甘肃省高考数学一模试卷(理科)
2023年甘肃省第一次高考诊断考试第一次理科数学答案
故 ｇ（ｘ）≤ｇ（１）＝０，
所以当 ａ＝１时，ｌｎｘ≤ｘ－１，即 ｆ（ｘ）≤ｘ－１． ４分
⑵①解：令 ｈ（ｘ）＝ａｌｎｘ－ｘ，则 ｈ′（ｘ）＝ａｘ－１＝ａｘ－ｘ，
当 ０＜ｘ＜ａ时，ｈ′（ｘ）＞０，函数 ｈ（ｘ）为增函数；当 ｘ＞ａ时，ｈ′（ｘ）＜０，函数 ｈ（ｘ）为减函数，
令 Ｆ（ｘ）＝ｅ＋１ｘ２＋ｅｘ－２ｅｘｌｎｘ， ２
则 Ｆ′（ｘ）＝（ｅ＋１）ｘ＋ｅ－２ｅ（ｌｎｘ＋１）＝（ｅ＋１）ｘ－２ｅｌｎｘ－ｅ， 由（１）知 ｌｎｘ≤ｘ－１，由①知 ｅｌｎｘ≤ｘ，即 ｌｎｘ≤ ｘ ｅ，又由于两式等号成立的条件不同，相加可
第一次诊断理科数学答案 第 ５页 （共 ６页）
得 ２ｌｎｘ＜ｅ＋ｅ１ｘ－１，所以 Ｆ′（ｘ）＝（ｅ＋１）ｘ－２ｅｌｎｘ－ｅ＞０，
( ) ∴曲线 Ｃ是以点 １２，０为焦点，直线 ｘ＝－１ ２为准线的抛物线，
其方程为：ｙ２＝２ｘ． ４分
（２）设直线 ＡＢ的方程为 ｙ＝ｋ１（ｘ－１），设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），
{联立
ｙ２ ＝２ｘ ，可得
ｙ＝ｋ１（ｘ－１）
ｋ２ １ｘ２ －（２ｋ２ １ ＋２）ｘ＋ｋ２ １ ＝０，
则 Δ＝（２ｋ２ １＋２）２－４ｋ４ １＝４（２ｋ２ １＋１）＞０， 且 ｘ１＋ｘ２＝２ｋ２ １ｋ２ １＋２＝２＋ｋ２２ １，ｘ１ｘ２＝ｋ ｋ２ １ ２ １ ＝１， ６分
第一次诊断理科数学答案 第 ４页 （共 ６页）
故 Ｐ（１＋ｋ１２ １，ｋ１１），同理可得 Ｑ（１＋ｋ１２ ２，ｋ１２），
则直线
ＰＱ的方程为
ｙ－ｋ１１
１ ＝ｋ１２
ｋ２ ２
－ －ｋ ｋ１ １１ ２ １（ｘ－１－ｋ１２ １），又
ｋ１ ＋ｋ２ ＝２，
直线 ＰＱ的方程可化为 ｙ＝ｋ１２ｋ２（ｘ－１－ｋ１２ １）＋ｋ１１ ＝ｋ１２ｋ２ｘ－ｋ１２ｋ２－ｋ２２ｋ－１２＝ｋ１２ｋ２（ｘ－１）＋１２，
2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)
2020年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则(A B =U ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞2．（5分）已知：(32)z i i =-，则(z z =g ) A ．5B ．5C ．13D ．133．（5分）已知平面向量,a b r r 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ，则||(b =r ) A ．3B ．10C ．23D ．54．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>经过点(2,22)M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为()A ．22B ．2C ．2D ．22-5．（5分）函数2cos2()||xf x ln x x=+的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线的C 的离心率为( ) A 5B 5C 2D ．27．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%)的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，⋯⋯，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.042yx a =-．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%( )（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月8．（5分）设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥． 其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④9．（5分）定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，已知()a f ln π=，12()b f e -=，21(log )6c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>10．（5分）将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为( )A ．(,0)12πB ．(,0)4πC ．(,0)πD ．4(,0)3π 11．（5分）若31()n x x的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为( ) A ．85B ．84C ．57D ．5612．（5分）若函数||2()x f x e mx =-有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是()A ．2[,)4e +∞B ．2(,)4e +∞C ．2(,)4e -∞D ．2(,]4e -∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，则2z x y =-的最大值为 ．14．（5分）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 ．15．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos 3sin 20B B +-=，且1b =，则ABC ∆周长的范围为 ．16．（5分）1611年，约翰内斯g 开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯g 黑尔斯()ThomasHales 带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm （排球的直径约为21)cm ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项． （1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{2}n a n +的前n 项和n S ．18．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点．（1）画出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求1BD 与该平面所成角的正弦值．19．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时． （1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望()E ξ；（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额．20．（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2F 0)，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值．21．（12分）已知函数1()(1)2()f x ax a lnx a R x=-+-+∈． （1）讨论函数()f x 单调性；（2）当2a =-时，求证：1()2x f x e x x<--． （二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:(0)l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求||||OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|f x x =-，不等式()(1)5f x f x +-<的解集为{|}x m x n <<． （1）求实数m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +…．2020年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知{|||1}A x x =<，{|21}x B x =<，则(A B =U ) A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞【解答】解：因为{|||1}(1,1)A x x =<=-，{|21}(,0)x B x =<=-∞， 则(,1)A B =-∞U ． 故选：D ．2．（5分）已知：(32)z i i =-，则(z z =g )A ．5BC ．13D 【解答】解：由(32)23z i i i =-=+，得22||13z z z ===g ． 故选：C ．3．（5分）已知平面向量,a b r r 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ，则||(b =r )A ．3B C ．D ．5【解答】解：Q 平面向量,a b rr 满足(1,2),(3,)a b t =-=-r r ，且()a a b ⊥+r r r ， ∴()(1a a b +=rr r g ，2)(2--g ，2)2(2)(2)0t t -=-+--=g ，求得1t =，∴(3,1)b =-r ，则||b ==r故选：B ．4．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>经过点M ，焦点为F ．则直线MF 的斜率为()A ．BCD ．-【解答】解：由题意可得2(22)22p =g 所以2p =， 所以抛物线的方程为：24y x =， 所以焦点(1,0)F ， 所以2222MF k ==， 故选：A ．5．（5分）函数2cos2()||xf x ln x x =+的部分图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，且22cos(2)cos2()||||()()x xf x ln x ln x f x x x--=-+=+=-，故()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除BC ； 又cos2(1)1cos201f ln =+=<，可排除D ． 故选：A ．6．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线的C 的离心率为( ) A 5B 5C 2D ．2【解答】解：根据题意，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为by xx a=±，圆22:240E x y x y ++-=的圆心为(1,2)-，若双曲线的渐近线经过圆E 的圆心，则双曲线的一条渐近线方程为2y x =-， 则有2ba=，即2b a =， 则22225c a b a =+=，即5c a =， 则双曲线的离心率5ce a==． 故选：B ．7．（5分）5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5C 技术发展迅速，已位居世界前列．华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%)的几组相关对应数据．如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月，⋯⋯，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ0.042yx a =-．若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5C 手机市场占有率能超过0.5%( )（精确到月）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【解答】解：根据表中数据，得1234535x ++++==，1(0.020.050.10.150.18)0.15y =++++=，0.10.0423a ∴=⨯-，0.026a =，所以线性回归方程为0.0420.026y x =-， 由0.0420.0260.5x ->，得13x …，预计上市13个月时，即最早在2020年8月，市场占有率能超过0.5%， 故选：C ．8．（5分）设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．给出下列四个命题：①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则//m α；③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β；④若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则m β⊥． 其中正确的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【解答】解：由m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面．知： 在①中，若//m α，//n β，//αβ，则m 与n 相交、平行或异面，故①错误； 在②中，若αβ⊥，m β⊥，m α⊂/，则由线面垂直的性质定理得//m α，故②正确； 在③中，若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则n 与β平行或n β⊂，故③错误；在④中，若αβ⊥，l αβ=I ，//m α，m l ⊥，则由线面垂直的判定定理得m β⊥，故④正确． 故选：C ．9．（5分）定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，已知()a f ln π=，12()b f e -=，21(log )6c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【解答】解：定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，2(,0)x ∈-∞．且12x x ≠，有2121()()f x f x x x ->-成立，可得()f x 在(,0)x ∈-∞单调递增，所以()f x 在(0,)+∞单调递减； 因为12ln π<<，1201e -<<，所以12()()a f ln b f e π-=<=，2221113log log log 2864-=<<=-Q ，2211(log )(log )(266c f f ==-∈，3)，所以c a <， 故选：A ．10．（5分）将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =图象的一个对称中心为( )A ．(,0)12πB ．(,0)4πC ．(,0)πD ．4(,0)3π 【解答】解：将函数()sin()6f x x π=+图象上每一点的横坐标变为原来的2倍可得函数11()sin()26f x x π=+．再将图象向左平移3π个单位长度，得到函数11()sin[()]sin()23623y g x x x πππ==++=+的图象，令123x k ππ+=，k Z ∈，则223x k ππ=-，k Z ∈， 当1k =时，43x π=， 则函数()y g x =图象的一个对称中心为4(3π，0) 故选：D ．11．（5分）若1)n x的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为( ) A ．85B ．84C ．57D ．56【解答】解：Q 二项式系数和为256，2256n ∴=，得8n =，则展开式的通项公式为8848331888811()()k kk k n kk k k k k k k T C C C x C x x x-----+=====， 当2k =时，对应的有理项为，2828C =， 当5k =时，对应的有理项为，544856C x x --=， 当8k =时，对应的有理项为，8x -，则二项式展开式中有理项系数之和为2856185++=， 故选：A ．12．（5分）若函数||2()x f x e mx =-有且只有4个不同的零点．则实数m 的取值范围是()A ．2[,)4e +∞B ．2(,)4e +∞C ．2(,)4e -∞D ．2(,]4e -∞【解答】解：()f x 有且只有4个不同的零点等价于偶函数||x y e =与偶函数2y mx =的图象有且只有4个不同的交点，即2x e mx =有两个不同的正根，令2()x e h x x =，则3(2)()x e x h x x -'=，(0,2)x ∈时，()0h x '<，(2,)x ∈+∞时，()0h x '>，∴函数()h x 在(0,2)上单减，在(2,)+∞上单增，此时()min h x h =（2）24e =；又Q 当0x →时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，24e m ∴>．故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，则2z x y =-的最大值为 10 ．【解答】解：实数x ，y 满足约束条件1022020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩…„…，画出可行域，如图：由2z x y =-可得1122y x z =-，则直线在y 轴上的截距越小，z 越大 然后平移直线:02L x y =-， 当直线2z x y =-过点A 时z 最大由20220y x y +=⎧⎨+-=⎩可得(6,2)A -时，z 最大值为10 故答案为：10．14．（5分）某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学、各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节．若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有种 1344 ．【解答】解：从生物、历史、地理、政治四科中选排一节，有4种方法， 若数学排第一节，则英语可以排3，4，5，6节，其余全排列，此时有444A ⨯， 若数学排第二节，则英语可以排4，5，6节，其余全排列，此时有443A ⨯，若数学排第三节，则英语可以排1，5，6节，其余全排列，此时有443A ⨯， 若数学排第四节，则英语可以排1，2，5，6节，其余全排列，此时有444A ⨯，则共有44444444444(4334)414414241344A A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯=⨯⨯=⨯⨯=， 故答案为：134415．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若cos 20B B -=，且1b =，则ABC ∆周长的范围为 (2,3) ．【解答】解：因为cos 20B B -=， 所以2sin()26B π+=即sin()16B π+=， 所以13B π=，因为1b =，由余弦定理可得，222221()3()3()2a c a c ac a c ac a c +=+-=+-+-⨯…， 解可得，2a c +„，当且仅当a c =时取等号， 所以13abc a c ++=++„， 又1a c b +>=， 所以2a b c ++>， 故23a b c <++„， 故答案为：(2，3]．16．（5分）1611年，约翰内斯g 开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想．简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答．2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯g 黑尔斯()ThomasHales 带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案．现有大小形状都相同的若干排球，按照如图中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共 20 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为 cm （排球的直径约为21)cm ．【解答】解：（1）由下往上数依次有10，6，3，1，共有20个，（2）连接位于四个顶点的球的球心，得到一个棱长为63cm 的正四面体1234O O O O -，如图： 取34O O 的中点E ，△234O O O 的重心F ，连接1O F ，则1O F ⊥平面234O O O ， 2633O E ， 263322133O F == 22161(213)216O F =-=所以最上面球的球质距离地面的高度约为61) 故答家为：20，21(61)+．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）数列{}n a 满足11a =，n a 是1-与1n a +的等差中项． （1）证明：数列{1}n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{2}n a n +的前n 项和n S ．【解答】解：（1）证明：n a 是1-与1n a +的等差中项，可得121n n a a +=-，即121n n a a +=+， 可化为112(1)n n a a ++=+，又11a =，故数列{1}n a +是首项和公比均为2的等比数列，即有11222n n n a -+==g ，所以数列{}n a 的通项公式为21n n a =-； （2）由（1）可得2221n n a n n +=+-，则2(12)1(2482)(13521)(121)122n nn S n n n -=+++⋯+++++⋯+-=++--1222n n +=+-．18．（12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为棱11B C 的中点．（1）画出过点E 且与直线1A C 垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；（2）求1BD 与该平面所成角的正弦值．【解答】解：（1）截面如下图所示，其中F ，G ，H ，I ，J 为棱的中点，则1A C ⊥平面EFGHIJ ． （2）如图所示，建立空间直角坐标系．则(2B ，2，0)，1(0D ，0，2)，(1H ，0，0)，(2I ，1，0)，(0G ，0，1)．∴1(2BD =-u u u u r ，2-，2)，(1HI =u u u r，1，0)，(1HG =-u u u r ，0，1)． 设平面EFGHIJ 的一个法向量为(n x =r ，y ，)z ．则0n HI n HG ==u uu r u u u r r r g g ，0x y ∴+=，0x z -+=．取(1n =r，1-，1)，则1cos BD <u u u u r ，13123n >==⨯r ．1BD ∴与该平面所成角的正弦值为13．19．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的既率分别为14，16，高健身时间1小时以上且不超过2小时的概本分别为12，23，且两人健身时间都不会超过3小时． （1）设甲乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元）求ξ的分布列与数学物望()E ξ；（2）此促销活动推出后健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额． 【解答】解：（1）由题意，ξ可能取值为0，20，40，60，80，且 11112111(0),(20)462443624P P ξξ==⨯===⨯+⨯=，111211511121(40),(60)4623641226434P P ξξ==⨯+⨯+⨯===⨯+⨯=，111(80)4624P ξ==⨯=， 故ξ的分布列为ξ 0 20 40 60 80 P1241451214124ξ∴的数学期望为11511()0204060804024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元)； （2）此次促销活动后健生馆每天的营业额预计为14030060002⨯⨯=（元)． 20．（12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2F 0)，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为32． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(2,0)且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形OMAN 面积的最大值．【解答】解：（1）由题意知，c a b =，所以椭圆的方程为22186x y +=，（2）设直线MN 的方程为2x my =+， 联立直线与椭圆得22(34)12120m y my ++-=， 所以1221234m y y m -+=+，1221234y y m -=+， 所以12121122OAM OANOMAN S S S y y y ∆∆=+=⨯+⨯=-=四边形．令t =，则t所以OMAN S t t==+四边形因t2t t +…所以OMAN S 四边形„，当且仅当t =0m =时取等号． 即四边形OMAN面积的最大值 21．（12分）已知函数1()(1)2()f x ax a lnx a R x=-+-+∈． （1）讨论函数()f x 单调性；（2）当2a =-时，求证：1()2x f x e x x<--． 【解答】解：（1）函数的定义域(0,)+∞，222211(1)1(1)(1)()a ax a x ax x f x a x x x x +-++--'=-+==， ①当0a „时，由()0f x '<可得1x >，由()0f x '<可得01x <<， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ②01a <<时，由()0f x '<可得11x a<<，由()0f x '>可得01x <<或1x a >，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在1(1,)a上单调递减，1(a ，)+∞上单调递增，③当1a =时，2(1)()0x f x x-'=…，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，④当1a >时，由()0f x '<可得11x a<<，由()0f x '>可得1x >或1x a <，所以()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(a，1)上单调递减，(1,)+∞上单调递增，（2）证明：当2a =-时，要证：1()2x f x e x x<--，只要证2x lnx e +<， 令()2x g x lnx e =-+，0x >，则1()x g x e x'=-在(0,)+∞上单调递减，且0x →时，()0g x >，g '（1）10e =-<故存在0(0,1)x ∈使得001x e x =即00x lnx =-，使得0()0g x '=， 当0(0,)x x ∈时，()0g x '>，函数单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，函数单调递减， 故000000011()()222()x max g x g x lnx e x x x x ==-+=--+=-+， 因为0(0,1)x ∈，0012x x +>， 所以()220max g x <-+=，即()0g x < 故当2a =-时，求证：1()2x f x e x x<--成立． （二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第-题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy ，曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若直线:(0)l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求||||OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程．【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为：1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，转换为极坐标方程为2cos ρθ=．曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．转换为直角坐标方程为22(3x y +=． （2）直线:(0)l y kx k =>转换为极坐标方程为(0)2πθαα=<<与曲线1C 交于O ，A 两点，所以2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得到||2cos OA α=，曲线2C 交于O ，B 两点，所以ρθθα⎧=⎪⎨=⎪⎩，则||OB α=，所以||||2cos 4sin()6OA OB πααα+=+=+，当3πα=时，|||OA OB +取得最大值．此时l 的极坐标方程为3πθ=，即直角坐标方程为y =．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1|f x x =-，不等式()(1)5f x f x +-<的解集为{|}x m x n <<． （1）求实数m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：9x y xy +…． 【解答】解：（1）()(1)5f x f x +-<即为|1||2|5x x -+-<， 等价为1125x x x ⎧⎨-+-<⎩„或12125x x x <<⎧⎨-+-<⎩或2125x x x ⎧⎨-+-<⎩…，解得11x -<„或12x <<或24x <„， 所以原不等式的解集为{|14}x x -<<， 由题意可得1m =-，4n =； （2）证明：由（1）可得41x y +=，由0x >，0y >，可得11114(4)()559y x x y x y x y x y +=++=+++…， 当且仅当123y x ==时等号成立，故119x y+…，即9x y xy +…．。
甘肃省兰州市等4地2022届高三一模理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 如图所示，一个水平放置的四边形OABC 的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（）A．B．C ．16D ．82. 定义在上的函数的导函数都存在，，且，，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．3. 已知全集，集合，则（ ）A．B．C．D．4. 设数列的前项之积为，满足（），则（ ）A．B．C．D．5.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．6. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军，”对乙说：“你不是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（ ）不同的排列A ．36B ．54C ．60D ．727.双曲线：的左､右焦点分别为，，若在双曲线上有一点使得三角形为直角三角形，且该三角形某个锐角的正切值为，那么该双曲线离心率的最大值为（ ）A．B．C．D ．58.设，，，则（ ）A．B．C．D．9. 已知P是双曲线在第一象限上一点，F 1，F 2分别是E的左、右焦点，的面积为．则以下结论正确的是（ ）A ．点P的横坐标为B．C ．的内切圆半径为1D ．平分线所在的直线方程为甘肃省兰州市等4地2022届高三一模理科数学试题甘肃省兰州市等4地2022届高三一模理科数学试题三、填空题10. 已知，且.则下列选项正确的是（ ）A．的最小值为B．的最小值为C．D．11.斜圆锥顾名思义是轴线与底面不垂直的类似圆锥的锥体．如图，斜圆锥的底面是半径为2的圆，为直径，是圆周上一点，且满足．斜圆锥的顶点满足与底面垂直，是中点，是线段上任意一点．下列结论正确的是（）A ．存在点，使得B ．在劣弧上存在一点，使得C ．当时，平面D ．三棱锥体积的最大值为12. 某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（）A ．图中的值为0.016B ．估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间C ．该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人D ．该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于8013. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点.若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为________.14. 已知在椭圆上运动，且，延长至，使得为与椭圆的交点，则______．四、解答题15. 函数的图象在处的切线方程________.16. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，且，平面平面，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）在中，，三棱锥的体积是，求二面角的大小.17. 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数(1)求；(2)若正整数互质，证明：；(3)若且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：．18. 设是椭圆：（）的四个顶点，四边形是圆：的外切平行四边形，其面积为.椭圆的内接的重心（三条中线的交点）为坐标原点.(1)求椭圆的方程；(2)的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.19.的内角、、的对边分别是、、，且．（1）求角的大小；（2）若，，为边上一点，，求的值．20. 一汽车4S 店新进A 、B 、C 三类轿车,每类轿车的数量如下表:类别A B C 数量432同一类轿车完全相同，现准备提取一部分车去参加车展.（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率;（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A 、B 、C 三种型号的车辆数分别记为，记为的最大值，求的分布列和数学期望.21. 锐角的内角的对边分别为，已知.(1)证明：；(2)求的取值范围.。
2021年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)(解析版)
2021年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{﹣1，1，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2，3}2．若复数z满足（1+2i）z＝||，则z的共轭复数是（）A．i B．i C．i D．i3．抛物线y2＝﹣2px（p＞0）的准线经过椭圆＝1的右焦点，则p＝（）A．2B．4C．8D．124．甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击10次，中靶环数情况如图所示．则甲、乙两人中靶环数的方差分别为（）A．7，7B．7，1.2C．1.1，2.3D．1.2，5.45．已知函数f（x）＝x（e x﹣e﹣x），则f（x）（）A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增6．已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面．设有四个命题：p1：若m∥α，m⊥n，则n⊥α；p2：若m∥α，n⊥α，则m⊥n；p3：若m∥α，α⊥β，则m∥β；p4：若m∥α，m∥β，则α∥β．则下列复合命题中为真命题的是（）A．p1∧p2B．￢p1∧p4C．p2∨p3D．p3∨p47．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线＝1（a＞0，b＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x8．已知α是第四象限角，且sinα＝﹣，则cos（2α+）＝（）A．B．C．D．9．圆x2+y2＝4上任意一点M到直线3x+4y﹣15＝0的距离大于2的概率为（）A．B．C．D．10．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0cm，外径2.4cm，通高6.0cm，方高4.0cm，则其体积约为（）（单位：cm3）A．23.04﹣3.92πB．34.56﹣3.92πC．34.56﹣3.12πD．23.04﹣3.12π11．在△ABC中，A＝120°，BC＝6，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．1C．D．312．若对任意的x∈（1，+∞），不等式eλx﹣≥0（λ＞0）恒成立，则λ的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．设a＝log2021，b＝，c＝log2022，则a，b，c的大小关系是.（按照从大到小的顺序排列）14．已知向量与向量夹角为60°，且||＝1，＝（3，4），要使2+λ与垂直，则λ＝．15．（1﹣2x）5（1+x）4展开式中x3的系数为．16．函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，x∈R，有下列命题：①y＝f（x）的表达式可改写为y＝2cos（2x+）；②直线x＝是函数f（x）图象的一条对称轴；③函数f（x）的图象可以由函数y＝2sin2x的图象向右平移个单位长度得到；④满足f（x）≤的x的取值范围是{x|﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z}．其中正确的命题序号是.（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：共70分。
2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科) (含答案解析)
2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知A ={x|x 2−2x ≤0}，B ={x|y =lgx}，则A ∪B =( )A. RB. (0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)2. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i3. 已知平面向量a ⃗ =(k,3),b ⃗ =(1,4)，若a ⃗ ⊥b⃗ ，则实数k 为( ) A. −12 B. 12C. 43D. 344. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F 作斜率为k 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=3p ，则k =( )A. √2B. −√2C. ±√2D. ±25. 函数f(x)=x4x 2−1的部分图象大致是( )A.B.C.D.6. 已知圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. (1,√3)B. (1,2)C. (√3,+∞)D. (2,+∞)7. 具有线性相关关系的两变量x ，y 满足的一组数据如表，若y 与x 的回归直线方程为y ̂=3x −32，则m 的值为( )x0123y−11m7A. 4B. 92C. 5D. 68.若m，n是两条不同的直线，m⊥平面α，则“m⊥n”是“n//α”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数f(x)是定义在上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=log 2(1−x).若f(a2−1)<1，则实数a的取值范围是()A. (−√2,0)∪(0,√2)B. (−√2,√2)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−1,1)10.将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数的一个对称中心可以是()A. (0,0)B. (π6,0) C. (π3,0) D. (π2,0)11.在(1+x)6(1−2x)展开式中，含x5的项的系数是A. 36B. 24C. −36D. −2412.已知函数f(x)=a(2a−1)e2x−(3a−1)(x+2)e x+(x+2)2有4个不同的零点，则实数a的取值范围为( )A. (12,e) B. (12,e+12)C. (12,1)∪(1,e) D. (12,1)∪(1,e+12)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x,y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=3x−y的最小值等于______．14.某班星期二的课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要安排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理各1节，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则共有___________种安排方法(用数字作答)．15.在ΔABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若ccosB+bcosC=2acosA，M为BC的中点，且AM=1，则b+c的最大值是________．16.类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a的正四面体的内切球半径为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.若一个数列的奇数项与偶数项分别都成等比数列，则称该数列为“亚等比数列”，已知数列{a n}：a n=2 [n2]，n∈N∗其中[x]为x的整数部分，如[5.9]=5，[−1.3]=−2(1)求证：{a n}为“亚等比数列”，并写出通项公式；(2)求{a n}的前2014项和S2014．18.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．(1)求直线EC与AF所成角的余弦值．(2)求二面角E−AF−B的余弦值．19.在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A，B，C，D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务．(1)若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(2)设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．20.设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆C所截线段的长及中点坐标21.函数f(x)=−lnx+12ax2+(a−1)x−2(a∈R)．(1)求f(x)的单调区间；(2)若a>0，求证：f(x)≥−32a．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=1+tcosα,y=tsinα(t为参数).以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．(1)求证：直线l与圆C必有两个公共点；(2)已知点M的直角坐标为(1,0)，直线l与圆C交于A，B两点，若||MA|−|MB||=1，求cosα的值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x−1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m，且2a+b=m(a>0,b>0)，求2a +1b的最小值．【答案与解析】1.答案：C解析：解：A ={x|x 2−2x ≤0}={x|0≤x ≤2}， B ={x|y =lgx}={x|x >0}， 则A ∪B ={x|x ≥0}=[0,+∞)． 故选：C ．化简集合A 、B ，根据并集的定义写出A ∪B ． 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：∵z =4−i ，∴z −z =4+i4−i =(4+i)2(4−i)(4+i)=1517+817i ． 故选：C ．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题． 由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得k 的值． 解：∵平面向量a ⃗ =(k,3)，b ⃗ =(1,4)，a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ·b⃗ =k +12=0， 解得k =−12， 故选A ．4.答案：C解析：本题考查了抛物线的定义，性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．依题意，设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得x 1+x 2=k 2p+2p k 2，根据|AB|=x 1+x 2+p ，即可求得结果． 解：设过点F 的直线方程为y =k(x −p2)，联立方程{y =k (x −p2)y 2=2px ，消y 得k 2x 2−(k 2p +2p )x +k 2p 24=0，Δ>0恒成立，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=k 2p+2p k 2，因为|AB|=x 1+x 2+p ， 所以k 2p+2p k 2+p =3p ，解得k 2=2⇒k =±√2．故选C ．5.答案：A解析：本题主要考查函数图象的识别，利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键．属于基础题． 判断函数的奇偶性，判断函数的对称性，利用特殊值法进行排除判断即可． 解：由4x 2−1≠0，得x 2≠14，得x ≠±12，所以函数f(x)的定义域为{x |x ≠±12}，关于原点对称，函数f(−x)=−x4(−x)2−1=−x4x 2−1=−f(x)，则函数为奇函数，可排除C ，D ， 当x =1时，f(1)=14−1=13>0，排除B ． 故选：A ．6.答案：D解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 先求出切线的斜率，再利用圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，可得ba >√3，即可求出双曲线C 的离心率的取值范围． 解：由题意，圆心到直线的距离d =√k 2+1=√32， ∴k =±√3，∵圆(x −1)2+y 2=34的一条切线y =kx 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)有两个交点，∴ba >√3， ∴1+b 2a 2>4， 即c 2a 2>4，∴e >2， 故选：D ．7.答案：C解析：本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．由表中数据计算x −、y −，把样本中心点代入线性回归方程中，求得m 的值．解：由表中数据，计算x −=14×(0+1+2+3)=1.5， y −=14×(−1+1+m +7)=m+74，把样本中心点(1.5,m+74)代入线性回归方程y ̂=3x −32中，得m+74=3×1.5−32，解得m =5． 故选C ．8.答案：B解析：解：∵m ，n 是两条不同的直线，m ⊥平面α， ∴“m ⊥n ”推不出“n//α”， “n//α”⇒“m ⊥n ”，∴“m⊥n”是“n//α”的必要不充分条件．故选：B．“m⊥n”推不出“n//α”，“n//α”⇒“m⊥n”．本题考查命真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．9.答案：A解析：本题考查函数的奇偶性、函数的单调性，一元二次不等式的解法，属于中档题．当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数，结合偶函数f(x)满足f(−1)=1，可得答案．解：当x≤0时，f(x)=log2(1−x)为减函数．令f(x)=1，即log2(1−x)=1，解得x=−1．又函数f(x)是定义在上的偶函数，若f(a2−1)<1，则a2−1∈(−1,1)，解得a∈(−√2,0)∪(0,√2).故选A．10.答案：D解析：解：将函数y=sin(2x+π3)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，可得y=sin(x+π3)的图象；再向左平移π6个单位，可得y=sin(x+π6+π3)=cosx的图象，故它的一个对称中心可以是(π2,0)，故选：D．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得平移后函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：D解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 把(1+x)6按照二项式定理展开，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数．解：∵(1+x)6展开式中，x 4系数为C 64，x 5系数为C 65，可得(1+x)6(1−2x)展开式中，含x 5的项的系数为1×C 65+(−2)×C 64故展开式中含x 5的系数为6−30=−24， 故选D ．12.答案：D解析：本题考查了函数零点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，属于中档题． 由题意可得a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，求导，利用导数可得g(x)max =g(−1)=e ，可得，解不等式即可． 解：由得即a =x+2e x, 2a −1=x+2e x，令g(x)=x+2e x，g′(x)=−(x+1)e x，所以g(x)在(−∞, −1)上单调递增，在(−1, +∞)上单调递减，g(−2)=0， 所以g(x)max =g(−1)=e ，当x >−2, g(x)>0.x →−∞, g(x)→−∞，x →+∞, g(x)→0+， 要使方程有4个不同的零点，则{0<a <e,0<2a −1<e, 2a −1≠a ⇒12<a <1+e2, a ≠1, 即实数a 的取值范围为(12,1)∪(1,e+12)．故选D ．13.答案：−72解析：作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ， 则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)，所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72． 故答案为：−72．14.答案：408解析：本题考查排列组合的综合应用，属基础题目． 对数学是否排在上午第一节进行分类即可．解：上午第一节排数学，有A 55=5×4×3×2×1=120种排法， 上午第一节不排数学，也不排体育，数学又必须在上午，所以有A 41×A 31×A 44=4×3×4×3×2×1=288．所以共有120+288=408种方法． 故答案为408种．15.答案：4√33解析：本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于综合题，先由正弦定理和ccosB +bcosC =2acosA ，求得，再由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，b 2+c 2=2+a 22消去a 得(b +c)2=4+bc ，再利用基本不等式可得．解：∵ccosB +bcosC =2acosA ，，，解得，在ΔABC 中，由余弦定理a 2=b 2+c 2−bc ，①在ΔAMC 中，， 在ΔAMB 中，，∴b 2+c 2=2+a 22，②由①②消去a 得(b +c)2=4+bc ， ∴(b +c)2=4+bc ≤4+(b+c)24，当且仅当b =c 取“=”，∴b +c ≤4√33，即b +c 的最大值是4√33． 故答案为4√33． 16.答案：√612a解析：本题考查了类比推理，平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，证明时连接球心与正四面体的四个顶点，把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．解：设正四面体的内切球半径为r ，各面面积为S ，正四面体的高为h ， 所以13×ℎ×S =4×13×r ×S ，．故答案为√612a ．17.答案：解：(1)若n 为偶数，不妨设n =2k ，k ∈Z ，则[n2]=[k]=k =n2，此时a n =2 [n2]=2n2． 此时a n+2a n =2n+222n 2=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 2=2的等比数列．若n 为奇数，不妨设n =2k −1，则[n 2]=[2k−12]=k −1=n+12−1=n−12，则a n =2[n2]=2n−12．此时a n+2a n=2n+2−122n−12=2为常数，此时数列{a n }是公比为2，首项a 1=1的等比数列．即{a n }为“亚等比数列，且a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z．(2)∵a n ={2n−12,n =2k −1,k ∈Z2n 2,n =2k,k ∈Z，奇数项是公比为2，首项a 1=1的等比数列，偶数项是公比为2，首项a 2=2的等比数列， ∴{a n }的前2014项和S 2014=S 奇+S 偶=1×(1−21007)1−2+2×(1−21007)1−2=3⋅21007−3．解析：(1)根据条件求数列的通项公式，利用{a n }为“亚等比数列的条件分别证明奇数项和偶数项是等比数列即可得，(2)利用分组求和和将数列分为奇数项和偶数项，然后利用等比数列的求和公式即可求{a n }的前2014项和S 2014．本题主要考查等比数列的通项公式以及数列求和，根据定义求出数列的通项公式是解决本题的关键．18.答案：解：(1)如图建立空间直角坐标系，则A(2,0，0)，F(0,1，0)，C(0,2，0)，E(2,1，2)， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,2)． ∴cos <AF,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CE⃗⃗⃗⃗⃗ >=22222=−√53， 故直线EC 与AF 所成角的余弦值为√53．(2)平面ABCD 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)． 设平面AEF 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，∴{−2x +y =0y +2z =0, 令x =1，则y =2，z =−1⇒n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,2,−1)， ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4+1=−√66． 由图知二面角E −AF −B 为锐二面角，所以其余弦值为√66．解析：本题考查利用空间向量求异面直线夹角及二面角的余弦值，属于中档题．(1)通过建立空间直角坐标系，得到AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用它们的夹角公式即可得到异面直线EC 与AF 所成角的余弦值；(2)利用线面垂直的性质及空间向量求出平面ABCD 与平面AEF 的一个法向量，利用法向量的数量积公式即可得到二面角的余弦值．19.答案：解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件M ，则P(M)=A 44C 52A 44=110，所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(M)=1−P(M)=910， 答：甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是910； (2)ξ的可能取值为ξ=0,1,2,3,4,5， P(ξ=0)=3545=(34)5， P(ξ=1)=C 51⋅3445=5⋅3445， P(ξ=2)=C 52⋅3345=10⋅3345， P(ξ=3)=C 53⋅3245=10⋅3245，P(ξ=4)=C 54⋅3145=1545，P(ξ=5)=C 55⋅3045=145，ξ的分布列为：所以E (ξ)=∑i ⋅P i 5i=0=54．解析：本题考查离散型随机变量的期望的求解及古典概型．(1)利用古典概型求出甲、乙两人同时承担同一项任务的概型，然后利用对立事件的概率公式求解即可；(2)分析ξ的取值，求出各自的概率，得出分布列，再求期望．20.答案：解：(1)由题意得：b =4,c a =35，又因为a 2=b 2+c 2，解得a =5，椭圆C 的方程为x 225+y 216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)， 设直线被椭圆C 所截线段的端点为A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 中点为M(x 1+x 22,y 1+y 22)，y =45(x −3)与x 225+y 216=1联立消元得：x 2−3x −8=0，△=41>0，x 1+x 2=3，x 1x 2=−8，x 1+x 22=32,y 1+y 22=45(32−3)=−65，所以，直线被椭圆C 所截线段中点坐标为(32,−65)； |AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+1625)(x 1−x 2)2=√415√(x 1+x 2)2−4x 1x 2，|AB|=√415√9+32=415，直线被椭圆C 所截线段长为415．解析：本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用椭圆的离心率以及椭圆经过的点，转化求解椭圆方程即可．(2)求出直线方程，利用椭圆方程联立通过中点坐标，弦长公式转化求解即可．21.答案：解：(1)f′(x)=−1x +ax +(a −1)=ax 2+(a−1)x−1x=(ax−1)(x+1)x(x >0).①当a ≤0时，f ′(x)<0，则f(x)在(0,+∞)上单调递减；②当a >0时，由f ′(x)>0解得x >1a ，由f ′(x)<0解得0<x <1a ．即f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增；综上，a ≤0时，f(x)的单调递减区间是(0,+∞)，没有单调递增区间； a >0时，f(x)的单调递减区间是(0 , 1a )，f(x)的单调递增区间是(1a ,+∞)． (2)由(1)知f(x)在(0 , 1a )上单调递减；f(x)在(1a ,+∞)上单调递增， 则f(x)min =f(1a )=lna −12a −1．要证f(x)≥−32a ，即证lna −12a −1≥−32a ，即lna +1a −1≥0， 构造函数μ(a)=lna +1a −1，则μ′(a)=1a −1a 2=a−1a 2，由μ′(a)>0解得a >1，由μ′(a)<0解得0<a <1， 即μ(a)在(0,1)上单调递减；μ(a)在(1,+∞)上单调递增； ∴μ(a)min =μ(1)=ln1+11−1=0， 即lna +1a −1≥0成立． 从而f(x)≥−32a 成立．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道中档题．(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出f(x)的最小值，问题转化为lna +1a −1≥0，构造函数μ(a)=lna +1a −1，根据函数的单调性证明即可．22.答案：解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ2=4ρcosθ+5．由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x −5=0． 法一：将直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα(t 为参数).代入x 2+y 2−4x −5=0， 得t 2−2tcosα−8=0，(∗)∴Δ=4cos 2α+32>0， ∴方程(∗)有两个不等的实数解． ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．法二：直线l 过定点(1,0)，(1,0)在圆C 内， ∴直线l 与圆C 必有两个公共点．(2)记A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由(1)可知t1+t2=2cosα，t1t2=−8<0，∴||MA|−|MB||=|t1+t2|=2|cosα|=1，∴cosα=±12．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2，因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，解得1≤x≤2或2<x≤4．故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]．(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3．因为2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13×(2×2+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，故2a +1b的最小值是3．解析：(1)将函数f(x)化为分段函数的形式，再分类讨论去掉绝对值，解不等式组后取并集即可得到解集；(2)由(1)知，2a+b=3，再利用基本不等式即可求得所求式子的最小值．本题考查绝对值不等式的解法以及利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．。
2022年陕西省、甘肃省、宁夏高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年陕西省、甘肃省、宁夏高考数学一模试卷（理科）1. 已知R是实数集，集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数的实部与虚部的和为12，则( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知向量，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.4. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，⋯，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则( )A. 189B. 252C. 324D. 4055. 已知M为抛物线C：上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则( )A. 3B. 4C. 5D. 66. 已知，则( )A. B. C. D.7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 18B. 36C. 54D. 1088. 某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额单位：万元和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是( )A. 2020年第四季度的销售额为380万元B. 2020年上半年的总销售额为500万元C. 2020年2月份的销售额为60万元D. 2020年12个月的月销售额的众数为60万元9. 第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为( )A. 12B. 14C. 16D. 1810. 在四边形ABCD中如图1所示，，，，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体如图2所示，使得，则四面体外接球的表面积为( )A. B. C. D.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是( )A. 双曲线C的离心率为B. 若，且，则C. 以线段，为直径的两个圆外切D. 若点到C的一条渐近线的距离为，则C的实轴长为412. 已知，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1， (1)2，4，…，，，…，2，1，…的前n项和为，若，则n的最小值为( )A. 81B. 90C. 100D. 202113. 已知是奇函数，且当时，若，则__________.14. 若x，y满足约束条件，则的最大值为______.15. 函数的图象在点处的切线的斜率为____________。
2020年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)
高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. D.2.已知全集U=R，集合A={x|-3≤x≤1}，B={x|x＜-2，或x＞2}，那么集合A∩（∁U B）=（）A. {x|-3≤x＜-2}B. {x|-3≤x＜2}C. {x|-2≤x≤1}D. {x|x≤1，或x≥2}3.已知平面向量，的夹角为，=（0，-1），||=2，则|2+|=（）A. 4B. 2C. 2D. 24.抛物线y2=8x的焦点到双曲线-x2=1的渐近线的距离是（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A. f（x）=e|x|•cos xB. f（x）=ln|x|•cos xC. f（x）=e|x|+cos xD. f（x）=ln|x|+cos x6.若函数f（x）=a sin x+cos x在[-，]为增函数，则实数a的取值范围是（）A. [1，+∞）B. （-∞，-]C. [-，1]D. （-∞，-]∪[1，+∞）7.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A.B.C.D.8.《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（）A. B. C. D. C C C9.在△ABC中，A=120°，BC=14，AB=10，则△ABC的面积为（）A. 15B. 15C. 40D. 4010.四棱锥P-ABCD的顶点均在一个半径为3的球面上，若正方形ABCD的边长为4，则四棱锥P-ABCD的体积最大值为（）A. B. C. D.11.直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知，则p=（）A. 2B.C.D. 412.已知函数f'（x）是函数f（x）的导函数，，对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，则不等式f（x）＜e x-2的解集为（）A. （-∞，e）B. （1，+∞）C. （1，e）D. （e，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件，则z=x-y的最大值是______．14.已知α，β均为锐角，cosα=，tan（α-β）=-，则cosβ=______．15.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为正三角形，AB=2，D是AB的中点，异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，则三棱柱ABC-A1B1C1的表面积等于______．16.已知定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），且在区间[0，2]上是增函数，①函数f（x）的一个周期为4；②直线x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴；③函数f（x）在[-6，-5）上单调递增，在[-5，-4）上单调递减；④函数f（x）在[0，100]内有25个零点；其中正确的命题序号是______（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足a3-a2=3，a2+a4=14．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设S n是等比数列{b n}的前n项和，若b2=a2，b4=a6，求S7．18.为了解某养殖产品在某段时间内的生长情况，在该批产品中随机抽取了120件样本，测量其增长长度（单位：cm），经统计其增长长度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成频率分布直方图，如图所示其中增长长度为27cm及以上的产品为优质产品．（Ⅰ）求图中a的值；120A B两个试验区，部分数据如下列联表：将联表补充完整，并判断是否有的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参考：（参考公式：，其中n=a+b+c+d）（Ⅲ）以样本的频率代表产品的概率，从这批产品中随机抽取4件进行分析研究，计算抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．19.如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠ADC=120°，PD=AD=AB=2，CD=4，点M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）求二面角A-BM-C的余弦值．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点M（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）与x轴不垂直的直线l经过N（0，），且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．21.已知函数f（x）=x2-x lnx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）求C1和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（3，2）作直线C1的垂线交曲线C2于M，N两点，求|PM|•|PN|．23.已知函数f（x）=|x-2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b=1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x-m）-f（-x）≤恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：=．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∁U B={x|-2≤x≤2}；∴A∩（∁U B）={x|-2≤x≤1}．故选：C．进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集和补集的运算．3.【答案】B【解析】解：由题意，∵=（0，-1），=1．∴|2+|2=（）2=42+2+4=4•1+4+4=8+4•cos=8+4•1•2•（-）=4．∴|2+|=2．故选：B．本题可将模进行平方一下，然后根据向量性质计算，最后得出模平方的值，最终算出结果．本题主要根据向量性质进行计算，属基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和焦点的求法，属于基础题．求得抛物线的焦点和双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得所求距离．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线-x2=1的一条渐近线方程设为y=2x，可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线距离为=．故选：C．5.【答案】D【解析】解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）=e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞0，故可排除C．故选：D．采用排除法排除A，B，C．本题考查了函数图象与图象的变换，属中档题．6.【答案】A【解析】解：①当a=0时，函数f（x）=a sin x+cos x在[-，]上先增后减，结论不成立．②当a≠0时，f（x）=a sin x+cos xf′（x）=a cos x-sin x，若f（x）在[-，]上为单调增函数，则a cos x-sin x≥0在[-，]上恒成立，故a≥tan x在[-，]上恒成立，而y=tan x在[-，]上的最大值是1，∴a≥1．∴实数a的取值范围是[1，+∞）．故选：A．先看a=0时，已知条件不成立，再看a≠0时，求出函数的导数，结合三角函数的性质求出a的范围即可．本题主要考查了三角函数的性质，三角函数的单调性，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=+++…+=1-+-+…+-=1-，∵满足条件k＞10的最小k=11，∴当k=11时，程序运行终止，此时S=1-=．故选：C．算法的功能是求S=+++…，判断当k=11时，程序运行终止，利用裂项相消法求出S值．本题考查了循环结构的程序框图，由框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．8.【答案】A【解析】解：将14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5则不同的分配方法有，故选：A．根据题意，分析有14种计算器械的相关资料分成满足题意的3组只有4，5，5，计算即可本题考查分组分配的问题，先分组再分配时关键，属于中档题．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．由已知利用余弦定理可求AC的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵A=120°，BC=14，AB=10，∴由余弦定理可得：142=102+AC2-2×10×AC×cos A，可得：AC2+10AC-96=0，∴解得：AC=6或-16（舍去），∴S△ABC=AB•AC•sin A==15．故选：B．10.【答案】D【解析】【分析】由题意，可得当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大，画出图形，求出四棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．本题考查球内接多面体体积最值的求法，明确当四棱锥P-ABCD为正四棱锥时体积最大是关键，是中档题．【解答】解：四棱锥P-ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD为正方形，球的半径为3，下底面的边长为4，若四棱锥P-ABCD的体积最大，则球心在高上，且四棱锥为正四棱锥．设四棱锥的高为h，则下底面的中心G到B的距离GB=，可得OG2+GB2=OB2，即，可得h=2（舍）或h=4．则该四棱锥的体积的最大值V=．故选D．11.【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出．熟练掌握抛物线的定义、相似三角形的性质是解题的关键．【解答】解：过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D．准线与x轴交于点G，∵，∴|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得，即，解得a=2，∴，即，∴．故选：C．12.【答案】B【解析】解：设g（x）=，则g′（x）==．∵对任意实数都有f（x）-f'（x）＞0，∴g′（x）＜0，即g（x）为R上的减函数．g（1）=．由f（x）＜e x-2，得，即g（x）＜g（1）．∵g（x）为R上的减函数，∴x＞1．∴不等式f（x）＜e x-2的解集为（1，+∞）．故选：B．由已知f（x）-f'（x）＞0，可联想构造函数g（x）=，利用导数得其单调性，把要求解的不等式转化为g（x）＜g（1）得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，是中档题．13.【答案】8【解析】解：画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数z=x-y过点A时取得最大值，由，解得A（6，-2），代入计算z=6-（-2）=8，所以z=x-y的最大值为8．故答案为：8．画出约束条件表示的平面区域，利用图形求出最优解，计算目标函数的最大值．本题考查了简单的线性规划应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵0＜α＜，cosα=，∴sinα=，∴tanα=．∵tan（α-β）===-，解得tanβ=．联立，解得cosβ=（β为锐角）．故答案为：．由已知求得tanα，进一步求得tanβ，结合平方关系即可求得cosβ．本题考查了三角函数的基本关系式、正切公式、两角和的余弦公式等基础知识与基本方法，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设三棱柱高为h，以A为坐标原点，建立如图坐标系，则A（0，0，0），B（1，，0），C（2，0，0），D（，，0），C1，（2，0，h），∴=（2，0，h），=（-2，，0）=（-，，0），异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，∴与所成角的余弦值的绝对值为，∴==，解得h=2，∴三棱柱的表面积为：S=2×+（2+2+2）×2=．故填：14．设三棱柱的高为h，建立坐标系后，根据异面直线AC1与CD所成角的余弦值是，求出h，即可求出表面积．本题适合用坐标法处理，但是要注意向量夹角与直线夹角的区别，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：∵偶函数f（x），满足f（x+4）=f（x）+f（2），∴令x=-2得满足f（-2+4）=f（-2）+f（2），即f（2）=f（2）+f（2）得f（2）=0，则f（x+4）=f（x）即函数f（x）是周期为4的周期函数，故①正确，∵f（x）是偶函数，∴图象关于y轴即x=0对称，函数的周期是4，∴x=-4是函数f（x）图象的一条对称轴，故②正确，∵在区间[0，2]上是增函数，∴在区间[-2，0]上是减函数，则在区间[-6，-4]上是减函数，故③错误，∵f（2）=0，∴f（-2）=0，即函数在一个周期[0，4）内只有一个零点，则函数f（x）在[0，100]内有25个零点，故④正确，故正确的是①②④，故答案为：①②④．根据函数的奇偶性和条件，得到f（2）=0，即函数是周期为4的周期函数，结合的周期性，奇偶性以及对称性的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，周期性，对称性以及单调性的性质是应用，根据条件求出函数的周期是解决本题的关键．17.【答案】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3-a2=3，a2+a4=14．∴d=3，2a1+4d=14，解得a1=1，d=3，∴a n=1+3（n-1）=3n-2．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1=2=q，b1=-2=q，∴S7==254，或S7==-86．【解析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a3-a2=3，a2+a4=14．可得d=3，2a1+4d=14，联立解得a1，d，即可得出．（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，b2=a2=4=b1q，b4=a6=16=b1q3，联立解得b1，q，利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图数据，得：2（a+a+2a+0.2+0.2）=1，解得a=0.025．（Ⅱ）根据频率分布直方图得：样本中优质产品有120（0.100×2+0.025×2）=30，∴=≈10.3＜10.828，∴有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），∴P（X=0）==，P（X=1）=，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，EX=4×=1．【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质列方程能求出a．（Ⅱ）根据频率分布直方图得样本中优质产品有30，作出列联表，求出k2≈10.3＜10.828，从而有99.9%的把握认为优质产品与A，B两个试验区有关系．（Ⅲ）由已知从这批产品中随机抽取一件为优质产品的概率是，随机抽取4件中含有优质产品的件数X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B（4，），由此能求出抽取的这4件产品中含优质产品的件数X的分布列和数学期望EX．本题考查频率、独立检验、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）取PD的中点E，连结AE，EM，∵M是棱PC的中点，∴EM∥CD，且EM=CD，∵AB∥CD，AB=2，CD=4，∴EM∥AB，EM=AB，∴四边形ABME是平行四边形，∴BM∥AE，∵BM⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴BM∥平面PAD．解：（Ⅱ）以D为原点，以DC、DP分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），P（0，0，2），A（，-1，0），B（，1，0），C（0，4，0），M（0，2，1），=（0，2，0），=（-，1，1），=（-，3，0），设=（x，y，z）是平面ABM的一个法向量，由，即，令x=，得=（），设=（x，y，z）是平面CBM的法向量，由，即，令y=1，得=（，1，2），cos＜＞===，∵二面角A-BM-C的平面角为钝角，∴二面角A-BM-C的余弦值为-．【解析】（Ⅰ）取PD的中点E，连结AE，EM，推导出四边形ABME是平行四边形，从而BM∥AE，由此能证明BM∥平面PAD．（Ⅱ）以D为原点，以DC、DP分别为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BM-C的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为+y2=1．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程+y2=1整理可得得（1+4k2）x2+8kx+4=0，△=（8k）2-16（1+4k2）＞0，解得k＞或k＜-，设A（x1，y1），B（x2，y2），又x1+x2=-，x1•x2=，∴y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+2，∵坐标原点O在以AB为直径的圆内，∴•＜0∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+2=（1+k2）+k（-）+2＜0，解得k＜-或k＞故直线l斜率的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）．【解析】（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=1，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，即可直线l斜率的取值范围．本题考查椭圆方程，考查向量的运算，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、数量积的合理运用，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=x2-x lnx的导数为f′（x）=2x-（ln x+1），可得切线的斜率为1，切点为（1，1），切线方程为y-1=x-1，即y=x；（Ⅱ）若+-＜0在（1，+∞）上恒成立，可得k＜-x lnx+x2在（1，+∞）上恒成立，令y=-x lnx+x2，则y′=-ln x-1+x，y″=-+1＞0，可得y′在（1，+∞）上单调递增，则y′＞-ln1-1+1=0，可得y在（1，+∞）上单调递增，则y＞，则k≤．【解析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（Ⅱ）由题意可得k＜-x lnx+x2在（1，+∞）上恒成立，利用导数确定单调性，求出最值，即可求实数k的取值范围．本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求切线方程和函数的单调区间，同时考查了不等式恒成立问题解法，有一定的综合性．22.【答案】解：（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）（Ⅱ）过点P（3，2）与直线C1垂直的直线的参数方程为：（t为参数），代入y2=4x可得t2+8t-16=0设M，N对应的参数为t1，t2，则t1t2=-16，所以|PM||PN|=|t1t2|=16．【解析】（Ⅰ）直线C1的参数方程为（其中t为参数）消去t可得：x-y-1=0，由ρ=得ρ2sin2θ=4ρcosθ，的y2=4x．（x≠0）；（Ⅱ）代入直线的参数方程到曲线C2中，利用参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3-3x≥6，解得x≤-1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）．…（5分）（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9（7分）∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|∴-9≤m+4≤9，（9分）∴-13≤m≤5（10分）【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。
2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(理科) 含解析
2020年高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{2，4}C．{3，4}D．{2，3，4，5} 2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣35．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．7．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a8．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份12345羊只数量（万只） 1.40.90.750.60.3草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．39．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．512．对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[a，b]⊆D（a＜b）满足f（x）是[a，b]上的单调函数，且f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，小则称函数f（x）为区间[a，b]上的“保值函数”，[a，b]为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数f（x）＝x2﹣2x是[0，1]上的“保值函数”；②若函数g（x）＝|2x﹣1|是[a，b]上的“保值函数”，则a+b＝1；③对于函数h（x）＝x2e x存在区间[0，m]，且m∈（，1），使函数h（x）为[0，m]上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（）A．②B．③C．①③D．②③二、填空题13．已知函数，则＝．14．已知向量，满足||＝，向量，夹角为120°，且（+）⊥，则向量|+|＝．15．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''＝，则此蠊房的表面积是．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a＝7，b＝5，c＝3，点I是△ABC的内心，则IB＝．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设（n∈N*），T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．18．如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD上找一点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（I）的条件下，求二面角B﹣AC﹣E的大小．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若|﹣|＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828 20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．21．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a＝时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{2，3}B．{2，4}C．{3，4}D．{2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2，4}．故选：B．2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．【分析】利用复数的运算法则求出z，再求其模长即可．解：因为复数＝+2＝i（2+i）+2＝1+2i；∴|z|＝＝；故选：A．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量同向共线，进而判断出关系．解：由q可得向量同向共线，∴q⇒p，反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．解：若2sin，即2cos•（﹣sin）＝2•，即﹣sin＝＝﹣，∴＝﹣，故tanα＝﹣4，故选：C．5．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可知（2，﹣1）在y＝﹣x上，可得a2＝4b2，即可得到离心率．解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线y＝﹣x上，则a＝2b，即a2＝4b2，所以e＝＝＝，故选：A．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝10，利用列举法求出其正弦值相等包含的基本事件有4个，由此能求出其正弦值相等的概率．解：集合，从A中任选两个角，基本事件总数n＝＝10，sin＝sin，sin，sin，sin，∴其正弦值相等包含的基本事件有4个，∴其正弦值相等的概率为p＝．故选：B．7．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】推导出0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，＝﹣1，由此能比较三个数的大小．解：∵函数的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，＝﹣1，∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，∴b＞c＞a．故选：D．8．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份12345羊只数量（万只） 1.40.90.750.60.3草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可．解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为r2，其相关性更强，所以|r1|＜|r2|，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以③错误；综上知，正确的判断序号是②，共1个．故选：B．9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立直角坐标系．不妨设OB＝1．高和底面的半径相等，得OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB，利用向量夹角公式即可得出．解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB＝1．因为高和底面的半径相等，∴OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB．∵点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，∴AB＝AD＝DB；∴D为的中点则O（0，0，0），B（0，﹣1，0），D（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0），∴＝（0，﹣1，﹣1），＝（﹣1，1，0），∴cos＜，＞＝＝，∴异面直线AM与PB所成角的大小为．∴异面直线AB与DE所成角的正弦值为．故选：A．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，再把问题转化为sin（2）＝有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解．解：因为函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）＝（1﹣cos2ωx）+sin2ωx＝sin （2）+（ω＞0），∵函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点；即sin（2）+＝1有3个根；∴sin（2）＝有三个根；∵x∈（0，π）；∴2∈（﹣，2ωπ﹣）；∵2π＜2ωπ﹣≤2π+⇒＜ω≤．故选：C．11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．5【分析】画出图形，设出P的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR|+|MR|的最小值就是MF的距离即可．解：设P（m，），则过P的切线的斜率为：k＝，Q（m，﹣1），k PQ＝，k PQ ＞k＝﹣1，根据抛物线的定义，|PF|＝|PQ|．l1为FQ的垂直平分线，|RF|＝|RQ|，|QR|+|MR|的最小值为|MF|＝＝5，故选：D．12．对于定义域为D的函数y＝f（x），如果存在区间[a，b]⊆D（a＜b）满足f（x）是[a，b]上的单调函数，且f（x）在区间[a，b]上的值域也为[a，b]，小则称函数f（x）为区间[a，b]上的“保值函数”，[a，b]为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数f（x）＝x2﹣2x是[0，1]上的“保值函数”；②若函数g（x）＝|2x﹣1|是[a，b]上的“保值函数”，则a+b＝1；③对于函数h（x）＝x2e x存在区间[0，m]，且m∈（，1），使函数h（x）为[0，m]上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（）A．②B．③C．①③D．②③【分析】①根据函数单调性的定义以及“保值函数“的定义判断即可．②由g（x）＝|2x﹣1|的图象可知其为区间[0，1]上的“保值函数“，进而可得结论．③有题意可得x2e x＝x解得有两个根x1＝0，＝e，构造函数k（x）＝﹣e x，易知k（）＞0，k（1）＜0，由零点存在定理知存在x2＝m∈（，1），使x2e x＝x成立，进而可得结论．解：由“保值函数”定义可知f（x）为区间[a，b]上的“保值函数“，则f（x）在[a，b]上是单调函数且在区间[a，b]时其值于也为[a，b]，那么当函数f（x）为增函数时满足条件x＝f（x）在[a，b]上有两个不同的实数解a，b 的函数f（x）就是“保值函数“，命题①中f（x）＝x2﹣2x，虽满足在[0，1]上单调但值域为[﹣1，0]，不是[0，1]，故①为假命题．②中由g（x）＝|2x﹣1|的图象可知其为区间[0，1]上的“保值函数“故②为真命题，③中h（x）＝x2e x则由h′（x）＝e x（x2+2x）≥0在[0，m]成立，所以h（x）为[0，m]上的增函数，再由x2e x＝x解得有两个根x1＝0，＝e，构造函数k（x）＝﹣e x，易知k（）＞0，k（1）＜0，由零点存在定理知存在x2＝m∈（，1），使x2e x＝x成立，故③为真命题，综上所有真命题的序号为②③，故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数，则＝4．【分析】先求出f（log2）＝＝，从而＝f（），由此能求出结果．解：∵函数，∴f（log2）＝＝，∴＝f（）＝2×．故答案为：4．14．已知向量，满足||＝，向量，夹角为120°，且（+）⊥，则向量|+|＝．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得||•||cos＜，＞＝﹣2，及||的值，而|+|＝展开可求出其值．解：因为（+）⊥，所以（+）•＝0，即+2＝0，因为||＝，向量，夹角为120°，整理可得﹣2＝||•||cos＜，＞＝﹣2，即﹣2＝||•（），所以||＝2，所以|+|＝＝＝＝故答案为：．15．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''＝，则此蠊房的表面积是216．【分析】连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，由OB′C′D′为菱形，可求OC′＝2•＝6，B′C′＝3，进而可求CC′，可求S梯形BB′CC′，即可计算得解S表面积的值．解：连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，∵OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''＝，∴OC′＝2•＝2×＝6，B′C′＝3，∴CC′＝BB′﹣＝4，∴S梯形BB′CC′＝＝27，∴S表面积＝6×+3×＝216．故答案为：216．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a＝7，b＝5，c＝3，点I是△ABC的内心，则IB＝．【分析】先利用正弦定理求得A以及cos C，进而得到sin，再在△BIC中，结合正弦定理即可求解结论．解：因为在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知a＝7，b＝5，c＝3，∴cos A＝＝﹣⇒A＝120°；同理可得：cos C＝＝1﹣2sin2⇒sin＝；（负值舍）；∵+＝＝30°；∴∠BIC＝150°；在△BIC中，＝⇒IB＝＝．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设（n∈N*），T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．【分析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，由等差数列的通项公式，解方程可得公差d，进而得到所求通项公式；（Ⅱ）求得＝＝＝﹣，由数列的裂项相消求和，可得T n，解方程可得所求值．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差设为d，a1＝﹣8，a2＝3a4．，可得﹣8+d＝3（﹣8+3d），解得d＝2，则a n＝﹣8+2（n﹣1）＝2n﹣10；（Ⅱ）＝＝＝﹣，T n＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝1+﹣﹣＝，化为11n2﹣27n﹣68＝0，解得n＝4（﹣舍去）．18．如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD上找一点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（I）的条件下，求二面角B﹣AC﹣E的大小．【分析】（Ⅰ）点E为PD中点时，连结BD，交AC于点O，则点O为BD的中点，从而OE∥PB，由此能证明PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意⊥PB，PA⊥底面ABCD，从而AC⊥PA，进而AC⊥平面PAB，由V P﹣ACB＝V A﹣PBC，解得AC＝1，由OE∥PB，AC⊥PB，得OE⊥AC，从而AB⊥AC，由此能求出二面角B﹣AC﹣E的大小．解：（Ⅰ）点E为PD中点时，直线PB与平面ACE平行．证明：连结BD，交AC于点O，则点O为BD的中点，∵点E为PD中点，∴OE是△PDB的中位线，则OE∥PB，∵OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意⊥PB，PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥PA，PA∩PB＝P，∴AC⊥平面PAB，设AC＝x，V P﹣ACB＝V A﹣PBC＝＝，解得AC＝1，由（Ⅰ）知OE∥PB，AC⊥PB，∴OE⊥AC，AC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴AB⊥AC，如图，二面角为钝角，则OE，AB所成角为二面角B﹣AC﹣E的补角，∠PBA＝，OE∥PB，∴OE，AB所成角为，∴二面角B﹣AC﹣E的大小为．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若|﹣|＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（I）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值；（Ⅱ）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）计算和，求出|﹣|，即可得出结论．解：（I）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C，则P（C）＝0.08+0.16+0.36＝0.6；（Ⅱ）由频率分布表，填写列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100由表中数据，计算K2＝＝4＞3.841，所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关；（Ⅲ）计算＝0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55＝25.8（cm），＝0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55＝32.6（cm），且|﹣|＝4.8＜20，所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．【分析】（Ⅰ）由题意可知，a+c＝3，a﹣c＝1，可求出a，c的值，再利用b2＝a2﹣c2求出b的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，所以直线AM的方程为y＝k （x﹣2），直线BN的方程为y＝kx﹣，联立直线AM与椭圆方程求出点M的坐标，联立直线BN与椭圆方程求出点N的坐标，再利用斜率公式分别求出k1，k2，化简k1•k2＝﹣，从而得到k1•k2＝e2﹣1．解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A（2，0），B（0，﹣），设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，故直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx﹣，由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，∴，∴，，∴，由得：，∴，，∴，∴＝，＝，∴k1k2＝•＝﹣，又∵，∴k1•k2＝e2﹣1．21．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a＝时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．【分析】（Ⅰ）因为a＝时，f′（x）＝2﹣﹣x⇒f′（1）＝﹣1，易求f（1）＝2，从而可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）由题意可知f′（x）＝2﹣﹣x＝（x＞0），令﹣x2+2x﹣a ＝0，通过对△＝12﹣4a符号的分析，即可求得函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）依题意，f′（x）＝＝0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）﹣（+）+1＝﹣alna+a+7，利用分析法，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，通过对其导数的分析，存在x0∈（1，2），使得g （x0）＝0，且g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+），利用对勾函数的单调性即可证得结论成立．解：（Ⅰ）因为a＝时，，所以f′（x）＝2﹣﹣x，那么f′（1）＝﹣1，f（1）＝2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2＝﹣（x﹣1），即x+y ﹣2﹣1＝0，（Ⅱ）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2﹣﹣x＝，由﹣x2+2x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a ＞0，即a＜3时，有x1＝+，x2＝﹣，x1＞x2，又当x∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数．又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数．当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，综上所述，当a＜0时，在（0，3+），f（x）为增函数；在（3+，+∞），f （x）为减函数；当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3﹣）和（3+，+∞）上为减函数，在（3﹣，3+），f（x）为增函数；当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数．（Ⅲ）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）＝＝0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）﹣（+）+1＝﹣alna+a+7，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx﹣﹣1＝lnx﹣，且在（0，3）上为增函数，又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln2﹣＞0，所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即lnx0＝，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0+），又因为x0∈（1，2），则x0+∈（2，），所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C2上，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y ﹣1＝0，曲线C1的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y ＝0，转换为标准式为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，所以圆心（1，﹣1）到直线x+y﹣1＝0的距离d＝，所以弦长|MN|＝2．（Ⅱ）线C2的直角坐标方程为．转换为直角坐标方程为x2+y2＝4，转换为参数方程为（0≤θ≤π）．由于A（1，0），B（0，1），点P在曲线C2上，故P（2cosθ，2sinθ），所以，，（0≤θ≤π），所以＝2，故：，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情况的解集取并集即可；（Ⅱ）易知f（x）min＝2，g（x）≥|2a+2|+a，结合题意可知2≥|2a+2|+a，由此求得实数a的取值范围．解：（Ⅰ），∴f（x）＞4即为或或，∴或x∈∅或x＞1，∴不等式的解集为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＝﹣1时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a，由题意，对∀x1∈一、选择题，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，故f（x）min≥g（x）min，即2≥|2a+2|+a，解得﹣4≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣4，0]．。
甘肃省2021届高考数学一诊试卷(理科)(含答案解析)
甘肃省2021届高考数学一诊试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知集合A ={x|x 2≤x}，B ={x|y =ln(1−3x)}，则A ∩B =( )A. (0,13)B. [0,13)C. (13,1]D. (13,+∞)2.复数i(2−i)在复平面内对应的点的坐标为A. (−2,1)B. (2,−1)C. (1,2)D. (−1,2)3.椭圆x 236+y 220=1的两个焦点为F 1、F 2，弦AB 经过F 2，则△ABF 1的周长为( )A. 22B. 23C. 24D. 254.样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.B.C.D. 25.函数f(x)=ax 2+(a 2−1)x −3a 是定义在[4a +2,a 2+1]的偶函数，则a 的值为( )A. ±1B. 1C. −1D. −36.已知命题p ：∀x ∈R ，x 4+x <0，则￢p 是( )A. ∀x ∈R ，x 4+x ≥0B. ∀x ∈R ，x 4+x >0C. ∃x 0∈R ，x 04+x 0≥0 D. ∃x 0∈R ，x 04+x 0>0 7. 已知双曲线(a >0，b >0)的离心率为，则双曲线的两渐近线的夹角为( )A.B.C.D.8.已知tanα=2，α为第一象限角，则sin2α的值为( )A. −35B. 4√55C. 45D. 359.在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于25的概率是( )A. 45B. 225C. 425D. 95010. 已知表面积为24π的球外接于三棱锥S −ABC ，且∠BAC =π3，BC =4，则三棱锥S −ABC 的体积最大值为( )A. 8√23B. 16√23C. 163D. 32311.已知四边形ABCD，∠BAD=120°，∠BCD=60°，AB=AD=2，则AC的最大值为()A. 4√33B. 4 C. 8√33D. 812.将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得圆柱体积最大时，AB长为()A. 43B. 23C. 13D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只．14.已知单位向量a⃗，b⃗ 满足a⃗⋅b⃗ =√22，则a⃗与b⃗ 夹角的大小为______ ；|a⃗−x b⃗ |(x∈R)的最小值为______ ．15.(12−4x)7的展开式中x3的系数为______．16.给出下列命题：①函数f(x)=x2+1x2+2的最小值是0；②“若x2=4，则x=2”的否命题；③若b2=ac，则a，b，c成等比数列；④在△ABC中，若sinA>sinB，则BC>AC．其中所有真命题的序号是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．(1)求a n及S n；(2)求数列{1S n}的前n项和T n．18.从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：(Ⅰ)能组成多少个没有重复数字的七位数？(Ⅱ)在(Ⅰ)中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？(Ⅲ)在(Ⅰ)中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？19. 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，在梯形ABEF中，AF//BE ，AF ⊥AB ，AB =BE =2AF =2，平面ABEF ⊥平面ABCD ．(1)证明：BD ⊥平面AFC ； (2)若多面体ABCDEF 的体积为4√33，∠ADC 为锐角，求∠ADC 的大小．20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1(2,0)，A 2(2,0)，右准线方程为x =4.过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D.直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H ．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若HG ⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程； (3)如果A 1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，试求λ的取值范围．21. 已知函数在处有极大值7．(Ⅰ)求的解析式；(Ⅱ)求在=1处的切线方程．22. 选修4−4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为(3,)，半径为1的圆．(Ⅰ)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(Ⅱ)设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．23. 已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)满足f(x+y)=f(x)⋅f(y)，且f(3)=8．(1)求实数a，b的值；(2)若不等式|x−1|<m的解集为(b,a)，求实数m的值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵A={x|0≤x≤1},B={x|1−3x>0}={x|x<13}，∴A∩B=[0,13)．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算．2.答案：C解析：本题考查了复数的几何意义，由复数的四则运算得i(2−i)=1+2i，直接根据复数的几何意义求解即可．解：∵i(2−i)=1+2i，∴z对于的点为(1,2)，故选C.3.答案：C解析：解：∵椭圆x236+y220=1的两个焦点为F1、F2，弦AB经过F2，∴△ABF1的周长=4a=4×6=24．故选：C．利用椭圆定义求解．本题考查三角形周长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．4.答案：D解析：由题意知：1=，∴a=−1．∴方差为[(−1−1)2+(0−1)2+(1−1)2+(2−1)2+(3−1)2]=(4+1+0+1+4)=2．解析：解：∵函数f(x)=ax2+(a2−1)x−3a是定义在[4a+2,a2+1]的偶函数∴4a+2+a2+1=0即a2+4a+3=0∴a=−1或a=−3当a=−1时，f(x)=−x2+3在[−2,2]上是偶函数，满足题意当a=−3时，f(x)=−3x2+8x+9在[−10,10]上不是偶函数，舍去综上可得，a=−1故选C由偶函数的定义域关于原点对称，可求a，然后把a的值代入函数f(x)进行检验即可本题主要考查了偶函数的定义的应用，解题中不要漏掉对函数的定义域关于原点对称的考虑6.答案：C解析：解：特称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，即∃x0∈R，x04+x0≥0．故选：C．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．7.答案：A解析：本题考查的是双曲线的离心率与渐近线.由离心率求出双曲线的渐近线的斜率，从而求出渐近线的倾斜角，从而求得结论．解：由离心率e=ca=√2，所以双曲线的渐近线的斜率k=ba =√b2a2=√c2−a2a2=√e2−1=1，所以双曲线的渐近线的倾斜角为π4，所经双曲线的两渐近线的夹角为π2．8.答案：C解析：解：由tanα=2=sinαcosα，α为第一象限角，sin 2α+cos 2α=1， ∴sinα=2√5，cosα=1√5，所以sin2α=2⋅2√5⋅1√5=45， 故选：C ．由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、cosα的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．9.答案：B解析：本题主要考查几何概型的概率计算，属于基础题．设随机取出的两个数分别为x ，y ，建立条件关系，利用几何概型的概率公式即可得到结论． 解：设取出两个数为x ，y ；则{0<x <10<y <1，若这两数之和小于25，则有{0<x <10<y <1x +y <25，根据几何概型，原问题可以转化为求不等式组{0<x <10<y <1x +y <25表示的区域与{0<x <10<y <1表示区域的面积之比问题， 易得其概率为12×25×251×1=225．故选：B ．10.答案：B解析：解：设球的半径为R ，球心为O ，如图所示，∵球O的表面积是24π，∴4πR2=24π，解得R=√6．设△ABC的外心为O1，外接圆的半径为r，则O1B=r=12×4sinπ3=√3，∴OO1=√OB2−O1B2=√63．∴O1S=4√63．在△ABC中，由余弦定理可得：16=b2+c2−2bccosπ3，化为b2+c2=bc+16≥2bc，∴bc≤16，当且仅当b=c=4时取等号．∴三棱锥S−ABC的体积V=13×12bcsinπ3×4√63≤2√69×√32×16=16√23，故选：B．设球的半径为R，球心为O，如图所示，由球O的表面积是24π，可得4πR2=24π，解得R.设△ABC的外心为O1，外接圆的半径为r，则O1B=r=12×4sinπ3=√3可得OO1=√OB2−O1B2=√63，O1S=4√63.在△ABC中，由余弦定理可得：16=b2+c2−2bccosπ3，利用基本不等式的性质可得bc≤16，利用三棱锥P−ABC的体积V=13×12bcsinπ3×4√63，即可得出．本题考查了三棱锥外接球的性质、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：B解析：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，判断四边形ABCD 为圆内接四边形，是解题的关键，属于中档题．由题意可得，四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 的最大值为直径．根据AB =AD =2，可得∠BAC =60°，∠ACB =30°，∠ABC =90°.△ABC 中，由正弦定理求得AC 的值．∵四边形ABCD 中，∠BAD =120°，∠BCD =60°，∴四边形ABCD 为圆内接四边形， 故AC 的最大值为直径．∵AB =AD =2，∴∠BAC =12∠BAD =60°，∠ACB =12∠BCD =30°，∴∠ABC =90°． △ABC 中，由正弦定理可得AC sin90°=AB sin30°=212，∴AC =4，故选B ．12.答案：B解析：解：因为矩形ABCD 的周长为4，设BC =x(0<x <2)，则AB =2−x ， 所以将周长为4的矩形ABCD 绕AB 旋转一周所得圆柱的体积为： V(x)=πx 2(2−x)=π(2x 2−x 3)，(0<x <2)， 则V′(x)=π(4x −3x 2)，令V′(x)=0，解得x =43， 当0<x <43时，V′(x)>0，则V(x)单调递增， 当43<x <2时，V′(x)<0，则V(x)单调递减，所以当x =43，即BC =43，AB =23时，V(x)取得最大值V(43)=32π27，所以将周长为4的矩形ABCD 绕AB 旋转一周所得圆柱体积最大时，AB 长为23． 故选：B ．设BC =x ，则AB =2−x ，利用圆柱的体积公式，表示出圆柱的体积，再利用导数求解最值即可． 本题考查了导数在几何中的应用，解题的关键是列出圆柱体积的表达式，考查了逻辑推理能力与化简计算能力，属于中档题．13.答案：300解析：解：当x =1时，100=alog 22，所a =100，所以y =100log 2(x +1).当x =7时，y =100log 2(7+1)=300． 故答案为：300．根据这种动物第1年有100只，先确定函数解析式，再计算第7年的繁殖数量． 本题考查学生对函数解析式的理解，考查运算能力，属于基础题．14.答案：4 √2 解析：解：∵cos <a ⃗ ,b ⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=√22，且<a ⃗ ,b ⃗ >∈[0,π]，∴a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为π4；∵|a ⃗ −x b ⃗ |=√(a ⃗ −x b ⃗ )2=√x 2−√2x +1=√22)12，∴x =√22时，|a ⃗ −x b ⃗ |取最小值√22．故答案为：π4,√22．根据条件可求出cos <a ⃗ ,b ⃗ >的值，进而可得出a ⃗ ,b ⃗ 夹角的大小；可求出|a ⃗ −x b ⃗ |=√x 2−√2x +1然后配方即可求出|a ⃗ −x b ⃗ |的最小值．本题考查了向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，向量数量积的运算，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：−140解析：解：由T r+1=C 7r ⋅(12)7−r ⋅(−4x)r =(−4)r ⋅(12)7−r ⋅C 7r⋅x r ． 取r =3，可得(12−4x)7的展开式中x 3的系数为(−4)3×(12)4×C 73=−140． 故答案为：−140．写出二项展开式的通项，由x 得指数为3求得r 值，则答案可求． 本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．16.答案：②④解析：解：对于①，设t =x 2+2≥2，则y =t +1t −2在[2,+∞)上单调递增， 从而y min =2+12−2=12，即f(x)的最小值为12，故①是假命题；对于②，由x 2≠4，得x ≠±2，则“若x 2=4，则x =2”的否命题是真命题，故②是真命题； 对于③，当a =b =0时，b 2=ac =0，此时，a ，b ，c 不能构成等比数列，故③是假命题； 对于④，因为A ，B 是△ABC 的内角，所以0<A +B <π， 又因为sinA >sinB ，所以A >B ，则BC >AC ，故④是真命题． 故答案为：②④．利用换元法以及函数的单调性求解最小值判断①；写出否命题，判断真假，判断②；反例判断③；正弦定理判断④．本题考查命题的真假的判断与应用，考查四种命题的逆否关系，正弦定理以及等比数列的判断，函数的性质的应用，的中档题．17.答案：解：(1)等差数列{a n }满足：a 3=7，a 5+a 7=26，则：{a 3=7a 5+a 7=26，解得a 1=3，d =2．所以a n =3+2(n −1)=2n +1． S n =3n +n(n−1)2⋅2=n 2+2n ．(2)由(1)可知，S n =n 2+2n ， 则1S n=12(1n −1n+2)，所以T n =1S 1+1S 2+⋯+1Sn−1+1S n，=12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n −1n+2)， =12(1+12−1n+1−1n+2)， =34−12(1n+1+1n+2)．解析：(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式和数列的和． (2)利用数列的和公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法的应用．18.答案：解：(Ⅰ)由题意知本题是一个分步计数问题，第一步在4个偶数中取3个，有C 43种结果， 第二步在5个奇数中取4个，有C 54种结果，第三步得到的7个数字进行排列有A 77种结果，∴符合题意的七位数有C 43C 54A 77=100800．(Ⅱ)上述七位数中，三个偶数排在一起可以把三个偶数看成一个元素进行排列，三个元素之间还有一个排列，有C 43C 54A 55A 33=14400．(Ⅲ)上述七位数中，3个偶数排在一起有A 33种情况，4个奇数也排在一起有A 44种情况， 共有C 43C 54A 33A 44A 22=5760个．解析：(Ⅰ)本题是一个分步计数问题，第一步在4个偶数中取3个，有C43种结果，第二步在5个奇数中取4个，有C54种结果，第三步得到的7个数字进行排列有A77种结果，根据分步计数原理得到结果．(Ⅱ)上述七位数中三个偶数排在一起可以把三个偶数看成一个元素进行排列，三个元素之间还有一个排列，得到结果．(Ⅲ)由(1)第一、二步，将3个偶数排在一起，有A33种情况，4个奇数也排在一起有A44种情况，将奇数与偶数进行全排列计算可得答案．本题考查排列组合及简单计数问题，本题解题的关键是对于要求相邻的元素要采用捆绑法，对于不相邻的元素要采用插空法，本题是一个比较典型的排列组合问题19.答案：证明：(1)∵平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，AF⊂平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD= AB，∴AF⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴AF⊥BD，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，又AF∩AC=A，∴BD⊥平面AFC；解：(2)该几何体是由三棱锥F−ADC与四棱锥C−ABEF组合而成，由AF//BE，AF⊥AB，得BE⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABCD，∴C到AB的距离等于C到平面ABEF的距离．设A到CD的距离为d，则C到AB的距离也是d，又AB=BE=2AF=2，多面体ABCDEF的体积为4√33，∴V F−ADC+V C−ABEF=13×12×d×2×1+13×12×(1+2)×2×d=4√33，解得d=√3，则sin∠ADC=dAD =√32，又∠ADC为锐角，可得∠ADC=π3．解析：(1)由已知结合面面垂直的性质可得AF⊥平面ABCD，则AF⊥BD，再由四边形ABCD为菱形，得BD⊥AC，由直线与平面垂直的判定可得BD⊥平面AFC；(2)由多面体的体积求出A到线段CD的距离，求解直角三角形可得∠ADC的大小．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：(1)由椭圆的左、右顶点分别为A 1(2,0)，A 2(2,0)，右准线方程为x =4，则a =2，a 2c=4，则c =1，b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆方程：x 24+y 23=1①，(2)设直线A 1D ：y =k(x +2)(k >0)②， 则与右准线x =4的交点D(4,6k)， 又A 2(2,0)，∴设直线A 2D ：y =3k(x −2)，联立①得， {y =3k (x −2)x 24+y 23=1，解得：G(24k 2−21+12k 2,−12k 1+12k 2)， 则直线OG 的斜率为k OG =−6k12k 2−1③， ∵OG ⊥A 1D ，故−6k12k 2−1·k =−1， 又k >0，解得k =√66，则直线A 1D ：y =√66(x +2)(3)由(2)中③知，设直线OG ：y =−6k12k 2−1x ， 联立②得，{y =−6k12k 2−1x x 24+y 23=1，解得：H(−24k 2+212k 2+5,12k 12k 2+5)， 联立①②得，{y =k (x +2)x 24+y 23=1，解得P(6−8k 23+4k 2,12k 3+4k 2)， ∵A 1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λA 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(x H +2,y H )=λ(x P +2,y P )，则y H =λy P ， λ=y H y P=12k12k 2+512k 3+4k 2=3+4k 212k 2+5=112k 2+9−43+4k 2=13−43+4k 2，∵f(k)在(0,+∞)为减函数， ∴λ∈(13,35)．解析：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查向量的坐标运算，考查函数的最值，考查计算能力，属于中档题．(1)由题意可知a=2，a2c=4，则c=1，b2=a2−c2=3，，求得椭圆方程；(2)求得椭圆的准线方程，设P，求得PA和PB的方程，代入椭圆方程，求得M和N点坐标，根据向量数量积的坐标运算，即可求得λ=λ=y Hy P =12k12k2+512k3+4k2=3+4k212k2+5=112k2+9−43+4k2=13−43+4k2，根据函数的性质即可求得λ的取值范围．21.答案：(Ⅰ)(Ⅱ)解析：试题分析：解：(Ⅰ)，，∴．(Ⅱ)∵又∵f(1)=∴切线方程为考点：导数的应用点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。
甘肃省高考数学一模试卷(理科).docx
2016年甘肃省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，则（∁U N）∩M=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0≤x≤2}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，则log3a l+log3a2+…+log3a8=（）A．10 B．9 C．8 D．74．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）5．若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°7．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．l B．2 C．2D．48．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图，则①和②处可填写（）A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+39．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）A．B．1 C．D．10．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若=5，则||=（）A．6B．35 C．4D．4011．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．B．5 C．6 D．712．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若∀x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f （1）＞f（2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（a﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a______．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为______．15．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+log2（1﹣），则a32=______．16．若函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），1），且∥．（I）求角A；（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足=时，求边c的值和△ABC的面积．18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击成绩作为一个样本，根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[8.4，8.9）9 0.15[8.9，9.4）m 0.3[9.4，9.9）24 n[9.9，10.4）q p[10.4，10.9） 3 0.05合计t 1（I）求表中t，p及图中a的值；（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．20．已知椭圆C：=l（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B⊥l．（I）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若P为椭圆上一动点，直线PM、PN的斜率记为k PM、k PN，且不为零，当直线l垂直于x轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=ln（1+x）一（a＞0）．（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E．（I）求证：CD为圆O的切线；（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小值．2016年甘肃省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，则（∁U N）∩M=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0≤x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集的定义求出N在全集中的补集∁U N，再求（∁U N）∩M即可．【解答】解：∵全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，∴∁U N={x|x＜2}则（∁U N）∩M={x|0≤x＜2}．故选：A．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，则log3a l+log3a2+…+log3a8=（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的性质和对数运算法则求解．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，∴log3a l+log3a2+…+log3a8==4log39=8．故选：C．4．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）【考点】全称命题；特称命题．【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，∴∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；∴∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）为真命题，故选：C．5．若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，将目标函数变形为y=﹣x+z，根据可行域找到直线截距取得最大值和最小值时的最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，由可行域可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线截距最大，即z最大，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线截距最小，即z最小．解方程组得x=4，y=5．∴z的最大值m=4+5=9．解方程组得x=1，y=2．∴z的最小值n=1+2=3．∴m﹣n=6．故选：B．6．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】作出图形，根据向量的几何意义和几何知识求出夹角．【解答】解：设，，以，为邻边作平行四边形OACB，则=．∵||=||，∴四边形OACB是菱形．设OA=AC=1，则OC=．∴cos∠AOC==．∴∠AOC=30°．故选：D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．l B．2 C．2D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为2的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出最长的棱，判断出该四面体各面中最大的面，由三角形的面积公式求出即可．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥P﹣ABC为棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：由正方体的性质可得，最长棱为PC=PB=BC=2，其他棱长都小于2，∴△PBC是该四面体各面中最大的面，∴△PBC的面积S==2，故选：C．8．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图，则①和②处可填写（）A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+3【考点】程序框图．【分析】由程序设计意图可知，②处应求通项，有a=a﹣3，又由此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最小值只需累加至最后一个正项即可，从而可求①处可填写：a＞0．【解答】解：由程序设计意图可知，S表示此等差数列{a n}前n项和，故②处应该填写a=a ﹣3，又因为此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最大值只需累加至最后一个正项即可，故①处可填写：a＞0．故选：A．9．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）A．B．1 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先判断出△ABC为以B为直角的直角三角形，进而求出△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程，代入点到直线距离公式，可得答案．【解答】解：∵A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），∴=（3，1），=（3，﹣9），∴•=0，故⊥，故△ABC为以B为直角的直角三角形，故AC 为△ABC 的外接圆的直径，∵k AC ==﹣，故△ABC 的外接圆在点A 处的切线l 的斜率为，故△ABC 的外接圆在点A 处的切线l 的方程为y=（x +1），即3x ﹣4y +3=0，故点B 到直线l 的距离d==1，故选：B ．10．已知抛物线C ：y 2=16x ，焦点为F ，直线l ：x=﹣1，点A ∈l ，线段AF 与抛物线C 的交点为B ，若=5，则||=（ ）A ．6B ．35C ．4D ．40【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A （﹣1，a ），B （m ，n ），且n 2=16m ，利用向量共线的坐标表示，由=5，确定A ，B 的坐标，即可求得||．【解答】解：由抛物线C ：y 2=16x ，可得F （4，0），设A （﹣1，a ），B （m ，n ），且n 2=16m ，∵=5，∴﹣1﹣4=5（m ﹣4），∴m=3，∴n=±4，∵a=5n ，∴a=±20，∴||==35．故选：B ．11．如图，矩形ABCD 中AD 边的长为1，AB 边的长为2，矩形ABCD 位于第一象限，且顶点A ，D 分别在x 轴y 轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（ ）A ．B ．5C ．6D ．7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设A （a ，0），D （0，b ），∠BAX=θ，利用AD=1得出a ，b 之间的关系，用a ，b ，θ表示出B ，C 的坐标，代入数量积公式运算得出关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值．【解答】解：设A （a ，0），D （0，b ），∠BAX=θ，则B （a +2cos θ，2sin θ），C （2cos θ，b +2sin θ）．∵AD=1，∴a 2+b 2=1．=2cosθ（a+2cosθ）+2sinθ（b+2sinθ）=4+2acosθ+2bsinθ=4+sin（θ+φ）=4+2sin （θ+φ）．∴的最大值是4+2=6．故选：C．12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若∀x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f （1）＞f（2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过所给关系式，构造新的函数g（x）=，对g（x）求导，得到关系．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，∵xf′（x）＜2f（x），∴∀x∈（0，+∞），∴g′（x）＜0恒成立∴g（x）是在（0，+∞）单调递减，∴g（1）＞g（2），即4f（1）＞f（2）故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（a﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a=±2．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，写出常数项，由此列方程求出a的值．【解答】解：（a﹣）5展开式的通项为T r+1=C5r•（a）5﹣r•（﹣）r=（﹣1）r•C5r•a5﹣r•x，令=0，可得r=3，又r=3时，T4=（﹣1）3•C53•a2=﹣10a2，由题意得﹣10a2=﹣40，解得a=±2．故答案为：±2．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据余弦定理计算BC，可发现BC2+AC2=AB2，即AC⊥BC．故外接球球心在上下底面斜边中点的连线中点处，根据球的面积计算半径，得出棱柱的高．【解答】解：在△ABC中，BC==．∴BC2+AC2=AB2，即AC⊥BC．∴AB为△ABC所在球的截面的直径．取AB，A1B1的中点D，D1，则棱柱外接球的球心为DD1的中点O，设外接球的半径为r，则4πr2=12π，∴r=．即OB=，∴OD=．∴棱柱的高DD1=2OD=2．∴棱柱的体积V=S△ABC•DD1==．故答案为．15．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+log2（1﹣），则a32=﹣3．【考点】数列递推式．【分析】根据累加法和对数的运算性质即可求出数列的通项公式，代值计算即可．【解答】解：∵a n+1=a n+log2（1﹣）=log2（），∴a n+1﹣a n=log2（）∴a2﹣a1=log2，a3﹣a2=log2，…a n﹣a n=log2﹣1∴（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n）=log2（×…×）=log2（）=﹣log2n﹣1∴a n﹣2=﹣log2n，∴a n=2﹣log2n，∴a32=2﹣log232=﹣3，故答案为：﹣3．16．若函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2ln2﹣2] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可得a＜2x﹣4e x有解，转化为g（x）=2x﹣4e x，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣4e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣4e x﹣a≥0，即a≤2x﹣4e x有解，令g（x）=2x﹣4e x，g′（x）=2﹣4e x，g′（x）=2﹣4e x=0，x=﹣ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜﹣ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞﹣ln2∴当x=﹣ln2时，g（x）max=﹣2ln2﹣2，∴a≤﹣2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，﹣2ln2﹣2]．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），1），且∥．（I）求角A；（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足=时，求边c的值和△ABC的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（I）由向量平行列出方程解出cosA；（II）根据余弦定理和面积公式解出tanC，使用正弦定理求出c，代入面积公式解出面积．【解答】解：（I）∵∥．∴cos2﹣cos2（B+C）=0，即（1+cosA）﹣cos2A=0，解得cosA=1（舍）或cosA=﹣．∴A=．（II）∵=，∴a2+b2﹣c2=4S=2absinC．又∵a2+b2﹣c2=2abcosC，∴tanC=．∴C=．由正弦定理得，∴c==2．sinB=sin（A+C）=sin=．∴S△ABC===3．18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击成绩作为一个样本，根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[8.4，8.9）9 0.15[8.9，9.4）m 0.3[9.4，9.9）24 n[9.9，10.4）q p[10.4，10.9） 3 0.05合计t 1（I）求表中t，p及图中a的值；（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，能求出表中t，p及图中a的值．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，得：，解得t=60，∴n==0.4，a==0.8．∵0.15+0.3+n+p+0.05=1，∴p=0.1．（Ⅱ）由直方图，得不少于9.9环的成绩的次数为60×0.15=9，成绩不少于10.4环的次数为3，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）==1．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）根据线面垂直的性质定理即可证明FG⊥AH；（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【解答】解：（I）设AC的中点是M，连接FM，GM，∵PF=FC，∴FM∥PA，∵PA⊥平面ABC，∴FM⊥平面ABC，∵AB=AC，H是BC的中点，∴AH⊥BC，∵GM∥BC，∴AH⊥GM，∴GF⊥AH（Ⅱ）建立以A为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P（0，0，2），H（，，0），C（0，2，0），B（，﹣1，0），F（0，1，1），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），cos＜，＞==，即二面角A﹣CP﹣B的余弦值是．20．已知椭圆C：=l（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B⊥l．（I）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若P为椭圆上一动点，直线PM、PN的斜率记为k PM、k PN，且不为零，当直线l垂直于x轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知得F1（﹣c，0），B1（0，﹣b），由题意知，从而b=，由此能求出椭圆C的离心率．（Ⅱ）设P（x0，y0），（x0≠±c），M（c，），N（c，﹣），则=，由此能求出存在最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=l（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，∴F1（﹣c，0），B1（0，﹣b），∵过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B⊥l，∴由题知F1B1⊥l，∴，∴，∴b=，∴e====．（Ⅱ）设P（x0，y0），（x0≠±c），M（c，），N（c，﹣），则=﹣=，又P∈C，∴=1，得，∴=====，∴||=||=，又∵﹣a≤x0≤a，且x0≠±c，∴﹣1≤，且，∴||=≥=．∴存在最小值．21．已知函数f（x）=ln（1+x）一（a＞0）．（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=≥0，结合a＞0，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）要证明，只要证明＞e，两边取对数可得2016ln＞1，只要证明ln﹣＞0，构造函数f（x）=ln（1+x）﹣，其中f（0）=0，即可证明．【解答】（I）解：当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=≥0，即x+1﹣a≥0在[0，+∞）内恒成立，∴a≤x+1在[0，+∞）内恒成立，又x+1的最小值为1，∴a≤1，∵a＞0，∴0＜a≤1；（Ⅱ）证明：要证明，只要证明＞e，两边取对数可得2016ln＞1，只要证明ln﹣＞0，注意到2016=2015+1，所以ln﹣=ln（1+）﹣=ln（1+）﹣．构造函数f（x）=ln（1+x）﹣，其中f（0）=0，由（I）知，x≥0，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）内是增函数，∴f（）=ln﹣＞f（0）=0，∴ln＞，∴．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E．（I）求证：CD为圆O的切线；（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】（I）连接OD，证明△OBC≌△ODC，可得∠ODC=∠OBC=90°，即可证明CD为圆O的切线；（Ⅱ）Rt△OBC中，BE⊥OC，OB2=OE•OC，即可求OC的长．【解答】（I）证明：连接OD．∵AB为圆D的直径，∴AD⊥DB，∵AD∥OC，∴BD⊥OC，∴E为BD的中点，∴CB=CD，∴△OBC≌△ODC，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD为圆O的切线；（Ⅱ）解：由题意，OB=OA=4，OE=AD=2，Rt△OBC中，BE⊥OC，∴OB2=OE•OC，∴OC==8．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，展开把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）．（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得：+1=0，利用|OA||OB|=|ρ1ρ2|即可得出．【解答】解（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，展开可得：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0．由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）．（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得： +1=0，∴ρ1ρ2=1．∴|OA||OB|=|ρ1ρ2|=1．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=3，不等式即|x﹣3|+|x﹣1|≥4，不等式恒成立，从而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集．（Ⅱ）由f（x）≤1求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2，再利用基本不等式的性质求出最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|，即|x﹣3|+|x﹣1|≥|x﹣3﹣x+1|=4．由绝对值的意义可得；不等式恒成立，故|x﹣3|+|x﹣1|≥4的解集为R．（Ⅱ）由f（x）≤1 可得﹣1≤x﹣a≤1，求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2．故有+=2（m＞0，n＞0），即+=1，∴m+2n=（m+2n）（+）=1++≥2，当且仅当=时，等号成立，故m+2n的最小值是2．2016年9月17日。
甘肃省天水市高考数学一模试卷(理科)
甘肃省天水市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·全国Ⅱ卷文) 已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=（）A . （-1，+∞）B . （ -∞，2）C . （ -1，2）D .2. （2分）复数等于（）A .B .C .D .3. （2分）在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为sn ，若数列{an+1}也是等比数列，则sn等于（）A . 2n+1﹣2B . 3n2C . 2nD . 3n﹣14. （2分）已知双曲线C的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为（）A . 4x±3y=0B . 3x±4y=0C . 4x±5y=0D . 5x±4y=05. （2分）在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(l,1)，且＝1，则等于（）A . －1B . 1C .D .6. （2分） (2018高三上·河南期中) 如图所示，是等腰直角三角形，且，E为BC边上的中点，与为等边三角形，点M是线段AB与线段DE的交点，点N是线段与线段EF的交点，若往中任意投掷一点，该点落在图中阴影区域内的概率为参考数据：，A .B .C .D .7. （2分）下列四个函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（）A .B .C .D .8. （2分）已知，由如右程序框图输出的S=（）A . 1B .C .D . -19. （2分）一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80所有项之和是210，则此数列的项数为（）A . 10B . 12C . 1410. （2分）(2017·厦门模拟) 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥面体的三视图，则该三棱锥的表面积为（）A . 2（1+2 + ）B . 2（1+ + ）C .D . 4（1+ ）11. （2分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A .B . 3C .D . 212. （2分） (2016高一上·陆川期中) 已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2 ， g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（其中max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值）．记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）A . a2﹣2a﹣16B . a2+2a﹣16D . 16二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·科尔沁期末) 已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)=________.14. （1分）(2018·安徽模拟) 二项式的展开式中常数项为________．（用数字作答）15. （1分）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是________ ．16. （1分）已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an2+an ，用[x]表示不超过x的最大整数，则的值等于________．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． (共7题；共65分)17. （5分）(2017·顺义模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 cosB+ cosA=（I）求∠C的大小；（II）求sinB﹣ sinA的最小值．18. （5分）(2017·桂林模拟) 某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650（Ⅰ）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．参考公式与临界值表：K2= ．p（K2≥k0）0.1000.0500.0250.0100.001k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.82819. （15分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证：AM∥平面BDE；（2）求二面角A﹣DF﹣B的大小；（3）试在线段AC上一点P，使得PF与BC所成的角是60°．20. （15分） (2019高一上·应县期中) 已知函数，（1）写出函数的解析式；（2）若直线与曲线有三个不同的交点，求的取值范围；（3）若直线与曲线在内有交点，求的取值范围.21. （5分） (2020高二上·兰州期末) 设函数在和处有极值，且，求的值，并求出相应的极值.22. （10分） (2019高三上·牡丹江月考) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）设射线与曲线交于点，与直线交于点，求线段的长．23. （10分） (2017高二下·宾阳开学考) 设f（x）=|x﹣3|+|x﹣4|．（1）解不等式f（x）≤2；（2）若存在实数x满足f（x）≤ax﹣1，试求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． (共7题；共65分) 17-1、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
甘肃省高考数学一模试卷(理科)
甘肃省高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·荆门期中) 将集合表示成列举法，正确的是（）A . {2，3}B . {(2，3)}C . {x＝2，y＝3}D . (2，3)2. （2分） (2018高二下·中山月考) 复数不可能在（）A . 在第一象限B . 在第二象限C . 在第三象限D . 在第四象限3. （2分） (2017高一上·福州期末) 一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于（）．A . 2B . 4C .D .4. （2分）为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲乙二人各自独立地作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法求得回归直线分别为l1和l2 ，已知甲乙得到的试验数据中，变量x的平均值都是s，变量y的平均值都是t，则下面说法正确的是（）A . 直线l1和l2必定重合B . 直线l1和l2一定有公共点（s，t）C . 直线l1∥l2D . 直线l1和l2相交，但交点不一定是（s，t）5. （2分）(2019·呼伦贝尔模拟) 等差数列中，，，则数列前6项和为（）A . 18B . 24C . 36D . 726. （2分） (2020高一上·天津月考) 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A .B .C .D .7. （2分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A . 1B . -1C . -2D . 08. （2分）如右图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均为，那么两个指针至少有一落在奇数所在区域的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）要得到函数的图像，只需将的图像（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度10. （2分） (2016高一下·合肥期中) 以下列函数中，最小值为2的是（）A . y=x+B . y=3x+3﹣xC . y=1gx+ （0＜x＜1）D . y=sinx+ （0＜x＜）11. （2分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A . 2x±y=0B . x±2y=0C . 4x±3y=0D . 3x±4y=012. （2分）(2018·荆州模拟) 已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设（1﹣2x）3=a0+2a1x+4a2x2+8a3x3+16a4x4+32a5x5 ，则a1+a2+a3+a4+a5=________．14. （1分）(2019·鞍山模拟) 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．今有抛物线（），如图，一平行轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为________．15. （1分）(2020·南通模拟) 一个圆锥的侧面积等于底面面积的倍，若圆锥底面半径为 cm，则圆锥的体积是________cm3.16. （1分） (2018高一下·金华期末) 已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，的前项和为， .则数列的前项和 ________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高一下·惠来期末) 已知函数f（x）= sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜），f（0）=﹣，且函数f（x）图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（）= （＜α＜），求cos（α+ ）的值．18. （10分） (2019高二下·滁州期末) 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，，）.（1）求选取的市民年龄在内的人数；（2）若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率.19. （10分）(2017·新课标Ⅰ卷理) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20. （10分） (2016高三上·台州期末) 如图，椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），离心率是e，点（1，e）在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（2，0），过点F1的直线交C于A，B两点，直线MA，MB与直线x=﹣2分别交于P，Q两点，求△MPQ 面积的最大值．21. （10分） (2016高三上·洛阳期中) 已知函数f（x）=lnx﹣有两个零点x1、x2 ．（1）求k的取值范围；（2）求证：x1+x2＞．22. （10分） (2017高二下·乾安期末) 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为，直线：，直线： .以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求直线，的直角坐标方程以及曲线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，求的面积.23. （10分）(2020·安徽模拟) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2022年甘肃省高考数学一诊试卷(理科)(附答案详解)
2022年甘肃省高考数学一诊试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合A ={x|log13x >1}，B ={x|x <4}，则A ∩B =( )A. {x|x <13}B. {x|0<x <13} C. {x|13<x <4}D. {x|x <4}2. 设z =i(1−i)，则z −=( )A. 1−iB. 1+iC. −1−iD. −1+i3. 2021年7月下甸某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐．如图为该品牌服饰某分店1～8月的销量(单位：件)情况．以下描述不正确的是( )A. 这8个月销量的极差为4132B. 这8个月销量的中位数2499C. 这8个月中2月份的销量最低D. 这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份4. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB⏜上的两个三等分点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 12a⃗−b⃗B. a⃗−12b⃗C. −12a⃗+b⃗D. −a⃗+12b⃗5.“cosx=1”是“sinx=0”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A. f(x)的最小正周期是π2B. 直线x=−π6是f(x)图象的一条对称轴C. 点(−π12,0)是f(x)图象的一个对称中心D. f(x)的单调递减区间是[2kπ+π6,2kπ+2π3](k∈Z)7.定义在R上的奇函数f(x)，满足f(8+x)=f(−4−x)，且当x∈[0,2]时，f(x)=−3x+1，则(2022)=()A. −8B. −2C. 2D. 88.直线y=kx(k∈R)与椭圆x26+y22=1相交于A，B两点，若将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与上半平面成直二面角，则|AB|的取值范围是()A. [√2,√6)B. [2,2√6]C. (2,2√6]D. (2,6]9.在直角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a>b>c，分别以BC，AC，AB所在直线为轴，将△ABC旋转一周，形成三个几何体，其表面积和体积分别记为S1，S2，S3和V1，V2，V3，则它们的关系为()A. S1>S2>S3，V1>V2>V3B. S1<S2<S3，V1<V2<V3C. S1>S2>S3，V1=V2=V3D. S1<S2<S3，V1=V2=V310.已知以圆C：(x−1)2+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x2=8y上任意一点，BM与直线y=−2垂直，垂足为M，则|BM|−|AB|的最大值为()A. 1B. 2C. −1D. 811.线段AB上任取一点C，若AC2=AB⋅BC，则点C是线段AB的“黄金分割点”.以AC，BC为邻边组成的矩形称为“黄金矩形”.现在线段AB上任取一点C，若以AC，BC为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率为()A. 3−√5B. √5−2C. √3−1D. 3−√712.设函数f(x)={1+cosπx2,x>1x2,0<x≤1函数g(x)=x+1x+a(x>0)，若存在唯一的x0，使得ℎ(x)=min{f(x),g(x)}的最小值为ℎ(x0)，则实数a的取值范围为()A. a<−2B. a≤−2C. a<−1D. a≤−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若双曲线x2a2−y2=1(a>0)的离心率为√103，则该双曲线的渐近线方程为______．14.已知等差数列{a n}满足a2=4，a6=8，则a4=______．15.曲线y=x3−3x的一条切线的方程为y=ax+16，则实数a=______．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且√3acosC+csinA=0.若角C的平分线交AB于D点，且CD=1，则a+b的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1=1，2a n+1=a n，数列{b n}满足b1=1，b2=2，b n+b n+2=2b n+1，n∈N∗．(1)求数列{a n}及{b n}的通项公式；(2)求数列{a n+b n}的前n项和T n．18.2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如表：增长率分[−0.4,−0.2)[−0.2,0)[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6]组企业数1530503817(1)根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例(用百分数表示)：估计这150个企业同期产值增长率的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)某调研部门要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业做调查研究，若被调查的企业同期增长率y∈[−0.4,−0.2)，则调研价值为1；被调查的企业同期增长率y∈[−0.2,0)，则调研价值为2；被调查的企业同期增长率y∈[0,0.6]，则调研价值为3.以表中对应各组的频率为概率，设选取的两个企业的调研价值之和为X，求X的分布列及数学期望．19.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，E，F分别在边AB，AC上，且AE=AF=2，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将△AEF折到DEF的位置，使DM=√15．2(1)证明：DO⊥平面EFCB；(2)若平面EFCB内的直线EN//平面DOC，且与边BC交于点N，问在线段DM上是否存在点P，使二面角P−EN−B的大小为60°？若存在，则求出点P；若不存在，请说明理由．20.已知动点P到点F1(1,0)的距离与它到直线l：x=4的距离之比为12．(1)求动点P的轨迹所形成曲线C的方程；(2)F2(−1,0)，分别过F1，F2作斜率为k(k≠0)的直线与曲线C交于x轴上方A，B两点，若四边形F1F2BA的面积为12√27，求k的值．21.已知函数f(x)=x+2ax −(a−2)lnx(a∈R)，g(x)=(b−1)x−2x−xe x．(1)判断函数f(x)的单调性；(2)当a=1时，关于x的不等式f(x)+g(x)≤−1恒成立，求实数b的取值范围．22.如图，曲线C1是著名的笛卡尔心形曲线．它的极坐标方程为ρ=1−sinθ(θ∈[0,2π)).曲线C2是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为1．(1)求曲线C2的极坐标方程，并求曲线C1和曲线C2交点的极坐标；(2)以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，曲线C3的参数方程为{x=tcosπ3,y=tsinπ3,(t为参数).若曲线C3与曲线C1相交于除极点外的M，N两点，求线段MN的长度．23.已知函数f(x)=2|x−1|+|x+1|．(1)求不等式f(x)≤5的解集；(2)若a>0，b>0，且a+b=f(1)，求证：√a+1+√b+1≤2√2．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A={x|log13x>1}={x|0<x<13}，B={x|x<4}，则A∩B={x|0<x<13}.故选：B．先求出集合A，然后结合集合交集运算即可求解．本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z=i(1−i)=1+i，∴z−=1−i．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：对于A，由销量折线图得极差为：4844−712=4132，故A正确；对于B，销量由小到大排列为：712，1433，1533，1952，2822，3046，4532，4844，∴中位数为：1952+28222=2387，故B错误；对于C，由折线图得2月份销量最低，故C正确；对于D，由折线图知7月份销量比6月份销量增长4532−2822=1710件，最大，∴这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份，故D正确．故选：B．根据销量折线图，结合极差、中位数的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：连接CD ，CO ，DO ，如图，∵C ，D 是半圆弧AB⏜上的两个三等分点， ∴△AOC ，△COD ，△DOB 是等边三角形， ∴OA =OB =OC =OD =AC =CD =BD ， ∴四边形OACD 是菱形，四边形OBDC 是菱形，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +b ⃗ ． 故选：C ．根据圆的几何性质、菱形以及向量运算法则能求出结果．本题考查向量的运算，考查圆的性质、向量运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：∵sin 2x +cos 2x =1 ∴当cosx =1成立时能推出cosx =0但当sinx =0时能推出cosx =±1，推不出cosx =1 故“cosx =1”是“sinx =0”的充分不必要条件 故选A利用三角函数的平方关系，判断前者成立时是否推出后者成立；反之，后者成立时，是否推出前者成立；利用各种条件的定义得到结论．本题考查三角函数的平方关系、考查如何利用各种条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．6.【答案】C【解析】解：由图象可知T4=5π12−π6=π4，即T =π，故A 错误； 由T =π=2πω可得ω=2，又因为函数图象过点(5π12,0)，所以sin(2×5π12+φ)=0，由五点法作图可知，5π6+φ=2kπ+π,k ∈Z ， 即φ=2kπ+π6,k ∈Z ， 又|φ|<π2，故φ=π6， 所以f(x)=Asin(2x +π6)，当x =−π6时，f(−π6)=Asin[2×(−π6)+π6]=Asin(−π6)=−12A ≠±A ，故B 错误； 因为f(−π12)=Asin[2×(−π12)+π6]=Asin(−π6+π6)=0， 所以点(−π12,0)是f(x)图象的一个对称中心，故C 正确； 令2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2,k ∈Z ，解得kπ+π6≤x ≤kπ+2π3,k ∈Z ，即函数的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3],k ∈Z ，故D 错误．故选：C ．根据函数图象求出周期T ，ω，φ，判断A ，再由正弦型函数的对称轴、对称中心、单调区间判断BCD 即可．本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(8+x)=f(−4−x)，∴f[8+(x −4)=f[−4−(x −4)]=f(−x),即f(x +4)=−f(x)，∴f(x +8)=−f(x +4)=f(x)， ∴f(x)的周期为8，∵x∈[0,2]时，f(x)=−3x+1，∴f(2022)=f(8×253−2)=f(−2)=−f(2)=8．故选：D．根据f(x)是R上的奇函数，并且f(8+x)=f(−4−x)，便可推出f(x+8)=f(x)，即f(x)的周期为8，由周期性及函数为奇函数即可得解．本题考查了函数的周期性、奇偶性，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：直线y=kx(k∈R)交椭圆x26+y22=1于A，B两点，椭圆的半短轴长为：b=√2，可知|AB|的最大值为：2a=2√6，|AB|的最小值为：2，因为直线与椭圆的交点，不经过椭圆的短轴端点，所以|AB|的取值范围是：(2,2√6].故选：C．判断直线与椭圆的交点的位置，然后求解|AB|的取值范围即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，距离的判断，是中档题．9.【答案】B【解析】解：由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，采用特例法，不妨令c=3、b=4、a=5，当绕a=5边旋转时，其表面展开后是两个扇形，其表面积为S1=12×2π×125×(3+4)=845π；体积V1=13×π×(125)2×5=485π；当绕b=4边旋转时，S2=π×32+π×3×5=24π，体积V2=13π×32×4=12π；当绕c=3边旋转时，S3=π×42+π×4×5=36π，体积V 3=13π×42×3=16π． ∴S 1<S 2<S 3；V 1<V 2<V 3． 故选：B ．由选项可知，S 1，S 2，S 3和V 1，V 2，V 3的关系唯一，故采用特例法，不妨令c =3、b =4、a =5，绕三边旋转一周分别形成三个几何体的形状，求出他们的表面积和体积，进行比较可得答案．本题考查旋转体的表面积与体积的求法，采用特例法求解是关键，是基础题．10.【答案】A【解析】 【分析】本题考查圆方程和抛物线的定义和方程的运用，考查方程思想和定义法解题，以及三点共线取得最值，属于中档题．求得圆心，可得抛物线C 1方程，与圆C 的交点A ，运用抛物线的定义和三点共线，即可得到所求最大值． 【解答】解：圆C ：(x −1)2+y 2=4的圆心为焦点(1,0)的抛物线方程为y 2=4x ， 由{y 2=4x(x −1)2+y 2=4，解得A(1,2)， 抛物线C 2：x 2=8y 的焦点为F(0,2)，准线方程为y =−2， 即有|BM|−|AB|=|BF|−|AB|≤|AF|=1，当且仅当A ，B ，F(A 在B ，F 之间)三点共线，可得最大值1， 故选：A ．11.【答案】A【解析】解：不妨设AB =1，由AC 2=AB ⋅AC ，解得AC =√5−12，BC =3−√52．∴“黄金矩形”的面积=√5−12×3−√52=√5−2．现在线段AB 上任取一点C ，若以AC ，BC 为邻边组成矩形，则该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积，设AC =x ，(0<x <1)，则BC =1−x ，由x(1−x)<√5−2，解得0<x <3−√52，或√5−12<x <1．∴该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率P =3−√52+1−√5−12=3−√5．故选：A ．不妨设AB =1，由AC 2=AB ⋅AC ，解得AC ，BC ，可得“黄金矩形”的面积．现在线段AB 上任取一点C ，设AC =x ，(0<x <1)，BC =1−x ，由题意可得x(1−x)<√5−2，解得x 范围，可得该矩形的面积小于“黄金矩形”的面积的概率．本题考查了“黄金分割”、方程的解法、古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：作出函数函数f(x)={1+cos πx2,x >1x 2,0<x ≤1的图象，可得f(x)的最小值为0，最大值为2；函数g(x)=x +1x +a ≥2+a ，且仅当x =1取得最小值2+a ． 由存在唯一的x 0，使得ℎ(x)=min{f(x),g(x)}的最小值为ℎ(x 0)， 可得2+a <0，解得a <−2． 故选：A ．作出函数f(x)的图象，可得最小值为0，最大值为2，由基本不等式可得g(x)的最小值为2+a ，由题意可得2+a <0，解不等式即可得到所求范围本题考查分段函数的图象及应用，考查基本不等式的运用：求最值，注意数形结合思想方法的运用，属于中档题．13.【答案】x ±3y =0【解析】解：由题意得，e =√a2+1a=√103且a >0，解得a =3，则渐近线方程为y =±13x.故答案是：x ±3y =0．利用双曲线的离心率求出a ，然后可求渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.【答案】6【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a6=a2+4d，得8=4+4d，解得d=1，所以a4=a2+2d=4+2=6．故答案为：6．设等差数列{a n}的公差为d，利用a6=a2+4d可求出d值，进一步根据a4=a2+2d即可求解．本题考查等差数列的通项公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．15.【答案】9【解析】解：设切点为P(x0,x03−3x0)∵f(x)=x3−3x，∴f′(x)=3x2−3，∴f(x)=x3−3x在点P(x0,x03−3x0)处的切线方程为y−x03+3x0=(3x02−3)(x−x0)，把点A(0,16)在切线方程y=ax+16上，A的坐标代入y−x03+3x0=(3x02−3)(x−x0)，可得16−x03+3x0=(3x02−3)(0−x0)，解得x0=−2．∴过点A(0,16)的切线方程为y=9x+16，∴a=9．故答案为：9．设出切点，求导函数可得切线方程，将A坐标代入，求得切线方程，从而可求实数a的值．本题考查利用导数求曲线的切线方程，考查导数的几何意义，正确确定切线方程是关键．16.【答案】4【解析】解：因为√3acosC+csinA=0，由正弦定理得，√3sinAcosC+sinCsinA=0，由A为三角形内角得sinA>0，所以√3cosC +sinC =0，即tanC =−√3， 由C 为三角形内角，得C =120°， 由题意得∠ACD =∠BCD =60°， 因为S △ABC =S △ACD +S △BCD ，所以12absin120°=12a ×1×sin60°+12b ×1×sin60°， 所以ab =a +b ，即1a +1b =1，a >0，b >0，所以a +b =(a +b)(1a+1b)=2+b a+a b≥2+2√a b⋅ba=4，当且仅当a =b =2时取等号，所以a +b 的最小值为4． 故答案为：4．由已知结合正弦定理及同角基本关系先求出C ，然后结合三角形面积公式可得a ，b 的关系，然后结合基本不等式可求．本题主要考查了正弦定理，同角基本关系，三角形面积公式，还考查了利用基本不等式求解最值，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a 1=1，2a n+1=a n ，所以数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n =1⋅(12)n−1=(12)n−1，因为b n +b n+2=2b n+1，所以数列{b n }是等差数列， 又b 1=1，b 2=2，所以公差d =b 2−b 1=1， 所以b n =1+(n −1)⋅1=n ． (2)a n +b n =(12)n−1+n ，所以T n =1⋅[1−(12)n ]1−12+(1+n)⋅n2=2(1−12n )+(1+n)⋅n2．【解析】(1)根据等比数列的概念与通项公式可得数列{a n }的通项公式，由等差中项的性质与等差数列的通项公式可得数列{b n }的通项公式； (2)根据分组求和法，即可得解．本题考查数列的通项公式与前n 项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前n 项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)负增长的企业比例为15+30150=310=30%，这150个企业同期产值增长率的平均数为：1150[−0.3×15+(−0.1)×30+0.1×50+0.3×38+0.5×17]=17.4150=0.116，(2)由题意被调查的企业同期增长率y ∈[−0.4,−0.2)的概率为15150=110， 被调査的企业同期增长率y ∈[−0.2,0)的概率为：30150=15， 被调査的企业同期增长率y ∈[0,0.6]的概率为：50+38+17150=710，由题意选取的两个企业的调研价值之和X 的取值为：2，3，4，5，6， P(X =2)=110×110=1100；P(X =3)=2×110×15=125， P(X =4)=15×15+2×110×710=950，P(X =5)=2×15×710=725,P(X =6)=710×710=49100， 所以X 的分布列为： X 2 3 4 5 6 P 1100 125 95072549100E(X)=2×1100+3×125+4×950+5×725+6×49100=265．【解析】(1)根据题意可得负增长的企业比例，由公式直接求平均数．(2)先求出被调査的企业同期增长率在对应范围内的概率，然后得出X 的取值，并求出各个取值对应的概率，得出分布列，由期望公式得出其期望．本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：在△DOM 中，由题意DO =√3，OM =√32，DM =√152， ∵DM 2=DO 2+OM 2，∴DO ⊥OM ， ∵AE =AF =2，AB =AC =3，∴EF//BC ， ∵M 为BC 中点，∴AM ⊥BC ，∴DO ⊥EF ， ∵EF ∩OM =O ，EF ，OM ⊂平面EBCF ， ∴DO ⊥平面EBCF ．(2)连接OC ，过E 作EN//OC ，交BC 于N ，OC ⊂平面DOC ，EN ⊄平面DOC ，∴EN//平面DOC ， ∵OE//CN ，∴四边形OENC 是平行四边形，∴OE =NC =1， 如图，建立空间直角坐标系O −xyz ，设DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0≤λ≤1)， D(0,0,√3)，M(0,√32,0)，E(1,0,0)，N(−12,√32,0)， ∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,−√3)，EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,√32,0)， DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32λ,−√3λ)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√32λ,√3−√3λ)，平面ENB 的法向量n⃗ =(0,0,1)， 设平面ENP 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x +√32y =0m⃗⃗⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√32λy +(√3−√3λ)z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,1−32λ√3−√3λ， ∵在线段DM 上存在点P ，使二面角P −EN −B 的大小为60°，∴cos60°=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=|1−32λ√3−√3|√1+3+(1−32λ√3−√3λ)2，解得λ=2(舍)或λ=67，此时，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =67DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3√37,−6√37)， ∴在线段DM 上存在点P ，使二面角P −EN −B 的大小为60°，P 点坐标为(0,3√37,√37).【解析】(1)先由勾股定理证明DO ⊥OM ，再推导出DO ⊥EF ，能证明DO ⊥平面EFCB ． (2)连接OC ，过E 作EN//OC ，交BC 于N ，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法求解．本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)设M(x,y)，由题意得√(x−1)2+y 2|x−4|=12，整理得x 24+y 23=1，即为曲线C 的方程．(2)由题意知AF 1//BF 2，延长AF 1交椭圆C 于点A 1， 由椭圆的对称性知|A 1F 1|=|BF 2|，所以|AF 1|+|BF 2|=|AF 1|+|A 1F 1|=|AA 1|， 设l AF 1：y =k(x −1)，与x 24+y 23=1联立消得：(3+4k 2)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，设A(x1,y1)，A1(x2,y2)，则x1+x2=8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2，所以|AA1|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2√(8k23+4k2)2−4×4k2−123+4k2=12(1+k2)3+4k2，因为点F2到直线AF1的距离d=√1+k2，所以S F1F2BA =12×(|AF1|+|BF2|)×√1+k2=|AA1|×√1+k2=12(1+k2)3+4k2×√1+k2=12√27，平方化简得17k4+k2−18=0，解得k2=1或k2=−1817(舍)，所以k=±1．【解析】(1)设M(x,y)，利用直接法即可求解；(2)延长AF1交椭圆C于点A1，根据椭圆的对称性|AF1|+|BF2|=|AF1|+|A1F1|=|AA1|，设l AF1：y=k(x−1)，将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式求出|AA1|，再利用点到直线的距离公式求出点F2到直线AF1的距离，进而表示出S F1F2BA，解方程即可．本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中等题．21.【答案】解：(1)f(x)=x+2ax−(a−2)lnx，x∈(0,+∞)，f′(x)=1−2ax2−a−2x=x2−(a−2)x−2ax2=(x−a)(x+2)x2，当a≤0时，x−a≥0，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a>0时，令f′(x)>0，得x>a，令f′(x)<0，得0<x<a，所以f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增，综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增．(2)当a=1时，f(x)+g(x)≤−1，即x+2x +lnx+(b−1)x−2x−xe x≤−1恒成立，所以(b−1)x≤xe x−x−lnx−1，所以b−1≤e x−1−lnxx −1x，即b≤e x−lnxx −1x恒成立，令g(x)=e x−lnxx −1x，x∈(0,+∞)，g′(x)=e x−1−lnxx2+1x2=e x+lnxx2=x2e x+lnxx2，令ℎ(x)=x2e x+lnx，ℎ′(x)=2xe x+x2e x+1x，因为x>0，所以e x>0，x2>0，1x>0，所以ℎ′(x)>0恒成立，所以ℎ′(x)在(0,+∞)上单调递增，x→0时，x2e x→0，lnx→−∞，所以ℎ(x)→−∞，而ℎ(1)=e>0，所以∃x0∈(0,1)，使得ℎ(x0)=0，即g′(x0)=0，所以x02e x0+lnx0=0，x0e x0=−lnx0x0，所以g(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(x0)=e x0−lnx0x0−1x0，而x0e x0=−lnx0x0，令k(x)=xe x，x∈(0,1)，则k(x)=k(−lnx)，k′(x)=e x+xe x=(1+x)e x>0，所以k(x)在(0,1)上单调递增，所以x=−lnx，即e x=1x，所以g(x)min=1x0−−x0x0−1x0=1，所以b的取值范围为(−∞,1]．【解析】(1)求导得f′(x)=(x−a)(x+2)x2，分两种情况：当a≤0时，当a>0时，分析f′(x)的正负，f(x)的单调性．(2)根据题意可得当a=1时，x+2x +lnx+(b−1)x−2x−xe x≤−1恒成立，即b≤e x−lnx x −1x恒成立，令g(x)=e x−lnxx−1x，x∈(0,+∞)，只需b≤g(x)min，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1是著名的笛卡尔心形曲线．它的极坐标方程为ρ=1−sinθ(θ∈[0,2π))，曲线C 2的极坐标方程为ρ=sinθ(θ∈[0,π])， 与C 1方程联立代入得sinθ=1−sinθ，sinθ=12， 解得θ=π6或θ=5π6，∴曲线C 1和曲线C 2交点的极坐标分别为(12,π6)，(12,5π6).(2)∵曲线C 3为过原点倾斜角为π3的直线， ∴其极坐标方程为θ=π3和θ=4π3，联立两曲线C 1和C 3的方程，解得两交点的极坐标分别为M(1−√32,π3)，N(1+√32,4π3)，∴|MN|=|OM|+|ON|=(1−√32)+(1+√32)=2．【解析】(1)根据圆的极坐标方程方程求出C 2，联立曲线C 1和曲线C 2的方程，求出交点即可．(2)写出C 1的极坐标方程，求出M ，N 的极坐标，由极坐标的意义求出线段MN 的长度． 本题考查极坐标方程、线段长度的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：解法一：(1)f(x)=2|x −1|+|x +1|={−3x +1,x ≤−1−x +3,−1<x <13x −1,x ≥1，由f(x)≤5，得{x ≤−1−3x +1≤5或{−1<x <1−x +3≤5或{x ≥13x −1≤5，解得−43≤x ≤−1或−1<x <1或1≤x ≤2， 故所求不等式的解集为{x|−43≤x ≤2}． (2)证明：要证√a +1+√b +1≤2√2成立， 只需证(√a +1+√b +1)2≤(2√2)2成立， 即证a +b +2+2√a +1√b +1≤8，由a >0，b >0，a +b =f(1)=2，故只需证√(a +1)(b +1)≤2， 由基本不等式可知，√(a +1)(b +1)≤(a+1)+(b+1)2=2成立(当且仅当a =b =1时“=”成立)，故命题得证．解法二：(1)因为f(x)=2|x−1|+|x+1|={−3x+1,x≤−1−x+3,−1<x<1 3x−1,x≥1，作函数f(x)图象与直线y=5，如图所示：其交点为A(−43,5)，B(2,5)，所以不等式f(x)≤5的解集为{x|−43≤x≤2}．(2)证明：∵a+b=f(1)=2，又a>0，b>0，∴√2⋅√a+1≤a+32,√2⋅√b+1≤b+32，∴√2⋅√a+1+√2⋅√b+1≤a+32+b+32=4，∴√a+1+√b+1≤2√2成立(当且仅当a=b=1时“=”成立)．【解析】法一(1)求出f(x)的分段函数形式，通过讨论x的范围，去掉绝对值解不等式求出不等式的解集即可；(2)结合基本不等式的性质证明即可；法二：(2)画出函数f(x)的图象，结合图象求出交点坐标，求出不等式的解集即可；(2)结合基本不等式的性质证明即可．本题考查了解绝对值不等式问题，不等式的证明以及转化思想，是中档题．。
甘肃省兰州市等4地2022届高三一模理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，则（ ）A ．1B．C ．0D．2.若＝（1，2），＝（x ，4），若//，则实数x ＝（ ）A ．8B ．－2C ．2D ．－83. “”是“且”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 在中，“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知（是虚数单位），那么复数对应的点位于复平面内的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6. 下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（ ▲）A ．B ．C ．D ．7. 已知函数的对应值图如表所示，则等于（ ）函数的对应值表012345365427A ．4B ．5C ．6D ．78. 已知，则的值为（ ）A．B．C．D．9. 已知函数，．下列说法正确的为（ ）A ．若，则函数与的图象有两个公共点B ．若函数与的图象有两个公共点，则C ．若，则函数有且仅有两个零点D ．若在和处的切线相互垂直，则10.如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在时刻相对于平衡位置的高度可以田确定，则下列说法正确的是（ ）甘肃省兰州市等4地2022届高三一模理科数学试题甘肃省兰州市等4地2022届高三一模理科数学试题三、填空题四、解答题A．小球运动的最高点与最低点的距离为B．小球经过往复运动一次C．时小球是自下往上运动D ．当时，小球到达最低点11. 下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （）A．B．C．D．12. 以下说法正确的有（ ）A ．某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10，3，8，3，2，18，7，4，则该样本数据的第50百分位数为5.5B ．经验回归直线至少经过样本点数据中的一个点C ．若，，则事件A ，B 相互独立D ．若随机变量，则取最大值的必要条件是13. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.14.已知定义在上的偶函数满足对于恒成立，且，则________.15. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为,顶点都在一个球面上，则该球体的表面积为______16. 已知数列{a n }满足＋＋＋…＋＝n 2＋n .（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n }的前n 项和S n .17.已知椭圆（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设椭圆上在第二象限的点的横坐标为，过点的直线与椭圆的另一交点分别为.且的斜率互为相反数，两点关于坐标原点 的对称点分别为,求四边形 的面积的最大值.18. 等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．19. 如图1，平面图形是一个直角梯形，其中，，，，是上一点，且．将沿着折起使得平面平面，连接、，过点作，垂足为，如图2．(1)证明；(2)若是上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分别为AD，PA的中点.(1)证明：平面BMN∥平面PCD；(2)若，求平面BMN与平面BCP所成锐二面角的余弦值.21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上位于第二象限的任一点，直线是的外角平分线，直线交椭圆于另一点，过左焦点作的垂线，垂足为，延长交直线于点，（其中为坐标原点），椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的内切圆半径的取值范围.。
甘肃省天水市、平凉市2022届高三一模数学(理)试题
一、单选题二、多选题1. 已知抛物线，则它的焦点坐标是（ ）A．B．C．D．2. 已知分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线l 与双曲线的右支交于A ，B两点，的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，且直线l的倾斜角为，则的值为（ ）A ．2B ．3C．D．3. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则4. 设是非零向量，则“”是“与共线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 设是复数的共轭复数，且，则A ．3B ．5C．D．6.我们知道，任何一个正实数都可以表示成.定义：，如，则下列说法错误的是（ ）A ．当时，B．当时，C．当D ．若，则7. 已知直线：与函数的图象交于，两点，记△的面积为（为坐标原点），则函数是A ．奇函数且在上单调递增B．偶函数且在上单调递增C ．奇函数且在上单调递减D ．偶函数且在上单调递减8. 在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B 和C 是正确选项，A 和D 是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件“甲、乙两人均未选择B 选项”，则（ ）A ．事件M 与事件N 相互独立B ．事件X 与事件Y 相互独立C ．事件M 与事件Y 相互独立D ．事件N 与事件Y 相互独立9. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A 为塔顶，B 为塔底)的高度，选取与B 在同一水平面内的两点C 与D (B ，C ，D 不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ）甘肃省天水市、平凉市2022届高三一模数学（理）试题甘肃省天水市、平凉市2022届高三一模数学（理）试题三、填空题四、解答题A．B．C．D．10.如图，已知三棱柱的底面是边长为1的正三角形，，是棱上一点(与端点不重合)，则( )A．B．平面平面C ．三棱锥的体积为定值D ．当时，长度的最小值为11. 下列说法不正确的是（ ）A．函数 在定义域内是减函数B．若是奇函数，则一定有C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是D．若的定义域为，则的定义域为12. 半径长为1米的车轮匀速在水平地面上向前滚动（无滑动），轮轴每秒前进米．运动前车轮着地点为，若车轮滚动时点距离地面的高度（米）关于时间t （秒）的函数记为，则以下判断正确的是（ ）A ．对于，都有B ．在区间上为增函数C．D ．对于，都有13.在中，内角成等差数列，则___________.14. 已知直线与曲线在点P （1，1）处的切线互相垂直，则_____________.15.在中，，则______；若点为所在平面内的动点，且满足，则的取值范围是______．16. 如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，为上的点，过，，的截面交于(1)证明：；(2)若二面角的大小为，求几何体的体积.17. 已知椭圆的离心率为，斜率为且过点的直线与轴交于点(1)证明：直线与椭圆相切(2)记在（1）中的切点为，过点且与垂直的直线交轴于点，记的面积为的面积为，若，求椭圆的离心率18. 锐角△中，角，，的对边分别为，，，面积.(1)求的值；(2)若，求△的周长的取值范围.19. 已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，，求实数a的取值范围．20. 树木根部半径与树木的高度呈正相关，即树木根部越粗，树木的高度也就越高.某块山地上种植了树木，某农科所为了研究树木的根部半径与树木的高度之间的关系，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取棵树木，调查得到树木根部半径(单位：米)与树木高度(单位：米)的相关数据如表所示：（1）求关于的线性回归方程；（2）对（1）中得到的回归方程进行残差分析，若某树木的残差为零，则认为该树木“长势标准”，以此频率来估计概率，则在此片树木中随机抽取棵，记这棵树木中“长势标准”的树木数量为，求随机变量的数学期望与方差.参考公式：回归直线方程为，其中21. 如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？。
甘肃省天水市、平凉市2022届高三一模数学(理)试题(3)
一、单选题二、多选题1. 瑞士著名数学家欧拉发现公式（i 为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知等差数列的前项和为，，则的值为（ ）A．B．C．D．3. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米谷约为（ ）A ．134石B ．169石C ．338石D ．454石4. 已知复数满足，则（ ）A．B．C．D．5. 已知四面体ABCD 的所有顶点在球O的表面上，平面BCD ，，，，则球O 的体积为（ ）A．B．C．D．6.如图，圆周上按顺时针方向标有，，，，五个点.一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点.该青蛙从这点跳起，经次跳后它将停在的点是A．B．C．D．7. 已知、表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，且，则下列命题正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则8. 集合，，，则（ ）A．B．C．D．9. 下列命题，错误的是（ ）A ．若随机变量X服从正态分布，且，则B ．100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，则次品数X服从二项分布C ．将随机变量进行平移或伸缩后，其均值与方差都不会变化D ．在一元线性回归模型分析中，决定系数用来刻画两个模型拟合的效果．若越小，则模型的拟合效果越好10. 已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）A ．函数的周期为2B．函数的图象关于直线对称C ．函数为偶函数D．函数的图象关于点对称甘肃省天水市、平凉市2022届高三一模数学（理）试题(3)甘肃省天水市、平凉市2022届高三一模数学（理）试题(3)三、填空题四、解答题11. 下列四个等式正确的是（ ）A．B．C．D．12.函数的定义域为，若与都是偶函数，则（ ）A ．是偶函数B ．是奇函数C ．是偶函数D．13.在的展开式中，的系数与的系数之和等于___________.14. 函数的最大值为______．15.设等比数列的前n 项和为，公比为q ，若，，则________．16. 如图，在平面四边形中，的面积是的面积的倍．，，．(1)求的大小；(2)若点在直线同侧，，求的取值范围．17. 在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，.(1)求证：；(2)若，求平面与平面夹角的余弦值.18. 已知函数．(1)求函数的极值；(2)对于任意的，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．19. 如图，四棱锥中，四边形为菱形，，且，．(1)求证：平面；(2)若，，求二面角的余弦值．20. 如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．21. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，,求直线方程；(3)椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.。
甘肃省高考数学一模试卷(理科)(a卷)
甘肃省高考数学一模试卷（理科）（a卷）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·新疆期中) 复数z= 的虚部为（）A . 2B . ﹣2C . 2iD . ﹣2i2. （2分） (2019高一上·郏县期中) 对于非空集合A ， B ，定义运算：，已知，，其中a、b、c、d满足，，则（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·榆社模拟) 设满足约束条件，则的取值范围为（）A .B .C .D .4. （2分）夏季来临，人们注意避暑．如图是某市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午时天气的温度大约是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·清城期末) 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A . 2B . 4C . 8D . 166. （2分） (2018高二上·孝昌期中) 甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示，如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，则这两名同学的成绩相同的概率是（）A .B .C .D .7. （2分） (2015高二下·遵义期中) 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A . 18B . 24C . 36D . 488. （2分） (2015高一上·腾冲期末) 观察下列事实：|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 ，|x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8，|x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12，……，则|x|+|y|=10的不同整数解(x,y)的个数为（）A . 32B . 40C . 80D . 1009. （2分）(2019·龙岩模拟) 已知f(x)= ，若关于的方程恰好有 4 个不相等的实数解，则实数的取值范围为（）A .B . （）C .D . （0，）10. （2分） (2017高二上·玉溪期末) 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A . 8﹣B . 8﹣C . 8﹣2πD .11. （2分） (2020高二上·东莞期末) 如图，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记 ,则（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高二下·泸县月考) 设，分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且，若线段的中点恰在轴上，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分）二项式的展开式的各项系数和大于32小于128，则展开式中系数最大的项是________．14. （1分） (2016高一上·淮阴期中) 设f（x）= ，则f（f（））=________．15. （2分）(2020·哈尔滨模拟) 在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足，，则 ________，若，则的面积 ________．16. （2分） (2018高二上·万州期末) 垂直于直线，且与曲线相切的直线方程是（）A .B .C .D .三、解答题 (共8题；共75分)17. （10分） (2019高二上·大冶月考) 已知等差数列的前项和为，且，公差，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .18. （5分）(2017·郴州模拟) 如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F 分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．19. （10分）(2018·广州模拟) 某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的频数分布表.表1，设备改造后样本的频数分布表:质量指标值频数2184814162（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X（单位：元），求X得分布列和数学期望.20. （10分） (2019高二上·兴庆期中) 抛物线的焦点为F ，斜率为正的直线l过点F交抛物线于A、B两点，满足．（1）求直线l的斜率；（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形的面积的最小值．21. （10分） (2020高二下·海安月考) 已知（且m为常数）.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，都存在，使得（其中e为自然对数的底数），求实数k的取值范围.22. （10分）(2014·新课标I卷理) 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（1）证明：∠D=∠E；（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．23. （10分）(2019·深圳模拟) 选修 4－4：坐标系与参数方程：在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于不同的两点，．（1）求曲线的参数方程；（2）若点为直线与轴的交点，求的取值范围．24. （10分） (2016高二上·阜宁期中) 已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0）．（1）当a＞0时，用作差法证明：f（）＜[f（x1）+f（x2）]；（2）已知当x∈[0，1]时，|f（x）|≤1恒成立，试求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共75分) 17-1、17-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。
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高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2016年甘肃省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，则（∁U N）∩M=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0≤x≤2}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，则log3a l+log3a2+…+log3a8=（）A．10 B．9 C．8 D．74．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）5．若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°7．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．l B．2 C．2D．48．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图，则①和②处可填写（）A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+39．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）A．B．1 C．D．10．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若=5，则||=（）A．6B．35 C．4D．4011．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．B．5 C．6 D．712．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若∀x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f （1）＞f（2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（a﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a______．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为______．15．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+log2（1﹣），则a32=______．16．若函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），1），且∥．（I）求角A；（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足=时，求边c的值和△ABC的面积．18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击成绩作为一个样本，根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[8.4，8.9）9 0.15[8.9，9.4）m 0.3[9.4，9.9）24 n[9.9，10.4）q p[10.4，10.9） 3 0.05合计t 1（I）求表中t，p及图中a的值；（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．20．已知椭圆C：=l（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B⊥l．（I）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若P为椭圆上一动点，直线PM、PN的斜率记为k PM、k PN，且不为零，当直线l垂直于x轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=ln（1+x）一（a＞0）．（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E．（I）求证：CD为圆O的切线；（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小值．2016年甘肃省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，则（∁U N）∩M=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0≤x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集的定义求出N在全集中的补集∁U N，再求（∁U N）∩M即可．【解答】解：∵全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，∴∁U N={x|x＜2}则（∁U N）∩M={x|0≤x＜2}．故选：A．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，则log3a l+log3a2+…+log3a8=（）A．10 B．9 C．8 D．7【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的性质和对数运算法则求解．【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，∴log3a l+log3a2+…+log3a8==4log39=8．故选：C．4．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）【考点】全称命题；特称命题．【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，∴∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；∴∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）为真命题，故选：C．5．若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，将目标函数变形为y=﹣x+z，根据可行域找到直线截距取得最大值和最小值时的最优解．【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：由z=x+y得y=﹣x+z，由可行域可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线截距最大，即z最大，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线截距最小，即z最小．解方程组得x=4，y=5．∴z的最大值m=4+5=9．解方程组得x=1，y=2．∴z的最小值n=1+2=3．∴m﹣n=6．故选：B．6．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】作出图形，根据向量的几何意义和几何知识求出夹角．【解答】解：设，，以，为邻边作平行四边形OACB，则=．∵||=||，∴四边形OACB是菱形．设OA=AC=1，则OC=．∴cos∠AOC==．∴∠AOC=30°．故选：D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）A．l B．2 C．2D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为2的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出最长的棱，判断出该四面体各面中最大的面，由三角形的面积公式求出即可．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥P﹣ABC为棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：由正方体的性质可得，最长棱为PC=PB=BC=2，其他棱长都小于2，∴△PBC是该四面体各面中最大的面，∴△PBC的面积S==2，故选：C．8．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图，则①和②处可填写（）A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+3【考点】程序框图．【分析】由程序设计意图可知，②处应求通项，有a=a﹣3，又由此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最小值只需累加至最后一个正项即可，从而可求①处可填写：a＞0．【解答】解：由程序设计意图可知，S表示此等差数列{a n}前n项和，故②处应该填写a=a ﹣3，又因为此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最大值只需累加至最后一个正项即可，故①处可填写：a＞0．故选：A．9．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）A．B．1 C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先判断出△ABC为以B为直角的直角三角形，进而求出△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程，代入点到直线距离公式，可得答案．【解答】解：∵A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），∴=（3，1），=（3，﹣9），∴•=0，故⊥，故△ABC为以B为直角的直角三角形，故AC为△ABC的外接圆的直径，∵k AC==﹣，故△ABC的外接圆在点A处的切线l的斜率为，故△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程为y=（x+1），即3x﹣4y+3=0，故点B到直线l的距离d==1，故选：B．10．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交点为B，若=5，则||=（）A．6B．35 C．4D．40【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，利用向量共线的坐标表示，由=5，确定A，B的坐标，即可求得||．【解答】解：由抛物线C：y2=16x，可得F（4，0），设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，∵=5，∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，∴n=±4，∵a=5n，∴a=±20，∴||==35．故选：B．11．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）A．B．5 C．6 D．7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，利用AD=1得出a，b之间的关系，用a，b，θ表示出B，C的坐标，代入数量积公式运算得出关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值．【解答】解：设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，则B（a+2cosθ，2sinθ），C（2cosθ，b+2sinθ）．∵AD=1，∴a2+b2=1．=2cosθ（a+2cosθ）+2sinθ（b+2sinθ）=4+2acosθ+2bsinθ=4+sin（θ+φ）=4+2sin （θ+φ）．∴的最大值是4+2=6．故选：C．12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若∀x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f （1）＞f（2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过所给关系式，构造新的函数g（x）=，对g（x）求导，得到关系．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，∵xf′（x）＜2f（x），∴∀x∈（0，+∞），∴g′（x）＜0恒成立∴g（x）是在（0，+∞）单调递减，∴g（1）＞g（2），即4f（1）＞f（2）故选D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若（a﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a=±2．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，写出常数项，由此列方程求出a的值．【解答】解：（a﹣）5展开式的通项为T r+1=C5r•（a）5﹣r•（﹣）r=（﹣1）r•C5r•a5﹣r•x，令=0，可得r=3，又r=3时，T4=（﹣1）3•C53•a2=﹣10a2，由题意得﹣10a2=﹣40，解得a=±2．故答案为：±2．14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据余弦定理计算BC，可发现BC2+AC2=AB2，即AC⊥BC．故外接球球心在上下底面斜边中点的连线中点处，根据球的面积计算半径，得出棱柱的高．【解答】解：在△ABC中，BC==．∴BC2+AC2=AB2，即AC⊥BC．∴AB为△ABC所在球的截面的直径．取AB，A1B1的中点D，D1，则棱柱外接球的球心为DD1的中点O，设外接球的半径为r，则4πr2=12π，∴r=．即OB=，∴OD=．∴棱柱的高DD1=2OD=2．∴棱柱的体积V=S△ABC•DD1==．故答案为．15．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+log2（1﹣），则a32=﹣3．【考点】数列递推式．【分析】根据累加法和对数的运算性质即可求出数列的通项公式，代值计算即可．【解答】解：∵a n+1=a n+log2（1﹣）=log2（），∴a n+1﹣a n=log2（）∴a2﹣a1=log2，a3﹣a2=log2，…a n ﹣a n ﹣1=log 2∴（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）=log 2（×…×）=log 2（）=﹣log 2n∴a n ﹣2=﹣log 2n ， ∴a n =2﹣log 2n ，∴a 32=2﹣log 232=﹣3， 故答案为：﹣3．16．若函数f （x ）=x 2﹣4e x ﹣ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，﹣2ln2﹣2] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可得a ＜2x ﹣4e x 有解，转化为g （x ）=2x ﹣4e x ，a ＜g （x ）max ，利用导数求出最值即可．【解答】解：∵函数f （x ）=x 2﹣4e x ﹣ax ， ∴f ′（x ）=2x ﹣4e x ﹣a ，∵函数f （x ）=x 2﹣4e x ﹣ax 在R 上存在单调递增区间， ∴f ′（x ）=2x ﹣4e x ﹣a ≥0， 即a ≤2x ﹣4e x 有解，令g （x ）=2x ﹣4e x ，g ′（x ）=2﹣4e x ， g ′（x ）=2﹣4e x =0，x=﹣ln2， g ′（x ）=2﹣e x ＞0，x ＜﹣ln2， g ′（x ）=2﹣e x ＜0，x ＞﹣ln2∴当x=﹣ln2时，g （x ）max =﹣2ln2﹣2， ∴a ≤﹣2ln2﹣2即可． 故答案为：（﹣∞，﹣2ln2﹣2]．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，若=（cos 2，1），=（cos 2（B +C ），1），且∥． （I ）求角A ；（Ⅱ）当a=6，且△ABC 的面积S 满足=时，求边c 的值和△ABC 的面积．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（I ）由向量平行列出方程解出cosA ；（II ）根据余弦定理和面积公式解出tanC ，使用正弦定理求出c ，代入面积公式解出面积．【解答】解：（I ）∵∥．∴cos 2﹣cos 2（B +C ）=0，即（1+cosA ）﹣cos 2A=0，解得cosA=1（舍）或cosA=﹣．∴A=．（II）∵=，∴a2+b2﹣c2=4S=2absinC．又∵a2+b2﹣c2=2abcosC，∴tanC=．∴C=．由正弦定理得，∴c==2．sinB=sin（A+C）=sin=．∴S△ABC===3．18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击成绩作为一个样本，根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[8.4，8.9）9 0.15[8.9，9.4）m 0.3[9.4，9.9）24 n[9.9，10.4）q p[10.4，10.9） 3 0.05合计t 1（I）求表中t，p及图中a的值；（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，能求出表中t，p及图中a的值．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，得：，解得t=60，∴n==0.4，a==0.8．∵0.15+0.3+n+p+0.05=1，∴p=0.1．（Ⅱ）由直方图，得不少于9.9环的成绩的次数为60×0.15=9，成绩不少于10.4环的次数为3，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）==1．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．（I）证明：FG⊥AH；（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）根据线面垂直的性质定理即可证明FG⊥AH；（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．【解答】解：（I）设AC的中点是M，连接FM，GM，∵PF=FC，∴FM∥PA，∵PA⊥平面ABC，∴FM⊥平面ABC，∵AB=AC，H是BC的中点，∴AH⊥BC，∵GM∥BC，∴AH⊥GM，∴GF⊥AH（Ⅱ）建立以A 为坐标原点的空间直角坐标系如图：则P （0，0，2），H （，，0），C （0，2，0），B （，﹣1，0），F （0，1，1），则平面PAC 的法向量为=（1，0，0），设平面PBC 的法向量为=（x ，y ，z ），则，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），cos ＜，＞==，即二面角A ﹣CP ﹣B 的余弦值是．20．已知椭圆C ：=l （a ＞b ＞0），F 1、F 2为左右焦点，下顶点为B 1，过F 的直线l 交椭圆于M 、N 两点，当直线l 的倾斜角为时，F 1B ⊥l ．（I ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若P 为椭圆上一动点，直线PM 、PN 的斜率记为k PM 、k PN ，且不为零，当直线l 垂直于x 轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由已知得F 1（﹣c ，0），B 1（0，﹣b ），由题意知，从而b=，由此能求出椭圆C 的离心率．（Ⅱ）设P （x 0，y 0），（x 0≠±c ），M （c ，），N （c ，﹣），则=，由此能求出存在最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=l（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，∴F1（﹣c，0），B1（0，﹣b），∵过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B⊥l，∴由题知F1B1⊥l，∴，∴，∴b=，∴e====．（Ⅱ）设P（x0，y0），（x0≠±c），M（c，），N（c，﹣），则=﹣=，又P∈C，∴=1，得，∴=====，∴||=||=，又∵﹣a≤x0≤a，且x0≠±c，∴﹣1≤，且，∴||=≥=．∴存在最小值．21．已知函数f（x）=ln（1+x）一（a＞0）．（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=≥0，结合a＞0，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）要证明，只要证明＞e，两边取对数可得2016ln＞1，只要证明ln﹣＞0，构造函数f（x）=ln（1+x）﹣，其中f（0）=0，即可证明．【解答】（I）解：当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=≥0，即x+1﹣a≥0在[0，+∞）内恒成立，∴a≤x+1在[0，+∞）内恒成立，又x+1的最小值为1，∴a≤1，∵a＞0，∴0＜a≤1；（Ⅱ）证明：要证明，只要证明＞e，两边取对数可得2016ln＞1，只要证明ln﹣＞0，注意到2016=2015+1，所以ln﹣=ln（1+）﹣=ln（1+）﹣．构造函数f（x）=ln（1+x）﹣，其中f（0）=0，由（I）知，x≥0，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）内是增函数，∴f（）=ln﹣＞f（0）=0，∴ln＞，∴．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E．（I）求证：CD为圆O的切线；（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】（I）连接OD，证明△OBC≌△ODC，可得∠ODC=∠OBC=90°，即可证明CD为圆O的切线；（Ⅱ）Rt△OBC中，BE⊥OC，OB2=OE•OC，即可求OC的长．【解答】（I）证明：连接OD．∵AB为圆D的直径，∴AD⊥DB，∵AD∥OC，∴BD⊥OC，∴E为BD的中点，∴CB=CD，∴△OBC≌△ODC，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴CD为圆O的切线；（Ⅱ）解：由题意，OB=OA=4，OE=AD=2，Rt△OBC中，BE⊥OC，∴OB2=OE•OC，∴OC==8．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|•|OB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，展开把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）．（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得：+1=0，利用|OA||OB|=|ρ1ρ2|即可得出．【解答】解（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，展开可得：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0．由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：（t为参数）．（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得： +1=0，∴ρ1ρ2=1．∴|OA||OB|=|ρ1ρ2|=1．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当a=3，不等式即|x﹣3|+|x﹣1|≥4，不等式恒成立，从而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集．（Ⅱ）由f（x）≤1求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2，再利用基本不等式的性质求出最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=3，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|，即|x﹣3|+|x﹣1|≥|x﹣3﹣x+1|=4．由绝对值的意义可得；不等式恒成立，故|x﹣3|+|x﹣1|≥4的解集为R．（Ⅱ）由f（x）≤1 可得﹣1≤x﹣a≤1，求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2．故有+=2（m＞0，n＞0），即+=1，∴m+2n=（m+2n）（+）=1++≥2，当且仅当=时，等号成立，故m+2n的最小值是2．2016年9月17日。