相似三角形---一线三等角型
相似三角形（3）“一线三等角型”
教学目标：
1、掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决重要类型“一线三等角”的类型题.
2、经历运用相似三角形的基础知识解决问题的过程，再次体验图形运动、分类讨论、方程
与函数等数学思想.
3、通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣.
重点：
相似三角形的判定性质及其应用.
难点：
与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法.
教学方法：
启发式教学方法，尝试指导教学法.
一、知识梳理：
（图1） （图2）
（1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有___
（2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有___
二、【例题解析】
【例1】如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，
AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE=3
1,求CF 的长
【练】1、已知△ABC 中AB=AC=6、BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有
一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C. 已知BD=6、BE=4，求:CF 的长
2、如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60°
（1）求证：△BDE ∽△CFD
（2）当BD =23，FC =1时，求BE
【例2】在ABC ?中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且5
2=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ
【练】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边
上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F.
(1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =
(2)、当m DB
AD =，求DF DE 的值
【例3】已知在等腰三角形ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，∠EDF=∠B,
求证：△BDE ∽△DFE.
【练】在边长为4的等边ABC ?中，D 是BC 的中点，点E 、F 分别在AB 、AC 上（点D 不与点C 、点B 重合），且保持ABC EDF ∠=∠,连接EF .
(1)已知BE=1,DF=2.求DE 的值
(2)求∠BED=∠DEF
【例4】 如图，已知边长为3的等边ABC ?，点F 在边BC 上，1CF =，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ?，直线,EG FG 交直线AC 于点,M N ，
（1）写出图中与BEF ?相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（3）设,BE x MN y ==，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
【练】 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在
AC 边上，且C ADE ∠=∠．
(1) 求证：△ABD ∽△DCE ；
(2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；
(3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由．
【例5】已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．
（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足过点D 作DG ⊥EF 于点G ，∠BPC ＝∠A ． ①求证；△ABP ∽△DPC
②求AP 的长．
【练】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．
（1）求证：△MEF ∽△BEM ；
（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；
（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．
【家庭作业】 1、如图，在ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，4
3=BC AC ，D 是BC 边的中点，E 为AB 边
上的一个动点，作90DEF ∠=?，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED ?的面积为y ．
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ?相似，求BED ?的面积.
2、如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动
点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ．
（1）求证：△DBE ∽△ECF ；
（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；
（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．
3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且BC =6，AB =DC =4，点E 是AB 的中点．
（1）如图，P 为BC 上的一点，且BP =2．求证：△BEP ∽△CPD ；
（2）如果点P 在BC 边上移动（点P 与点B 、C 不重合），且满足∠EPF =∠C ，PF 交直
线CD 于点F ，同时交直线AD 于点M ，那么
①当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP =x ，DF =y ，求y 关于x 的函数解析式，
并写出函数的定义域；
②当BEP DMF S S ??=4
9时，求BP 的长
相似三角形专题——一线三等角
相似三角形专题——“一线三等角”图形中的相似 教学目标：巩固“一线三等角”图形中的相似判定及分类讨论 结合“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置 会根据一线两等角图形添加第三个等角构造相似三角形 教学重难点： 重点是“一线三等角”图形中判定三角形相似及两类三个三角形两两相似的分类讨论，难点在根据“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置，构造相似三角形 教学过程： 一、巩固“一线三等角”图形中相似的判定及分类讨论 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，作∠EDF = ∠B，点 E、F分别落在边AD、AC上，求证：△BED∽△CDF *（A A）突出“一线三等角，外角证相似” 2.思考1：练习中，联结EF 若点D是BC边的中点，求证：△EDF∽△EBD *注重证明过程，注意BD与CD的等量代换及比例的内向交换3.思考2：练习中，联结EF 若 BE = CF，求证：△EDF∽△DBE *通过比例的转化，更应注意可证明EF与BC平行 4.提问：思考3：联结EF B
若△BDE与△EDF相似，应该分析哪些请况 *问题直接总结上述两种相似情况，同时为后面分类讨论问题铺垫 二、分类讨论，结合“一线三等角”图形中相似三角形的特点，确定动点位置 1. 练习： 如图，在△ABC中，AB = AC，点D在BC上，若 BC = 5， 点E、点D是AB、BC上的点，且BE=√(6)，作∠EDF = ∠ 当△DEF与△CDF相似时，求CF与BD的长 2. 如图，在正方形格子中有一个矩形ABCD，在AB上，找出点E，联结DE、CE，使得△DEC 与△DAE及△EBC都相似 *注意 AB中点不正确的说明 3. 思考：如图，在矩形ABCD中，点M在AD上， 将△DMC沿MC翻折，点D恰好落在AB边的E点位置，若△MEC与△AME相似， 求：矩形相邻两边 AD与AB的比 *三个相似三角形带来的特点要注意 B A E
相似三角形之一线三等角型
相似三角形之一线三等角型 一、知识梳理： （图1） （图2） （1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ （2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ 二、习题精选 1.如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作 DEF B ∠=∠， 射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； （3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长. 2.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，P 是BC 上一点，且BP =2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E 。 （1）求证△BPD ∽△CEP （2）是否存在这样的位置，△PDE 为直角三角形？ 若存在，求出BD 的长；若不存在，说明理由。 3.等腰△ABC ，AB =AC =８，∠BAC =120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转． （1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE ～△CFP ； （2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ． C P E A D
①探究１：△BPE与△CFP还相似吗？ ②探究２：连结EF，△BPE与△PFE是否相似？请说明理由； ③设EF=m，△EPF的面积为S，试用m的代数式表示S． B C P B P
一线三等角模型、双垂直模型(自己总结)
如图，AB=12米，CA丄AB于点A , DB丄AB于点B，且AC=4米，点P从B向A运动, 每分钟走1米，点Q从B点向D运动，每分钟走2米，P、Q两点同时出发，运动几分钟后，△ CPA 与厶PQB全等？ D C / / F - f I A p S 如图①所示，在△ ABC中，/ C=90 0，AC=BC，过点C在厶ABC外作直线MN，AM丄M N于点M , BN丄MN于点N . ⑴求证：MN=AM + BN . (2)如图②.若过点C直线MN与线段AB相交，AM丄MN于点M， BN丄MN于N ,(1)中的 结论是否仍然成立？说明理由. 图①图②
如图，已知/ B= / C=90 ° M是BC的中点，DM平分/ ADC. (1) 求证：AM平分/ DAB (2) 试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？ (3) 线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果 如图，△ ABE EDC , E 在BD 上, AB 丄BD ,垂足为 B , △ AEC 是等腰直角三角形吗 ? 为什么?
【练3】正方形ABCD,E是BC上一点，AE — EF,交/ DCH的平分线于点 F ,求证AE=EF 如图所示，在Rt ABC中，.ABC =90 ,点D在边AB上，使，过点D作EF _ AC，分别 交AC于点E，CB的延长线于点F。求证：AB=BF。( 8分) 如图(1)，已知AB 丄BD，ED 丄BD，AB=CD，BC=DE， ⑴试判断AC与CE的位置关系，并说明理由. (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形，其余条件不变，此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请任选一个说明理由.
相似三角形模型讲解-一线三等角问题
第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识 （一）A字型、反A字型（斜A字型） B （平行） B （不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型 B （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景
（五）一线三直角型： （六）双垂型：
二、相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共享性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的变形
第二部分 相似三角形典型例题讲解 母子型相似三角形 例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ． 求证：OE OA OC ?=2 ． 例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ?=2 ； （2）DAC DCE ∠=∠． 例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ． 求证：EG EF BE ?=2 ． 相关练习： 1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2 ． A C D E B
2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。 求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB 3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。 求证：EB·DF=AE· DB 4.在?ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC ⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。 求证：∠=? GBM90 5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分） 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设 A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y． （1）求证：AE=2PE； （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．A B P D E （第25题图） G M F E H D C A
相似三角形的特殊模型_一线三等角
相似三角形的特殊模型 ―――“一线三等角”模型的综合题 （图1） 图形的变式
（1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ； （2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有 ； (3) 如图2，若 AB ＝AC ，∠ B ＝∠EDF , BD=CD, 连接DF ，那么一定存在的相似三角形有 . 二、例题解析 例1.如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE= 3 1 ,求CF 的长. 练习 1.已知△ABC 中AB=AC=6、BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C. 已知BD=6、BE=4 . 求:CF 的长 2.如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60°. （1）求证：△BDE ∽△CFD ； （2）当BD =2 3 ，FC =1时，求BE .
例2.在ABC ?中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且 5 2 =AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ . 练习 在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE =； (2)当 m DB AD =，求DF DE 的值. 例3.已知在等腰三角形ABC 中，AB=AC,D 是BC 的中点，∠EDF=∠B. 求证：△BDE ∽△DFE.
相似三角形一线三等角型
相似三角形（3）“一线三等角型” 教学目标： 1、掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决重要类型“一线三等角”的类型题. 2、经历运用相似三角形的基础知识解决问题的过程，再次体验图形运动、分类讨论、方程 与函数等数学思想. 3、通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣. 重点： 相似三角形的判定性质及其应用. 难点： 与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法. 教学方法： 启发式教学方法，尝试指导教学法. 一、知识梳理： （图1） （图2） （1）如图1：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ （2）如图2：已知三角形ABC 中，AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有___ 二、【例题解析】 【例1】如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有一点E ， AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠ABC. 已知BD=1，BE=3 1,求CF 的长 【练】1、已知△ABC 中AB=AC=6、BC=8，∠BAC=120度，D 是BC 边上任意一点，AB 边上有 一点E ，AC 边上有一点F ，使∠EDF=∠C. 已知BD=6、BE=4，求:CF 的长
2、如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =23，FC =1时，求BE 【例2】在ABC ?中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且5 2=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q ，（不与点B,C 重合），已知AP=2，求CQ 【练】在直角三角形ABC 中，D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点，E 是在AC 边 上的一个动点，（与A,C 不重合），DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F. (1)、当点D 是边AB 的中点时，求证：DF DE = (2)、当m DB AD =，求DF DE 的值
中考复习一线三等角构相似经典题型分类训练
“一线三等角”构相似经典题型分类训练 (时间:90分钟 满分:100分) 班级 姓名 成绩 . 类型一 普通角 1. (2分)如图,AB=5cm, AC=3,BD=2cm,∠CAB=∠DBA=a °,点P 在线段AB 上,AP= 时,∠CPD=a °． 2. (2分)如图,在△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,D 是边BC 上一动点（不与点B,C 重合）,∠ADE=∠B=α,DE 交AC 于点E,给出下列结论：①图中有2对相似三角形；②线段CE 长的最大值为；③当AD=DC 时,BD 的长为439.其中,正确的结论是（ ） A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 3. (8分)如图，在△ABC 中，AB=AC=8，BC=6，点D 为BC 上一点，BD=2．过点D 作射线DE 交AC 于点E ，使∠ADE=∠B ． （1）求证:AD AB ＝DE DC ； （2）求线段EC 的长度． 4. (8分)如图，已知在△ABC 中，AB=AC=6，BC=5，D 是AB 上一点，BD=2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作∠DEF=∠B ，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ； （2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长； 5. (8分)如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在线段BC 上运动（点D 不与B 、C 重合）连结AD ，作∠ADE=∠B ，DE 交线段AC 于E ． 求证: (1)AD 2=AE ·AC (2) AB·EC=BD·CD 6. (8分) 如图①，在△ABC 中，AC=BC ，点D 是线段AB 上一动点,∠EDF 绕点D 旋转，在旋转过程中始终保持∠A=∠EDF ，射线DE 与边AC 交于点M ，射线DE 与边BC 交于点N ，连接MN ．
最新一线三等角型相似初三压轴题
中考热点5——三等角型相似三角形 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角 相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示： 等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。 典型例题 【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE 【思路分析】本题属于典型的三等角型相似，由题意可得∠B =∠C =∠EDF =60° 再用外角可证∠BED =∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似排出相似比便可 求得线段BE 的长度 解：（1）∵△ABC 是等边三角形，∠EDF =60° ∴∠B =∠C =∠EDF =60° ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD （2）∵△BDE ∽△CFD ∴ BE CD BD FC = ∵BD =1，FC =3，CD =5 ∴BE = 3 5 点评：三等角型的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。 【例2】如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，∠EDF =∠B ， 求证：△BDE ∽△DFE 【思路分析】比较例1来说区别仅是点D 成为了BC 的中点，所以△BDE 与 △CFD 相似的结论依然成立，用相似后的对应边成比例，以及BD =CD 的条件 可证得△BDE 和△DFE 相似 解： ∵AB =AC ，∠EDF =∠B ∴∠B =∠C =∠EDF ∵∠EDC =∠EDF +∠FDC =∠B +∠BED ∴∠BED =∠FDC ∴△BDE ∽△CFD ∴ DF DE CD BE =又∵BD =CD ∴DF DE BD BE =即DF BD DE BE = ∵∠EDF =∠B C A D B E F D
相似三角形的基本模型(一线三等角)
模型中的相似三角形（２） 【基本模型】 图3 C B B C C B A A A 1. 如图1，BDE EDF C B ??∠=∠=∠∽CFD ?(一线三等角） 如图2，ABD ADE C B ??∠=∠=∠∽DCE ?(一线三直角) 如图3，特别地,当D 是BC 中点时：BDE ?∽DFE ?∽CFD ??ED 平分 BEF ∠，FD 平分EFC ∠。 2. 一线三等角辅助线添加:一般情况下，已知一条直线上有两个等角(直角)或一个直角 时，可构造“一线三等角”型相似。 【巩固提高】 1. 已知ABC ?中,120,6?=∠==BAC AC AB ，D 是BC 的中点，AB 边上有一点 AC E ,延长线上有一点F ,使.C EDF ∠=∠ 已知4=BE ,则=CF 4 27 提示：,120,6?=∠==BAC AC AB ,D 是BC 的中点 ∴33==CD BD 由BDE ?∽CFD ? ∴ CF DB DC BE =， 4 27 =CF
2. 如图,等边ABC ?中,D 是边BC 上的一点,且3:1:=DC BD ，把ABC ?折叠,使点 A 落在BC 边上的点D 处.那么 AN AM 的值为 75 . A B C 提示：由翻折可得:A MDN DN AN DM AM ∠=∠==,, 设：,3,1==DC BD 则4,4=+=+DN CN DM BM ∵BDM ?∽CND ?, ∴ 7 5 3414=++===??CND BDM C C DN DM AN AM 3. 在矩形ABCD 中，6=AB ,8=AD ，把矩形ABCD 沿直线MN 翻折,点B 落在边 AD 上的E 点处，若AM AE 2=, 那么EN 的长等于 F E 提示：作AD NF ⊥于F ，则6==AB FN ∵MAE ?∽EFN ?, ∴ EF AM FN AE = ∵AM AE 2= ∴53,32 1 ===EN FN EF
一线三等角模型、双垂直模型[自己总结]
如图，AB=12 米，CA⊥AB 于点A，DB⊥ AB 于点B，且AC=4 米，点P 从 B 向 A 运动， 每分钟走1米，点Q从B点向D 运动，每分钟走2米，P、Q两点同时出发，运动几分钟 如图①所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，过点 C 在△ABC 外作直线MN，AM⊥M N 于点M，BN⊥MN 于点N． (1)求证：MN=AM＋BN． (2)如图②.若过点C 直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于N，(1)中的 结论是否仍然成立？说明理由. 图① 图②
如图,已知∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC. 1）求证：AM 平分∠DAB 2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？ 3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果。 如图，△ABE≌△EDC，E 在BD 上，AB⊥BD，垂足为B，△AEC 是等腰直角三角形吗？为什么？
练3】正方形ABCD,E 是BC上一点,AE ⊥EF,交∠DCH 的平分线于点F，求证AE=EF
交AC 于点E，CB 的延长线于点F。求证：AB=BF 。(8 分) 如图(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE， (1)试判断AC与CE的位置关系，并说明理由． (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形，其余条件不变，此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请任选一个说明理由． 如图，在△ABC 中，AB=AC，DE 是过点A 的直线，BD⊥DE 于D，CE⊥DE 于点E；如图所示，在Rt ABC中，ABC = 90，
一线三等角相似模型
一线三等角相似 一．一线三直角 1.如图，住平面直角系中，直线AB ：()4 40y x a a = +≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥ x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC ⊥时 (1)求证：ABO ?∽BCD ?； (2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是13 16 y x b =- +，求tan BAC ∠的值．
2.如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点P ，三角板两直角中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ． （1）判断△EAP 与△PDC 一定相似吗？请证明你的结论； （2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）是否存在这样的点P ，是△EAP 周长等于△PDC 周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由． E P D C B A
3.如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PE⊥BP，P 为垂足，PE交DC于点E， (1)设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围； (2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由. 解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180° ∵∠A=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D 又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90°， 又∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPE， ∴△ABP∽△DPE ∴，即 ∴ (2)欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即，解得 ∵，∵均符合题意，故AP=1或4. 4.（2018上海，23，12分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF ⊥AP，垂足分别是点E、F． （1）求证：EF=AE-BE； （2）联结BF，如果，求证：EF=EP．
一线三等角相似专题复习
张长巧 一线三等角相似专题复习 【“K 型”相似】 1．如图，正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△； （2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位 置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积； 6．如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过 F 点的反比例函数k y x = (k >0)的图像与AC 边交于点E 。 (1)若BF ＝1，求△OEF 的面积； (2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由
第2页 3．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，6AB DC AD ===，60ABC ∠= ，点E F ，分别在线段AD DC ，上（点E 与点A D ，不重合），且120BEF ∠= ，设AE x =，DF y =． （1）求y 与x 的函数解析式； （2）当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？ 4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不能到达点B 、C ），过点D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E 。 （1）求证：△ABD ∽△DCE （2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。 （3）当△ADE 为等腰三角形时，求AE 的长。 B B
一线三等角模型
专题九：“一线三角型”模型的应用1如图，在△ ABC中，AB=AC P、M分别在BC AC边上, 且.APM ，AP=MP，求证：△ APB^A PMC 分析：证明两个三角形全等，找边、角的等量关系，根据已有的知识经验，学生很快能够解决。 2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形，如图， △ ABC为等边三角形，.APM =60 , BP=1,CM =?，求△ ABC的边长 3 AD//BC, AD 二3cm, BC 二7cm, 一B 二 3、如图，等腰梯形ABCD中, 60 ， P为BC上一点(不与B C重合)，连结AP,过P点作PM交DC于M,使得 APM "B。 (1)求证：△ ABP^A PCM (2)求AB的长； (3)在底边BC上是否存在一点P,使得DM:MC=5:3若存在, 求出BP的长；若不存在，请说明理由
4、如图，AB I BD,CD _ BD ，且 AB = 6cm,CD = 4cm, BD = 14cm , 问：在 BD 上是否存在P 点，使以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、DC 为顶点的三角形相似？如果存在，求 BP 的长；如果不存在，请说明理由。 5、已知在梯形 ABCD 中, AD//BC, AD ：： BC ，且 AD=5,AB=DC=2 (1) 如图a ，P 是AD 上的一点，满足.BPC- A ①求证：△ ABP^A DPC ②求AP 的长。 (2) 如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合)，且满 足.BPE W^A ，PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q,那么: ①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP 二x,CQ 二y ，求y 关于x 的函数解析式, 并写出函数自变量的取值范围； ②当CE=1时，求出AP 的长 6、正方形ABCD 边长为4, M N 分别是BC CD 上的两个动点， 当M 点在BC 上运动时，保持AM 和 MN 垂直，如图。 (1) 证明 Rt △ ABMh Rt △ MCN (2) 设BM =x ，梯形ABCN 勺面积为y ,求y 与x 之间的函数 关系 式；当M 点运动到什么位置时，四边形 ABCNS 积最大，并求出 占 ~~
相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答
一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） B （不平行） （二）8字型、反8字型 B C B C （蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型 B （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型： （六）双垂型：
相似三角形判定的变化模型 旋转型：由A 字型旋转得到。 8字型拓展 C B E D A 共 享 性 G A B C E F 一线三等角的变形 一线三直角的
1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OC2=OA?OE．2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α， DE交AC于点E．下列结论： ①AD2=AE?AB；②3.6≤AE＜10；③当AD=2时，△ABD≌△DCE； ④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5． 其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上） 3．已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC． 求证：（1）DB2=DE?DA； （2）∠DCE=∠DAC． 4．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2=EF?EG． 5．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB?FC．
6．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP 的面积为y． （1）求证：AE=2PE； （2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积． 7．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE． 8．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°． （1）图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似； （2）若DB=2，CE=6，求BC的长． 9．（已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证： （1）△ABE∽△DCA；（2）BC2=2BE?CD．
第13讲 “一线三等角型相似”问题
第13讲 “一线三等角相似”问题 二、方法剖析与提炼 例1.如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF ＝60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD ＝1，FC ＝3时，求BE 【解析】主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件得到∠BED=∠FDC 是解题的关键，注意等边三角形性质的应用． 【解答】（1）要证明△BDE 与△CFD 相似，已知条件是∠B ＝∠C ，还缺少一个角或一组对应边成比例； （2）△ABC 是等边三角形，∠EDF ＝60°∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝60°，∠EDC ＝∠EDF ＋∠FDC ＝∠B ＋∠BED ，∠BED ＝∠FDC 。充分利用三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角之和这一性质； （3）根据∠BED ＝∠FDC ，∠B ＝∠C ；容易得出△BDE ∽△CFD ； （4）因为△BDE ∽△CFD ，可以得出 BE CD BD FC BD ＝1，FC ＝3，CD ＝5 所以BE ＝3 5 【说明】（1）本题属于典型的一线三等角相似，由题意可得∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝60°再用外角可证∠BED ＝∠CDF ，可证△BDE 与△CFD 相似，根据相似比便可求得线段BE 的长度 （2）根据一线三等角的相似三角形中的对应边中已知三边可以求第四边。 例2. （2015?泰安）如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B ． （1）求证：AC?CD=CP?BP； （2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC?CD=CP?BP 转化为证明AB?CD=CP?BP 是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C 进而得到△BAP ∽△BCA 是解决第（2）小题的关键． 【解答】（1）根据题意可证得∠B=∠C ，∠BAP=∠DPC ，所以△ABP ∽△PCD 。 由相似三角形的性质可以得出 BP AB CD CP = ,有因为AB=AC ，所以AC ?CD=CP ?BP （2）因为PD ∥AB ，所以∠APD=∠BAP ．又因为∠APD=∠C ，所以∠BAP=∠C ． 根据∠B=∠B ，∠BAP=∠C ，可以得出△BAP ∽△BCA ，所以BA BP BC BA = ,把AB=10，BC=12代入就可以求出BP= 253 【说明】（1）易证∠APD=∠B=∠C ，从而可证到△ABP ∽△PCD ，即可得到=， 即AB?CD=CP?BP，由AB=AC 即可得到AC?CD=CP?BP； （2）由PD ∥AB 可得∠APD=∠BAP ，即可得到∠BAP=∠C ，从而可证到△BAP ∽△BCA ，然后运用相似三角形的性质即可求出BP 的长． 例3.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8，点P 为BC 边上一动点（不与点 B 、 C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使∠APM ＝∠B ； （1）求证：△ABP ∽△PCM ； （2）设BP ＝x ，CM ＝y ．求 y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域． （3）当△APM 为等腰三角形时， 求PB 的长． 【解析】相似三角形的判定及性质定理和等腰三角形的性质，综合运用相似三角形的判定及性质定理解答此题的关键．注重运用分类讨论的思想方法． 【解答】（1）第1小题中，还是有∠APM 等于等腰三角形一个底角（∠B ）这个条件，所以还是符合“一线三等角相似”，所以比较容易证得△ABP ∽△PCM （2）第2小题就是在例2中的已知条件改成未知数x ，y ，把求值改成探究x ，y 的函数关系，提高了思维含量；因为BP ＝x ，CM ＝y ，CP ＝8－x ，根据相似比 MC BP PC AB = ，把值代入比例式就可以得出y x x =-85，x x y 5 8 512+-=)80(< 初中几何模型之“一线三等角模型” 一.【一线三等角概念】 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二.【一线三等角的分类】 2.1 全等篇_同侧 A P A P 锐角直角钝角2.2 全等篇_异侧 P D P P 锐角直角钝角 2.3 相似篇_同侧 D C A B P P 锐角直角钝角2.4 相似篇_异侧 P D P P 锐角直角钝角 三、【性质】 1.相似，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，或者α=α 2=α3易得△AEC∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如下图，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.异侧结果同样。 3.中点型“一线三等角”——相似中多了一位兄弟 如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1902 BOC BAC ∠=?+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”. 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明） 图 3-5 四、【“一线三等角”的应用】 1.应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，构造“一等角”模型解题； c.图形中只有直线上一个角，构造“二等角”模型解题. 相似三角形——“一线三等角型” 一、知识梳理： 一线三等角：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形． （图1）（图2） （1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【例题解析】 【例1】如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°， （1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=5 2 时，求BE. 【变式1】在边长为4的等边ABC ?中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABC EDF∠ = ∠，连接EF. (1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值； (2) 求证：∠BED=∠DEF. 【变式2】在边长为4的等边ABC ?中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值. 【变式3】如图，已知边长为3的等边ABC ?，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点， 以线段EF 为边向右侧作等边EFG ?，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ， （1）写出图中与BEF ?相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似； （3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 【例2】在ABC ?中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且5 2=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ . 【变式1】 如图，在△ABC 中，8==AC AB ，10=BC ，D 是BC 边上的一个动点，点E 在AC 边上，且C ADE ∠=∠． (1) 求证：△ABD ∽△DCE ； (2) 如果x BD =，y AE =，求y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域； (3) 当点D 是BC 的中点时，试说明△ADE 是什么三角形，并说明理由． Q C P 一线三等角在相似中的应用 【摘要】三角形相似在整个初中数学中有着重要的地位，在学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型，对分析问题、解决问题有化繁为简的效果.在近几年的中考题中，经常可以看到“一线三等角”的数学模型，所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等.所以，只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型，也会存在相似三角形，当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了，综合性题目往往就会把相似和全等的转化，作为出题的一种形式，需要大家注意.本文将重点对这一基本图形进行探讨.通过对题目的有效分解，打破同学们对综合题的畏惧心理，让同学们加深对于题目条件的使用：条件用完，即使题目没有求解完毕，也得到相应的分数，提高问题解决的能力，在这个师生共同探讨的过程中鼓励学生尝试解题，并加强题后反思，培养他们解题的能力. 【关键词】基本图形；一线三等角；相似；全等 学习三角形相似形时，我们从复杂图形中分离出基本数学模型，对分析问题、解决问题有化繁为简的效果.在近几年的中考题中，经常可以看到“一线三等角”的数学模型，所谓“一线三等角”是指在一条直线上出现了三个角相等.所以，只要见到一条直线上出现了三个等角，往往都存在这样的模型，也会存在相似三角形，当出现了相等边的条件之后，相似就转化为全等了. 基本图形一：当为直角时 （1）写出点B的坐标； （2）已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点.若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为. 解：（1）B点 （2）分析：此题同上题不同，此题没有明显的一线三等角，故需通过分析构造一个一线三等角.△PCD以CD为直角边，所以只有∠CDP=90°或∠DCP=90°两种情形.当∠CDP=90°时，由于∠COD=90°，所以出现了两个直角，故过点P 作PE⊥y轴交于点E，则出现K型图，则可利用相似，同理，当∠DCP=90°时，辅助线作法同上. 解：设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，可知C（a，0），即OC：OD=1：2，则OD=2a，OC=a，根据勾股定理可得：CD=a. 由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD，一线三等角，可以得到△ABE∽△OED.设OE=a，则由相似边的比例关系可以得到m关于x的表达式 一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型, 上 构成的相似图形，这个角可以是直角, 不同的称呼， “K 形图”， 二?一线三等角的分类 全等篇 指的是有三个等角的顶点在同一条直线 也可 以是锐角或钝角。不同地区对此有 “弦图” 三、“一线三等角” 1. 一般情况下，如图 2?当等角所对的边相等时，则两个三角形全等 易得△ AE3A BDE. .如图 3-1，若 CE=ED 则厶 AE3A BDE. 锐角 同侧 异侧 相似篇 锐角 同侧 异侧 “三垂直”, 等，以下称为“一线三等角”。 的性质 3-1，由/ 1 = / 2=7 3, A V A BOC ff 构造模型解题 在图3-4 造“一线三等角 如图3- 4 如图3-3，当/仁/ 2且 BOC 90 4?“中点型一线三等角“的变式 （了 中点时，△ BD 0A CFS A DFE. 阳3-1 3.中点型“一线三等角” 如图3-2，当/仁/ 2=7 3,且 D 是BC ^3-3 图 3^ “中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 1 90 BAC 这是内心的性质，反之未必是内心 . 2 （右图）中，如果延长 BE 与CF ，交于点P ，则点D 是厶PEF 的旁心 -BAC 时，点0是厶ABC 的内心.可以考虑构 2 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 图3-5 其实这个第4图，延长DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为 是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进 行解题 四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况. a. 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b. 图形中存在“一线二等角”，不上“一等 几何模型：一线三等型模角． 一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类 全等篇 D D C D C C BA BAP P ABP同侧 锐角直角钝角 D D D AP A A B P PB BC C C异侧 相似篇 D D C D C C BA BA P P ABP同侧 钝角直角锐角 D D D AP A B PB APB C C C异侧 三、“一线三等角”的性质BDE. ∽△，易得△AEC一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠31.BDE. AEC≌△当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△2. 3.中点型“一线三等角”中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC ) 了解4.“中点型一线三等角“的变式(1??BOC?BAC90??时，点 O 是△ABC 的内心如图 3-3，当∠1=∠2 且.可以考虑构2造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， 1?BOC?90???BAC这是内心的性质，反之未必是内心. 2 在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明） 图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用． 1.“一线三等角”应用的三种情况. a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题； c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题. 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题. 2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段. 3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似几何模型：一线三等角模型 (最终版)
初三相似三角形之一线三等角专题
一线三等角在相似中的应用
(完整版)几何模型：一线三等角模型
几何模型一线三等角模型知识讲解