完整版例析立体几何中的排列组合问题
立体几何中的排列组合问题解法举隅
立体几何中的排列组合问题解法举隅立体几何中的排列组合问题解法举隅立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考. 一、分步求解例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（）A. 12对B. 24对C. 36对D. 48对解由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧1棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有C6种; 第二步, 从底面61条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有C4种, 由乘法原理知有11C6C4=24对, 故选B.二．分类求解例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A在同一平面上, 不同取法有( )A. 30种B. 33种C. 36种D. 39种3解符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有3C5 30种；②4个点（含A）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B.例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿.1解分三类：5①如果用5种颜色有A5种染色方法.D图1B②如果用4种颜色，只能是底面四边形相对顶点同色. 如图1，如果A、C同色，只要考虑染S、A、B、D四顶点，有A54种染法，而B、D同色仍有A54种染法，用四色共有2A54种染法.3③如果用3种颜色，A、C同色，B、D同色，只要考虑S、A、B三个顶点，有A5种染法.53由加法原理知共有A5＋2A54＋A5＝420种染法.三、剔除求解例4 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A. 150种B.147种C.144种D.141种4解从10个点中任取4点，有C10种取法，再剔除掉共面的取法.44① 共面的四点在四面体的某一个面内，有C6种取法，4个面共有4C6种；② 每条棱上的三个点与其对棱的中点四点共面，有6种；③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面，有3种.44故不共面的取法共有C10－4C6－6－3＝141种，故选D.例5 已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）以正方体顶点为顶点的四面体有多少个？（2）从8个顶点中取出3个顶点，使至少有两个顶点在同一棱上，其取法种数为多少？（3）过8个顶点中任两点的直线与直线A1B异面的有多少条？C1 D1AB 图221解（1）从所有四点的组合中去掉共面的组合，6个表面四点共面，6个对角面四点共面. 所以共有四面体C84-12＝58个.D（2）如图2，A1BD这样的三点不能满足题意，可以认为这个三点组合与顶点A对应，正方体有8个顶点，每个顶点对应一个不合题意的三点组合. 所以满足题3意的三点取法共有C8－8＝48种.2（3）在8个顶点取2个的组合中，去掉侧面ABB1A1中的两点组合有C4个，再去掉过A1不在面ABB1A1内的四条直线与过B的4条直线，还要去掉与之平行的D1C.2所以共有C82 C4 4 4 1＝13条.四、构造模型求解例6 与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？解由题设条件，空间不共面的四点可构成四面体，考虑四面体的四个顶点在所求平面两侧的分布，易知当所求平面位于三棱锥的顶点与底面之间时有4个；当所求平面位于三棱锥相对棱之间时有3个. 故所求平面有7个. 例7 在正方体八个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？解构造四面体求解，因为四面体的6条棱可构成3对异面直线，从而只要求出正方体的八个顶点可构成几个四面体即可，而这恰好是本文例5（1），故可得到(C84 12) 3 174对异面直线. 五、联想有关命题求解例8 以长方体的八个顶点中的任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为（）A.0B.6C.8D.24解联想课本习题：“将正方体截去一角，求证：截面是锐角三角形. ”易知从长方体的一个顶点出发的三条棱的另3个端点可构成锐角三角形，长方体有8个顶点，从而可构成8个锐角三角形，故选C.六、综合有关知识求解例9 以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有（）E11A.200个B.190个C.185个D.180个E图3C34解正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成C10＝210个四面体，其中四点在同一平面内的有三类：4① 每一底面的5点中选4点的组合方法有2C5个.② 5条侧棱中的任意两条棱上的四点有C52个.③一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行（例如AB∥E1C1），这样1共面的四点共有2C5个.4421故四面体的个数为C10＝180个，故选D. 2C5 C5 2C5例10 用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？解结合图3，以不同类型的四棱锥的底面分类可得：1① 以棱柱的底面为四棱锥底面的共有2C54C5个. 11②以棱柱的侧面为四棱锥底面的共有C5个. C611③以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有C5个. C611④以图3中ABC1E1（为等腰梯形）为四棱锥底面的共有2C5个. C***-*****故可构成的四棱锥共有2C54C5＋C5＋C5＋2C5＝170个. C6C6C6例11 以四棱柱的顶点为顶点的三棱锥有多少个？解本题要讨论底面的形状，所求的答案与底面的形状有关.①若底面不是梯形，也不是平行四边形，则有C84－6－2＝62个.② 若底面是梯形，则有C84－6－4＝60个. ③ 若底面是平行四边形，则有C84－6－6＝58个. 综上所述，所求三棱锥的个数为62或60或58.。
例析排列组合问题类型及解题常用方法
例析排列组合问题类型及解题常用方法排列组合问题是数学中的一个重要分支，广泛应用于概率论、统计学、组合数学等多个领域。
在解决排列组合问题时，我们需要明确问题类型，并选用适当的方法进行求解。
下面将介绍几种常见的排列组合问题类型及解题常用方法。
1.组合问题组合问题是在给定的元素集合中，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。
组合问题的典型例子有"从n个不同的元素中，选取m个元素的组合个数是多少"。
解题方法：1)使用组合数公式进行计算，公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中C表示组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)利用递归方法求解，即对问题进行拆解，递归地求解子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解。
2.排列问题排列问题是将一组元素进行有序的排列，即考虑元素的顺序。
典型例子有"从n个不同的元素中，选择m个元素进行排列，有多少种不同的排列方式"。
解题方法：1)使用排列数公式进行计算，公式为P(n,m)=n!/(n-m)!，其中P表示排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)利用递归方法求解，将问题分解成子问题，进行子问题的排列，然后按照不同的顺序进行合并，得到原问题的解。
3.重复元素的排列组合问题重复元素的排列组合问题是在给定元素集合中，包含有重复元素的情况下，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。
解题方法：1)使用重复组合数公式进行计算，公式为C'(n,m)=(n+m-1)!/(m!(n-1)!)，其中C'表示重复组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
2)使用重复排列数公式进行计算，公式为P'(n,m)=n^m，其中P'表示重复排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。
4.包含条件的排列组合问题包含条件的排列组合问题是在给定一组元素和一组条件的情况下，选择满足条件的子集，并以不同的顺序进行排列。
(完整版)例析立体几何中的排列组合问题
例析立体几何中的排列组合问题春晖中学过月圆在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。
立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。
立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。
1 点1．1 共面的点例1（1997年全国高考（文））四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）A．30种 B．33种 C．36种 D．39种解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。
点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。
所以与点A共面的四点组合共有个。
答案：B点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。
1．2 不共面的点例2（1997年全国高考（理））四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A．150种 B．147种 C．144种 D．141种解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。
以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。
答案：D。
点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。
2 直线例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对 B．24对 C．30对 D．36对分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。
排列组合在几何中的应用
⑦
排歹 Ｉ Ｉ 组合在厂 Ｌ 何中ｃ Ｉ Ｉ ｌ 应用
■ 陈 明 字
排列组合和立体几何 题的结合在高考 中已屡见 不鲜 ，现在我们拿出几道 比较有代表性 的高考题加 以分析 ， 帮助我们拓展这方面 的解题思路 ： 例１ ， 如图 ， 一个 地区分为５ 个行政 区域 ， 现给地 图着色 ， 要求 相邻地 区不得使用 同一颜色 ， 现有４ 种 颜 色可供选择 ， 则不 同的着色方法共有 种（ 以 数字 作 答 ） 色的灯进行安装 ， 分３ 步进行 ， 第一步 ， Ａ、 Ｂ、 Ｃ 三点选 三种颜色灯泡共有Ａ ； 种选 法 ； 第二 步 ， 在Ａ 、 。 、 Ｃ 中 选一个装第４ 种颜色的灯泡 ， 有３ 种情况 ； 第三步 ， 为剩下的两个灯选颜色 ， 假设剩下 的为 Ｂ 、 Ｇ 。 ， 若 ８ 。 与Ａ同色 ， 则ｃ 只能选Ｂ点颜色 ； 若曰 ， 与ｃ 同色 ， 则（ 。 有』 ４ 、 曰 处两种颜色可选． 故为Ｂ 、 Ｃ 选 灯 泡 共有 ３ 种选法 ， 得到剩下的两个灯有３ 种情况 ， 则共有
有ｃ ・ Ａ ： ＝ ４ ８ 种所 以不 同的着 色方法 共有４ ８ ＋ ２ ４ ＝ ７ ２
种； 故答案为７ ２ 。
例２ ， 如图 ， 一 环形花 坛分 成Ａ， Ｂ， ｃ， Ｄ四块 ， 现 有４ 种不 同的花供选种 ， 要求在每块里种１ 种花 ， 且相 邻 的２ 块 种 不 同 的 花 ，则 不 同 的 种 法 总 数 为 （ 用数字作答 ）
— —
ｃ （ ｃ ｊ ） ＝ １ ４ ４ （ 种） ； ②用 第四种颜色替换 掉六个顶 点 中两个 ，显然被替换掉 的两个顶点的颜色编号不 能相 同 ， 否则 与（ １ ） 重复， 被替换掉 的两个顶点 也不 能在 同一底面上或同一侧棱上 ，因此被替换掉的两 个顶 点与被保 留的两个 同颜色顶点在 同一侧面上 ， 如 图（ 丁） ， 此 时相当于在（ １ ） 的条件下 ， 保 留一个侧 面上 的对角线 ， 考虑到重复情况 ， 不 同的涂色方法共
立体几何 排列组合题
排列、组合应用题大致可以分为三类，即不带限制条件的排列或组合题；带限制条件的排列或组合题；排列、组合综合题。
【例1】某年级开设语文、政治、体育、外语、历史、物理、化学七门课。
（1）一天开设七科不同课程，每科一节，其中体育不排在第一节，也不排在第七节，问有多少种排法？【例2】从6名男生、4名女生中选派 5名值日生，各有多少种选派方法？（1）只有一名女生；（2）至少有一名女生；（3）至多有2名女生；（4）女生A和B必选入；（5）女A或男甲只一个选入【例3】把12个人分成 3个小组，各有多少不同的分法？（1）各组人数分别为2，4，6人；（2）平均分成3个小组；（3）平均分成3个小组，进入3个不同车间；（4）平均分成3个小组，进入3个不同车间，每人担任不同的工作。
（3）解法一分两步：第一步平均分三组，第二步让三个小组分【例4】有9个工人，其中4人只能当钳工，3人只能当车工，另外2人既能当车工又能当钳工，现从这9人中，选派2名钳工和2名车工完成某项任务，共有多少种选派方法？解法一设既能当车工又能当钳工的二人为甲、乙。
以甲、乙为研究对象，分三类：排列、组合、二项式定理一、选择题:(本大题共6小题,每小题8分共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.由数字1,3,5,7,9可以组成允许有重复数字的三位数和无重复数字的三位数的个数分别是 [ ]A.15,10B.125,12C.125,60D.243,60[ ]A.1B.2C.3D.43.已知集合A=｛0,2,3,5,9｝,从A中任取两个不同元素,它们的和作为元素构成集合B,则集合B的所有子集的个数为[ ]A.511B.512C.1024D.1023[ ]5.把 1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个格子,每格填一个数字,每个格的标号与该格所填数字都不同,则不同的填法有[ ]A.6种B.9种C.11种D.23种系数比的2倍,则a的值为[ ]二、填空题:(本大题共4小题,每小题10分共40分)1.十进制中,含3个奇数数字,含两个偶数数字的不含重复数字的五位数有个.2.圆周24等分,以这些等分点为顶点的直角三角形的数目是 .项是 .4.9192除以100的余数是 .三、本题12分参考答案一、1.C 2.C 3.B 4.A 5.B 6.A二、1.110402.2644.81三、证明:立体几何综合训练一、选择题1．正方体的一条对角线与正方体的棱可组成异面直线 [ ] A．2对 B．3对C．6对 D．12对2．已知直线a、b、c及平面α，具备以下哪一条件时，a∥b [ ] A．a∥α，b∥αB．a⊥c且b⊥cC．a、b与α所成角相等D．a⊥α、b⊥α3．各侧面都是等边三角形的正三棱锥，侧棱与底面所成的角为 [ ][ ]A．①与② B．③与④C．②与④ D．①与③5．梯形ABCD的底边AD在平面α内，另一底边BC到平面α的距离为5，且DA∶CB=7∶3，则梯形对角线的交点O到平面α的距离为 [ ]6．一个圆台的轴截面是半个正六边形，则圆台侧面展开后的中心角为 [ ] A．120° B．180°C．240° D．270°7．一个球过正方体A的各个顶点，正方体B的各条棱和这个球相切，正方体C的各个面和这个球相切，则正方体A、B、C的全面积之比为 [ ]A．2∶3∶6 B．1∶2∶38．三棱锥三侧面与底面所成二面角相等，那么顶点在底面的射影是底面三角形的[ ]A．重心 B．垂心C．内心 D．外心9．用任意平面截球，截得截面积不大于球面积的 [ ]10．三角形三边边长为a、b、c，分别以三边为轴旋转一周，所得旋转体体积之比为 [ ]二、填空题1．异面直线a、b成60°角，点A、B∈a，点C、D∈b，且AB=4，CD=2，E、F、G分别为AC、CB和BD中点，则E和G间距离为____．2．如果一条弧的长度与它所在圆的直径相等．那么这条弧所对的圆心角的弧度数是____．3．纬度为α的纬度圈上有A、B两点，这两点的纬度圈上的弧长为πRcosα(R为球的半径)，则这两点间的球面距离为____．积是____．三、解答题1．在四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，且∠DAB=60°，AB=2CD，∠DCP=45°，设CD=a．(1)求四棱锥P-ABCD的体积．(2)求证：AD⊥PB．2．已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B，并使D点在平面ABC内的射影落在AB上，求二面角D-AC-B的余弦值．3．正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为15cm、高为20cm，求底边AB和对角线A1C间的距离．4．一个圆锥的外接球体积为972π，且内切球面积为圆锥的侧面积和底面积的等差中项．求这个圆锥的体积．立体几何综合训练参考答案一、选择题1．C 2．D 3．D 4．D 5．B 6．B 7．A 8．C 9．A 10．B二、填空题三、解答题1．(1)∵CD=a，∴AB=2a，PD=a．在△ABD中，BD2=5a2-2·2a2cos60°=3a2，AD2+BD2=a2+3a2=4a2=AB2，∴∠ADB=90°，而AD⊥DB．∵PD⊥面ABCD，∴BD是PB在面ABCD内射影，由三垂线定理知PB⊥AD．2．过D作DO⊥AB于点O，过D作DE⊥AC于点E，连结OE，则DO⊥面ABC，OE⊥AC．于是二面角D-AC-B的大小为3．连结A1D、B1C，∵AB∥CD，∴AB ∥面A 1DCB 1．∴ AB 与A 1C 的距离转化为AB 与面A 1C 的距离． ∵AB ⊥BC ，AB ⊥B 1B ， ∴AB ⊥面BB 1C ． 过B 作BH ⊥B 1C ，交于点H ， ∵ CD ∥AB ∴面A 1DCB 1⊥面BCB 1于是底边AB 和对角线A 1C 的距离为12cm ．4．如图2，设圆锥的高为h ，底面半径为r ，母线为l ，内切球心O ，半径为x ，外接球心O 1，半径为y ，则8h 2r=(l+r)3∵h 2=l 2-r 2，∴8(l 2-r 2)·r=(l+r)3．∵ l+r≠0，∴8(l-r)·r=(l+r)2．立体几何单元测试一、选择题(本题满分60分，每小题4分)(1)空间四边形各边中点为顶点的四边形是菱形，则空间四边形的两条对角线 [ ]A．互相垂直且可能长相等B．长相等但不垂直C．长相等且可能互相垂直D．必垂直但长不相等(2)A为直二面角α-l-β的棱l上的一点，两条长度都为a的线段AB，AC分别在α，β内，且都与l成45°角，则BC的长为[ ]A．a(3)四面体ABCD的棱长均为1，M，N分别在一组相对的棱AB和CD上，则线段MN的最小值是 [ ](4)若P为正方体ABCD-A1B1C1D1中棱A1B1的中点，则截面PC1D与面AA1B1B所成二面角的正切值为 [ ](5)平面α内有一个半径为a的圆O，OP⊥α且OP=a，PA是α的一条斜线，PA=2a(A∈α)，B为圆O上的任一点，则PA在α内的射影与AB所成的角中最大角的正弦值为 [ ](6)已知三棱台A1B1C1—ABC中，VB—A1B1C1=4，VC1—ABC=16，则VA1B1C1—ABC等于 [ ]A．28B．29C．30D．无法确定(7)半球内有一内接正方体，则这个半球面的面积与正方体表面积的比为 [ ]D．以上答案均不对(8)△ABC中BC长一定，A点在平行于BC的直线l上移动，若△ABC以直线l为轴旋转一周得一旋转体，则无论A点在直线l上的位置如何，正确结论是 [ ]A．体积和表面积都为定值B．体积为定值，表面积不为定值C．体积不为定值，表面积为定值D．表面积和体积均不为定值(9)如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的平面角的大小关系是[ ]A．相等B．互补C．相等或互补D．无法确定(10)四面体一棱长为x，其余各棱长均为常数a，设四面体的体积函数为V(x)，则在定义域内V(x) [ ]A．是增函数但无最大值B．是增函数且有最大值C．不是增函数且无最大值D．不是增函数但有最大值(11)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则这个三棱锥的全面积是 [ ](12)已知三棱台ABC—A1B1C1中，S△A1B1C1=m2，S△ABC=n2(m＞n＞0)，BC到截面AB1C1的距离等于这个棱台的高，那么截面AB1C1的面积为 [ ]B．mnD．2mn(13)要挖一个半圆柱形鱼池，其池面为圆柱的轴截面，若池面周长为定值2a，则鱼池的最大容积为 [ ](14)圆锥全面积为π，则它的体积的最大值为 [ ](15)如果过圆锥顶点的面积最大的截面是轴截面，圆锥侧面展开图的圆心角为α，则α的取值范围是[ ]A．(0，2π)B．(0，π)二、填空题(本题满分20分，每小题4分)(16)已知P为Rt△ABC所在平面α外的一点，PA=PB=PC=13，两直角边AC，BC的长分别为8和6，则P到BC的距离为______．(17)已知E，F为△ABC中AB和AC的中点，△AEF和梯形EBCF各绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积分别记作V1和V2，则V1∶V2=______．(18)AD是边长为2a的正三角形的边BC的中线，若沿AD把△ABC折成直二面角，则B 到AC的距离为______．(19)圆台两底面半径分别为4和1，轴截面的两条对角线互相垂直，则圆台体积为______．Q的平面中，与球心的最大距离是______．三、解答题(21)(12分)如图25—1所示，在平行四边形ABCD中，已知AB=CD=a，AD=BC=2a，AC∩BD=E，∠A=60°，将其沿对角线BD折成直二面角．(Ⅰ)证明AB⊥平面BCD；(Ⅱ)证明平面ACD⊥平面ABD；(Ⅲ)求二面角A—CE—B的大小．(22)(12分)如图25—2所示，正三棱柱ABC—A'B'C'的底面边长和高都等于a，截面C'AB与截面CA'B'交于DE，求四面体BB'DE的体积．(23)(14分)如图25—3，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D为A1A的中点，E为B1C1的中点．(Ⅰ)求证B1C1∥面DBC；(Ⅱ)若A1A=AB=2a，求二面角B—DC—A的大小(文科求该角的正切值)；(Ⅲ)求E到面DBC的距离．(24)(16分)如图25—4，在四棱台ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2a的正方形，A 1A⊥底面ABCD，且A1A=A1D1=a．(Ⅰ)求证C1C⊥面AB1D1；(Ⅱ)求面AB1D1和面ABCD所构成的二面角的大小(文科求出其正切函数值)；(Ⅲ)求多面体ABCD—B1C1D1的体积．(25)(16分)如图25—5，已知圆锥S—AB的轴截面是Rt△，D为母线SA的中点，C为底面圆内一点，若OC⊥AC，OH⊥SC于H．求证(Ⅰ)OH⊥SA；(Ⅱ)SA⊥面ODH；(Ⅲ)若母线长为2a，求三棱锥S—ODH体积的最大值．答案与提示一、(1)C(2)C(3)B(4)D (5)C(6)A (7)A(8)B(9)D(10)D(11)A(12)B(13)A(14)B(15)C提示：(3)M，N为AB和CD中点时，MN取得最小值．(5)PA在α内的射影与AB所成的角中，当AO⊥OB时，其角最大．此(9)只有当两个二面角的棱互相平行时，它们才可能相等或互补，否则可任意作一个平面α与二面的一个面垂直．又可任意作一个平面β与二面角另一个面垂直，则α，β相交所成的二面角的大小是任意的．(10)设四面体ABCD中，AD=x，则当面ABC与面DBC垂直时，其减．三、(21)(Ⅰ)在△ABD中，AB=a，AD=2a，∠A=60°，∴∠ABD=90°．同理∠CDB=90°∵面ABD⊥面BCD，且AB⊥BD，∴AB⊥面BCDACD，∴平面ACD⊥平面ABD设所求二面角为α，则(22)如图答25—1所示，取A′C′中点G，连EG，则EG∥面B′BCC′．将四面体BB′DE视为以△B′BD为底，E为顶点的三棱锥，则E到面B′BCC′的距离即为锥高，作GH⊥B′C′于H，(Ⅱ)取AC中点F，则BF⊥面ADC过B作BH⊥DC于H，则FH⊥DC∴∠BHF为B—DC—A的平面角EMD⊥面DBC(Ⅲ)取BC中点M，易证面A1过E作EN⊥DM于N，则EN⊥面DBC∴EN即为E到面BDC的距离，(24)(Ⅰ)过D1作D1E⊥AD于E，则D1E⊥面ABCD且A1AED1为边长是a的正方形，AE=ED=a∴AD1⊥D1D又∵AD⊥DC，∴AD1⊥DC∴AD1⊥面DCC1D1，∴AD1⊥C1C同理AB1⊥C1C，∴C1C⊥面AB1D1(Ⅱ)由A1A⊥面ABCD，可得面A1ACC1⊥面ABCD由C1C⊥面AB1D1知A1ACC1⊥面AB1D1可证明面ABCD和面AB1D1的交线必⊥面A1ACC1∴∠O1AC为面AB1D1和面ABCD所成二面角的平面角显然∠O1AC=∠A1O1A(Ⅲ)VABCD-B1C1D1+VABCD-A1B1C1D1-VA-A1B1D1(25)(Ⅰ)由SO⊥底面，OC⊥AC∴SC⊥AC∴AC⊥面SOC，∴AC⊥OH又OH⊥SC，∴OH⊥面SAC，∴OH⊥SA (Ⅱ)∵△SAB为Rt△，显然∠ASB=90°且SA=SB，∴△SAB为等腰直角三角形．∴△SOA也是等腰直角三角形．∴OD⊥SA，又∵SA⊥OH ∴SA⊥面ODH(Ⅲ)由(Ⅱ)SA⊥面ODH又∵OH⊥面SAC。
(完整版)排列组合知识点总结典型例题及解析
排列组合知识点总结 +典型例题及答案解析一．根根源理1．加法原理：做一件事有n 类方法，那么完成这件事的方法数等于各样方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，那么完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或地址赞同重复使用，求方法数常常用根根源理求解。
二．排列：从n 个不相同元素中，任取m〔 m≤ n 〕个元素，依照必然的序次排成一列，叫做从 n个不相同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A n m .1. 公式： 1. A n m n n 1 n 2 ⋯⋯ n m 1n!n m !2.规定： 0!1(1) n!n ( n 1)!,( n 1) n! (n 1)!(2)n n! [( n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)!n! ；(3)n n 1 1n1111(n1)!(n1)!( n1)!(n 1)!n!( n 1)!三．组合：从 n 个不相同元素中任取m〔m≤n〕个元素并组成一组，叫做从n 个不相同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作Cn 。
1. 公式：C n m A n m n n 1 ⋯⋯ n m1n!定： C n01A m m m!m! n m !2.组合数性质： C n m C n n m，C n m C n m 1 C n m1， C n0 C n1⋯⋯ C n n2n①；②；③；④注： C r r C r r1C r r2L C n r1C n r C r r11C r r1C r r2 L C n r1C n r C r r21C r r2L C n r1 C n r C n r11假设C n m1C n m2 m1 =m 2或 m1+m 2n四．办理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事〔审题〕②有序还是无序③分步还是分类。
2．解排列、组合题的根本策略〔1〕两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不吻合条件的全部状况去掉。
立体几何与排列组合
立体几何与排列组合1．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的六个面都是菱形，则D 1在面ACB 1上的射影是∆ACB 1的 （ ） A 重心 B 外心 C 内心 D 垂心2．长方体三条棱分别为a,b,c,若长方体所有的棱长度之和为24，一条对角线为5，体积为2，则cb a 111++等于 （ ） A411 B 114 C 211 D 112 3．已知，正四棱锥侧面是正三角形，设侧面与底面所成的二面角为1θ，相邻两侧面所成的二面角为2θ，则 （ ）A212θπθ-=B 2221θπθ-=C21θθ= D 221θθ=4．在北纬450圈上，有甲、已两地。
它们的经度分别为东经1400和西经1300，地球的半径是R ，则甲、已两地球面距离是 （ ） AR π21 B R π41 C R π23 D R π31 5．若三棱锥A －BCD 的侧面ABC 内一动点P 与底面BCD 的距离与到AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（ ）6．在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA ， E ∈AB,F ∈CD 且AE ：EB =CF ：FD = λ （0＜ λ ＜1 ＝ 设EF 与AC 、BD 所成的角分别是 α 、 β ，则 α+β= （ ） A.大于90°B.小于90°C.等于90°D.与 λ 的值有关7.12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（ ） A ．2686C A B ．2283C AC ．2286C AD ．2285C A8.如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为 （ ）(A)96 (B) 84 (C) 60 (D)489、将5明志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 ( )A. 540B.300C.180D.15010.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案为（ ）A 100B 110C 120D 18011.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有 （ ） （A ）24种 (B)36种 （C ）48种 （D ）72种 12. 若9290129(13)......x a a x a x a x -=++++，则129......a a a +++=13、若=+++++++++=-5432101223344555,)2(a a a a a a x a x a x a x a x a x 则_________；14．已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中AA 1=AB=2，若棱AB 上存在点P ，使PC P D ⊥1，则棱AD 的长的取值范围是______15．已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB=60°，E 、F 别是AC 、AD 上的动点，且).10(<<==λλADAF AC AE（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？16．在四面体ABCD 中，1,,,==⊥⊥⊥BC AB CD BC BD AB BC AB 且。
几何有关的排列组合题的解法
几何有关的排列组合题的解法在几何学中，排列组合是一种常见的解决问题的方法。
通过对图形的排列和组合，我们可以探索出许多有趣和实用的结论。
本文将介绍几何有关的排列组合题的解法，帮助读者更好地理解和解决这类问题。
一、组合问题组合问题是指从一组元素中选取若干个元素，并按照一定规则组合在一起的问题。
在几何学中，常见的组合问题包括圆排列、线排列等。
下面以圆排列为例进行说明。
1. 圆排列问题圆排列是指将若干个不同的圆按一定规则排列在平面上的问题。
一般来说，圆排列可以分为两类：相离圆排列和相切圆排列。
相离圆排列问题是指将若干个不相交的圆排列在平面上的问题。
在解决相离圆排列问题时，我们可以利用排列组合的方法进行求解。
假设有n个圆，我们可以选择其中的m个圆进行排列。
圆的排列数量可以通过组合数公式求得，即C(n,m)。
相切圆排列问题是指将若干个相切的圆排列在平面上的问题。
在解决相切圆排列问题时，我们可以利用等比数列的性质进行求解。
假设有n个圆相切，我们将最大的圆设为第一个圆，其半径为r，那么第i个圆的半径为r/i。
通过求解前n项的和，即可得到圆的总面积。
二、排列问题排列问题是指将一组元素按一定顺序排列的问题。
在几何学中，常见的排列问题包括点线面的排列等。
下面以点线面的排列为例进行说明。
1. 点线排列问题在点线排列问题中，我们需要计算在给定的几何形状中，将若干个点或线按一定规则排列的情况。
这种情况下，排列的顺序非常重要。
例如，给定一个正方形的四个顶点，我们需要计算在这四个顶点中选择若干个点排列成线段的情况。
我们可以根据线段的个数进行分类讨论，分别计算可能的排列情况。
2. 点面排列问题在点面排列问题中，我们需要计算给定的若干个点和若干个面排列成几何形状的情况。
这种情况下，排列的顺序也非常重要。
例如，给定一个平面上的四个点和一个矩形，我们需要计算在这四个点中选择若干个点作为矩形的顶点的情况。
我们可以根据矩形的边的个数进行分类讨论，分别计算可能的排列情况。
立体几何中组合问题的几种解法
立体几何中组合问题的几种解法解决几何组合问题时，应准确灵活使用加法原理和乘法原理，要分类分步进行，做到不重复不遗漏。
1 直接求解法例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有多少种?分析：正面考虑本题各步骤的方法比较复杂，计算困难，应运用逆向思维，即先考虑从10个点任意取出4个点的方法，再减去从10个点中取出4点共面的的方法即可。
解：从10个点中找出4个点的方法有Ｃ410=210种，其中在四面体的四个面内各有6个点，取出共面的4个点的方法有4Ｃ4■=60种；相邻面各棱的中点4点共Ｃ410面的有3种；一条棱上三点与其相对棱中点也共面，共6种。
∴所求方法N=210-60-3-6=141(种)本题应注意“哪些点共面?”共有几种情况?[1]例2：从平面Ⅱ上取6个点，再从平面B上取4个点，这10个点最多可确定多少个三棱锥?解法①：分三种情况考虑：第一种情况从平面a上的6个点中任取一个再与从平面β上的4个点中任取3个点构成的三棱锥有Ｃ1■Ｃ■■个；第二种情况，从平面a上的6个点中任取2个与平面13上的4个点中任取2个点构成的三棱锥有Ｃ2■Ｃ2■个；第三种情况，从平面a上的6个点中任取3个点与平面β上的4个点中任取1个点构成的三棱锥有Ｃ■■Ｃ1■个。
根据加法原理共有Ｃ1■Ｃ■■+Ｃ2■Ｃ2■ +Ｃ■■Ｃ1■ =24+90+80=194(个)。
解法②：逆向思维：从10个点中任取4个点的组合数Ｃ410中，去掉4个点共面的两种情况即4点在平面a上的Ｃ4■个，4点在平面β上的Ｃ4■个。
其余的任4点都能构成一个三棱锥。
因此，可构成三棱锥Ｃ410-Ｃ4■-Ｃ4■=210-15-1=194(个)。
2 从几何概念上求解［2］例3：空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，其余无四个点共面，则这些可以组成四棱锥的个数有多少个?此题易错解，仿上例。
错解一：从共面的6个点中任取1个、2个、3个、4个点，与从另外4个不共面的点中任取4个、3个、2个、1个点可构成的四棱锥有Ｃ1■Ｃ4■＋Ｃ2■Ｃ■■＋Ｃ■■Ｃ2■=6+60=120+60=246(个)。
高中数学排列组合总结及例题解析
高中数学排列组合总结及例题解析内容总结：一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+(2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n mn m m m==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 nn n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m 1212m =m m +m n nn C C ==则或 四、二项式定理.1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C典例分类讲解：一、合理分类与准确分步法(利用计数原理)解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例谈立体几何中的排列组合概率问题
的棱的中点也共面， ４ ｊ 种不同的取法． 共有 ＸＣ ＝８
故不同的取法共有 ４ ＋８ ；５ 种 ． ０ ＋８ ６
例 １ 不共面的 ４个定点 到平 面 口的距离 都相 等， 这样 的平面 ａ共有 Ａ． ３个 解析 Ｂ４ ．个 Ｃ ６个 ． Ｄ． ７个 （０ ５年全 国卷 Ⅲ） ２０ 事实上 ， 平面 ａ可 以分为两类 ： 一类 是在 （ ）
很好 的锻炼 ， 他们是全面发展 的一个群体 ， 但数学 不
３ 国际 ２ 世 纪教 育委 员会 ． １ 联合 国教 科 文组织 总
部 中文科译 ． 育—— 财富蕴藏其 中． 京： 教 北 教育
科 学出版社 ．９ ６ １９
成绩突出 ， 而且经过三年的努力 ， 在各方 面进 步都很
ｒ
４ ［ Ｓ ｐｅ ．ｒ ｋ ｄ ． 静等译． 美］ｔ ｈｎ Ｂｏ ｆ ｄ 罗 ｅ Ｄ ｏｉ 讨论式教学
例 ３ 过三棱柱 任意两个 顶点 的直线共 １ ５条 ， 其中异面直线有
Ａ １对 ８ Ｂ２ ４对 Ｃ３ ．Ｏ对 Ｄ．６对 ３
（
）
（０ ５年全 国卷 Ｉ） ２０
解析
大家知道一个三棱锥可 以确定 ３对异 面
例 ２ 在四棱锥 Ｐ—Ａ Ｃ 中， ．Ｄ Ｂ 顶点为 Ｐ 从其 直线， ， 一个三棱柱可以组成 Ｃ — ＝１个三棱锥， ３３ ２ 故
他的顶点和各棱的 中点 中取 ３ ， 们和 点 Ｐ在 个 使它
同一 平面上 ， 不同的取法有 （ ） ． 种 （０ ５年高考模 拟题 ） ２０ 解析 如图 ２ 满足题设 的取法可分为 ３类 ： 。
Ａ ．０ Ｂ． ８ Ｃ．６ Ｄ． ２ ４ ４ ５ ６
共有 ３ ６对异 面直线 ． 故选 Ｄ．
６ ［ Ｇ Ａ 戴维斯， ． ， 美］ ． ． Ｓ Ｂ 里姆． 杨庭郊译． 英才教
高中数学排列组合的方法与例题分析
高中数学排列组合的方法与例题分析在高中数学中，排列组合是一个重要的概念和方法，它涉及到许多实际问题的解决。
本文将介绍排列组合的基本概念、计算方法以及一些常见的例题分析，帮助读者更好地理解和应用排列组合。
一、排列组合的基本概念排列和组合是两个不同的概念，它们在解决问题时有着不同的应用场景。
排列是指从一组元素中取出若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
当元素个数为n，取出的元素个数为m时，排列的计算公式为A(n,m) = n!/(n-m)!。
其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
组合是指从一组元素中取出若干个元素，不考虑其顺序的方式。
当元素个数为n，取出的元素个数为m时，组合的计算公式为C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)。
二、排列组合的计算方法1. 排列的计算方法：a) 当元素个数n与取出的元素个数m相等时，即n=m时，排列数为n!。
b) 当元素个数n大于取出的元素个数m时，排列数为A(n,m)。
c) 当元素个数n小于取出的元素个数m时，排列数为0，因为无法满足条件。
2. 组合的计算方法：a) 当元素个数n与取出的元素个数m相等时，即n=m时，组合数为1。
b) 当元素个数n大于取出的元素个数m时，组合数为C(n,m)。
c) 当元素个数n小于取出的元素个数m时，组合数为0，因为无法满足条件。
三、例题分析1. 例题一：从10个人中选出3个人组成一支篮球队，问有多少种不同的组队方式？解析：根据题目可以知道，这是一个组合问题，因为不考虑选出的顺序。
根据组合的计算公式，可以得到C(10,3) = 10!/(3!*(10-3)!) = 120 种不同的组队方式。
2. 例题二：某班有10个学生，要从中选出3个学生参加数学竞赛，问有多少种不同的选取方式？解析：根据题目可以知道，这是一个排列问题，因为考虑选出的顺序。
根据排列的计算公式，可以得到A(10,3) = 10!/(10-3)! = 720 种不同的选取方式。
排列组合中的几何问题和图形问题
排列组合中的几何问题和图形问题
作者：朱海东
来源：《中学生理科应试》2015年第12期
一、几何问题
在几何图形中涉及到排列组合的问题主要有三
大类：有关空间四面体；平面三角形；两直线的交点.
解决这些问题，主要的思路是：充分利用几何图形的特点，排除不符合题意的情况，对所求问题进行分
类.
问题1 （1）求以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体的个数？
（2）求以正方体的顶点为顶点的四面体有多少个？
（3）四面体的顶点和各棱的中点共10点.求以这些点为顶点的四面体有多少个？
分析这一组题目都要求确定四面体的个数，一般都可以采用排除法，把四点共面的情况排除.在排除时要充分考虑图形的特点，不能遗漏.在问题（1）中，四点共面的情况比较清楚，只有三个侧面，所以共有四面体：C46-3=12个.在问题（2）中，正方体中的四点共面可分为两类：一类是侧面；另一类是对角面.侧面有6个，对角面也有6个，所以共有四面体；C48-6-6=58个.在问题（3）中，四点共面的情况很容易遗漏，最容易发现的是在四侧面上的四点共面，有4C46种；其次是由各边中点所组成的四点共面，有3种；最隐蔽的是一条棱上的三点和它对棱中点所确定的四点共面，有6种.共有：C410-4C46-3-6=141个四面体.。
例谈立体几何背景下排列组合问题的不同解题思路
例谈立体几何背景下排列组合问题的不同解题思路排列数问题
穷举法：穷举法的核心是将所有可能性均列出来，为了避免数多或数漏，多采用树状图方法。
分类讨论法：①分清元素、位置和限制条件；②决定是从位置还是元素开始讨论（哪个少就从哪个开始讨论）；③从限制最多的开始讨论，随后是限制条件次多的，逐一进行讨论。
正难则反法：①不看限制条件求全集②求限制条件反面的子集，③全集减子集。
捆绑法：①把相邻元素捆绑处理②将捆绑后的元素当做一个整体进行排序。
插书法：①先考虑不受限值元素的排列②再将不相邻的元素插在前面元素排列在空位中。
组合数问题
分类数数问题：该类型题的主要难点是不要出现重复计数和遗漏计数的问题，常用的解题技巧是最大值法和正难则反法。
分组排序问题：
①每组所含元素个数一样多，又称之为平均分组，策略为：取取取后再去序；
②每组所含元素个数均不一样，策略为：取取取；
③每组所含元素个数有一样多的也有不一样多的，策略为：取取取后对于元素个数相等的组之间要去序。
涂色问题：①对要涂色的区域进行分组，涂几种颜色就分几组，分组的原则是同组的区域互不相邻，这一步是重点，通常采用的是穷举法；②进行排序，每组填一种颜色，就是颜色种类的全排列。
插棍问题：①正整数解问题②非负数整数解。
高二数学最新教案-立体几何组合问题的处理方法 精品
立体几何组合问题的处理方法与立体几何有关的组合问题，以灵活、有一定难度等特点使学生不易掌握.现结合具体例子谈谈这类问题的几种处理方法.1.直接求解例1.从平面α上取6点，从平面β上取4点，这10个点最多可以确定多少个三棱锥？ “和”的思路：要想使这10个点构成的三棱锥最多，除α上6点共面，β上4点共面外，应再无四点共面及三点共线.所以可从平面α上6个点中任取一个与平面β上4个点中任取3个构成三棱锥，有3416C C 个；也可以从平面α上6个点中任取2个与平面β上4个点中任取2个构成三棱锥，有2426C C 个；还可从平面α上6个点中任取3个与平面β上4个点中任取1个构成三棱锥，有1436C C 个.根据加法原理共有143624263416C C C C C C ++=194（个）.“差”的思路：先不考虑共面的点，从10个点中任取4点，可构成C 410个三棱锥，去掉在平面α上有C 46个，在平面β上有C 44个，要想达到最多应再无四点共面及三点共线，故最多可构成C 4446410C C --=194（个）.2.结合立几概念例2.空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，此外设有任四个点共面，则这些点可以组成四棱锥的个数有多少个.错解一（“和”的思路）：依题意，可从共面六个点中任取1个、2个、3个、4个点与从另外4个点中任取4个、3个、2个、1个点都可构成四棱锥，所以共有1446243634264416C C C C C C C C +++=264（个）.错解二（“差”的思路）：先不考虑共面，从10个点中任取5个点，可构成C 510个，去掉六点共面有C 56个，故有C 510－C 56=246（个）.正解：由立几中四棱锥的定义知：四棱锥的底面是平面四边形.故四棱锥底面的四点，只能从共面的6个点中选取，有C 46种，顶点可从另外4个点任取一个，有C 14种，由乘法原理有C 46C 14=60（个）.3.结合立几图形例3.（1991年全国高考题）如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ）A.12对B.24对C.36对D.48对解：结合六棱锥图形知：六棱锥的6条侧棱交于一点，底面六边形的6条边共面，因而只能将侧棱与底边相搭配，从6条侧棱中任取一条有C 16种.再从底面6条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条，有C 14种，由乘法原理共有C 16C 14=24对，选B. 例4.（1990年全国高考题）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A.70个B.64个C.58个D.52个解：先不考虑四点共面的情况，从正方体8个顶点中任取4个有C 48种取法，再结合图形去掉四点共面的情况.易知有6个表面，6个对角面，故所求四面体个数为C 48－12=58个，选C.例5.用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？ 此题笔者见许多资料中都给出110个，这答案是错的.现结合图形给出正解. 解：结合正五棱柱的图形，以不同类型的四棱锥的底面分类可得：（1）以棱柱底面为四棱锥底面的共有2C 1545C ； （2）以棱柱的侧面为四棱锥底面的共有1615C C ； （3）以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有1615C C ；（4）以如图中ADC 1B 1（为等腰梯形）为四棱锥底面的共有21615C C ，所以可构成的四棱锥共有2C 1545C +1615C C +1615C C +21615C C =170（个）.4.构造几何模型例6.与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？解：由题设条件，空间不共面的四点可构成四面体，考虑四面体的四个顶点在所求平面两侧的分布，易知当所求平面位于三棱锥的顶点与底面之间时有4个；当所求平面位于三棱锥相对棱之间时有3个.故共有7个平面.例7.在正方体八个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？解：因四面体的6条棱可构成3对异面直线，故可构造四面体，为此只需求出正方体八个顶点可构成多少个四面体即可，而这恰是例4.故可得（C 48－12）×3=174对异面直线.。
第五讲 立体几何.
第五讲 立体几何立体几何作为高中数学的重要组成部分之一，当然也是每年的全国联赛的必然考查内容。
竞赛数学当中的立几题往往会以中等难度试题的形式出现在一试中，考查的内容常会涉及角、距离、体积等计算。
解决这些问题常会用到转化、分割与补形等重要的数学思想方法。
一、立体几何中的排列组合问题。
例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为（A ）4； （B ）8； （C ）12； （D ）24。
分析：一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线。
考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条可与其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现两次，故所有边共出现112224C =次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成的等边三角形个数为2483=个。
例二、（1995年全国联赛一试）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 。
分析：就四棱锥P —ABCD 而言，显然顶点P 的颜色必定不同于A 、B 、C 、D 四点，于是分三种情况考虑：① 若使用三种颜色，底面对角线上的两点可同色，其染色种数为：3560A =（种） ② 若使用四种颜色，底面有一对对角线同色，其染色种数为：1425240C A ⋅=（种）③ 若使用五种颜色，则各顶点的颜色各不相同，其染色种数为：55120A =（种）故不同染色方法种数是：420种。
二、与角有关的计算。
立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三种。
其中两条异面直线所成的角通过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的相交直线所成的角，再构造一个包含该角的三角形，解三角形即可以完成；直线和平面所成的角则要首先找到直线在平面内的射影，一般来讲也可以通过解直角三角形的办法得到，其角度范围是[]0,90︒︒；二面角在求解的过程当中一般要先找到二面角的平面角，三种方法：①作棱的垂面和两个半平面相交；②过棱上任意一点分别于两个半平面内引棱的垂线；③根据三垂线定理或逆定理。
几何图形中的排列组合问题~
几何图形中的排列组合问题福建省福鼎市民族中学 杜学炼关键词：排列组合 分类、列举法 反面排除法 寻找递推法 排列组合是高中数学的重要内容、是高考必考内容之一，它对培养学生分类讨论的数学思想方法和解决实际问题的能力与技巧有着重要的意义。
排列组合与几何图形的整合问题更是常见的题型，在此知识的交汇处命题历来受各类考试命题者的青睐。
面对解决这样的问题，不少同学感到无从下手，本文将通过一些例子的剖析总结几个常用的方法，以期对同学们在学习相应知识时有所帮助。
一、分类、列举法当所研究的问题数量较少时，我们可以通过分类，将它们逐一列举出来，从而得出结果。
但需做到不重不漏。
例1、（05年江苏卷， 理）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( )（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0解：如图1，由题意，因仅有4个仓库可存放这8种化工产品， 故一棱放一仓库的情况不符合题意，易知棱AB 只能与棱CD 或DE 放在同一仓库内。
1）若AB 与棱CD 放在同一仓库内：则可放在同一仓库内的还有：AE 与BC 、AD 与BE 、AC 与DE ；2）若AB 与棱DE 放在同一仓库内： 则可放在同一仓库内的还有：AC 与BE 、AD 与BC 、AC 与CD 。
于是安全存放的不同方法种数为：44248A ，故选（B ）。
点评：本题只需仔细观察图形，稍作分类、列举，再应用排列知识即可解决问题。
例2、如图2，在某城市中，M 、N 两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M 到N 不同的走法共有（ ） （A ）14种 （B ）10种 （C ）8种 （D ）6种解：如图2，从点M 到达N 必须经过H 或I 点，而到达A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 、I 点的路线分别有1种、2种、3种、3种、1种、6种、4种，于是到达N 点的路线共有6+4=10种。
(完整版)排列组合问题常用方法(二十种)
解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得113344288C C A =。
变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得25451440A A =。
二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。
先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得522522480A A A =。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。
三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。
分两步。
第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。
变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
新高考数学题型全归纳之排列组合 专题10 几何问题(解析版)
专题10 几何问题例1．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60︒的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对【解析】正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有21266C =对， 同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，不满足题意的共有：3618⨯=．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60︒的共有：661848-=．故选：C ．例2．四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有( )A ．30种B ．33种C ．36种D ．39种【解析】根据题意，如图，分析可得，①所取的3点在3个侧面上时，每个侧面有35C 种取法，共35330C =种情况；②所取的3点不在侧面上时，含顶点A 的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法；综合可得，共30333+=种，故选：B ．例3．从四面体的顶点及各棱的中点这十个点中，任取3个点确定一个平面，则不同平面个数为( )A ．17B ．23C ．25D ．29【解析】考虑点的选择：（1）三个点都是顶点：一共有4种，就是四面体的四个表面；（2）两个顶点，一个棱中点：为了不和上面的四个面重合，当两个顶点确定时，只有一个选择（此时的面就是一条棱和它的对棱的中点确定的面），所以这种情况一共有6种；（3）一个顶点，两个棱中点：为了不和上面重合，确定一个顶点后，则只能选取它的对面的三个中点了，有3种情况，共有4312⨯=种；（4）三个都是棱中点：可以在正四面体中想，这样的面要么和外表面平行要么和一对对棱平行，所以有437+=种，综上，共有4612729+++=种．故选：D ．例4．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有( )A ．150种B ．147种C ．144种D ．141种【解析】从10个点中任取4个点有410C 种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有464C 种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有44106463141C C ---=种．故选：D ． 例5．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )A ．60B ．48C ．36D ．24【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，一个长方体的面可以和它相对的面上的4条棱和两条对角线组成6个，一共有6个面，共有6636⨯=种结果，长方体的对角面组成两组，共有6个对角面，共有12种结果，根据分类计数原理知共有361248+=种结果，故选：B ．例6．正八边形ABCDEFGH 的8个顶点，以其中3个点为顶点的不同位置的直角三角形共有 个．【解析】正八边形ABCDEFGH 的8个顶点在同一个圆上，8个等分点可得4条直径，可构成直角三角形有4624⨯=个，故答案为：24例7．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有多少个．【解析】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8432⨯=（个)；第二类，有两条公共边的三角形共有8（个)．由分类加法计数原理知，共有32840+=（个)．例8.不共面的四点确定四面体(记得易除共面的情况）(I)以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四面体?（II ）以正方体的顶点为顶点,可以确定多少个四棱锥?【解析】（I ）正方体的8个顶点可构成48C 个四点组,其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点,故可以确定四面体的个数为48C 1258-=(II)由(I)知，正方体共面的四点组有12个,以这每一个四点组构成的四边形为底面,以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥,故可以确定四棱锥的个数为1412C 48.=例9.考虑44⨯的正方形方格表中的25个格点,则通过至少3个格点有不同直线的数目为【解析】水平和竖直的直线共有10条,两条对角线和与两条对角线平行的直线共有10条,在44⨯的正方形中有6个24⨯的长方形,每个24⨯的长方形有2条对角线，即6212⨯=条,因此共有32条.例10.如图，给定由10个点(任意相邻两点距离为1)组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是【解析】如图：边长为1的正三角形共有1+3+5=9个；边长为2的正三角形共有3个；边长为3的正三角形共有1个；边2个.综上可知:共有9+3+1+2=15个.。
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例析立体几何中的排列组合问题
过月圆春晖中学在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。
立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。
立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，
下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。
1 点
1．1 共面的点
11997年全国高考（文））（例
A3A在同四面体的一个顶点为个点，使它们和点，从其它顶点与棱的中点中取）一平面上，不同的取法有（
A30 B33 C36 D39种种．种．．．种4666A所解析：四面体有个中点，
每个面上的个顶点，个点共面。
点条棱有
34AA个面内，共有在点组合有个，点在的每个面中含个组合；点的A6333
点与这条棱对棱的中点共面。
条棱的个点，这条棱上，每条棱上有在
A共面的四点组合共有个。
所以与点
B答案：97文科试题中难度最大的选点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属3点与它对棱上的中点共面的情况计择题，失误的主要原因是没有
把每条棱上的算在内。
1．2 不共面的点
21997年全国高考（理））（例
104个不共面的点，不同的取法共有个点，在其中取四面体的顶点和各棱中点共）（A150 B147 C144 D141
种．种．种．种．
410 4点共面的情况有三类：第一个点中任取个点有解析：从种取法，其中
4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上类，取出的346种；第三类，由中位线构成的平行四边的个点及对棱的中点，这点共面有43种。
形，它的个顶点共面，有
以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。
D答案：。
点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则
反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。
2 直线
例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理））
过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）
A．18对B．24对C．30对D．36对
分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。
解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。
例：与AB异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。
侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线；
例：与BB1异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5 条与其异面的直线；
例: 与AB1异面的直线分别是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数
两遍。
共有。
法二：一个四面体中有3对异面直线，在三棱柱的六个顶点中任取四个，可构
故共有异面直线。
成四面体的个数为：D
答案：点评：解法一是例举法，把符合要求的所有的情况全列出来，列举时一定要按一定的次序进行，以防遗漏和重复，这一看似笨拙的方法对数目不太大的情况常给人以清新，大智若愚之感，在近年高考中，这一方法经常用到；解法二是
利用影射，构造四面体解决的，有较高的技巧，在竞赛中时常出现。
3 平面
例4 α、β是两个平行平面，在α内取4个点，在β内取5个点，这9个点最多能确定多少个平面？
解析：
例5（2002年全国高考）
从正方体的六个面中选3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（）
A．8种B．12种C．16种D．20种
解析：
4 模型
4．1 平面多边形
例6（2004年高考·湖南卷）从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（）
A．56 B．52 C．48 D．40
解析：由于正方体各个顶点的位置一样，故可研究一个顶点，比如B点。
以B 为
,共,,直角顶点的三角形有：,,6个，。
故正方体中共有．
答案：C
点评：在中直角顶点只有一个，从直角顶点出发考虑问题可避免重复，正方体中各顶点位置均等，抓住这一点也是问题解决得关键。
4．2 空间多面体
例7 从正方体的八个顶点中任取四个点，所取的四个点中能构成四面体的取法共有____________。
5 其它
例8（2005年高考·江苏卷）
四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工
产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）
A．96 B．48 C．24 D．0
解析：如图所示，与每条侧棱异面的棱分别为2条。
例如侧棱SB与CD、AD棱异面。
以四条侧棱为代表的化工产品分别放入四个
（种）种。
从而安全存放的不同放法种数为仓库中，计B
答案：条棱的关系来处理化工产品的存放种数，8本题用四棱锥的]点评[。