九年级 圆的知识点总结
九年级_圆_全章知识点总结
九年级_圆_全章知识点总结1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。
2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。
小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆。
5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则：点P 在⊙O 外；点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内。
6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上 7、过一点可作 个圆。
过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。
8、过 的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。
三角形的外心是三角形三条边的 例1、有下列七个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧；⑤三角形的三个顶点在同一个圆上；⑥ 三角形的外心在三角形的内部；⑦过圆心的线段叫做圆的直径。
其中正确的有 （填序号）。
例2、⊙O 的半径为5，圆心O 在坐标原点上，点P 的坐标为（4，2），则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．点P 在⊙O 内 B ．点P 在⊙O 上 C ．点P 在⊙O 外 例3、已知矩形ABCD 的边AB=3cm ，AD=4cm ，若以A 点为圆心作⊙A ，使B 、C 、D 三点中至少有一个点在圆内且至少有一个点在圆外，则⊙A 的半径r 的取值范围是 . 例4、如果⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为7，最小距离为1，那么此圆的半径为 1、圆是轴对称图形， 都是它的对称轴2、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分3、垂径定理的推论：平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分 例5、如图1，直径CE 垂直于弦AB ，CD=1，且AB+CD=CE ，求圆的半径。
九年级数学上册圆的知识点总结
九年级数学上册圆的知识点总结一、圆的概念1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆（或圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合）。
2.圆心O、半径r、直径d：使圆上任意一点与定点O的距离等于r的动点O叫做圆心，连接圆心与圆上任意一点的线段叫做半径，圆心O与定点A之间的距离叫做直径。
二、圆的性质1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等。
2.在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
3.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
4.圆内接四边形的对角互补。
三、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
四、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
五、点和圆的三种位置关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：1.d＞r 点P在⊙O外；2.d=r 点P在⊙O上；3.d＜r 点P在⊙O内。
六、直线和圆的三种位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：1.d＞r 直线l与⊙O相离；2.d=r 直线l与⊙O相切；3.d＜r 直线l与⊙O相交。
七、正多边形和圆各边相等，各内角都相等的多边形叫做正多边形。
在平面内，各边相等，各内角也都相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的外接圆的半径叫做半径；正多边形的中心叫做中心；正多边形的内切圆的半径叫做内心；正多边形的一组邻边的垂直平分线的交点叫做中心。
正n边形的中心角公式：360°/n；正n边形一条边的长度公式：2rsin(180°/n)。
九年级圆的知识点总结
九年级圆的知识点总结一、圆的基本定义1. 圆的定义：平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆心（O）：圆心是圆的中心点，所有圆上的点到圆心的距离都等于半径。
3. 半径（r）：圆心到圆上任意一点的距离。
4. 直径（d）：通过圆心的最长弦，是半径的两倍长度。
5. 弦（c）：连接圆上任意两点的线段。
6. 弧（a）：圆上两点之间的圆周部分。
7. 优弧：大于半圆的弧。
8. 劣弧：小于半圆的弧。
9. 半圆：圆的一半，由直径所界定的弧。
10. 切线（t）：与圆只有一个公共点的直线。
二、圆的性质1. 所有半径的长度相等。
2. 直径是圆内最长的弦。
3. 圆的任意两点之间的弧，优弧总是大于劣弧。
4. 切线与半径相交于圆外的一点，形成直角。
5. 圆周角定理：圆周上任意一点引出的两条半径与圆周所形成的角，其大小是圆心角的一半。
6. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
三、圆的计算公式1. 圆的周长（C）：C = πd = 2πr2. 圆的面积（A）：A = πr²3. 扇形面积：S = (θ/360) × πr²，其中θ是扇形的中心角的度数。
4. 弓形面积：S = (θ/360) × πr² - (θ/360) × rθ/2，其中θ是弓形的中心角的度数。
四、圆的应用问题1. 圆与直线的关系：相交、相切、相离。
2. 圆与圆的关系：内含、外离、相交、内切、外切。
3. 圆的切线问题：求切线长度、切点坐标等。
4. 圆的弦长问题：根据圆心距、半径、弦心距等求弦长。
5. 圆的面积问题：根据圆的半径、直径、周长等求面积。
五、圆的作图方法1. 用圆规画圆：确定圆心和半径，旋转圆规即可画出圆。
2. 作圆的切线：通过圆外一点作圆的切线，需要利用圆心到切点的垂线与切线垂直的性质。
3. 作圆的中垂线：连接圆上任意两点，作其中点的垂线，即为圆的中垂线。
九年级圆的知识点详细总结归纳
九年级圆的知识点详细总结归纳一、圆的定义和关键概念圆是一个平面上的简单闭曲线，由与一个固定点的所有点到该点的距离相等的点组成。
下面是一些重要的圆的关键概念：1. 圆心 (Center)：圆心是圆的中心点，标记为O。
2. 圆周 (Circumference)：圆的周长，也称为圆周，用C表示。
3. 直径 (Diameter)：直径是通过圆心的、连接圆上两点的线段。
直径的长度是圆直径的两倍。
直径用d表示。
4. 半径 (Radius)：半径是从圆心到圆上任意一点的线段。
半径的长度是直径的一半。
半径用r表示。
5. 弧 (Arc)：圆上两点之间的一段路径叫做弧。
6. 弦 (Chord)：圆上两点之间的线段叫做弦。
7. 切线 (Tangent)：切线是切于圆的一条直线，且与圆仅有一个交点。
二、圆的性质和定理圆的性质和定理是研究圆的重要基础，下面是一些常见的圆的性质和定理：1. 直径定理：直径是最长的弦，且它把一个圆分成两个半圆。
2. 弧长定理：一个圆的弧长是根据圆的半径和弧度来计算的。
弧长等于半径乘以弧的弧度。
3. 弧心角定理：圆心角是以圆心为顶点的角，它的弧度等于弧长与半径的比值。
4. 切线定理：切线与半径的关系是垂直。
5. 切线和半径的性质：当一条直线与圆相切时，与切点相连的半径垂直于切线。
6. 切割定理：如果一个弦垂直于一个半径，那么它将被切分成两个互为正方向的弧。
7. 切割角度定理：互不相交的弧它们对应的圆心角相等，相交的弧，它们对应切线切割的角相等。
8. 重合弧定理：在同一个圆上，两个重合的弧对应的圆心角相等。
三、圆的应用圆在日常生活和实际问题中有很多应用，下面是一些常见的圆的应用：1. 圆的测量：通过测量圆的直径或半径可以计算圆的周长和面积。
2. 圆的构造：通过给定圆的半径或直径可以构造圆。
3. 圆的几何关系：圆与直线、圆与圆之间有各种几何关系，如相离、相切、相交等。
4. 圆的运动学：在物理学中，圆的运动学广泛应用于描述物体的圆周运动和周期性运动。
九年级数学下册圆的知识点整理
1.圆的定义与性质-定义：圆是平面上所有距离等于半径的点的集合。
-圆心：圆上任意两点的连线的垂直平分线的交点。
-半径：从圆心到圆上任意一点的长度。
-直径：通过圆心的两个点所确定的线段的长度，等于半径的2倍。
-弦：连接圆上两点的线段。
-弧：圆上的一段弯曲的连续的部分。
-弧长：弧所对应的圆的周长的比例，弧长等于弧所对应的圆的弧度乘以半径。
-圆周角：以圆心为顶点的角，大小等于所对弧的弧度。
2.圆心角与弧长的关系-弧度制：弧所对应的圆的半径长的角，记作弧长/半径。
-弧度制与度角制的换算：180°=Π弧度，1°=Π/180弧度。
-圆心角的弧度等于所对弧的弧长除以半径。
3.圆的位置关系-相交：两个圆的内部有公共点。
-外切：一个圆与另一个圆的外部只有一个公共点。
-两圆相切：两个圆的外部有一个公共点。
-相离：两个圆的内部没有公共点，也没有公共切点。
4.弧与弦的关系-弦分弧：一个弦所对的两条弧，互为补角。
-等弧等价：等长的弧。
5.切线与圆的关系-切线：与圆仅有一个公共点的直线。
-切线的性质：切线与半径垂直，半径在切点上的垂线上。
6.直径、弦与切线的关系-直径是两个切点的连线。
-沿切线作的直径过切点的垂线，则直径上的垂直弦与切线相交于切点。
-公共切线：与两个圆分别有且仅有一个公共切点的直线。
7.线段与圆的位置关系-线段在圆内：线段的两个端点在圆内部。
-线段与圆相交：线段的一个端点在圆内部，另一个端点在圆外部。
-线段切圆：线段的一个端点在圆上，另一个端点在圆外部。
-线段被圆所截：线段的两个端点都在圆外部。
8.弦的性质-弦的中点：连接圆弧两端点的线段的中点在圆的内部。
-等弧等价：等长的弦所对的两条弧相等。
-弦的位置：两个相等长的弦互为等幅弦。
-垂直弦：以圆心为直径的弦是直径。
-到圆心的距离：从圆心到弦的中点的距离等于半径的长度。
九年级数学圆的知识点总结大全
一、圆的定义和性质1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合。
2.圆的要素：圆心、半径、圆周。
3.圆的性质：（1）半径相等的两个圆是同心圆；（2）同圆中，圆心角等于圆周角的1/2；（3）同弧上的两条弦所对的圆心角相等；（4）圆心角相等的弧相等；（5）相等弧所对的弦相等；（6）正多边形的内角和是定值，因此内接于一个圆的正多边形的各个内角相等；（7）直径是弦中最长的。
二、弧与圆周角1.弧的定义：圆上两点间的弧是以这两点为端点的两条互不相交的圆弧中，长的那一段。
2.弧的性质：（1）圆周角所对的弧是唯一确定的；（2）全周角所对的弧是定长的。
3.圆周角的定义：以圆心为端点的两条互不相交的射线所夹的角。
4.圆周角的度量：可以用角的度数来衡量。
三、切线与弦1.切线的定义：切线是与圆只有一个公共点的直线。
2.切线与半径的关系：切线与半径的关系是切线⊥半径。
3.弦的定义：两点之间的线段叫做弦。
4.弦的性质：（1）圆内的弦比它们所对的圆心角小，而且与一个圆心角的两个弧所对的弧一样；（2）相等的弦所对的圆心角相等。
四、相交弦定理1.弦上的点：如果一个点在弦上，则这个点到两个端点的距离相等。
2.相交弦定理：如果两个弦相交于圆内的一个点，则这两个弦上的两个点一定分别在另一个弦上的两侧。
五、余弦定理1.面积的性质：圆内、圆外的面积相等，夹在一个圆内的圆周弧的面积也相等。
2.余弦定理：在一个圆上，任意两条弧所对的圆心角的余弦值相等。
六、正多边形的面积公式1.正六边形的面积：正六边形的面积=3×（边长）²×√3÷22.正八边形的面积：正八边形的面积=2×（边长）²×√23.正十二边形的面积：正十二边形的面积=3×（边长）²×√34. 正十六边形的面积：正十六边形的面积=4×（边长）²×tan(22.5°)。
九年级数学圆的知识点总结
第四章：《圆》一、知识回顾圆周长：C=2πr或C=πd、圆面积：S=πr²圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）二、知识要点一、圆概念集合形式概念：1、圆可以看作是到定点距离等于定长点集合；2、圆外部：可以看作是到定点距离大于定长点集合；3、圆内部：可以看作是到定点距离小于定长点集合轨迹形式概念：1、圆：到定点距离等于定长点轨迹就是以定点为圆心，定长为半径圆；固定端点O为圆心。
连接圆上任意两点线段叫做弦，经过圆心弦叫直径。
圆上任意两点之间部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等点轨迹是这条线段垂直平分线；3、角平分线：到角两边距离相等点轨迹是这个角平分线；4、到直线距离相等点轨迹是：平行于这条直线且到这条直线距离等于定长两条直线；5、到两条平行线距离相等点轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等一条直线。
二、点与圆位置关系1、点在圆内点在圆内；2、点在圆上点在圆上；3、点在圆外点在圆外；三、直线与圆位置关系1、直线与圆相离无交点；2、直线与圆相切有一个交点；3、直线与圆相交有两个交点；四、圆与圆位置关系外离（图1）无交点；外切（图2）有一个交点；相交（图3）有两个交点；内切（图4）有一个交点；内含（图5）无交点；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦直径平分弦且平分弦所对弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧；（2）弦垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对两条弧；（3）平分弦所对一条弧直径，垂直平分弦，并且平分弦所对另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①是直径②③④弧弧⑤弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆两条平行弦所夹弧相等。
即：在⊙中，∵∥∴弧弧六、圆心角定理顶点到圆心角，叫圆心角。
九年级数学圆知识点总结
圆是数学中的一个重要几何概念，九年级数学主要涉及圆的性质、周长、面积、弧长、扇形、切线等知识。
以下是九年级数学圆知识点的总结：一、基本概念1.圆的定义：平面上的点到一个固定点的距离等于一个给定的正数，这个固定点叫做圆心，这个正数叫做半径，所有满足这一条件的点的集合就是圆。
2.圆的元素：圆心、半径、直径、弦、弧、圆心角、半径角、弧长、圆周、切线等。
二、性质与定理1.圆周率：圆周长与直径的比值叫做圆周率，通常用希腊字母π表示，近似取值为3.14162.半径与直径的关系：直径是半径的两倍，即直径等于半径的2倍。
3.圆的周长：圆的周长等于直径与圆周率的乘积，公式为C=2πr，其中C表示圆的周长，π表示圆周率，r表示半径。
4.弧长与圆心角的关系：弧长等于半径与圆心角的乘积，公式为L=rθ，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角。
5.圆的面积：圆的面积等于圆周率与半径的平方的乘积，公式为S=πr²，其中S表示圆的面积，r表示半径。
6.弓形的面积：弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积。
7. 相交弦的性质：相交弦与垂直弦的乘积相等，即ad=bc，其中a、b表示相交弦的两个部分，c、d表示垂直弦的两个部分。
8.切线与半径的关系：与同一弦相交的切线段相等，且切线段的平方等于切点到圆心的线段与相切弦的乘积。
9.相切线与半径的关系：相切线与半径的关系是垂直关系，且切点、圆心、相切线的交点三点在同一条直线上。
三、图形计算1.求圆周长：已知半径或直径，利用公式C=2πr或C=πd计算圆的周长。
2.求圆面积：已知半径，利用公式S=πr²计算圆的面积。
3.求弧长：已知半径和圆心角，利用公式L=rθ计算弧长。
4.求扇形面积：已知半径和圆心角，利用公式S=½r²θ计算扇形的面积。
5. 求弓形面积：已知半径、圆心角和弦长，利用公式S=½r²θ-½ab计算弓形的面积。
九年级圆的知识点总结
九年级圆的知识点总结圆是几何学的一个重要概念，它在数学和物理学中都有广泛的应用。
在九年级数学学习的过程中，我们也会学习到圆的相关知识。
下面是对九年级圆的知识点的总结。
一、圆的定义与性质1. 圆的定义：圆是由平面上的所有离一个固定点相等距离的点构成的图形。
2. 圆的元素：圆心、半径和直径。
3. 圆心角：以圆心为顶点的角，角的度数等于其所对应的弧的度数。
4. 弧与弦：圆上两点之间的部分叫做弧，连接圆上两点的线段叫做弦。
5. 弧长：弧所对应的圆周的长度。
6. 正多边形与圆：当正多边形的边数越多时，它的外接圆越接近于圆。
二、圆的周长和面积1. 周长：圆的周长又称为圆周长，可以用公式C = 2πr表示，其中r为圆的半径。
2. 面积：圆的面积可以用公式A = πr²表示，其中r为圆的半径。
三、圆的方程及其性质1. 标准方程：圆的标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径长度。
2. 圆的参数方程：圆的参数方程为x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径长度，θ为参数。
3. 圆与坐标轴的交点：根据圆的方程，可以求得圆与x轴和y轴的交点坐标。
4. 圆的切线：圆上一点的切线垂直于过该点的半径，并且只有唯一一条切线。
四、判定定理及应用1. 判定定理一：定理述说的是一个圆上的弦与该弦所对应的两个圆心角的情况，具体有“角的对应弦相等”和“角的对应弦互补”的情况。
2. 判定定理二：判定圆、圆周、弦和切线的关系，具体有“圆的切线垂直于半径”和“错切弦垂直于过弦中点的直径”的情况。
3. 判定定理三：当两个圆相交时，它们的交点满足“角的合”和“弦的合”等性质。
4. 判定定理四：当两个圆相切时，它们的切点与切线满足“切点在过两圆心连线上”和“切线垂直于过切点的半径”的性质。
总的来说，九年级圆的知识点主要包括圆的定义、性质和元素、周长和面积的计算、圆的方程及其性质、判定定理及应用等内容。
圆九年级知识点总结
圆九年级知识点总结一、圆的定义和性质1. 圆的定义：圆是由平面上与一定点的距离都相等的点组成的图形。
2. 圆的要素：圆心、半径和直径。
3. 圆的性质：a. 圆心到圆上任意一点的距离相等。
b. 圆的直径是圆上任意两点的最长距离，直径是半径的2倍。
c. 圆的周长是圆周上任意一段弧长。
二、圆的周长与面积计算1. 周长公式：C = 2πr，其中C表示周长，r表示半径，π是一个常数，约等于3.14。
2. 面积公式：A = πr²，其中A表示面积，r表示半径，π是一个常数，约等于3.14。
3. 解题技巧：a. 已知半径求周长或面积：根据公式直接计算。
b. 已知直径求周长或面积：先将直径除以2得到半径，再根据公式计算。
c. 已知面积求半径或直径：根据面积公式求解，注意单位的转换。
三、弧长和扇形面积1. 弧长：圆上两点间的弧长是圆周的一部分。
弧长公式：L = 2πr * (θ/360°)，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
2. 扇形面积：以圆心为顶点的两条半径所围成的区域。
扇形面积公式：A = 0.5 * r² * (θ/360°)，其中A表示扇形面积，r表示半径，θ表示扇形所对的圆心角的度数。
3. 解题技巧：a. 已知弧长求圆心角：根据弧长公式，将已知条件带入计算。
b. 已知扇形面积求圆心角：根据扇形面积公式，将已知条件带入计算。
四、切线与弦1. 切线：与圆相切于一点且在该点的切线垂直于半径。
切线定理：切线与半径垂直。
2. 弦：圆上连接两点的线段。
3. 弦长定理：圆内弦的两边所夹的圆心角等于其所对的弦的圆心角的一半。
五、相交弧和相交线段1. 相交弧：当两个圆相交时，每个圆上都有两个弧与相交点相对应。
相交弧的性质：相交弧的和为360°。
2. 相交弦：当两个圆相交时，连接相交点的线段称为相交弦。
相交弦的性质：相交弦的和相等于且只等于它们夹的相交弧的和。
九年级数学圆的知识点总结大全
一、圆的基本概念和性质1.圆的定义：平面上的点到圆心的距离等于半径的点的集合。
2.圆的要素：圆心、半径、圆周。
3.圆的性质：a.对于圆上任意一点P和圆心O，OP是半径；b.圆上任意两点P和Q的半径相等；c.圆上两个不同的弧所对的圆心角相等；d.圆心角的度数等于它所对的弧的度数；e.圆的内切四边形的对角线互相垂直；f.圆的内切四边形的对边互相平行且相等；g.圆内接正方形的边长等于半径的2倍。
4.圆心角与弧的关系：a.弧所对的圆心角是其两倍；b.圆心角相等的弧相等；c.同弧度数的圆心角相等；d.弧需要圆的整个周长的弧数表示。
二、圆的运算1.圆周长：圆周长是圆周上的弧长，可以通过半径和直径推导得到。
2.圆的面积：圆的面积是圆心角度和圆的半径之间的数学关系，可以通过面积公式πr²计算得到。
三、圆的位置关系1.圆的判定：a.两个圆相交，如果两个圆的圆心距离小于半径之和但大于半径之差；b.两个圆相切，如果两个圆的圆心距离等于半径之和或半径之差；c.两个圆外离，如果两个圆的圆心距离大于半径之和；d.两个圆内含，如果一个圆完全位于另一个圆内部。
2.相切圆的性质：a.相切圆的切点在半径的连线上；b.相切圆的切线相互垂直；c.相切圆的切线公共切点的连线通过两个圆的圆心。
四、圆与线的位置关系1.弦的性质：a.弦和圆心连线垂直，那么弦是直径；b.弦的中点位于圆心。
2.弧与弦：a.弧上的两个弦相等，则它们所对的圆心角相等；b.两个等圆弧所对的圆心角相等；c.弦所夹的圆弧是圆心角的一半。
3.弦的长度：等于两个切线段的和。
4.直线和圆的位置关系：a.直线与圆相交于两点；b.直线与圆相切于一点；c.直线与圆不相交。
五、切线和切线长1.切线的定义：从圆外的一点引一条直线，直线与圆相交于该点，这条直线叫做切线。
2.切线的性质：a.切线与半径垂直；b.切线与切线垂直；c.相切圆的切线相互垂直。
3.切线长的计算：可以通过勾股定理得到切线长的计算公式。
九年级数学圆的知识点总结大全
第四章：《圆》一、学问回忆圆的周长： C=2πr 或C=πd 、圆的面积：S=πr ²圆环面积计算方法：S=πR ²-πr ²或S=π（R ²-r ²）(R 是大圆半径，r 是小圆半径） 二、学问要点 一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的间隔 等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的间隔 大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的间隔 小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的间隔 等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O 为圆心。
连接圆上随意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上随意两点之间的局部叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端间隔 相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边间隔 相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的间隔 相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的间隔 等于定长的两条直线；5、到两条平行线间隔 相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线间隔 都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；A2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-； 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
九年级圆数学知识点总结
九年级圆数学知识点总结在九年级的数学学习中，圆是一个重要的几何形状。
本文将总结九年级学生需要了解的关于圆的数学知识点，包括圆的定义、圆的性质、圆的周长和面积计算公式等。
一、圆的定义圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
圆由圆心和半径两个要素唯一确定。
二、圆的性质1. 圆心角性质：圆心角的度数等于所对弧的度数。
2. 弧长角性质：圆心角和所对弧的弧长成正比，即圆心角是所对弧的弧长的一半。
3. 正切线性质：切线与半径的垂直关系。
4. 直径性质：直径是过圆心的两个端点，也是圆的两个切线的临界情况。
5. 弦性质：弦是圆上任意两点的连线，圆心角大于所对弦的弦长所对应的圆心角。
三、圆的周长和面积计算公式1. 圆的周长计算公式：周长等于直径乘以π（π取近似值3.14），或者等于半径乘以2π。
2. 圆的面积计算公式：面积等于半径的平方乘以π。
四、圆的相关概念和定理1. 弧：弧是圆上的一段弧段，可以用圆心角的度数或弧长来表示。
2. 弧度制和角度制：弧度制是以圆的半径长度为单位，角度制是以度数为单位。
3. 弧长公式：弧长等于圆心角的弧度数乘以半径。
4. 扇形：扇形是由圆心角和所对弧组成的图形。
5. 圆锥曲线：圆是一种特殊的椭圆，椭圆的两个焦点重合形成圆。
6. 圆和直线的位置关系：直线可能与圆相切、相交或不相交。
五、九年级圆的应用1. 圆的测量：了解如何使用直径、弧长和半径求圆的周长和面积。
2. 圆的运动学应用：了解圆的运动学应用，如圆周运动和圆周速度的计算等。
3. 圆的工程应用：了解圆在工程领域中的应用，如轮胎的制造和车辆的转弯半径计算等。
六、小结在九年级数学学习中，圆是一个重要的几何形状。
通过掌握圆的定义、性质、周长和面积计算公式，以及相关概念和定理，学生可以更好地理解圆的特点和应用。
掌握圆的知识，有助于解决和应用各类与圆相关的数学问题，同时也为进一步学习高级几何打下坚实的基础。
九年级数学圆的知识点总结
圆是一种特殊的几何图形，是平面上所有到一些点的距离相等的点的集合。
在九年级数学中，我们学习了许多与圆相关的知识点，包括圆的性质、圆的方程、圆的切线和弦、圆与直线的位置关系等。
下面是对这些知识点的详细总结。
一、圆的性质1.圆的定义：平面上到一个固定点的距离相等的点的集合叫做圆。
2.圆的元素：圆心、半径、直径、弦、弧等。
3.圆的表示方法：圆心为O，半径为r的圆可以表示为O(r)，或者简写为O。
二、圆的方程1.标准方程：以圆心为原点O(0,0)，半径为r的圆的方程为x²+y²=r²。
2.一般方程：以圆心为(h,k)，半径为r的圆的方程为(x-h)²+(y-k)²=r²。
三、圆的切线和弦1.切线：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线。
切线垂直于半径。
2.弦：连接圆上两个不相邻点的线段叫做圆的弦。
圆心到弦的中点的线段垂直于弦。
四、圆与直线的位置关系1.直线与圆的位置关系有三种情况：a.直线与圆相交于两点：直线穿过圆的内部，与圆有两个交点。
b.直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，且切点在圆上。
c.直线与圆相离：直线没有与圆的交点。
五、圆的相关定理1.切线定理：切线与半径的垂直定理。
切线与半径的垂线相互垂直。
2.弦切角定理：圆弦上的两个角对相同弧的度数相等。
3.弧上的角等于圆心角的一半：弧上的角等于它所对的圆心角的一半。
4.切线垂直半径定理：过圆的切点作切线，与过切点的半径垂直。
六、圆的计算1.弧长公式：弧长L=2πr(θ/360°)，其中r为半径，θ为圆心角度数。
2.弧度制与角度制转换：1°=π/180，1弧度=180/π。
以上是九年级数学中圆的主要知识点的总结，通过对这些知识点的学习和理解，能够更好地理解和解决与圆相关的问题。
九年级数学圆的知识点总结大全
第四章：《圆》一、知识回顾圆的周长：C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；固定的端点O为圆心。
连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系A1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
图1图2图4图5推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
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圆的知识点汇总1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2．连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
3．圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
能够重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
4．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
5．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
6．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
7．我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。
8．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
9．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
10．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
11．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
12．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
13．半圆（或半径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
14．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
15．在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，他们所对的弧一定相等。
16．圆内接四边形的对角互补。
17．点P在圆外——d > r 点P在圆上——d = r 点P在圆内——d < r18．不在同一直线上的三个点确定一个圆。
19．经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
20．直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。
21．直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。
22．直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离。
23．直线L和○O—d < r 直线L和○O相切——d = r24．直线L和○O相离——d > r25．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
26．圆的切线垂直于过切点的半径。
27．经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
28．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
29．与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
30．如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，（分外离和内含）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，（分外切和内切）。
如果这两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
31．两圆圆心的距离叫做圆心距。
32．我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
33．在半径是R的圆中，因为360°圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2πR，所以n°的圆心角所对的弧长为n R L 180π＝ 34．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形35．在半径是R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S ＝πR ²，所以n °圆心角所对的扇形的面积为2n R S 360π=扇形 36．我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线37．38．RT △中，=2a b c r +-内 39．任意三角形中，2=C S r 内圆的知识点测试1．下列命题：①长度相等的弧是等弧 ②任意三点确定一个圆 ③相等的圆心角所对的弦相等 ④外心在三角形的一条边上的三角形是直角三角形，其中真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.3个2．同一平面内两圆的半径是R 和r ，圆心距是d ，若以R 、r 、d 为边长，能围成一个三角形，则这两个圆的位置关系是( )A.外离B.相切C.相交D.内含3．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=( )A.35°B.70°C.110°D.140°4．如图，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围( )A.3≤OM ≤5B.4≤OM ≤5C.3＜OM ＜5D.4＜OM ＜55．如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE=OB ， ∠AOC=84°，则∠E 等于( )A.42 °B.28°C.21°D.20°第7题图 第6题图 第5题图第4题图 第3题第15题6．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC 于点D ，AD=2cm ，AB=4cm ，AC=3cm ，则⊙O 的直径是( )A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm7．如图，圆心角都是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连结AC 、BD ，则图中阴影部分的面积为( )A. B. C. D.8．已知⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，⊙O 1的半径R=2，⊙O 2的半径r=1，若半径为4的⊙C 与⊙O 1、⊙O 2都相切，则满足条件的⊙C 有( )A.2个B.4个C.5个D.6个9．设⊙O 的半径为2，圆心O 到直线的距离OP=m ，且m 使得关于x 的方程有实数根，则直线与⊙O 的位置关系为( )A.相离或相切B.相切或相交C.相离或相交D.无法确定10．如图，把直角△ABC 的斜边AC 放在定直线上，按顺时针的方向在直线上转动两次，使它转到△A 2B 2C 2的位置，设AB=，BC=1，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线为( )A. B. C. D.二、填空题11．(山西)某圆柱形网球筒，其底面直径是10cm ，长为80cm ，将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，则需________________的包装膜(不计接缝，取3).12．(山西)如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻，当他带球冲到A 点时，同样乙已经助攻冲到B 点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑，应选择________种射门方式.13.如果圆的内接正六边形的边长为6cm ，则其外接圆的半径为___________.14．(北京)如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，其中，B 点坐标为(4，4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为_____________.15．如图，两条互相垂直的弦将⊙O 分成四部分，相对的两部分面积之和分别记为S 1、第14题第12题图第11题图第10题第17题图 S 2，若圆心到两弦的距离分别为2和3，则|S 1-S 2|=__________.三、解答题16．为了探究三角形的内切圆半径r 与周长、面积S 之间的关系，在数学实验活动中，选取等边三角形(图甲)和直角三角形(图乙)进行研究.⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为点D 、E 、F.(1)用刻度尺分别量出表中未度量的△ABC 的长，填入空格处，并计算出周长和面积S.(结果精确到0.1厘米)(2)观察图形，利用上表实验数据分析.猜测特殊三角形的r 与、S 之间关系，并证明这种关系对任意三角形(图丙)是否也成立?17．(成都)如图，以等腰三角形的一腰为直径的⊙O 交底边于点，交于点，连结，并过点作，垂足为.根据以上条件写出三个正确结论(除外)是：(1)________________；(2)________________；(3)________________.18．(黄冈)如图，要在直径为50厘米的圆形木板上截出四个大小相同的圆形凳面.问怎样才能截出直径最大的凳面，最大直径是多少厘米？19．(山西)如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB.经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm.求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积(面积计算结果用表示) .20．如图，在△ABC中，∠BCA =90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点.判断直线PQ 与⊙O的位置关系，并说明理由.21．(武汉)有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R.说明：RP=RQ.请探究下列变化：变化一：交换题设与结论.已知：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点(不与O、A重合)，BP的延长线交⊙O于Q，R是OA的延长线上一点，且RP=RQ.说明：RQ为⊙O的切线.变化二：运动探求.(1)如图2，若OA向上平移，变化一中的结论还成立吗？(只需交待判断) 答：_________.(2)如图3，如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立吗？为什么？22．(深圳南山区)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2.E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F.(1)求OA、OC的长； (2)求证：DF为⊙O′的切线；(3)小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形.由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”.你同意他的看法吗？请充分说明理由.答案与解析：一、选择题1.B2.C3.D4.A5.B6.C7.C提示：易证得△AOC≌△BOD，8.D 9.B 10.B二、填空题11.12000 12.第二种13.6cm 14.(2，0) 15.24(提示：如图，由圆的对称性可知，等于e的面积，即为4×6=24)三、解答题16.(1)略(2)由图表信息猜测，得，并且对一般三角形都成立.连接OA、OB、OC，运用面积法证明：17.(1)，(2)∠BAD=∠CAD，(3)是的切线(以及AD⊥BC，弧BD=弧DG等).18.设计方案如左图所示，在右图中，易证四边形OAO′C为正方形，OO′+O′B=25，所以圆形凳面的最大直径为25(-1)厘米.19.扇形OAB的圆心角为45°，纸杯的表面积为44.解：设扇形OAB的圆心角为n°。