高中三角函数与初中三角函数的对比研究

高中三角函数与初中三角函数的对比

1、为什么要推广角的概念？

这个问题通过“观览车”这个实例，提出“从你的座位开始转动的时刻到某个时刻，你的座位转了多少角度？”帮助学生认识到了推广角的概念的必要性，使学生从运动变化的观点认识任意角的概念.

2、为什么要定义任意角的三角函数？

这个问题通过“观览车”问题系列中“这时你的座位离地面的高度是多少？”让学生认识到将初中锐角的三角函数的概念推广到任意角三角函数的必要性，然后用角的终边上点的坐标及它到原点的距离的“比值”来定义，这种定义的可以反映从锐角三角函数到任意角三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数.接下来，教材又引入了单位圆与三角函数线，使学生进一步体会到三角函数的基础知识是平面几何中的相似形，所以，初中的三角函数是解三角形的工具，而高中所学的任意角三角函数开始研究自变量与三角函数值的函数关系，既简化了三角函数的定义，同时学生会认识到，圆上的点与三角函数的对应关系．

3、为什么说三角函数是描述周期变化的重要函数模型？

教材通过“你能用学过的知识描述观览车周而复始的运动吗？”这个问题，让学生认识到，单位圆上点的坐标随着角每隔2π（圆周长）而重复出现，非常直观地显示了正弦、余弦函数的周期性．这样的使学生认识到三角函数的另一个基础知识是平面几何中的圆，“正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质的解析表述”，从而有利于学生建立圆上的点的周期性与三角函数的周期性的对应关系，帮助学生初步了解三角函数是描述周期变化的重要函数模型.同时也经

历了三角学从研究三角形解法转为研究三角函数及其应用的过程.

此外，教材在《基本初等函数II小结之巩固与提高》中，又以观览车为背景，提出了一系列函数问题，结合自己学生的学习情况，这个背景也利于教师提出相关问题，比如我为学生提供了这样的问题：

如图观览车顶点离地面40．5米，直径40米，你在观览车最低点登上观览车，观览车匀速地旋转，你与地面的距离随时间的变化而变化，6分钟后到达最高点.如果以你登上观览车的时间计为零分开始计时：

（1）你能求出这个距离y(米）与时间t（分钟）的函数解析式吗?

（2）当你登上观览车8分钟时你距地面多少米?

（3）当你第一次距地面30.5米时，用了多少时间?

（4）你第4次距地面30.5米时，用了多少时间?

（5）你能再设计一些问题吗？

由于这些问题可以帮助学生体会到：研究匀速旋转最本质、最简单的是研究单位圆上的点（x，y）随旋转角的变化而变化的规律，即研究x和y作为角θ（弧度制）的函数——三角函数是圆的几何性质的代数表示.

教材运用系列化的情景呈现，使学生不断地对已有信息进行加工和提炼，形成数学学习的思维方式、方法，不但能为后续的学生提供情景，同时也使知识在迁移过程中提升学生的学习能力.从而引起学生的注意和激发学生的学习动机和探索欲望.

二、教学上的初高中过渡要让学生体会到数学的思想方法

由于高中的数学课程内容是以模块形式呈现的．因此，在教学中应注意沟通

各部分之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，感受数学的思想方法，从而更好地理解数学的本质．

在三角函数的教学中，我体会到，利用教材中“观察”“思考”“探究”等栏目，提出恰时恰点的问题，把数学概念的概括过程和数学思想方法的形成过程设计成为一系列的问题，启发学生的积极主动思维.这样，可以使学生感到概念的发展和数学思想方法的形成是自然的，不是强加于人的.

以《3.1.1两角差的余弦》的教学为例，由于两角差的余弦公式是所有三角恒等变换公式的核心，但公式的推导思路的获得是一个难点.为此，“标准”明确提出利用向量的数量积推导两角差的余弦公式，目的在于注重沟通几何、向量、三角知识间的联系．所以教学中只有很好的解决以下几个问题，才能使学生深刻的理解公式推导过程，领悟到蕴含在推导过程中的数学思想：

1. 为什么要研究用的正余弦值来表示的余弦值？

在这一点上，《人教社数学B 版必修4》以观览车为本章教学的背景引入,使学生认识到要研究用的正余弦值来表示的三角函数值.

2. 如何使学生合情合理的发现公式？

在这个问题上，教材采取了直接给出公式的方法，这对于学生来说，公式来的突兀、抽象.由于公式是一类事物的普遍规律、一般模型，所以只有交代好公式的背景，才能帮助学生更好的理解公式，利用公式实现程序化.所以，我在教学中做了如下改进：，从学生最熟悉的“锐角问题”入手，引出一般公式的猜想，再用“向量法”证明；具体方案是，课前给学生布置了这样一个问题：

已知：如图，，.求.

（要求：尽量用向量方法解决问题）

这个设计的目的在于：

（1）使学生认识到已知的三角函数，可以计算的三角函数；

（2）通过分析学生在用向量方法解决这个问题中遇到的问题和解决方案，使学生进一步认识如何用向量方法解决问题，进而推导出两角差的余弦公式.

从实际教学效果看，相比直接用向量法而言，有三个优势之处，其一，由于从锐角问题入手，贴近学生的思维最近发展区，学生感受比较亲切些、自然些，对公式认识更为具体；其二，当我们把特殊角推广到任意角时，可以体现一个从特殊到一般、从具体到抽象的过程，是数学常用的思维方式；其三，把重点放在用向量法证明公式上，帮助学生体会向量是如何沟通代数、几何、三角函数的.

3、怎样在公式证明中让学生体会平面向量、几何、三角之间的联系？

关于这一点，我体会到，教材在两个方面都作出努力.一方面，教材中所给

出的证明使学生认识到将向量置于坐标系下就是把这两个向量分别做了正交分解，由于＝

＝，这不过是对同一事物的不同表示方法而已，从而帮助学生进一步建立向量与三角之间的联系，另一方面，《人教社数学 B 版必修4》P135探索与研究，进一步引导学有余力的学生深刻思考几何、向量、三角知识间的联系．它提出如下问题：如图所示

1、找出表示的有向线段；（）