4-4 交通流理论-流体理论
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w1 Q2 Q1 1200 1000 2.5( Km / h) K 2 K1 100 20
由状态2转变到状态3形成消散波，记其波速为w2
Q3 Q2 1500 1200 w2 6( Km / h) K3 K 2 50 100
13/27
受拥挤的N辆车的时间— 空间运行轨迹线如图中的N条 折线所示。虚线OB的斜率等于 w1，虚线AB的斜率等于w2，以 xB、tB表示图中B点的空间坐标 和时间坐标，其它各点亦然。 从图看出，从t0到tA，拥挤车 队愈来愈长，最长时占路长度 等于xA-xc，过了时刻tA，拥挤 车队愈来愈短，到时刻tB拥挤 完全消除，很自然应把时段 tB-tA称为消散时间ts.由于N条 折线的斜率表示车速，易得 x 2 tA A 0 . 167 h v 2 12
23/27
例3：某信号灯交叉口的一条进口道上，车流服从V-K线性 模型，饱和车头时距为2s，停车排队的车头空距为8m，到达 流量为720辆／h，红灯时长48.1s，绿灯足够长，求停车排队 最远至几米?
24/27
解：利用例1中的公式，可算出停车排队达到最远距离为
L (t t A )QW 1 t Q N B W1 s Kj Kj Kj
18/27
例题2：一条单向道路的一端伸进学校与居住区中，在此 路段中车速限制为13Km/h，对应的通行能力为3880辆／小 时，高峰是从上游驶来的车流速度为50Km/h，流量为4200辆 ／小时，高峰持续了1.69小时，然后上游车流量降到1950辆 ／小时，速度为59Km/h。是估计此路段入口的上游拥挤长度 和拥挤持续时间。
19/27
解：高峰时上游车流密度： K 4200 84 辆 / km 2 50 居住区路段上的密度： K 1
3880 298 辆 / km 13
在这两股车流之间形成了一集结波其波速为：
w1
Q2 Q1 4200 3880 1 .495 ( Km / h ) K 2 K1 84 298
车辆运行时间-空间轨迹图
16/27
w1掠过的车辆总数就是拥 挤过的车辆总数N。
N Qw1 (t B t0 ) Qw1t B Qw1t j V2 V1 t j 1 1 K 2 K1
12 50 0.353 335辆 1 1 100 20
车辆运行时间-空间轨迹图
k q 或： 0 t x
取极限可得：
又： 故：
k q 0 t x
q ku
( ku ) k 0 t x
上式表明，当车流量随距离而降低时，车流密度则随时间 而增大。
5/27
二、车流波动理论
交通流和一般的流体一样，当道路具有瓶颈形式路段， 车流发生紊乱拥挤现象，会产生一种与车流方向相反的 波，好像声波碰到障碍物时的反射一样，阻止车流前进， 降低车速。如图。
车辆运行时间-空间轨迹图
14/27
又：
x B w1 (t A t s ) 2 w2 t s
解得：
ts 2 W1t A 2 2.5 0.167 0.186h W1 W2 2.5 (6)
所以：
t j t A ts 0.353h
车辆运行时间-空间轨迹图
15/27
由图可知拥挤车队从 A点开始消散，所以落在 路段AC上的车数就是拥挤 车队最长时的车数Nm，它 等于波wl在时段tc-t0内掠 过的车数，根据波流量公 式，可得：
N m Qw1 (tc t0 ) Qw1t A
V2 V1 12 50 tA 0.167 159辆 1 1 1 1 100 20 K 2 K1
7/27
车队运行状态变化图为在时间-空 间坐标系下表示的一队n辆车的运行状 态变化图。在区域I内，车速最高而密 度最低。进入区域II后，车速明显降低 而密度明显升高。进入区域III后，速 度有所回升而密度有所下降。虚线与运 行轨迹的交点就是车队密度不同的两部 分的分界线(对某一确定时刻而言)，而 虚线则表示此分界线既沿车队向后一辆 辆地传播下去，又沿着道路而移动，虚 线的斜率就是波速。虚线AB是低密度状 态向高密度状态转变的分界，它所体现 的车流波称为集结波；而AC是高密度状 态向低密度状态转变的分界，它所体现 的车流波称为疏(消)散波，两种不同的 车流波可统称为集散波。
即拥挤流向上游延长的距离为2.453km，共包含车辆为： 2.453×298＝731辆。集结波W2推进到G的历时为：
t s tG t R xR xF 2.453 0.337小时 w2 7.283
t G 0 . 337 1 . 641 1 . 978 小时 则拥挤持续的时间为：
q k Δx I II
车流在断面I的流入量为q，密度为k。车流在断面II 的流出量为(q+Δq)，密度为(k-Δk)。 Δk前面加一负 号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量的增加而减小。
4/27
根据物质守恒定律：流入量-流出量＝Δx内车辆数的变 化，即：
[q (q q )]t [ k (k k )]x
17/27
由图可知拥挤车辆所占用过的道路总长度L即AD长。 L＝LAD＝2Km 由于表示车辆行驶轨迹的各折线是分段等距平行的，不难 得知遭遇拥挤的那些辆车的延误构成等差级数，于是总延误D 的计算为:
DN t A tF 0.167 2 / 50 335 21.27辆 h 2 2
图 交通流回波现象
6/27
1、集散波的定义 列队行驶的车辆在信号灯交叉口遇到红灯后，即陆续停 车排队而集结成密度高的队列；绿灯启亮后，排队的车辆又 陆续起动而疏散成一列具有适当密度的车队。 车流中密度经过了由低到高，再由高到低两个过程，车 流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队后部传 播的现象，称为车流的波动。车流波动沿道路移动的速度， 称为波速。
车辆波动图
11/27
三、车流波动理论的应用
例1：知某快速干道上车流速度(KM/h)与密度(辆/KM)具有： 之关系。现知一列u1=50KM/h的车流 中插入一u2=12KM/h的低速车，并不能超车而集结形成速度为u2 拥挤车流。此低速车在行驶2KM后离去，拥挤车队随之离散形成 具有速度u3=30KM/h的状态。试求: 1．拥挤车队消散的时间ts； 2．拥挤车队持续的时间tj； 3．拥挤车队最长时的车辆数Nm； 4．拥挤车辆的总数N； 5．拥挤车辆所占用过的道路总长度L； 6．车流速度从Vl降低至V2而延误的总时间T。
车队运行状态变化图
8/27
2、波速（集散波集结和消散的速度） 这个车队从速度V1、密度K1，(对 应于车间距离l1)转变到速度V2、密度 K2(对应于车间距离l2)。O为第一辆车 的变速点，A为第二辆车的变速点、 虚线OA的斜率就是集散波的波速。 设变速点A的时刻为t，位置为x，则：
V2t
t x V1t
第四章 交通流理论
第五节 流体力学理论
1/27
一、引言
1、流体动力学理论建立 1955年，英国学者莱脱希尔和惠特汉将交通流比拟为一种流 体，对一条很长的公路隧道，研究了在车流密度高的情况下的 交通流规律，提出了流体动力学模拟理论。 该理论运用流体动力学的基本原理，模拟流体的连续性方 程，建立车流的连续性方程。把车流密度的变化，比拟成水波 的起伏而抽象为车流波。当车流因道路或交通状况的改变而引 起密度的改变时，在车流中产生车流波的传播，通过分析车流 波的传播速度，以寻求车流流量和密度、速度之间的关系，并 描述车流的拥挤—消散过程。因此，该理论又可称为车流波动 理论。
20/27
车辆运行时间-空间轨迹图
21/27
这是一后退波，表示居住区路段入口处向上游形成一列密 度为298 辆／Km的拥挤车流队列 。图中tF-tH=tE-t0=1.69，则 tE=1.69小时，OF为W1的轨迹。在F处高峰流消失，出现流量为 1950辆／小时，速度为59Km/h的低峰流。
1950 K3 33辆 / km 59
根据题设条件计算上式中各个量：
Q m 3600 / 2 1800 辆 / h
K j 1000 / 8 125辆 / km
则： V f 4Qm / K j ( 4 1800) / 125 57.6km / h
所以K-V关系为： V V f
Vf Kj
K 57.6 0.4608K
25/27
由已知条件，得：
t A 48 .1s 0 .013361 h
Qw1 V2 V1 0 V1 1 1 1 1 k 2 k1 k j k1
4Qm K )及V f Kj Kj 得
由Q KV f (1 求式中的K1、V1：
K K2 Q 4Qm ( 2) Kj Kj K2 K Q 即 2 0 K j K j 4Qm
如果车流前后两行驶状态的流量和密度非常接近，则： dQ W dk 集散波总是从前车向后车传播的，把单位时间内集散波所 掠过的车辆数称为波流量。
Qw 3600 3600 3600 ( v 2 v1 ) V V1 2 l 2 l1 1 1 t l 2 l1 v 2 v1 k 2 k1
集结波波速：
1950 3880 w2 7.283( Km / h) 33 298
22/27
根据时间-空间轨迹图可获得如下方程组：
t R (t E t R ) 1.69 t R (W1 ) (t E t R )V1 x R x F
将 W1 1.495, V1 50带入方程组，解得： t R 1.641小时，t E t R 0.049小时， x R x F t R (W1 ) 1.641 1.495 2.453Km
12/27
u 0.103 1.547 0.00256 K
解：把车流经历的疏散一密集一疏散这三个阶段的状态记为状 态l、2、3，相应的流量、速度、密度分别记为Qi，ui， Ki；i＝1，2，3。则由已知车流模型可算出： Q1=1000，u1=50，K1＝20 Q2=1200，u2=12，K2＝100 Q3=1500，u3=30，K3＝50 由状态1转变到状态2形成集结波，记其波速为wl
l 2 v1t v 2 t l1
故集散波从第一辆车传到第二辆 车所需时间为:
l 2 l1 t v 2 v1
车队前三辆车运行轨迹
9/27
又因x tv1 l1，于是有 l 2 v1 l1vBaidu Nhomakorabea2 l1 l1 (v 2 v1 ) x v v W 波速: 1 1 l 2 l1 l 2 l1 t t v1 v 2 l l2 k v k 2 v 2 Q1 Q2 1 1 1 1 1 k1 k 2 k1 k 2 l1 l 2
2/27
流体动力学模拟理论是一种宏观模型，它假定车流中各个车 辆的行驶状态与它前面的车辆完全一样，这与实际是不相符。 尽管如此，该理论在分析交通流流体状态比较明显的场合，比 如在分析瓶颈路段的车辆拥挤问题时，还比较实用。
3/27
2、车流连续性方程的建立 假设车辆顺次通过断面I和II的时间间隔为Δt，两断 面的间距为Δx。
10/27
在流量—密度相关曲线上，集散波 的波速就是割线的斜率、微弱波（流量 和密度非常接近）的波速就是切线的斜 率。如图所示，当车流从低密度低流量 的A状态转变的高密度高流量的B状态 时，集散波的波速是正的，即波沿道路 前进。当车流从低流量高密度的C状态 转变到高流量而密度较低的B状态时， 集散波的波速是负的，即波沿道路后退。 从A状态到B状态的波是集结波。而从B 状态到A状态的波是消散波，两者都是 前进波。从B状态到C状态的波是集结 波，从C状态到B状态的波为消散波，两 者都是后退波。
由状态2转变到状态3形成消散波，记其波速为w2
Q3 Q2 1500 1200 w2 6( Km / h) K3 K 2 50 100
13/27
受拥挤的N辆车的时间— 空间运行轨迹线如图中的N条 折线所示。虚线OB的斜率等于 w1，虚线AB的斜率等于w2，以 xB、tB表示图中B点的空间坐标 和时间坐标，其它各点亦然。 从图看出，从t0到tA，拥挤车 队愈来愈长，最长时占路长度 等于xA-xc，过了时刻tA，拥挤 车队愈来愈短，到时刻tB拥挤 完全消除，很自然应把时段 tB-tA称为消散时间ts.由于N条 折线的斜率表示车速，易得 x 2 tA A 0 . 167 h v 2 12
23/27
例3：某信号灯交叉口的一条进口道上，车流服从V-K线性 模型，饱和车头时距为2s，停车排队的车头空距为8m，到达 流量为720辆／h，红灯时长48.1s，绿灯足够长，求停车排队 最远至几米?
24/27
解：利用例1中的公式，可算出停车排队达到最远距离为
L (t t A )QW 1 t Q N B W1 s Kj Kj Kj
18/27
例题2：一条单向道路的一端伸进学校与居住区中，在此 路段中车速限制为13Km/h，对应的通行能力为3880辆／小 时，高峰是从上游驶来的车流速度为50Km/h，流量为4200辆 ／小时，高峰持续了1.69小时，然后上游车流量降到1950辆 ／小时，速度为59Km/h。是估计此路段入口的上游拥挤长度 和拥挤持续时间。
19/27
解：高峰时上游车流密度： K 4200 84 辆 / km 2 50 居住区路段上的密度： K 1
3880 298 辆 / km 13
在这两股车流之间形成了一集结波其波速为：
w1
Q2 Q1 4200 3880 1 .495 ( Km / h ) K 2 K1 84 298
车辆运行时间-空间轨迹图
16/27
w1掠过的车辆总数就是拥 挤过的车辆总数N。
N Qw1 (t B t0 ) Qw1t B Qw1t j V2 V1 t j 1 1 K 2 K1
12 50 0.353 335辆 1 1 100 20
车辆运行时间-空间轨迹图
k q 或： 0 t x
取极限可得：
又： 故：
k q 0 t x
q ku
( ku ) k 0 t x
上式表明，当车流量随距离而降低时，车流密度则随时间 而增大。
5/27
二、车流波动理论
交通流和一般的流体一样，当道路具有瓶颈形式路段， 车流发生紊乱拥挤现象，会产生一种与车流方向相反的 波，好像声波碰到障碍物时的反射一样，阻止车流前进， 降低车速。如图。
车辆运行时间-空间轨迹图
14/27
又：
x B w1 (t A t s ) 2 w2 t s
解得：
ts 2 W1t A 2 2.5 0.167 0.186h W1 W2 2.5 (6)
所以：
t j t A ts 0.353h
车辆运行时间-空间轨迹图
15/27
由图可知拥挤车队从 A点开始消散，所以落在 路段AC上的车数就是拥挤 车队最长时的车数Nm，它 等于波wl在时段tc-t0内掠 过的车数，根据波流量公 式，可得：
N m Qw1 (tc t0 ) Qw1t A
V2 V1 12 50 tA 0.167 159辆 1 1 1 1 100 20 K 2 K1
7/27
车队运行状态变化图为在时间-空 间坐标系下表示的一队n辆车的运行状 态变化图。在区域I内，车速最高而密 度最低。进入区域II后，车速明显降低 而密度明显升高。进入区域III后，速 度有所回升而密度有所下降。虚线与运 行轨迹的交点就是车队密度不同的两部 分的分界线(对某一确定时刻而言)，而 虚线则表示此分界线既沿车队向后一辆 辆地传播下去，又沿着道路而移动，虚 线的斜率就是波速。虚线AB是低密度状 态向高密度状态转变的分界，它所体现 的车流波称为集结波；而AC是高密度状 态向低密度状态转变的分界，它所体现 的车流波称为疏(消)散波，两种不同的 车流波可统称为集散波。
即拥挤流向上游延长的距离为2.453km，共包含车辆为： 2.453×298＝731辆。集结波W2推进到G的历时为：
t s tG t R xR xF 2.453 0.337小时 w2 7.283
t G 0 . 337 1 . 641 1 . 978 小时 则拥挤持续的时间为：
q k Δx I II
车流在断面I的流入量为q，密度为k。车流在断面II 的流出量为(q+Δq)，密度为(k-Δk)。 Δk前面加一负 号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量的增加而减小。
4/27
根据物质守恒定律：流入量-流出量＝Δx内车辆数的变 化，即：
[q (q q )]t [ k (k k )]x
17/27
由图可知拥挤车辆所占用过的道路总长度L即AD长。 L＝LAD＝2Km 由于表示车辆行驶轨迹的各折线是分段等距平行的，不难 得知遭遇拥挤的那些辆车的延误构成等差级数，于是总延误D 的计算为:
DN t A tF 0.167 2 / 50 335 21.27辆 h 2 2
图 交通流回波现象
6/27
1、集散波的定义 列队行驶的车辆在信号灯交叉口遇到红灯后，即陆续停 车排队而集结成密度高的队列；绿灯启亮后，排队的车辆又 陆续起动而疏散成一列具有适当密度的车队。 车流中密度经过了由低到高，再由高到低两个过程，车 流中两种不同密度部分的分界面经过一辆辆车向车队后部传 播的现象，称为车流的波动。车流波动沿道路移动的速度， 称为波速。
车辆波动图
11/27
三、车流波动理论的应用
例1：知某快速干道上车流速度(KM/h)与密度(辆/KM)具有： 之关系。现知一列u1=50KM/h的车流 中插入一u2=12KM/h的低速车，并不能超车而集结形成速度为u2 拥挤车流。此低速车在行驶2KM后离去，拥挤车队随之离散形成 具有速度u3=30KM/h的状态。试求: 1．拥挤车队消散的时间ts； 2．拥挤车队持续的时间tj； 3．拥挤车队最长时的车辆数Nm； 4．拥挤车辆的总数N； 5．拥挤车辆所占用过的道路总长度L； 6．车流速度从Vl降低至V2而延误的总时间T。
车队运行状态变化图
8/27
2、波速（集散波集结和消散的速度） 这个车队从速度V1、密度K1，(对 应于车间距离l1)转变到速度V2、密度 K2(对应于车间距离l2)。O为第一辆车 的变速点，A为第二辆车的变速点、 虚线OA的斜率就是集散波的波速。 设变速点A的时刻为t，位置为x，则：
V2t
t x V1t
第四章 交通流理论
第五节 流体力学理论
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一、引言
1、流体动力学理论建立 1955年，英国学者莱脱希尔和惠特汉将交通流比拟为一种流 体，对一条很长的公路隧道，研究了在车流密度高的情况下的 交通流规律，提出了流体动力学模拟理论。 该理论运用流体动力学的基本原理，模拟流体的连续性方 程，建立车流的连续性方程。把车流密度的变化，比拟成水波 的起伏而抽象为车流波。当车流因道路或交通状况的改变而引 起密度的改变时，在车流中产生车流波的传播，通过分析车流 波的传播速度，以寻求车流流量和密度、速度之间的关系，并 描述车流的拥挤—消散过程。因此，该理论又可称为车流波动 理论。
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车辆运行时间-空间轨迹图
21/27
这是一后退波，表示居住区路段入口处向上游形成一列密 度为298 辆／Km的拥挤车流队列 。图中tF-tH=tE-t0=1.69，则 tE=1.69小时，OF为W1的轨迹。在F处高峰流消失，出现流量为 1950辆／小时，速度为59Km/h的低峰流。
1950 K3 33辆 / km 59
根据题设条件计算上式中各个量：
Q m 3600 / 2 1800 辆 / h
K j 1000 / 8 125辆 / km
则： V f 4Qm / K j ( 4 1800) / 125 57.6km / h
所以K-V关系为： V V f
Vf Kj
K 57.6 0.4608K
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由已知条件，得：
t A 48 .1s 0 .013361 h
Qw1 V2 V1 0 V1 1 1 1 1 k 2 k1 k j k1
4Qm K )及V f Kj Kj 得
由Q KV f (1 求式中的K1、V1：
K K2 Q 4Qm ( 2) Kj Kj K2 K Q 即 2 0 K j K j 4Qm
如果车流前后两行驶状态的流量和密度非常接近，则： dQ W dk 集散波总是从前车向后车传播的，把单位时间内集散波所 掠过的车辆数称为波流量。
Qw 3600 3600 3600 ( v 2 v1 ) V V1 2 l 2 l1 1 1 t l 2 l1 v 2 v1 k 2 k1
集结波波速：
1950 3880 w2 7.283( Km / h) 33 298
22/27
根据时间-空间轨迹图可获得如下方程组：
t R (t E t R ) 1.69 t R (W1 ) (t E t R )V1 x R x F
将 W1 1.495, V1 50带入方程组，解得： t R 1.641小时，t E t R 0.049小时， x R x F t R (W1 ) 1.641 1.495 2.453Km
12/27
u 0.103 1.547 0.00256 K
解：把车流经历的疏散一密集一疏散这三个阶段的状态记为状 态l、2、3，相应的流量、速度、密度分别记为Qi，ui， Ki；i＝1，2，3。则由已知车流模型可算出： Q1=1000，u1=50，K1＝20 Q2=1200，u2=12，K2＝100 Q3=1500，u3=30，K3＝50 由状态1转变到状态2形成集结波，记其波速为wl
l 2 v1t v 2 t l1
故集散波从第一辆车传到第二辆 车所需时间为:
l 2 l1 t v 2 v1
车队前三辆车运行轨迹
9/27
又因x tv1 l1，于是有 l 2 v1 l1vBaidu Nhomakorabea2 l1 l1 (v 2 v1 ) x v v W 波速: 1 1 l 2 l1 l 2 l1 t t v1 v 2 l l2 k v k 2 v 2 Q1 Q2 1 1 1 1 1 k1 k 2 k1 k 2 l1 l 2
2/27
流体动力学模拟理论是一种宏观模型，它假定车流中各个车 辆的行驶状态与它前面的车辆完全一样，这与实际是不相符。 尽管如此，该理论在分析交通流流体状态比较明显的场合，比 如在分析瓶颈路段的车辆拥挤问题时，还比较实用。
3/27
2、车流连续性方程的建立 假设车辆顺次通过断面I和II的时间间隔为Δt，两断 面的间距为Δx。
10/27
在流量—密度相关曲线上，集散波 的波速就是割线的斜率、微弱波（流量 和密度非常接近）的波速就是切线的斜 率。如图所示，当车流从低密度低流量 的A状态转变的高密度高流量的B状态 时，集散波的波速是正的，即波沿道路 前进。当车流从低流量高密度的C状态 转变到高流量而密度较低的B状态时， 集散波的波速是负的，即波沿道路后退。 从A状态到B状态的波是集结波。而从B 状态到A状态的波是消散波，两者都是 前进波。从B状态到C状态的波是集结 波，从C状态到B状态的波为消散波，两 者都是后退波。