2.状态方程的解
浙大控制考研-现代控制理论(浙大)第二章
1 A2t 2 2!
1 k
Aktk
)
b0
t 0 x(0) b0
x(t) (I At 1 A2t 2 1 Akt k )x(0)
2!
k
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
矩阵指数函数
Φ(t) 状态转移矩阵
x(t) eAtx(0) 描述了状态向量由初始状态x(0)向任意时 刻状态 x(t)转移的内在特性。
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
1）根据状态转移矩阵的定义求解：
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k!
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 。
求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
例：求解系统状态方程 解：
x1
x2
0 0
-11
6
-6 -11 5
试计算状态转移矩阵 eAt .
解: 1) 特征值
1 1
I A 6 -11 6 1 2 3 0
6 11 5
1 1,2 2,3 3
2) 计算特征向量：
1 1 1 p1 0, p2 2, p3 6
1 4 9
3) 构造变换阵P：
1 1 1 P 0 2 6
(A B)3 A3 B3 3A2B 3AB 2
(9) x Px Φ(t) P-1Φ(t)P P-1eAtP
证明：非奇异线性变换
x Px
n n非奇异矩阵 另一组状态变量
x Px
x P1AP x x(t) eP1AP x(0)
x Ax APx 新的系统矩阵 新的状态转移矩阵
Ax
eAt x(0) Φ(t)x(0)
状态方程的时域解法
状态方程的时域解法
使得
（1） (t)=X0 （2） φ(Βιβλιοθήκη ) Aφ t Bw t
t t0 , t2
成立，则函数()称为状态方程的解。 显然，解的定义只为方程的解加了一定的约 束，而对如何找到解并未作任何限制。于是， 我们可以通过多种途径来找解，设法构造一 个解就是途径之一。
状态方程的时域解法
在具体讨论构造一个解之前，我们先参照指 数函数 e 1 at 1 at 1 at , 1 at
at 2 3 k
2!
3!
k 0
k!
定义一个矩阵指数函数
1 1 2 3 e 1 At At At , 2! 3!
状态方程的时域解法线性定常网络的状态方程是一阶线性常微分方程组一个方程的解是有明确定义的
状态方程的时域解法
状态方程的时域解法
线性定常网络的状态方程是一阶线性常微分 方程组，一个方程的解是有明确定义的。 对状态方程
x(t ) Ax t Bw t , x t0 X0
来说，解的定义是：假定t[t0，t2]，w() 是已知的向量函数，若能找到一个向量函 数()，且t[t0，t2]， (t)Rn，
At
1 k At k 0 k !
等号右边对有限的t是收敛的。
状态方程的时域解法
函数eAt有下列几个主要性质：
（1）当t=0，eAt=1 （2） dt e At Ae At e At A
A t1 t2 （3）对有限的t1和t2， e
d
e e
At1 At2
现代控制理论课后题及答案
第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答2.1有电路如图P2.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。
图P2.1解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。
也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。
这里采样机理分析法。
设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则212221c c c du u C R u u dt++= (1) 112121c c c du u duC C dt R dt+= (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得：1121121121212111c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222111c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：12111211212121212122222221111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +⎧=--+⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪==-⎪⎩即: 12121121211112222222211111R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]11210x y u x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦2.2 建立图P22所示系统的状态空间表达式。
1图P2.2解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。
令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量， 选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1dy dt，24dyx dt =。
现代控制理论第二章
= α n −1 (t ) An −1 + α n − 2 (t ) An − 2 + ⋯ + α1 (t ) A + α 0 (t ) I
【例2-5】见板书
（3）α i (t )的计算公式 A的特征值互异时 α 0 (t ) 1 λ1 α1 (t ) 1 λ2 ⋮ = ⋮ ⋮ α (t ) 1 λ n −1 n
λ λ λ
பைடு நூலகம்
2 1 2 2
⋮
2 n
⋯ λ e λ1t λ2 t ⋯ λ e ⋮ ⋮ λn t n −1 ⋯ λn e
At
2.变换A为约旦标准型 （1）A特征根互异 Λ = T −1 AT 有
例2-2 ，同例2-1
e At = Te ΛtT −1
（2）A特征值有重根
J = T AT e At = Te JtT −1
0 1 0 [例2 - 3]已知A = 0 0 1 , 求e At 2 - 5 4
若
σ ω A= −ω σ
则
cos ωt sin ωt σt e = Φ(t ) = e − sin ωt cos ωt
At
2.2.4 计算
1.根据 e At 或 Φ (t ) 的定义直接计算
1 2 2 1 33 1 n n e = I + At + A t + A t ⋯ A t + ⋯ 2! 3! k! 1 0 [例2 - 1]已知A = , 求e At − 2 − 3
线性离散系统状态方程的解
因此,有
(k) Gk Z 1[(zI - G)1]
1 3
-
4(-0.2)k 0.8(-0.2)k
- (-0.8)k 0.8(-0.8)k
5(-0.2)k - 5(-0.8)k
-
(-0.2)k
4(-0.8)k
Z变换法(6/7)—例3-14
由Z变换,有 u(k)=1 U(z)=z/(z-1)
比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式:
➢ 连续系统
t
x(t) (t)x0
(t )Bu( )d
0
➢ 离散系统
k 1
x(k) Φ(k)x(0) Φ(k - j -1)Hu( j) j0
初始时刻后输入的 初始状态 影响,为脉冲响应函 的影响 数与输入的卷积
对上述离散系统状态方程的求解公式,有如下几点说明:
线性时变离散系统状态方程的解(5/6)
由上述状态方程解公式可知,线性时变离散系统的状态方程 的解也包括两项。其中, ➢ 第1项是由初始状态激励的,为零输入响应,描述了输入向 量为零时系统的自由运动。
➢ 第2项对应初始状态为零时,由输入向量激励的响应,称为 强迫运动或受控运动。
➢ 线性时变离散系统的运动状态取决于状态转移矩阵(k ,k0),而又是由(k ,k0)唯一决定的。
k 1
Z -1{( zI - G)-1 HU (z)} Z -1{( zI - G)-1 z z-1HU (z)} Gk- j-1Hu( j) j0
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
因此,离散系统的状态方程的解为:
k 1
x(k) Gkx(0) Gk j1Hu( j)
j0
该表达式与前面递法求解结果一致。
第2章 状态空间表达式求解
1 T 2. 若A能通过非奇异变换予以对角线化，即 AT
则
e1t e At (t ) T 0
e2t
0 T 1 n t e
证明：根据定义式
A2t 2 A3t 3 Ak t k e I At 2! 3! k 0 k! At
A2t 2 A3t 3 ( I At ) A e At A 信息与控制工程学院 2! 3!
5. 性质五
设有nxn矩阵A和B，当且仅当AB=BA 时，有eAteBt
= e(A+B)t ，而当AB≠BA 时，则eAteBt ≠ e(A+B)t 。
证明：根据定义式
e ( A B ) t ( A B ) 2 2 ( A B )3 3 I ( A B )t t t 2! 3! A2t 2 ABt2 BAt2 B 2t 2 I ( A B )t ( ) 2! 2! 2! 2! A3t 3 A2 Bt3 ABAt3 AB2t 3 BA2t 3 BABt3 ( 3! 3! 3! 3! 3! 3! B 2 At3 B 3t 3 ) 3! 3!
2 2 1 t 2! 1 1t 1 k k 2t At e At k 0 k! nt 1 0 0 k k 1 t k! k 0 0 2 2 2t 2!
(t )( ) (t ) (t )( t ) (t t ) I ( )(t ) ( t )
( t )(t ) ( t t ) I
从而证明了(t)与(-t)互为逆
信息与控制工程学院
4. 性质四
状态空间表达式解
2.1.1 齐次状态方程的解 u=0
X·=AX
1、直接求解 设 n=1
X(t0) =X0
x·=ax 解为x(t)=eatx0
t0=0 且eat=1+at+a2t2/2！+…
对于 n阶， 解为X(t)=eAtX0 eAt=I+At+A2t2/2！+…
证明：设X(t)解的形式为
=(I+At1+A2t12/2！+…) (I+At2+A2t22/2！+…) = (t1) (t2)
1、状态转移矩阵的性质：设t0=0 （4）[(t)]–1= (–t)
证明：由 （1）(0)=I （3） (t1+t2)= (t1) (t2) 得 (t–t)= (t) (–t)=I
(–t +t)= (–t) (t) =I 所以 [(t)]–1= (–t) （5） (t2– t1) (t1– t0) = (t2– t0)
0 0 0… 0 0 0…
e1t tm–1/(m–1)！ e1t tm–2/(m–2)！
Q–1 te1t e1t
以A有三重特征值为例进行证明
1 1 0 J= Q–1AQ= 0 1 1
0 0 1
证明 eAt=I+At+A2t2/2！+… 则 Q–1eAtQ=Q–1IQ+ Q–1 AtQ+ Q–1 A2t2/2！Q+… =I+ Jt+ J2t2/2！+… eAt=Q(I+ Jt+ J2t2/2！+…) Q–1
1 k!
Akb0
2.1.1 齐次状态方程的解
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
2 ! 3 !
AA2t1A3t2L 2!
A(I At 1 A2t2 L ) 2!
AeAt eAt A
13
所以当 Φ(t)=eAt时， &(t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)
即
X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)]
其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。
对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有
x ( t ) L 1 ( s A ) I 1 x 0 L 1 ( s A ) I 1 B ( s )U
1 0 3x1u
试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。
解：1.求 eAt ： 由前例得：
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
25
2. 求x(t)
x(t)eA tx00 teA (t )B u ()d
t2 e (t )e 2 (t ) e (t ) e 2 (t ) 0
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x& Ax Bu y Cx Du
求状态方程的时域解
求状态方程的时域解状态方程（State Equation）是描述动态系统的数学模型，它能够描述系统的状态如何随时间变化。
在控制论中，求解状态方程的时域解在设计和分析控制系统中具有重要意义。
本文将介绍状态方程的定义、求解方法以及时域解的计算过程。
状态方程的定义状态方程是用微分方程的形式表示的动态系统。
一般形式的状态方程可以表示为：dx(t)/dt = A(t) * x(t) + B(t) * u(t)其中，x(t)是状态向量，表示系统在时间t的状态，u(t)是输入向量，表示在时间t的输入，A(t)和B(t)是矩阵，它们表示系统的动态特性。
该方程描述了系统状态的变化率以及输入对状态的影响。
解法求解状态方程的时域解需要通过求解微分方程来获取。
具体的解法主要有两种：利用拉普拉斯变换求解和利用差分方程求解。
1. 利用拉普拉斯变换求解在连续时间域中，可以利用拉普拉斯变换来求解状态方程的时域解。
具体步骤如下：1.将状态方程中的微分方程用拉普拉斯变换转换为代数方程。
2.根据已知的初始条件，建立方程的初始条件。
3.根据所求解的变量进行移项整理，求解出未知变量的表达式。
4.对拉普拉斯域变换的结果进行逆变换，得到时域解。
2. 利用差分方程求解在离散时间域中，可以利用差分方程来求解状态方程的时域解。
具体步骤如下：1.将状态方程中的微分方程用差分方程转换为代数方程。
2.根据已知的初始条件，建立方程的初始条件。
3.根据差分方程的表达形式，利用递推关系计算出未知变量的取值。
4.得到差分方程的解，并将其转换为时域解。
时域解的计算过程下面将以连续时间域为例，介绍求解状态方程的时域解的计算过程。
1. 利用拉普拉斯变换求解假设我们有一个一阶线性连续时间不变系统，状态方程为：dx(t)/dt = A * x(t) + B * u(t)其中x(t)是一个列向量，u(t)是输入的标量，A和B是常数矩阵。
首先，我们将方程两边进行拉普拉斯变换，得到：sX(s) - x(0) = A * X(s) + B * U(s)其中X(s)和U(s)是x(t)和u(t)的拉普拉斯变换，s是拉普拉斯变换的复变量。
2.状态方程的解
4
3
3
100
(sI
A) 1
1 s3
0 1 0 s2
001
010
0 0 1s 000
001 000 000
11 1 s s2 s3 01 1
s s2 00 1
s
11 1
次（u(t) 0 ）状态方程的解
x(t) e At x0
At k 0 kk ! k x0
定义矩阵指数： e At
Akt k k 0 k!
I At 1 A2t 2 2
阵。
1
A t ，它仍是一个矩
kk
k!
若初始时间为t 0，则状态方程的解为
x(t ) e x A(t t0 ) 0
Ak (t t0 )k x0
幂零矩阵：存在某一正整数 k ，使得 A 0 称为 k 次“幂零矩阵”。 A 为幂零矩 阵的“充要条件”是 A 的所有特征值为k零： AX A ， i 0 i 1,2, , n
特例： A 为数字矩阵，即 A
P31 例 2-1： A
010 0 0 1 ， A2 000
001 0 0 0 ， A3 000
（2） e0 I ； （3） e A]t 称e A为频e域A(t求)法；或（叫4）Lapl(aecAet )变1 换法e A；t
（5） 若矩阵 A、B 满足交换律 AB BA，则有e At e Bt ( A B)t （；A 、 B 可交换的 e
充要条件是 AB 为反称矩阵， A A 称为对称矩阵， A A 称为反称矩阵）
（9） 传递性：对任意满足t t t ，有e A(t2 t ) e A(t1 t )
1
0
2
1
0
e A(t2 t0 ) 。这表明状态
线性时变系统状态方程的解
2.4
线性时变系统状态方程的解
线性时变系统的状态方程为 & x = A ( t ) x + B( t )u （1）不一定有解 （2）当A（t)、B(t)在定义区间绝对可积时，对 每一初始态存在唯一解。 0 1 & 时变系统中A、B随t变化，如 x= x 0 t 一、齐次矩阵微分方程的解 & x(t ) = A(t ) x(t ) x ( t ) t = t = x ( t o )
0
其解为： x ( t ) = φ( t, t 0 ) x ( t 0 )
φ( t , t 0 ) 是n*n阶非奇异方阵，且满足
& φ(t,t0) = Aφ(t,t0) φ(t0,t0) = I
证明：将解带入齐次方程
d [φ ( t , t 0 ) x ( t 0 ) ] = A ( t )φ ( t , t 0 ) x ( t 0 ) dt
x ( t ) = φ( t, t 0 ) x (t 0 ) +
∫
t
t0
φ( t , τ) B ( τ) u ( τ)dτ
证明（略）
三，状态转移矩阵 φ( t , t 0 ) 1. φ( t , t 0 ) 与 φ( t ) φ( t − t 0 ) 对比 共同：形式和性质类似 区别：本质不同，但Φ(t,t0)既是t的函数，也 是t0的函数 Φ(t)是t的函数 e
& φ (t , t0 ) = A(t )φ (t , t0 ) 即 将t=t0代入解中 x(t ) =φ(t ,t )x(t )
∴ x ( t ) = φ( t , t 0 ) x ( t 0 ) 是齐次矩阵的解
(哈工大)2.线性定常系统齐次状态方程的解 gai
对于1 -1 ，有 AP1 -P1 1 0 P11 0 P11 0 P P 0 1 21 21 6 11 6 P31 P31 P21 P11 P31 P21 - 6P 11P 6P P 21 31 31 11 解得
L (sI - A)
1
-1
te t t (1 t )e
1 s2 t 2 2 ( 1 t ) e (s 1) 1 (s 1) L t 1 s te 2 2 (s 1) (s 1) 1 -1 x(t) L (sI - A) x(0)
3.两种方法的关系
I A A2 Ak （sI - A)( 2 3 k 1 ) I s s s s 2 k I A A A -1 (sI - A) 2 3 k 1 s s s s 1 2 2 1 k k 1 -1 L (sI - A) I At A t A t 2! k! e At L1 (sI - A)-1
s - 1 sI A 1 s 2
sI A
Page 11
-1
s2 adj( sI A) (s 1)2 det(sI A) - 1 2 (s 1)
1 2 (s 1) s 2 (s 1)
t x ( t ) 1 (1 t )e x (t ) t 2 te
Page 12
x1 (0) te t (1 t )e x 2 (0)
t
MATLAB
>>a=[0 1;-1 -2] >> s=sym(‘s’) >>sa=inv(s*eye(2)-a) >>ilaplace(sa)
第3章-状态方程的求解
2.2 非齐次状态方程的解
例题:
即
X (t) e At X 0
t e A(t ) B u( )d
0
中第一项已求得。
第二项根据公式计算得:
t e A(t ) B u( )d
0
t 2e(t ) e2(t )
0
2e (t
)
2e 2(t
)
e(t ) e(t )
e2(t ) 2e2(t
s s
1 2
2 2
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
et
2e2t
2.2 非齐次状态方程的解
1.非齐次状态方程的概念
或写成:
X AX Bu
X AX Bu
（1）u为时间t的函数, 假设为已知的； （2）X(t0)=X0为系统的初始条件。
2.2 非齐次状态方程的解
u~ u~1(t) u~2 (t) T
x1
x1(t1)
2.3 几点说明
6.现代控制理论的一个核心思想
经典控制理论是保持u不变，通过调节参数来使得输出y满足要求。 现代控制理论是保持参数不变，通过调节u来使得输出y满足要求。
具体实现方法是:
对y的要求
对X的要求
对u的要求
对于状态方程而言，其齐次方程的形式为:
X AX 初始条件为: X (t0 ) X0
2.1 齐次状态方程的解
2.齐次状态方程解的形式
已知: X AX
初始条件为: X (t0 ) X0
解方程可得:
X (t) e A(tt0 ) X 0
矩阵指数
说明: （1）求出矩阵指数即可求出方程的解。 （2）矩阵指数计算出来是一个和A同型的矩阵，矩阵的
现代控制理论-状态方程的解
e
At
Te JtT1
1
0
2
0
et
0
2
3
1 1 4 0 0 e 2 t 1 2
Iinv(A)
2
1
1
作业：p.536;9-9;9-10;9-11
2tete2t 3tet2et2e2t tetete2t
0 1 0
2(e2ttetet) 3tet5et4e2t tet2et2e2tA
iPi1APi1Pi
..................................
参见 现代控制论
教材p.490 刘豹 p.28
Matla 中，矩阵求逆 b 命令为
1 1 0
et tet 0
J
T1AT=
0
1
0
0 0 2
e Jt
0
0
et
0
0 e 2 t
1 1 1 e t te t 0 2 5
T
2 2
1 2
特征 向量 问题
Api i pi
T 1
1
1 2
1 1
T1AT
1 0
0 2
e At
TetT1
2 2
1 et
2
0
2et e2t 2et 2e2t
e
0
2
t
1
1
1 2 1
et e2t et 2e2t
利用拉氏变换的方法参见书 p.458 例9-4，9-5
证明→
1
0
0
2
1
，
n
2
...
n
e At
矩阵指数
的求法
第八章(3) 离散系统状态方程的求解
在用状态分析系统时, 在用状态分析系统时,求状态转移矩阵(k) 是关键步骤. 是关键步骤. 例 8.4-1 已知矩阵 求其矩阵函数A 求其矩阵函数 k.
0 1 A= 2 1
矩阵A的特征方程为 解 矩阵 的特征方程为
λ 1 = λ2 λ 2 = 0 q( λ ) = det( λI A) = det 2 1 λ 方程有两个相异的特征根
其全解 x(k) = xx (k) + x f (k)
(3)求系统的输出
y(k) = Cx(k) + Df (k) = C(k)x(0) + C(k 1)B* f (k) + Df (k)
代入, 将 (k)代入,得零输入响应
1 k 1k ( 2) 1 0 ( 2) yx (k) = C(k)x(0) = = 1 , k ≥ 0 1 1 1 ( )k + ( 1)k ( )k 4 4 2
零输入解的象函数 零状态解的象函数
1
1
x(k) = (k)x(0) +(k 1)B* f (k)
于是, 于是,得状态转移矩阵 (k) = Ak = Z1{[zI A]1 z} 为了方便, 为了方便,定义
将它们代入, 将它们代入,得状态转移矩阵
1 1 k 1 0 1 k 1 k 2 1 k k (k) = A = ( ) + 2( ) + 4( 2) 4( 4) 1 4 0 1 2 4 1k 0 ( 2) = 1k 1k 1 k ( ) ( ) ( ) 4 4 2 0 1 4
i =0
k1
x(k) = (k)x(0) +(k 1)B* f (k)
x(k) = (k)x(0) + ∑(k 1 i )Bf (i)
状态空间表达式的解
第2章状态空间表达式的解第1节线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程i= Ax x(0) = X o的解为x(t) = e At X o (t 0 )式中，e At T At A2-2! k=o k!证明：用拉普拉斯变换法。
对x= Ax作拉氏变换，得sX(s) - X o= AX(s)-iX(s) = (si - A) X ox(t) =「[(si「A)1]x o111因为(si A)(T 丐A 飞A2 lilt Is s s故(si「A) 1 = -1 2 A + A2IIIs s sx(t)= L1[-r 2 A ^A2lll]x°s s s=(I At f A2t2lll)x o= e At x)顺便可知e At = L 1[(sl - A) 1]第2节矩阵指数函数e At1、e At的定义和性质(1)定义e At= I + At + A2「+ 11 卜z(At)-2! k=o k!式中A—线性定常系统系统矩阵，n n阶；e At—矩阵指数函数，n n阶时变矩阵。
若A中各元素均小于某定值，e At必收敛；若A为实矩阵，e At绝对收敛。
(2)基本性质：♦组合性质：e Atl e At^ e A(t/12}其中为相衔接的两时间段。
推论2: [e At]T 二e A Ct)■微分性质:%Ae At e At Adt♦当A、B两阵可交换，即BA，则e At e Bt (A B)t♦若pF存在，贝卩eg P1e A P2、e‘At的计算（1）级数计算法、lAtl!Ate(2)拉氏变换法当A 阵维数较高时, (3)多项式表示法e At = L 1[(sl A)1]预解矩阵可采用递推法计算。
e At若A 的特征根1，o (t)1(t)n-1k' k(t)A k=0•, n 两两互异，则III J in r1 I12212 2e l te 2t(4)非奇异变换法 1)设A 的特征根1，・，n 两两互异，贝卩t1e nt]P 1At■ t ■ te A - Pdiag[e lte 2t其中 P 满足 P^APu diag 「「2 n ]推论：若A= diagV 「2…5】，则证明:可交换，故 」e At 二 diag[e lt e 2t扎11 e nt]2）设A 为具有共轭复特征根zi,2CJ-j 的二阶阵，贝U其中P 满足eAtCT P 1AP-tP cos t sin t 胡 I P sin t cos t（模态规范型）。
简述状态方程解的意义
简述状态方程解的意义一、引言状态方程解是研究物理系统的基础，它描述了物理系统的状态和性质之间的关系。
在物理学中，状态方程解是一种非常重要的工具，它可以用来描述各种物理现象和过程。
本文将详细介绍状态方程解的意义。
二、什么是状态方程解状态方程解是指描述一个物理系统在不同条件下所处的状态和性质之间关系的一组数学公式。
这些公式通常包括温度、压力、体积和物质量等变量。
通过这些变量，可以推导出各种物理性质，如能量、熵等。
三、状态方程解的意义1. 描述物理系统通过状态方程解，我们可以准确地描述一个物理系统所处的状态和性质。
例如，在气体力学中，我们可以使用范德瓦尔斯方程来描述气体分子之间相互作用力的影响，并推导出气体压强与温度之间的关系。
2. 预测物理现象通过对已知条件下的状态方程解进行推导和计算，我们可以预测未知条件下发生的物理现象。
例如，在化学中，我们可以使用伊凡斯-普利查德方程来预测溶液中溶质的溶解度。
3. 研究物理过程通过对状态方程解的研究，我们可以深入了解物理过程中各种变量之间的关系。
例如，在热力学中，我们可以使用焓、熵和自由能等概念来描述系统的能量状态，从而深入探讨各种物理过程的本质。
4. 优化工程设计通过对状态方程解的应用，我们可以优化工程设计。
例如，在航空航天领域中，我们可以使用理想气体方程来计算飞机在高空飞行时所受到的压强和温度变化，从而优化飞机设计。
四、常见状态方程1. 理想气体方程理想气体方程是描述气体在不同条件下所处状态和性质之间关系的一组数学公式。
它是基于分子运动论的假设而提出的，假设气体分子之间不存在相互作用力。
该方程式为PV=nRT（P为压强、V为体积、n 为物质量、R为气体常数、T为温度）。
2. 范德瓦尔斯方程范德瓦尔斯方程是描述实际气体在不同条件下所处状态和性质之间关系的一组数学公式。
它考虑了气体分子之间的相互作用力，是理想气体方程的修正版。
该方程式为(P+a(n/V)²)(V-nb)=nRT（a、b为常数）。
第二章控制系统状态空间表达式的解
a(b0 b1t b2t 2 bkt k )
（1） （2） （3）
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有
b1 ab0
b2 bk
1 2
1 k
ab1
abk
1 2!
a
2b0
1 k!
a
（5）
将（5）式代入（1）式
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k 1
A(b0 b1t b2t 2 bkt k )
等式两边t 同次幂的系数相等，因此有
b1 Ab0
b2 bk
1 2
1 k
Ab1
Abk
1 2!
A2b0
1 k!
2.1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）
1、线性定常系统的运动
1）、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时， 由初始状态引起的运动称自由运动。
u0
x
( A, B)
齐次状态方程的解： x Ax , x(t) |t0 x(0)
2）、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称
为强迫运动。
e1t
0
e At Te AtT1 T
T 1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1）先求得A阵的特征值 。i
2）求对应于 的i 特征向量 ，p并i 得到T阵及T的逆阵。
3）代入上式即可得到状态转移矩阵的值。
即：A det(I A) 0 i (i I A)pi 0 pi T
0 0 0 0 1
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Chapter2状态方程的解我们要解决的问题是：在系统初始时刻0t t =时，初始状态为00)(x t x =的条件下，对该系统施加控制)(t u ，求出系统状态)(t x 的变化，即求解非齐次方程（0)(≠t u ）初值问题的解： 000)()()()()()(t t x t x t u t B t x t A t x≥=+=&或者在系统不加控制)(t u ，（0)(=t u 称为自由系统）的条件下，求出初值)(0t x 对系统状态)(t x 的影响，即求解齐次方程初值问题的解：000)(),()()(t t x t x t x t A t x ≥==&⇒⎩⎨⎧离散连续线性定常⇒⎩⎨⎧离散连续线性时变⎩⎨⎧⨯∆⇒⎩⎨⎧⨯∆数值解解析解非齐次数值解解析解齐次 2.1 线性定常系统状态方程的解2.1.1 n 阶、线性、定常（无关与时间t A ）连续系统齐次状态方程的解我们知道：常系数线性微分方程（标量方程）)()(t ax t x=&，0)0(x x =，0≥t 其解为 000!)(x k t a x e t x k kk at∑∞===对齐次状态方程（矩阵方程） )()(t Ax t x=&，0)0(x x =，0≥t 很自然，仿照常系数线性微分方程，可得到n 阶线性、定常、连续系统齐次（0)(=t u ）状态方程的解 000!)(x k t A x e t x k kk At∑∞=== 定义矩阵指数：k k k k k Att A k t A At I k t A e!121!220++++=≡∑∞=Λ，它仍是一个矩阵。
若初始时间为0t ，则状态方程的解为 0000)(!)()(0x k t t A x et x k kk t t A ∑∞=--==∑∞=--=00)(!)(0k kk t t A k t t A e称为定常（连续）系统的状态转移矩阵。
)(0t t A e -物理意义：将系统从初始状态)(0t x 转移到（时刻t 的）状态)(t x 。
2.1.2 矩阵指数At e 的性质（1）])[(11---=AsILe At称为频域求法或叫Laplace变换法；（2）Ie=0；（3）)(ττ+=⋅t AAAt eee；（4）AtAt ee--=1)(；（5）若矩阵BA、满足交换律BAAB=，则有t BABtAt eee)(+=（A、B可交换的充要条件是AB为反称矩阵，AA='称为对称矩阵，AA-='称为反称矩阵）对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==nnnnjiijaaaaaaΛMOMΛ1111；反称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=nnnnjiijaaaaaaΛMOMΛ1111（6）kAtkAt ee=)(；（7）AeAeedtdAtAtAt==；（8）设P是与A同阶的非奇异矩阵，则有PePe AtAPtP11-=-；图2-1 状态的传递性P31（9）传递性：对任意满足12ttt>>，有)()()(02112ttAttAttA eee---=⋅。
这表明状态轨线由t时刻的)(t x转移到2t时刻的)(2t x等于由t时刻的)(t x转移到1t时刻的)(1t x，再由1t时刻的)(1t x转移到2t时刻的)(2t x(参见图2-1)，故称)(0ttAe-为状态转移矩阵。
这意味着，状态方程的解可以任意分段求取，这就有可能避开对初始条件的处理，这是动态系统用状态空间法的又一优点。
而在经典控制理论中，用高阶微分方程描述的系统，求解时对初始条件的处理是非常麻烦的，一般都假设0)0()(==xt x去计算系统的响应。
2.1.3 矩阵指数At e的计算方法（1）定义法求Ate k kkkkAt tAktAAtIktAe!121!22++++==∑∞=Λ这种方法很适合计算机求（级数）数值解，由于!1k 的存在，可以取到任意精度，但不易求解析解，只有在A 是“幂零矩阵”的情况下才可求得解析解。
幂零矩阵：存在某一正整数k ，使得0=k A 称为k 次“幂零矩阵”。
A 为幂零矩阵的“充要条件”是A 的所有特征值为零：A AX λ=，0=i λ n i ,,2,1Λ=特例：A 为数字矩阵，即I A λλλ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O31P 例2-1：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000100010A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000001002A ，03=A ，3次“幂零矩阵”⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++=100102/1!21222t t t t A At I e At（2） Laplace 法求At e])[(11---=A sI L e At ，但当阶数较高时，求解1)(--A sI 较困难。
下面介绍法捷耶夫算法，给出递推公式。
nn n n nn n n b a s a s a s B s B s B s B A sI A sI A sI ++++++++=--=-------111122111)()(ΛΛ 03221)(11111=⎪⎩⎪⎨⎧=+==-=⇒=+--n k k k k k B nk Ia AB B nk AB tr ka I B 此时必有，，，，ΛΛ 计算顺序是：I B =1 trA a -=⇒1I a A B 12+=⇒ )(21)(211222A a A tr AB tr a +-=-=⇒I a A a A I a AB B 212223++=+=⇒ )(31)(31221333A a A a A tr AB tr a ++-=-=⇒01=⇒+n B Λ注意：tr 为矩阵之迹，即矩阵对角线元素之和；当01≠+n B 时，计算必有误。
例2-2 (32P )已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100010A ，求])[(11---=A sI L e At 。
解：用法捷耶夫法计算nn n n nn n n a s a s a s B s B s B s B A sI ++++++++=-------111122111)(ΛΛ取I B =1，0)()(11=-=-=A tr AB tr aA I a AB B =+=112，000000010021)(2122=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=tr AB tr a⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=000000100223I a AB B ，0)(3133=-=AB tr a ; 0334=+=I a AB B⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--s s s s s ss s s A sI 1001101110000001000001000101000100011)(232231⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=---10010211100110111])[(2232111t t t s ss s s sL A sI L e At ，结果相同。
（3） Hamilton Cayley —（凯莱—哈密尔顿）法求At e将At e 展开成矩阵A 的多项式，然后根据A 的特征值情况求出展开系数。
11101)()()()(---=+++==∑n n k n k k AtA t A t I t A t eββββΛ)(t k β——110-=n i ，，，Λ是待定系数，问题的关键是求出待定系数)(t k β。
（3a ）先求出A 的特征值，当A 有n 个不同特征值n λλλ，，，Λ21情况下，可以用如下方法求展开系数)(t k β n i t ekin k k ti ，，，Λ21)(1==∑-=λβλ写成分列式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++==+++==+++=------ni t t t e i t t t ei t t t e n n n n t n n t n n t n )()()(2)()()(1)()()(111011212011111021βλβλββλβλββλβλβλλλΛMΛΛ这里共有n 个方程，可以唯一确定n 个待定系数)(t k β。
（3b ）先求出A 的特征值，当A 有p 个单特征值p λλ，，...1，r 个重特征值，1+p λr p +λ，...，重数分别为r m m m ，，，...21情况下，可用如下方法求系数)(t k β48476p p λλ...1，4484476111...m p p ++λλ，┅，4484476rm r p r p ++λλ... ，n m m m p r =+++ (21)对单根情况，按（3a ）方法求解待定系数)(t k β。
但在重根情况下，我们不能得到相应个数的独立方程，不能求出待定系数)(t k β。
先固定一个j m 重特征值j λ，j λ满足的方程kj n k k tt ej λβλ∑-==1)(有一个，再对j λ求1-j m 次导数得到1-j m 个方程，这样一共得到j m 个独立的方程，（必须先求对j λ求导，再代入j λ的值）这样又可以唯一的求出待定系数)(t k β。
例2-3 (37P ) Ate A ，求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2110 解：先求A 的特征值 0)1(1221122=+=++=+-=-λλλλλλA I ，121-=，λtt t tt t te t te t t t d dd de e t t e t t t t e ---=⇒=⇒+=+=⇒=-⇒+=)()()]()([)1()()()()()(1111011010110111βββλβλλββββλβλλλ t t t Ate t t t t e t t t e t t A t I t e ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=11201001)()(10ββ （4） 特征值与特征向量法求At e （略，自己看书）2.1.4 线性、定常、连续、非齐次（0)(≠t u ）状态方程的解前面已经求出齐次方程)()(t x A t x⋅=&，00)(x t x =，0t t ≥的解为 0000)(!)()(0x k t t A x et x k kk t t A ∑∞=--==对非齐次状态方程：000)()()()(t t x t x t Bu t Ax t x ≥=+=，&将上述状态方程左乘At e - )()()(t Bu e t Ax e t xe At At At ---+=& 移项得 )]([)()()()()(t x e dtd t x dt de dt t dx et x A et x et Bu eAt At AtAtAtAt------=⋅+⋅=-=& 积分、移项并左乘At e ，得非齐次状态方程的解为⎰--+=tt A t t A d Bu e x et x 0)(0)()()(0τττ物理意义： 自由系统（只有初条件作用）的解+强迫项)(t u 作用的解。