巧用相切关系求动圆圆心的轨迹方程
高中数学解题方法-----求轨迹方程的常用方法
练习
1.一动圆与圆
外切，同时与圆 x2 + y2 − 6x − 91 = 0内切，求动圆圆心
M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
2. 动圆 M 过定点 P（－4，0），且与圆 ：C x2+ －y2 8x = 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 1.在∆ABC 中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方 程是_______________________________.
高中数学解题方法
---求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法： 物1线.）定的义定法义：，如则果可动先点设P出的轨运迹动方规程律，合再乎根我据们已已知知条的件某，种待曲定线方（程如中圆的、常椭数圆，即、可双得曲到线轨、迹抛 方程。 P 满2.足直的译等法量：关如系果易动于点建立P 的，运则动可规以律先是表否示合出乎点我P们所熟满知足的的某几些何曲上线的的等定量义关难系以，判再用断点，但P 点的 坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量y＝tg，（以t）此，量进作而为通参过变消数参，化分为别轨建迹立的普P 点通坐方标程xF，（yx与，该y）参＝数0。t 的函数关系 x＝f（t）， 4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的 运出动相规关律点已P'知的，坐（标该，点然坐后标把满P足'的某坐已标知代曲入线已方知程曲），线则方可程以，设即出可得P（到x动，点y），P 的用轨（迹x，方y程）。表示
题目 6：已知点 P 是圆(x +1)2 + y2 =16 上的动点，圆心为 B ，A(1,0) 是圆内的定点；PA 的中垂线交 BP 于点Q ．（1）求点Q 的轨迹C 的方程；
探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹
探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹两圆的位关系有五种:相离、外切、相交、内切和内含. 笔者就两定圆的五种不同位置关系进行研究.为计算方便，取两定圆的半径r1、r2（r1≠r2），两定圆圆心连线的中点为坐标原点，建立直角坐标系.1.两定圆相离设两定圆圆心为C1（-c，0）、C2（c，0），半径分别为r1、r2，r1≠r2，动圆圆心为C（x，y），则⊙C1：（x＋c）2＋y2＝r12，⊙C2：（x-c）2+y2＝r22.（1）当圆C 与圆C1、C2 都外切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|当r1＞r2 时，|C C1|＞|C C2|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线的右支；当r1＜r2 时，|C C1|＜|C C2|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线的左支；所以点C 的轨迹为双曲线的一支.（当r1=r2时，|C C1|=|C C2|，点C的轨迹为线段C1 C2的垂直平分线，即y轴）.（2）当圆C 与圆C1、C2 都内切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|当r1＞r2 时，|C C1|＜|C C2|，即x＜0，点C的轨迹为双曲线的左支；当r1＜r2 时，|C C1|＞|C C2|，即x＞0，点C的轨迹为双曲线的右支；所以点C 的轨迹为双曲线的一支,且其轨迹方程为（3）当动圆C 与两个定圆一个内切一个外切时，若圆C 与圆C1外切、与C2内切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|，且|C C1|＞|C C2|，即x＞0.点C 的轨迹是双曲线的右支.若当圆C 与圆C1内切、与C2外切时，设切点分别为A、B，则|CA|＝|CB|，点C 的轨迹为双曲线的左支.所以动圆圆心C 的轨迹是以定圆圆心C1、C2为焦点的双曲线，其轨迹方程为综合（1）、（2）、（3）可知：若两定圆⊙C1 与⊙C2 相离，当动圆C与定圆C1、C2都外切或都内切时，动圆圆心C 的轨迹是双曲线一支；当动圆C 与定圆C1、C2 其中一个内切，而与另一个外切时，动圆圆心C 的轨迹是双曲线的两支.2.两定圆外切当两定圆⊙C1与⊙C2外切时，在（1）中，∵|CA|=|CC1|＋r1，|CB|=|CC2|＋r2，|CA|＝|CB|，∴|C C1|＋r1=|C C2|＋r2∴|C C1|－|C C2|=r2－r1在（2）中，CA|=|CC1|－r1，|CB|=|CC2|－r2，|CA|＝|CB|，∴|C C1|－r1=|C C2|－r2∴|C C1|－|C C2|=r1－r2由（1）和（2）可知，都有||C C1|－|C C2||=|r1－r2|，且|r1－r2| 为定值，所以动圆圆心C 的轨迹是以定点C1、C2为焦点的双曲线.3.两定圆相交两定圆相交时，动圆与两相交定圆同时相切的位置关系有如下三种情况：（1）与两相交定圆同时外切；（2）同时内切于两相交定圆；（3）与两相交定圆同时内切.动圆圆心C 的轨迹方程可以分三种情况分别求得，三个轨迹合成一条双曲线（动圆圆心C 的轨迹也可以就其中一个图形对两定圆的半径进行讨论而求得）.所以，动圆与两相交定圆同时相切时，动圆圆心C 的轨迹是以定点C1、C2为焦点的双曲线（或其中一个部分）.4.两定圆内切或两定圆内含如本文开始所述，当两定圆内切（两定圆内切时，特殊情况为直线的一部分）或两定圆内含时，动圆C 的圆心的轨迹是以定圆圆心C1、C2为焦点的椭圆.由以上各种情况的分析，若已知两定圆⊙C1、⊙C2的半径分别为r1、r2（r1≠r2），可得到以下结论：①当两定圆相离、相交或外切时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线.②当两定圆内切或内含时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆（特殊情况除外）.③当两定圆为同心圆时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹是一个圆.④当两定圆内切时，与这两定圆都相切与切点的动圆圆心的轨迹是一条直线（不包含切点）.特殊情况:当r1=r2时，与这两定圆都相切的动圆圆心的轨迹一般为直线.总之，与两定圆相切的动圆圆心的轨迹一般是二次曲线（特殊情况轨迹是圆或直线或直线的一部分）理学角度分析，孩子分心的程度与年龄成反比。
方法技巧专题08 轨迹方程的求法(解析版)
方法技巧专题8 轨迹方程问题 解析版一、 轨迹方程问题知识框架二、求轨迹方程的常用方法【一】定义法1.例题【例1】已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足,sin 45sin sin C A B =+求点C 的轨迹。
【解析】由,sin 45sin sin C A B =+可知1045==+c a b ，即10||||=+BC AC ，满足椭圆的定义。
令椭圆方程为12'22'2=+b y a x ，则34,5'''=⇒==bc a ，则轨迹方程为192522=+y x （)5±≠x ，图形为椭圆（不含左，右顶点）。
【例2】一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
【解析】设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ，定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
将圆方程分别配方得：22(3)4x y ++=，22(3)100x y -+=， 当M 与1O 相切时，有1||2O M R =+ ① 当M 与2O 相切时，有2||10O M R =- ②将①②两式的两边分别相加，得21||||12O M O M +=，即2222(3)(3)12x y x y +++-+= ③ 移项再两边分别平方得：222(3)12x y x ++=+ ④两边再平方得：22341080x y +-=，整理得2213627x y +=， 所以，动圆圆心的轨迹方程是2213627x y +=，轨迹是椭圆。
【例3】已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.【解析】设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O′于D 、E 两点， 两切线交于点P. 由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|， 故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆， 以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为：2218172x y +=2.巩固提升综合练习【练习1】已知圆()25422=++y x 的圆心为M 1，圆()1422=+-y x 的圆心为M 2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。
动圆与两定圆相切,求圆心轨迹方程
动圆与两定圆相切,求圆心轨迹方程稿子一：嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊一个超有趣的数学问题——动圆与两定圆相切，求圆心轨迹方程。
你想想看，这就好像是一场圆心的奇妙旅行。
动圆就像个调皮的小孩子，在两个定圆之间蹦蹦跳跳，寻找着自己的路线。
比如说，当动圆和两个定圆都外切的时候，那动圆的圆心就像是被两个大哥哥带着跑，它的轨迹可能是一条漂亮的曲线，就像彩虹一样弯弯的。
要是动圆和一个定圆内切，和另一个定圆外切，那情况又不一样啦。
这时候动圆的圆心可能会一会儿靠近这个圆，一会儿又跑向那个圆，轨迹变得更加复杂有趣。
有时候，为了找到这个轨迹方程，我们得用上好多数学知识，像是距离公式、勾股定理啥的。
不过别担心，只要我们一步步来，就像解谜一样，总能找到答案。
研究动圆与两定圆相切的圆心轨迹方程，就像是在数学的大花园里探险，每一步都充满了惊喜和挑战，是不是很有意思呀？稿子二：嘿，朋友们！今天咱们来唠唠动圆与两定圆相切，求圆心轨迹方程这事儿。
想象一下哈，这两个定圆就像两个安稳的家，而动圆呢，就是个爱闯荡的小家伙。
它一会儿跑到这个家跟前蹭蹭，一会儿又跑去那个家抱抱。
当动圆与两个定圆都外切时，那感觉就像动圆的圆心被两个温暖的怀抱吸引着，它的轨迹可能会像一条优美的弧线，仿佛在跳着欢快的舞蹈。
要是动圆跟其中一个内切，跟另一个外切，那可就有点纠结啦。
这圆心就像在做选择，一会儿靠近这边，一会儿又舍不得那边，那轨迹就变得有点曲折，就像人生的道路一样，充满了选择和变化。
在求解这个轨迹方程的过程中，咱们可得头脑清醒，不能被那些复杂的式子给绕晕了。
要像个聪明的探险家，一点点去分析，去推理。
而且哦，当我们最终找到那个轨迹方程的时候，那种成就感，简直爆棚！就好像我们解开了一个神秘的密码，打开了一个充满奇妙的宝箱。
怎么样，是不是觉得动圆与两定圆相切的问题很有趣呀？。
轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)
轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法：1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。
4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。
5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。
6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。
设点。
列式。
化简。
说明等，圆锥曲线标准方程的推导。
1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =·，求点P 的轨迹。
26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆4)2(22=++y x 外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是)1(122--=x y ．选（B ）．2、一动圆与两圆122=+y x 和012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有.1,2,1=-+=+=MO MC r MC r MO 动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。
与圆有关的轨迹方程的求法[精选.]
![与圆有关的轨迹方程的求法[精选.]](https://img.taocdn.com/s3/m/a578b40176eeaeaad0f33052.png)
与圆有关的轨迹方程的求法若已知动点P 1（α ,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系：⎩⎨⎧βα=βα=),(),(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①，得⎩⎨⎧=β=α),(),(y x h y x g ②代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0.例1、（求轨迹）：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【例2】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２+y ２=1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交P A 于Q ，求点Q 的轨迹方程.【法一】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，Q (x ，y ). ∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴31||||==OQ OP QA PQ ， ∴Q 分P A 的比为31. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=y y x x y y y x x x 3413443311031)1(43311313000000即又因202y x +＝１，且y 0>0，∴19164391622=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x .∴Q 的轨迹方程为)0(169)43(22>=+-y y x . 例3、已知圆,422=+yx过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为（ ） A ．4)1(22=+-y x B ．)10(4)1(22<≤=+-x y x C ．4)2(22=+-y x D ．)10(4)2(22<≤=+-x y x变式练习1：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且MB AM 31=，则点M 的轨迹方程是解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=，∴),3(31),(11y x y y x x --=--，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=yy x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即169)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x . 2：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴31==OB OA MB AM ， ∴MB AM 31=.由变式1可得点M 的轨迹方程是169)43(22=+-y x .3：已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2,2(yx ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴0)12(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(22=-+y x .4、圆9)1()2(22=++-y x 的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是5、已知半径为1的动圆与圆16)7()5(22=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A.25)7()5(22=++-y x Ｂ. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(22=++-y x Ｃ. 9)7()5(22=++-y x Ｄ. 25)7()5(22=++-y x 或9)7()5(22=++-y x6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 97：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程.8 如图所示，已知圆422=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．分析：按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于H 点随B ，C 点运动而运动，可考虑H ，B ，C 三点坐标之间的关系．解：设),(y x H ，),(''y x C ，连结AH ，CH ， 则BC AH ⊥，AB CH ⊥，BC 是切线BC OC ⊥， 所以AH OC //，OA CH //，OC OA =， 所以四边形AOCH 是菱形．所以2==OA CH ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.,2''x x y y又),(''y x C 满足42'2'=+y x ，所以)0(4)2(22≠=-+x y x 即是所求轨迹方程．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．9. 已知圆的方程为222r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．解法一：如图，在矩形APBQ 中，连结AB ，PQ 交于M ，显然AB OM ⊥，PQ AB =，在直角三角形AOM 中，若设),(y x Q ，则)2,2(by a x M ++． 由222OA AMOM =+，即22222])()[(41)2()2(r b y a x b y a x =-+-++++， 也即)(222222b a r y x +-=+，这便是Q 的轨迹方程．解法二：设),(y x Q 、),(11y x A 、),(22y x B ，则22121r y x =+，22222r y x =+．又22AB PQ =，即)(22)()()()(2121222122122y y x x r y y x x b y a x +-=-+-=-+-．①又AB 与PQ 的中点重合，故21x x a x +=+，21y y b y +=+，即)(22)()(2121222y y x x r b y a x ++=+++ ②①＋②，有)(222222b a r y x +-=+．这就是所求的轨迹方程．解法三：设)sin ,cos (ααr r A 、)sin ,cos (ββr r B 、),(y x Q ， 由于APBQ 为矩形，故AB 与PQ 的中点重合，即有βαcos cos r r a x +=+， ① βαsin sin r r b y +=+， ②又由PB PA ⊥有1cos sin cos sin -=--⋅--ar br a r b r ββαα ③联立①、②、③消去α、β，即可得Q 点的轨迹方程为)(222222b a r y x +-=+． 说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．10、由动点P 向圆122=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则动点P 的轨迹方程是 .解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是422=+y x .练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ，求P 点的轨迹.解：设动点P 的坐标为),(y x P .由)0(>=a a PBPA ，得a yc x y c x =+-++2222)()(，化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .当1≠a 时，化简得01)1(222222=+-+++c x a a c y x ，整理得222222)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ； 当1=a 时，化简得0=x .所以当1≠a 时，P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心，122-a ac 为半径的圆； 当1=a 时，P 点的轨迹是y 轴.11、已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于解：设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=，得2222)1(2)2(y x y x +-=++，化简得4)2(22=+-y x ，∴点P 的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为π4.最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。
椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1 已知两圆C1：，C2：，动圆在圆C1内部且和圆C1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（，），半径为，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1，∴，圆Ｍ外切于圆C2 ，∴，∴，∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且，，故所求轨迹方程为：．评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：＝１（，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为＝１（．∵椭圆经过两点，∴解得，故所求的椭圆标准方程为．评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３设动直线垂直于轴，且交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是上线段AB外一点，且满足，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线垂直于轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式即可求解．解：设Ｐ（，），Ａ（，），Ｂ（，），由题意：＝＝，＋＝０∴,，∵Ｐ在椭圆外，∴－与－同号，∴=（－）（－）＝∵，即为所求．评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC边所在直线为轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（，），由，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去轴上的两顶点，方程为．（２）设Ａ（，），Ｇ（，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是∵Ｇ为的重心∴代入得：其轨迹是中心为原点，焦点在轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
求点的轨迹方程的六种常见方法讲解
变式：外切改为相切呢？
相关点法
• 如果动点P（x,y）依赖于已知曲线上另一动点Q （u,v）(这种点叫相关动点)而运动，而Q点的坐标u、 v可以用动点P的坐标表示，则可利用点Q的轨迹方程， 间接地求得P点的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法 叫做变量代换法或相关点法.此类问题的难度属中档 水平，可能在选择题或填空题出现，也可能在解答 题中出现，属于小题中较难的题目但属于大题中较 易的题目。
整理得
x2 1
(y a)2 a2
1.
2
当a2 1 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点 2
当a2 1 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长. 2
当a2 1 时，点P到椭圆两个焦点( 1 a2 , a)和( 1 a2 , a)的距离之和为定值 2.
• 以下举一个例子说明：
6.几何法
【例8】已知圆的方程为x2 y2 6x 6y 14 0，求过点A(3, 5)的直线 交圆的弦的中点的轨迹.
解：圆的方程为(x 3)2 ( y 3)2 4，则圆心C的坐标为(3,3).
设过点A的直线交圆于P、Q两点，M (x, y)是PQ的中点，连CM，则CM PQ，故有：
五类参数：点坐标，斜率，比例，角度，长度等
且 BE CF DG .P为GE与OF的交点（如图）. BC CD DA
问：是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在， 求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
y
DF
C
E P
G
A
O
Bx
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两点，
与椭圆有关的轨迹方程的求法
与椭圆有关的轨迹方程的求法一.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，可用定义直接探求.例1：已知两圆169)4(:221=+-y x C ，9)4(:221=++y x C ，动圆在圆1C 内部且和圆1C 相内切，和圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式 解：设动圆圆心),(y x M ，半径为r 如图所示，由题意:圆Ｍ内切于圆C 1，∴r MC -=131， 圆Ｍ外切于圆C 2 ，∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ,∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆， 且82,162==c a ，48222=-=c a b ，故所求轨迹方程为：1486422=+y x 。
例2．在周长为定值的ABC ∆中,已知|AB |6=，且当顶点C 位于定点P 时,C cos 有最小值为257，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程. 解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系,设 )3(2>=+a a CB CA 为定值，则C 点的轨迹是以B A ,为焦点的椭圆， 焦距62==AB c ，因为：1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥， 由题意得 25,25718122==-a a，此时，PB PA =，P 点坐标为)4,0(±， 所以C 点的轨迹方程为：)0(1162522≠=+y y x 。
例3．已知圆16)1(:22=++y x B 及点)0,1(A ，C 为圆B 上任一点，求线段AC 的垂直平分线l 与线段BC 交点P 的轨迹方程。
(2021年整理)高中数学动点轨迹问题专题讲解
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动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：（1）等量关系法．．．．．:根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时,要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义,可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =,0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =,化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等)，分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程,消去参数即可．(5）交轨法．．．:即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点,12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=(0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠) （C ）22116925x y +=（0y ≠) （D)221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ;4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；5．已知圆C ：22(16x y ++=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y +=6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上,则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >）变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点,1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．（212y x =）8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．（4kx =(28k y >））9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时， 立，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ,则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-． 当直线PQ 的斜率不存在时,易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-,设PQ 中点为(,)M x y ， 当12x x ≠时,有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-(二)解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切,求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =,2A 为椭圆另一顶点,连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2)若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =,试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x yG ．∵ GM AB λ=,点M 在x 轴上，∴ (,0)3xM ．∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴=,即 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法）（2)设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±)，11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ． 由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ,得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=． ∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k +=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++，∴ 223(,)1313kb bN k k -++．∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥,∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k++=--+， ∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠． ∴ 20134k <+<且2132k +≠,解得11k -<<且3k ≠±． 故k 的取值范围是11k -<<且k ≠． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程;（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解:(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =,(,2)PN x y =--，48MP MN y ⋅=+．4PN MN ⋅=，……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅， ∴48y += 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点,点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅,1()2ON OA OF =+,//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解:∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上,∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆,且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-, 且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；(定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=；（2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合,与四边形OAPB 是矩形矛盾． 故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k =-+， OP OA OB =+,所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=． 1122(,),(,)OA x y OB x y ==，∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=． 即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k kk k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得54k =±． 故存在直线l ：534y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图,平面内的定点F 到定直线l 的距离为2,定点E 满足：||EF =2,且EF l ⊥于G ,点Q 是直线l 上一动点，点M 满足:FM MQ =，点P 满足://PQ EF ，0PM FQ ⋅=． （I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程; B ，（II)若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、范令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时,求直线1l 的斜率k 的取值围．建解:（1)以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，立平面直角坐标系xoy ,设点(,)P x y ， 则(0, 1)F ,(0, 3)E ,:1l y =-．∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2xM ．∵0PM FQ ⋅=,∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =． （2)设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得1242121-==+∴x x kx x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y (8)分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分 由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k 解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ,动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ,并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =． （1）求动点N 的轨迹方程；(2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-,且||AB ≤≤l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ,由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2y PF =-，又0PM PF ⋅=，∴204yx -+=，即动点N程为24y x =．（2)10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=． （1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1)中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解:（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =, 故动点P 的轨迹方程为214y x =．（2）11．如图()A m和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-，∴ 14mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y (0x >)，由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-,∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =,∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心,焦点在x 轴上，且实轴长为2,焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则,直线l的斜率为 又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>,设1122(,),(,)M x y N x y ,则121222129,3131t y y y y t t -+==-- ∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<,又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-, 由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得 2222363(31)31t t t =---考虑几何求法!！ 解之得:2115t = ，满足2103t <<． 故所求直线l0y --=0y +-=． 12．设A,B分别是直线5y x =和5y x =-上的两个动点，并且||20AB =，动点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．（I) 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为(0，16)，M 、N 是曲线C 上的两个动点,且DM DN λ=,求实数λ的取值范围．解:（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线y x =和y x =上的点，故可设11()A x x，22(,)B x x ． ∵OP OA OB =+，∴1212,)x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=．（II）设N(s，t），M（x,y),则由λ=，可得（x，y-16）=λ (s，t—16)．故x sλ=，16(16)y tλ=+-．∵ M、N在曲线C上，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+1.16)1616t(25s1,16t25s22222λλλ消去s得116)1616t(16)t16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ,且1≠λ，解得17152tλλ-=．又4t≤，∴421517≤-λλ．解得3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ)．13．设双曲线22213y xa-=的两个焦点分别为1F、2F，离心率为2．（1)求此双曲线的渐近线1l、2l的方程；（3y x=±）(2）若A、B分别为1l、2l上的动点，且122||5||AB F F=，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y+=）提示：||1010AB=⇒=，又113y x=-，223y x=,则1221()3y y x x+=-，2112()3y y x x-=+．又122x x x=+，122y y y=+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N是否存在直线l，使l与双曲线交于P、Q两点,且0OP OQ⋅=，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．(不存在)到直线l的距离14．已知点(1, 0)F，直线:2l x=，设动点P为d ，已知2||2PF d =,且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）若13PF OF ⋅=,求向量OP 与OF 的夹角；（3)如图所示，若点G 满足2GF FC =，点M 满足3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P,求△PGF 的面积．15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >)交于A 、B 两点,以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB(O 为坐标原点）．（1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；(3a =） （2）若2a =,当k 变化时（k R ∈)，求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．(1)求双曲线C 的方程； （2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点,求实数k 的取值范围． 解:（I ）依题意有: 2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分显然23k 10-≠,∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y )则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D（00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +bk 0>， 解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k-．即k >1k 2<，且k≠0． ∴k的取值范围是113(,(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞．…………………14分 17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =（0,1），动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM —d 2）,其中O 为坐标原点，K 为参数. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=,1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+．(1）求证：直线MN 过定点；（2)记（1)中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角；（3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ,求H 的轨迹方程,并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西)如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点,且MA MB =．(1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值; （2）若M 为动点，且90EMF ∠=,求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1)由直线MF （或ME )方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >）, 则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-． ∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=,解得01F ky y k-=,∴ 202(1)F ky x k -=，∴002200022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值）． 所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ,由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++,∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=- 由2002y y x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y -- 同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->．20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折,使得每次翻折后点B 都落在边AD 上,记为B '，折痕l 与AB 交于点E ,点M 满足关系式EM EB EB '=+．(1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。
与圆外切且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程
文章标题：探索与圆外切且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程在数学领域中，圆是一个非常重要的几何形状，而与圆相关的问题也是数学家们一直在研究和探索的对象之一。
今天，我们将要探讨的主题是“与圆外切且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程”。
通过对这一问题深入的讨论和分析，我们将为您展示其中的数学美丽和深刻的几何思想。
1. 圆的基本概念让我们来回顾一下圆的基本概念。
圆是平面上所有离圆心的距离都相等的点的集合。
而在笛卡尔坐标系中，圆的方程通常可以表示为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
2. 与圆外切且与y轴相切的动圆接下来，让我们来具体讨论与圆外切且与y轴相切的动圆这一特殊情况。
考虑一个半径为$r$的圆$C$，其圆心坐标为$(a,b)$，现在我们将另一个圆$O$沿着$x$轴平行移动，使其与圆$C$外切，并且与y轴相切。
我们来思考一下这种情况下，动圆$O$的圆心的轨迹方程是什么样子的。
3. 探索动圆圆心的轨迹方程让我们将动圆$O$的圆心坐标设为$(x,0)$，其中$x$为动圆的横坐标。
根据与圆外切的性质，动圆$O$的圆心到圆$C$的圆心的距离等于两个圆的半径之和。
而根据与y轴相切的性质，动圆$O$的圆心到y轴的距离等于动圆的半径。
通过对上述两个条件的分析，我们可以得到以下方程：$\sqrt{(x-a)^2+b^2}+r = r+x$4. 推导轨迹方程接下来，我们将对上述方程进行进一步的推导和变换，以得到动圆圆心的轨迹方程。
将上述方程进行平方处理，得到$(x-a)^2+b^2 = x^2-2rx+r^2$将上述方程进行化简和整理，得到$x^2-2ax+a^2+b^2 = x^2-2rx+r^2$化简后可得$x(a-r) = r^2-a^2-b^2$我们得到了动圆圆心的轨迹方程：$x = \frac{r^2-a^2-b^2}{a-r}$通过上述推导和分析，我们成功地得到了与圆外切且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程，这一方程描述了动圆圆心的横坐标和圆的半径之间的关系，展现了数学中的美丽和深刻的几何思想。
椭圆方程的几种常见求法
椭圆方程的几种常见求法公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]椭圆方程的几种常见求法河南 陈长松对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法： 一、定义法例1 已知两圆C 1：169)4(22=+-y x ，C 2：9)4(22=++y x ，动圆在圆C 1内部且和圆C 1 相内切，和圆C 2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x ，y ），半径为r ，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1， ∴r MC -=131，圆Ｍ外切于圆C 2 ， ∴r MC +=32， ∴1621=+MC MC ，∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2 且82,162==c a ，481664222=-=-=c a b ，故所求轨迹方程为：1486422=+y x ． 评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：22ny mx +＝１（)0,0>>n m ，进行求解，避免讨论。
解：设所求的椭圆方程为22ny mx +＝１（)0,0>>n m ． ∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21--P P ，∴⎩⎨⎧=+=+.123,16n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.31,91n m ，故所求的椭圆标准方程为13922=+y x ． 评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出b a ,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３ 设动直线l 垂直于x 轴，且交椭圆12422=+y x 于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l 上线段 AB 外一点，且满足1=•PB PA ，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l 垂直于x 轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1=•PB PA 即可求解．解：设Ｐ（x ，y ），Ａ（A x ，A y ），Ｂ（B x ，B y ） ，由题意：x ＝A x ＝B x ，A y ＋B y ＝０∴A y y PA -=,B y y PB -=，∵Ｐ在椭圆外，∴y －A y 与y －B y 同号，∴PB PA •=（y －A y ）（y －B y ）＝1)(2=++-B A B A y y y y y y ∵)41(2)41(2222x x y y y A AB A --=--=-=1)41(222=--x y ，即)22(13622<<-=+x y x 为所求． 评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４ ABC ∆的底边BC ＝16，AC 和AB 两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC 边所在直线为x 轴，BC 边的中点为坐标原点建立直角坐标系， 设Ｇ（x ，y ），由3032⨯=+GB GC ，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去x 轴上的两顶点，方程为)0(13610022≠=+y y x ． （２）设Ａ（x ，y ），Ｇ（),00y x ，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020≠=+y yx ∵ Ｇ为ABC ∆的重心 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3300y y x x 代入得：)0(132490022≠=+y y x 其轨迹是中心为原点，焦点在x 轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点． 评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．。
专题26 求动点轨迹方程 微点2 定义法求动点的轨迹方程及答案
专题26 求动点轨迹方程 微点2 定义法求动点的轨迹方程专题26 求动点轨迹方程 微点2 定义法求动点的轨迹方程 【微点综述】在解析几何教学中，求动点的轨迹方程历来是教学重要专题之一，而曲线的定义反映了曲线的本质属性，它是相应标准方程和几何性质的“源”，也是解题的重要工具，如果能在求动点的轨迹方程中充分利用曲线的定义，常常会达到言简意明、异曲同工的效果．下面就其应用作一些举例介绍． 一、求轨迹方程——定义法若某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆、圆锥曲线的定义，则可以利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义等直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 二、常见情形1．到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线． 2．到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线．3．平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径． 4．平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数（12122,PF PF a F F a +=>为常数）的动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点，2a 为长轴长的椭圆． 5．平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数（12122,PF PF a F F a -=<为常数）的动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点，2a 为实轴长的双曲线．6．平面内与一定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离之比对于常数()0e e >的动点的轨迹是圆锥曲线．当01e <<时为椭圆；当1e >时为双曲线；当1e =时为抛物线．其中，定点F 叫做圆锥曲线的焦点，定直线l 叫做圆锥曲线的准线． 三、应用举例1．利用圆的定义求轨迹方程 例11．一条定长为2a 的线段AB ，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上滑动．求线段AB 的中点P的轨迹方程．2．利用椭圆的定义求轨迹方程 例2（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模）2．已知圆1C ：22(3)1x y ++=，2C ：22(3)81x y -+=，动圆C 与圆1C ，2C 都相切，则动圆C 的圆心轨迹E 的方程为________________l 与曲线E 仅有三个公共点，依次为P ，Q ，R ，则||PR 的值为________. 例3（2019年高考江苏卷17（1））3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．3．利用双曲线的定义求轨迹方程 例4（2021年新高考I 卷21（1））4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M的轨迹为C . （1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.例55．如图，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)y x C a b a b +=>>均过点P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求12,C C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=？证明你的结论．4．利用抛物线的定义求轨迹方程 例6（2014年高考福建文21）6．已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线=3y -的距离小2. （1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论. 例7（2013年高考全国II 理11）7．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为 F ，点M 在 C 上，5MF =，若以 MF 为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为 A ．24y x =或 28y x = B ．22y x =或 28y x = C ．24y x =或 216y x = D ．22y x =或 216y x =5．解析几何与立体几何交汇轨迹问题例8（2022·全国·模拟预测）8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为点Q 为棱1AA 上一点，点P 在底面ABCD上，且PQ =M 为线段PQ 的中点，则线段1C M 长度的最小值是（ ）A ．2B ．6C ．2D ．6例9（2022·新疆·二模）9．在棱长为6的正四面体ABCD 中，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足+=PA PB PD 的最大值为____________． 小结：定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线的几乎每个性质和问题都是由定义派生出来．对于这些常见的圆锥曲线问题，领悟定义优先的思想，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，往往能准确判断、简化运算，灵活解题．我们解决问题，总是希望寻找到最简单又不失本质的原理与方法，从以上案例中，不难发现解决圆锥曲线问题的首选策略是回归定义，优先考虑定义是求解圆锥曲线有关问题的第一思路，运用定义往往能使问题快捷求解． 【强化训练】（2022·四川凉山·三模）10．已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，点M 是抛物线C 上的动点，过点F 作直线()1210a x y a -+-+=的垂线，垂足为P ，则MFMP +的最小值为（ ）A B C ．5D ．3（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）11．在直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别是定直线y kx =和(0)=->y kx k 上的动点，若AOB 的面积为定值S ，则线段AB 的中点的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线（2022·上海青浦·三模）12．如图，ABC ⊥平面,D α为AB 中点，2AB =，60CDB ∠=，点P 为平面α内动点，且P 到直线CD APB ∠的最大值为__________.（2022·山西晋城·三模）13．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点M 是棱AB 的中点，点P 是底面ABCD 内的动点，且P 到平面11ADD A 的距离等于线段PM 的长度，则线段1B P 长度的最小值为______．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）14．已知平面上一动点P 到定点()1,0F 的距离与它到定直线=1x -的距离相等，设动点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的轨迹方程(2)已知点(B ，过点B 引圆()()222:402M x y r r -+=<<的两条切线BP ；BQ ，切线BP 、BQ 与曲线C 的另一交点分别为P 、Q ，线段PQ 中点N 的纵坐标记为λ，求λ的取值范围．（2022·广东·模拟预测）15．平面直角坐标系内有一定点(1,0)F -，定直线:5l x =-，设动点P 到定直线的距离为d ，且满足||PF d =(1)求动点P 的轨迹方程；(2)直线:3m y kx =-过定点Q ，与动点P 的轨迹交于不同的两点M ，N ，动点P 的轨迹与y 的负半轴交于A 点，直线,AM AN 分别交直线=3y -于点H 、K ，若||||35QH QK +≤，求k 的取值范围．（2022·云南师大附中高三月考）16．已知定圆()221:11F x y ++=，圆()222:125F x y -+=，动圆M 与定圆1F 外切，与定圆2F 内切．（1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）直线l 的方向向量()1,2a =-，直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，若AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 纵截距m 的取值范围．17．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. （2018年高考江苏卷18（1））18．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；①直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB ，求直线l 的方程． 19．已知点()0,2F ，过点()02P ,-且与y 轴垂直的直线为1l ，2l x ⊥轴，交1l 于点N ，直线l 垂直平分FN ，交2l 于点M . (1)求点M 的轨迹方程；(2)记点M 的轨迹为曲线E ，直线AB 与曲线E 交于不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，且2211x x m =-+ (m 为常数)，直线l '与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问ABC的面积是否为定值.若为定值，求出ABC 的面积；若不是定值，说明理由.参考答案：1．222x y a +=【分析】设AB 的中点坐标为(,)x y ，当A 、B 均不与原点重合时，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AB 中点轨迹，验证A 、B 有一点与原点重合时成立得答案． 【详解】当OA OB ⊥时，12OP AB =，即,OP a P =∴的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆，∴方程是222x y a +=（0x ≠且0y ≠）．当A 点为原点时，()0,B a 或()0,B a -，当B 点在原点时，()0A a ,或(),0A a -，P ∴点的轨迹方程是222x y a +=．2． 2212516x y +=，221167x y += 6011 【分析】根据动圆C 与圆1C ，2C 的位置关系，分情况讨论可知动圆C 的圆心轨迹为椭圆，然后计算,,a b c 即可，然后假设直线方程，根据直线于曲线E 的位置关系以及弦长公式，可得结果.【详解】设动圆C 的半径为R 由题可知：当动圆C 与圆1C 外切，与圆2C 内切时 则112122=+11069CC R CC CC C C CC R ⎧⎪⇒+=>=⎨=-⎪⎩所以可知动圆C 圆心轨迹为椭圆所以210=5,3=⇒=a a c ，故22216b a c =-=所以动圆C 的圆心轨迹E 的方程为2212516x y +=当动圆C 与圆1C 内切，与圆2C 内切时 则112122=1869CC R CC CC C C CC R ⎧-⎪⇒+=>=⎨=-⎪⎩所以可知动圆C 圆心轨迹为椭圆所以28=4,3=⇒=a a c ，故2227b a c =-= 所以动圆C 的圆心轨迹E 的方程为221167x y +=所以动圆C的圆心轨迹E的方程为2212516x y+=，221167x y+=设直线l方程为y m=+，()()1122,,,P x y R x y由直线l与曲线E仅有三个公共点则直线l与221167x y+=相切于点Q，与2212516x y+=相交于点P,R所以2222139161120167x yx by m⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩则()()22243916112039∆=-⨯⨯-=⇒=b b22221662540002516x yx by m⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩212122540066-+==bx x x x则PR则PR239=b代入可得6011=PR故答案为：2212516x y+=，221167x y+=；6011【点睛】本题考查椭圆的定义，以及弦长公式，考验分析问题能力以及计算能力，属中档题. 3．（1）22143x y+=；（2）3(1,)2E--.【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线1AF的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2①x轴，所以DF232=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2， 因为AF 2①x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2. 由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-. 由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得=1x -或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以=1x -.将=1x -代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而①BF 1E =①B .因为F 2A =F 2B ，所以①A =①B ， 所以①A =①BF 1E ，从而EF 1①F 2A . 因为AF 2①x 轴，所以EF 1①x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3(1,)2E --.【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力. 4．（1）()221116y x x -=≥；（2）0.【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得12k k +的值. 【详解】(1)因为12122MF MF F F -=<=所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b =，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设1(,)2T n ,设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-．联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=.则22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB x -=-．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-．设PQ 的方程为21()2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-． 因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--，所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=． [方法二] ：参数方程法设1(,)2T m ．设直线AB 的倾斜角为1θ，则其参数方程为111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩， 联立直线方程与曲线C 的方程2216160(1)x y x --≥=，可得222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+，整理得22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=．设12,TA t TB t ==，由根与系数的关系得2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅．设直线PQ 的倾斜角为2θ，34,TP t TQ t ==， 同理可得2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅ 由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，得2212cos cos θθ=．因为12θθ≠，所以12s o o s c c θθ=-．由题意分析知12θθπ+=．所以12tan tan 0θθ+=， 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆． 设1(,)2T t ,直线AB 的方程为11()2y t k x -=-，直线PQ 的方程为21()2y t k x -=-,则二次曲线1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=． 又由22116y x -=，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为：221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠，整理可得： []2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=， 其中21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦．由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即120k k +=.【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.5．(1)1C 的方程为：2213y x -=；2C 的方程为22132y x+= (2)不存在，证明见解析【分析】（1）根据以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形得 121,1a c ==，分别将P 的坐标代入双曲线和椭圆方程，可求出双曲线和椭圆方程；（2）当直线l 垂直于x 轴时，求出,A B 的坐标，可以验证OA OB AB +≠；当直线l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y kx m =+，代入双曲线方程，由韦达定理得到,A B 两个点的横坐标、纵坐标之间的关系，代入椭圆方程，根据判别式得到2223k m =-，利用韦达定理推出0OA OB ⋅≠，从而可推出OA OB AB +≠.（1）设2C 的焦距为22c ，因为1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．所以2122,22c a ==，从而121,1a c ==，因为点P ⎫⎪⎝⎭在双曲线22211y x b -=上，所以22121113b b -=⇒=⎝⎭， 所以1C 的方程为：2213y x -=.因为点P ⎫⎪⎝⎭在222222222:1(0)y x C a b a b +=>>上，所以22221314a b +=， 因为222222221b a c a =-=-，所以22221413(1)a a +=-，解得223a =，所以222b =， 所以2C 的方程为22132y x+=. （2）不存在符合题设条件的直线，证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，因为l 与2C只有一个公共点，所以直线的方程为x =或x =当x,,AB所以22,23OA OB AB +==此时OA OB AB +≠，当x =OA OB AB +≠.当直线l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y kx m =+，由 2213y kx my x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()2223230k x kmx m ----=，当l 与1C 相交于,A B 两点时，230k -≠,222(2)4(3)(3)0km k m ∆=-+-+>,即2230m k +->，设()()1122,,,A x y B x y ，则212122223,33km m x x x x k k ++==--， 于是()22222221212121222(3)2()()33k m k m y y kx m kx m k x x km x x m m k k+=++=+++=++-- 222333k m k -=-， 由22132y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222234260k x kmx m +++-=， 因为直线l 与2C 只有一个公共点，所以()()2222016423260k m k m ∆=⇒-+-=，化简可得2223k m =-，因此22222212122222333332303333m k m k m k OA OB x x y y k k k k +-+---⋅=+=+==≠----， 于是222222OA OB OA OB OA OB OA OB ++⋅≠+-⋅， 即22OA OB OA OB +≠-，所以OA OB AB +≠， 综上所述：OA OB AB +≠，所以不存在符合题目条件的直线l ．6．（1）24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明见解析. 【详解】试题分析：（1）思路一：设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点， 依题意可知曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， 得到曲线Γ的方程为24x y =.思路二：设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，由(3)2y --==，化简即得.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，得20014y x =， 应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线l 的方程为2001124y x x x =-. 由20011240y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得01(,0)2A x . 由20011243y x x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得0016(,3)2M x x +. 根据(0,3)N ，得圆心0013(,3)4C x x +，半径0011324r MN x x ==+，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定AB 试题解析：解法一：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点， 依题意，点S 到(0,1)F 的距离与它到直线1y =-的距离相等， 所以曲线Γ是以点(0,1)F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =.（2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变，证明如下： 由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设000(,)(0)P x y x ≠，则20014y x =， 由12y x '=，得切线l 的斜率001|2x x k y x =='=， 所以切线l 的方程为0001()2y y x x x -=-，即2001124y x x x =-. 由20011{240y x x x y =-=，得01(,0)2A x .由20011{243y x x x y =-=，得016(,3)2M x x +. 又(0,3)N ，所以圆心0013(,3)4C x x +，半径0011324r MN x x ==+，AB ===所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变.解法二：（1）设(,)S x y 为曲线Γ上任意一点，则(3)2y --==，依题意，点(,)S x y 只能在直线=3y -的上方，所以3y >-，1y =+，化简得，曲线Γ的方程为24x y =.（2）同解法一.考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系. 7．C【详解】①抛物线C 方程为22(0)y px p =>,①焦点(,0)2pF ，设(,)M x y ,由抛物线性质52p MF x =+=,可得52p x =-，因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为52，由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4， 即(5,4)2pM -,代入抛物线方程得210160p p -+=，所以p=2或p=8. 所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =. 故答案C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF ,以MF 为直径的圆交抛物线于点(0,2)，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出p 的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键. 8．B【分析】根据给定条件，确定点M 所在的轨形迹图，再利用该图形的性质即可求解作答.【详解】依题意，正方体1111ABCD A B C D -，当点P 与A 不重合时，AQ AP ⊥，如图，因点M 为线段PQ 的中点，则12AM PQ ==P 与A 重合时，12AM PQ ==即无论点P ，Q 如何运动，总有AM M 在以点A 18球面上，而16AC ==，所以线段1C M 长度的最小值是16AC = 故选：B【点睛】结论点睛：球面一点与球面上的点间距离最小值等于这一点与球心距离减球半径；球面一点与球面上的点间距离最大值等于这一点与球心距离加球半径，9．【分析】先由+=PA PB P 的轨迹是椭圆，由点D 在底面ABC 上的射影恰为短轴端点E ，得到PD =)P θθ，求出PE 最大值，进而得到PD 的最大值.【详解】取AB 的中点O ，连接OC ，以AB 为x 轴，OC 为y 轴，建立直角坐标系，则点P 在以A ，B 为焦点的椭圆上，且3==a c ，①23b =，即椭圆方程为221123x y +=，易知点D 在底面ABC 上的射影恰为短轴端点E ，DE ==①==PD设)P θθ，由E ，则2222112cos 3sin 6sin 39sin 163⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭PE θθθθ，①()2max16=PE，当1sin 3θ=-取得，①max ||==PD故答案为：【点睛】本题关键点在于确定点P 的轨迹是椭圆，由点D 在底面ABC 上的射影恰为短轴端点E ，将PD 的最大值转化为PE 最大值，再借助椭圆的参数方程求出PE 最大值即可. 10．A【分析】由条件确定点P 的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求MF MP +的最小值. 【详解】① 抛物线C 的方程为24y x =， ① (1,0)F ，抛物线C 的准线方程为=1x -，① 方程()1210a x y a -+-+=可化为()1(1)2y a x -=--， ①()1210a x y a -+-+=过定点(2,1)B ，设(,)P x y ，设,F B 的中点为A ，则31,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，因为FP BP ⊥，P 为垂足，①122PA FB ==，所以22311222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点P 的轨迹为以A 过点M 作准线=1x -的垂线，垂足为1M ，则1MM MF =,① 1=MF MP MM MP ++,，又MP MA ≥，当且仅当,,M P A 三点共线且P 在,M A 之间时等号成立，① 1MF MP MM MA +≥+， 过点A 作准线=1x -的垂线，垂足为1A ，则115=2MM MA AA +≥,当且仅当1,,A M A 三点共线时等号成立，① MF MP +≥1,,,A M P A 四点共线且P 在,M A 之间时等号成立，所以MF MP +故选：A.11．C【分析】设()()1122,,,-A x kx B x kx ，由于AOB 的面积为定值，可得出12x x 为定值，设12=x x T ，设线段AB 的中点为M，因为()22224M M y x T k ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭，即可得出线段AB 的中点的轨迹为双曲线.【详解】设()()1122,,,-A x kx B x kx ，则12||,||==OA OB .由于AOB 的面积为定值且sin AOB ∠为定值，从而12x x 为定值，设12=x x T . 设线段AB 的中点为M ，则122M x x x +=，()122-=M k x x y ， 故()()()22221212122244⎛⎫-=+--==± ⎪⎝⎭M M y x x x x x x x T k 为定值， 从而线段AB 的中点的轨迹为双曲线. 故选：C. 12．3π 【分析】由题意，可知P 的椭圆轨迹，即可知当PA PB =，即P 在椭圆短轴的顶点上时APB ∠最大，即可求最大值.【详解】由题设，ABC ⊥平面,D α为AB 中点，2AB =，60CDB ∠=，点P 为平面α内动点，且P 到直线CD①P 是以CD 为轴，α相交的椭圆轨迹上，即以D 为中心,A B 为焦点，2b =24a ==为长轴长的椭圆上，如下图示，①由椭圆的性质知：当且仅当PA PB =，即P 在椭圆短轴的端点上时，APB ∠最大有3APB π∠=.故答案为：3π. 【点睛】关键点点睛：根据题设，确定P 在圆柱体在平面α的交线上，以D 为中心,A B 为焦点， 4为长轴长的椭圆.13．【分析】根据抛物线的定义，可知点P 是以M 为焦点，以AD 为准线的抛物线，然后根据空间中两点的距离来求解.【详解】由P 到平面11ADD A 的距离等于线段PM 的长度，可知点P 是以M 为焦点，以AD 为准线的抛物线.以AM 中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.()1,0,0M ()13,0,4B ，设(),0P x y ，点P 的方程为：()24,03y x x =≤≤1B P 当1x =时，1B P 长度最小为故答案为： 14．(1)24y x ＝；(2)λ的取值范围为(--．【分析】(1)根据曲线轨迹方程的定义求解；(2)设切线BP 的方程为12y k x +＝（﹣）BQ 的方程为22y k x +＝（﹣）12k k += 212284r k k r =--，再求出122y y t +==-，即得解.（1） 设(,)P x y ，|1|x =+， 化简得()222(1)1x y x -+=+， 所以24y x =，所以曲线C 的方程为24y x ＝， （2）由已知2B（，所以切线,BP BQ 的斜率存在，设切线BP 的方程为12y k x -+＝（） 则圆心40M （，）到切线AP的距离d r ==，所以22211480r k r -++（）﹣＝， 设切线BQ 的方程为22y k x -+＝（）同理可得22222480r k r -++（）﹣＝， 所以12kk ，是方程222480r k r -++（）﹣＝的两根，所以12k k += 212284r k k r =--，设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立12(2)4y k x y x ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩211048k y y k +﹣﹣，所以11=所以114y k =-，同理224y k =-，所以121244(=22y y k k λ-+-++=12112k k ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=12122k k k k +⋅=﹣224284r r r -=-⋅--=- 因为02r ＜＜，所以2111884r <<-所以--<- 所以λ的取值范围为(--．【点睛】求取值范围常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）基本不等式法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 15．(1)动点P 的轨迹方程为椭圆22154x y +=(2)[7,1)(1,7]--【分析】（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，根据题意列式再化简方程求解即可；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，再根据,AM AN 的直线方程得出,K H x x ，联立直线MN 与椭圆的方程，得出韦达定理与判别式中k 的范围，进而将韦达定理代入||||QH QK +化简可得||7k ≤，结合判别式中k 的范围即可得（1）设动点P 的坐标为(,)x y，因为||PF d ==2225(1)|5|x y x ⎡⎤++=+⎣⎦，整理得22154x y +=．所以动点P 的轨迹方程为椭圆22154x y +=． （2）设()()1122,,,M x y N x y ，由（1）可得A 的坐标为(0,2)-， 故直线112:2y AM y x x +=-，令=3y -，则112H xx y =-+，同理222K x x y =-+．直线:3MN y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得()224530250k x kx +-+=， 故()22Δ900100450k k =-+>，解得1k <-或1k >．又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >， 又1212||||22H K x xQH QK x x y y +=+=+++ ()()22121212222121212225030245455||253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --+++=+===---++-+++， ①||||35QH QK +≤， 故5||35k ≤，即||7k ≤， 综上，71k -≤<-或17k <≤． 所以k 的取值范围是[7,1)(1,7]--．16．（1）22198x y ；（2）⎛-⋃ ⎝⎭⎝． 【分析】（1）设动圆M 的半径为r ，分析得出1262MF MF +=>，利用椭圆的定义可知点M的轨迹为椭圆，确定该椭圆的焦点，求出a 、b 、c 的值，即可得出轨迹E 的方程； （2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为2y x m =-+，将直线l 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由已知条件得出0OA OB ⋅>，结合0∆>可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】（1）设动圆M 的半径为r ，由图可知，圆1F 内含于圆2F ，圆1F 的半径为1，圆2F 的半径为5.动圆M 与定圆1F 外切，则11MF r =+，动圆M 与定圆2F 内切，则25MF r =-， 由题意知：()()121562MF MF r r +=++-=>，根据椭圆定义，圆心M 的轨迹是以原点为中心，1F 、2F 为焦点，长半轴长3a =，半焦距1c =的椭圆，2228b a c ∴=-=，E ∴的方程为22198x y ；（2）直线l 的方向向量为()1,2a =-，所以直线l 的斜率为2-． 设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线l 的方程为2y x m =-+，由222198y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2244369720x mx m -+-=．直线l 与椭圆E 有两个交点，所以，()()22223644498288440m m m ∆=-⨯⨯-=->，解得m -<<由韦达定理可得12911m x x +=，21297244m x x -=，AOB ∠为锐角，()()1212121222OA OB x x y y x x x m x m ∴⋅=+=+-+-+()()22212122597223652401444736044m m m x x m x x m m m -==-⨯⋅-++-+=>，m ∴>m <综上，直线l 的纵截距m 的取值范围为⎛-⋃ ⎝⎭⎝． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围． （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．17．(①)答案见解析；(①)⎡⎣.【详解】试题分析：（①）利用椭圆定义求方程；（①）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值．试题解析：（①）因为，，故，所以，故. 又圆的标准方程为，从而，所以. 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（①）当与轴不垂直时，设的方程为，，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为()12,83.当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.【考点】圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、求最值、求参数取值范围等几部分组成.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.18．（1）2214x y +=，223x y +=；（2）①；①y =+【分析】（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a ,b ，即得椭圆方程；（2）方法一：①先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标；①先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程. 【详解】（1）因为椭圆C 的焦点为()12,F F ，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．又点12⎫⎪⎭在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎨=⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=． （2）［方法一］：【通性通法】代数法硬算①设直线l 与圆O 相切于()0000,(0,0)P x y x y >>，则22003x y +=，所以直线l 的方程为()0000x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由22000143x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得()222200004243640x y x x x y +-+-=（*），因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以()()()()22222200000024443644820x x y y y x ∆=--+-=-=．因为00,0x y >，所以001x y =，因此，点P的坐标为． ①因为三角形OAB，所以12AB OP ⋅=，从而AB = 设()()1122,,,A x y B x y ，由（*）得1,20024x x y =+所以()()2221212AB x x y y =-+-()()222000222200048214y x x y x y -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭+． 因为22003x y +=，所以()()2202216232491x AB x-==+，即42002451000x x -+=，解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为⎝⎭． 综上，直线l的方程为y =+［方法二］： 圆的参数方程的应用设P点坐标为π),0,2ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为原点到直线cos sin x y αα+=d r ==，所以与圆O 切于点P 的直线l的方程为cos sin x y αα+=由22cos sin 1,4x y x y αα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()()22213cos )124sin 0x x ααα+-+-=． ①因为直线l 与椭圆相切，所以()()22Δ16cos 23cos 20αα=-⋅--=．因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos (0,1)α∈，故cos α=，sin α=．所以，P点坐标为．①因为直线:cos sin l x y αα+=O 相切，所以OAB 中边ABr =，因为OAB，所以||AB = 设()()1122,,,A x y B x y ，由①知22121222124sin 84cos 13cos 13cos x x x x αααα-++===++||AB ==， 即64218cos 153cos 235cos 1000ααα-+-=，即()()()2226cos 5cos 13cos 200ααα---=．因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos (0,1)α∈，故25cos 6α=，所以cos αα==所以直线l的方程为y =+．［方法三］：直线参数方程与圆的参数方程的应用设P点坐标为π),0,2ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则与圆O 切于点P 的直线l 的参数方程为：πcos2πsin2x ty tαααα⎧⎛⎫=++⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=++⎪⎪⎝⎭⎩（t为参数），即sincosx ty tαααα⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（t为参数）．代入2214xy+=，得关于t的一元二次方程()()22213cos cos)89cos0t tαααα+++-=．①因为直线l与椭圆相切，所以，()()222Δcos)413cos89cos0αααα=-+-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos(0,1)α∈，故cosα=，sinα=．所以，P点坐标为．①同方法二，略．【整体点评】（2）方法一：①直接利用直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系代数法硬算，即可解出点P的坐标；①根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点P的坐标，是该题的通性通法；方法二：①利用圆的参数方程设出点)αα，进而表示出直线方程，根据直线与椭圆的位置关系解出点P的坐标；①根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点P的坐标；方法三：①利用圆的参数方程设出点)αα，将直线的参数方程表示出来，根据直线与椭圆的位置关系解出点P的坐标；①根据三角形面积公式，利用弦长公式可求出点P的坐标．19．(1)28x y=(2)是定值，23(1)64m+【分析】（1）由题意得FM MN=，结合抛物线的定义即可求得点M的轨迹方程；（2）设出直线AB的方程，联立抛物线求得AB的中点Q坐标，再联立切线与抛物线求出切点坐标，得到CQ x⊥轴，结合2211x x m=-+以及1212ABCCS Q x x=⋅-求得23(1)64ABCmS+=即可求解.（1）。
巧用相切关系求动圆圆心的轨迹方程
求动圆圆心的轨迹方程包头市第一中学---赵胜凡直线与圆相切，圆与圆相切是圆这一节的重要内容，它主要体现在圆的半径及其圆心距的数量关系上，从而利用这一特点求动圆圆心的轨迹或轨迹方程的问题在高考及资料中经常见到，显然此类问题简洁的解法就是利用圆的几何性质，这类问题一般不难，但比较灵活，学生在解决这类问题时不容易把握，经常出错，本人整理了一些常见类型，试图揭示其本质，使学生把握其规律，掌握这类问题。
类型1 动圆与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程例1.已知动圆经过点F(0,3)且和直线y+3=0相切，求圆心的轨迹方程.解析：设所求圆心为（x,y)，有已知可得3)3()0(22+=-+-y y x ，化简并整理的 y x 122=，是一条抛物线，其中顶点为（0，0），焦点为（0，3）例2. 求与圆C ：0422=-+x y x 相切且与y 轴相切的动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：圆C 即4222=+-y x ）（，设动圆的圆心为）（y x P ,（1）若动圆P 与圆C 相外切，则2222+=+-x y x ）（，所以x x y 442+=，即 时，x y 82= (x>0)或02=y （x<0）.（2）若动圆P 与圆C 内切，则0=y （x>0,且2≠x ） 综上 ，所求轨迹方程为x y 82= （x>0)或y=0 ( 2,0≠≠x x 且)点评：本题两圆的位置关系注意不要忘记动圆P 与定圆C 内切的情况 .类型2 动圆与已知定圆相切，求动圆圆心的轨迹方程例3 . 过已知圆C 内一个定点A 作圆'C 与已知圆C 内切，则圆心的轨迹是（ ）A.线段B.圆C.椭圆D.圆或椭圆解析：若点A 为圆C 的圆心，则点'C 的轨迹为圆，若点A 不是圆C 的圆心，由两圆内切可知A C R CC ''-= 即R A C CC =+''（其中R 为圆C 的半径），因此点'C 的轨迹为椭圆.故选D评析：此题学生容易忽略点A 为圆心时的一种情况，从而错选C. 例4.已知一个动圆M 与定圆C ：100422=++y x ）（，且过点A （4，0），求这个动圆圆心M 的轨迹方程. 解：根据已知条件得MA MC -=10,即10=+MA MC ，又8=CA ,由椭圆的定义知，点M 的轨迹为以A,C 为焦点的椭圆，其中a=5, c=4,所以92=b 因此所求轨迹为192522=+y x . 例5.已知定点A （3，0）和定圆C ：16322=++y x ）（，动圆P 和圆C 相切，并过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：设动圆的半径为r,且圆心坐标为）（y x ,, 根据已知条件⎩⎨⎧=+=r PA r PC 4，或⎩⎨⎧=-=rPA r PC 4，即 4±=-PA PC ,有双曲线的定义知动圆圆心P 的轨迹为以），（），，（0303A C -为焦点且实轴长2a=4的双曲线，其方程为15422=-y x . 评析：观察例4及例5不难发现其条件基本相同但结论差异很大，一个是椭圆，另一个是双曲线.其原因在于定点与定圆的的位置关系不同，例4中的点A 在定圆内，而例5中的点A 在定圆外.这类题目还可以这样变化，变式：已知点)0,2(A ，定圆C ：16)2(22=++y x ，动圆P 与圆C 相切且过点A ，求点P 的轨迹方程.其结论应该为y=0 ）且（2,2≠->x x ，此时点A 在定圆上，可见在其他条件不变的情况下影响轨迹类型的主要是点A 与定圆的关系.类型3.动圆与已知两圆相切，求动圆圆心的轨迹方程.例6. 求与圆13:221=++y x C ）（及93:222=+-y x C ）（都外切的动圆圆心C 的轨迹方程. 解析：设动圆C 的半径为r ，根据已知条件知r 11+=CC 及r 32+=CC ，所以212=-CC CC <6,则动点C 的轨迹为双曲线的左支，又a=1,c=3,所以82=b ，因此点C 的轨迹方程为）（01822≤=-x y x . 评析：本例学生以忽略限制条件0≤x 导致出错.若将此题条件圆2C 的方程改为1322=+-y x ）（，其余条件不变，此时动圆圆心的轨迹将变为线段21C C 的垂直平分线.例7.已知一个动圆M 与定圆1004:221=++y x C ）（相内切，与定圆44:222=+-y x C ）（相外切，求这个动圆圆心M 的轨迹方程. 解：设动圆圆心M 的坐标为）（y x ,半径为r,由题意得r 101-=MC ，r 22+=MC 所以1221=+MC MC ,所以点M 的轨迹为以21,C C 为焦点的椭圆，且长轴2a=12,焦距2c=8，即a=6,c=4,所以202=b ，故所求轨迹方程为1203622=+y x . 点评：通过以上两例发现相切关系不一样所得方程类型也不一样.通过以上例题，我们不难发现，这些题目的共同特点都是相切，不管是动圆与直线还是与定圆，条件都相差不多，解题过程也大体相同（结合圆锥曲线的第一定义），但轨迹的类型各不相同，解题时稍不注意就会出错，以上就是本人对这类问题的一点粗浅认识，希望能对大家有所帮助.。
轨迹方程的求法及典型例题含答案
轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有〔1〕直接法；〔2〕定义法；〔3〕待定系数法〔4〕参数法〔5〕交轨法；〔6〕相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.一、知识复习例1：点P〔－3，0〕是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。
例2、如下图，P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，那么在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图, 直线L 1和L 2相交于点M, L 1⊥L 2, 点N ∈L 1. 以A, B 为端点的曲线段C 上的任一点到L 2的距离与到点N 的距离相等. 假设∆AMN 为锐角三角形, |AM|= 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.解法一：如图建立坐标系，以l 1为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴，点O 为坐标原点。
依题意知：曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段，其中A ，B 分别为C 的端点。
椭圆轨迹求法
椭圆轨迹求法一.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，可用定义直接探求.例1：已知两圆C1：，C2：，动圆在圆C1内部且和圆C1 相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程分析：动圆满足的条件为：①与圆C 1相内切；②与圆C 2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式解：设动圆圆心Ｍ（，），半径为，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C 1，∴，圆Ｍ外切于圆C 2 ，∴，∴， ∴ 动圆圆心Ｍ的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且，，故所求轨迹方程为：．例2：在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为257.建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程.解:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系,设 |CA|+|CB|=2a (a >3)为定值,所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆,所以焦距 2c =|AB|=6 因为1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅,所以 2181cos a C -≥,由题意得 25,25718122==-a a此时,|PA|=|PB|,P 点坐标为 P(0,±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x 例3.①已知ABC ∆,A(3,0),B(-3,0),且三边长|AC|、|AB|、|BC|依次成等差数列，求顶点C 的轨迹方程. ②如图,已知圆B ：(x+1)2+y 2=16及点A(1,0),C 为圆B 上任意一点，求线段AC 的垂直平分l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程.③一动圆与圆x 2+y 2+6x+5=0外切，同时与圆x 2+y 2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程. 解①:由题意,||||2||12AC BC AB +==故C 点的轨迹为以A,B 为焦点,长轴长为12cm 的椭圆.222212,26,36927a cb ac ∴==∴=-=-=故所求轨迹方程为221(0)3627x y y +=≠②,||||l AC PC AP = 是的中垂线故||||||4PA PB BC ∴+== 故P 点的轨迹为以A,B 为焦点,长轴长为4cm 的椭圆.224,21,3a cb ∴==∴=故P 点的轨迹方程为22143x y +=③圆A:22(3)4x y ++=,圆B: 22(3)100x y -+=,.设动圆半径为r,则由平面几何得知:||||21012PA PB r r ∴+=++-=故P 点的轨迹为A,B 为焦点,长轴长为12cm 的椭圆.222212,26,36927a cb ac ∴==∴=-=-=故所求轨迹方程为2213627x y += 例4.设j i R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量，,)2(j y x ++=y i x )2(-+=，且8||||=+．求点),(y x M 的轨迹C 的方程；解析：由已知可得()(),2,2-=+=→→y x b y x a ，，又8||||=+→→b a 知，8)2()2(2222=-++++y x y x即点),(y x M 到两定点)2,0(),2,0(21F F -的距离之和为定值8，又8>4所以),(y x M 的轨迹为以)2,0(),2,0(21F F - 为焦点椭圆，故方程为1161222=+y x例 5.一束光线从点1(1,0)F -出发,经直线:230l x y -+=上一点D 反射后,恰好穿过点2(1,0)F ．求以1F 、2F 为焦点且过点D 的椭圆C 的方程;解析：设点1F 关于直线:230l x y -+=的对称点1(,)F m n ',则112123022n m m n ⎧=-⎪⎪+⎨-⎪⋅-+=⎪⎩,解得9525m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴192(,)55F '- ∵11||||PF PF '=,根据椭圆的定义,得2a=12||||PF PF '+=12||F F '=,∴a =1c =,1b ==．∴椭圆C 的方程为2212x y +=．二.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。
探索与两定圆都相切的动圆圆心轨迹
达 。教师作为学生 自 主学 习的促进者 ， 积极观察 、 真引导 ， 要 认
要 善于捕捉 最佳 的契机 ， 画龙点睛 ， 激发并保 持学生 主动探究 的积极性 ， 当好 帮助者 和引导者 。 并 以各种适当 的方式 ， 给学 生
的“ ”让 学生在有深度 和广度 的课 堂上 日渐茁壮 ； 通过 讲 ， 也要
（） ３ 当动圆 ｃ与两个定圆一个 内切一个 外切 时 ，
若 圆 ｃ与 圆 ｃ 外切 、 Ｃ 内切 时 ， 与 ： 设切点分别 为 Ａ、 ， Ｂ 则
ＩＡ ＝ＩＢ ， Ｉ ＣＩ Ｉ ＣＩ ｘ ． Ｃ Ｉ Ｃ Ｉ Ｃ ｌ Ｃ ２ 即 ＞０ 且 ＞ ，
‘ ． ‘
迹合成一条双 曲线 （ 动圆圆心 Ｃ的轨迹也可 以就其 中一个 图形 对两定 圆的半径进行讨论而求得 ） 以， 圆与 两相 交定 圆同 ． 所 动 时相切 时 ， 圆圆心 Ｃ的轨迹 是以定点 Ｃ， 动 １ 为焦点 的双 曲线 Ｃ
自己的“ 不讲 ” 给学生增加 更多 的 自主思 考 、 践和体验 的机 ， 实
会 。所 以， 教师要把 自己解放 出来 ， 把学生们 的思维解放 出来 ，
以心理上的支持和鼓舞 ， 使学生 的思维更 活跃 ， 热情更饱满 。 课
做新 时代 的“ 偷懒” 型教师 。
（ 上接 第 １ ９页） ３
・ ． ‘
Ｉ ＣＩ ＣＣｌ ｘ ． 可求 ， ｃ的轨迹方程是 ： ｃ 。 ２ 即 ＜Ｏ同理 ＜Ｉ ， 点 百 ｘ＿ — ２ ｙ １ （１ ２ ｃｘ Ｏ ； ２ ＝ ｒ ｒ＃２ ，＜ ） ＋ ｒ ｒ ４ ２（ｌ ２２ 一 ｌ２ ＋） ｃ ｒ ｒ） － ＋ … ’ 一 ’
．
．
・ ｏ ｏ
、 研 ／
＋ｌ ／ ｒ ， ＝、 研
求动点轨迹方程的常用方法
参考答案：x2
y2
4(
7 2
x
4)
求动点轨迹方程方法：
１．直接法：是通法，适用性强，但要尽量避免复杂计算．
２．定义法：要准确判断轨迹形状．
３．代入法：要有双动点和已知其一动点轨迹方程．
４．向量法：要能找到垂直或平行的动向量．
５．参数法：已知特殊曲线方程．
相应习题
1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则 P点的轨迹方程是____y_=_0_(_x_≥_1_)___.
弦OA的中点M的轨迹方程.
yA M
O C(1,0)
方法二 定义法(公式法):先判断并证明轨 迹形状,再根据特殊曲线定义写出方程.
由垂径定理可知: CM OA x OMC为直角三角形
直角顶点M的轨迹为以斜边
OC为直径的圆.
圆的圆心为OC的中点(
1 2
,0),
半径
r
1 2
|
OC
|
1 2
2
x0 y0
2x 2y
由于点A在圆C上， 则 (x0 1)2 y02 1
(2x 1)2 (2y)2 1
(x
1 2
)
2
y2
1 4
所求轨迹方程为：(x
-
1 2
)2
y2
1 4
(舍去原点(0,0))
例:已知圆C的方程为: (x -1)2 y2 1,过原点O作任一弦OA,求
x
0 xA 2
y
0 ya 2
1cos 2 sin 2
与两圆都外切的动圆圆心的轨迹
一、引言两圆都外切的动圆圆心的轨迹，是一个经典的几何问题。
从古至今，数学家们对这一问题进行了深入的研究，提出了许多有趣的结论和定理。
本文将对这一问题进行探讨，并提出一些新的见解。
二、问题描述我们来描述一下问题的具体情景。
设有两个半径分别为R1和R2的定圆，它们的圆心分别为O1和O2，且两个圆外切于点A。
现在，我们考虑一个半径为r的动圆，它的圆心为M，并且与定圆O1和O2都外切，即与O1、O2分别有一点B、C相切。
问题的关键是：当动圆的圆心M在什么范围内运动时，它的轨迹是怎样的？三、初步分析为了更好地理解问题，我们可以通过几何分析和代数求解来研究动圆圆心的轨迹。
我们可以利用相似三角形的性质，求得点B、C到定圆O1、O2的距离，进而得到动圆圆心M到定圆O1、O2的距离。
通过一系列代数运算，我们可以得到动圆圆心M的坐标表达式。
四、求解过程接下来，我们将详细阐述求解动圆圆心轨迹的过程。
我们可以构建动圆圆心M在平面直角坐标系下的坐标系，假设动圆圆心M的坐标为（x，y），则有：- 点B到定圆O1的距离d1 = R1 + r- 点C到定圆O2的距离d2 = R2 + r- 动圆圆心M到定圆O1、O2的距离分别为：√((x - x1)^2 + (y - y1)^2) = R1 + r和√((x - x2)^2 + (y - y2)^2) = R2 + r经过一系列的变换和整理，我们可以得到动圆圆心M的坐标表达式，从而求得它的轨迹方程。
通过对轨迹方程的分析，我们可以得出一些定理和结论。
五、轨迹特性在研究过程中，我们发现动圆圆心的轨迹具有一些特殊的性质，这些性质对于几何学和数学理论具有重要的指导意义。
具体来说，动圆圆心的轨迹是一个什么样的曲线？它有怎样的对称性？它与定圆的半径和位置有什么关联？经过深入研究和推导，我们得出了一些有趣的结论。
动圆圆心的轨迹是一个特殊的椭圆曲线，它与定圆的半径和位置密切相关，满足一定的几何关系。
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求动圆圆心的轨迹方程
包头市第一中学---赵胜凡
直线与圆相切，圆与圆相切是圆这一节的重要内容，它主要体现在圆的半径及其圆心距的数量关系上，从而利用这一特点求动圆圆心的轨迹或轨迹方程的问题在高考及资料中经常见到，显然此类问题简洁的解法就是利用圆的几何性质，这类问题一般不难，但比较灵活，学生在解决这类问题时不容易把握，经常出错，本人整理了一些常见类型，试图揭示其本质，使学生把握其规律，掌握这类问题。
类型1 动圆与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程
例1.已知动圆经过点F(0,3)且和直线y+3=0相切，求圆心的轨迹方程.
解析：设所求圆心为（x,y)，有已知可得3)
3()0(22+=-+-y y x ，化简并整理的 y x 122=，是一条抛物线，其中顶点为（0，0），焦点为（0，3）
例2. 求与圆C ：042
2=-+x y x 相切且与y 轴相切的动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：圆C 即422
2=+-y x ）（，设动圆的圆心为）（y x P ,
（1）若动圆P 与圆C 相外切，则2222+=+-x y x ）（，所以x x y 442+=，即 时，x y 82= (x>0)或02=y （x<0）.
（2）若动圆P 与圆C 内切，则0=y （x>0,且2≠x ） 综上 ，所求轨迹方程为x y 82= （x>0)或y=0 ( 2,0≠≠x x 且)
点评：本题两圆的位置关系注意不要忘记动圆P 与定圆C 内切的情况 .
类型2 动圆与已知定圆相切，求动圆圆心的轨迹方程
例3 . 过已知圆C 内一个定点A 作圆'
C 与已知圆C 内切，则圆心的轨迹是（ ）
A.线段
B.圆
C.椭圆
D.圆或椭圆
解析：若点A 为圆C 的圆心，则点'C 的轨迹为圆，若点A 不是圆C 的圆心，由两圆内切可知A C R CC ''-= 即R A C CC =+''（其中R 为圆C 的半径），因此点'C 的轨迹为椭圆.故选D
评析：此题学生容易忽略点A 为圆心时的一种情况，从而错选C. 例4.已知一个动圆M 与定圆C ：10042
2=++y x ）（，且过点A （4，0），求这个动圆
圆心M 的轨迹方程. 解：根据已知条件得MA MC -=10,即10=+MA MC ，又8=CA ,由椭圆的定义知，点M 的轨迹为以A,C 为焦点的椭圆，其中a=5, c=4,所以92=b 因此所求轨迹为
19
252
2=+y x . 例5.已知定点A （3，0）和定圆C ：
1632
2=++y x ）（，动圆P 和圆C 相切，并过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程. 解析：设动圆的半径为r,且圆心坐标为）
（y x ,, 根据已知条件⎩⎨⎧=+=r PA r PC 4，或⎩
⎨⎧=-=r
PA r PC 4，即 4±=-PA PC ,有双曲线的定义知动圆圆心P 的轨迹为以），（），，
（0303A C -为焦点且实轴长2a=4的双曲线，其方程为15
42
2=-y x . 评析：观察例4及例5不难发现其条件基本相同但结论差异很大，一个是椭圆，另一个是双曲线.其原因在于定点与定圆的的位置关系不同，例4中的点A 在定圆内，而例5中的
点A 在定圆外.这类题目还可以这样变化，变式：已知点)0,2(A ，定圆C ：
16)2(2
2=++y x ，动圆P 与圆C 相切且过点A ，求点P 的轨迹方程.其结论应该为y=0 ）且（2,2≠->x x ，此时点A 在定圆上，可见在其他条件不变的情况下影响轨迹类型的主要是点A 与定圆的关系.
类型3.动圆与已知两圆相切，求动圆圆心的轨迹方程.
例6. 求与圆13:221=++y x C ）（
及93:222=+-y x C ）（都外切的动圆圆心C 的轨迹方程. 解析：设动圆C 的半径为r ，根据已知条件知r 11+=CC 及r 32+=CC ，所以212=-CC CC <6,则动点C 的轨迹为双曲线的左支，又a=1,c=3,所以82=b ，因此点C 的轨迹方程为）（0182
2
≤=-x y x . 评析：本例学生以忽略限制条件0≤x 导致出错.若将此题条件圆2C 的方程改为
1322=+-y x ）（，其余条件不变，此时动圆圆心的轨迹将变为线段21C C 的垂直平分线.
例7.已知一个动圆M 与定圆1004:221=++y x C ）（
相内切，与定圆44:2
22=+-y x C ）（相外切，求这个动圆圆心M 的轨迹方程. 解：设动圆圆心M 的坐标为）（y x ,半径为r,由题意得r 101-=MC ，r 22+=MC 所以
1221=+MC MC ,所以点M 的轨迹为以21,C C 为焦点的椭圆，且长轴2a=12,焦距2c=8，
即a=6,c=4,所以202
=b ，故所求轨迹方程为120362
2=+y x . 点评：通过以上两例发现相切关系不一样所得方程类型也不一样.
通过以上例题，我们不难发现，这些题目的共同特点都是相切，不管是动圆与直线还是与定圆，条件都相差不多，解题过程也大体相同（结合圆锥曲线的第一定义），但轨迹的类型各不相同，解题时稍不注意就会出错，以上就是本人对这类问题的一点粗浅认识，希望能对大家有所帮助.。