平面与回转体表面相交
平面与回转体相交
平面与回转体相交
平面与球相交
1.平面与球面的截交情况 球体被平面截切后的截交线是个圆。
平面与回转体相交
平面与球相交
2.作图举例
例 完成半球上部开 槽后的俯视图和左视图。
平面与回转体相交
平面与球相交
2.作图举例
例 完成半球上部开 槽后的俯视图和左视图。
分析：半球上部的 缺口是由一个水平面和 两个侧平面切割半球体 形成的。
平面与回转体相交
平面与回转体相交
回转体的截交线 平面与圆柱相交 平面与圆锥相交 平面与球相交
平面与回转体相交
回转体的截交线
1.截交线的特点 平面与回转体相交产生的截交线通常是一条封闭的平面曲线，
或曲线和直线围成的平面图形或多边形。
平面与回转体相交
回转体的截交线
1.截交线的特点
平面与回转体相交产生的截交线通常是一条封闭的平面曲线， 或曲线和直线围成的平面图形或多边形。
平面与回转体相交
平面与球相交
2.作图举例
例 完成半球上部开 槽后的俯视图和左视图。
作图：判断截交线 的可见性及球面轮廓线 投影范围，完成全图。
平面与回转体相交
小结
回转体的截交线 平面与圆柱相交 平面与圆锥相交 平面与球相交
2.求截交线的步骤 ★ 空间及投影分析
确定截交 线的形状
☆ 截平面与轴线的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置
确定截交线 的投影特性
平面与回转体相交
回转体的截交线
2.求截交线的步骤
★ 空间及投影分析 ★ 画截交线的步骤
转向轮廓线上的点
☆求截交线的特殊点： 极限位置点 截交线的形状特殊点
☆求一般点
平面与回转体相交
两回转体表面相交
两回转体表面相交平面体与回转体相贯回转体与回转体相贯多体相贯 1.相贯的形式两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。
相交后可看成一个整体，称为相贯体。
本节主要讨论常用不同立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法。
概述立体表面相交有三种形式,一种是立体的外表面相交;一种是外表面与内表面相交;一种是内表面与内表面相交.实实相贯实虚相贯虚虚相贯相贯线1 相贯线的性质★表面性相贯线位于两立体的表面上。
★封闭性相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。
★共有性相贯线是两立体表面的共有线。
其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。
2 求相贯线的方法一、平面体与回转体相贯1.相贯线的性质相贯线是由若干段平面曲线(或直线)所组成的空间折线，每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线。
2.作图方法求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。
∙分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确定交线的形状。
∙求出各棱面与回转体表面的截交线。
∙连接各段交线，并判断可见性。
例1：补全主视图空间分析：四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。
投影分析：由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。
例2：求作主视图二、回转体与回转体相贯1. 相贯线的性质相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表面的共有线。
2.作图方法∙表面取点法利用投影的积聚性直接找点。
∙用辅助平面法。
一般是根据立体或给出的投影，分析两回转面的形状、大小极其轴线的相对位置，判断相贯线的形状特点和各投影的特点，从而选择适当的方法作图。
∙先找特殊点。
⒊作图过程∙补充中间点。
确定交线的弯曲趋势确定交线的范围如果两回转体相交，其中有一个是轴线垂直于投影面的圆柱，则相贯线在该投影面上的投影积聚在圆柱面上。
利用回转体表面取点的方法可以作出相贯线的其余投影。
常用回转体相交的表面交线
2 aY
1
b 6 RH
7
因为两圆柱旳水平投影 左右对称，侧面投影上下 对称。故相贯线旳正面投
旳同面投影依次光滑地连 接起来，即得相贯线。 4.补全外形线，完毕作图
影上下、左右对称。
返回
例6：求两轴线交叉圆柱旳相贯线 Y RW
3` 4` 2`
a`
5` 6` b`
1`
7`
4`` 3``
2``
(5``)
13
3
4
2
3 3
1 4 2
返回
1、相贯线旳性质
（1） 、一般情况下,相贯线为封闭旳空间曲线。 （2）、相贯线是两立体表面旳共有线，相贯线上旳点是 两立体表面旳共有点。
返回
2、相贯线旳三种基本形式
（1）、两外表面相交 （2）、外表面与内表面相交 （3）、两内表面相交
外表面和外表面相交 外表面和内表面相交
2``
2``
最终最低点投影
最 左
最 左
2
最最 右高
最 高
1
最点 高
点
点
投
2
投
影
影
最前最低点投影
最
前
1
最
2
低
点
圆柱圆锥相贯线
1`
1`
2`
（2）求一般点。
1``
2``
2``
2 1
2
Ⅲ
Ⅱ Ⅳ
Ⅰ
例4：求两轴线相交旳圆柱圆锥相贯线
（2）求一般点。
1`
1`
RV
1``
5`
6` 2`
2`` 4`` 5`` 2``
1 2
1 2
1
2
2.3平面与回转体表面相交
（32）依确次定连截接交各线点与的转水向平轮投廓影线。的交点。
2’
2’
5’ 3’4’ 1’ 6’
5’ 3’4’ 1’ 6’
64
1
2
53
平面与球相交
64
1
2
53
2 4
3 1
20
2.3.4 复合回转体的截切
例：求 作顶尖 的俯视 图
●
●
●●
●
●●
●
●
●合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关 系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。21
⒉ 画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可
见性。
2
2.3.1 平面与圆柱体面相交
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面 与圆柱轴线的相对位置
PV
PV PV
P
垂直 圆
P
P
倾斜 椭圆
平行 两平行直线 3
例1、如图所示，圆柱被正垂面截切，求出截交线的 另外两个投影。
8
例3、 补画被挖切后立体的投影 。
平面与圆柱相交
分 析： 该立体是在圆柱筒的
上部开出一个方槽后形成 的。构成方槽的平面为垂 直于轴线的水平P和两个平 行于轴线的侧平面Q。它 们与圆柱体和孔的表面都 有交线，平面P与圆柱的交 线为圆弧，平面Q与圆柱 的交线为直线，平面Ｐ和 Q彼此相交于直线段。
9
作图步骤如下：
⑵ 分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以确定截交线的投影特性。
⒉ 求截交线
当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊
建筑工程制图——两立体相贯1
相贯体和相贯线的投影画法规定： 1.每个立体的表面都只画到相贯线为止，每一立体的轮廓 线只画到与另一立体的贯穿点为止。
2.一立体穿入另一立体内的轮廓线不应画出。 3.用粗实线、中虚线表达可见、不可见的各段轮廓线和相 贯线的投影。 【例】看三棱柱与三棱锥相贯 体的三面投影图。 这个相贯体的投影图就是按 上述规定画出的。
【例3－10】有一个具有老虎天窗和烟囱的双坡顶房屋模型，已知其完 整的W 投影，及不完整的H 投影和V 投影，试分析其相贯线，并补全它的 H 、V 投影。
【解】（1）对房屋模型作形体分析和相贯线的分析： 1)烟囱是铅垂的四棱柱。烟囱与屋面相贯，相贯线是前后对称的封闭
的空间折线，H、W 投影有积聚性，由H、W 投影可求出V 投影。 2)老虎窗是正垂的五棱柱。老虎窗与屋面相贯，相贯线是平面多边形，
课题
新课教与学
两立体相贯Ⅰ
教学目的
1.建立相贯体的概念，知道相贯线的基 本特性。
2.理解两平面立体相贯线的特性和作图 方法，会求作两平面立体的相贯线。
教学重点
两平面立体相贯线的作图方法和画法规 定，以及例题分析与作图。
课型 教学方法
单一课 讲解与练习相结合
§3－4 两立体相贯 两立体相交，称为两立体相贯。这样的立体称为相贯体。 认识相贯体：
注：直线与立体表面的交点，称为贯穿点。
求作两平面立体相贯线的作图方法：
1.交点法：分别求出各贯穿点，依次连点。
2.交线法：分别求投影有积聚性时，可直接利用积
聚性作图。
相贯线投影的可见性判别原则：只有位于两立体的投影 都可见的表面上的相贯线段，它的投影才是可见的，否则为不 可见。
一组相贯线；相贯线是空间折线； 相贯线的V面投影有积聚性，即相贯 线的V面投影为已知。
两回转体表面相交
两回转体表面相交（一）、相贯线的概述1.相贯线的概念两立体表面的交线称为相贯线。
相贯线不仅出现在两立体外表面，有时还见到两立体内表面，以及立体被穿孔的情况。
2.影响相贯线形状的因素相交的两立体的形状。
相交的两立体的相对尺寸大小。
相交的两立体的相对位置。
3.相贯线的特性① 一般为空间曲线，特殊情况下为平面曲线。
② 为两回转体表面的共有线。
③ 为两回转体表面的分界线。
4.求相贯线的方法：① 表面取点法② 辅助平面法5.求相贯线的步骤:① 求特殊位置的点：转向线上的点、最高点、最低点、最左点、最右点、最前点、最后点。
② 求一般位置点。
③ 判断可见性：只有当相贯线同时属于两立体表面的可见部分时,才可见。
（二）、表面取点法1.什么是表面取点法当相交的两回转体中有一个是圆柱且轴线垂直于投影面时，圆柱面在该投影面上的投影积聚为圆，因此，相贯线在该投影面上的投影就积聚在圆柱面有积聚性的投影(圆)上。
这时，可以将相贯线看成是另一回转面上的曲线，利用回转面上取点的方法作出相贯线的其它投影。
表面取点法只适用于相交两回转体中至少有一个是圆柱，并且其轴线与投影面垂直的情况下。
2.作图举例已知两圆柱轴线垂直相交，求它们的相贯线投影。
分析：由图可以看出，大圆柱的轴线垂直于侧面，小圆柱的轴线垂直于水平面，两圆柱轴线垂直相交。
因为相贯线是两圆柱体表面上的共有线，所以相贯线的侧面投影与大圆柱的侧面投影重合，水平投影与小圆柱的水平投影重合。
需要求相贯线的正面投影。
因相贯线前后对称，相贯线前、后两部分的正面投影重合。
作图：1）作特殊点最左、最右、最前、最后、最高、最低点，转向轮廓线上点。
2）作一般点3）判别可见性并连线作图结果如图 d 所示。
（a）已知条件（b）作特殊点投影（c）作一般点投影（d）作图结果求正交圆柱体相贯线（三）辅助平面法1.什么是辅助平面法假想的用一个平面截切相贯的两回转体，分别求出该平面与两回转体的截交线，则两组截交线的交点，即为相贯线上的点。
第4章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交
图4-7 辅助平面法作图原理
例：求作如图所示部分球体与圆锥台的相贯线。
(1) 空间分析及投影分析：
部分球体为 1／4 球前后对称地切去两块而成，圆锥台的轴 线垂直于水平面但不通过球心，其相贯线为前后对称的封闭空 间曲线。因为球与锥台的各投影都没有积聚性 , 故需用辅助平 面法求作相贯线。
(2) 作图：
② 作一般位置点。 在点I、III的高度范围 内 , 选取水平面 R 为辅助平 面,平面R与球及圆锥台的截 交线分别是以r2、r3为半径 的圆弧, 它们的交点Ⅴ、Ⅵ 就是相贯线上的点。先求出 水 平 投 影 5 、 6, 然 后 找 到 5′、 6′和 5" 、 6", 如图 (d)所示。
③ 依次光滑连接各点的 投影, 并判别可见性, 完 成相贯线的投影。最后 注意，圆锥台左视轮廓 素线画到2"、4"两点， 球体左视轮廓素线上有 一段虚线, 如图 (e)所示。
① 辅助平面法的实质， 是求辅助平面分别截两立 体所得截交线的交点。
② 辅助平面位置选取的原则，是使辅助平面分别 截两立体所得截交线的形状最简单(直线和圆)，以便用 工具作图。
例：求轴线正交的水平圆柱与直立圆锥的相贯线。
解题步骤：
1'
4' 3'
1"
PV1 PV2
PV3
2" y y
4" PW1
PW2
g"(h")
c"
y
d e a g c h f b
y
2、利用辅助平面法求相贯线
作图原理 ：
如图，为了求作部分球 体与圆锥台相交的表面共有 点，假想用一平面P （称为 辅助平面）截切两立体。平 面P 与部分球体的截交线为 一个圆LA，平面P 与圆锥台 的截交线也为一个圆LB。 LA 与LB的交点K1和K2 即为辅助 平面P、球体和圆锥台三个表 面的共有点，因此也是相贯 线上的点。 这种利用三面共点的原 理求相贯线上的点的方法叫 做辅助平面法。
回转体截交线
投影
7'
Ⅱ Ⅳ Ⅰ Ⅴ
Ⅵ
1
Ⅲ VII
图5-33 连杆头的截交线 -
【例5-14】试完成连杆头的截交线的投影。 - 】试完成连杆头的截交线的投影。
作图步骤： 作图步骤： ③判别可见性，连线 判别可见性，
6' 4' 1' 5' 3' 7' 2' 6" 2" 4" 1" 5" 3" 7"
Ⅵ Ⅱ Ⅳ Ⅰ Ⅴ Ⅲ VII
● ●
e′
●
E C
●
D B
c′
●
d′ b′ A
a′
a
●
c
●
●
e
●
d
●
b
图5-30 平面截切圆锥 -
(3) 平面与圆球相交
平面与球面的交线总是圆
图5-31 平面与球面交线的基本作图 -
【例5-13】已知半球上通槽的正面投影，试完成其另两面 - 】已知半球上通槽的正面投影， 投影。 投影。
空间分析与投影分析; 空间分析与投影分析 作图:①完成平面P 作图 ①完成平面 的投影 完成平面Q的投影 ②完成平面 的投影
图5-33 连杆头的截交线 -
1
Ⅱ Ⅳ Ⅲ
2 1 5 3 4
图5-29 平面截切圆锥 -
Ⅰ
Ⅴ
【例5-12】已知一直立圆锥被正垂面截切，求作截交线， - 】已知一直立圆锥被正垂面截切，求作截交线， 完成其水平投影和侧面投影。 完成其水平投影和侧面投影。
⑥检查、完成。 检查、完成。
图5-29 平面截切圆锥 -
【例5-13】 圆锥被一与其轴线平行的截平面切割，试完 - 】 圆锥被一与其轴线平行的截平面切割， 成截交线的正面投影。 成截交线的正面投影。
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平面与回转体表面相交
引入：
物体表面上经常出现平面与回转面的交线，画图时通常把平面看成截平面，把交线看成截交线，再应用截交线的作图方法作出该交线的投影。
1.截交线的特点
平面与回转体相交产生的截交线通常是一条封闭的平面曲线，或曲线和直线围成的平面图形或多边形。
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状。
截交线的形状取决于截平面与回转体轴线的相对位置。
2. 求回转体表面截交线投影的分析方法
1） 分析截平面与回转体轴线之间的相互位置——搞清楚截交线的空间形状。
2） 分析截平面与投影面的位置关系——初步掌握截交线的投影特点。
3. 求平面与回转体表面截交线的步骤：
1） 求截交线的特殊点 这些点通常是转向轮廓线上的点、极限位置点
（ 最高、最低点，最前、最后点，最左、最右点）。
2） 求一般点 是指在各特殊点之间插入一些点，目的是使截交线连接得
更加平顺、光滑。
通常是在具有积聚性投影的截平面投影上插入这些点，完成这些点的各面投影。
3） 判别可见性并光滑连线。
4. 回转体被截切的情况、投影分析和作图 1） 平面与圆柱相交
截交情况：
依据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，其截交线的形状有圆、椭圆、和两条直线三种。
表 4.1 平面与圆柱面的交线
截平面
位置 倾斜于轴线
垂直于轴线
平行于轴线
立体图
作图举例：
例题完成圆柱被切割后的俯视图和左视图。
分析：从立体图及已知条件可知，这是圆柱被正垂面截切，截平面与圆柱轴线斜交，截交线是椭圆。
截交线正面投影重影为一直线，水平投影与圆柱面的投影重影积聚为圆；其侧面投影可根据投影规律和圆柱表面取点的方法求出。
作图：
① 作截交线上的特殊点：椭圆长短轴的四个端点，转向轮廓线上点，最高、最低、最前和最后的点。
② 作一般点：在主视图中插入Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ点的投影1’(2’)和3’(4’)。
按圆柱表面取点方法作出相应点的水平和侧面投影。
③ 依顺序连接各点，作图结果如图 c 所示。
（a）（b）（c）
例题如图 a 所示为接头的立体图及已知条件，完成接头的投影图。
分析：接头由左端的凹榫和右端的凸榫组成。
凹榫的槽口可以看作是由两个平行于圆柱体轴线的正平面和一个垂直于圆柱体轴线的侧平面切割圆柱形成的切口；凸榫可以看作是分别由两个垂直于圆柱体轴线的侧平面和平行于圆柱体轴线的水平面切割而形成。
由于各截平面与圆柱体轴线平行，接头的左、右两部分
的截交线在正面和水平面上的投影都是直线。
作图：
（a ）立体图及已知条件 （b ）作接头左边切口投影
（c ） 作 接 头 右 边 切 口 投 影 （d ） 作 图 结 果接
头的视图
注意：连接切口各点之间的线段时应注意各线段的可见性。
2） 平面与圆锥相交
截交情况：
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与圆锥面的交线有五种形状。
截平面 位置
过锥顶点
与轴线垂直
θ=90°
与轴线倾斜
θ>φ
与素线平行
θ=φ 与轴线平行或倾
斜
θ=0°或θ<
φ
立体图
投
影
图
交线
两相交直线圆椭圆抛物线双曲线
情况
作图举例：
完成圆锥被正平面截切后主视图
分析：由已知条件可知，截平面为侧平面，与圆锥体轴线平行，截交线是一条双曲线。
截平面的正面和水平投影都具有积聚性。
作图：
① 作特殊点底圆周上点，转向轮廓线上点
② 作一般点在截交线正面投影的适当位置插入两个点。
③ 依次按顺序连接出截交线。
3）平面与球相交
球体被平面截切后的截交线是个圆。
若截平面是投影面的平行面，则在所平行的投影面上的投影为圆的实形，其他两个投影面上的投影为直线。
若截平面是投影面的垂直面，该截交线在所垂直的投影面上的投影积聚为直线，直线的长度为圆的直径，而在其他两个投影面上的投影是椭圆。
椭圆的长轴既为直径的长度，
而短轴为直径在该投影面上的投影。
(a) (b)
球被截切
作图举例：
例如图 a 所示为圆球被平面截切，求作球体的截交线的投影。
分析：球体被一正垂面截切，截交线在正面投影积聚为直线，直线的长度为截交圆的直径；在其他两个投影面上的投影是椭圆。
椭圆的长轴为截交圆直径的长度，短轴为截交圆直径在该投影面上的投影。
作图：
① 作特殊点确定椭圆的长短轴的端点,转向轮廓线上的点。
② 确定一般点
③依次连接各点
（a）（b）（c）（d）
圆球体截交线
例完成半球上部开槽后的俯视图和左视图。
在求作平面和组合回转体截交线的投影时，可分别作出平面和组合回转体的
各段回转面以及各平面表面的交线的投影，然后拼成所求的截交线的投影。
题如图 a、b 所示为顶针的立体图及已知条件，完成顶针的投影图。
分析：如图 4.35a 所示顶针是由同轴的一个圆锥和两个半径不同的圆柱组合后由一水平的截平面和侧平的截平面截切形成。
截平面与圆锥的截交线为双曲线，与两圆柱的截交线为直线。
如图 4.35b 所示条件给出顶针的正面和侧面投影，因此应先作出顶针被截切前的水平投影，再作截交线。
作图：
① 作出完整的顶针水平投影图。
② 作圆柱部分截交线。
作大圆柱截交线；作小圆柱截交线。
③ 作圆锥部分截交线。
④ 作图结果如图 d 所示。
需要特别指出：应注意圆锥及两个异径圆柱组合中的分界线以及被切割后这些交线的画法。
三个立体的上半部分轮廓线是可见，下半部分轮廓是不可见的，
截断面上没有分界线。
（a）立体图（b）已知条件（c）特殊点确定
（d）一般点作图（e）作图结果顶
针的投影
5.平面立体与回转体相贯
平面立体与回转体相交产生的相贯线，通常是由平面立体的各个棱面或底面与回转体表面的交线连接而成的。
因此求平面立体与回转体的相贯线可归结为求作平面与回转体表面的交线。
平面立体与回转体的相贯线一般情况下是几段相接的平面曲线，特殊情况下可能是几段相连的直线段；各相贯线段的连接点是平面立体的棱线或底边与回转体表面的贯穿点。
例如图 a 三棱柱与圆柱相交，根据图 b 所示已知条件，作出它们的相贯线。
分析：由图可见，它是一个三棱柱与一个圆柱体相交。
在图示位置，可看作由
三棱柱的三个棱面，即两个正垂面与一个水平面分别与圆柱体相交。
求出各棱
面与圆柱的交线，连接后即可得到相贯线。
作图：如图 c 所示。
① 作特殊点特殊点为三棱柱各棱线与圆柱体表面的交点。
② 作一般点.
③ 连接各点，作图结果如图 d 所示。
(a) 立体图 (b) 已知条件
(c) 作图过程 (d) 作图结果平
面立体与曲面立体相交。