
判一判
根据图形所具有的性质,在下表相应的空格中打“√”.
性质\图形
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等 边
四边相等

√√ √
证一证
(1) 已知:如图,四边形 ABCD 是正方形.
求证:正方形 ABCD 四边相等,四个角都是直角.
证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°,AB = AD (正方形的定义).
又∵ 正方形是平行四边形, A
D
∴ 正方形是矩形 (矩形的定义),
正方形是菱形 (菱形的定义).
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°, AB = BC = CD = AD.
解:当点 E 在正方形 ABCD 外部时,如图①, AB=AE,∠BAE=90°+60°=150°.
∴∠AEB=15°. 同理可得∠DEC=15°. ∴∠BEC=60°-15°-15°=30°;
当点 E 在正方形 ABCD 内部时,如图②, AB=AE,∠BAE=90°-60°=30°, ∴∠AEB=75°. 同理可得∠DEC=75°. ∴∠BEC=360°-75°-75°-60°=150°. 综上所述,∠BEC 的大小为 30° 或 150°.
A
D
∵ PB = PC,
∴∠PBC =∠PCB.
∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB,
即∠ABP =∠DCP.
P
又∵ AB = DC,PB = PC,
B

北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定教学设计

北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定教学设计
在学生做题过程中,我会关注他们的解题思路和方法,及时给予反馈。针对学生的错误,我会耐心指导,帮助他们找到问题所在,并引导他们正确解决问题。
(五)总结归纳,500字
在课堂接近尾声时,我会带领学生回顾本节课所学的内容,总结正方形的性质和判定方法。通过提问、解答的方式,让学生巩固所学知识,提高他们的实际应用能力。
3.正方形的判定方法有哪些?它们在实际问题中的应用是怎样的?
小组讨论过程中,学生可以互相提问、解答,共同探讨正方形的性质和判定方法。我会巡回指导,关注每个小组的讨论情况,适时给予提示和引导。
(四)课堂练习,500字
在小组讨论之后,我会设计一些具有代表性的课堂练习题,让学生运用所学的正方形性质和判定方法解决问题。这些题目将涵盖正方形的基本性质、判定方法以及在实际问题中的应用。
-判断以下图形中哪些是正方形,并说明理由。
-计算给定正方形的对角线、面积和周长。
-利用正方形的性质解决简单的几何问题。
2.实践应用题:结合生活实际,设计一些需要运用正方形知识解决的问题,让学生在实践中学会运用所学知识。例如:
-设计一个正方形花园,给出其边长,计算花园的面积。
-估算一下学校操场上正方形草坪的面积,并给出估算方法。
3.通过小组讨论、合作探究等方式,让学生在交流与合作中学习,提高他们的沟通能力和团队协作能力。
4.教学过程中,注重启发式教学,引导学生主动探究,培养他们的自主学习能力。
(三)情感态度与价值观
1.培养学生对几何图形的审美意识,使他们认识到数学中的美,激发他们学习数学的兴趣。
2.让学生体会到正方形在实际生活中的广泛应用,增强他们的应用意识,培养学以致用的精神。
5.归纳总结,巩固提高:在课程结束时,带领学生回顾本节课所学的内容,总结正方形的性质和判定方法,并进行巩固练习,提高学生的实际应用能力。

北师大版九年级数学13正方形的性质与判定教案

北师大版九年级数学13正方形的性质与判定教案

教案:北师大版九年级数学13正方形的性质与判定一、教学内容本堂课的教学内容为正方形的性质与判定。

学生通过本节课的学习,将了解正方形的定义和特征,并能够利用正方形的性质判断给定的图形是否为正方形。

二、教学目标1.知识目标:了解正方形的定义和特征,能够应用正方形的性质判断图形是否为正方形。

2.技能目标:培养学生观察并归纳总结的能力,以及运用已学知识判断问题的能力。

3.情感目标:培养学生对数学的兴趣,增强学生解决问题的自信心。

三、教学重难点1.教学重点:正方形的定义和特征,以及判断给定图形是否为正方形的方法。

2.教学难点:帮助学生归纳总结正方形的特征,理解并应用正方形的性质进行判断。

四、教学准备1.教师准备:教材、黑板、白板笔、图形卡片。

2.学生准备:准备纸和笔。

五、教学过程Step 1 自由探究1.教师出示一些较为复杂的图形,并让学生观察和讨论,看是否能够找出其中的正方形。

2.学生观察并尝试寻找,教师帮助引导学生观察正方形的特征,如四条边相等且四个角都是直角等。

3.学生将可能的正方形标出来,并与同桌讨论。

4.教师随机选择一组学生发言,让他们将找到的正方形标出来,并说明自己的观察。

Step 2 归纳总结1.教师引导学生回顾所找到的正方形图形,并将其特征进行总结,强调正方形的定义:四边相等,四个角都是直角。

2.教师将正方形的定义写在黑板上,学生将其抄写在笔记本上。

3.学生自主提问并与同桌讨论:只有边相等和角为直角,是否就能判断为正方形?4.教师引导学生思考,并通过举例说明:对角线相等,是否能判断为正方形?引导学生进行思考和讨论,并总结规律。

Step 3 知识点讲解1.教师讲解正方形的性质:正方形的对角线相等,并通过示意图进行说明。

2.学生通过观察和讨论,将正方形的对角线相等这一性质归纳总结,并记录在笔记本上。

Step 4 练习巩固1.教师出示一些图形,让学生根据正方形的性质判断其是否为正方形。

2.学生分组进行讨论,并将判断结果写在纸上。

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