甘肃省高考数学一模试卷(理科)

高中数学学习材料

（灿若寒星精心整理制作）

2016年甘肃省高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，则（?U N）∩M=（）

A．{x|0≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0≤x≤2}

2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3

3．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，则log3a l+log3a2+…+log3a8=（）

A．10 B．9 C．8 D．7

4．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．?x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．?x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）

C．?x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．?x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）

5．若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，

则m﹣n=（）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°

7．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）

A．l B．2 C．2D．4

8．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图，则①和②处可填写（）

A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+3

9．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）

A．B．1 C．D．

10．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交

点为B，若=5，则||=（）

A．6B．35 C．4D．40

11．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且

顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）

A．B．5 C．6 D．7

12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若?x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）

A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f （1）＞f（2）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若（a﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a______．

14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为______．

15．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+log2（1﹣），则a32=______．

16．若函数f（x）=x2﹣4e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若=（cos2，1），=（cos2（B+C），

1），且∥．

（I）求角A；

（Ⅱ）当a=6，且△ABC的面积S满足=时，求边c的值和△ABC的面积．

18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击成绩作为一个样本，根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组频数频率

[8.4，8.9）9 0.15

[8.9，9.4）m 0.3

[9.4，9.9）24 n

[9.9，10.4）q p

[10.4，10.9） 3 0.05

合计t 1

（I）求表中t，p及图中a的值；

（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4

的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．

19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．

（I）证明：FG⊥AH；

（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．

20．已知椭圆C：=l（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，过F的直线

l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B⊥l．

（I）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）若P为椭圆上一动点，直线PM、PN的斜率记为k PM、k PN，且不为零，当直线l垂直于x轴时，是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说明理由．

21．已知函数f（x）=ln（1+x）一（a＞0）．

（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）证明：．

【选修4-1：几何证明选讲】

22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E．

（I）求证：CD为圆O的切线；

（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P

（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；

（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|?|OB|的值．

【选修4-5：不等式选讲】

24．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．

（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；

（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小

值．

2016年甘肃省高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，N={x|x≥2}，则（?U N）∩M=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|0＜x＜2}D．{x|0≤x≤2}

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】根据补集的定义求出N在全集中的补集?U N，再求（?U N）∩M即可．

【解答】解：∵全集U=R，集合M={x|0≤x＜5}，

N={x|x≥2}，

∴?U N={x|x＜2}

则（?U N）∩M={x|0≤x＜2}．

故选：A．

2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3

【考点】复数代数形式的混合运算．

【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．

【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1

另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．

故选B．

3．等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，则log3a l+log3a2+…+log3a8=（）

A．10 B．9 C．8 D．7

【考点】等比数列的通项公式．

【分析】利用等比数列的性质和对数运算法则求解．

【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a8=9，

∴log3a l+log3a2+…+log3a8

==4log39=8．

故选：C．

4．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．?x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．?x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）

C．?x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．?x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）

【考点】全称命题；特称命题．

【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：?x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案．

【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，

∴?x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；

∴?x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）为真命题，

故选：C．

5．若变量x，y满足约束条件，且z=x+y的最大值和最小值分别为m和n，

则m﹣n=（）

A．5 B．6 C．7 D．8

【考点】简单线性规划．

【分析】作出可行域，将目标函数变形为y=﹣x+z，根据可行域找到直线截距取得最大值和最小值时的最优解．

【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：

由z=x+y得y=﹣x+z，

由可行域可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线截距最大，即z最大，

当直线y=﹣x+z经过点B时，直线截距最小，即z最小．

解方程组得x=4，y=5．

∴z的最大值m=4+5=9．

解方程组得x=1，y=2．

∴z的最小值n=1+2=3．

∴m﹣n=6．

故选：B．

6．设非零向量，，满足||=||=||， +=，则向量与向量的夹角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】作出图形，根据向量的几何意义和几何知识求出夹角．

【解答】解：设，，以，为邻边作平行四边形OACB，

则=．

∵||=||，∴四边形OACB是菱形．

设OA=AC=1，则OC=．

∴cos∠AOC==．

∴∠AOC=30°．

故选：D．

7．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）

A．l B．2 C．2D．4

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为2的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质求出最长的棱，判断出该四面体各面中最大的面，由三角形的面积公式求出即可．【解答】解：根据三视图知几何体是：

三棱锥P﹣ABC为棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：

由正方体的性质可得，

最长棱为PC=PB=BC=2，其他棱长都小于2，

∴△PBC是该四面体各面中最大的面，

∴△PBC的面积S=

=2，

故选：C．

8．如图表示的是求首项为2016，公差为﹣3的等差数列{a n}前n项和的最大值的程序框图，则①和②处可填写（）

A．①a＜0？，②a=a﹣3 B．①a＜0？，②a=a+3 C．①a＞0？，②a=a﹣3 D．①a ＞0？，②a=a+3

【考点】程序框图．

【分析】由程序设计意图可知，②处应求通项，有a=a﹣3，又由此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最小值只需累加至最后一个正项即可，从而可求①处可填写：a＞0．【解答】解：由程序设计意图可知，S表示此等差数列{a n}前n项和，故②处应该填写a=a ﹣3，

又因为此数列首项为正数，公差为负数，求前n项和的最大值只需累加至最后一个正项即可，故①处可填写：a＞0．

故选：A．

9．已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）

A．B．1 C．D．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】先判断出△ABC为以B为直角的直角三角形，进而求出△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程，代入点到直线距离公式，可得答案．

【解答】解：∵A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），

∴=（3，1），=（3，﹣9），

∴?=0，

故⊥，

故△ABC为以B为直角的直角三角形，

故AC为△ABC的外接圆的直径，

∵k AC==﹣，

故△ABC的外接圆在点A处的切线l的斜率为，

故△ABC的外接圆在点A处的切线l的方程为y=（x+1），

即3x﹣4y+3=0，

故点B到直线l的距离d==1，

故选：B．

10．已知抛物线C：y2=16x，焦点为F，直线l：x=﹣1，点A∈l，线段AF与抛物线C的交

点为B，若=5，则||=（）

A．6B．35 C．4D．40

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，利用向量共线的坐标表示，由=5，

确定A，B的坐标，即可求得||．

【解答】解：由抛物线C：y2=16x，可得F（4，0），

设A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，

∵=5，

∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，

∴n=±4，

∵a=5n，∴a=±20，

∴||==35．

故选：B．

11．如图，矩形ABCD中AD边的长为1，AB边的长为2，矩形ABCD位于第一象限，且

顶点A，D分别在x轴y轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值是（）

A．B．5 C．6 D．7

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，利用AD=1得出a，b之间的关系，用a，b，θ表示出B，C的坐标，代入数量积公式运算得出关于θ的三角函数，利用三角函数的性质求出最大值．

【解答】解：设A（a，0），D（0，b），∠BAX=θ，则B（a+2cosθ，2sinθ），C（2cosθ，b+2sinθ）．∵AD=1，∴a2+b2=1．

=2cosθ（a+2cosθ）+2sinθ（b+2sinθ）=4+2acosθ+2bsinθ=4+sin（θ+φ）=4+2sin （θ+φ）．

∴的最大值是4+2=6．

故选：C．

12．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若?x∈（0，+∞），都有xf′（x）＜2f（x）成立，则（）

A．2f（）＞3f（）B．2f（1）＜3f（）C．4f（）＜3f（2）D．4f （1）＞f（2）

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】通过所给关系式，构造新的函数g（x）=，对g（x）求导，得到关系．

【解答】解：令g（x）=，

则g′（x）=，

∵xf′（x）＜2f（x），

∴?x∈（0，+∞），

∴g′（x）＜0恒成立

∴g（x）是在（0，+∞）单调递减，

∴g（1）＞g（2），即4f（1）＞f（2）

故选D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若（a﹣）5展开式中的常数项为﹣40，则a=±2．

【考点】二项式系数的性质．

【分析】根据二项式展开式的通项公式，写出常数项，由此列方程求出a的值．

【解答】解：（a﹣）5展开式的通项为

T r+1=C5r?（a）5﹣r?（﹣）r=（﹣1）r?C5r?a5﹣r?x，

令=0，可得r=3，

又r=3时，T4=（﹣1）3?C53?a2=﹣10a2，

由题意得﹣10a2=﹣40，

解得a=±2．

故答案为：±2．

14．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该球的表面

积为12π，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此三棱柱的体积为．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】根据余弦定理计算BC，可发现BC2+AC2=AB2，即AC⊥BC．故外接球球心在上下底面斜边中点的连线中点处，根据球的面积计算半径，得出棱柱的高．

【解答】解：在△ABC中，BC==．

∴BC2+AC2=AB2，即AC⊥BC．

∴AB为△ABC所在球的截面的直径．

取AB，A1B1的中点D，D1，则棱柱外接球的球心为DD1的中点O，

设外接球的半径为r，则4πr2=12π，∴r=．

即OB=，∴OD=．

∴棱柱的高DD1=2OD=2．

∴棱柱的体积V=S△ABC?DD1==．

故答案为．

15．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+log2（1﹣），则a32=﹣3．

【考点】数列递推式．

【分析】根据累加法和对数的运算性质即可求出数列的通项公式，代值计算即可．

【解答】解：∵a n+1=a n+log2（1﹣）=log2（），

∴a n+1﹣a n=log2（）

∴a2﹣a1=log2，

a3﹣a2=log2，

…

a n ﹣a n ﹣1=log 2

∴（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）=log 2（×…×

）=log 2（

）=﹣log 2n

∴a n ﹣2=﹣log 2n ， ∴a n =2﹣log 2n ，

∴a 32=2﹣log 232=﹣3， 故答案为：﹣3．

16．若函数f （x ）=x 2﹣4e x ﹣ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围为 （﹣∞，﹣2ln2﹣2] ．

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】根据题意可得a ＜2x ﹣4e x 有解，转化为g （x ）=2x ﹣4e x ，a ＜g （x ）max ，利用导数求出最值即可．

【解答】解：∵函数f （x ）=x 2﹣4e x ﹣ax ， ∴f ′（x ）=2x ﹣4e x ﹣a ，

∵函数f （x ）=x 2﹣4e x ﹣ax 在R 上存在单调递增区间， ∴f ′（x ）=2x ﹣4e x ﹣a ≥0， 即a ≤2x ﹣4e x 有解，

令g （x ）=2x ﹣4e x ，g ′（x ）=2﹣4e x ， g ′（x ）=2﹣4e x =0，x=﹣ln2， g ′（x ）=2﹣e x ＞0，x ＜﹣ln2， g ′（x ）=2﹣e x ＜0，x ＞﹣ln2

∴当x=﹣ln2时，g （x ）max =﹣2ln2﹣2， ∴a ≤﹣2ln2﹣2即可． 故答案为：（﹣∞，﹣2ln2﹣2]．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，若=（cos 2，1），=（cos 2（B +C ），

1），且∥． （I ）求角A ；

（Ⅱ）当a=6，且△ABC 的面积S 满足

=

时，求边c 的值和△ABC 的面积．

【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．

【分析】（I ）由向量平行列出方程解出cosA ；

（II ）根据余弦定理和面积公式解出tanC ，使用正弦定理求出c ，代入面积公式解出面积．

【解答】解：（I ）∵∥．∴cos 2﹣cos 2（B +C ）=0，即（1+cosA ）﹣cos 2A=0，解得

cosA=1（舍）或cosA=﹣．

∴A=

．

（II）∵=，∴a2+b2﹣c2=4S=2absinC．

又∵a2+b2﹣c2=2abcosC，∴tanC=．∴C=．

由正弦定理得，∴c==2．

sinB=sin（A+C）=sin=．

∴S△ABC===3．

18．某射击训练基地教练为了对某运动员的成绩做一分析，随机抽取该名运动员的t次射击成绩作为一个样本，根据此数据做出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组频数频率

[8.4，8.9）9 0.15

[8.9，9.4）m 0.3

[9.4，9.9）24 n

[9.9，10.4）q p

[10.4，10.9） 3 0.05

合计t 1

（I）求表中t，p及图中a的值；

（Ⅱ）在所取的样本中，从不少于9.9环的成绩中任取3次，X表示所取成绩不少于10.4的次数，求随机变量X的分布列及数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，能求出表中t，p及图中a的值．（Ⅱ）由题意X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列及数学期望．

【解答】解：（Ⅰ）由频数与频率的统计表和频率分布直方图，得：

，解得t=60，

∴n==0.4，a==0.8．

∵0.15+0.3+n+p+0.05=1，∴p=0.1．

（Ⅱ）由直方图，得不少于9.9环的成绩的次数为60×0.15=9，

成绩不少于10.4环的次数为3，则X的可能取值为0，1，2，3，

P（X=0）==，

P（X=1）==，

P（X=2）==，

P（X=3）==，

∴随机变量X的分布列为：

X 0 1 2 3

P

E（X）==1．

19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，F、G、H分别是PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，PA=AB=AC=2，二面角B﹣PA﹣C为120°．

（I）证明：FG⊥AH；

（Ⅱ）求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】（I）根据线面垂直的性质定理即可证明FG⊥AH；

（Ⅱ）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可求二面角A﹣CP﹣B的余弦值．

【解答】解：（I）设AC的中点是M，连接FM，GM，

∵PF=FC，∴FM∥PA，

∵PA⊥平面ABC，

∴FM⊥平面ABC，

∵AB=AC，H是BC的中点，

∴AH⊥BC，

∵GM∥BC，

∴AH⊥GM，

∴GF⊥AH

（Ⅱ）建立以A 为坐标原点的空间直角坐标系如图：

则P （0，0，2），H （

，，0），C （0，2，0），B （

，﹣1，0），F （0，1，1），

则平面PAC 的法向量为=（1，0，0），

设平面PBC 的法向量为=（x ，y ，z ），

则，令z=1，则y=1，x=

，

即=（

，1，1），

cos ＜，＞=

=

，

即二面角A ﹣CP ﹣B 的余弦值是．

20．已知椭圆C ：

=l （a ＞b ＞0），F 1、F 2为左右焦点，下顶点为B 1，过F 的直线

l 交椭圆于M 、N 两点，当直线l 的倾斜角为

时，F 1B ⊥l ．

（I ）求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）若P 为椭圆上一动点，直线PM 、PN 的斜率记为k PM 、k PN ，且不为零，当直线l 垂直于x 轴时，

是否存在最小值？若存在，试求出该最小值；若不存在，请说

明理由．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（Ⅰ）由已知得F 1（﹣c ，0），B 1（0，﹣b ），由题意知，从而b=

，

由此能求出椭圆C 的离心率．

（Ⅱ）设P （x 0，y 0），（x 0≠±c ），M （c ，），N （c ，﹣

），则

=

，

由此能求出

存在最小值．

【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=l（a＞b＞0），F1、F2为左右焦点，下顶点为B1，∴F1（﹣c，0），B1（0，﹣b），

∵过F的直线l交椭圆于M、N两点，当直线l的倾斜角为时，F1B⊥l，

∴由题知F1B1⊥l，∴，

∴，∴b=，

∴e====．

（Ⅱ）设P（x0，y0），（x0≠±c），M（c，），N（c，﹣），

则=﹣=，

又P∈C，∴=1，得，

∴==

===，

∴||=||=，

又∵﹣a≤x0≤a，且x0≠±c，

∴﹣1≤，且，

∴||=≥=．

∴存在最小值．

21．已知函数f（x）=ln（1+x）一（a＞0）．

（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）证明：．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（I）当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=≥0，结合a＞0，即可求实数a的取值范围；

（Ⅱ）要证明，只要证明＞e，两边取对数可得2016ln

＞1，只要证明ln﹣＞0，构造函数f（x）=ln（1+x）﹣，其中f（0）=0，即可证明．

【解答】（I）解：当f（x）在[0，+∞）内单调递增时，f′（x）=≥0，

即x+1﹣a≥0在[0，+∞）内恒成立，

∴a≤x+1在[0，+∞）内恒成立，

又x+1的最小值为1，

∴a≤1，

∵a＞0，

∴0＜a≤1；

（Ⅱ）证明：要证明，只要证明＞e，

两边取对数可得2016ln＞1，

只要证明ln﹣＞0，

注意到2016=2015+1，所以ln﹣=ln（1+）﹣

=ln（1+）﹣．

构造函数f（x）=ln（1+x）﹣，其中f（0）=0，

由（I）知，x≥0，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）内是增函数，

∴f（）=ln﹣＞f（0）=0，

∴ln＞，

∴．

【选修4-1：几何证明选讲】

22．如图所示，AB为圆D的直径，BC为圆O的切线，过A作OC的平行线交圆O于D，BD与OC相交于E．

（I）求证：CD为圆O的切线；

（Ⅱ）若OA=AD=4，求OC的长．

【考点】圆的切线的性质定理的证明．

【分析】（I）连接OD，证明△OBC≌△ODC，可得∠ODC=∠OBC=90°，即可证明CD为圆O的切线；

（Ⅱ）Rt△OBC中，BE⊥OC，OB2=OE?OC，即可求OC的长．

【解答】（I）证明：连接OD．

∵AB为圆D的直径，

∴AD⊥DB，

∵AD∥OC，

∴BD⊥OC，

∴E为BD的中点，

∴CB=CD，

∴△OBC≌△ODC，

∴∠ODC=∠OBC=90°，

∴CD为圆O的切线；

（Ⅱ）解：由题意，OB=OA=4，OE=AD=2，

Rt△OBC中，BE⊥OC，

∴OB2=OE?OC，

∴OC==8．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，直线l经过点P

（3，），倾斜角为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；

（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|OA|?|OB|的值．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，展开把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ

代入可得极坐标方程．由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，可得参数方程：

（t为参数）．

（II）直线l的极坐标方程为：，代入曲线C的极坐标方程可得：

+1=0，利用|OA||OB|=|ρ1ρ2|即可得出．

【解答】解（I）曲线C的方程是（x﹣2）2+（y﹣l）2=4，

展开可得：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，

把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0．

由于直线l经过点P（3，），倾斜角为，

可得参数方程：（t为参数）．

（II）直线l的极坐标方程为：，

代入曲线C的极坐标方程可得： +1=0，

∴ρ1ρ2=1．

∴|OA||OB|=|ρ1ρ2|=1．

【选修4-5：不等式选讲】

24．设函数f（x）=|x﹣a|（a∈R）．

（I）当a=3时，解不等式f（x）≥4﹣|x+l|；

（Ⅱ）若不等式f（x）≤l的解集为[1，3]，且（m＞0，n＞0），求m+2n的最小

值．

【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．

【分析】（Ⅰ）当a=3，不等式即|x﹣3|+|x﹣1|≥4，不等式恒成立，从而求得|x﹣2|+|x﹣1|≥5的解集．

（Ⅱ）由f（x）≤1求得a﹣1≤x≤a+1，再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2，再利用基本不等式的性质求出最小值即可．

【解答】解：（Ⅰ）当a=3，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|，即|x﹣3|+|x﹣1|≥|x﹣3﹣x+1|=4．由绝对值的意义可得；不等式恒成立，故|x﹣3|+|x﹣1|≥4的解集为R．

（Ⅱ）由f（x）≤1 可得﹣1≤x﹣a≤1，求得a﹣1≤x≤a+1，

再根据f（x）≤1的解集为[1，3]，可得a=2．

故有+=2（m＞0，n＞0），即+=1，