第11讲 数列的极限与数学归纳法 教案

第十一讲 数列的极限与数学归纳法 教案【考点简介】1．数列极限与数学归纳法在自主招生中的考点主要有：数列极限的各种求解方法；无穷等比数列各项和；数列的应用题；常用级数；数学归纳法证明等式与不等式。

【知识拓展】1．特殊数列的极限（1）1lim 0(0,a n a a n→∞=>是常数） （2） lim 0(0)!n n a a n →∞=>（3）lim 0k n n n a →∞=（1a ＞，k 为常数） （4） 111lim 1,lim 1nnn n e n n e →∞→∞⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭公式（4）证明：令11nM n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取自然对数得到1ln ln 1M n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1x n =，得ln(1)ln x M x+=， 由洛比达法则得00ln(1)1lim lim()11x x x x x→→+==+，即0limln 1x M →=，所以，limln 1n M →∞=，则lim n M e →∞=，即1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭。

另外，数列11nn ⎧⎫⎪⎪⎛⎫+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是单调递增的，理由如下：由11n n G A ++≤（1n +个正实数的几何平均数≤它们的算术平均数）有11111111111n n n n n n n ⎛⎫++ ⎪++⎝⎭=+⋅<==+⎪⎪+++⎭⎝⎭， 所以111111n n n n +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭。

2．洛比达法则 若lim ()0x f x →∞=（或∞），lim ()0x g x →∞=（或∞），则()'()limlim ()'()x x f x f x g x g x →∞→∞=。

3．夹逼定理如果数列{}n x 、{}n y 以及{}n z 满足下列条件：（1）从某项起，即当0n n ＞（其中0n N ∈），有n n n x y z ≤≤（123n =，，）； （2）lim n n x a →∞=且lim n n z a →∞=；那么数列{}n y 的极限也存在，且lim n n y a →∞=。

4．常用级数的收敛性级数*11()pn p N ∞=∈∑在3p ≥时收敛，即极限存在。

证明：首先证明2p =时级数是发散的，即极限不存在。

2111111111234n n n n∞∞====+++++∑，取2m n =，则 111121=11111121111124488228228+2m mn n m ∞=⎛⎫ ⎪⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎛⎫>+++++++++ ⎝⎪⎭⎝⎭⎭⎪∑个， 当m →∞时，21+2m ⎛⎫→∞ ⎪⎝⎭，所以11n ∞=→∞∑，即级数发散。

再证明3p =时级数是收敛的，即极限存在。

3113n ∞=<∑的证明见第二讲例17。

综上，说明*11()pn p N ∞=∈∑在3p ≥时收敛。

5．第二数学归纳法①先证1,2n =时命题成立；假设,1n k k =+时命题成立，再证明2n k =+时命题也成立 （有时称之为跨度为2的数学归纳法）。

②当1n =时，命题成立；假设对一切小于n 的正整数命题成立，能够推出（证明）n时 命题也成立。

以上两种都是第二数学归纳法。

【典例精讲】 通项法求极限例1．（2000“复旦”）设(1nn xy +=+,nn x y 为整数，求n →∞时，nnx y 的极限。

►分析与解答：由二项式定理可知，((((((11112111n nnn n nn nn n x x y x y y ⎧⎡⎤⎧=+=+⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⇒⎨⎨⎤⎪⎪=-=--⎩⎥⎪⎦⎩((()()111lim111nn nnn n nnnxy→∞→∞→∞+++⎝⎭===⎛⎫+--无穷等比数列各项和的应用例2．设{}n a为等差数列，{}n b为等比数列，222112233b a b a b a===、、且12lim(+++)nnb b b→∞=，试求{}n a的首项与公差．►分析与解答：设所求公差为d，由{}n b为等比数列，224111(2)()a a d a d+=+，化简得：2211240a a d d++=，解得：12da=-±若12da=-，则)222211110a dqa a⎛⎫⎛⎫==+=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（舍），若12da=-+)222211111a dqa a⎛⎫⎛⎫==+=<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

从而()22112111)21aa=⇒==-，所以11,(22a d a==-=。

►注：本题涉及到的知识主要是等差数列、等比数列、无穷递缩等比数列所有项的和等知识，用到方程的思想和方法，且在解题过程中要根据题意及时取舍，特别注意无穷等比数列所有项和存在的条件。

例3．（2001“复旦”）设数列{}nb满足11,0(2,3)nb b n=>=，其前n项乘积1()n nn nT a b-=，其中a是大于1的常数（1,2,n =）。

（1）求证：{}nb是等比数列；（2）求{}nb中所有不同两项的乘积之和。

►分析与解答：（1）由1()n nn nT a b-=，知2111()(2)n nn nT a b n----=≥，故12(1)211111()()n n n nn n nn n n nn n nT a b a bbT a b b--------⋅===12(1)21111n n n n n n b b b a b a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即{}n b 是等比数列，且公比为21a。

（2）由（1）知，122(1)111n n n b a a --⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭。

{}n b 中所有不同两项的乘积之和为i j i jb b ≠∑。

注意到()()2212i j i i i jb b b b ≠=-∑∑∑，而22411,1111i i b b a a ==--∑∑，所以()()24222241111121111i j i j a b b a a a a ≠⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥=-= ⎪⎢⎥-+ ⎪--⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑。

数列递推解应用题 例4．（2005“上海交大”）已知月利率为r ，采用等额还款方式，若本金为a 元， 试推导每月等额还款金额x 关于r 的函数关系（贷款时间为n 个月）。

►分析与解答：解法一：设想有两家银行，月利率完全一样，均为r ，现从甲银行借款a 元，n 月还清， 从乙银行存款，每月存款x 元，n 月后连本带利，应从银行取出21(1)(1)(1)n x x r x r x r -+++++++；另一方面，从甲银行借款a 元，n 月后连本带利共付(1)n a r +。

故21(1)(1)(1)(1)(1)(1)1nn nn ar r x x r x r x r a r x r -++++++++=+⇒=+-。

解法二：设第(1,2,,)i i n =个月末还款x 元后欠银行金额为i a 元，则1(1)i i a a r x -=+-，显然0n a =。

由于221(1)[(1)](1)(1)(1)a a r x a r x r x a r x r x =+-=+-+-=+-+-，3232(1)(1)(1)(1)a a r x a r x r x r x =+-=+-+-+-，12(1)(1)(1)(1)n n n n a a r x r x r x r x --=+-+-+--+-，故1(1)(1)(1)n n a r x x r x r -+=+++++。

由等比数列求和公式易得(1)(1)1nn ar r x r +=+-。

例5．（2009“南大”）N 个圆至多将平面分成多少个部分？N 个球至多将空间分成多少个 部分？►分析与解答：设n 个两两相交的圆12,,n C C C 把平面分成了1()f n 个部分，第1n +个圆1n C +与所有的圆12,,n C C C 两两相交，共有n 对交点。

这n 对交点把圆1n C +分成2n 个部分，所以圆1n C +又从原来的n 个圆所分的平面数1()f n 中截分了2n 个部分，即11(1)()2f n f n n +=+。

又1(1)2f =，从而可得21()2f n n n =-+。

再设n 个两两相交的球分空间为2()f n 个部分，第1n +个球的球面被原来的n 个球分成的部分数等价于n 个圆（两两相交）所分的平面数，即22n n -+。

故222(1)()2f n f n n n +=+-+，且2(1)2f =，解得22(38)()3n n n f n -+=。

►注：n 条直线至多把平面分成222n n ++个部分；n 个平面至多把空间分成31(56)6n n ++个部分。

常用级数的应用例6．（2000“上海交大”）如图所示，设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角 三角形11OB A ，122,A B A 直角顶点在曲线1y x=上。

试求n A 的坐标表达式，并说明这些 三角形的面积之和是否存在。

►分析与解答：设(,0)n n A a ，根据等腰直角三角形的性质得11(,)22n n n n n a a a a B --+-， 代入1y x=得，2214n n A A -=+。

又12A =，故221(1)44n A A n n =+-⋅=，即2n A n =。

第n 个三角形面积221()(1)4n n n A A S n n --==--= 221412n n n n >= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，而111123n++++不存在极限， 故111142n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭也不存在极限，1ni i S =∑不存在极限。

放缩法求级数范围例7．(2004“全国理工卷”) 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)n n n S a =+-，1n ≥.（1）写出求数列{}n a 的前3项123a a a 、、； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对任意的整数4m >，有4511178m a a a +++<。

►分析与解答：对于不等式证明考虑用放缩法,若单项放缩难以达到目的,可以尝试多项组合的放缩。

（1）当1n =时,有：11112(1)1S a a a ==+-⇒=；当2n =时,有：2212222(1)0S a a a a =+=+-⇒=； 当3n =时,有：33123232(1)2S a a a a a =++=+-⇒=； 综上可知123102a a a ===、、。

（2）由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----，化简得：1122(1)n n n a a --=+-，上式可化为：1122(1)2(1)33n n n n a a --⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦。