初三圆知识点复习总结

初三数学圆知识点

一.垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

简单记成：一条直线：①过圆心②垂直弦 ③平分弦 ④平分弦所对的劣弧⑤平分弦所对的优弧弧

以上以任意两个为已知条件，其它三个都成立，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①

AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④⌒BC =⌒BD ⑤⌒AC =⌒AD

中

任意2个条件推出其他3个结论。

例1．如图，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB 于点E ，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= ___． 例2 ．已知⊙O 的直径10CD cm =，

AB 是⊙O 的弦，8AB cm =，且AB CD ⊥，垂足为M ，则AC 的长为（ C ）

A

．

B

．

C

．

D

．

或

例3、如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A 、B ，并使AB 与车轮内圆相切于点D ，做CD⊥AB 交外圆于点C ．测得CD=10cm ，AB=60cm ，则这个车轮的外圆半径为 ．

例4、如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 A ．点P B ．点Q C ．点R D ．点M 二、圆周角定理

1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心的角的一半。即：∵AOB ∠和

ACB ∠是⌒AB

所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠

2、圆周角定理的推论：

推论1：半圆或直径所对的圆周角是直角；90︒圆周角所对的弦直径 推论2：圆内接四边形的对角互补；

由对称性还可知：1、在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等； 2、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等； 简记：在同圆或等圆中，①弦②圆心角③弧中只要一个相等，其它两个也相等。

例1、如图，已知A 、B 、C 三点在⊙O 上，AC ⊥BO 于D ，∠B =55°，则∠BOC 的度数是 70° ．

例2、从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

例3、如图，□ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙0上，顶点C 在⊙0的直径BE 上，连接AE ，∠E=360

，

B

则∠ADC=( ) A,440 B．540 C．720 D．530

学生练习：

三、与圆有关的位置关系

1．点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆内⇔______；点在圆上⇔_______；•点在圆外⇔_______．

2．直线与圆的位置关系：如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线L 的距离为d ，那么：

（1）直线和圆有_____个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的_____，公共点叫做_____，此时d_____r ； （2）直线和圆有_____个公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的______，公共点叫做______，此时d_______r ． （3）直线和圆有____个公共点时，叫做直线与圆相离，此时d______r ． 3.切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠

例1.已知⊙O 的半径为3,A 为线段PO 的中点,则当OP=6时,点A 与⊙O 的位置关系为( )

A.点在圆内

B.点在圆上

C.点在圆外

D.不能确定

2.⊙O 的半径为6,⊙O 的一条弦AB 长为

,以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定

3.如图所示,⊙O 的外形梯形ABCD 中,如果AD ∥BC,那么∠DOC 的度数为( ) A.70° B.90° C.60° D.45°

4.如图所示,PA 与PB 分别切⊙O 于A 、B 两点,C 是AB 上任意一点,过C 作⊙O 的切线,交PA 及PB 于D 、E 两点,若PA=PB=5cm,则△PDE 的周长是_______cm.

5、如图2，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(3,0)-，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为 A ．1 B ．1或5 C ．3 D ．5

6、如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作半圆⊙O 交AC 与点D ，点E 为BC 的中点，连接DE ．

（1）求证：DE 是半圆⊙O 的切线． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD 的长．

7．如图，在△ABO 中，OA=OB ，C 是边AB 的中点，以O 为圆心的圆过点C ． （1）求证：AB 与⊙O 相切； （2）若∠AOB=120°，

AB=4

，求⊙O 的面积．

(

第6题)

O