《实数》知识归纳

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数学实数知识点总结归纳

数学实数知识点总结归纳一、实数的基本概念1．有理数有理数包括整数、分数和负数。

整数包括自然数和零，是没有小数部分的数；分数是一个整数除以另一个整数得到的数，可以用分数形式表示；负数是小于零的数，可以表示为“-”加上一个正数。

2．无理数无理数是不能表示为有理数的数，如根号2、圆周率π等。

这些数不能用有限小数表示，并且不能被表示为两个整数的比例。

3．实数的表示实数可以用小数表示，包括有限小数和无限循环小数。

有限小数是小数部分有限位数的实数，可以用有限位数的小数表示；无限循环小数是小数部分无限位数的实数，可以用循环小数形式表示。

二、实数的运算1．加法和减法实数的加法和减法规则和有理数的运算规则相同，即同号相加、异号相减。

加法和减法的结果仍然是实数。

2．乘法和除法实数的乘法和除法规则和有理数的运算规则相同，即同号相乘得正数，异号相乘得负数。

乘法和除法的结果仍然是实数。

3．乘方和开方实数的乘方和开方是实数的特殊运算，乘方是指一个数自身相乘若干次，开方是指一个数的平方根。

乘方和开方的结果仍然是实数。

三、实数的性质1．实数的代数性质实数包括有理数和无理数，它们满足代数运算的基本性质，如交换律、结合律、分配律等。

2．实数的比较性质实数可以进行大小比较，满足大小比较的基本性质，如传递性、反对称性、三角不等式等。

3．实数的稠密性质实数满足稠密性质，即在任意两个不相等的实数之间，都可以找到一个实数。

四、实数的应用1．实数在数学中的应用实数在数学中的应用非常广泛，涉及到各种数学问题和计算中，如代数、几何、概率、统计等。

2．实数在物理中的应用实数在物理中的应用也非常广泛，涉及到各种物理问题和计算中，如力学、热力学、光学、电磁学等。

3．实数在工程中的应用实数在工程中的应用也非常广泛，涉及到各种工程问题和计算中，如土木工程、机械工程、电子工程、通信工程等。

总之，实数是数学中的一个重要概念，包括有理数和无理数两个部分。

实数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，掌握实数的相关知识对于提高数学水平和解决实际问题是非常重要的。

实数知识总结

实数知识点总结一、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．记作：±√a 2或±√a a 叫做被开方数，2叫做根指数，可以省略不写。

（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

（3）平方与开平方互为逆运算：（±3）=9，9的平方根是±3，记作±√9=±3. （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算； 0的平方根是0。

（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x题型一;求下列各数的平方根 36 0.00493625-（-169）36121（−10）6214题型二：利用平方根解方程1、（1）（2x-1）2-169=0；（2）12142=x题型三：正数有两个平方根，它们互为相反数的考核1、一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x ，则a 是多少？2、若5a ＋1和a －19是数m 的平方根，求m 的值。

二、算术平方根（1）算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。

（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。

（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

实数知识点归纳

专题一实数知识点归纳【知识点一】实数的分类1、按定义分类： 2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数.【知识点二】实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数 a+b=0.2.绝对值|a|≥0．3.倒数（1）0没有倒数 (2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数 .4.平方根(1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作．(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a(a≥0)的算术平方根记作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．【知识点三】实数与数轴数轴定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．【知识点四】实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.3.无理数的比较大小：【知识点五】实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．4.除法除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方(1)an所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．(3)零指数与负指数【知识点六】有效数字和科学记数法1.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．2.科学记数法：把一个数用(1≤ ＜10，n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．。

(完整版)第六章实数知识点总结

第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16π是有理数，而不是无理数。

3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

如果，那么x叫做a的平方根。

（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

如果，那么x叫做a的立方根。

2、运算名称（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。

平方与开平方互为逆运算。

（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

开立方和立方互为逆运算。

3、运算符号（1）正数a的算术平方根，记作“a”。

（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。

（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。

4、运算公式4、开方规律小结（1）若a≥0，则a的平方根是a a a它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。

实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。

实数知识点总结归纳

实数知识点总结归纳实数是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。

在这篇文章中，我们将对实数的基本概念、性质和应用进行总结和归纳。

希望通过这篇文章，能够帮助读者更全面地理解和掌握实数的知识。

一、实数的基本概念实数是数学中最基本的数集，包括有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，可以是正数、负数或零。

而无理数则无法表示为有理数的形式，无限不循环小数形式的数称为无理数。

实数的集合用符号R表示，R={x | x是有理数或无理数}。

实数满足以下性质：1. 实数进行加、减、乘、除运算时仍然是实数；2. 实数满足交换律、结合律和分配律；3. 实数可以通过数轴上的点来表示，数轴是一个按照大小顺序排列的直线。

二、实数的性质1. 实数的比较性质实数具有自反性、对称性和传递性。

对于任意的实数a、b，下面三个性质成立：自反性：a = a；对称性：如果a = b，则b = a；传递性：如果a = b，b = c，则a = c。

2. 实数的密度性质实数集是一个稠密集合，即在实数中，两个不相等的实数之间必然存在一个有理数或无理数。

这一性质保证了实数的连续性和无间断性。

3. 实数的无穷性质实数集是一个无穷集合，它既没有最大值也没有最小值。

无理数在实数集中的分布非常稠密，可以被无数个有理数所逼近。

三、实数的应用实数在数学和其他学科中有着广泛的应用，下面我们介绍几个常见的应用领域：1. 几何学实数在几何学中起到了重要的作用，可以通过实数来表示直线的长度、角的大小等几何量。

2. 物理学实数在物理学中有着广泛的应用，可以表示物体的质量、速度、时间等物理量。

实数的加减运算、乘除运算也被用于描述物理学中的运动和力学等概念。

3. 金融学实数在金融学中有着广泛应用，可以用来表示股票价格、利率、收益率等经济指标。

实数的运算和比较也是金融学中常用的计算手段。

4. 统计学实数在统计学中扮演着重要的角色，可以用来表示样本的测量结果、变量的取值等。

实数知识点总结

考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。

（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

如果，那么x叫做a的平方根。

（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

如果，那么x叫做a的立方根。

2、运算名称（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。

平方与开平方互为逆运算。

（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

开立方和立方互为逆运算。

3、运算符号（1）正数a的算术平方根，记作“a”。

（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。

（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。

4、运算公式4、开方规律小结（1）若a ≥0，则a 的平方根是a ±，a 的算术平方根a ；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。

实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。

实数知识点详细总结

第4章实数知识结构：实数1.平方根（1）定义:如果x 2=a(a ≥0),那么x 叫做a 的平方根（1）一个正数有两个平方根,它们互为相反数（2）性质（2）0的平方根是0（3）负数没有平方根（3）开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方（4）算术平方根（1）定义:正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根（2）规定:0的算术平方根是0（3）性质:√a 具有双重非负性,即√a ≥0,a ≥0 （5）意义:(√a )2=a(a ≥0)a(a ≥0)√a 2=∣a ∣=-a(a ＜0)2.立方根（1）定义:如果x 3=a,那么x 叫做a 的立方根（2）性质（1）正数的立方根是正数（2）0的立方根是0 （3）负数的立方根是负数（3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方（4）意义√a 33=a(√a 3)3=a3.实数（1）实数的分类1.按性质（1）正实数（2）0 （3）负实数2.按概念（1）有理数（2）无理数-----无限不循环小数（2）实数的性质实数范围内的相反数、倒数、绝对值意义与有理数范围内完全一样实数与数轴上的点是一一对应关系有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用与有理数的运算法则、运算律相同4.近似数定义：接近准确数而不等于准确数的数叫做近似数精确度：常用四舍五入法对近似数进行精确4.1平方根一、平方根的概念及表示拓展延伸：（1）由平方根的意义可知，x=±√a，把x=±√a代入x2=a，得（±√a）2=a（a≥0）.（2）当a≥0时，我们说式子√a有意义，当a＜0时，式子√a无意义。

二、平方根的性质1.正数有两个平方根，它们互为相反数。

如果a＞0，那么a的平方根为±√a2.0有一个平方根，就是0，即√0=03.负数没有平方根三、开平方注意：开平方是求一个非负数的平方根的运算，开平方与平方互为逆运算，只不过一个数的平方是一个数，而一个数（正数）的平方根是一对相反数。

实数常识知识点归纳总结

实数常识知识点归纳总结一、有理数有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和循环小数。

有理数的性质包括：1. 有理数的加减乘除运算规律；2. 有理数的乘方和开方运算规律；3. 有理数的大小比较和大小关系；4. 有理数的取整和绝对值等基本运算。

二、无理数无理数是不能由两个整数的比值来表示的数，它们是无限不循环的小数。

无理数的性质包括：1. 无理数与有理数的加减乘除运算规律；2. 无理数的乘方和开方运算规律；3. 无理数的大小比较和大小关系；4. 无理数的取整和绝对值等基本运算。

三、实数实数是有理数和无理数的总称，实数的性质包括：1. 实数与实数的加减乘除运算规律；2. 实数的乘方和开方运算规律；3. 实数的大小比较和大小关系；4. 实数的取整和绝对值等基本运算。

四、实数的表示实数可以用各种方式来表示，包括有限小数、循环小数、无限不循环小数和根式等形式。

在表示实数时，需要注意保留足够的有效数字和小数点后的位数。

五、实数的运算实数的加减乘除运算是数学中最基本的运算，要掌握实数的运算规律，包括正负数相加减、乘法法则、除法运算。

另外还有实数的乘方和开方运算，这也是实数的重要运算。

六、实数的大小比较实数的大小比较是数学中的一个重要概念，掌握了实数的大小比较，才能够更好地理解和运用实数。

实数的大小比较包括有理数和无理数的大小比较，以及实数的大小关系。

七、实数的应用实数在数学中有着广泛的应用，包括代数计算、几何运算、函数图像和方程求解等方面。

实数的应用可以帮助我们解决各种数学问题，提高数学运算能力和解题能力。

总结：实数是数学中的一个重要概念，掌握了实数的常识知识点，才能够更好地理解和运用数学知识。

实数的常识知识点包括有理数、无理数、实数的性质、表示、运算、大小比较和应用等方面，需要不断地进行学习和实践，才能够掌握实数的知识，提高数学运算能力。

实数章节总结知识点

实数章节总结知识点一、实数的定义实数的定义并不是一个简单的概念，它需要通过一系列的概念和引理来建立。

在数学中，实数的定义通常是通过有理数和无理数来构建。

有理数是可以表示为分数形式的数，例如1/2、3/4、-2/3等，而无理数则不能用分数形式表示，如π、√2等。

实数就是有理数和无理数的集合，它包括了所有可以表示为小数形式的数，而且这些数都可以在数轴上表示出来。

在实数的定义中，除了有理数和无理数的概念外，还涉及到了序关系和等价关系。

实数具有天然的序关系，即对于任意的两个实数a和b，要么a<b，要么a=b，要么a>b。

这个序关系决定了实数在数轴上的排列顺序，可以直观地表示出实数之间的大小关系。

而等价关系则是指实数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等运算，这些运算满足一系列的性质，例如封闭性、结合性、交换性和分配性等。

二、实数的性质实数具有一系列重要的性质，这些性质包括了实数的基本运算性质、序关系性质和等价关系性质等。

下面我们将分别对这些性质进行详细的讨论。

1. 实数的基本运算性质实数具有加法、减法、乘法和除法等基本运算性质。

这些运算性质包括了封闭性、结合性、交换性和分配性等。

封闭性指的是对于任意的两个实数a和b，它们的和、差、积和商都是实数，即a+b、a-b、a×b和a÷b都是实数。

结合性指的是对于任意的三个实数a、b和c，它们的和、差、积和商的结果都是唯一的，即(a+b)+c=a+(b+c)、(a-b)-c=a-(b-c)、(a×b)×c=a×(b×c)和(a÷b)÷c=a÷(b÷c)。

交换性指的是对于任意的两个实数a和b，它们的和、积满足交换律，即a+b=b+a和a×b=b×a。

分配性指的是对于任意的三个实数a、b和c，它们的积和和之间满足分配律，即a×(b+c)=a×b+a×c。

(完整版)实数知识点总结

(完整版)实数知识点总结1. 实数的定义实数是包括有理数和无理数在内的数的集合。

实数集包含有理数集和无理数集。

2. 有理数的性质有理数是可以表示为两个整数的比值的数。

有理数的性质包括：- 有理数的四则运算性质：加法、减法、乘法和除法。

- 有理数的分数形式，即可以表示为两个整数的比值。

- 有理数可以表示为小数，且小数可以是有限的或无限循环的。

3. 无理数的性质无理数是不能表示为两个整数的比值的数。

无理数的性质包括：- 无理数不能表示为分数形式。

- 无理数的十进制表示是无限不循环的。

- 无理数可以用无限不循环的小数表示，但无法精确表示。

4. 实数的数轴表示实数可以在数轴上表示，数轴上的每个点都对应一个实数。

5. 实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

实数的运算满足以下性质：- 交换律：a + b = b + a，a * b = b * a。

- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，(a * b) * c = a * (b * c)。

- 分配律：a * (b + c) = a * b + a * c。

6. 绝对值绝对值是一个数离0的距离，可以用来表示数的大小。

绝对值的性质包括：- 绝对值非负：|a| >= 0。

- 非零数的绝对值大于0：|a| > 0。

- 绝对值的加法：|a + b| <= |a| + |b|。

7. 实数的比较实数可以进行大小比较，实数的比较满足以下性质：- 反身性：a = a。

- 对称性：如果a > b，则b < a。

- 传递性：如果a > b，b > c，则a > c。

8. 实数的区间实数可以按照大小关系分为开区间、闭区间、半开半闭区间等。

区间的边界可以是实数也可以是无穷大。

9. 实数的近似值由于实数的无理数部分是无限不循环的，所以我们一般用近似值来表示实数。

10. 实数的应用实数在数学和科学中有广泛的应用，如在几何中表示线段长度、在物理中表示物体的质量等。

初中数学实数知识总结

第一章实数一．实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数：有理数与无理数的统称。

有理数：整数和分数的统称。

（正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。

）无理数：无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等正数：比0大的实数。

正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写。

负数：比0小的实数。

负数前面常有一个符号“-”，不可以省略不写，负数与正数表示意义相反的量。

0：即不是正数也不是负数，正负以0为界。

二. 实数的倒数、相反数和绝对值数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。

三要素：原点、正方向、单位长度（1）在直线上任取一个点表示0这个点叫做原点；（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度，1、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

2、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

3、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方根）。

七年级实数知识点归纳整理

七年级实数知识点归纳整理一、实数的定义实数是可以用数轴上的点表示的数，包括有理数和无理数两部分。

有理数是可以写成两个整数之比的数，而无理数则不能用有限的小数或分数表示。

实数范围包括正数、负数和零。

二、实数的四则运算法则1.实数的加法和减法运算：实数加法运算遵循交换律、结合律和分配律，减法运算可以转化为加法运算。

2.实数的乘法和除法运算：实数乘法运算遵循交换律、结合律和分配律，除法运算可以转化为乘法运算。

三、实数的比较大小1.同号实数的比较大小：同号实数绝对值越大，数值越大。

2.异号实数的比较大小：如果两个实数各为正数或负数，则绝对值大的数较小，反之则绝对值小的数较小。

四、实数的绝对值实数a的绝对值表示为|a|，表示a到原点的距离。

当a为正数时，|a|=a，当a为负数时，|a|=-a。

五、开方运算1.正实数的开方：对一个正实数a开方，结果是一个正实数x，即x²=a。

2.负实数的开方：不存在实数的平方等于负数，但可以引入虚数单位i，表示√-1，即i²=-1。

因此，负实数的开方可以用虚数单位表示，如√-4=2i。

六、实数的进一法和舍一法1.进一法：如果一个数x的小数部分大于等于0.5，则x取整后加1，即进一法。

2.舍一法：如果一个数x的小数部分小于0.5，则x取整后不变，即舍一法。

七、实数的科学计数法科学计数法可以将一个实数表示成a×10ⁿ的形式，其中a是一个在1和10之间的数，n为整数。

例如，1234可以表示为1.234×10³。

八、实数的表示方式1.小数表示法：直接将实数表示为小数形式，如1.5、-0.75等。

2.分数表示法：将实数表示为两个整数的比，如¾、-2/3等。

3.百分数表示法：将实数乘以100，以百分号表示，如25%、-50%等。

九、实数的应用实数在日常生活和数学科学中有广泛的应用，如货币、温度、长度、面积、体积等均为实数，实数也是数学中许多重要概念的基础，如不等式、函数、导数等。

实数知识点梳理

考点卡片1．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．2．绝对值（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．（2）如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．即|a|={a（a＞0）0（a=0）﹣a（a＜0）3．倒数（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•=1（a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．（2）方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求一个数的相反求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可数求一个数的倒数求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置注意：0没有倒数．4．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“﹣a”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．5．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．6．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．7．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：a3．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．8．无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．9．实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．10．实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．11．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．12．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．13．代数式求值（1）代数式的：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．。

《实数》知识点归纳

《实数》知识点归纳一、实数的定义实数是有理数和无理数的总称。

有理数包括整数和分数，整数又包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

二、实数的分类1、按定义分类实数可以分为有理数和无理数。

有理数：能表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。

例如：－3、0、1/2 等。

无理数：无限不循环小数，例如：π（圆周率）、√2（根号 2）等。

2、按正负分类实数可以分为正实数、零和负实数。

正实数：大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。

负实数：小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。

三、数轴数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。

实数与数轴上的点一一对应，也就是说，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

例如，在数轴上表示√2，我们可以先确定一个单位长度，然后以原点为起点，向正方向画出长度为√2 个单位长度的线段，其终点对应的数就是√2。

四、相反数绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数。

实数a 的相反数是a，0 的相反数是 0。

例如，5 的相反数是－5，π 的相反数是π。

五、绝对值实数 a 的绝对值表示为｜a|，定义为：当a≥0 时，｜a| ＝ a；当 a＜0 时，｜a| ＝ a。

绝对值的几何意义是数轴上表示数 a 的点到原点的距离。

例如，｜3| ＝ 3，｜－2| ＝ 2。

六、倒数若两个数的乘积为 1，则这两个数互为倒数。

非零实数 a 的倒数是1/a，0 没有倒数。

例如，2 的倒数是 1/2，－3 的倒数是－1/3。

七、平方根如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。

正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。

例如，9 的平方根是±3，因为（±3）²＝ 9。

八、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作√a，0 的算术平方根是 0。

实数概念知识点总结

实数概念知识点总结一、实数的定义实数是指所有的有理数和无理数的总称。

有理数是指可以表示为两个整数之比的数，无理数是指不能表示为有理数的数。

实数包括了所有的有理数和无理数，是数轴上的所有点的集合。

实数的定义还可以从数轴的角度来理解。

数轴是一条无限长的直线，上面标记了所有的实数。

数轴上任意一点都对应着一个实数，数轴上的点是有序的，也就是说数轴上的点按大小顺序排列。

这种对应关系使得我们可以将实数看做是一个有序的集合。

二、实数的性质1.实数的代数性质实数满足加法、减法、乘法和除法运算。

对于任意的实数a、b和c，有以下代数性质成立：（1）交换律：a + b = b + a，ab = ba；（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，(ab)c = a(bc)；（3）分配律：a(b + c) = ab + ac；（4）单位元素：存在0和1，使得a + 0 = a，a · 1 = a；（5）加法逆元：对于任意的实数a，存在一个数-b，使得a + (-b) = 0；（6）乘法逆元：对于任意的非零实数a，存在一个数1/a，使得a · (1/a) = 1。

2.实数的大小比较实数具有大小的比较关系。

对于任意的实数a和b，有以下性质成立：（1）对于任意的实数a，有a > 0，a = 0或a < 0；（2）对于任意的实数a和b，有严格不等式a < b，a > b或者a = b。

3.实数的密度性质实数是一个稠密的集合，它意味着在数轴上，任意两个不相等的实数之间都存在着无限多个实数。

这一性质对于实数的连续性和无限性具有重要意义。

4.实数的有理数与无理数性质（1）有理数的性质：有理数是可以表示为两个整数之比的数，它们在数轴上是分散的、不连续的点。

有理数包括了整数和分数两种类型。

（2）无理数的性质：无理数是不能表示为有理数的数，它们在数轴上是一些孤立的、不连续的点。

实数知识点

实数知识点
实数知识点总结：
1. 实数的定义与分类：实数是有理数和无理数的总称，包括有理数、无理数和零。

有理数包括整数和分数，而无理数则是一些无法表示为两个整数的比的数，如π和根号2等。

实数还可以根据其性质分为正数、负数、零、正有理数、负有理数和复数等。

2. 实数的表示方法：实数可以用多种方式表示，如小数、分数、指数形式和根式等。

实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之亦然。

3. 实数的运算：实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

这些运算的基本性质包括交换律、结合律、分配律等。

在进行实数运算时，需要注意运算的优先级，如先乘除后加减，括号内的运算优先等。

4. 实数的性质：实数具有一些基本的性质，如实数的有序性、传递性和阿基米德性质等。

这些性质在证明数学定理和解决数学问题时非常重要。

5. 实数的应用：实数在各个领域都有广泛的应用，如数学、物理、工程和经济等。

例如，在物理学中，速度、密度和加速度等物理量都可以用实数表示；在工程中，电路中的电压和电流也是用实数表示的；在经济学中，增长率、收益率和价格等也都是用实数来计算的。

以上是关于实数的知识点总结，希望能对您有所帮助。

实数的知识点全总结

实数的知识点全总结一、实数的定义实数是指包括有理数和无理数在内的所有实际存在的数。

有理数是可以表示为两个整数的比的数，而无理数是不能表示为两个整数的比的数。

例如，根号2就是一个无理数，它不能被表示为两个整数的比。

实数的定义是数学上一个很基础的定义，但是实数的性质和运算规则却有很多深刻的内容，需要深入研究和探讨。

二、实数的性质1. 实数的闭包性：任意两个实数相加、相减、相乘得到的仍然是一个实数，这就是实数的闭包性。

实数集合对于加法和乘法是封闭的，这也是实数集合与有理数集合的一个重要区别。

2. 实数的稠密性：实数集合是一个稠密集合，任意两个实数之间都存在有理数，也存在无理数。

这就意味着实数集合是一个非常密集的数学概念，包含了所有可能的数。

3. 实数的有序性：实数集合是一个有序集合，任意两个实数都可以进行比较大小。

这是实数集合与无理数集合的一个重要区别，也是实数集合在数学分析中应用广泛的一个性质。

4. 实数的无限性：实数集合是一个无限集合，它包括了所有可能的有理数和无理数。

实数集合的无限性是数学中一个非常重要的概念，它在分析、代数、几何等不同领域都有重要的应用。

5. 实数的稳定性：实数集合是一个稳定的数学概念，它对于加法、乘法、取绝对值等运算都是稳定的。

这也是实数集合与有理数集合的一个重要区别，有理数集合在进行除法运算时往往会出现不稳定的情况。

三、实数的运算规则1. 实数的加法：对于任意两个实数a和b，它们的和a+b也是一个实数。

加法满足交换律、结合律和分配律等运算规则。

2. 实数的减法：对于任意两个实数a和b，它们的差a-b也是一个实数。

减法是加法的逆运算，减法也满足交换律和结合律。

3. 实数的乘法：对于任意两个实数a和b，它们的积ab也是一个实数。

乘法满足交换律、结合律和分配律等运算规则。

4. 实数的除法：对于任意两个实数a和b，如果b不等于0，那么它们的商a/b也是一个实数。

实数的除法是乘法的逆运算，除法满足交换律和结合律。

初二数学《实数》知识点

初二数学《实数》知识点初二数学《实数》知识点一、实数的概念实数是由有理数和无理数组成的无限小数。

实数可以分类为正实数、负实数和零。

正实数包括正整数、正小数和正分数；负实数包括负整数、负小数和负分数；零是实数的特殊形式，既不是正实数也不是负实数。

二、实数的运算实数的运算包括加、减、乘、除和乘方。

运算时，先算乘方再算乘除，最后算加减。

当一个算式中含有多种运算时，应先算乘除后算加减。

乘方的计算规则是底数不变，指数相乘。

三、实数的性质1、有序数对可以确定一个点在数轴上的位置，反过来，一个点在数轴上的位置也可以用有序数对表示。

2、在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

3、任意一个数除以一个正数，得正实数；除以一个负数，得负实数；除以零，得零。

4、有理数和无理数的乘积都是有理数。

5、两个正实数的积是正实数；两个负实数的积是负实数；正实数和零的积是零；负实数和零的积是零。

6、两个正实数的商的符号取决于它们的绝对值，两个负实数的商的符号取决于它们的绝对值的商的符号。

7、任何一个有理数都可以表示为一个分数形式的有理数，其中分子为该数的整数部分，分母为1。

四、实数的应用实数在实际生活中有着广泛的应用，例如长度、面积、体积、质量等计量单位都是由实数表示的。

此外，实数还应用于科学、工程、经济等领域，如物理学中的速度、加速度等概念，化学中的摩尔质量、溶液浓度等概念，以及经济学中的成本、收益等概念都需要用到实数的知识。

总之，初二数学《实数》知识点是数学学习中的一个重要内容，对于学生掌握数学基础知识和提高数学应用能力都具有重要意义。

在学习过程中，学生应该认真掌握实数的概念、运算和性质，并学会将所学知识应用到实际生活中去。

中考数学总复习知识点总结实数

中考数学总复习知识点总结实数一、实数的基本概念：1.自然数、整数、有理数和无理数。

2.实数的刻画方法：小数法和不循环小数法。

二、实数间的关系：1.实数的大小比较：大于、小于和等于。

2.实数的绝对值。

3.同号数相加、异号数相减。

4.实数的加法和乘法。

5.实数的分数乘法运算法则。

6.实数的倒数运算。

三、实数的性质：1.实数的交换律、结合律和分配律。

2.实数的乘法对加法的分配律。

3.非零实数的乘法逆元。

四、实数的运算性质：1.实数的四则运算：(1)实数的加法和减法运算。

(2)实数的乘法和除法运算。

(3)实数的乘方运算。

(4)实数的开方运算。

2.实数的运算性质：(1)实数的加法的封闭性。

(2)实数的乘法的封闭性。

(3)实数的加法和乘法的结合律、交换律和分配律。

(4)零的性质。

(5)1的性质。

(6)负数的性质。

(7)正数的性质。

五、无理数的性质：1.无理数的定义。

2.无理数的性质：(1)无理数表示法的唯一性。

(2)无理数的大小比较。

(3)无理数的四则运算。

(4)无理数的乘方和开方运算。

六、实数的表示：1.实数的方差和数轴表示法。

2.实数的有理数和无理数判断方法。

七、实数的乘方：1.正整数指数幂的运算和性质。

2.零指数幂和负整数指数幂的运算和性质。

3.实数指数幂的运算和性质。

4.乘方结果和指数的大小关系。

八、实数的开方：1.开方的定义和性质。

2.完全平方数和完全平方根。

3.开方的运算规则。

4.无理数的开方运算。

九、实数的运算应用：1.实数运算在方程和不等式中的应用。

2.实数运算在几何中的应用。

3.实数运算在实际问题中的应用。

以上是中考数学总复习知识点总结：实数的内容，希望对你的学习有帮助！。