完整版例析立体几何中的排列组合问题

例析立体几何中的排列组合问题
过月圆春晖中学在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。

立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。

立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，
下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。

1 点
1．1 共面的点
11997年全国高考（文））（例
A3A在同四面体的一个顶点为个点，使它们和点，从其它顶点与棱的中点中取）一平面上，不同的取法有（
A30 B33 C36 D39种种．种．．．种4666A所解析：四面体有个中点，
每个面上的个顶点，个点共面。

点条棱有
34AA个面内，共有在点组合有个，点在的每个面中含个组合；点的A6333
点与这条棱对棱的中点共面。

条棱的个点，这条棱上，每条棱上有在
A共面的四点组合共有个。

所以与点
B答案：97文科试题中难度最大的选点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属3点与它对棱上的中点共面的情况计择题，失误的主要原因是没有
把每条棱上的算在内。

1．2 不共面的点
21997年全国高考（理））（例
104个不共面的点，不同的取法共有个点，在其中取四面体的顶点和各棱中点共）（A150 B147 C144 D141
种．种．种．种．
410 4点共面的情况有三类：第一个点中任取个点有解析：从种取法，其中
4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上类，取出的346种；第三类，由中位线构成的平行四边的个点及对棱的中点，这点共面有43种。

形，它的个顶点共面，有
以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。

D答案：。

点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则
反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。

2 直线
例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））
过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）
A．18对B．24对C．30对D．36对
分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。

解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。

例：与AB异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。

侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线；
例：与BB1异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5 条与其异面的直线；
例: 与AB1异面的直线分别是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数
两遍。

共有。

法二：一个四面体中有3对异面直线，在三棱柱的六个顶点中任取四个，可构
故共有异面直线。

成四面体的个数为：D
答案：点评：解法一是例举法，把符合要求的所有的情况全列出来，列举时一定要按一定的次序进行，以防遗漏和重复，这一看似笨拙的方法对数目不太大的情况常给人以清新，大智若愚之感，在近年高考中，这一方法经常用到；解法二是
利用影射，构造四面体解决的，有较高的技巧，在竞赛中时常出现。

3 平面
例4 α、β是两个平行平面，在α内取4个点，在β内取5个点，这9个点最多能确定多少个平面？
解析：
例5（2002年全国高考）
从正方体的六个面中选3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（）
A．8种B．12种C．16种D．20种
解析：
4 模型
4．1 平面多边形
例6（2004年高考·湖南卷）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（）
A．56 B．52 C．48 D．40
解析：由于正方体各个顶点的位置一样，故可研究一个顶点，比如B点。

以B 为
,共,,直角顶点的三角形有：,,6个，。

故正方体中共有．
答案：C
点评：在中直角顶点只有一个，从直角顶点出发考虑问题可避免重复，正方体中各顶点位置均等，抓住这一点也是问题解决得关键。

4．2 空间多面体
例7 从正方体的八个顶点中任取四个点，所取的四个点中能构成四面体的取法共有____________。

5 其它
例8（2005年高考·江苏卷）
四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工
产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）
A．96 B．48 C．24 D．0
解析：如图所示，与每条侧棱异面的棱分别为2条。

例如侧棱SB与CD、AD棱异面。

以四条侧棱为代表的化工产品分别放入四个
（种）种。

从而安全存放的不同放法种数为仓库中，计B
答案：条棱的关系来处理化工产品的存放种数，8本题用四棱锥的]点评[。