2.状态方程的解
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Chapter2状态方程的解
我们要解决的问题是：在系统初始时刻0t t =时，初始状态为00)(x t x =的条件下，对该系统施加控制)(t u ，求出系统状态)(t x 的变化，即求解非齐次方程
（0)(≠t u ）初值问题的解： 00
0)()()()()()(t t x t x t u t B t x t A t x
≥=+=&
或者在系统不加控制)(t u ，（0)(=t u 称为自由系统）的条件下，求出初值)(0t x 对系统状态)(t x 的影响，即求解齐次方程初值问题的解：
00
0)(),()()(t t x t x t x t A t x ≥==&
⇒⎩⎨⎧离散连续线性定常⇒⎩⎨⎧离散连续线性时变⎩⎨
⎧⨯
∆
⇒⎩⎨⎧⨯∆数值解解析解非齐次数值解解析解齐次 2.1 线性定常系统状态方程的解
2.1.1 n 阶、线性、定常（无关与时间t A ）连续系统齐次状态方程的解
我们知道：常系数线性微分方程（标量方程）)()(t ax t x
=&，0)0(x x =，0≥t 其解为 00
0!)(x k t a x e t x k k
k at
∑∞
===
对齐次状态方程（矩阵方程） )()(t Ax t x
=&，0)0(x x =，0≥t 很自然，仿照常系数线性微分方程，可得到n 阶线性、定常、连续系统齐次（0)(=t u ）状态方程的解 000!
)(x k t A x e t x k k
k At
∑
∞
=== 定义矩阵指数：k k k k k At
t A k t A At I k t A e
!
1
21!220
++++=≡∑
∞
=Λ，它仍是一个矩阵。 若初始时间为0t ，则状态方程的解为 00
00)
(!)()(0x k t t A x e
t x k k
k t t A ∑∞
=--==
∑
∞
=--=0
0)
(!
)(0k k
k t t A k t t A e
称为定常（连续）系统的状态转移矩阵。 )(0t t A e -物理意义：将系统从初始状态)(0t x 转移到（时刻t 的）状态)(t x 。
2.1.2 矩阵指数At e 的性质
（1）]
)
[(1
1-
--
=A
sI
L
e At称为频域求法或叫Laplace变换法；
（2）I
e=
0；（3）)
(τ
τ+
=
⋅t A
A
At e
e
e；（4）At
At e
e-
-=
1
)
(；
（5）若矩阵B
A、满足交换律BA
AB=，则有t B
A
Bt
At e
e
e)
(+
=（A、B可交换的充要条件是AB为反称矩阵，A
A=
'称为对称矩阵，A
A-
=
'称为反称矩阵）
对称矩阵
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
=
nn
n
n
ji
ij
a
a
a
a
a
a
Λ
M
O
M
Λ
1
1
11
；反称矩阵
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
-
=
nn
n
n
ji
ij
a
a
a
a
a
a
Λ
M
O
M
Λ
1
1
11
（6）kAt
k
At e
e=
)
(；（7）A
e
Ae
e
dt
d
At
At
At=
=；
（8）设P是与A同阶的非奇异矩阵，则有P
e
P
e At
APt
P1
1-
=
-；
图2-1 状态的传递性P31
（9）传递性：对任意满足
1
2
t
t
t>
>，有)
(
)
(
)
(0
2
1
1
2
t
t
A
t
t
A
t
t
A e
e
e-
-
-=
⋅。这表明状态
轨线由
t时刻的)
(
t x转移到
2
t时刻的)
(
2
t x等于由
t时刻的)
(
t x转移到
1
t时刻的)
(
1
t x，再由
1
t时刻的)
(
1
t x转移到
2
t时刻的)
(
2
t x(参见图2-1)，故称)
(0t
t
A
e-为状态转移矩阵。
这意味着，状态方程的解可以任意分段求取，这就有可能避开对初始条件的处理，这是动态系统用状态空间法的又一优点。
而在经典控制理论中，用高阶微分方程描述的系统，求解时对初始条件的处理是非常麻烦的，一般都假设0
)0(
)
(
=
=x
t x去计算系统的响应。
2.1.3 矩阵指数At e的计算方法
（1）定义法求At
e k k
k
k
k
At t
A
k
t
A
At
I
k
t
A
e
!
1
2
1
!
2
2
+
+
+
+
=
=∑∞
=
Λ