《实数》知识归纳

实数

一、本章知识结构

二、基础知识

1．算术平方根。

（1）定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根. 记为a ”,a 叫做被开方数。

（2）规定：0的算术平方根是0

（3）性质：算术平方根a 具有双重非负性：

①被开方数a 是非负数，即a ≥0.

②算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0。

也就是说， 任何正数的算术平方根是一个正数，

0的算术平方根是（ 0 ），

负数没有算术平方根。

2．平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根或二次方根

（2）非负数a 的平方根的表示方法: a ±

（3）性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。

0 只有一个平方根，它是0 。

负数没有平方根。 说明：平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。要特别注意： a ≠±a 。

3.平方根与算术平方根的区别与联系：

区别：①定义不同算术平方根要求是正数

②个数不同平方根有2个，算术平方根1个 ③表示方法不同：算术平方根为a ，平方根为±a

联系：①具有包含关系：算术平方根平方根⊇

②存在条件相同：0≥a

③0的平方根和算术平方根都是0。

4．a 2的算术平方根的性质 a (a ≥0)

2a =│a │=

-a (a<0)

从算术平方根的定义可得：2)(a =a (a ≥0)

5．立方根

（1） 定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根

（2） 数a 的立方根的表示方法:3a

（3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关系：互为相反数

（4） 两个重要的公式 为任何数）

为任何数）a a a a a (()3(3333== 6．开方运算：

（1）定义：

①开平方运算：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方。

②开立方运算：求一个数立方根的运算叫做开立方

（2）平方与开平方是互逆关系，故在运算结果中可以相互检验。

7．无理数的定义

无限不循环小数叫做无理数

8．有理数与无理数的区别

有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。而无理数是无限不循环小数小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。有理数可以化成分数，无理数不能化成分数。

9.常见的无理数类型

（1）一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···

（2）看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。

（3）有特定意义的数，如：π=3.14159265···

(4)开方开不尽的数。如：35

,3。

10．实数

（1）概念：有理数和无理数统称为实数。

（2）分类按定义

正整数

整数 0

负整数

有理数有限小数或无限循环小数

正分数

实数分数

负分数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

按大小正实数

实数零

负实数

(3)实数的有关性质

①a与b互为相反数〈=〉a+b=0

②a与b互为倒数〈=〉ab=1

③任何实数的绝对值都是非负数，即a≥0

④互为相反数的两个数的绝对值相等, 即a=a

⑤正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.

⑥一个正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 （4）实数和数轴上的点的对应关系：

实数和数轴上的点是一一对应的关系

实数的大小比较

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

正数大于零；零大于负数；正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。（5）实数中的非负数及其性质

在实数范围内，正数和零统称为非负数

我们已经学过的非负数有如下三种形式

①任何一个实数a的绝对值是非负数，即a≥0

②任何一个实数的平方是非负数，即2a≥0；

③任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即a≥0

非负数有以下性质

①非负数有最小值零

②有限个非负数之和仍然是非负数

③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。