第5章 微扰理论-量子跃迁

§6.含时微扰论前面，我们解决的是H ˆ与t 无关，但不能直接求解，而利用020V m2P H ˆ+=有解析解，并且01V V H ˆ-=较小，通过微扰法求解)r (E )r ()p ˆ,r (H ˆψψ=的近似结果。

有时也能用试探波函数，通过变分来获得。

现在要处理的问题是：体系原处于0H ˆ的本征态（或叠加），而有一与t 有关的微扰)t (H ˆ1附加到该体系。

显然，这时体系的能量不是运动常数，其状态并不处于定态（即使1H ˆ在一段时间中不变），在0H ˆ的各定态中的几率并不是常数，而是随时间变化的。

而且无法获得解析结果。

有时附加作用在一段时间之后结束，这时体系处于0H ˆ的本征态的几率又不随时间变化。

当然，这与作用前的几率已有所不同。

也就是，体系可以从一个态以一定几率跃迁到另一态，这称为量子跃迁。

这就需要利用含时间的微扰论。

总之，含时间的微扰论就是处理体系所处的位势随时间发生变化时，或变化后，体系所处状态发生的变化。

H ˆ与t 有关，体系原处于)P ˆ,r (H ˆ0，随t 加一微动)t (V ψψH ˆti =∂∂ , )t (V H ˆ)t (H ˆ0+= 因0H ˆ不显含t ，而有 )r (E )r (H ˆn0n n 0ϕϕ= 则 ψψ0H ˆti =∂∂的通解为 ∑-=ψnt iEn n 0nea )t ,r (ϕ 0H 的定态∑=nn )t ,r (a ψt iEn ne )r ()t ,r (ϕψ=而 n a 是常数))0,r (),r (())t ,r (),t ,r ((a n n n ψ=ψ=ϕψ 不随t 变当nk n a δ=时，即0t =，处于)r (k ϕ时)t ,r (e )r ()t ,r (k t iEk kψϕ==ψ-即微扰不存在时，体系处于定态)t ,r (k ψ上。

当微扰存在时，特别是与t 有关时，则体系处于0H ˆ的各本征态（或定态） 的几率将可能随时间发生变化。

设V H ˆH ˆ0+= ψ=∂ψ∂Hˆti当然，ψ仍可按0H ˆ的定态n ψ展开，但由于n ψ不是H ˆ的定态，所以展开系数是与t 有关。

∑=ψ'n 'n 'n )t ,r ()t (a )t (ψ∑-='n t iE'n 'n 0'n e)r ()t (aϕ代人S.eq.，并与)t ,r (n ψ标积，得 )t (a eV )t (a E )t (a E )t (a dtd i 'n 'n t )E E (i 'nn n 0n n 0n n 0'n 0n ∑-+=+得方程)t (a eV )t (a dtd i 'n 'n t )E E (i 'nn n 0'n 0n ∑-=)t (a eV 'n 'n ti 'nn 'nn ∑=ω)E E (0'n 0n 'nn -=ω⎰=r d )r ()t ,r (V )r (V 'n *n 'nn ϕϕ （n ϕ为0H ˆ的本征态）)t (a n 是t 时刻，以H ˆ描述的体系，处于0H ˆ的本征态n ϕ中的几率振幅。

实际上，上式是S.eq.在0H ˆ表象中的矩阵表示，这方程的解依赖初态和V 。

假设V 很小，可看作一微扰，则可通过逐级近似求解。

令+++=)2(n )1(n )0(nn a a a a 则有 0)t (a dtd i )0(n =)t (a eV )t (a dt d i )0('n 'n ti 'nn )1(n 'nn ∑=ω )t (a eV )t (a dtd i )1('n 'n ti 'nn )2(n 'nn ∑=ω于是有解 n )0(n A )t (a = 与t 无关由初条件0t t =时，体系处于00kt iEk 0k e )r ()t ,r (-=ϕψ，即得nk n A δ=即nk )0(k n)t (a δ= 于是有ti nk k 'n 'n ti 'nn )1(n nk 'nn eV eV a dtd i ωωδ==∑∴ ⎰=tt 1t i 1nk )1(k n01nk dt e)t (V i 1)t (a ω又由 )t (a eV )t (a dtd i )1(k 'n 'n ti 'nn )2(k n'nn ∑=ω1k 1n 12021nn 110t i 1kntt t i 2nn 1n tt 22)2(k ne)t (V e)t (V dt dt )i 1()t (a ωω⎰∑⎰= 由此类推⎰⎰∑⎰--=20m 01m 210tt 1t t 1m m m m t t m m)m (k ndt dt dt )i 1()t (a1m 2m n 1m n 2m 1m m1m nn 1m t i 1m n nt i m nne)t (V e)t (V --------⋅⋅ωω1k 1n 1t i 1k ne)t (V ω而 ∑==0i )i (k nk n )t (a )t (a若nk V 很小，即跃迁几率很少，我们只要取一级近似即可，则1t i 1tt nk )1(k ndt e)t (V i 1)t (a 1nk 0ω⎰=这表明，体系在0t 时刻处于0H ˆ态)t ,r (0k ψ，在t 时刻，体系可处于0H ˆ的定态)t ,r (n ψ，而其几率振幅为)t (a )1(k n（k n ≠）。

因此，我们在t 时刻，测量发现体系处于这一态的几率为 21t i 1tt nk 22)1(k nn k dt e)t (V 1)t (a P 1nk 0ω⎰==→例：一线性谐振子，被时间相关的位势所扰动x )t (P )t ,x (V =而 2)t (0eP )t (P τπ-=-∞→t （即-∞=0t ），体系处于基态。

① 求+∞→t ，振子处于第n 个激发态的几率？2)1(0nn 0)t (a P +∞==→ 21t in )t (02dt e0x n P 1121⎰∞+∞-+-=ωτπ24n 02222e0x n P 1τωπτπ-=2n 22220222ex n P τωτ-=② 当τ很大 0P n 0→→我们看到，微扰是渐渐加上，体系经微扰后仍处于基态（没有简并），称AdiabaticApproximation （当有简并时，并不如此，而是连续地过渡到)(H τ时的本征态上）。

③ 当τ很小，即微扰在很短时间加上，即在非常快的过程（微扰施加），则体系状保持不变，这称为Sudden approximation 。

因τ很小。

0x n P P 22220n 0≈=→τ∴ 末态≈初态。

0t t < 0H 0t t > 'H 0 i ϕ i Φ 当突然加一外场00H H '→，波函数不变⎪⎩⎪⎨⎧>Φ<=ψ∑j 0jjit t b t t ϕ∴ 在'H 0的能级s Φ几率为22sis b =ϕΦ④ 求∞→t 体系处于第10个激发态的几率。

由于 1n 2110x n δα=ωαm =∴ 一级微扰为0，一级跃迁几率为0以此类推，仅当)10(010a 时才不为0（最低级近似为第十级近似 21n 1m x 1m +=+α）即最低要到第十级近似下才不为0⎰⎰∑⎰=20100a210tt 1t t 9n n n t t 1010)10(010dt dt dt )i 1(a100t i 10nt i 9n nt i 10n 10P r )t (V r)t (V r)t (V 101n 198n 9n 89109n 109∝ωωω∴ 200100P P ∝→例2：处于基态（-∞→t ）的氢原子，受位势t0eE x e )t (V γ-⋅⋅=（0>γ）（为实参数）扰动① 求+∞→t 时，处于nlm 态的几率2t )E E (i t02nlm 1n ee100x nlm eE 1P ⎰∞+∞---=γdt edt e100x nlm E e 0t)i (0t)i (222021n 1n ⎰⎰∞--∞-++=ωγωγ21n 1n 22202i 1i 1100x nlm E e ωγωγ-++⋅=()221n 22222024100x nlm E e ωγγ+=② 求 max )nlm (P321n 23221n 2)(16)(80P ωγγωγγγ+-+==∂∂∴ 21n 2ωγ=221n 2202max )nlm (100x nlm 1e P ωε=③ 选择定则：由 )Y Y (32rx 1111-=-π∴ 21111200Y Y lm 3210r nl 100x nlm -⋅=-π 21m 1l 1.m 1l 2413210r nl δδδδππ-⋅=-∴ 对r 选择定则为： 1l ±=∆0,1m ±=∆ 2221n 22220211n 10r 1n )(32e P ωγγε+=±当→γ很大（即微扰时间很短），0P 11n ≈±，所以氢原子受扰动后仍处于基态（Sudden 近似） 当→γ很小（微扰缓慢加上），0P 11n ≈±，所以氢原子扰动仍处于基态（非简并态）§7.微扰引起的跃迁几率1.常微扰下的跃迁率：在某些实验中，微扰常常是不依赖于t 的（在作用时间内）⎰=t01t i nk )1(k ndt eV i 1)t (a 1nk ωr d )r ()r (V )r (V k *n nk ϕϕ⎰=（即从0t =开始加上一个与t 无关的外作用)r (V ）nkti nknk e1V 1ωω-=（0)0(a )1(k n=，k n ≠） ∴ 0t =时，体系处于0H ˆ本征态k ，而在t 时刻，体系处于0H ˆ本征态n 的几率为 2nknk 22nkn k tcos 1V 2P ωω-⋅=→（当1V nknk <<ω时，一级近似就满足了）2nknk 222nkt2sin V 4ωω⋅=(跃迁几率)而我们知)(tt2sin2lim22t ωδπωω=→∞即T 很大时，)(T 2T 2sinnk 2nknk 2ωδπωω≈由此可见，0k 0n E E ≈时，n k P →最大，而0k 0n E E ≠时，n k P →小（Tm 2nk πω=时，n k P →为0， ,2,1m =）0nk =ω时，最大这表明，当T 大时，0T nk >>ω，保持0T =时的0k E 变化不大的跃迁几率较大。