第5章 微扰理论-量子跃迁

§6.含时微扰论

前面，我们解决的是H ˆ与t 无关，但不能直接求解，而利用0

2

0V m

2P H ˆ+=有解析解，并且0

1V V H ˆ-=较小，通过微扰法求解)r (E )r ()p ˆ,r (H ˆψψ=的近似结果。有时也能用试探波函数，通过变分来获得。

现在要处理的问题是：体系原处于0H ˆ的本征态（或叠加），而有一与t 有关的微扰)t (H ˆ1

附加到该体系。显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使1H ˆ在一段时间中不变），在0H ˆ的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。而且无法获得解析结果。有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于0

H ˆ的本征态的几率又不随时间变化。当然，这与作用前的几率已有所不同。也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。这就需要利用含时间的微扰论。总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。

H ˆ与t 有关，体系原处于)P ˆ,r (H ˆ0

，随t 加一微动)t (V ψψH ˆt

i =∂∂ , )t (V H ˆ)t (H ˆ0

+= 因0

H ˆ不显含t ，而有 )r (E )r (H ˆn

0n n 0ϕϕ= 则 ψψ0

H ˆt

i =∂∂

的通解为 ∑-=ψn

t iE

n n 0n

e

a )t ,r (

ϕ 0H 的定态

∑=n

n )t ,r (a ψ

t iE

n n

e )r ()t ,r (ϕψ=

而 n a 是常数

))0,r (),r (())t ,r (),t ,r ((a n n n ψ=ψ=ϕψ 不随t 变

当nk n a δ=时，即0t =，处于)r (k ϕ时

)t ,r (e )r ()t ,r (k t iE

k k

ψϕ==ψ-

即微扰不存在时，体系处于定态)t ,r (k ψ上。

当微扰存在时，特别是与t 有关时，则体系处于0

H ˆ的各本征态（或定态） 的几率将可能随时间发生变化。设

V H ˆH ˆ0

+= ψ=∂ψ∂H

ˆt

i

当然，ψ仍可按0

H ˆ的定态n ψ展开，但由于n ψ不是H ˆ的定态，所以展开系数是与t 有关。 ∑=ψ'

n 'n 'n )t ,r ()t (a )t (ψ∑-='

n t iE

'n 'n 0

'

n e

)r ()t (a

ϕ

代人S.eq.，并与)t ,r (n ψ标积，得 )t (a e

V )t (a E )t (a E )t (a dt

d i 'n '

n t )E E (i 'nn n 0

n n 0n n 0

'n 0n ∑-+=+

得方程

)t (a e

V )t (a dt

d i 'n '

n t )E E (i 'nn n 0

'n 0

n ∑-=

)t (a e

V 'n '

n t

i 'nn 'nn ∑=ω

)E E (0

'n 0n 'nn -=ω

⎰=r d )r ()t ,r (V )r (V 'n *n 'nn ϕϕ （n ϕ为0H ˆ的本征态）

)t (a n 是t 时刻，以H ˆ描述的体系，处于0H ˆ的本征态n ϕ中的几率振幅。实际上，上式是S.eq.在0

H ˆ表象中的矩阵表示，这方程的解依赖初态和V 。 假设V 很小，可看作一微扰，则可通过逐级近似求解。令

+++=)

2(n )1(n )0(n

n a a a a 则有 0)t (a dt

d i )

0(n =

)t (a e

V )t (a dt d i )

0('n '

n t

i 'nn )

1(n 'nn ∑=ω )t (a e

V )t (a dt

d i )

1('n '

n t

i 'nn )

2(n 'nn ∑=ω

于是有解 n )0(n A )t (a = 与t 无关

由初条件0t t =时，体系处于

00

k

t iE

k 0k e )r ()t ,r (-=ϕψ，即得

nk n A δ=

即

nk )

0(k n

)t (a δ= 于是有

t

i nk k 'n '

n t

i 'nn )

1(n nk 'nn e

V e

V a dt

d i ωωδ==∑

∴ ⎰=t

t 1t i 1nk )

1(k n

01

nk dt e

)t (V i 1)t (a ω

又由 )t (a e

V )t (a dt

d i )

1(k 'n '

n t

i 'nn )

2(k n

'nn ∑=ω

1

k 1n 120

2

1nn 11

0t i 1k

n

t

t t i 2nn 1n t

t 22)

2(k n

e

)t (V e

)t (V dt dt )i 1()t (a ωω⎰∑⎰= 由此类推

⎰⎰∑

⎰--=2

0m 01

m 210t

t 1t t 1m m m m t t m m

)

m (k n

dt dt dt )

i 1

()t (a

1

m 2m n 1m n 2

m 1m m

1m nn 1

m t i 1m n n

t i m nn

e

)t (V e

)t (V --------⋅⋅ωω

1

k 1n 1

t i 1k n

e

)t (V ω

而 ∑==0

i )

i (k n

k n )t (a )t (a

若nk V 很小，即跃迁几率很少，我们只要取一级近似即可，则

1t i 1t

t nk )

1(k n

dt e

)t (V i 1)t (a 1

nk 0ω⎰=

这表明，体系在0t 时刻处于0H ˆ态)t ,r (0k ψ，在t 时刻，体系可处于0

H ˆ的定态)t ,r (n ψ，而其几率振幅为)t (a )

1(k n

（k n ≠）。因此，我们在t 时刻，测量发现体系处于这一态的几率为 2

1

t i 1t

t nk 22

)

1(k n

n k dt e

)t (V 1)t (a P 1

nk 0

ω⎰==→