《信号与系统——MATLAB综合实验》讲义_第二讲

2008-8-13
ຫໍສະໝຸດ Baidu
谷源涛@清华大学电子工程系
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3.3 零输入响应与零状态响应
z lsim 函数还可以对带有非零起始状态的LTI 系统 进行仿真，y = lsim(sys, u, t, x0)
z 注意：若用lsim 函数仿真非零起始状态响应，则 该系统必须用状态方程描述（对传递函数描述的 LTI 系统，lsim函数无法仿真非零起始状态响 应）。
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4.1 傅里叶变换
z 符号方法
z MATLAB 提供了符号函数fourier 和ifourier 实现傅里 叶变换和逆变换
例4.1计算tu (t )和sin (t )的傅里叶变换；计算δ (ω )的傅里叶逆变换。
z 工程应用中经常需要对抽样数据做傅里叶分析， 这种情况下往往无法得到信号的解析表达式，因 而数值计算方法是应用傅里叶变换的主要途径。
的频谱恢复时域信号fs (t)，比较和原信号f (t)的差别。
z 三种方法
z 二重循环 z 循环＋矢量相乘 z 矩阵相乘
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矢量计算法
⎡ e ⎤ ⎡ − j(ω1+kΔω )t1
T
f (t1) ⎤
F (ω1
+
kΔω)
=
T N
⎢⎢e− j(ω1 +kΔω )(t1 +Δt )
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知识点（1）多项式
z Help polyfun
z roots z poly z polyval z polyvalm z residue z polyfit z polyder z polyint z conv z deconv
- Find polynomial roots. - Convert roots to polynomial. - Evaluate polynomial. - Evaluate polynomial with matrix argument. - Partial-fraction expansion (residues). - Fit polynomial to data. - Differentiate polynomial. - Integrate polynomial analytically. - Multiply polynomials. - Divide polynomials.
e j(ω1 +Δω )t1 e j(ω1 +Δω )(t1 +Δt )
# e j(ω1 +Δω )(t2 −Δt )
" e ⎤ ⎡ j(ω2 −Δω)t1 F (ω1) ⎤
"
e
j(ω2
−Δω
)(t1 +Δt )
⎥ ⎥
⎢ ⎢
F
(ω1
+
Δω)
⎥ ⎥
%
# ⎥⎢ # ⎥
( ) "
e
j(ω2
−Δω
)(t2
−Δt
学编程 学应用
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课程内容
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3. 连续时间系统的时域分析
z 引言 z 微分方程式的建立与求解 z 零输入响应与零状态响应 z 冲激响应与阶跃响应 z 卷积
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3.1 引言
z 连续时间系统的研究方法包括输入－输出法（端 口描述法）和系统状态变量分析法。
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知识点（4）连续时间信号的数值 计算
z 自然界中绝大部分物理量是连续的，数字计算机 处理连续信号必须做近似，计算精度取决于算法 和数字表示的位数。
z 例如积分运算的简单数值计算方法是分段求和
∫ ∑ F (a,b) =
b a
f
(t )dt
≈
b−a N
N −1 n=0
f
⎛ ⎜⎝
z 输入－输出法
z LTI 系统可以用一元高阶微分方程描述。
例3.1 描述如下系统
d3 dt 3
r
(t
)
+
7
d2 dt 2
r
(t
)
+ 12r
(t
)
=
e(t
)
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3.1 引言
z 状态变量描述法
z 一个一元高阶微分方程，必然可以化成两个多元一阶微 分方程组，即状态方程和输出方程（观测方程）
解：先求得电路的微分方程表示
d2 dt 2
i
(t
)
+
7
d dt
i
(t
)
+ 10i
(t
)
=
d2 dt 2
e
(t
)
+
6
d dt
e
(t
)
+
4e
(t
)
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知识点（3）关于返回值
z 很多函数被重载 z 不指定返回值时，“主动”用返回值做一些操作
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⎢
#
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢
f
(t1
+
Δt)
⎥ ⎥
⎢#⎥
( ) ⎢⎣e ⎥⎦ − j(ω1+kΔω )(t2 −Δt)
⎢ ⎣
f
t2 − Δt
⎥ ⎦
⎡ e ⎤ ⎡ jω1 (t1+nΔt )
T
F (ω1)
⎤
f
(t1
+
nΔt)
=
Ω
2π K
⎢⎢ e j(ω1 +Δω )(t1 +nΔt ) ⎢#
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎢
F
例3.2 描述如下系统
状态方程
⎡⎢⎢λλ12 ⎢⎣λ3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎡−2
⎢ ⎢
0
⎢⎣ 2
0 −3 −2
−1⎤ ⎡λ1 ⎤ ⎡1
3
⎥ ⎥
⎢⎢λ2
⎥ ⎥
+
⎢⎢0
0 ⎥⎦ ⎢⎣λ3 ⎥⎦ ⎢⎣0
0⎤ −3⎥⎥ 0 ⎥⎦
⎡⎢⎣ee12
(t (t
)⎤ )⎥⎦
输出方程
r (t) = [0
1
⎡λ1 ⎤
a
+
n
b−a N
⎞ ⎟⎠
z 复杂数值计算方法包括插值、拟合等等
z help interp, resample, polyfit, …
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4. 傅里叶变换
z 傅里叶变换 z 周期信号的傅里叶级数分析 z 卷积特性（卷积定理）
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C = 1F
vC (t )
L= 1H 4
e(t) = 2V
R2
=
3Ω 2
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3.3 零输入响应与零状态响应
z 解：采用两种方法
z 第一种：首先仿真2V电压en作用足够长时间（10秒） 后系统进入稳态，从而得到稳态的状态变量值x0，再以 其作为初始值仿真4V电压e作用下的输出rf，即是系统 的完全响应。这种方法可以得到零状态响应rzs和零输 入响应rzi。
w(n) = ∑u(m)v(n +1− m) m
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3.5 卷积
例3.7 已知某系统冲激响应为h (t ) = t 2, 0 < t < 2。以- 0.5开始， 宽度为1.5秒，幅度为1的矩形脉冲e(t ) 激励该系统，求输出信 号r (t )。
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K −1
F (ω1
k =0
ω + k Δ )e j(ω1+kΔω )(t1+nΔt )
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4.1 傅里叶变换
例4.2请绘制矩形脉冲
f
(t)
=
⎧⎪1 ⎨
t <1 2
⎪⎩0 otherwise
的波形(t ∈[−1,1])和频谱F (ω)(ω ∈[−8π ,8π ])，并利用计算得到
⎢ ⎣
F
(ω2
−
Δω
)
⎥ ⎦
⎣⎢e− j(ω2 −Δω )t1
e− jω1 (t1 +Δt ) e− j(ω1 +Δω )(t1 +Δt )
# e− j(ω2 −Δω )(t1 +Δt )
"
e ⎤ ⎡ − jω1(t2 −Δt) f (t1) ⎤
"
e ⎥⎥ ⎢⎢ − j(ω1+Δω )(t2 −Δt )
+ kΔω)
=
T N
N −1 n=0
f
t1 + nΔt e− j(ω1+kΔω)(t1+nΔt)
z 同理写出逆变换
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∫ ∑ f (t) = 1
2π
∞ F (ω)ejωtdω
−∞
=
Ω
2π K
K −1
F (ω1
k =0
+ kΔω)e j(ω1+kΔω)t
∑ f
(t1
+
nΔt)
=
Ω
2π K
4.2 周期信号的傅里叶级数分析
z 和傅里叶变换的数值计算方法相似
例4.3 绘制周期T1 = 1，幅度E = 1的对称方波的前10项傅里叶 级数的系数（三角函数形式），并用前5项恢复原信号。
z 第二种：构造一个激励信号，先保持2V足够长时间再 跳变为4V，然后即可以零初始状态一次仿真得到系统 的完全响应r1。
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知识点（2）解微分方程组
例3.6 绘制地球卫星的运行轨道。以卫星轨道为坐标平面，地球
位置为坐标原点，定义卫星的二维运动状态s = ⎡⎣x, y, vx , vy ⎤⎦T ，其
(ω1
+
Δω
)
⎥ ⎥
⎢#⎥
( ) ⎢⎣e ⎥⎦ j(ω2 −Δω)(t1+nΔt)
⎢⎣ F
ω2 − Δω
⎥ ⎦
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矩阵相乘法
⎡ F (ω1) ⎤
⎡ e− jω1t1
⎢ ⎢ ⎢
F (ω1 + Δω)
#
⎥ ⎥ ⎥
=
T N
⎢⎢e− j(ω1+Δω )t1 ⎢#
0]
⎢⎢λ2
⎥ ⎥
+
[0
⎢⎣λ3 ⎥⎦
1]
⎡⎢⎣ee12
(t (t
) )
⎤ ⎥ ⎦
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3.2 微分方程式的建立与求解
z 微分方程的解包括齐次解和特解两部分。齐次解 即系统特征方程的根，用roots函数计算。
例3.3
求微分方程
d3 dt 3
r
(t
)
+
7
d2 dt 2
中x, y表示位置，vx , vy表示速度，可知运动方程为
⎡
vx
⎤
⎢ ⎡ x ⎤ ⎢
vy
⎥ ⎥
˙
s
=
⎢ ⎢
y
⎢⎢⎢⎣vvxy
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎢ ⎢−GM E
⎢
⎢
⎢ ⎢
−GM
E
(x2
x
3
+ y2)2
y
3
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣
(x2 + y2 )2 ⎥⎦
其中引力常数G = 6.672×10−11，地球 质量M e = 5.97 ×1024，假设初值x(0) = −4.2×107 , y(0) = 0, vx (0) = 0, vy (0) = 4×103。
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3.4 冲激响应与阶跃响应
z 如果分别用冲激信号和阶跃信号作激励，lsim 函 数可仿真出冲激响应和阶跃响应。
z MATLAB 专门提供了impulse(sys) 和step(sys) 两个函数直接产生冲激响应和阶跃响应。
例3.7 对上题图示电路，分别求电流i (t ) 对激励e(t ) = δ (t )和 e(t ) = u (t )的冲激响应h(t )和阶跃响应g (t )。
r
(t
)
+ 16
d dt
r
(t
)
+
12r
(t
)
=
0的齐次解。
z 特解即系统（采用微分方程表示）在给定信号激 励下的输出。用lsim函数进行仿真。
例3.4
给定微分方程
d2r (t
dt 2
)
+
2
dr (t
dt
)
+
3r
(t
)
=
de ( t
dt
)
+
e
(t
)，
如果已知(1) e(t ) = t2；(2) e(t ) = et，分别求两种情况下此方程的特解。
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4.1 傅里叶变换
z 将傅里叶变换写成离散表示形式
∫ ∫ F (ω) = ∞ f (t)e− jωtdt = t2 f (t)e− jωtdt
−∞
t1
∑ ( ) F (ω) = T N−1 f
N n=0
t1 + nΔt
e− jω(t1 +nΔt)
∑ ( ) F(ω1
f
(t1
+
Δt)
⎥ ⎥
%
#
⎥⎢ # ⎥
( ) "
e− j(ω2 −Δω )(t2 −Δt )
⎥ ⎦
⎢ ⎣
f
t2 − Δt
⎥ ⎦
⎡ f (t1) ⎤
⎡ e jω1t1
⎢ ⎢ ⎢
f
(t1
+
Δt
)
⎥ ⎥
#⎥
=
Ω
2π K
⎢⎢e jω1 (t1+Δt ) ⎢#
⎢ ⎣
f
(t2
−
Δt
)⎥⎦
⎢⎣e jω1 (t2 −Δt )
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3.3 零输入响应与零状态响应
例3.5 给定下图所示电路，t < 0开关S处于1的位置，而且已经
达到稳态，将其看做起始状态，当t = 0时，S由1转向2。分别
求t > 0时i (t )的零输入响应和零状态响应。
R1 = 1Ω
i(t)
iL (t )
e(t) = 4V
)
⎥ ⎦
⎢ ⎣
F
ω2 − Δω
⎥ ⎦
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知识点（5）程序优化技巧
z 主要有
z 用矩阵运算代替循环 z 变量预定义
z 举例
z 计算sin(n), n=1,2,…,10^6
z 时间函数
z Help timefun
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3.5 卷积
z 卷积运算的数值近似
∫ f (t) =
∞ −∞
f1(τ )
f2 (t
−τ )dτ
∑ ∫ ∞
f (nT ) =
m=−∞
mT +T mT
f1(τ ) f2 (nT −τ )dτ
∑ f (nT ) ≈ T f1(mT ) f2 (nT − mT ) m
z MATLAB 提供了w = conv(u,v) 函数实现卷积和