递归栈的应用
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注：累计递归调用次数：2*Fib(n+1)-1。
（3）有的数据结构如二叉树、广义表、图等（如 树的遍历、图的搜索）定义。
例２、问题的解法是递归的： 利用递归思想来求解某类问题（本身没有
明显的递归结构，但操作方法可以用递归很好 的描述）使其更为简单。 如：汉诺塔问题、背包问题、八皇后问题等。
经典问题——汉诺塔问题
3.3递归
(栈的应用)
１. 递归的定义 ２. 基本思想 ３. 递归要素 ３. 递归应用举例
阶乘函数 汉诺塔问题
３.３ 递归
1、递归（recursion）的定义
递归：子程序（或函数）直接调用自己或通过一系列 调用语句间接调用自己，是一种描述问题和解决问题 的基本方法。
。
递归按其调用方式可分为直接递归和间接递归：
0
n=0
Fib(n)= 1
n=1
Fib(n-1)+Fib(n-2) n>1
0 1 1 2 3 5 8 13 ……
递归算法 long unsigned Fib(int n) {
if (n==0||n==1) return n;//递归出口 else return Fib(n-1)+Fib(n-2);//递归调用 }
如：求解阶乘 n! ，递归工作仅需保留４个参数： 函数名fact，参数n，局部变量x（存放fact(n-1)的值 ）和y（存放n*fact(n-1)的值）。 参见P103.
６、消除递归（ P103 ） 原因：递归算法时间效率较差。 （１）尾递归和单向递归算法，用带循环结构 的算法来代替。
（２）用自定义栈来模拟系统运行时的栈，保 存相关信息，用非递归算法来模拟递归算法。
3 、递归的要素
⑴ 递归边界条件：确定递归到何时终止， 也称为递归出口； ⑵ 递归模式：大问题是如何分解为小问题 的，也称为递归体。
４、递归应用举例
例1、定义是递归的： （１）阶乘函数
n!=
1
n * ( n - 1 )!
当 n＝0 时 当 n≥1 时
递归算法 long unsigned fact (int n){
if(n==0) return 1; else return n*fact (n-1); }
求解阶乘 n! 的过程
计算 fact(4)
递
计算 4*fact(3)
归 调
计算 3*fact(2)
用
计算 2*fact(1)
计算 fact(1)
返回 24
返回 6
回 归
返回 2
求 值
返回1
（2）Fibonacci数列
在世界刚被创建的时候有一座钻石宝塔（塔 A），其上有64个金碟。所有碟子按从大到小的 次序从塔底堆放至塔顶。紧挨着这座塔有另外 两个钻石宝塔（塔B和塔C）。从世界创始之日 起，婆罗门的牧师们就一直在试图把塔A上的碟 子移动到塔C上去，其间借助于塔B的帮助。每 次只能移动一个碟子，任何时候都不能把一个 碟子放在比它小的碟子上面。当牧师们完成任 务时，世界末日也就到了。
1、直接递归:自己调用自己。如：
void f(n)
{……
f(n/2);
Biblioteka Baidu……
}
2、间接递归：P调用D，D调用P；
如：
void P(int n) void D(int n)
{ ……
{ ……
D(n/3);
P(n/2);
……
……
}
}
2、 递归的基本思想
问题分解：把一个不能或不好解决的大问题 转化为一个或几个小问题，再把这些小问题 进一步分解成更小的小问题，直至每个小问 题都可以直接解决。
递归过程在实现时，需要自己调用自己。 层层向下递归，返回次序正好相反：
递归调用
n! (n-1)! (n-2)!
1!=1
返回次序
递归函数的内部执行过程
每一次递归调用时，需要为过程中使用的 参数、局部变量等另外分配存储空间。
每层递归调用需分配的空间形成递归工作 记录，按后进先出的栈组织。
活动 记录 框架
Hanio(1,A,B,C) Move (A,C)
５、递归过程与递归工作栈 非递归函数的调用，在函数调用前要保存以下 三方面的信息： （１）返回地址 （２）本函数调用时，与形参结合的实参值， 包括函数名和函数参数。 （３）本函数的局部变量值。 递归函数调用也须保存这些信息，使用“递归 工作栈”来处理。 活动记录：栈顶的工作记录必定是当前正在执 行的工作记录．
实例分析： （１）尾递归：递归调用语句只有一个，且处 于函数的最后。（可不用栈来存取相关信息）
如阶乘求解的非递归算法： long unsigned fact(int n){ long unsigned int f=1; for(int i=1;i<=n;i++) f=f*i; return f; }
Hanio(1,C,A,B)
Hanio(1,A,B,C) Move (A,C)
Hanio(1,C,A,B) Move (C,B)
Move (A,C) Hanio(2,B,A,C)
结束
Hanio(2,B,A,C)
Hanio(1,B,C,A) Move (B,C)
Hanio(1,A,B,C)
Hanio(1,B,C,A) Move (B,A)
局部变量 返回地址 值参
递归 工作记录
⑴ 运行开始时，首先为递归调用建立一个工作栈，其 结构包括值参、局部变量和返回地址；
⑵ 每次执行递归调用之前，把递归函数的值参和局部 变量的当前值以及调用后的返回地址压栈；
⑶ 每次递归调用结束后，将栈顶元素出栈，使相应的 值参和局部变量恢复为调用前的值，然后转向返回地 址指定的位置继续执行。
if (n==1) Move(A, C); else {
Hanoi(n-1, A, C, B); Move(A, C); Hanoi(n-1, B, A, C); } }
汉诺塔递归调用过程： Hanio(2,A,C,B)
Hanio(3,A,B,C) Hanio(2,A,C,B)
Hanio(1,A,B,C) Move (A,B)
汉诺塔问题的递归求解方法:
如果 n = 1，则将这一个盘子直接从 塔A移到 塔 C 上。否则，执行以下三步： ⑴ 将塔A上的n-1个碟子借助塔C先移到塔B上；
⑵ 把塔A上剩下的一个碟子移到塔C上； ⑶ 将n-1个碟子从塔B借助于塔A移到塔C上。
算法实现： void Hanoi(int n, char A, char B, char C) {
（3）有的数据结构如二叉树、广义表、图等（如 树的遍历、图的搜索）定义。
例２、问题的解法是递归的： 利用递归思想来求解某类问题（本身没有
明显的递归结构，但操作方法可以用递归很好 的描述）使其更为简单。 如：汉诺塔问题、背包问题、八皇后问题等。
经典问题——汉诺塔问题
3.3递归
(栈的应用)
１. 递归的定义 ２. 基本思想 ３. 递归要素 ３. 递归应用举例
阶乘函数 汉诺塔问题
３.３ 递归
1、递归（recursion）的定义
递归：子程序（或函数）直接调用自己或通过一系列 调用语句间接调用自己，是一种描述问题和解决问题 的基本方法。
。
递归按其调用方式可分为直接递归和间接递归：
0
n=0
Fib(n)= 1
n=1
Fib(n-1)+Fib(n-2) n>1
0 1 1 2 3 5 8 13 ……
递归算法 long unsigned Fib(int n) {
if (n==0||n==1) return n;//递归出口 else return Fib(n-1)+Fib(n-2);//递归调用 }
如：求解阶乘 n! ，递归工作仅需保留４个参数： 函数名fact，参数n，局部变量x（存放fact(n-1)的值 ）和y（存放n*fact(n-1)的值）。 参见P103.
６、消除递归（ P103 ） 原因：递归算法时间效率较差。 （１）尾递归和单向递归算法，用带循环结构 的算法来代替。
（２）用自定义栈来模拟系统运行时的栈，保 存相关信息，用非递归算法来模拟递归算法。
3 、递归的要素
⑴ 递归边界条件：确定递归到何时终止， 也称为递归出口； ⑵ 递归模式：大问题是如何分解为小问题 的，也称为递归体。
４、递归应用举例
例1、定义是递归的： （１）阶乘函数
n!=
1
n * ( n - 1 )!
当 n＝0 时 当 n≥1 时
递归算法 long unsigned fact (int n){
if(n==0) return 1; else return n*fact (n-1); }
求解阶乘 n! 的过程
计算 fact(4)
递
计算 4*fact(3)
归 调
计算 3*fact(2)
用
计算 2*fact(1)
计算 fact(1)
返回 24
返回 6
回 归
返回 2
求 值
返回1
（2）Fibonacci数列
在世界刚被创建的时候有一座钻石宝塔（塔 A），其上有64个金碟。所有碟子按从大到小的 次序从塔底堆放至塔顶。紧挨着这座塔有另外 两个钻石宝塔（塔B和塔C）。从世界创始之日 起，婆罗门的牧师们就一直在试图把塔A上的碟 子移动到塔C上去，其间借助于塔B的帮助。每 次只能移动一个碟子，任何时候都不能把一个 碟子放在比它小的碟子上面。当牧师们完成任 务时，世界末日也就到了。
1、直接递归:自己调用自己。如：
void f(n)
{……
f(n/2);
Biblioteka Baidu……
}
2、间接递归：P调用D，D调用P；
如：
void P(int n) void D(int n)
{ ……
{ ……
D(n/3);
P(n/2);
……
……
}
}
2、 递归的基本思想
问题分解：把一个不能或不好解决的大问题 转化为一个或几个小问题，再把这些小问题 进一步分解成更小的小问题，直至每个小问 题都可以直接解决。
递归过程在实现时，需要自己调用自己。 层层向下递归，返回次序正好相反：
递归调用
n! (n-1)! (n-2)!
1!=1
返回次序
递归函数的内部执行过程
每一次递归调用时，需要为过程中使用的 参数、局部变量等另外分配存储空间。
每层递归调用需分配的空间形成递归工作 记录，按后进先出的栈组织。
活动 记录 框架
Hanio(1,A,B,C) Move (A,C)
５、递归过程与递归工作栈 非递归函数的调用，在函数调用前要保存以下 三方面的信息： （１）返回地址 （２）本函数调用时，与形参结合的实参值， 包括函数名和函数参数。 （３）本函数的局部变量值。 递归函数调用也须保存这些信息，使用“递归 工作栈”来处理。 活动记录：栈顶的工作记录必定是当前正在执 行的工作记录．
实例分析： （１）尾递归：递归调用语句只有一个，且处 于函数的最后。（可不用栈来存取相关信息）
如阶乘求解的非递归算法： long unsigned fact(int n){ long unsigned int f=1; for(int i=1;i<=n;i++) f=f*i; return f; }
Hanio(1,C,A,B)
Hanio(1,A,B,C) Move (A,C)
Hanio(1,C,A,B) Move (C,B)
Move (A,C) Hanio(2,B,A,C)
结束
Hanio(2,B,A,C)
Hanio(1,B,C,A) Move (B,C)
Hanio(1,A,B,C)
Hanio(1,B,C,A) Move (B,A)
局部变量 返回地址 值参
递归 工作记录
⑴ 运行开始时，首先为递归调用建立一个工作栈，其 结构包括值参、局部变量和返回地址；
⑵ 每次执行递归调用之前，把递归函数的值参和局部 变量的当前值以及调用后的返回地址压栈；
⑶ 每次递归调用结束后，将栈顶元素出栈，使相应的 值参和局部变量恢复为调用前的值，然后转向返回地 址指定的位置继续执行。
if (n==1) Move(A, C); else {
Hanoi(n-1, A, C, B); Move(A, C); Hanoi(n-1, B, A, C); } }
汉诺塔递归调用过程： Hanio(2,A,C,B)
Hanio(3,A,B,C) Hanio(2,A,C,B)
Hanio(1,A,B,C) Move (A,B)
汉诺塔问题的递归求解方法:
如果 n = 1，则将这一个盘子直接从 塔A移到 塔 C 上。否则，执行以下三步： ⑴ 将塔A上的n-1个碟子借助塔C先移到塔B上；
⑵ 把塔A上剩下的一个碟子移到塔C上； ⑶ 将n-1个碟子从塔B借助于塔A移到塔C上。
算法实现： void Hanoi(int n, char A, char B, char C) {