2014潍坊二模数学试题(理)

高三数学(理)
2014．04
本试卷共5页，分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟．
第I 卷(选择题 共50分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。

4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效。

一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若复数z 满足()1i z i z +=，则的虚部为 A.2i - B.12- C.2i D.12
2.设集合{}(){}213,lg 1,A x x B x y x A B =-≤==-⋂=则 A.()1,2 B.[]1,2 C.(]1,2 D.[
)1,2 3.下列结论正确的是
A.若向量a//b ，则存在唯一的实数a b λλ=使
B.已知向量,a b 为非零向量，则“,a b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ∙<”
C.“若3π
θ=，则1cos 2θ=”的否命题为“若132πθθ≠≠，则cos ” D.若命题22:,10:,10p x R x x p x R x x ∃∈-+<⌝∀∈-+>，则
4.已知()()()21sin ,42f x x x f x f x π⎛⎫'=
++ ⎪⎝⎭
为的导函数，则()'y f x =图象大致是
5.已知,αβ表示平面，,m n 表示直线，,m βαβ⊥⊥，给出下列四个结论；
①,n n αβ∀⊂⊥；②,n m n β∀⊂⊥；③,//n m n α∀⊂；④,n m n α∃⊂⊥.则上述结论中正确的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4 6.已知函数()2f x x x =+，执行右边的程序框图，若输出的结果是
3132
，则判断框中的条件应是
A.30n ≤
B. 31n ≤
C. 32n ≤
D. 33n ≤ 7.已知双曲线()22
22:10x y C a b a b
-=>0,>的左、右焦点分别是12F F 、，
过2F 垂直x 轴的直线与双曲线C 的两渐近线的交点分别是M 、N ，若1MF ∆N 为正三角形，则该双曲线的离心率为
A.3
B.
C. D.2
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的
表面积为 A.43
π B.
323π C.4π D.16π 9.在区间[]
33-，
上任取两数2,,10x y x y --<使成立的概率为
A.827
B.727
C.16
D.427
10.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 满足()()1,11
f x f x x +=--≤<当时，()3f x x =.函数()1,0,1,0a o
g x x g x x x
⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()()()[)6h x f x g x =--+∞在，上
有6个零点，则实数a 的取值范围是 A.()1077⎛
⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，， B.(]117997⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭
，， C.
(]11199⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭，， D.[)117997
⎛⎤
⋃ ⎥⎝⎦，， 第II 卷（非选择题 共100分）
注意事项：
将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知12,e e 是夹角为60的两个单位向量.若向量1232a e e =+，则a =________。

12.现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3
个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则
不同的涂法种数共有_______.（用数字作答）
13.已知抛物线()2
:20C y px p =>上一点()()2,0P m m >，若P 到焦点F 的距离为4，则以P 为圆心且与抛物线C 的准线相切的圆的标准方程为_______.
14.曲线sin 2222y x x A B ππππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在点，，，处的切线分别为1212,,l l l l ，设及直线220x y -+=围成的区域为D
（包括边界）.设点(),P x y 是区域D 内任意一点，则x+2y 的最大值为________.
15.如右图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45，
与观测站A
距离B 处有一货船正匀速直线行驶，
半小时
后，又测得该货船位于观测站A 东偏北()045θθ<<的C 处，且4cos 5
θ=
.已知A 、C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知函数()()sin 0,04f x A x A πωω⎛⎫=+
>> ⎪⎝⎭的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为3
π. （I ）若26,03
125f πααπ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，求sin α； （II ）将函数()y f x =的图象向右平移
6π个单位得到()y g x =的图象，若函数()11036y g x k π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
在，上有零点，求实数k 的取值范围.
17.（本小题满分12分）
直三棱柱111ABC A B C -中，111,2,AB BC BC BB AC AC ⊥=与交于一点P ，延长1B B 到D ，使得BD=AB ，连接DC ，DA 得到如图所示几何体.
（I ）若AB=1，求证：BP//平面ACD ；
（II ）若直线1CA 与平面11BCC B 所成的角为30，求二
面角1D AC C --的余弦值.
18.（本小题满分12分）
某超市制定“五一”期间促销方案，当天一次性购物消费额满1000元的顾客可参加“摸球抽奖赢代金券”活动，规则如下：
①每位参与抽奖的顾客从一个装有2个红球和4个白球的箱子中逐次随机摸球，一次只摸出一个球；
②若摸出白球，将其放回箱中，并再次摸球；若摸出红球则不放回，工作人员往箱中被放一白球后，再次摸球；
③如果连续两次摸出白球或两个红球全被摸出，则停止摸球.
停止摸球后根据摸出的红球个数领取代金券，代金券数额Y 与摸出的红球个数x 满足如
下关系：14472Y x =+（单位：元）.
（I ）求一位参与抽奖顾客恰好摸球三次即停止摸球的概率； （II ）求随机变量Y 的分布列与期望.
19. （本小题满分12分）
已知等差数列{}135468,42,69n a a a a a a a ++=++=；等比数列{}1,2n b b =，()2123log 6bb b =.
（I ）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；
（II ）设n n n c a b =-，求数列{}
n c 的前n 项和n T .
20.（本小题满分13分） 如图，椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的短轴长为2，点P 为上顶点，圆222
:O x y b +=将椭圆C 的长轴三等分，直线()4:05l y mx m =-
≠与椭圆C 交于A 、B 两点，PA 、PB 与圆O 交于M 、N 两点.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）求证△APB 为直角三角形；
（III ）设直线MN 的斜率为n ，求证：
m n
为定值.
21. （本小题满分14分）
已知函数()()2ln 01x f x a x x a a a =+->≠且. （I ）求函数()f x 的单调区间；
（II ）1a >，证明：当()()()0,x f x f x ∈+∞>-时，； （III ）若对任意()()12121212,,,0x x x x f x f x x a ≠=+<且当时，有x ，求的取值范围.。