栈与递归的关系
必备算法:递归!无论你是前端开发,还是后端开发,都需要掌握它!
必备算法:递归!⽆论你是前端开发,还是后端开发,都需要掌握它!递归是⼀种⾮常重要的算法思想,⽆论你是前端开发,还是后端开发,都需要掌握它。
在⽇常⼯作中,统计⽂件夹⼤⼩,解析xml⽂件等等,都需要⽤到递归算法。
它太基础太重要了,这也是为什么⾯试的时候,⾯试官经常让我们⼿写递归算法。
本⽂呢,将跟⼤家⼀起深⼊挖掘⼀下递归算法~什么是递归?递归,在计算机科学中是指⼀种通过重复将问题分解为同类的⼦问题⽽解决问题的⽅法。
简单来说,递归表现为函数调⽤函数本⾝。
在知乎看到⼀个⽐喻递归的例⼦,个⼈觉得⾮常形象,⼤家看⼀下:❝递归最恰当的⽐喻,就是查词典。
我们使⽤的词典,本⾝就是递归,为了解释⼀个词,需要使⽤更多的词。
当你查⼀个词,发现这个词的解释中某个词仍然不懂,于是你开始查这第⼆个词,可惜,第⼆个词⾥仍然有不懂的词,于是查第三个词,这样查下去,直到有⼀个词的解释是你完全能看懂的,那么递归⾛到了尽头,然后你开始后退,逐个明⽩之前查过的每⼀个词,最终,你明⽩了最开始那个词的意思。
❞来试试⽔,看⼀个递归的代码例⼦吧,如下:递归的特点实际上,递归有两个显著的特征,终⽌条件和⾃⾝调⽤:✿⾃⾝调⽤:原问题可以分解为⼦问题,⼦问题和原问题的求解⽅法是⼀致的,即都是调⽤⾃⾝的同⼀个函数。
✿终⽌条件:递归必须有⼀个终⽌的条件,即不能⽆限循环地调⽤本⾝。
结合以上demo代码例⼦,看下递归的特点:递归与栈的关系其实,递归的过程,可以理解为出⼊栈的过程的,这个⽐喻呢,只是为了⽅便读者朋友更好理解递归哈。
以上代码例⼦计算sum(n=3)的出⼊栈图如下:为了更容易理解⼀些,我们来看⼀下函数sum(n=5)的递归执⾏过程,如下:✿计算sum(5)时,先sum(5)⼊栈,然后原问题sum(5)拆分为⼦问题sum(4),再⼊栈,直到终⽌条件sum(n=1)=1,就开始出栈。
✿ sum(1)出栈后,sum(2)开始出栈,接着sum(3)。
✿最后呢,sum(1)就是后进先出,sum(5)是先进后出,因此递归过程可以理解为栈出⼊过程啦~递归的经典应⽤场景哪些问题我们可以考虑使⽤递归来解决呢?即递归的应⽤场景⼀般有哪些呢?✿阶乘问题✿⼆叉树深度✿汉诺塔问题✿斐波那契数列✿快速排序、归并排序(分治算法体现递归)✿遍历⽂件,解析xml⽂件递归解题思路解决递归问题⼀般就三步曲,分别是:✿第⼀步,定义函数功能✿第⼆步,寻找递归终⽌条件✿第⼆步,递推函数的等价关系式这个递归解题三板斧理解起来有点抽象,我们拿阶乘递归例⼦来喵喵吧~1、定义函数功能定义函数功能,就是说,你这个函数是⼲嘛的,做什么事情,换句话说,你要知道递归原问题是什么呀?⽐如你需要解决阶乘问题,定义的函数功能就是n的阶乘,如下:2、寻找递归终⽌条件递归的⼀个典型特征就是必须有⼀个终⽌的条件,即不能⽆限循环地调⽤本⾝。
栈在递归中的作用
栈在递归中的作用栈是一种具有特殊性质的线性数据结构,在其中元素的插入和删除操作只能在栈的顶部进行。
栈的特点是元素按照后进先出的顺序进行处理,即最后插入到栈中的元素最先被访问到。
递归是一种程序设计技巧,通过一个函数在其定义中调用自身来解决问题。
递归函数在解决问题时以一种分而治之的办法,将原始问题划分为较小的子问题,并通过解决子问题来解决原始问题。
那么,栈在递归中起到了什么作用呢?一、存储临时变量:递归函数在每一次调用自身时都会入栈,该栈用来保存每个递归调用时的临时变量。
在递归函数内部定义的变量会保存在栈中,每次函数调用时,这些局部变量都会被压入栈中。
当函数的递归调用完成后,栈中保存的该函数的局部变量会被弹出,以便为下一个递归调用或其他操作提供内存空间。
这样,栈起到了一个保存临时变量的作用。
二、存储函数调用的返回地址:在递归调用时,每次调用后都需要返回到上一层调用处。
栈的另一个作用是存储函数调用的返回地址。
当一个函数调用了自身,并进行了递归调用时,当前函数的上下文信息(包括函数指针、参数和局部变量等)都会被保存在栈中,然后在递归调用完成后,栈中保存的上下文信息将被弹出,返回到上一层函数的下一条执行指令的位置,继续执行下去。
三、维护递归层次关系:递归调用时,每次调用自身都需要将当前的状态保存在栈中,这样可以保留每一次递归调用的上下文信息。
栈的深度也反映了递归的层次关系。
当递归调用层数很大时,栈的深度也会相应增加。
四、确保函数调用的正确性:栈在递归中还发挥了确保函数调用的正确性的作用。
每一次递归调用都会将当前的状态保存在栈中,包括参数、局部变量、返回地址等信息。
这样,即使在递归调用过程中发生了其他函数的调用,当递归调用完成后,栈中保存的状态信息都能够正确恢复,确保程序的正确执行。
总结来说,栈在递归中起到了存储临时变量、存储函数调用的返回地址、维护递归层次关系以及确保函数调用的正确性等作用。
栈的使用使递归函数能够按照正确的顺序进行递归调用,并在递归调用完成后正确返回上一层函数的下一条执行指令的位置。
数据结构1-3章习题答案2013
while(p->next!=NULL)
p=p->next;
temp=p->data;
delete p;
return temp;
}
4、数据结构简单地说是指数据以及相互之间的联系。
5、算法应具备以下5个特性:有穷性、正确性、可行性、输入和输出。
6、在分析各种算法的时间复杂度时,一般只讨论相应的数量级,用f(素的个数远远少于零元素的个数。
8、的运算规则为后进先出,队列的运算规则为先进先出。
C.(rear+1) %n= =frontD. (rear-1)%n= = front
5、下列是顺序存储线性表排序的算法
void Sort(List& L)
{
int i,j;
ElemType x;
for(i=1;i<L.size;i++)
{
x=L.list[i];
for(j=i-1;j>=0;j--)
}
不考虑健壮性条件,写出下列出队算法中缺失的语句:
ElemType OutQueue(struct QueueSq* Q)
{…
Q->front=(Q->front+1)%Q->MaxSize;
return Q->queue[Q->front];
…
}
参考以上两算法和数据结构,写出队满的条件:
(Q->rear+1)%Q->MaxSize==Q->front
和队空的条件:
Q->front==Q->rear
六、用f(n)=2n为例,说明栈与递归算法之间的关系。
数据结构之递归
数据结构之递归Ⅲ递归的三⼤要素// 算 n 的阶乘(假设n不为0)int f(int n){if(n <= 2){return n;}}第三要素:找出函数的等价关系式第三要素就是,我们要不断缩⼩参数的范围,缩⼩之后,我们可以通过⼀些辅助的变量或者操作,使原函数的结果不变。
例如,f(n) 这个范围⽐较⼤,我们可以让 f(n) = n * f(n-1)。
这样,范围就由 n 变成了 n-1 了,范围变⼩了,并且为了原函数f(n) 不变,我们需要让 f(n-1) 乘以 n。
说⽩了,就是要找到原函数的⼀个等价关系式,f(n) 的等价关系式为 n * f(n-1),即f(n) = n * f(n-1)。
这个等价关系式的寻找,可以说是最难的⼀步了,如果你不⼤懂也没关系,因为你不是天才,你还需要多接触⼏道题,我会在接下来的⽂章中,找 10 道递归题,让你慢慢熟悉起来。
找出了这个等价,继续完善我们的代码,我们把这个等价式写进函数⾥。
如下:// 算 n 的阶乘(假设n不为0)int f(int n){if(n <= 2){return n;}// 把 f(n) 的等价操作写进去return f(n-1) * n;}⾄此,递归三要素已经都写进代码⾥了,所以这个 f(n) 功能的内部代码我们已经写好了。
这就是递归最重要的三要素,每次做递归的时候,你就强迫⾃⼰试着去寻找这三个要素。
还是不懂?没关系,我再按照这个模式讲⼀些题。
有些有点⼩基础的可能觉得我写的太简单了,没耐⼼看?少侠,请继续看,我下⾯还会讲如何优化递归。
当然,⼤佬请随意,可以直接拉动最下⾯留⾔给我⼀些建议,万分感谢!Ⅲ案例1:斐波那契数列斐波那契数列的是这样⼀个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34....,即第⼀项 f(1) = 1,第⼆项 f(2) = 1.....,第 n 项⽬为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
求第 n 项的值是多少。
数据结构第3章栈
13
(4)取栈顶元素操作
Elemtype gettop(sqstack *s) { /*若栈s不为空,则返回栈顶元素*/ If(s->top<0) return NULL; /*栈空*/ return (s->stack[s->top]); }
。
29
算术表达式求值
在计算机中,任何一个表达式都是由: 操作数(operand)、运算符(operator)和 界限符(delimiter)组成的。 其中操作数可以是常数,也可以是变量或常量的 标识符;运算符可以是算术运算体符、关系运算符和 逻辑符;界限符为左右括号和标识表达式结束的结束 符。
30
6
存储结构
栈是一种特殊的线性表,有两种存储方式: 顺序存储结构存储
链式存储结构存储。
7
顺序栈的数组表示
与第二章讨论的一般的顺序存储结构的线性表 一样,利用一组地址连续的存储单元依次存放自 栈底到栈顶的数据元素,这种形式的栈也称为顺 序栈。 使用一维数组来作为栈的顺序存储空间。 设指针top指向栈顶元素的当前位置,以数组 小下标的一端作为栈底。 top=0时为空栈,元素进栈时指针top不断地 加1,当top等于数组的最大下标值时则栈满。
5)假如读出的运算符的优先级不大于运算符栈栈顶运算符
的优先级,则从操作数栈连续退出两个操作数,从运算符栈中 退出一个运算符,然后作相应的运算,并将运算结果压入操作 数栈。此时读出的运算符下次重新考虑(即不读入下一个符号 )。
后缀表达形式
后缀表达形式后缀表达式(Reverse Polish Notation,简称RPN)是一种数学表达式的书写方式,与传统的中缀表达式相比具有简洁、易于计算的特点。
本文将介绍后缀表达式的定义、转换方法以及其在计算机科学和数学领域的应用。
一、后缀表达式的定义和特点后缀表达式是一种运算符位于操作数之后的数学表达式。
它的主要特点是省略了括号,并且操作符的优先级通过操作符本身的位置来确定。
例如,中缀表达式“3+4*5”可以转换为后缀表达式“345*+”。
后缀表达式的优势在于它避免了使用括号来标识运算符的优先级,使得表达式的计算更加简洁明了。
同时,后缀表达式的计算过程也更加直观,只需要从左到右依次处理每个操作数和操作符即可。
二、中缀表达式转换为后缀表达式的方法将中缀表达式转换为后缀表达式的方法主要有两种:栈的应用和递归的应用。
1. 栈的应用:通过使用一个运算符栈来实现转换。
遍历中缀表达式中的每个元素,按照以下规则进行处理:- 如果是操作数,则输出到后缀表达式中;- 如果是左括号,则将其压入运算符栈中;- 如果是右括号,则将运算符栈中的运算符依次弹出并输出,直到遇到左括号;- 如果是运算符,则将其与运算符栈栈顶的运算符进行比较:- 如果运算符栈为空或栈顶为左括号,则将当前运算符压入运算符栈中;- 如果当前运算符的优先级大于栈顶运算符的优先级,则将当前运算符压入运算符栈中;- 否则,将运算符栈栈顶的运算符弹出并输出,然后继续比较当前运算符与新的栈顶运算符的优先级。
2. 递归的应用:通过递归地处理中缀表达式的每个元素来实现转换。
遍历中缀表达式中的每个元素,按照以下规则进行处理:- 如果是操作数,则输出到后缀表达式中;- 如果是运算符,则判断当前运算符与前一个运算符的优先级关系:- 如果当前运算符的优先级大于前一个运算符的优先级,则将当前运算符输出到后缀表达式中;- 否则,将前一个运算符输出到后缀表达式中,然后继续递归处理当前运算符。
栈的应用
栈及其应用第一节栈的基本知识一、栈的基本概念栈(stack,又称为堆栈)是一种特殊的线性表。
作为一个简单的例子,可以把食堂里冼净的一摞碗看作一个栈。
在通常情况下,最先冼净的碗总是放在最底下,后冼净的碗总是摞在最顶上。
而在使用时,却是从顶上拿取,也就是说,后冼的先取用,后摞上的先取用。
如果我们把冼净的碗“摞上”称为进栈(压栈),把“取用碗”称为出栈(弹出),那么上例的特点是:后进栈的先出栈。
然而,摞起来的碗实际上仍然是一个线性表,只不过“进栈”和“出栈”都在最顶上进行,或者说,元素的插入和删除操作都是在线性表的一端进行而已。
一般而言,栈是一个线性表,其所有的插入和删除操作均是限定在线性表的一端进行,允许插入和删除的一端称栈顶(Top),不允许插入和删除的一端称栈底(Bottom)。
若给定一个栈S=(a1, a2,a3,……,a n),则称a1为栈底元素,a n为栈顶元素,元素a i位于元素a i-1之上。
栈中元素按a1, a2,a3,……,a n的次序进栈,如果从这个栈中取出所有的元素,则出栈次序为a n, a n-1,……,a1。
也就是说,栈中元素的进出是按“后进先出”的原则进行,这是栈的重要特征。
因此栈又称为后进先出表(LIFO表—Last In First Out)。
我们常用下图来形象地表示栈:二、栈的存储结构(1)顺序栈栈是一种线性表,在计算机中用一维数组作为栈的存储结构最为简单,操作也最为方便,也是最为常用的。
例如,设一维数组STACK[1..n] 表示一个栈,其中n为栈的容量,即可存放元素的最大个数。
栈的第一个元素,或称栈底元素,是存放在STACK[1]处,第二个元素存放在STACK[2]处,第i个元素存放在STACK[i]处。
另外,由于栈顶元素经常变动,需要设置一个指针变量top,用来指示栈顶当前位置,栈中没有元素即栈空时,令top=0;当top=n时,表示栈满。
如果一个栈已经为空,但用户还继续做出栈(读栈)操作,则会出现栈的“下溢”;如果一个栈已经满了,用户还继续做进栈操作,则会出现栈的“上溢”。
栈的运用实验报告
一、实验目的1. 理解栈的基本概念、特点及逻辑结构;2. 掌握栈的顺序存储和链式存储结构;3. 熟练掌握栈的基本操作,如入栈、出栈、判断栈空等;4. 理解栈在递归算法中的应用;5. 探究栈在实际问题中的应用。
二、实验内容1. 栈的定义与特点2. 栈的顺序存储结构3. 栈的链式存储结构4. 栈的基本操作5. 栈在递归算法中的应用6. 栈在实际问题中的应用三、实验步骤1. 栈的定义与特点(1)栈是一种后进先出(LIFO)的数据结构;(2)栈的元素只能从一端(栈顶)进行插入和删除操作;(3)栈具有两个基本操作:入栈和出栈。
2. 栈的顺序存储结构(1)使用数组来实现栈的顺序存储结构;(2)定义一个数组作为栈的存储空间;(3)定义栈顶指针top,初始值为-1;(4)定义栈的最大容量maxSize。
3. 栈的链式存储结构(1)使用链表来实现栈的链式存储结构;(2)定义一个链表节点,包含数据域和指针域;(3)定义栈顶指针top,初始时指向链表头节点。
4. 栈的基本操作(1)入栈操作:将元素插入到栈顶,栈顶指针向上移动;(2)出栈操作:删除栈顶元素,栈顶指针向下移动;(3)判断栈空:判断栈顶指针是否为-1,是则栈空,否则栈非空。
5. 栈在递归算法中的应用(1)斐波那契数列的递归算法;(2)汉诺塔问题;(3)迷宫问题。
6. 栈在实际问题中的应用(1)括号匹配问题;(2)表达式求值问题;(3)递归函数的调用栈。
四、实验结果与分析1. 栈的定义与特点通过本次实验,我们深入理解了栈的基本概念、特点及逻辑结构,掌握了栈的后进先出特性。
2. 栈的顺序存储结构使用数组实现栈的顺序存储结构,操作简单高效。
在实验过程中,我们实现了栈的基本操作,如入栈、出栈、判断栈空等。
3. 栈的链式存储结构使用链表实现栈的链式存储结构,具有灵活性和扩展性。
在实验过程中,我们实现了栈的基本操作,如入栈、出栈、判断栈空等。
4. 栈的基本操作通过实验,我们熟练掌握了栈的基本操作,如入栈、出栈、判断栈空等,为后续递归算法和实际问题中的应用奠定了基础。
数据结构说课稿--栈
的理解 , 提高动手能力 , 培养学 习的兴趣 , 增强学习的 自信心。 () 2观察法 。学生在操作 的过程 中对发现的问题要不断地观察及总
结。
所谓 厚基础 , 是掌握深厚 的理论基础 , 就 包括栈的定 义和特点 , 栈 的两种实 现方式 , 栈与递归的关系 。强调厚基础 , 使学生具备一定 的可 持续 发展 能力是笔 者在 教学中追求 的最重要 的 目标之一 。 () 2培养分析问题和解决问题的能力 通过对栈 的应用实例 的讲解和实践 , 培养学生计 算机程序设计 的 基本思想 , 以及使用栈这种基本数据结构来解决 实际问题的能力 , 从而 培 养学生的专业 兴趣 , 树立创新意识 。 14 .教学重点与难点 () 1 教学重点 学生 只有在掌握栈 的基本理论 和基本技术后 , 才能使用栈解 决实 际 问题 。因此 , 逻辑结构 的特 点以及栈 的两 种存 储结构及 实现是本 栈 节 的教学重点 。 () 2教学难点 栈 的应用涉及使用栈解决实 际问题 , 这是本节的教学难点。 2说学情 . ( 数据结构课 程 的教学 对象是高职二 年级的学生 , 生已学 习过 1 ) 学 c 语言程序设计 , 能够编写简单 的程序 。 () 2学生 已学 习过线性表 , 能理解线性结构 的特点 , 掌握 了线性表 的 两 种存储结构 的表示和实现 , 并通过上 机实践能编写 出对 线性表进行 操作 的程序 。 (《 3 数据结构》 ) 课程 中涉及 大量 的概念 、 数据模 型及算法 , 理论性较 强 , 高度抽 象 , 且 学生学习起来 较难掌握。 f) 4部分学生学习主动性不强 , 学习兴趣不浓厚。
数据结构与算法:Python语言描述 栈和队列 ppt课件
裘宗燕,2019/12/22-/10/
栈的应用
栈是算法和程序里最常用的辅助结构,基本用途基于两方面: 用栈可以很方便地保存和取用信息,因此常作为算法或程序里的辅 助存储结构,临时保存信息,供后面的操作使用 利用栈后进先出的特点,可以得到特定的存储和取用顺序 许多实际运用结合了这两方面的特性
配对的原则
遇到的闭括号应该匹配此前遇到的最近的尚未匹配的对应开括号
由于多种/多次/可能嵌套,为检查配对,遇到的开括号必须保存
由于括号可能嵌套,需要逐对匹配,闭括号应与前面最近的尚未有 匹配的开括号匹配,后面括号应与更前面次近的括号匹配
可以删除匹配的括号,为后面的匹配做好准备
后遇到并保存的开括号应该先删除,这就是后进先出,而且要按照出现 顺序,显然应该/可以用一个栈保存开括号
概述
栈和队列保证元素存取之间的时间关系,特点是:
栈是保证缓存元素后进先出(Last In First Out,LIFO)的结构
队列是保证缓存元素的先进先出(先存者先用,First In First Out, FIFO)关系的结构
对于栈和队列,任何时候,下次访问或删除的元素都默认地唯一确定。 只有新的存入或删除(弹出)操作可能改变下次的默认元素
self._elems = [] # 所有栈操作都映射到list操作
def is_empty(self):
return self._elems == []
def top(self):
if self._elems == []:
raise StackUnderflow("in SStack.top()")
return self._elems[-1]
三种括号识别算法
三种括号识别算法括号识别算法是文本处理和编程中常用的一种算法,用于识别和处理括号的匹配关系。
在此,我将介绍三种常见的括号识别算法:栈算法、递归算法和有限自动机算法。
1.栈算法:栈算法是最常用的括号识别算法之一、该算法使用一个栈数据结构来存储左括号,并通过栈的特性来判断右括号是否与栈顶的左括号匹配。
算法步骤:-创建一个空栈,用于存储左括号。
-从左到右遍历文本中的每个字符。
-如果遇到左括号(如'{'、'['、'('),则将其入栈。
-如果遇到右括号(如'}'、']'、')'),则判断栈是否为空。
若为空,则该右括号无匹配的左括号,识别失败。
若非空,则取出栈顶的左括号,并判断右括号与栈顶左括号是否匹配。
若匹配,则继续遍历下一个字符;若不匹配,则识别失败。
-遍历结束后,若栈为空,则识别成功;若栈非空,则有左括号没有匹配的右括号,识别失败。
栈算法的时间复杂度为O(n),其中n为文本的长度。
2.递归算法:递归算法是另一种常见的括号识别算法。
该算法使用递归的方式来判断括号的匹配关系。
算法步骤:-从左到右遍历文本中的每个字符。
-如果遇到左括号(如'{'、'['、'('),则寻找与之匹配的右括号。
具体做法是,在遇到右括号之前,统计遇到的左括号的数量,直到左括号数量与右括号数量相等,并且右括号与最后一个遇到的左括号匹配。
若找到匹配的右括号,则继续遍历下一个字符;若不匹配,则识别失败。
-遍历结束后,如果找到了与每个左括号匹配的右括号,则识别成功;否则,识别失败。
递归算法的时间复杂度和栈算法类似,也是O(n)。
3.有限自动机算法:有限自动机算法是一种使用状态机的方式来识别括号的算法。
该算法使用有限状态机的转移来处理括号的匹配关系。
算法步骤:-定义括号匹配的有限状态机,包括起始状态、接受状态和转移规则。
汉诺塔
实验报告栈与递归的实现(汉诺塔)学号 0902130301 学生姓名路涌涛指导教师王国军、郑瑾学院信息科学与工程学院专业班级计科1303一实验目的:1. 熟悉掌握栈的应用2.熟悉递归算法及递归与栈的关系3.设计一个程序,实现汉诺塔的实际操作二概要设计:1.设计一个递归算法,实现汉诺塔问题的操作2.用栈的思想思考栈在这个程序中的作用三详细设计:#include"stdio.h"int Count=0;int c=0;void move(char x, int n, char z);void hanoi (int n, char x, char y, char z) {printf("%d. Move disk %d from %c to %c\n", ++c, n, x, z); if (n==1)move(x, 1, z); //将编号为1的圆盘从x移到z else {hanoi(n-1,x,z,y);move(x, n, z); //将编号为n的圆盘从x移到zhanoi(n-1, y, x, z); //将y上编号为1至n-1的圆盘移到z,x作辅助塔}}void move(char x, int n, char z) {printf(" %2i. Move disk %i from %c to %c\n",++Count,n,x,z);}main(){int n;printf("请输入汉诺塔的数量:\n");scanf("%d",&n);hanoi (n, 'X', 'Y', 'Z');printf("移动的次数:%d次\n",++Count); }六调试分析:第一步,汉诺塔数量为1第二步:汉诺塔的数量为3得到测试结果七遇到的问题及思考1.使用递归来实现一个程序的功能,虽然在程序上来说更加的简洁,但是对于思想上来说我们需要更多的去抽象的思考出这个事情执行的过程。
栈与递归的关系
栈与递归的关系姓名:郭小兵学号:1007010210专业:信息与计算科学院系:理学院指导老师:彭长根2012年10月17日栈与递归的关系郭小兵摘要递归是计算机科学中一个极为重要的概念,许多计算机高级语言都具有递归的功能,对于初学计算机者来讲,递归是一个简单易懂的概念,但真正深刻理解递归,正确自如的运用递归编写程序却非易事,本文通过一些实例来阐述递归在计算机内的实现及递归到非递归的转换,也许使读者能加深对递归的理解。
关键词栈递归非递归引言递归是一种程序设计的方式和思想。
计算机在执行递归程序时,是通过栈的调用来实现的。
栈,从抽象层面上看,是一种线性的数据结构,这中结构的特点是“先进后出”,即假设有a,b,c三个元素,依次放某个栈式存储空间中,要从该空间中拿到这些元素,那么只能以c、b、a的顺序得到。
递归程序是将复杂问题分解为一系列简单的问题,从要解的问题起,逐步分解,并将每步分解得到的问题放入“栈”中,这样栈顶是最后分解得到的最简单的问题,解决了这个问题后,次简单的问题可以得到答案,以此类推。
分解问题是进栈(或者说压栈)的过程,解决问题是一个出栈的过程。
科学家对栈与递归都做了很多深入的研究,研究表明“递归算法和栈都有后进先出这个性质,基本上能用递归完成的算法都可以用栈完成,都是运用后进先出这个性质的”这个性质可用于进制的转换。
与汇编程序设计中主程序和子程序之间的链接及信息交换相类似,在高级语言编制的程序中,调用函数和被调用函数之间的链接及信息交换需过栈来进行。
递归是计算科学中一个极为重要的概念。
许多计算机高级语言都具有递归的功能,本文将通过一些是例来阐述递归在计算机内的实现及递归到非递归的转换,也许能加深对递归的理解。
递归是某一事物直接或间接地由自己完成。
一个函数直接或间接地调用本身,便构成了函数的递归调用,前者称之为直接递归调用,后者为间接递归调用。
递归会使某些看起来不容易解决的问题变得容易解决。
第3章 限定性线性表——栈和队列
两栈共享技术(双端栈):
主要利用了栈“栈底位置不变,而栈顶位置动态变
化”的特性。首先为两个栈申请一个共享的一维数 组空间S[M],将两个栈的栈底分别放在一维数组的 两端,分别是0,M-1。
共享栈的空间示意为:top[0]和top[1]分别为两个 栈顶指示器 。
Stack:0
M-1
top[0]
top[1]
(1)第i号栈的进栈操作 int pushi(LinkStack top[M], int i, StackElementType x) { /*将元素x进入第i号链栈*/
LinkStackNode *temp; temp=(LinkStackNode * )malloc(sizeof(LinkStackNode)); if(temp==NULL) return(FALSE); /* 申请空间失败 */ temp->data=x; temp->next=top[i]->next; top[i]->next=temp; /* 修改当前栈顶指针 */ return(TRUE); }
case 1:if(S->top[1]==M) return(FALSE);
*x=S->Stack[S->top[1]];S->top[1]++;break;
default: return(FALSE);
}
return(TRUE);
返回主目录
}
【思考题】
说明读栈顶与退栈顶的处理异同,并标明将已知 的退栈顶算法改为读栈顶算法时应做哪些改动。
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链栈的进栈操作
int Push(LinkStack top, StackElementType x)
栈和堆的概念
栈和堆的概念1.引言在计算机科学中,栈和堆是两个常见的数据结构和内存管理概念。
它们在程序执行、变量分配和内存管理方面起着重要作用。
本文将介绍栈和堆的概念,并探讨它们的特点和应用。
2.栈的概念2.1定义栈(Stack)是一种后进先出(Last In First Out,LIFO)的数据结构。
它类似于现实生活中的一叠盘子,只能在最顶层进行操作。
栈具有两个基本操作:入栈(Push)和出栈(Pop)。
入栈将元素放入栈的顶部,出栈则从栈的顶部移除元素。
2.2特点-后进先出:栈中最后进入的元素将首先被移除。
-有限容量:栈的容量有限,当栈已满时无法再进行入栈操作。
-快速访问:由于栈的特殊结构,对于栈中的元素可以快速进行访问和操作。
2.3应用-函数调用:在函数调用过程中,局部变量和函数参数被存储在栈中。
每次函数调用时,相关的数据被压入栈中,函数返回时再从栈中弹出。
-表达式求值:在数学表达式求值过程中,栈常被用于保存运算符和操作数的顺序。
-递归算法:递归算法通常使用栈来保存每一层递归的状态。
3.堆的概念3.1定义堆(Heap)是一种动态内存分配方式,也是一种数据结构。
堆的内存空间可以在程序运行时进行动态分配和释放。
与栈不同,堆的数据访问没有限制顺序,可以任意读取或写入堆中的数据。
3.2特点-动态分配:堆的内存空间可以在程序运行时动态分配,而不受固定容量的限制。
-无序性:堆中的数据可以以任意顺序进行读写,没有先进先出或后进先出的限制。
-存储复杂的数据结构:由于堆的灵活性,它可以存储复杂的数据结构,如树、图等。
3.3应用-动态内存分配:堆经常用于动态分配内存空间,例如在编程中使用new或malloc函数来动态创建对象或数组。
-数据库管理:数据库中的数据通常存储在堆中,以便在需要时进行动态增加或删除。
-图形处理:堆经常用于图形处理算法,如最短路径、最小生成树等。
4.栈和堆的区别4.1分配方式栈的分配方式是静态的,大小固定,并且由编译器自动管理。
南京大学数据结构(商琳)Chapter3
Department of Computer Science & Technology, Nanjing University
fall
双栈共享一个栈空间
0
V
b[0]
t[0] t[1]
DATA STRUCTURES
maxSize-1 b[1]
初始 t[0] = b[0] = -1
t[1] = b[1] = ?maxSize
x = elements[top--];
return true;
//退栈成功
};
template <class T> bool Seqstack<T>::getTop(T& x) { //若栈不空则函数返回该栈栈顶元素的地址
if (IsEmpty() == true) return false; x = elements[top]; return true; };
int IsEmpty ( ) const; //判栈空否
int IsFull ( ) const;
//判栈满否
}
Department of Computer Science & Technology, Nanjing University
fall
栈的数组存储表示 — 顺序栈
DATA STRUCTURES
void Push(E x);
//进栈
bool Pop(E& x);
//退栈
Department of Computer Science & Technology, Nanjing University
fall
DATA STRUCTURES
bool getTop(E& x) const;
函数调用时参数的入栈和出栈顺序
函数调⽤时参数的⼊栈和出栈顺序先看看递归的实现和栈的关系,这⾥引⼊著名的尾递归-斐波那契数列的实现。
既然涉及到底层,⾃然就该⽤C语⾔实现。
int Fib(int n){if(i==1||i==2)return 1;return Fib(i-1)+Fib(i-2);}我们不妨把函数Fib和return语句中调⽤的函数看作是不同的函数(只是具有了相同的名称),那么就涉及到了函数调⽤的知识,我们知道,在函数调⽤的过程中(⽐如A函数中调⽤了B函数),编译器就会把A函数的参数,局部变量及返回地址压⼊栈中存储,再进⾏B函数的调⽤。
这⾥⽤汇编的思想解释会⽐较⽣动,如下图所⽰,假设传⼊参数为5。
为⽅便理解,绘图会⽐较⽣动,如下图所⽰,假设传⼊参数为5此时返回值已有确定值,开始按顺序出栈,运⾏到有返回地址字样时执⾏命令call XXXX(跳⼊该函数体内执⾏该函数),如下图运⾏到这⾥跳⼊Fib(3)函数体内,我们不妨进⼊函数体内看看,int Fib(int n) <---n=3{if(i==1||i==2) <---跳过return 1;return Fib(i-1)+Fib(i-2); //运⾏到此处,由于Fib(2)已经由上⼀步得出,即此时语句等同于return 1+Fib(1); }操作同第⼀步下⼀步,出栈,由于Fib(3)的值已经明确,继续出栈继续出栈步⼊Fib(4)函数体内,同理运⾏到return 2+Fib(2)语句,调⽤函数Fib(2),出栈......值已明确,继续出栈步⼊函数Fib(5),运⾏⾄return 3+Fib(3)语句处,调⽤函数Fib(3)同理步⼊Fib(3)函数,运⾏⾄return 1+Fib(1)语句处,调⽤函数Fib(1),进⽽出栈,ebx更新为2,继续出栈Fib(5)已有确定值,出栈,此时栈空,即Fib(5)等于5.到这⾥我们就可以⽐较直观看出递归及函数调⽤过程中与栈的关系了,软件漏洞与技术⼀书上也描述的很详细,在这⾥贴出来。
二叉树的先序,中序,后序遍历的递归工作栈的关系
二叉树的先序,中序,后序遍历的递归工作栈的关系在计算机科学中,二叉树是一种非常重要的数据结构,它在很多算法和数据处理中都有着广泛的应用。
而二叉树的先序、中序、后序遍历以及它们与递归和工作栈的关系更是程序员面试中常见的问题。
本文将从深度和广度两个方面,按照先序、中序、后序的顺序逐步展开对这个主题的探讨。
一、先序遍历先序遍历是指先访问根节点,然后递归地先序遍历左子树,最后递归地先序遍历右子树。
在实际的计算机算法中,我们可以使用递归或者栈来实现先序遍历。
1.1 递归实现当我们使用递归来实现先序遍历时,可以很容易地写出下面这段代码:```pythondef preorderTraversal(root):if not root:return []return [root.val] + preorderTraversal(root.left) + preorderTraversal(root.right)```这段代码非常简洁明了,但是在实际执行时,会使用工作栈来保存递归中间结果。
因为递归本质上就是一个栈结构,在调用递归函数时,会将当前函数的局部变量和参数压入栈中,直到递归结束,栈中的内容才会依次出栈执行。
1.2 栈实现除了递归之外,我们也可以使用显式栈来实现先序遍历。
这种方法通常会更加高效一些,因为递归会有一定的性能损耗。
栈的实现思路是,我们首先将根节点压入栈中,然后弹出栈顶节点并访问它,接着先将右子节点压入栈中,再将左子节点压入栈中。
重复上述操作直到栈为空。
这样就可以保证先访问根节点,再访问左子树,最后访问右子树,符合先序遍历的要求。
二、中序遍历中序遍历是指先递归地中序遍历左子树,然后访问根节点,最后递归地中序遍历右子树。
中序遍历同样可以用递归或者显式栈来实现。
2.1 递归实现递归实现中序遍历同样非常简单:```pythondef inorderTraversal(root):if not root:return []return inorderTraversal(root.left) + [root.val] + inorderTraversal(root.right)```在这个递归函数中,同样使用了递归的工作栈来保存中间结果。
数据结构知识点归纳
一、数据结构的章节结构及重点构成数据结构学科的章节划分基本上为:概论,线性表,栈和队列,串,多维数组和广义表,树和二叉树,图,查找,内排,外排,文件,动态存储分配。
对于绝大多数的学校而言,“外排,文件,动态存储分配”三章基本上是不考的,在大多数高校的计算机本科教学过程中,这三章也是基本上不作讲授的。
数据结构的章节比重大致为:1.概论:概念,时间复杂度。
2.线性表:基础章节,必考内容之一。
概念,算法设计题。
3.栈和队列:基本概念。
4.串:基本概念。
5.多维数组及广义表: 基本概念。
6.树和二叉树:重点难点章节,各校必考章节。
概念,问答,算法设计题。
7.图:重点难点章节,各校必考章节。
概念,问答,算法设计题。
8.查找:重点难点章节,概念,问答。
9.排序:重点难点章节,问答各种排序算法的排序过程二、各章节的主要内容:第一章概述主要内容:本章主要起到总领作用,为读者进行数据结构的学习进行了一些先期铺垫。
大家主要注意以下几点: (1)数据结构的基本概念。
(数据;数据元素;数据项;数据结构;数据的逻辑结构:线性和非线性,具体分为集合、线性结构、树形结构和图状结构;数据的存储结构:顺序存储和链式存储;运算)(2)算法的度量:时间效率和空间效率,分别用时间复杂度和空间复杂度度量,掌握时间复杂度的度量方法量方法。
(大O表示法)参考题目:填空题:1、数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合,它包括三方面的内容,分别是数据的逻辑结构、()和()。
2、数据结构按逻辑结构可分为两大类,它们分别是()和()3. 数据的物理结构主要包括()和()两种情况。
4.线性表,栈,队列和二叉树四种数据结构中()是非线性结构,()是线性结构。
5、线性结构中元素之间存在()关系,树形结构中元素之间存在()关系,图形结构中元素之间存在()关系。
6、程序段的时间复杂度是_______。
for(i=1;i<=n;i++){ k++;for(j=1;j<=n;j++)x=x+k;}7.下列算法的时间复杂度是_____。
递归算法
问题分析:我们根据给出的样例可知:每次输出的 结果都是由前一次的结果变化而来的,也就是问题 每推进一步其结果仍维持与原问题的关系,可见采 用递归算法比较合适。其算法的大致过程如下: 1、利用循环语句实现对前一次的输出结果从后向 前找一个a[i],使得a[i]到a[w]的字符都在s、t规定的 字母范围内,以确定本次的输出结果。 2、当输出结果达到5个,结束递归;如果没那么多 Jam数字,当第一次被入栈的循环结束时,递归结 束。
上楼梯问题
递归关系: f(1)=1; f(2)=2; f(n)=f(n-1)+f(n-2); (n≥3)
已知:ack(m,n)函数的计算公式如下:
请计算ack(m,n)的值。(m,n<=5)
用递归算法求解两个整数的最大公约数
分析:辗转相除法 。即:两个整数相除,看 其余数是否为0。若余数为0,则除数即为所 求最大公约数;若余数不为0,就将除数作为 被除数,余数作为除数,继续相除,循环往 复,直到余数为0。
数的计算
问题描述 我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数n): 先输入一个自然数n(n<=1000),然后对此自然数按照如下方法进行 处理: 1. 不作任何处理; 2. 在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过原数的一半; 3. 加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止. 样例: 输入: 6 满足条件的数为 6 (此部分不必输出) 16 26 126 36 136 输出: 6
问题分析:对于这个问题,首先,我们得具备对一 颗二叉树能熟练并且正确写出它的前序、中序、后 序序列的能力,才能编写程序解决问题。 我们根据题中给出的中序及后序序列,可以找出该 树根结点及左右子树。同样对于左右子树,再根据 它们各自的中序及后序序列,又能找出它们的根结 点及它们的左右子树。由此可见,该问题能够被递 归描述。当最后的序列为空时,递归无法再进行下 去,就是递归结束的边界条件。
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栈与递归的关系姓名:郭小兵学号:1007010210专业:信息与计算科学院系:理学院指导老师:彭长根2012年10月17日栈与递归的关系郭小兵摘要递归是计算机科学中一个极为重要的概念,许多计算机高级语言都具有递归的功能,对于初学计算机者来讲,递归是一个简单易懂的概念,但真正深刻理解递归,正确自如的运用递归编写程序却非易事,本文通过一些实例来阐述递归在计算机内的实现及递归到非递归的转换,也许使读者能加深对递归的理解。
关键词栈递归非递归引言递归是一种程序设计的方式和思想。
计算机在执行递归程序时,是通过栈的调用来实现的。
栈,从抽象层面上看,是一种线性的数据结构,这中结构的特点是“先进后出”,即假设有a,b,c三个元素,依次放某个栈式存储空间中,要从该空间中拿到这些元素,那么只能以c、b、a的顺序得到。
递归程序是将复杂问题分解为一系列简单的问题,从要解的问题起,逐步分解,并将每步分解得到的问题放入“栈”中,这样栈顶是最后分解得到的最简单的问题,解决了这个问题后,次简单的问题可以得到答案,以此类推。
分解问题是进栈(或者说压栈)的过程,解决问题是一个出栈的过程。
科学家对栈与递归都做了很多深入的研究,研究表明“递归算法和栈都有后进先出这个性质,基本上能用递归完成的算法都可以用栈完成,都是运用后进先出这个性质的”这个性质可用于进制的转换。
与汇编程序设计中主程序和子程序之间的链接及信息交换相类似,在高级语言编制的程序中,调用函数和被调用函数之间的链接及信息交换需过栈来进行。
递归是计算科学中一个极为重要的概念。
许多计算机高级语言都具有递归的功能,本文将通过一些是例来阐述递归在计算机内的实现及递归到非递归的转换,也许能加深对递归的理解。
递归是某一事物直接或间接地由自己完成。
一个函数直接或间接地调用本身,便构成了函数的递归调用,前者称之为直接递归调用,后者为间接递归调用。
递归会使某些看起来不容易解决的问题变得容易解决。
特别当一个问题蕴含递归特性且结构比较复杂时,采用递归算法往往要自然、简洁、清晰,写出的程序较为简短。
在很多时候,程序结构简单,可读性好甚至比运行时间更重要,所以掌握递归算法也就存在一定的必要性。
但许多人,特别是计算机专业低年级和一些初学者,往往觉得递归很难理解。
为了更好地掌握他,了解递归过程的操作原理就更有意义了。
一、栈与递归的关系递归是一种重要的算法设计方法。
递归函数的特点在于,在一汁算该函数时需直接或问接地调用该函数自己。
这种递归函数在计算机科学和数学等领域有着,h泛的应用。
栈是一种线性表,对于它所有的插入和删除都限制在表同一端进行。
这一端称为栈顶,另一端称为栈底。
栈又称为“后进先出表”,即后进的先出,先进的最后出。
栈和递归是可以相互转换的,当编写递归算法时,虽然表面上没有使用栈,但系统执行时会自动建立和使用栈。
栈和递归有着本质的区别:递归函数由很多栈组成,也就是说栈是程序函数中的一个元素,递归是函数的一种运行方式。
二、举例分析举例来说,计算n的阶乘的问题,可以利用阶乘的递推公式n!:n*(n—1)!,对该问题进行分解,把计算n的阶乘问题化为等式右边涉及规模较小的同类问题(n—1)的阶乘的计算。
这种分而治之的递归分析方法,对很多具有复杂数据结构的问题是强有力的。
设函数f(n)=n!,则递归函数f(n)可表示为:fc n)={二*f。
n一。
) ‘0:‘≥例:采用递归算法求解正整数n的阶乘(n!)。
函数f(n)=n!,递归函数“n)可表示为:f(n)=f’ (n=o)L n*f(n—1) (n>O)在这里n=O为递归终止条件,使函数返回l,n>O实现递归调用,由n的值乘以f(n—1)的返回值求出f(n)的值。
用C++语言编写出求解n!的递归函数为:long f(int n){if(n==O)retum l;elseretum n*f(n—1);}当从主程序或其他函数非递归调用此阶乘函数时,首先把实参的值传送给形参n,同时把调用后的返回地址保存起来,以便调用结束之后返回之用;接着执行函数体,当n等于O时则返回函数值l,结束本次非递归调用或递归调用,并按返回地址返回到进行本次调用的调用函数的位置继续向下执行,当n大于O时,则以实参n—l的值去调用本函数(即递归调用),返回n的值与本次递归调用所求值的乘积。
因为进行一次递归调用,传送给形参n的值就减l,所以最终必然导致n的值为O,从而结束递归调用,接着不断地执行与递归调用相对应的返回操作,最后返回到进行非递归调用的调用函数的位置向下执行。
假定用f(4)去调用f(n)函数,该函数返回4*“3)的值,因返回表达式中包含有函数f(3),所以接着进行递归调用,返回3*f(2)的值,依次类推,当最后进行f(O)递归调用,返回函数值l后,结束本次递归调用,返回到调用函数f(O)的位置,从而计算出l*f(O)的值l,即l*f(O)=l*l=l,作为调用函数f(1)的返回值,返回到2*f(1)表达式中,计算出值2作为f(2)函数的返回值,接着返回到3*f(2)表达式中,计算出值6作为f(3)函数的返回值,再接着返回到4*f(3)表达式中,计算出f(4)的返回值24,从而结束整个调用过程,返回到调用函数f(4)的位置继续向下执行。
在一个迷宫中,中间的每个方格位置都有四个可选择的移动方向,而在四个顶点只有两个方向,并且每个顶点的两个方向均有差别,每条边线上除顶点之外的每个位置只有三个方向.并且也都有差别。
为了在求解迷宫的算法中避免判断边界条件和进行不同处理的麻烦,使每一一个方格都能够试着按四个方向移动,可在迷宫的周围镶上边框,在边框的每个方格里填一卜l,作为墙壁,这样就需要用一个[m+2][n+2]大小的二维整型数组(假定用maze表示数组名)来存储迷宫数据。
当从迷宫中的一个位置(称它为当前位置)前进到下一个位置时,下…‘个位置相对于当前位置的位移量(包括行位移量和列位移量)随着前进方向的不同而不同,东、南、西、北(即右、下、左、上)各方向的位移量依次为(O,1),(1,O、),(O,一1)和(一l,O)。
假定用一个4×2的整型数组move来存储位移量数据,则move数组的内容如右面所示:其中move[O]~一e[3]依次存储向东、南、西、北每个方向移动一步的位移量。
如moVe[1][O]和move[1][1]分别为从当前位置向南移动一步的行位移量和列位移量,其值分别为l和O。
在求解迷宫问题时,还需要使用一个与存储迷宫数据的maze数组同样大小的辅助数组,假定用标识符mark表示,用它来标识迷宫中对应位置是否被访问过。
该数组每个元素的初始值为O,表示迷宫中的所有位置均没有被访问过。
每访问迷宫中一个可通行的位置时,都使mark数组中对应元素置l,表示该位置已经被访问过,以后不会再访问到,这样才能够探索新的路径,避免重走已经走不通的老路。
为了寻找从入口点到出口点的一条通路,首先从入口点出发,按照东、南、西、北各方向的次序试探前进,若向东可通行,同时没有被访问过,则向东前进一个方格;否则表明向东没有通向出口的路径,接着应向南方向试着前进,若向南可通行同时没有被访问过,应向南前进一步;否则依次向西和向北试探。
若试探完当前位置上的所有方向后都没有通路,则应退回一步,从到达该当前位置的下一个方向试探着前进,如到达该当前位置的方向为东,则下一个方向为南。
因此每前进一步都要记录其上一步的坐标位置以及前进到此步的方向,以便退回之用。
这正好需要用栈来解决,每前进一步时,都把当前位置和前进方向进栈,接着使向前一步后的新位置成为当前位置。
若从当前位置无法继续前进,就做一次退栈操作,从上一次位置的下一个方向试探着前进。
若当前位置是出口点,则表明找到了一条从入口点到出口点的路径,应结束算法执行,此时路径上的每个方格坐标(除出口坐标外)均被记录在栈中。
若做退栈操作时栈为空,则表明入口点也已经退栈,并且其所有方向都已访问过,没有通向出口点的路径,此时应结束算法,打印出无通路信息。
求解迷宫问题也是一个递归问题,适合采用递归算法来解决。
若迷宫中的当前位置(初始为入口点)就是出口位置,则表示找到了通向出口的一条路径,应返回tme结束递归;若当前位置上的所有方向都试探完毕,表明从当前位置出发没有寻找到通向出口点的路径,应返回false结束递归;若从当前位置按东、南、西、北方向的次序前进到下一个位置,该位置可通行且没有被访问过,则应以该位置数进行递归调用;若返回tme的话,则表明从该位置到出口点有通路,输出该位置坐标后,继续向上一个位置返回t砌e结束递归。
,下面给出求解迷宫问题的递归算法,其中m和n为全局整型常量,分别表示迷宫的行数和列数,亦即出口点的坐标,maze和mark分别为具有[m+2]f n+2]大小的全局整型数组,分别用来保存迷宫数据和访问标记,move为具有[4¨2]大小的全局整型数组,用来保存向每个方向前进一一步的位移量。
l瑚l~ekPath(int X,int y).//从迷宫中坐标点(x,y)的位置寻找通向终点(m,n)的路径,若找到//则返回true,否则返回false,(x,Y)的初始值通常为(1,1){ .int i,g,h;//i作为循环变量,代表从当前位置移到下一个//位置的方向,g和h用作下一个位置的坐标 if((X==m)&&(y==n)) ’retum true;//到达出口点返回true结束递归for(i-O;i<4;i++){//依次按每一个方向寻找通向终点的路径g:X+move[i][0];//求出下一个位置的行坐标h=Y+move[i]n];//求出下一个位置的列坐标. if((maze[g][h]_=O)&&(mark[g][h]==0)){//若下一位置可通行同时没有被试探过,、//则从(g,h)位置起寻找路径。
mark[g][h]:l;//置mark数组中对应位置为l,表明已访问过。
if(SeekPath(g,h)){//当条件成立(即返回tree)时,表明从(g,h)到终点存在//通路,应输出该位置坐标,同时返回true结束递归,//否则进入下_-一.轮循环,向下一个方向试探。
eout<<"(Ⅳ<<g<<Ⅳ,’’<<h<<’’),";return true;}}lIif((x:=1)&&(Y==1))//当入口点的所有方向都访问完后,//表明没有通向终点的路径,应打印出没有路径信息。
eout<<"No path!’’<<endl;素,此队列变为(b,c,d);若接着向该队列插入一个字符e,则e成为新的队尾元素,此队列变为(b,c,d,e);若接着做三次删除操作,则队列变为(e),此时只有一个元素e,它既是队首元素又是队尾元素,当它被删除后队列变为空。