专题11 统计(解析版)(1)
上海市2019年中考数学真题与模拟题分类 专题11 图形的性质之填空题(65道题)(解析版)(1)
专题11 图形的性质之填空题参考答案与试题解析一．填空题（共65小题）1．（2019•上海）如图，已知直线11∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝120度．【答案】解：∵D是斜边AB的中点，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠2＝∠DCA+∠DAC＝60°，∵11∥l2，∴∠1+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣60°＝120°．故答案为120．【点睛】本题考查了直接三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．也考查了平行线的性质．2．（2019•上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．【答案】解：如图，∵在△ABC和△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，∴AB5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，∵△ACD≌△C1A1D1，∴C1D1＝AD＝x，∠A1C1D1＝∠A，∠A1D1C1＝∠CDA，∴∠C1D1B1＝∠BDC，∵∠B＝90°﹣∠A，∠B1C1D1＝90°﹣∠A1C1D1，∴∠B1C1D1＝∠B，∴△C1B1D∽△BCD，∴，即2，解得x，∴AD的长为，故答案为．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，证得△C1B1D∽△BCD是解题的关键．3．（2019•上海）如图，在正边形ABCDEF中，设，，那么向量用向量、表示为2．【答案】解：连接CF．∵多边形ABCDEF是正六边形，AB∥CF，CF＝2BA，∴2，∵，∴2，故答案为2．【点睛】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．4．（2018•上海）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是540度．【答案】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．所以该多边形的内角和是3×180°＝540°．故答案为540．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形．5．（2017•上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝．【答案】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝∠BOC＝60°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵∠BOC＝∠OEC+∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴cos30°，∴λ6，故答案为．【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．6．（2019•浦东新区二模）已知一个角的度数为50度，那么这个角的补角等于130°．【答案】解：180°﹣50°＝130°．故这个角的补角等于130°．故答案为：130°．【点睛】本题考查的是余角和补角的定义，如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角．如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．7．（2019•青浦区一模）对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点S到图形上的任意一点P之间的线段都在图形内或图形上，那么这样的点S称为“亮点”．如图，对于封闭图形ABCDE，S1是“亮点”，S2不是“亮点”，如果AB∥DE，AE∥DC，AB＝2，AE＝1，∠B＝∠C＝60°，那么该图形中所有“亮点”组成的图形的面积为．【答案】解：如图，延长DE交BC于点M，延长AE交BC于点N．由题意：该图形中所有“亮点”组成的图形是△EMN，∵AB∥DE，AE∥DC，∴∠EMN＝∠B＝60°，∠ENM＝∠C＝60°，∴△EMN，△ABN是等边三角形，∴AN＝AB＝2，∵AE＝1，∴EN＝1，∴S△EMN12．【点睛】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（2019•宝山区一模）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE ＝2BD，BE＝1，那么DC＝．【答案】解：∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠BDC，∵∠ABD＝∠CEA，∴∠AEB＝∠BDC，∴∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE，∠CBD＝180°﹣∠ABD﹣∠ABE，∴∠EAB＝∠CBD，∴△AEB∽△BDC，∴，∵3AE＝2BD，BE＝1，∴CD，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，证得△AEB∽△BDC是解题的关键．9．（2019•青浦区二模）如图，△ABC的中线AD、BE相交于点G，若，，用、表示．【答案】解：如图，连接DE．∵BD＝CD，AE＝EC，∴DE∥AB，DE AB，∴，∴DG AD，∴，，，∴，∵，∴，故答案为：，【点睛】本题考查三角形的重心，平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．（2019•嘉定区二模）各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克（G．Pick，1859～1942年）证明了格点多边形的面积公式：S＝a b﹣1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是6．【答案】解：∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，∴a＝4，b＝6，∴格点多边形的面积S＝a b﹣1＝46﹣1＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查格点多边形面积的计算，解题的关键是根据图形正确统计出a，b的值．11．（2019•长宁区二模）我们规定：一个多边形上任意两点间距离的最大值称为该多边形的“直径”．现有两个全等的三角形，边长分别为4、4、．将这两个三角形相等的边重合拼成对角线互相垂直的凸四边形，那么这个凸四边形的“直径”为6或3．【答案】解：①如图1，由题意得，AB＝AC＝BD＝CD＝4，BC＝2，∴四边形ABDC是菱形，∴AD⊥BC，BO＝CO AC，AO＝OD，∴AO3，∴AD＝6＞2BC，∴这个凸四边形的“直径”为6；②如图2，由题意得，AB＝AC＝AD＝4，BC＝CD＝2，∴AC垂直平分BD，∴AC⊥BD，BO＝DO，设AO＝x，则CO＝4﹣x，由勾股定理得，AB2﹣AO2＝BC2﹣CO2，∴42﹣x2＝（2）2﹣（4﹣x）2，解得：x，∴AO，∴BO，∴BD＝2BO＝3，∵BD＝3＞4＝AC，∴这个凸四边形的“直径”为3，综上所述：这个凸四边形的“直径”为6或3，故答案为：6或3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．12．（2019•黄浦区二模）如图，点O是△ABC的重心，过点O作DE∥AB，分别交AC、BC于点D、E，如果，那么a．（结果用表示）．【答案】解：如图，连接CO并延长交AB于点M，∵点O是△ABC的重心，∴M是AB的中点，∵DE∥AB，∴△CDO∽△CAM，∴，∴DO AM a a．故答案为：a．【点睛】本题考查三角形重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是掌握三角形重心的概念和性质．13．（2019•金山区二模）在△ABC中，AB＝AC，请你再添加一个条件使得△ABC成为等边三角形，这个条件可以是∠A＝60°（只要写出一个即可）．【答案】解：在△ABC中，AB＝AC，再添加∠A＝60°可得△ABC是等边三角形，故答案为：∠A＝60°．【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定，关键是掌握等边三角形的判定方法：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．14．（2019•奉贤区二模）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，直角三角形中较小的锐角为α，那么tanα的值是．【答案】解：∵小正方形的面积是25，∴EB＝5，∵△ABC≌△DEB，∴AB＝DE，∵大正方形的面积为49，∴AD＝7，∴DB+DE＝7，设BD＝x，则DE＝7﹣x，在Rt△BDE中：x2+（7﹣x）2＝52，解得：x1＝4，x2＝3，当x＝4时，7﹣x＝3，当x＝3时，7﹣x＝4，∵α为较小的锐角，∴BD＝4，DE＝3，∴tanα ，故答案为：．【点睛】此题主要考查了勾股定理和锐角三角形函数，关键是掌握勾股定理的应用．15．（2019•杨浦区二模）如图，△ABC中，过重心G的直线平行于BC，且交边AB于点D，交边AC于点E，如果设，，用，表示，那么．【答案】解：连接AG，延长AG交BC于F．∵G是△ABC的重心，DE∥BC，∴BF＝CF，，∵，，∴，∵BF＝CF，∴DG＝GE，∵，，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查三角形的重心，平行线的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（2019•闵行区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D、E分别在边AB上，且AD＝2，∠DCE＝45°，那么DE＝．【答案】解：如图，将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接DF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝8，∠CAB＝∠ABC，∵AD＝2，∴BD＝6＝DE+BE，∵将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF∴△AFC≌△BEC∴AF＝BE，CF＝EC，∠F AC＝∠ABC＝45°＝∠CAB，∠ACF＝∠BCE，∴∠F AD＝90°∵∠DCE＝45°，∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝45°，∴∠ACD+∠FCA＝45°＝∠DCE，且CF＝BC，CD＝CD，∴△FCD≌△ECD（SAS）∴DE＝DF，在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2，∴DE2＝4+（6﹣DE）2，∴DE故答案为【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．17．（2019•松江区一模）如图，在直角坐标平面xOy中，点A坐标为（3，2），∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，AB与x轴交于点C，那么AC：BC的值为．【答案】解：如图所示：作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E．∵A（3，2），∴OA，∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，∴，∵∠AOB＝90°，∠EOC＝90°，∴∠EOB＝∠AOD，又∵∠BEO＝∠ADO，∴△OEB∽△ODA，∴，即，解得：OE，∵AC：BC＝S△AOC：S△OBC＝AD：OE＝2：，故答案为：．【点睛】本题主要考查的是含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证得△OEB∽△ODA 是解答本题的关键．18．（2019•宝山区一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sin B＝．【答案】解：由题意，得sin B，故答案为：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角的正弦等于对边比斜边是解题关键．19．（2019•杨浦区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG ，则BC长为4．【答案】解：延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，∵点G是△ABC的重心，∵CG＝2，∴CD＝3，点D为AB的中点，∴DC＝DB，又DE⊥BC，∴CE＝BE BC，∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠ACG＝∠CDE，∵sin∠ACG＝sin∠CDE，∴CE＝2，∴BC＝4故答案为：4．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．20．（2019•虹口区一模）如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC 于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为8．【答案】解：连接BG并延长交AC于H，∵G为ABC的重心，∴2，∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CE＝DF＝4，∵GE∥CH，∴△BEG∽△CBH，∴2，∴BE＝8，故答案为：8．【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．21．（2019•长宁区一模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD与BE交于点F，若BE＝6，FD＝3，则△ABC的面积等于9．【答案】解：过E作EG⊥BC于G，∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，∴点F是△ABC的重心，∴AD＝3DF＝9，∵AB＝AC，AD是边BC上的中线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵BE是边AC上的中线，∴AE＝CE，∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴EG∥AD，∴EG AD，CG CD，∵BE＝6，∴BG，∴BC BG＝2，∴△ABC的面积9×29，故答案为：9．【点睛】本题考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键．22．（2019•静安区一模）在中△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，G是重心，那么G到斜边AB中点的距离是．【答案】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB10，∵CD为AB边上的中线，∴CD AB＝5，∵点G是重心，∴DG CD．故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．23．（2019•青浦区一模）在△ABC中，AB＝AC，高AH与中线BD相交于点E，如果BC＝2，BD＝3，那么AE＝．【答案】解：如图所示，连接DH，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴H为BC的中点，又∵D为AC的中点，∴DH为△ABC的中位线，∴DH∥AB，DH AB，∴△DEH∽△BEA，∴，又∵BD＝3，∴BE＝2，∴Rt△BEH中，EH，∴AE＝2EH＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及相似三角形的性质的运用，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．24．（2019•虹口区一模）定义：如果△ABC内有一点P，满足∠P AC＝∠PCB＝∠PBA，那么称点P为△ABC 的布罗卡尔点，如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为△ABC的布罗卡尔点，如果P A＝2，那么PC＝．【答案】解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠PCB＝∠PBA，∴∠ACB﹣∠PCB＝∠ABC﹣∠PBA，即∠ACP＝∠CBP．在△ACP与△CBP中，∠∠，∴△ACP∽△CBP，∴，∵AC＝5，BC＝8，P A＝2，∴PC．故答案为．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△ACP∽△CBP，属于中考常考题型．25．（2019•崇明区一模）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，G为△ABC的重心，那么CG＝．【答案】解：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，∵G为△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，∴CD AB＝5，∵G为△ABC的重心，∴CG CD，故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，勾股定理，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．26．（2019•宝山区一模）直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为12cm．【答案】解：由题意得，CG＝4，∵点G是△ABC的重心，∴CD CG＝6，CD是△ABC的中线，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，∴AB＝2CD＝12（cm），故答案为：12cm．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，直角三角形的性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．27．（2019•杨浦区一模）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为4．【答案】解：作AD⊥BC于D，则点G在AD上，连接GC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD BC＝4，由勾股定理得，AD3，∵G为△ABC的重心，∴DG AD＝1，∴cot∠GCB4，故答案为：4．【点睛】本题考查的是重心的概念和性质，锐角三角函数的定义，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．28．（2019•杨浦区模拟）如图，已知等边三角形ABC边长为1，△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，依此进行下去得到△A5B5C5的周长为．【答案】解：∵△ABC的三条中位线组成△A1B1C1，∴A1B1＝AC，B1C1＝AB，A1C1＝BC，∴△A1B1C1的周长△ABC的周长3，依此类推，△A2B2C2的周长△A1B1C1的周长，则△A5B5C5的周长为，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，求出后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半是解题的关键．29．（2019•静安区二模）已知△ABC中，G是△ABC的重心，则．【答案】解：设△ABC边AB上的高为h，∵G是△ABC的重心，∴△ABG边AB上的高为h，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键，本知识点在很多教材上已经不做要求．30．（2019•杨浦区一模）等边三角形的中位线与高之比为1：．【答案】解：设等边三角形的边长为2a，则中位线长为a，高线的长为a，所以等边三角形的中位线与高之比为a：a＝1：，故答案为：1：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．31．（2019•东台市一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为60°或120°．【答案】解：当高在三角形内部时，顶角是120°；当高在三角形外部时，顶角是60°．故答案为：60°或120°．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出120°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．32．（2019•浦东新区二模）在四边形ABCD中，向量、满足，那么线段AB与CD的位置关系是平行．【答案】解：∵，∴与是共线向量，由于与没有公共点，∴AB∥CD，故答案为：平行．【点睛】本题考查共线向量，解题的关键是熟练运用共线向量的定义，本题属于基础题型．33．（2019•浦东新区二模）已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于7厘米．【答案】解：梯形的中位线长（5+9）＝7（厘米）故答案为：7．【点睛】本题考查的是梯形中位线的计算，梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．34．（2019•静安区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是AB的三等分点，点G是AD的中点，联结EC、FG交于点M．已知，，那么向量．（用向量，表示）．【答案】解：如图，延长FG交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CH，∴1，∴AF＝DH，设AE＝EF＝FB＝a，则AB＝CD＝3a，AF＝DH＝2a，CH＝5a，∵EF∥CH，∴，∴CM CE，∵，∴，故答案为．【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考常考题型．35．（2019•虹口区二模）如图，AD∥BC，BC＝2AD，AC与BD相交于点O，如果，，那么用、表示向量是2．【答案】解：∵AD∥BC，∴△ADO∽△CBO，∴，∴332，故答案为：．【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练运用平面向量的运算法则，本题属于基础题型．36．（2019•虹口区二模）我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把的值叫做这个平行四边形的变形度．如图，矩形ABCD的面积为5，如果变形后的平行四边形A1B1C1D1的面积为3，那么这个平行四边形的变形度为．【答案】解：过A1作A1D⊥B1C1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，∴ab＝5，3＝ah，∴b，h，∴B1D，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，三角函数的定义，正确的理解题意是解题的关键．37．（2019•嘉定区二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O的线段EF与AD、BC分别交于点E、F，如果AB＝4，BC＝5，OE，那么四边形EFCD的周长为12．【答案】解：∵四边形ABCD平行四边形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AO＝OC，∠OAD＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，∴△OAE≌△OCF（AAS），∴OF＝OE＝1.5，CF＝AE，∴四边形EFCD的周长＝ED+CD+CF+OF+OE＝ED+AE+CD+OE+OF＝AD+CD+OE+OF＝4+5+1.5+1.5＝12．故答案为：12．【点睛】本题利用了平行四边形的性质，由已知条件先证出△OAE≌△OCF，再全等三角形的性质，转化边的关系后再求解．38．（2019•松江区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点．设，，用、表示为2．【答案】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵，∴2，∴2，故答案为2．【点睛】本题考查平面向量，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．39．（2019•长宁区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点，联结AE、BD交于点F，若，，用、表示．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴，，∵DE＝DC，∴，∴，∵DE∥AB，∴EF：AF＝DE：AB＝1：2，∴EF AE，∴∴故答案为．【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．40．（2019•宝山区二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，过点O的线段EF与AD，BC 分别交于E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为12．【答案】解：∵四边形ABCD平行四边形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AO＝OC，∠OAD＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，∴△OAE≌△OCF，∴OF＝OE＝1.5，CF＝AE，∴四边形EFCD的周长＝ED+CD+CF+OF+OE＝ED+AE+CD+OE+OF＝AD+CD+OE+OF＝4+5+1.5+1.5＝12．故答案为：12．【点睛】本题利用了平行四边形的性质和已知条件先证出△OAE≌△OCF，再全等三角形的性质，转化边的关系后再求解．41．（2019•崇明区二模）如图，在正六边形ABCDEF的上方作正方形AFGH，联结GC，那么∠GCD的正切值为．【答案】解：连接FD，设正多边形的边长为a，∵在△FED中，EF＝ED＝a，∠FED＝120°，∴FD a．∴DG＝DF+FG＝（1）a．在Rt△GCD中，tan∠GCD．故答案为．【点睛】本题主要考查正多边形的内角和及解直角三角形，解题的关键是在正六边形中求出DF长度．42．（2019•闵行区二模）如图，在△ABC中，点D在边AC上，且CD＝2AD．设，，那么．（结果用向量、的式子表示）【答案】解：∵CD＝2AD，，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．43．（2019•崇明区二模）如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，BD＝2AD，，，那么用、表示为：．【答案】解：∵DE∥BC，∴，∵，∴3，∵BD AB，，∴，∵，∴3，故答案为3．【点睛】本题考查平面向量，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．44．（2019•奉贤区二模）已知△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE．如果设，，那么．（用向量、的式子表示）【答案】解：如图，∵DE∥BC，DE BC，，∴3，∵，∴3，故答案为3．【点睛】本题考查平面向量，平行向量的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．45．（2019•普陀区二模）如图，AD、BE是△ABC的中线，交于点O，设，，那么向量用向量、表示是2．【答案】解：∵AD、BE是△ABC的中线，交于点O，∴AO＝2OD，∴2，∵，∴2，故答案为2．【点睛】本题考查平面向量，三角形法则，三角形的重心的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．46．（2019•金山区二模）如图，在▱ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，，，，那么（用、表示）．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AC＝BC，∵BE：BC＝2：3，∴BE：AD＝2：3，∴AD BE，∵，∴，∵，∴，故答案为．【点睛】本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．47．（2019•崇明区一模）如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点．例如，如图的四边形ABCD中，点M在CD边上，连结AM、BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．若点E、F分别为矩形ABCD边AB、CD上的直角点，且AB＝5，BC，则线段EF的长为或．【答案】解：作FH⊥AB于点H，连接EF．∵∠AFB＝90°，∴∠AFD+∠BFC＝90°，∵∠AMD+∠DAM＝90°，∴∠DAF＝∠BFC又∵∠D＝∠C，∴△ADF∽△FCB，∴，即，∴FC＝2或3．∵点F，E分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，∴AE＝FC，∴当FC＝2时，AE＝2，EH＝1，∴EF2＝FH2+EH2＝（）2+12＝7，∴EF．当FC＝3时，此时点E与点H重合，即EF＝BC，综上，EF或．故答案为：或．【点睛】此题考查了相似三角形的判定定理及性质和勾股定理，得出△ADF∽△FCB是解题关键．48．（2019•徐汇区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若，，则用、表示．【答案】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥HC，AH∥CD，∴四边形AHCD是平行四边形．∴AD＝HC．又EF是梯形ABCD的中位线，∴EF，且GF＝AD．∴EG＝EF﹣GF AD．∵，，∴．故答案是：．【点睛】考查了平面向量和梯形中位线定理，注意：向量既有大小又有方向．49．（2019•普陀区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD，BC＝5，那么DC的长等于2．【答案】解：∵AB⊥BC，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∵BD⊥DC，∴∠C+∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴tan C，∴BD CD，由勾股定理得，BD2+CD2＝BC2，即（CD）2+CD2＝52，解得，CD＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是梯形的性质，正切的定义，勾股定理，掌握梯形的性质，正切的定义是解题的关键．50．（2019•宝山区一模）若2||＝3，那么3||＝．【答案】解：由2||＝3得到：||，故3||＝3．故答案是：．【点睛】考查了平面向量的知识，解题时，可以与实数的运算法则联系起来考虑，属于基础题. 51．（2019•嘉定区一模）如果向量、、满足关系式2（3）＝4，那么2（用向量、表示）．【答案】解：2（3）＝42340202故答案是：2．【点睛】考查平面向量，此题是利用方程思想求得向量的值的，难度不大．52．（2019•闵行区一模）化简：（）＝．【答案】解：（）＝（）（1）．故答案是：．【点睛】考查了平面向量的知识，实数的加减运算法则同样适用于平面向量的加减计算．53．（2019•青浦区一模）计算：3（2）﹣2（3）＝．【答案】解：3（2）﹣2（3）＝3323＝（3﹣2）（﹣3+3）．故答案是：．【点睛】考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加法结合律即可解题，属于基础计算题．54．（2019•浦东新区一模）已知向量与单位向量的方向相反，||＝4，那么向量用单位向量表示为﹣4．【答案】解：∵向量与单位向量的方向相反，||＝4，∴4．故答案是：﹣4．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．55．（2019•虹口区一模）计算：2（3）＝33【答案】解：原式＝2333．故答案是：33．【点睛】考查了平面向量，掌握平面向量的加减计算法则即可解题，属于基础计算题．56．（2019•崇明区一模）化简：．【答案】解：原式．故答案是：．【点睛】考查了平面向量，解答此类题目时，直接去括号，然后计算加减法即可．57．（2019•黄浦区一模）如果向量与单位向量方向相反，且长度为2，那么向量﹣2（用单位向量表示）．【答案】解：∵的长度为2，向量是单位向量，∴a＝2e，∵与单位向量的方向相反，∴2．故答案为：﹣2．【点睛】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．58．（2019•黄浦区一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，BE：EC＝1：2，AE与BD交于点O，如果，，那么（）（用向量、表示）．【答案】解：∵，，∴．∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，BE：EC＝1：2，∴．∴AO AE（）．故答案是：（）．【点睛】考查了平面向量和平行四边形的性质，解题时，需要熟练掌握向量的三角形法则，注意向量是有方向的．59．（2019•金山区一模）如图，已知O为△ABC内一点，点D、E分别在边AB、AC上，且，DE ∥BC，设、，那么（用、表示）．【答案】解：∵，DE∥BC，∴，∴DE BC．∵、，，∴．故答案是：．【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．60．（2019•徐汇区一模）计算：（2）﹣47．【答案】解：：（2）﹣4247．故答案是：7．【点睛】本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．61．（2019•普陀区一模）化简：3（）﹣2（）＝．【答案】解：3（）﹣2（）＝322（3﹣2）（2）．故答案是：．【点睛】考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．62．（2019•奉贤区一模）计算：32（）＝5．【答案】解：32（）＝325；故答案为5；【点睛】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．63．（2019•奉贤区一模）如果正n边形的内角是它中心角的两倍，那么边数n的值是6．【答案】解：依题意有2，解得n＝6．故答案为：6．【点睛】此题考查了多边形内角与外角，此题比较简单，解答此题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角的求法．64．（2019•金平区一模）如果多边形的每个外角都是45°，那么这个多边形的边数是8．【答案】解：多边形的边数是：8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键．。
专题11 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(解析版)
提升训练2.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系一、选择题1．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ）A ．2(3)17x -=B ．2(3)14-=xC ．2(6)44x -=D ．2(3)1x -=【答案】A【解析】用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17，故选A ．2．若1x ，2x 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个根，则12x x 的值是（ ）A ．4B ．－3C ．－4D ．3【答案】D【解析】∵一元二次方程x 2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3，∴x 1•x 2=ca =3．故选D ．3．一元二次方程2320x x =－－的两根分别为12x x ，，则下列结论正确的是( )A ．1212x x =-=，B ．1212x x ==-，C ．123x x =＋D ．122x x =【答案】C【解析】∵方程2320x x =－－的两根为12x x ，， ∴1212+=-3,2b c x x x x a a ===-∴C 选项正确.故选C4．若1x 、2x 是方程2x 2x 10--=的两个根，则1122x x x x ++的值为( )A ．1B ．-1C ．3D ．-3 【答案】A【解析】因为1x 、2x 是方程2x 2x 10--=的两个根，所以12122,1x x x x +=•=-所以1122x x x x ++=2-1=1故选A5．若，，则以，为根的一元二次方程是（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】 ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴以，为根的一元二次方程为． 故选：A ．6．若代数式2x 2-5x 与代数式x 2-6的值相等，则x 的值是( )A ．-2或3B ．2或3C ．-1或6D ．1或-6. 【答案】B【解析】因为这两个代数式的值相等，所以有： 2x 2-5x=x 2-6，x 2-5x+6=0，(x-2)(x-3)=0，x-2=0或x-3=0，∴x=2或3．所以选B7．x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx ﹣3m 2＝0的两根，则下列说法不正确的是（ ）A ．x 1+x 2＝2mB ．x 1x 2＝﹣3m 2C ．x 1﹣x 2＝±4mD ．12x x ＝﹣3 【答案】D【解析】∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2m ﹣3m 2=0的两根，∴x 1+x 2=2m ，x 1x 2=﹣3m 2，|x 1﹣x 2|==|4m |=±4m ， 解方程x 2﹣2mx ﹣3m 2=0得：x =3m 或﹣m ， ∴12x x =-3或13-． 故选D ．8．若a b ，是方程220180x x =＋－的两个实数根，则22a a b ++= ( )A ．2018B ．2017C ．2016D ．2015【答案】B【解析】∵a 是方程220180x x =＋－的根，∴220180a a -=＋，∴22018a a =-＋，∴22201822018a a b a a b a b ++=-+++=++.∵a b ，是方程220180x x ＋－＝的两个实数根，∴1a b +=-，∴22201812017.a a b +=-=＋故选B.9.关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣3＝0有一个根为﹣3，则另一根为（ ）A ．1B ．﹣2C ．2D ．3【答案】A【解析】设方程x 2+kx ﹣3＝0的另一个根为a ，∵关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣3＝0有一个根为﹣3， ∴由根与系数的关系得：﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，即方程的另一个根为1，故选：A ．10.关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（）A ．2m =-B ．3m =C ．3m =或2m =-D ．3m =-或2m =【答案】A【解析】设1x ，2x 是2220x mx m m +++=的两个实数根，∴40m ∆=-≥，∴0m ≤，∴122x x m +=-，212x x m m ⋅=+，∴()2221212122x x x x x x +=+-⋅2224222212m m m m m =--=-=，∴3m =或2m =-，∴2m =-，故选A ．11．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是( )A ．2023B ．2021C ．2020D ．2019【答案】A【解析】a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，∴23b b =-，1a b +=-，3ab =，∴222201932019a b a b -+=-++()2220161620162023a b ab =+-+=++=；故选A ．12．若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k ≥B ．0k ≥且2k ≠C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠ 【答案】D【解析】 （k-2）x 2-2kx+k-6=0，∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根，∴220(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨=----⎩， 解得：32k ≥且k≠2． 故选D ．二、填空题13．若方程2410x x -+=的两根是12x x ，，则122(1)x x x ++的值为________．【答案】5【解析】根据题意得121241x x x x ==＋，，所以12211221212141()5x x x x x x x x x x x ++=++=++=+=.故答案为5.14．已知1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，则2212x x +=______________【答案】2【解析】∵x 1、x 2是方程x 2−2x −1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝2，x 1×x 2＝−1，∴x 12＋x 22＝（x 1＋x 2）2−2x 1x 2＝22−2×（−1）＝6．故答案为：6．15．已知a ，b 是方程x 2+2017x +2=0的两个根，则（2+2019a +a 2）（2+2019b +b 2）的值为______．【答案】8．【解析】∵a，b 是方程x 2+2017x+2=0的两个根，∴2+2017a+a 2=0，2+2017b+b 2=0，ab=2，∴（2+2019a+a 2）（2+2019b+b 2）=（2+2017a+2a+a 2）（2+2017b+2b+b 2）=4ab=8，故答案为：8．16．若a 、b 是关于一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两实数根，则11a b +的值为_____． 【答案】13 【解析】∵a 、b 是关于一元二次方程230x x +-=的两实数根，∴13a b ab +=-=-， ，∴111133a b a b ab +-+===- ， 故答案为：13． 三、解答题17．关于x 的一元二次方程2380x mx =＋－有一个根是23，求该一元二次方程的另一个根及m 的值． 【答案】该一元二次方程的另一个根是－4，m 的值为10.【解析】设方程的另一个根为t .依题意得22238033m ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭，解得10.m = 又2833t =-，所以4t ＝－. 故该一元二次方程的另一个根是－4，m 的值为10. 18.已知关于x 的方程x 2﹣2kx+k 2﹣k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1﹣3x 2＝2，求k 的值．【答案】（1）k ＞﹣1；（2）k ＝3．【解析】（1）△＝（﹣2k ）2﹣4（k 2﹣k ﹣1）＝4k+4＞0，∴k＞﹣1；（2）∵1212322x x x x k -=⎧⎨+=⎩， ∴1231212k x k x +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∵x 1•x 2＝k 2﹣k ﹣1，∴14（3k+1）（k ﹣1）＝k 2﹣k ﹣1， ∴k 1＝3，k 2＝﹣1， ∵k＞﹣1，∴k＝3．19．按指定的方法解方程()21(9)250x +-=(直接开平方法)()226160x x --=(配方法)()()()33121x x x -=-(因式分解法)()242720x x -+=(公式法)【答案】(1)1x 4=-，2x 14=-；(2)1x 8=，2x 2=-；(3)12x 3=，2x 1=；(4)733x ±=．【解析】 ()1方程变形得：2(x 9)25+=，开方得：x 95+=或x 95+=-，解得：1x 4=-，2x 14=-；()2方程变形得：2x 6x 16-=，配方得：2x 6x 925-+=，即2(x 3)25-=，开方得：x 35-=或x 35-=-，解得：1x 8=，2x 2=-； ()3方程变形得：()()3x x 12x 10---=，分解因式得：()()3x 2x 10--=， 解得：12x 3=，2x 1=； ()4这里a 2=，b 7=-，c 2=，∵491633=-=，∴x =． 20．已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的两个实数根，使得(3x 1-x 2)(x 1-3x 2)=-80成立，求其实数a 的可能值【答案】a=-335. 【解析】∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的两个实数根，a=1，b=(3a-1)，c=2a 2-1， ∴x 1+x 2=-b a =-(3a-1)，x 1•x 2=c a=2a 2-1， ∵(3x 1-x 2)(x 1-3x 2)=-80，∴3x 12-10x 1x 2+3x 22=-80，即3(x 1+x 2)2-16x 1x 2=-80，∴3[-(3a-1)]2-16(2a 2-1)=-80，∴5a 2+18a-99=0，∴a=3或-335， 当a=3时，方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的△＜0，∴不合题意，舍去∴a=-33521．已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.【答案】（1）134m ≤；（2）1. 【解析】 （1）△=2222(21)41(3)441412413m m m m m m --⨯⨯-=-+-+=-+∵原方程有实根，∴△=4130m -+≥ 解得134m ≤ （2）当m=2时，方程为x 2+3x+1=0，∴x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1=0，x 22+3x 2+1=0，∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）=（x 12+2x 1+x 1-x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）=（-1-x 1）（-1+x 2+2）=（-1-x 1）（x 2+1）=-x 2-x 1x 2-1-x 1=-x 2-x 1-2=3-2=1．22．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +3）x +m 2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22＝31+|x 1x 2|，求实数m 的值．【答案】（1）m ≥﹣112；（2）m ＝2． 【解析】（1）根据题意得（2m +3）2﹣4（m 2+2）≥0，解得m ≥﹣112； （2）根据题意x 1+x 2＝2m +3，x 1x 2＝m 2+2，因为x 1x 2＝m 2+2＞0，所以x 12+x 22＝31+x 1x 2，即（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2﹣31＝0，所以（2m +3）2﹣3（m 2+2）﹣31＝0，整理得m 2+12m ﹣28＝0，解得m 1＝﹣14，m 2＝2，而m≥﹣1 12；所以m＝2．。
部编数学七年级上册专题11线段的计算专题复习(课堂学案及配套作业)(解析版)含答案
专题11 线段的计算专题复习（解析版）第一部分教学案类型一单中点1．（2020秋•开福区校级月考）已知线段AB＝13cm，C为线段AB上一点，BC＝5cm，点D 为AC的中点．求DB的长度．思路引领：根据线段图，先求出AC的长，再求出DC的长，就可以求出DB的长．解：∵AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB﹣BC＝8cm．∵D是AC中点．∴CD=12AC=4cm，∴DB＝DC+CB＝9cm．总结提升：本题主要考查线段的长度计算，分别考查了线段的做差、中点、求和等问题．属于简单题．主要锻炼学生书写解题过程，和逻辑推理能力．2．已知线段AB＝10cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，并且BC＝2cm，点E是DC的中点，则线段DE的长为 ．思路引领：分C在线段AB延长线上，C在线段AB上两种情况作图．再根据正确画出的图形解题．解：∵AB＝10cm，点D是线段AB的中点，∴DB=12AB=12×10＝5（cm），①C在线段AB上，∵BC＝2cm，∴DC＝AB﹣BC＝5﹣2＝3（cm），∵点E是DC的中点，∴DE=12DC=12×3=32（cm），②C在线段AB延长线上，∵BC＝2cm，∴DC＝DB+BC＝5+2＝7（cm），∵点E是DC的中点，∴DE=12DC=12×7=72（cm），故答案为：32或72．总结提升：本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏．3．（2019秋•潮阳区期末）如图，点C、D在线段AB上，D是线段AB的中点，AC=13 AD，CD＝4，求线段AB的长．思路引领：根据AC=13AD，CD＝4，求出CD与AD，再根据D是线段AB的中点，即可得出答案．解：∵AC=13AD，CD＝4，∴CD＝AD﹣AC＝AD―13AD=23AD，∴AD=32CD＝6，∵D是线段AB的中点，∴AB＝2AD＝12；总结提升：此题考查了两点间的距离公式，主要利用了线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的关键．类型二双中点4．（2019秋•秦淮区期末）已知：如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）若线段AC＝4，BC＝6，则线段MN＝ ；（2）若AB＝m，求线段MN的长度．思路引领：（1）由已知可求得CM，CN的长，从而不难求得MN的长度；（2）由已知可得AB的长是NM的2倍，已知AB的长则不难求得MN的长度．解：（1）∵N是BC的中点，M是AC的中点，AC＝4，BC＝6，∴MC＝2，CN＝3，∴MN＝MC+CN＝2+3＝5；（2）∵M是AC的中点，N是BC的中点，AB＝m，∴NM＝MC+CN=12AB=12m．故答案为：5．总结提升：本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．5．（2022春•垦利区期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，MB＝10cm，点M，N分别为AC，BC的中点．（1）求线段BC，MN的长；（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝acm，M，N分别是线段AC，BC的中点，请画出图形，并用a的式子表示MN的长度．思路引领：（1）根据“点M是AC的中点”，先求出MC的长度，再利用BC＝MB﹣MC，CN＝12BC，MN＝CM+CN即可求出线段BC，MN的长度．（2）先画图，再根据线段中点的定义得MC=12AC，NC=12BC，然后利用MN＝MC﹣NC得到MN=12 acm．解：（1）∵M是AC的中点，∴MC=12AC＝3cm，∴BC＝MB﹣MC＝7cm，又N为BC的中点，∴CN=12BC＝3.5cm，∴MN＝MC+NC＝6.5cm；（2）如图1（或图2）：∵M是AC的中点，∴CM=12 AC，∵N是BC的中点，∴CN=12 BC，∴MN＝CM﹣CN=12AC―12BC=12（AC﹣BC）=12acm．总结提升：本题主要考查了两点间的距离，线段的中点定义，线段的中点把线段分成两条相等的线段．6．（2019秋•长兴县期末）如图，已知点C 为线段AB 上一点，AC ＝15cm ，CB =35AC ，点D ，E 分别为线段AC ，AB 的中点，求线段AB 与DE 的长．思路引领：根据线段的中点定义即可求解．解：∵AC ＝15cm ，CB =35AC ，∴BC ＝9，∴AB ＝AC +BC ＝24，∵点D ，E 分别为线段AC ，AB 的中点，∴AD =12AC =152AE =12AB ＝12∴DE ＝AE ﹣AD =92．答：线段AB 与DE 的长为24、92．总结提升：本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用线段的中点定义．7．已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，AB ＝8，BC ＝4，M 、N 分别为AB 、BC 的中点，求线段MN 的长．思路引领：由题意将C 点位置分两种情况分别求解：①当C 点在AB 之间时，M 与C 点重合；②当C 在线段AB 延长线上时，MN ＝BM +BN ．解：①当C 点在AB 之间时，由已知，M 与C 点重合，∵AB ＝8，BC ＝4，M 、N 分别为AB 、BC 的中点，∴MN ＝BN ＝2；②当C 在线段AB 延长线上时，MN ＝BM +BN ＝4+2＝6；综上所述，MN 的长为2或6．总结提升：本题考查线段两点间距离；能够准确确定C 点的位置是解题的关键．类型三 方程思想8．（2019秋•克东县期末）如图，N 为线段AC 中点，点M 、点B 分别为线段AN 、NC 上的点，且满足AM ：MB ：BC ＝1：4：3．（1）若AN ＝6，求AM 的长．（2）若NB＝2，求AC的长．思路引领：（1）根据线段中点的定义得到AC＝2AN＝12，于是得到AM=1143×AC=1 8×12=32；（2）根据线段中点的定义得到AN=12AC，得到AB=14143AC=58AC，列方程即可得到结论．解：（1）∵AN＝6，N为线段AC中点，∴AC＝2AN＝12，∵AM：MB：BC＝1：4：3．∴AM=1143×AC=18×12=32；（2）∵N为线段AC中点，∴AN=12 AC，∵AM：MB：BC＝1：4：3，∴AB=14143AC=58AC，∴BN＝AB﹣AN=58AC―12AC=18AC＝2，∴AC＝16．总结提升：本题考查的是两点间的距离，正确理解线段中点的意义是解题的关键．9．（2019秋•江夏区期末）如图，点B，D在线段AC上，BD=13AB，AB=34CD，线段AB、CD的中点E、F之间的距离是20，求线段AC的长．思路引领：设BD＝x，求出AB＝3x，CD＝4x，求出BE=12AB＝1.5x，DF＝2x，根据EF＝20得出方程1.5x+2x﹣x＝5，求出x即可．解：设BD＝x，则AB＝3x，CD＝4x，∵线段AB、CD的中点分别是E、F，∴BE=12AB＝1.5x，DF＝2x，∵EF＝20，∴1.5x+2x﹣x＝20，解得：x＝8，∴AE+EF+CF＝1.5x+20+2x＝12+20+16＝48．总结提升：本题考查了求两点之间的距离，能根据题意得出方程是解此题的关键．10．（鄂城区期末）已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点，点D 在线段AB上．（1）若AB＝6，BD=13BC，求线段CD的长度；（2）点E是线段AB上一点，且AE＝2BE，当AD：BD＝2：3时，线段CD与CE具有怎样的数量关系？请说明理由．思路引领：（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可；（2）设AD＝2x，用x表示出AB，根据题意用x表示出CD、CE，得到CD与CE的数量关系．解：（1）如图1，∵点C是线段AB的中点，AB＝6，∴BC=12AB＝3，∵BD=1 3，∴BD＝1，∴CD＝BC﹣BD＝2；（2）如图2，设AD＝2x，则BD＝3x，∴AB＝AD+BD＝5x，∵点C是线段AB的中点，∴AC=12AB=52x，∴CD＝AC﹣AD=12 x，∵AE＝2BE，∴AE=23AB=103x，CE＝AE﹣AC=56 x，∴CD：CE=12x：56x＝3：5．总结提升：本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键．11．（2019秋•樊城区期末）如图，AB＝97，AD＝40，点E在线段DB上，DC：CE＝1：2，CE：EB＝3：5，求AC的长度．思路引领：根据AB＝97，AD＝40，可得BD＝AB﹣AD＝57，由DC：CE＝1：2，CE：EB＝3：5，可以设DC＝x，可得CE＝2x，EB=10x3，进而列出等式解得x的值，再求AC的长即可．解：因为AB＝97，AD＝40，所以BD＝AB﹣AD＝57因为DC：CE＝1：2，CE：EB＝3：5，所以设DC＝x，则CE＝2x，EB=10x 3，因为BD＝DC+CE+EB所以x+2x+10x3=57解得x＝9所以AC＝AD+DC＝40+9＝49．答：AC的长度为49．总结提升：本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用线段之间的关系列出等式．类型四整体思想12．如图，点P在线段AB的延长线上，点C为线段AB的中点．试探究PA+PB与PC之间的数量关系，并说明理由．思路引领：设AC＝BC＝x，PB＝y，求出PA+PB的长，然后与PC的长进行比较即可发现它们之间的数量关系．解：PA+PB与PC之间的数量关系为：PA+PB＝2PC．设AC＝BC＝x，PB＝y，由图中所给信息可得：则PC＝x+y，PA＝2x+y，所以PA+PB＝2x+y+y＝2（x+y），所以PA+PB＝2PC．总结提升：本题考查线段的和差问题，关键是正确表示出线段的长．13．（2021秋•覃塘区期末）如图，点C，D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点，若ED＝12，则线段AB的长为 ．思路引领：设EC＝x，根据点E为线段AC的中点，得AC＝2EC＝2x，再根据点C，D 为线段AB的三等分点，得AB＝3AC，结合ED＝12，求出x，进而得出线段AB的长．解：设EC＝x，∵点E为线段AC的中点，∴AC＝2EC＝2x，∵点C，D为线段AB的三等分点，∴AC＝CD＝BD＝2x，∵ED＝EC+CD，ED＝12，∴x+2x＝12，解得x＝4，∴AB＝3AC＝24，故答案为：24．总结提升：本题主要考查了两点间的距离，掌握线段三等分点的定义，线段之间的数量转化是解题关键．14．如图，已知C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点．（1）若AB＝24，CD＝10，求MN的长．（2）若AB＝a，CD＝b，请用含，b的式子表示出MN的长．思路引领：（1）利用M，N分别是AC，BD的中点，可以得出MC=12AB，DN=12BD，再利用线段的和差关系表示即可求出答案；（2）和方法（1）一样，利用线段的和差关系表示出关系式即可．解：（1）∵M，N分别是AC，BD的中点，∴MC=12AB，DN=12BD，∴MN＝MC+CD+DN=12AC+12BD+CD=12(AC+BD)+CD=12(AB―CD)+CD=12AB+12CD=12(AB+CD)=12(24+10)=17，故MN的长是17．答：MN的长是17．（2）由（1）可知，MN =12(AB +CD )，∵AB ＝a ，CD ＝b ，∴MN =12(a +b )，答：MN 的长是12(a +b )．总结提升：本题主要考查两点间的距离，熟练掌握中点的定义和线段的和差关系是解题的关键．类型五 分类讨论思想15．（聊城期末）已知A ，B ，C 三点在同一条直线上，若AB ＝60cm ，BC ＝40cm ，则AC 的长为 ．思路引领：根据题意，分两种情况讨论：（1）C 在AB 内，则AC ＝AB ﹣BC ；（2）C 在AB 外，则AC ＝AB +BC ．解：（1）C 在AB 内，则AC ＝AB ﹣BC ＝20cm ；（2）C 在AB 外，则AC ＝AB +BC ＝100cm ．∴AC 的长为100cm 或20cm ．总结提升：本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性．灵活运用线段的和、差转化线段之间的数量关系．在今后解决类似的问题时，要防止漏解．16．（ 永新县期末）已知线段AB ＝6，在直线AB 上取一点P ，恰好使AP ＝2PB ，点Q 为PB 的中点，求线段AQ 的长．思路引领：根据中点的定义可得PQ ＝QB ，根据AP ＝2PB ，求出PB =13AB ，然后求出PQ 的长度，即可求出AQ 的长度．解：如图1所示，∵AP ＝2PB ，AB ＝6，∴PB =13AB =13×6＝2，AP =23AB =23×6＝4；∵点Q 为PB 的中点，∴PQ ＝QB =12PB =12×2＝1；∴AQ ＝AP +PQ ＝4+1＝5．如图2所示，∵AP ＝2PB ，AB ＝6，∴AB ＝BP ＝6，∵点Q为PB的中点，∴BQ＝3，∴AQ＝AB+BQ＝6+3＝9．故AQ的长度为5或9．总结提升：本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离，解题时注意分类思想的运用．17．如图，已知点C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点．若AB＝24，CD＝10，求MN的长．思路引领：根据点M、N分别为AC、BD的中点，可求出MC+ND的值，进而求出MN 的值．解：∵点M、N分别为AC、BD的中点，∴MA＝MC=12AC，NB＝ND=12BD，∴MC+ND=12（AC+BD）=12（AB﹣CD）=12（24﹣10）＝7（cm），∴MN＝MC+ND+CD＝7+10＝17（cm），即MN的长为17cm．总结提升：本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．18．已知：线段AB＝10，C、D为直线AB上的两点，且AC＝6，BD＝8，求线段CD的长．思路引领：因为C、D的位置不确定，需要分四种情况讨论，分别画出图形，即可求出线段CD的长．解：分四种情况：①图1中，CD＝CB+BD＝（AB﹣AC）+BD＝4+8＝12；②图2中，CD＝AB﹣AD﹣BC＝AB﹣（AB﹣BD）﹣（AB﹣AC）＝10﹣2﹣4＝4；③图3中，CD＝CA+AB+BD＝24；④图4中，CD＝CA+AD＝CA+（AB﹣BD）＝6+2＝8．综上可得：线段CD的长为12或4或24或8．总结提升：本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是分类讨论C、D的位置，容易漏解．类型六动点问题19．如图，数轴上A、B所对应的数分别为﹣5、10，O为原点，点C为数轴上一动点且对应的数为x．点P以每秒2个单位长度，点Q以每秒3个单位长度，分别自A、B两点同时出发，在数轴上运动（不改变方向）．设运动时间为t秒．（1）若点P、Q相向而行且OP＝OQ，求t的值．（2）若点P、Q在点C处相遇，求出C点对应的数x．（3）当PQ＝5时，求t的值．（4）若点P、Q相向，同时一只宠物鼠每秒4个单位长度从B点出发，与点P相向而行，宠物鼠遇到P后立即返回，又遇到Q点后立即返回，又遇到P后立即返回…直到A、B 相遇为止，求宠物鼠整个过程中的行驶路程．思路引领：（1）根据OP＝OQ，即路程和＝AB，或P的路程﹣10＝Q的路程﹣5，列出关于t的方程求解即可；（2）求出P点运动的路程，进一步求解即可；（3）根据PQ＝5，分三种情况列出关于t的方程求解即可；（4）根据路程＝速度×时间，列式计算即可求解．解：（1）依题意有（2+3）t＝10﹣（﹣5），解得t＝3；或3t﹣10＝2t﹣5，解得t＝5．答：t的值是3或5．（2）﹣5+3×2＝﹣5+6＝1，或10﹣[10﹣（﹣5）]÷（3﹣2）×3＝10﹣15÷1×3＝﹣35．故C点对应的数是1或﹣35．（3）依题意有①（2+3）t＝10﹣（﹣5）﹣5，解得t＝2；②（2+3）t＝10﹣（﹣5）+5，解得t＝4；答：t的值是2或4．（4）4×3＝12个单位长度．答：宠物鼠整个过程中的行驶路程是12个单位长度．总结提升：考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．20．如图，数轴上A、B所对应的数分别为﹣5，10，O为原点，点P以每秒2个单位长度，点Q以每秒3个单位长度，分别自A、B两点同时出发，在数轴上运动，设运动时间为t 秒．（1）若点P、Q相向而行，且OP＝OQ，求t的值；（2）若P、Q相向而行，且PQ＝5，求t的值；（3）若P、Q同时向左运动，且PQ＝5，求t的值．思路引领：（1）根据OP＝OQ，即路程和＝AB，或P的路程−10＝Q的路程−5，列出关于t的方程求解即可；（2）由于运动的时间为t秒，根据P、Q相向而行，且PQ＝5，列出方程求得t的值即可；（3）根据P、Q同时向左运动，且PQ＝5，列出关于t的方程求解即可．解：（1）依题意有（2+3）t＝10−（−5），解得t＝3；或3t−10＝2t−5，解得t＝5．答：t的值是3或5．（2）依题意有|15﹣3t﹣2t|＝5，即15﹣3t﹣2t＝5或15﹣3t﹣2t＝﹣5，解得t＝2或4；（3）依题意有|3t﹣15﹣2t|＝5，3t﹣15﹣2t＝5或3t﹣15﹣2t＝﹣5，解得t＝20或10，答：t的值是20或10．总结提升：考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．21．（2020秋•西湖区期末）如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分别为a，b，已知AB＝12，原点O是线段AB上的一点，且OA＝5OB．（1）求a，b的值．（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向数轴正方向匀速运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，当t为何值时，2OP﹣OQ＝3．（3）在（2）的条件下，若当点P开始运动时，动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度也向数轴正方向匀速运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P 运动，遇到点P后点M就停止运动．求点M停止时，点M在数轴上所对应的数．思路引领：（1）由AO＝5OB可知，将12平均分成6份，AO占5份为10，OB占一份为2，由图可知，A在原点的左边，B在原点的右边，从而得出结论；（2）分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ＝2+t，分别代入2OP﹣OQ＝3列式即可求出t的值；（3）设点M运动的时间为t秒，分两种情况：点M追上点Q；点P与点M相遇时；列出方程即可解决问题．解：（1）∵AB＝12，AO＝5OB，∴AO＝10，OB＝2，∴A点所表示的数为﹣10，B点所表示的数为2，∴a＝﹣10，b＝2．故答案为：﹣10；2；（2）当0＜t＜5时，如图1，AP ＝2t ，OP ＝10﹣2t ，BQ ＝t ，OQ ＝2+t ，∵2OP ﹣OQ ＝3，∴2（10﹣2t ）﹣（2+t ）＝3，解得t ＝3，当点P 与点Q 重合时，如图2，2t ＝12+t ，解得t ＝12，当5＜t ＜12时，如图3，OP ＝2t ﹣10，OQ ＝2+t ，则2（2t ﹣10）﹣（2+t ）＝3，解得t ＝813，综上所述，当t 为3或813时，2OP ﹣OQ ＝3；（3）设点M 运动的时间为t 秒，点M 追上点Q ，3（t ―103）＝2+t ，解得t ＝6，∴OP ＝2（t ﹣5）＝2，此时OM ＝3（t ―103）＝8；点P 与点M 相遇时，2t +3t ＝6，解得t ＝1.2，此时OM ＝8﹣3×1.2＝4.4．故点M 停止时，点M 在数轴上所对应的数是4.4．总结提升：本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．第二部分 配套作业一．填空题（共3小题）1．（2006•鄂州）已知AB＝8cm，若点C在AB的延长线上，且B为AC的一个三等分点，则AC＝ cm．思路引领：已知AB的长度，根据B为AC的一个三等分点，因B点不确定，要分类讨论．解：本题要分两种情况讨论：①如果，BC占线段AC的三分之一，则AC等于12cm；②如果AB占线段AC的三分之一，AC等于24cm．∴AC＝12或24cm．总结提升：要分类讨论，以确定AC的长度．2．（2022•天河区校级模拟）如图，点C是线段AB的中点，点D在CB上，BC＝4cm，BD ＝1.5cm，则线段AD＝ cm．思路引领：首先根据线段中点定义求出AC、BC长．再根据线段和差关系求出AD的长．解：∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC＝4（cm），∵BD＝1.5cm，∴CD＝2.5（cm），∴AD＝AC+CD＝6.5（cm），故答案为：6.5．总结提升：本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握线段中点定义的应用，线段之间的数量转化是解题关键．3．（2021秋•宣化区期末）已知点P是射线AB上一点，当PAPB=2或PAPB=12时，称点P是射线AB的强弱点，若AB＝6，则PA＝ ．思路引领：分三种情况讨论，分别画出符合题意的图形，结合P的位置得到PA与PB的具体的数量关系，结合AB＝6，从而可得答案．解：①如图，AB＝6，当PAPB =12时，∴PA=13AB=13×6＝2；②如图，AB＝6，当PAPB=2且P在线段AB上时，∴PA =23AB =23×6＝4；③如图，AB ＝6，当PA PB=2且P 在线段AB 的延长线上时，∴PA ＝2AB ＝2×6＝12；综上：PA ＝2或4或12．故答案为：2或4或12．总结提升：本题考查的是线段的和差倍分关系，有理数的乘法运算，分类思想的运用，掌握线段的和差倍分是解题的关键．二．解答题（共15小题）4．已知点A ，B ，C 是同一条直线上的任意三点，如果AC ＝7，BC ＝3，求线段AC 和BC 的中点间距离．思路引领：此题有两种情况：①当C 点在线段AB 上，此时AB ＝AC +BC ，然后根据中点的性质即可求出线段AC 和BC 的中点之间的距离；②当B 在线段AC 上时，那么AB ＝AC ﹣CB ，然后根据中点的性质即可求出线段AC 和BC 的中点之间的距离．解：此题有两种情况：①当C 点在线段AB 上，此时AB ＝AC +BC ，而AC ＝7，BC ＝3，∴AB ＝AC +BC ＝10，∴线段AC 和BC 的中点之间的距离为12AC +12BC =12（AC +BC ）＝5；②当B 点在线段AC 上，此时AB ＝AC ﹣BC ，而AC ＝7，BC ＝3，∴AB ＝AC ﹣BC ＝4，∴线段AC 和BC 的中点之间的距离为12AC ―12BC =12（AC ﹣BC ）＝2．故答案为：5或2．总结提升：在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．5．（2020秋•盱眙县期末）如图，直线l 上有A 、B 两点，线段AB ＝10cm ．点C 在直线l 上，且满足BC ＝4cm ，点P 为线段AC 的中点，求线段BP 的长．思路引领：作出图形后首先求得AC的长，然后求其一半的长，最后求线段BP的长即可．分点C在AB上和点C在AB的延长线上两种情况讨论即可．解：当点C在AB上时，如图：∵AB＝10cm，BC＝4cm，∴AC＝AB﹣BC＝10﹣4＝6（cm），∵P为线段AC的中点，∴PC=12AC=12×6＝3（cm），∴BP＝PC+BC＝3+4＝7（cm）；当点C在AB的延长线上时，如图：∵AB＝10cm，BC＝4cm，∴AC＝AB+BC＝10+4＝14（cm），∵P为线段AC的中点，∴PC=12AC=12×14＝7（cm），∴BP＝PC﹣BC＝7﹣4＝3（cm）；∴BP的长为7cm或3cm总结提升：本题主要考查两点间的距离的知识点，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．6．（2021秋•钦北区期末）如图，线段AB＝8，点C是AB的中点，点D是BC的中点，E 是AD的中点．（1）求线段BD的长；（2）求线段EC的长．思路引领：（1）由点C是AB的中点可得AC＝BC＝4cm，由点D是BC的中点可得BD＝CD＝2即可；（2）由（1）可知AE、AD的长，再根据EC＝AC﹣AE，即可得出线段EC的长．解：（1）∵点C是AB的中点，AB＝8，∴12AB＝AC＝BC＝4，又∵点D是BC的中点，∴12BC＝BD＝CD＝2．（2）由（1）得AC＝4，AD＝AC+CD＝6，∵E是AD的中点，∴12AD＝AE＝ED＝3，∴EC＝AC﹣AE＝4﹣3＝1．总结提升：本题考查了两点间的距离以及线段中点的定义，利用线段的和差是解题关键．7．（2019秋•南关区校级期末）如图，延长线段AB至点D，使点B为线段AD的中点，点C在线段BD上，CD＝2BC，若BC＝3，求AD的长．思路引领：先由CD＝2BC，BC＝3，求得CD＝6，进而得BD，再由点B为线段AD的中点，得AD．解：∵CD＝2BC，BC＝3，∴CD＝6，∴BD＝BC+CD＝3+6＝9，∵点B为线段AD的中点，∴AD＝2BD＝18．总结提升：本题主要考查了线段的和差计算，线段的中点定义，关键是弄清各线段之间的关系，正确运用线段和差和线段中点，进行解答．8．（2022秋•江都区月考）在直线m上取点A、B，使AB＝10cm，再在m上取一点P，使PA＝2cm，M、N分别为PA、PB的中点，求线段MN的长．思路引领：根据题意，正确画出图形，此题要分情况讨论：（1）当点P在线段AB上；（2）当点P在线段BA的延长线上．解：（1）如图，当点P在线段AB上时，PB＝AB﹣PA＝8cm，M、N分别为PA、PB的中点，∴PN=12PB，PM=12AP．∴MN＝PM+PN=12AP+12BP＝1+4＝5（cm）；（2）如图，当点P在线段BA的延长线上时，PB＝AB+PA＝12cm，M、N分别为PA、PB的中点，∴PN=12PB，PM=12AP．∴MN＝PN﹣PM=12BP―12AP＝6﹣1＝5（cm）．∴线段MN的长是5cm．总结提升：本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．要分情况进行讨论，以防遗漏．9．如图，点C是线段AB的中点，点D是线段AC上一点，CD＝2AD．（1）若线段AB＝12，求CD的长；（2）若E是线段BC上一点，CE：BE＝1：5，且CD比CE的3倍长1，求BE的长．思路引领：（1）根据线段中点的定义可得AC＝6，再根据已知可得CD=23AC＝4，即可解答；（2）根据题意可设CE＝x，则CD＝3x+1，再根据已知可得BC＝6x，AC=9x32，然后根据线段中点的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．解：（1）∵点C是线段AB的中点，AB＝12，∴AC=12AB＝6，∵CD＝2AD，∴CD=23AC＝4，∴CD的长为4；（2）如图：∵CD比CE的3倍长1，∴设CE＝x，则CD＝3x+1，∵CE：BE＝1：5，∴BC＝6CE＝6x，∵CD＝2AD，∴AC=32CD=9x32，∵点C是线段AB的中点，∴AC＝BC，∴9x32=6x，∴x＝1，∴BE＝5CE＝5，∴BE的长为5．总结提升：本题考查了两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．10．（2022秋•高密市期中）如图所示，B，C两点把线段AD分成4：5：7的三部分，E是线段AD的中点，CD＝14厘米．（1）求EC的长．（2）求AB：BE的值．思路引领：（1）由题意知，B，C两点把线段AD分成4：5：7三部分，则令AB，BC，CD分别为4x厘米，5x厘米，7x厘米．根据CD＝14厘米，得出x＝2．根据E是线段AD的中点，可得ED=12AD＝16厘米，代入EC＝ED﹣CD可求；（2）分别求出AB，BE的长后计算AB：BE的值．解：设线段AB，BC，CD分别为4x厘米，5x厘米，7x厘米，∵CD＝7x＝14，∴x＝2．（1）∵AB＝4x＝8（厘米），BC＝5x＝10（厘米），∴AD＝AB+BC+CD＝8+10+14＝32（厘米）．∵E是线段AD的中点，∴ED=12AD＝16厘米，∴EC＝ED﹣CD＝16﹣14＝2（厘米）；（2）∵BC＝10厘米，EC＝2厘米，∴BE＝BC﹣EC＝10﹣2＝8厘米，又∵AB＝8厘米，∴AB：BE＝8：8＝1．答：EC长是2厘米，AB：BE的值是1．总结提升：本题考查了两点的间的距离，通过设适当的参数，由CD＝7x＝14求出参数x ＝2后，再求出各线段的值，同时利用线段的中点把线段分成相等的两部分的性质．11．（2020秋•巴南区期末）已知点B、D在线段AC上，（1）如图1，若AC＝20，AB＝8，点D为线段AC的中点，求线段BD的长度；（2）如图2，若BD=13AB=14CD，AE＝BE，EC＝13，求线段AC的长度．思路引领：（1）由线段的中点，线段的和差求出线段DB的长度；（2）由线段的中点，线段的和差倍分求出AC的长度．解：（1）∵D为线段AC的中点∴DC=12AC=12×20＝10，∵AB＝8，∴BD＝AD﹣AB＝10﹣8＝2；（2）设BD＝x，∵BD=13AB=14CD，∴AB＝3x，CD＝4x，∴AC＝3x+x+4x＝8x，∵AE＝BE，∴AE=12AB＝1.5x，∴EC＝8x﹣1.5x＝13，解得x＝2，∴AC＝8x＝16．总结提升：本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法．12．（2022秋•南丹县期末）已知线段AB＝20cm，M是线段AB的中点，C是线段AB延长线上的点，AC：BC＝3：1，点D是线段BA延长线上的点，AD＝AB．求：（1）线段BC的长；（2）线段DC的长；（3）线段MD的长．思路引领：（1）根据线段的和差，可得答案；（2）根据线段的和差，可得答案；（3）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．（1）设BC＝xcm，则AC＝3xcm．又∵AC＝AB+BC＝（20+x）cm，∴20+x＝3x，解得x＝10．即BC＝10cm；（2）∵AD＝AB＝20cm，∴DC＝AD+AB+BC＝20cm+20cm+10cm＝50cm；（3）∵M为AB的中点，∴AM=12AB=10cm，∴MD＝AD+AM＝20cm+10cm＝30cm．总结提升：本题考查了求两点之间的距离的应用，主要考查学生的计算能力．13．（2020秋•喀喇沁旗期末）先画图，再解答：（1）画线段AB，在线段AB的反向延长线上取一点C，使AB=12AC，再取AB得中点D；（注：非尺规作图）（2）在（1）中，若C、D两点间的距离为6cm，求线段AB的长．思路引领：（1）直接根据题意画出图形即可；（2）根据中点的定义和已知条件求出CD＝5AD，再根据CD＝6cm，得出AD的长，再根据AD=12AB，即可得出答案．解：（1）根据题意画图如下：（2）∵点D是AB的中点，∴AD=12 AB，∵AB=12 AC，∴CD＝5AD，∵CD＝6cm，∴AD=65 cm，∴AB=125cm．总结提升：此题考查了两点间的距离，根据题意正确画出图形是解题的关键，比较简单．14．（2021秋•江阴市校级月考）已知：如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）若线段AC ＝6，BC ＝4，则求线段AB 和线段MN 的长度；（2）若AB ＝a ，则线段MN ＝ 12a ；（3）若将（1）小题中“点C 在线段AB 上”改为“点C 在直线AB 上”，（1）小题的结果会有变化吗？求出线段MN 的长度．思路引领：（1）由点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．可知MC ＝3，CN ＝2，从而可求得MN 的长度；（2）由点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，MN ＝MC +CN =12（AC +BC ）=12AB ；（3）由于点C 在直线AB 上，所以要分两种情况进行讨论计算MN 的长度．解：（1）∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．∴MC =12AC ＝3，CN =12BC ＝2，∴MN ＝MC +CN ＝5；（2）∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．∴MC =12AC ，CN =12BC ，∴MN ＝MC +CN =12（AC +BC ）=12AB =12a ．故答案为：12a ；（3）当点C 在线段AB 内时，由（1）可知：MN ＝5，当点C 在线段AB 外时，此时点C 在点B 的右侧，∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．∴MC =12AC ＝3，CN =12BC ＝2，∴MN ＝MC ﹣CN ＝1，综上所述，MN ＝5或1．总结提升：本题考查线段计算问题，涉及线段中点的性质，分类讨论的思想，属于基础题型．15．（2020秋•淮北月考）如图，已知B ，C 是线段AD 上的任意两点，M 是AB 的中点，N是CD 的中点．（1）若AB ＝4，BC ＝1，CD ＝6，求线段MN 的长度；（2）若AD＝11，BC＝1，求线段MN的长度；（3）请你说明：2MN＝BC+AD．思路引领：（1）由已知可求得MB，CN的长，从而不难求得MN的长度；（2）由已知条件可知，MN＝MB+CN+BC，AD＝2（MB+CN）+BC，先求出MB+CN的值，则可求MN的长度；（3）由MN＝MB+CN+BC，利用等式性质可得2MN＝2MB+2BC+2CN＝BC+（AB+BC+CD）＝BC+AD．解：（1）∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴MN＝MB+BC+CN=12AB+BC+12CD，∵AB＝4，BC＝1，CD＝6，∴MN=12×4+1+12×6＝6；（2）∵AD＝AB+BC+CD＝2（MB+CN）+BC，∵AD＝11，BC＝1，∴MB+CN＝5，∴MN＝MB+BC+CN＝6；（3）∵MN＝MB+BC+CN，∴2MN＝2MB+2BC+2CN＝BC+（AB+BC+CD）＝BC+AD．总结提升：本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．16．（2006秋•中山区期末）如图，线段AB＝30cm，点O在AB线段上，M、N两点分别从A、O同时出发，以2cm/s，1cm/s的速度沿AB方向向右运动．（1）如图1，若点M、点N同时到达B点，求点O在线段AB上的位置．（2）如图2，在线段AB上是否存在点O，使M、N运动到任意时刻，（点M始终在线段AO上，点N始终在线段OB上），总有MO＝2BN？若存在，求出点O在线段AB上的位置；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）设AO的长度为xcm，则OB＝（30﹣x）cm，根据时间相等建立方程求出其解即可；（2）设AO的长度为ycm，运动的时间为t，则MO＝y﹣2t，BN＝30﹣y﹣t，由MO＝2BN 建立方程求出其解即可．解：（1）设AO的长度为xcm，则OB＝（30﹣x）cm，由图形，得30 2=30x1，解得：x＝15，∴点O在AB的中点；（2）设AO的长度为ycm，运动的时间为t，则MO＝y﹣2t，BN＝30﹣y﹣t，由题意，得y﹣2t＝2（30﹣y﹣t），解得：y＝20，∴AO＝20cm时，MO＝2BN．总结提升：本题考查了线段与行程问题的关系的运用，线段之间的数量关系的运用，一元一次方程的运用，解答时找到题意的等量关系是关键．17．（2016秋•和平区期末）已知A，B，C三点在同一条数轴上．（1）若点A，B表示的数分别为﹣2，4，且AC=13AB，则点C表示的数是 ﹣4或0 ；（2）若点A，B表示的数分别为m，n，且m＜n．①点C在点A的右边，且AC=13AB，求点C表示的数（用含m，n的式子表示）；②已知n﹣m＝10，点P，Q分别是这条数轴上的两个动点，点P以每秒2个单位长度的速度从点A向左运动，同时点Q以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动，当点Q追上点P后立即返回向点B运动，点P继续向左运动，当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．在此运动过程中，点P的运动时间为多少秒时，BP＝2BQ（P，Q两点的运动速度始终保持不变）．思路引领：（1）由已知条件得到AB＝6，设点C表示的数是x，列方程即可得到结论；（2）①设点C表示的数是x，根据题意列方程即可得到结论；②Ⅰ、当点Q没追上点P时，设点P的运动时间为t秒时，BP＝2BQ，Ⅱ、设点P运动x秒时，点Q追上点P，列方程得到x＝10，当点Q追上点P后，设点P再运动t秒时，BP＝2BQ，根据题意列方程即可得到结论．解：（1）∵点A，B表示的数分别为﹣2，4，∴AB＝6，设点C表示的数是x，∴AC＝|﹣2﹣x|，∵AC=13 AB，∴|﹣2﹣x|=13×6，解得：x＝﹣4或x＝0，∴点C表示的数是﹣4或0；故答案为：﹣4或0；。
2022年中考数学真题-专题11 平行线与三角形(1)(全国通用解析版)
专题11 平行线与三角形一．选择题（2022·湖北宜昌·中考真题）1. 如图，在ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若7AB =，12AC =，6BC =，则ABD △的周长为（ ）A. 25B. 22C. 19D. 18【答案】C【解析】 【分析】由垂直平分线的性质可得BD ＝CD ，由△ABD 的周长＝AB ＋AD ＋BD ＝AB ＋AD ＋CD ＝AB ＋AC 得到答案．【详解】解：由作图的过程可知，DE 是BC 的垂直平分线，∴BD ＝CD ，∵7AB =，12AC =，∴ △ABD 的周长＝AB ＋AD ＋BD＝AB ＋AD ＋CD＝AB ＋AC＝19．故选：C【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．（2022·浙江台州·中考真题）2. 如图，点D 在ABC 的边BC 上，点P 在射线AD 上（不与点A ，D 重合），连接PB ，PC ．下列命题中，假命题是（ ）A. 若AB AC =，AD BC ⊥，则PB PC =B. 若PB PC =，AD BC ⊥，则AB AC =C. 若AB AC =，12∠=∠，则PB PC =D. 若PB PC =，12∠=∠，则AB AC =【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD 是否是BC 的垂直平分线，判断即可．【详解】因为AB=AC ，且AD ⊥BC ，得AP 是BC 的垂直平分线，所以PB=PC ，则A 是真命题；因为PB=PC ，且AD ⊥BC ，得AP 是BC 的垂直平分线，所以AB=AC ，则B 是真命题；因为AB=AC ，且∠1=∠2，得AP 是BC 的垂直平分线，所以PB=PC ，则C 是真命题；因为PB=PC ，△BCP 是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP 是BC 的垂直平分线，所以AB 和AC 不一定相等，则D 是假命题．故选：D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键． （2022·江苏宿迁·中考真题）3. 若等腰三角形的两边长分别是3cm 和5cm ，则这个等腰三角形的周长是（ ）A. 8cmB. 13cmC. 8cm 或13cmD. 11cm 或13cm 【答案】D【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．（2022·浙江杭州·中考真题）4. 如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（）A. 线段CD是ABC的AC边上的高线B. 线段CD是ABC的AB边上的高线C. 线段AD是ABC的BC边上的高线D. 线段AD是ABC的AC边上的高线【答案】B【解析】【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∵线段CD是ABC的AB边上的高线，∴A错误，不符合题意；∵线段CD是ABC的AB边上的高线，∴B正确，符合题意；∵线段AD是ACD的CD边上的高线，∴C错误，不符合题意；∵线段AD是ACD的CD边上的高线，∴D错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．（2022·湖南邵阳·中考真题）5. 下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是（）A. 1cm，2cm，3cmB. 3cm，4cm，5cmC. 4cm，5cm，10cmD. 6cm，9cm，2cm【答案】B【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，知A、1+2＝3，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；B、3+4＞5，能够组成三角形，故选项正确，符合题意；C、5+4＜10，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；D、2+6＜9，不能组成三角形，故选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．（2022·云南·中考真题）6. 如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOE FOE，你认为要添加的那个条件是（）A. OD =OEB. OE =OFC. ∠ODE =∠OEDD. ∠ODE =∠OFE【答案】D【解析】【分析】根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ，又因为OE 是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∵OB 平分∠AOC∴∠AOB =∠BOC当△DOE ≌△FOE 时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是△DOE ≌△FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是△DOE ≌△FOE 的对应角，C 不正确； D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在△DOE 和△FOE 中， DOE FOE OE OEODE OFE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△DOE ≌△FOE （AAS ）∴D 答案正确．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．（2022·浙江湖州·中考真题）7. 如图，已知在锐角△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，E 是AD 上一点，连结EB ，E C ．若∠EBC ＝45°，BC ＝6，则△EBC 的面积是（ ）A. 12B. 9C. 6D. 【答案】B【解析】【分析】根据三线合一可得ED BC ⊥，根据垂直平分线的性质可得EB EC =，进而根据∠EBC ＝45°，可得BEC △为等腰直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半可得132DE BC ==，然后根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解： AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，,AD BD BD DC ∴⊥=，EB EC ∴=，∠EBC ＝45°，45ECB EBC ∠=∠=︒，∴BEC △为等腰直角三角形，6BC =， ∴132DE BC ==， 则△EBC 的面积是13692⨯⨯=．故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （2022·江苏扬州·中考真题）8. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ABC ∆，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）A. ,,AB BC CAB. ,,AB BC B ∠C. ,,AB AC B ∠D. ,,∠∠A B BC【答案】C【解析】 【分析】根据SSS ，SAS ，ASA 逐一判定，其中SSA 不一定符合要求．【详解】A. ,,AB BC CA ．根据SSS 一定符合要求；B. ,,AB BC B ∠．根据SAS 一定符合要求；C. ,,AB AC B ∠．不一定符合要求；D. ,,∠∠A B BC ．根据ASA 一定符合要求．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS ，SAS ，ASA 三个判定定理．（2022·山东泰安·中考真题）9. 如图，30AOB ∠=︒，点M 、N 分别在边OA OB 、上，且3,5OM ON ==，点P 、Q 分别在边OB OA 、上，则MP PQ QN ++的最小值是（ ）A. 2- 2-【答案】A【解析】 【分析】作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值；证出△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，得出∠N ′OM ′=90°，由勾股定理求出M ′N ′即可．【详解】解：作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，如图所示：连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．根据轴对称的定义可知：5ON ON '==，3OM OM '==，∠N ′OQ =∠M ′OB =30°， ∴∠NON ′=60°，'60MOM ∠=︒，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°，∴在Rt △M ′ON ′中，M ′N=故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．（2022·浙江金华·中考真题）10. 如图，AC 与BD 相交于点O ，,OA OD OB OC ==，不添加辅助线，判定ABO DCO △≌△的依据是（ ）A. SSSB. SASC. AASD. HL【答案】B【解析】 【分析】根据OA OD =，OB OC =，AOB COD ∠=∠正好是两边一夹角，即可得出答案．【详解】解：∵在△ABO 和△DCO 中，OA OD AOB COD OB OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABO DCO ≌△△，故B 正确． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．（2022·浙江金华·中考真题）11. 已知三角形的两边长分别为5cm 和8cm ，则第三边的长可以是（ ）A. 2cmB. 3cmC. 6cmD. 13cm【答案】C【解析】【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择．【详解】设第三边的长为x ，∵ 角形的两边长分别为5cm 和8cm ，∴3cm ＜x ＜13cm ,故选C ．【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边的范围是解题的关键． （2022·安徽·中考真题） 12. 已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心，点P 在△ABC 外，△ABC ，△P AB ，△PBC ，△PCA 的面积分别记为0S ，1S ，2S ，3S ．若12302S S S S ++=，则线段OP 长的最小值是（ ）A. 2C.【答案】B【解析】【分析】根据12302S S S S ++=，可得1012S S =，根据等边三角形的性质可求得△ABC 中AB 边上的高1h 和△P AB 中AB 边上的高2h 的值，当P 在CO 的延长线时，OP 取得最小值，OP =CP -OC ，过O 作OE ⊥BC ，求得OC =【详解】解：如图，2PDB BDC S S S ，3PDA ADC S S S ， ∴1231()()PDB BDC PDA ADC S S S S SS S S ++=++++ =1()()PDB PDA BDC ADC S SS S S ++++ =1PAB ABC S S S ++=110S S S ++=102S S +=02S ， ∴1012S S =， 设△ABC 中AB 边上的高为1h ，△P AB 中AB 边上的高为2h ， 则0111116322S AB h h h ，1222116322S AB h h h ， ∴211332h h ，∴122h h =，∵△ABC 是等边三角形， ∴22166()332h ， 2113322h h ，∴点P 在平行于AB ，且到AB ∴当点P 在CO 的延长线上时，OP 取得最小值，过O 作OE ⊥BC 于E ， ∴12932CP h h ， ∵O 是等边△ABC 的中心，OE ⊥BC ∴∠OCE =30°，CE =132BC = ∴OC =2OE∵222OE CE OC +=，∴2223(2)OE OE ，解得OE∴OC =∴OP =CP -OC 52332． 故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P 点的位置是解题的关键．（2022·四川南充·中考真题） 13. 如图，在Rt ABC 中，90,C BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点D ，DE //AB ，交AC 于点E ，DF AB ⊥于点F ，5,3DE DF ==，则下列结论错误的是（ ）A. 1BF =B. 3DC =C. 5AE =D. 9AC =【答案】A【解析】 【分析】根据角平分线的性质得到CD =DF =3，故B 正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE =DE =5，故C 正确；由此判断D 正确；再证明△BDF ≌△DEC ，求出BF =CD =3，故A 错误．【详解】解：在Rt ABC 中，90,C BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点D ，DF AB ⊥，∴CD =DF =3，故B 正确；∵DE =5，△CE =4，∵DE //AB ，∴∠ADE =∠DAF ，∵∠CAD =∠BAD ，∴∠CAD =∠ADE ，∴AE =DE =5，故C 正确；∴AC =AE +CE =9，故D 正确；∵∠B =∠CDE ，∠BFD =∠C =90°，CD =DF ，∴△BDF ≌△DEC ，∴BF =CD =3，故A 错误；故选：A ．【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键． （2022·四川德阳·中考真题）14. 八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km 和3km ．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能．．．是（ ） A. 1kmB. 2kmC. 3kmD. 8km【答案】A【解析】【分析】利用构成三角形的条件即可进行解答．【详解】以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为a ，则根据题意有：5-353a +＜＜，即28a ＜＜，当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，538a =+=或者532a =-=， 综上a 的取值范围为：28a ≤≤，据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km ，故选：A ．【点睛】本题考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之和大于第三边，任意的两边之差小于第三边．（2022·山东泰安·中考真题） 15. 如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（ ）A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°【答案】C【解析】 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠F AP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°，在Rt △PF A 和Rt △PMA 中，{PA PAPM PF ==，∴Rt △PF A ≌Rt △PMA （HL ），∴∠F AP ＝∠P AC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．（2022·浙江绍兴·中考真题）16. 如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，30C ∠=︒，AC ∥EF ，则1∠=（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】C【解析】【分析】根据三角板的角度，可得60A ∠=︒，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：30C ∠=︒，9060A C ∴∠=︒-∠=︒AC ∥EF ，160A ∴∠=∠=︒故选C【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （2022·安徽·中考真题）17. 两个矩形的位置如图所示，若1∠=α，则2∠=（ ）A. 90α-︒B. 45α-︒C. 180α︒-D. 270α︒-【答案】C【解析】 【分析】用三角形外角性质得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定义得到∠2=90°-∠3=180°-α．【详解】解：如图，∠3=∠1-90°=α-90°，∠2=90°-∠3=180°-α．故选：C ．【点睛】 本题主要考查了矩形，三角形外角，余角，解决问题的关键是熟练掌握矩形的角的性质，三角形的外角性质，互为余角的定义．（2022·浙江杭州·中考真题）18. 如图，已知AB CD ∥，点E 在线段AD 上（不与点A ，点D 重合），连接CE ．若∠C ＝20°，∠AEC ＝50°，则∠A ＝（ ）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°【答案】C【解析】 【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；【详解】解：∵∠C +∠D ＝∠AEC ，∴∠D =∠AEC -∠C ＝50°-20°=30°，∵AB CD ∥，∴∠A ＝∠D=30°，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．（2022·湖南娄底·中考真题）19. 一条古称在称物时的状态如图所示，已知180∠=︒，则2∠=（ ）A. 20︒B. 80︒C. 100︒D. 120︒【答案】C【解析】【分析】如图，由平行线的性质可得80,BCD ∠=︒ 从而可得答案．【详解】解：如图，由题意可得：,AB CD ∥ 180∠=︒，180,BCD218080100,故选C 【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键．（2022·江苏苏州·中考真题）20. 如图，直线AB 与CD 相交于点O ，75AOC ∠=︒，125∠=︒，则2∠的度数是（ ）A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°【答案】D【解析】【分析】根据对顶角相等可得75BOD ∠=︒，之后根据125∠=︒，即可求出2∠．【详解】解：由题可知75BOD AOC ∠=∠=︒，125∠=︒∵，217525BOD ∴∠=∠-∠=︒-︒=50︒．故选：D ．【点睛】本题主要考查对顶角和角的和与差，掌握对顶角相等是解决问题的关键．二．填空题（2022·湖南株洲·中考真题）21. 如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中30ABC ∠=︒），OM AB ⊥于点M ，ON BC ⊥于点N ，若OM ON =，则ABO ∠=_________度．【答案】15【解析】【分析】根据ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =判断OB 是ABC ∠的角平分线，即可求解．【详解】解：由题意，ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =，即点O 到BC 、AB 的距离相等，△ OB 是ABC ∠的角平分线，△ 30ABC ∠=︒， △1152ABO ABC ∠=∠=︒． 故答案为：15．【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．（2022·浙江嘉兴·中考真题）22. 小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上____填上一个适当的条件．【答案】60A ∠=︒（答案不唯一）【解析】【分析】利用等边三角形的判定定理即可求解．【详解】解：添加60A ∠=︒，理由如下： ABC 为等腰三角形，180602A B C ︒-∠∴∠=∠==︒， ABC ∴为等边三角形，故答案为：60A ∠=︒（答案不唯一）．【点睛】本题考查了等边三角形的判断，解题的关键是掌握三角形的判断定理． （2022·浙江绍兴·中考真题）23. 如图，在ABC 中，40ABC ∠=︒，80BAC ∠=︒，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交射线BA 于点D ，连接CD ，则BCD ∠的度数是______．【答案】10°或100°【解析】【分析】分两种情况画图，由作图可知得AC AD =，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】解：如图，点D 即为所求；在ABC ∆中，40ABC ∠=︒，80BAC ∠=︒，180408060ACB ∴∠=︒-︒-︒=︒，由作图可知：AC AD =，1(18080)502ACD ADC ∴∠=∠=︒-︒=︒， 605010BCD ACB ACD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；由作图可知：AC AD ='，ACD AD C ∴∠'=∠'，80ACD AD C BAC ∠'+∠'=∠=︒，40AD C ∴∠'=︒，1801804040100BCD ABC AD C ∴∠'=︒-∠-∠'=︒-︒-︒=︒．综上所述：BCD ∠的度数是10︒或100︒．故答案为：10︒或100︒．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握基本作图方法．（2022·云南·中考真题）24. 已知△ABC 是等腰三角形．若∠A =40°，则△ABC 的顶角度数是____．【答案】40°或100°【解析】【分析】分∠A 为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解．【详解】解：当∠A 为三角形顶角时，则△ABC 的顶角度数是40°；当∠A 为三角形底角时，则△ABC 的顶角度数是180°-40°-40°=100°；故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论． （2022·山东滨州·中考真题）25. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB AC =，立柱AD BC ⊥，且顶角120BAC ∠=︒，则C ∠的大小为_______．【答案】30°##30度【解析】【分析】先由等边对等角得到B C ∠=∠，再根据三角形的内角和进行求解即可．【详解】AB AC =，B C ∴∠=∠，120BAC ∠=︒，180BAC B C ∠+∠+∠=︒，180120302C ︒-︒∴∠==︒， 故答案为：30°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．（2022·山东泰安·中考真题）26. 如图，△ ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，点 D 是 BC 的中点，将△ ABD 沿 AD 翻折得到△ AED ，连 CE ，则线段 CE 的长等于_____【答案】75【解析】【详解】如图，过点A 作AH △BC 于点H ，连接BE 交AD 于点O △△△ABC 中，△BAC =90°△AB =3△AC =4，点D 是BC 的中点，△BC 5=△AD =BD =2.5△ △12BC ·AH =12AC ·AB △即2.5AH =6△△AH =2.4△由折叠的性质可知，AE =AB △DE =DB =DC △△AD 是BE 的垂直平分线，△BCE 是直角三角形，△S △ADB =12AD ·OB =12BD ·AH △△OB =AH =2.4△△BE =4.8△△CE 75=． 故答案为△75． 【点睛】本题的解题要点有△△1△读懂题意，画出符合要求的图形；（2）作AH △BC 于点H ，连接BE 交AD 于点O ，利用面积法求出AH 和OB 的长；（3）一个三角形中，若一边上的中线等于这边的一半，则这边所对的角是直角． （2022·湖北武汉·中考真题）27. 如图，沿AB 方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB 上湖的另一边的D 处同时施工．取150ABC ∠=︒，1600m BC =，105BCD ∠=︒，则C ，D 两点的距离是_________m ．【答案】【解析】【分析】如图所示：过点C 作CE BD ⊥于点E ，先求出800m CE =，再根据勾股定理即可求出CD 的长．【详解】如图所示：过点C 作CE BD ⊥于点E ，则∠BEC =∠DEC =90°， 150ABC ∠=︒，30CBD ∴∠=︒，∴∠BCE =90°-30°=60°，又105BCD ∠=︒，45CDB ∴∠=︒，∴∠ECD =45°=∠D ，∴CE DE =，1600m BC =，111600800m 22CE BC ∴==⨯=，22222CD CE DE CE ∴=+=，即CD ==．故答案为：【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关内容并能灵活运用．（2022·湖北黄冈·中考真题）28. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m （m ≥3，m 为正整数），则其弦是________（结果用含m 的式子表示）．【答案】m 2+1【解析】【分析】2m 为偶数，设其股是a ，则弦为a +2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】∵2m 为偶数，∴设其股是a ，则弦为a +2，根据勾股定理得，（2m ）2+a 2=（a +2）2，解得a =m 2-1，∴弦长为m 2+1，故答案为：m 2+1．【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （2022·江苏苏州·中考真题）29. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为______．【答案】6【解析】【分析】分类讨论：AB =AC =2BC 或BC =2AB =2AC ，然后根据三角形三边关系即可得出结果．【详解】解：∵△ABC 是等腰三角形，底边BC =3∴AB =AC当AB =AC =2BC 时，△ABC 是“倍长三角形”；当BC =2AB =2AC 时，AB +AC =BC ，根据三角形三边关系，此时A 、B 、C 不构成三角形，不符合题意；所以当等腰△ABC 是“倍长三角形”，底边BC 的长为3，则腰AB 的长为6． 故答案为6．【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．（2022·江苏扬州·中考真题）30. 将一副直角三角板如图放置，已知60E ∠=︒，45C ∠=︒，EF BC ∥，则BND ∠=________°．【答案】105【解析】【分析】根据平行线的性质可得45FAN B ∠=∠=︒，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．【详解】45B C ∠︒∠==，EF BC ∥，∴45FAN B ∠=∠=︒，△△E =60°△△△F =30°△180105BND ANF F BAF ∴∠=∠=︒-∠-∠=︒故答案为：105【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．（2022·湖北黄冈·中考真题）31. 如图，直线a ∥b ，直线c 与直线a ，b 相交，若∠1＝54°，则∠3＝________度．【答案】54【解析】【分析】根据对顶角相等和平行线的性质“两直线平行同位角相等”，通过等量代换求解．【详解】因为a△b ，所以23∠=∠，因为12∠∠，是对顶角，所以12∠=∠，所以31∠=∠，因为154∠=︒，所以354∠=︒，故答案为：54．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等，两直线平行同位角相等、内错角相等，加以灵活运用求解相关角的度数是解题关键． （2022·四川达州·中考真题）32. 如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，20B ∠=︒，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则CAD ∠的度数为_____．【答案】50︒##50度【解析】【分析】根据作图可知DA DB =，20DAB B ∠=∠=︒，根据直角三角形两个锐角互余，可得70CAB ∠=︒，根据CAD CAB DAB ∠=∠-∠即可求解．【详解】解：∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，20B ∠=︒，∴70CAB ∠=︒，由作图可知MN 是AB 的垂直平分线，DA DB ∴=，∴20DAB B ∠=∠=︒，∴CAD CAB DAB∠=∠-∠702050︒-︒=︒，故答案为：50︒．【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的两锐角互余，根据题意分析得出MN是AB的垂直平分线，是解题的关键．（2022·湖北黄冈·中考真题）33. 如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件_____，使△ABC≌△DEF．【答案】∠A=∠D或BC=EF或BE=CF或∠ACB=∠F【解析】【分析】判定一般三角形全等一共有四种方法，根据这四种方法一一选择即可．【详解】解：添加BE=CF∵BE=CF，∴BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：AB=DE（答案不唯一）．视频【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，根据判定的方法选择合适的方法，关键是要能熟练运用三角形的判定方法．三．解答题（2022·浙江温州·中考真题）∥，交AB于点E．34. 如图，BD是ABC的角平分线，DE BC（1）求证：EBD EDB ∠=∠．（2）当AB AC =时，请判断CD 与ED 的大小关系，并说明理由．【答案】（1）见解析 （2）相等，见解析【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；（2）利用平行线的性质可得ADE AED ∠=∠， 则AD= AE ，从而有CD = BE ，由(1) 得，EBD EDB ∠=∠，可知BE = DE ，等量代换即可．【小问1详解】证明：△BD 是ABC 的角平分线，△CBD EBD ∠=∠．△DE BC ∥，△CBD EDB ∠=∠，△EBD EDB ∠=∠．【小问2详解】CD ED =．理由如下：△AB AC =，△C ABC ∠=∠．△DE BC ∥，△,ADE C AED ABC ∠=∠∠=∠，△ADE AED ∠=∠，△AD AE =，△AC AD AB AE -=-，即CD BE =．由（1）得EBD EDB ∠=∠，△BE ED =，△CD ED =．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键． （2022·四川乐山·中考真题）35. 如图，B 是线段AC 的中点，,AD BE BD CE ∥∥，求证：ABD BCE △≌△．【答案】证明过程见详解【解析】【分析】运行平行线的性质可证△A =△EBC ，△DBA =△C ，结论即可得证．【详解】证明△B 是AC 中点，△AB =BC ，△AD BE ∥，△△A =△EBC ，△BD EC ∥，△△DBA =△C ，在△ABD 和△BCE 中，A EBC AB BC DBA C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ABD ≌△BCE (ASA)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．（2022·浙江杭州·中考真题）36. 如图，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，点M 为边AB 的中点，点E 在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．（1）求证：CE=CM．（2）若AB=4，求线段FC的长．【答案】（1）见解析（2【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；（2）根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．【小问1详解】证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点，∴MC=MA=MB，∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，∵∠A=50°，∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，∵∠ACE=30°，∴∠MEC=∠A+∠ACE=50°，∴∠MEC=∠EMC，∴CE=CM；【小问2详解】解：∵AB=4，∴CE=CM=12AB=2，∵EF⊥AC，∠ACE=30°，∴FC=CE•cos30°=【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．（2022·陕西·中考真题）37. 如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD =AB ，DE ∥AB ，∠DCE =∠A ．求证：DE =BC ．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用角边角证明△CDE ≌△ABC ，即可证明DE =BC ．【详解】证明：∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠B ．又∵CD =AB ，∠DCE =∠A ，∴△CDE ≌△ABC (ASA)．∴DE =BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．（2022·湖南衡阳·中考真题）38. 如图，在ABC 中，AB AC =，D 、E 是BC 边上的点，且BD CE =，求证：AD AE =．【答案】见解析【解析】【分析】利用等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再由SAS 证明ABD ACE △≌△，从而得AD AE =．【详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABD △和ACE 中，AB AC B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS △≌△，∴AD AE =．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．（2022·湖南怀化·中考真题）39. 如图，在等边三角形ABC 中，点M 为AB 边上任意一点，延长BC 至点N ，使CN =AM ，连接MN 交AC 于点P ，MH ⊥AC 于点H ．（1）求证：MP =NP ；（2）若AB ＝a ，求线段PH 的长（结果用含a 的代数式表示）．【答案】（1）见详解；（2）0.5a ．【解析】【分析】（1）过点M 作MQ ∥CN ，证明MQP NCP ≅△△即可；（2）利用等边三角形的性质推出AH =HQ ，则PH =HQ +PQ =0.5（AQ +CQ ）．【小问1详解】如下图所示，过点M 作MQ ∥CN ，△ABC 为等边三角形，MQ ∥CN ， △1AM AB AQ AC==， 则AM =AQ ，且△A =60°，△AMQ △为等边三角形，则MQ =AM =CN ，又△MQ ∥CN ，△△QMP =△CNP ，在MQP NCP △与△中，MPQ NPC QMP CNP QM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MQP NCP ≅△△，则MP =NP ；【小问2详解】△AMQ △为等边三角形，且MH △AC ，△AH =HQ ，又由（1）得，MQP NCP ≅△△，则PQ =PC ，△PH =HQ +PQ =0.5（AQ +CQ ）=0.5AC =0.5a ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形全等的判定，正确作出辅助线是解题的关键．（2022·浙江丽水·中考真题）40. 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，折痕为EF ．（1）求证：PDE CDF △≌△；（2）若4cm,5cm CD EF ==，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析（2）163cm 【解析】【分析】（1）利用ASA 证明即可；（2）过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =x ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．【小问1详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，P C PD CDPDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴PDE CDF △≌△（ASA ）；【小问2详解】如图，过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD =EG =4cm ，又∵EF =5cm ，∴3GF ==,设AE =x ，∴EP =x ，由PDE CDF △≌△知，EP =CF =x ，∴DE =GC =GF +FC =3+x ，在Rt △PED 中，222PE PD DE +=,即()22243x x +=+， 解得，76x =， ∴BC =BG +GC =77163663++=cm ． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键． （2022·四川自贡·中考真题）41. 如图，△ABC 是等边三角形，,D E 在直线BC 上，DB EC =．求证：D E ∠=∠ ．【答案】详见解析【解析】【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB ≌△AEC ，由全等三角形的性质可得D E ∠=∠．【详解】证明：△△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABD =∠ACE ，在△ADB 和△AEC 中，AB AC ABD ACE DB EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ADB ≌△AEC (SAS )，∴D E ∠=∠．【点睛】本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度不大．（2022·重庆·中考真题）42. 我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a ，高为h 的三角形的面积公式为12S ah =．想法是：以BC 为边作矩形BCFE ，点A 在边FE 上，再过点A 作BC 的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A 作BC 的垂线AD 交BC 于点D ．（只保留作图痕迹）在ADC 和CFA △中，∵AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒．∵90F ∠=︒，。
专题11-1 台风和寒潮
地 转 偏 向
气 压 梯 度 力
力
高1005
1002.5 1000
和 摩 擦 力
地 转 偏 向
气 压 梯 度 力
力
高1005
1002.5 1000
和 摩 擦 力
下沉 中心气流： 中心气流： 天气： 天气：晴朗干燥
•反气旋过境时天气晴朗干燥， 反气旋过境时天气晴朗干燥， 反气旋过境时天气晴朗干燥 那么一定低温吗？ 那么一定低温吗？
• 寒潮给我们带来了灾害，难道它对人 寒潮给我们带来了灾害， 类就没有益处吗？商家该如何利用它？ 类就没有益处吗？商家该如何利用它？
小
气 旋
中心气压
结
反气旋
高压 辐散 北顺南逆 下沉 晴朗干燥
夏季：伏旱（副高） 夏季：伏旱（副高） 冬季：寒潮（蒙古高压） 冬季：寒潮（蒙古高压）
低压 辐合 北逆南顺 上升
中心气流： 中心气流：上升 天气：云量增多，阴雨天气。 天气：云量增多，阴雨天气。
台风是强热带气旋，反过来， 台风是强热带气旋，反过来， 强热带气旋就是 就是台风 对吗？ 强热带气旋就是台风 , 对吗？
热带气旋的强度等级和名称
名 称
热带 热带 低压 风暴 强热 带风 暴
10-11 级
台 强 超强 风 台风 台风
四周高 四周高
低
1000
中心低 中心低
1002.5
（气压梯度力） 气压梯度力）
1005
地 转 偏 向 力
气 压 梯 度 力
1005
低
1000 1002.5
和 摩 擦 力
地 转 偏 向 力
气 压 梯 度 力
1005
低
1000 1002.5
部编数学七年级下册专题11平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题(解析版)含答案
专题11 平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题（解析版）第一部分典例精析类型一点的运动规律探究（1）沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．（2022•丛台区开学）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…，根据这个规律探索可得，第10个点的坐标为 ，第55个点的坐标为 ．思路引领：从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第10个点和第55个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第10个点和第50个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n列有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，∵1+2+3+4＝10，1+2+3+…+10＝55，∴第10个点在第4列自下而上第4行，所以奇数列的坐标为（n，n−12）（n，n−12−1）…（n，1−n2）；偶数列的坐标为（n，n2）（n，n2−1）…（n，1−n2），由加法推算可得到第55个点位于第10列自下而上第10行．代入上式得第10个点的坐标为（4，2），第55个点的坐标为（10，5），故答案为：（4，2），（10，5）．总结提升：本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．2．（2022•麻城市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是 ．思路引领：计算P点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第2022秒P点位置．解：由题意可知，点P运动一个半圆所用的时间为：π÷π2=2（秒），∵2022＝1011×2，∴2022秒时，P在第1011个半圆的最末尾处，∴点P的坐标为（2022，0）．故答案为：（2022，0）．总结提升：本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，找出运动规律的同时也要考虑坐标系位置是解题的关键．3．（2021春•洛龙区期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点A n，则点A2021的坐标是（ ）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）思路引领：观察图形可知，A4，A8，…都在x轴上，求出OA4，OA8，…OA4n的长度，然后写出坐标即可；根据以上规律写出点A4n的坐标即可求出点A2020的坐标，则A2021点的坐标即可求出．解：由图可知，A4，A8，…都在x轴上，蚂蚁每次移动1个单位，∴OA4＝2，OA8＝4，…OA4n＝2n，∴点A4n的坐标为（2n，0），∴点A2020的坐标为（1010，0），∴A2021（1010，1），故选：B．总结提升：本题主要考查了点的变化规律，仔细观察图形，确定出点A 4n 都在x 轴上是解题的关键．（2）绕定点呈“回”字形运动的点的坐标变化规律4．如图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1， 回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…．若从O点到A 1点的回形线为第1圈（长为7），从A 1点到A 2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为 ．思路引领：如图，以点O 为原心，建立平面直角坐标系，则A 1，A 2，A 3，…的坐标分别为（－1，0），（－2，0），（－3，0），…，A 10的坐标为（－10，0），然后大致描出第10圈的形状，很轻松求出第10圈的长．解：观察图形发现：第一圈的长是2（1+2）+1=7；第二圈的长是2（3+4）+1=15；第三圈的长是2（5+6）+1=23；则第n 圈的长是2（2n-1+2n ）+1=8n-1．当n=10时，原式=80-1=79．故答案为79．题眼直击：坐标表示图形，规律探究．总结提升：依次计算第一圈长，第二圈长，……，探究这几个数的一般规律性，然后应用规律求出第10圈．5．（2022•金凤区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，从点P 1（﹣1，0），P 2（﹣1，﹣1），P 3（1，﹣1），P 4（1，1），P 5（﹣2，1），P 6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P 2022的坐标为 ．思路引领：根据题意可得到规律，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），再根据规律求解即可．解：根据题意可得到规律，P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），P7（2，﹣2），P8（2，2），P12（3，3），P16（4，4），...，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），∵2022＝4×505+2，∴P2022（﹣506，﹣506），故答案为：（﹣506，﹣506）．总结提升：本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．类型二图形变换的点的坐标规律探究6．（2018春•兴城市期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2换成三角形OA3B3，……，若A（﹣3，1），A1（﹣3，2），A2（﹣3，4），A3（﹣3，8），点B（0，2），B1（0，4），B2（0，6），B3（0，8），按这样的规律，将三角形OAB进行2018次变换，得到三角形OA2018B2018，则A2018的坐标是 ．思路引领：探究规律后利用规律即可解决问题；解：∵A 1（﹣3，2），A 2 （﹣3，4），A 3（﹣3，8）；∴A 点横坐标为﹣3，纵坐标依次为：2，22，23，…得出：A n （﹣3，2n ），∴n ＝2018时，A 2018（﹣3，22018），故答案为（﹣3，22018）总结提升：此题主要考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A ，B 点横纵坐标变化规律是解题关键．7．12．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1第二次将OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3，已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B(2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)求三角形OAB 的面积；(2)写出三角形OA 4B 4的各个顶点的坐标；(3)按此图形变化规律，你能写出三角形OA n B n 的面积与三角形OAB 的面积的大小关系吗？解：(1)S 三角形OAB ＝12×2×3＝3；(2)根据图示知O 的坐标是(0，0)；已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，对于A 1，A 2…A n 坐标找规律比较从而发现A n 的横坐标为2n ，而纵坐标都是3；同理B 1，B 2…B n 也一样找规律，规律为B n 的横坐标为2n ＋1，纵坐标为0．由上规律可知：A 4的坐标是(16，3)，B 4的坐标是(32，0)；综上所述，O(0，0)，A 4(16，3)，B 4(32，0)；(3)根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是4，所以OB n ＝2n ＋1，S 三角形OA n B n ＝12×2n ＋1×3＝3×2n ＝2n S 三角形OAB ，即S 三角形A n B n ＝2n S 三角形OAB 。
浙江专用2021届高考数学一轮复习专题十一概率与统计11.4抽样方法与总体分布的估计试题含解析
§11。
4 抽样方法与总体分布的估计基础篇固本夯基【基础集训】考点一随机抽样1.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性（）A。
与第几次有关,第一次可能性最大 B。
与第几次有关，第一次可能性最小C.与第几次无关，与抽取的第几个样本有关D.与第几次无关，每次可能性相等答案D2.某单位员工按年龄分为A，B，C三组,其人数之比为5∶4∶1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本,已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是1，则该单位员工总数为45(）A。
110B。
100 C.900D。
800答案B3.《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热,某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛,班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示。
若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号,小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号,其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩,按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手"称号的人数为(）A.2B.4C.5D。
6答案B4.一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45岁的职工人.答案10考点二用样本估计总体5.甲、乙两组数据如茎叶图所示,则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是（)A。
极差 B.方差C。
平均数 D.中位数答案C6。
为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月5天11时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图,已知甲地该月5天11时的平均气温比乙地该月5天11时的平均气温高1 ℃，则甲地该月5天11时的气温数据的标准差为()甲乙9 82 6 892 m 03 1 1 A 。
2 B 。
√2 C 。
10 D 。
√10答案 B7.某种产品的质量以其质量指标值来衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于100的产品为优质产品。
2021年中考物理专题11 热学三个重点实验也要练(解析版)
专题11 热学三个重点实验也要练(共10道题)1. （2020辽宁盘锦）在“探究固体熔化时温度变化规律”的实验中。
(1)按图甲所示的实验装置组装器材，最后应调整______（填“酒精灯”或“温度计”）的位置；(2)加热一段时间后，发现试管中不断有液态物质出现，同时温度计示数保持不变，从而确定该物质是______（填“晶体”或“非晶体”）；(3)该物质全部熔化后继续加热，根据实验数据绘制出熔化后温度计示数随时间变化的图象，如图乙所示，若实验在标准大气压下进行，分析图象可知，试管中的物质______（填“能”或“不能”）沸腾；(4)另一小组在利用相同的器材进行这一实验时，观察到该物质熔化时温度计示数缓慢上升，产生这一现象的原因可能是______（填序号）。
①烧杯中的水过多②对试管内物质不断搅拌③温度计的玻璃泡碰到了试管壁【答案】(1)温度计(2)晶体(3)不能(4)①【解析】(1)安装时，从下往上调节，最后应调整温度计的位置，温度计的玻璃泡全部浸入被测物质中。
(2)不断加热，试管中不断有液态物质出现，同时温度计示数保持不变，说明物质熔化过程中温度不变，属于晶体。
(3)由图可知，在标准大气压下将得到图象中的BC段，这段时间内试管中的物质能达到沸点，但由于试管内外温度相同，不能继续吸热，故不能沸腾。
(4)①烧杯中的水过多，温度上升比较缓慢，符合题意；②对试管内物质不断搅拌，物质熔化较快，温度上升较快，不符合题意；③温度计的玻璃泡碰到了试管壁，试管壁温度比较高，温度计示数上升快，不符合题意。
2.（2020黑龙江绥化）利用图中的装置探究水和煤油的吸热情况。
在两个相同的烧瓶中分别接入电阻丝，装入质量和初温都相同的水和煤油，分别插入温度计。
(1)装置中电阻丝的阻值应______（填“相等”或“不相等”），实验中用______来反映液体吸收热量的多少。
按照下表中的数据，请计算出煤油的比热容是______J/（kg·℃）；(2)夏天，海边昼夜温差变化小，这是因为水的______大；(3)在烧瓶中重新填装质量和初温都相同的煤油，接入阻值不同的电阻丝，此装置就可以探究电流通过导体产生的热量与______的关系。
超实用高考英语复习：(2020-2022)新高考英语真题分项汇编——专题11 读后续写(解析版)
【解析】
【导语】本文以赛跑为线索展开。作者是一名特殊教育教师，在大型越野赛跑那天，发现患有大脑疾病的大卫独自站在一旁。作者问其原因，他说准备放弃比赛。从教练口中得知，因为担心同学们会嘲笑大卫，所以教练想让大卫自己去决定是否参加赛跑。作者让大卫追寻自己的内心，不理会别人的看法，大卫最终参赛，尽管遇到困难，他战胜了自己，这已经无关名次，而是他的勇敢和坚定让这一切成为可能。
新高考真题全收录
2022年全国高考新高考Ⅰ卷
阅读下面材料，根据其内容和所给段落开头语续写两段，使之构成一篇完整的短文。
It was the day of the big cross-country run. Students from seven different primary schools in and around the small town were warming up and walking the route(路线)through thick evergreen forest.
What was wrong? He had worked so hard for this event!
2020高考数学解答题核心素养题型《专题11 概率与统计综合问题》+答题指导)(解析版)
专题11 概率与统计综合问题【题型解读】几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件、互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．【例1】 (2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16，现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率． 【答案】见解析【解析】(1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2.由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人． (2)①随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝k )＝C k 4C 3－k3C 37(k ＝0,1,2,3)．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×35＋1×35＋2×35＋3×35＝7.②设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥． 由①知，P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)， 故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67.所以事件A 发生的概率为67.【素养解读】本题考查分层抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式，考查分析问题和解决问题的能力，体现了数学运算和数据分析等核心素养．试题难度：中．【突破训练1】 (2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】见解析【解析】(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝0×4＋1×24＋2×4＋3×24＝12.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0) ＝14×1124＋1124×14＝1148. 所以这2辆车共遇到了1个红灯的概率为1148.▶▶题型二 离散型随机变量的分布列、均值与方差离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，常有解答题的考查，属于中档题．复习中应强化应用类习题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值，它是正确求随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性训练．【例2】 (2018·北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：假设所有电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk ＝1”表示第k 类电影得到人们喜欢，“ξk ＝0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k ＝1,2,3,4,5,6)．写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小关系．【答案】见解析【解析】 (1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A . 因为第四类电影中获得好评的电影有200×0.25＝50(部)， 所以P (A )＝50140＋50＋300＋200＋800＋510＝502 000＝0.025.(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”为事件B ，则P (B )＝0.25×(1－0.2)＋(1－0.25)×0.2＝0.35.(3)由题意可知，定义随机变量如下：ξk ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，第k 类电影没有得到人们喜欢，1，第k 类电影得到人们喜欢，则ξk 显然服从两点分布，故Dξ1＝0.4×(1－0.4)＝0.24，Dξ2＝0.2×(1－0.2)＝0.16， Dξ3＝0.15×(1－0.15)＝0.127 5，Dξ4＝0.25×(1－0.25)＝0.187 5， Dξ5＝0.2×(1－0.2)＝0.16， Dξ6＝0.1×(1－0.1)＝0.09.综上所述，Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6.【素养解读】本题考查统计中的概率计算、随机变量的方差计算，考查运算求解能力，体现了数据分析、数学运算等核心素养．试题难度：中．【突破训练2】 (2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列．(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【答案】见解析【解析】(1)由题意知，X 所有可能取值为200,300,500， 由表格数据知P (X ＝200)＝2＋1690＝0.2，P (X ＝300)＝3690＝0.4， P (X ＝500)＝25＋7＋490＝0.4， 因此X 的分布列为当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，Y ＝6n －4n ＝2n ； 若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以当n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．▶▶题型三概率与统计的综合应用概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键．复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算．【例3】(2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下．(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；附：K 2＝(a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d).【答案】见解析【解析】(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”． 由题意知P (A )＝P (BC )＝P (B )P (C )． 旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62， 故P (B )的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50 kg 的频率为 (0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66， 故P (C )的估计值为0.66.因此，事件A 的概率估计值为0.62×0.66＝0.409 2. (2)根据箱产量的频率分布直方图得如下列联表.K 2＝100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，箱产量低于55 kg 的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50＋0.5－0.340.068≈52.35(kg)．【素养解读】本题考查频率分布直方图、独立性检验、中位数、相互独立事件的概率，考查学生的阅读理解能力、数据处理能力．主要体现了数据分析，数学运算等核心素养．【突破训练3】 (2017·北京卷)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；(2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小(只需写出结论)． 【答案】见解析【解析】(1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人． 所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3.(2)由题图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C . 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 22C 24＝16，P (ξ＝1)＝C 12C 12C 24＝23，P (ξ＝2)＝C 22C 24＝16.所以ξ的分布列为故ξ的期望E (ξ)＝0×6＋1×3＋2×6＝1.(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据方差． 题型四 统计与统计案例能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差等)的考查，解答题中也有所考查．【例4】 (2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t . (1)分析利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由． 【答案】见解析【解析】(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施资源额的预测值为y ^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)． (2)利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势，2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^＝99＋17.5t 可以较好地描述2010年的数据建立基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． (以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．)【素养解读】本题以统计图为背景，考查线性回归方程，考查运算求解能力和数形结合思想，体现了数学运算的核心素养．【突破训练4】 下图是我国2011年至2017年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17，∑i ＝17(y i －y)2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n（t i －t）（y i －y ）∑i ＝1n（t i －t ）2∑i ＝1n（y i －y）2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n（t i －t）（y i －y ）∑i ＝1n（t i －t ）2，a ^＝y －b ^t .【答案】见解析【解析】(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28，∑i ＝17(y i －y －)2＝0.55，∑i ＝17(t i －t －)(y i －y －)＝∑i ＝17t i y i －t －∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y －＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17(t i －t －)(y i －y －)∑i ＝17(t i －t －)2＝2.8928≈0.103，a ^＝y －－b ^t －＝1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2019年对应的t ＝9代入回归方程，得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2019年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．。
专题11 共点力的平衡问题(解析版)-2024年高考物理一轮综合复习
2024年高考物理一轮大单元综合复习导学练专题11共点力的平衡问题导练目标导练内容目标1整体法和隔离法在平衡问题中的应用目标2平衡中的临界和极值问题目标3解析法在动态平衡问题中的应用目标4图解法在动态平衡问题中的应用目标5相似三角形法在动态平衡问题中的应用目标6拉密定理在动态平衡问题中的应用【知识导学与典例导练】一、整体法和隔离法在平衡问题中的应用整体法和隔离法应用十六字原则：外整内分，力少优先，交替使用，相互辅助。
【例1】为庆祝全国两会胜利召开，某景区挂出34个灯笼（相邻两个灯笼之间用轻绳等距连接），灯笼上依次贴着“高举中国特色社会主义伟大旗帜，为全面建设社会主义现代化国家而团结奋斗”的金色大字，从左向右依次标为1、2、3、……、34。
无风时，灯笼均自然静止，与“全”字灯笼右侧相连的轻绳恰好水平，如图所示。
已知每个灯笼的质量均为1kg m =，取重力加速度210m/s =g ，悬挂灯笼的轻绳最大承受力m 340N T =，最左端悬挂的轻绳与竖直方向的夹角为θ。
sin 370.6︒=，cos370.8︒=。
下列说法正确的是（）A ．夹角θ的最大值为45°B ．当夹角θ最大时，最底端水平轻绳的拉力大小为C ．当37θ=︒时，最底端水平轻绳的拉力大小为204ND ．当37θ=︒时，第4个灯笼与第5个灯笼之间的轻绳与竖直方向的夹角为45°【答案】B【详解】A ．分析可知，当绳子拉力达到最大时，夹角θ的值最大，以整体为研究对象，根据平衡条件竖直方向有m m 2cos 34T mg θ=解得m 1cos 2θ=可得m 60θ=︒，A 错误；B ．当夹角θ最大时，以左边17个灯笼为研究对象，水平方向m m sin T T θ=解得T =，B 正确；C ．当37θ=︒时，以左边17个灯笼为研究对象，根据几何关系可得tan 3717T mg︒='解得127.5N T ='，C 错误；D ．当37θ=︒时，以左边第5个灯笼到17个灯笼为研究对象，根据几何关系可得tan 13T mgα'=解得tan 0.981α=≠可知第4个灯笼与第5个灯笼之间的轻绳与竖直方向的夹角不为45°，D 错误。
专题11 双曲线及其性质(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题11双曲线及其性质【知识梳理】知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为{}12122(02)MMF MF a a F F -=<<．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当122a F F =时，点的轨迹是以1F 和2F 为端点的两条射线；当20a =时，点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线．（3）122a F F >时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“122F F a >”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定2a ，2b 的值），注意222a b c +=的应用．知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质A 222121sinsin21cos tanFr r bθθθ==⋅=-考点2：双曲线方程的充要条件考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题考点4：双曲线上两点距离的最值问题考点5：双曲线上两线段的和差最值问题考点6：离心率的值及取值范围考点7：双曲线的简单几何性质问题考点8：利用第一定义求解轨迹考点9：双曲线的渐近线考点10：共焦点的椭圆与双曲线【典型例题】考点1：双曲线的定义与标准方程1．（2022·江西科技学院附属中学高二期中（理））已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝（）A．1B．2C ．4D ．12【答案】A【解析】如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，易知1PHF PHQ ∽，所以|PF 1|＝|PQ |.根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，即|PF 2|－|PQ |＝2，从而|QF 2|＝2.在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，则|OH |＝1.故选：A.2．（2022·黑龙江·铁人中学高二期中）双曲线222112x y a -=（0a >）的左、右两个焦点分别是1F 与2F ，焦距为8；M 是双曲线左支上的一点，且15MF =，则2MF 的值为（）A ．1B ．9C ．1或9D ．9或13【答案】B【解析】依题意4c =，所以21216a +=，即2a =，因为15MF =，且2124MF MF a -==，所以29MF =.故选：B3．（2022·天津·耀华中学高二期中）与椭圆22:11612y x C +=共焦点且过点(的双曲线的标准方程为（）A ．2213y x -=B ．2221yx -=C ．22122y x -=D ．2213y x -=【答案】C【解析】椭圆C 的焦点坐标为()0,2±，设双曲线的标准方程为()222210,0y xa b a b -=>>，由双曲线的定义可得2a ==-=a ∴，2c =，b ∴==，因此，双曲线的方程为22122y x -=.故选：C.4．（2022·河北·高二期中）已知双曲线22221x y a b-=的左､右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，1210F F =，点M 是双曲线左支上的一点，若OM =1243MF MF =，则双曲线的标准方程是（）A ．224121x y -=B ．221214x y -=C ．22124y x -=D ．22124x y -=【答案】C【解析】由题意知：双曲线22221x y a b -=的焦距为210c =，22225a b c ∴+==，125OM OF OF ===，12MF MF ∴⊥.1243MF MF =，不妨设13MF k =，24MF k =，由双曲线的定义可得：212MF MF k a -==，16MF a ∴=，28MF a =，由勾股定理可得：()()222222121268100100MF MF a a a F F +=+===，解得：21a =，224b ∴=，∴双曲线方程为22124y x -=.故选：C.5．（2022·北京工业大学附属中学高二期中）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（）A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【解析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．6．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））已知平面内两定点()13,0F -，()23,0F ，下列条件中满足动点P 的轨迹为双曲线的是（）A ．127PF PF -=±B ．126PF PF -=±C ．124PF PF -=±D ．22126PF PF -=±【答案】C【解析】由题意，因为126F F =，所以由双曲线的定义知，当1206PF PF <-<时，动点P 的轨迹为双曲线，故选：C.7．（2022·福建·南靖县第一中学高二期中）（1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程.（2）已知双曲线焦点在y 轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为20x y ±=，求双曲线的方程．【解析】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为221259x y λλ+=++.又椭圆过点，将x =3，y9151259λλ+=++，解得λ=11或=21λ-(舍去).故所求椭圆的标准方程为2213620x y +=.（2）由题意，设双曲线的标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，设焦距为2c ，∴22212210a b c a b c ⎧+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得5a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴该双曲线的方程为221520y x -=．8．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点分别为(0,6)-，(0,6)，且经过点(5,6)A -；(2)经过点，(4,--；【解析】(1)由题易知焦点在y 轴上，设双曲线的方程22221y x a b -=则222223636251c a b a b ⎧=+=⎪⎨-=⎪⎩解得：221620a b ⎧=⎨=⎩所以所求双曲线的标准方程为2211620y x -=(2)设双曲线的方程为：221(0)Ax By AB +=<代入点坐标得到：9+10=11624=1A B A B ⎧⎨+⎩解得：1418A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故双曲线的标准方程为：22148x y -=考点2：双曲线方程的充要条件9．（多选题）（2022·全国·高二期中）已知曲线22:1C mx ny +=.则（）A ．若m >n >0，则C 是椭圆B ．若m =n >0，则C 是圆C ．若mn <0，则C 是双曲线D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线【答案】ABCD【解析】A 选项，当0m n >>时，22221111x y mx ny m n+=⇒+=，110m n<<，方程表示焦点在y 轴上的椭圆，A 选项正确.B 选项，当0m n =>时，222211mx ny x y n+=⇒+=，表示圆，B 选项正确.C 选项，当0mn <时，22221111x y mx ny m n+=⇒+=，表示双曲线，C 选项正确.D 选项，当0,0m n =>时，22211mx ny y y n +=⇒=⇒=±±D 选项正确.故选：ABCD10．（2022·河南·高二期中（文））已知k ∈R ，则“23k <<”是“方程22162x y k k -=--表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由方程22162x y k k -=--表示双曲线可得()()620k k -->，解得26k <<，显然23k <<能推出26k <<，反之26k <<不能推出23k <<，故“23k <<”是“方程22162x y k k -=--表示双曲线”的充分不必要条件.故选：A.11．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期中（理））“0mn <”是“方程221x y m n+=表示的曲线为双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当0mn <，则0m >且0n <或0m <且0n >，此时方程221x y m n+=表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；若方程221x y m n+=表示的曲线为双曲线，则0mn <，则必要性成立，故选：C .考点3：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题12．（2022·安徽·淮北师范大学附属实验中学高二期中）已知1F 、2F 是等轴双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=，则12PF PF ⋅等于___________.【答案】4【解析】∵双曲线C 的方程为：221x y -=，∴221a b ==，得c =由此可得()1F 、)2F ，焦距12=F F ∵1260F PF ∠=，∴2221212122cos 60F F PF PF PF PF =+-，即2212128PF PF PF PF -⋅=+，①又∵点P 在双曲线22:1C x y -=上，∴1222PF PF a -==，平方得22112224PF PF PF PF -⋅+=，②①-②，得124PF PF ⋅=，故答案为：4.13．（2022·上海金山·高二期中）已知1F ､2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 到该双曲线的渐近线的距离为2，点P 在双曲线上，且1260F PF ∠=︒，则三角形12F PF 的面积为___________.【答案】【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线的方程为b y x a=±，右焦点2(,0)F c 由点2F 到该双曲线的渐近线的距离为22bca =，则2b =由()12222121222||2cos 60PF PF a c PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨=+-⋅⎪⎩，可得212416PF PF b ⋅==则三角形12F PF的面积为1211sin 601622PF PF ⋅⋅=⨯=故答案为：14．（多选题）（2022·湖南省汨罗市第二中学高二期中）已知点P 是双曲线E ：221169x y -=的右支上一点，1F ，2F 为双曲线E 的左、右焦点，12PF F △的面积为20，则下列说法正确的是（）A ．点P 的横坐标为203B ．12PF F △的周长为803C ．12F PF ∠小于3πD ．12PF F △的内切圆半径为34【答案】ABC【解析】因为双曲线22:1169x y E -=，所以5c =，又因为12112102022PF F P P Sc y y =⋅=⋅⋅=，所以4P y =,将其代入22:1169x yE -=得2241169x -=，即203x =，所以选项A 正确；所以P 的坐标为20,43⎛⎫± ⎪⎝⎭，由对称性可知2133PF ==，由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=所以12PF F △的周长为:12133780210333PF PF c ++=++=，所以选项B 正确；可得11235PF k =，2125PF k =，则(121212360535tan 12123191535F PF -==∈⨯+⨯，则123F PF π<∠，，所以选项C 正确；因为12PF F △的周长为803，所以121202803PF F S r =⋅⋅=，所以32r =，所以选项D 不正确．故选：ABC.15．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知12F F ，为双曲线C ：221164x y-=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】由题意得，4,2,a b c ===，由双曲线的对称性以及12PQ F F =可知，四边形12PFQF 为矩形，所以122221228480PF PF a PF PF c ⎧-==⎪⎨+==⎪⎩，解得128PF PF =，所以四边形12PFQF 的面积为128PF PF =．故答案为：8．16．（2022·广东·江门市第二中学高二期中）双曲线2216416y x -=上一点P 与它的一个焦点的距离等于1，那么点P 与另一个焦点的距离等于___________.【答案】17【解析】由双曲线的方程可得实半轴长为8a =，虚半轴长为4b =，故8045c =因为点P 与一个焦点的距离等于1，而8451a c +=+>，故点P 与该焦点同在x 轴的上方或下方，故点P 与另一个焦点的距离为1217a +=，故答案为：17.17．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知双曲线22145x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线左支上一点且128PF PF +=，则1221sin sin PF F PF F ∠=∠______．【答案】3【解析】因为双曲线为22145x y -=，所以2a =、3c =，因为点P 是双曲线左支上一点且128PF PF +=，所以214PF PF -=，所以12=PF ，26PF =，在12PF F △中，由正弦定理可得122112sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，所以212211sin 3sin PF PF F PF F PF ∠==∠；故答案为：318．（2022·天津市咸水沽第二中学高二期中）已知1F ，2F 分别是双曲线221916x y -=的左､右焦点，AB 是过点1F 的一条弦（A ，B 均在双曲线的左支上），若2ABF 的周长为30，则||AB =___________.【答案】9【解析】双曲线221916x y -=，得a ＝3，因为A ，B 均在双曲线的左支上，所以21212,2AF AF a BF BF a -=-=，则△ABF 2的周长为()()22112224AF BF AB AF a BF a AB AB a ++=++++=+，所以2|AB |+4×3＝30，所以9AB =．故答案为：9．19．（2022·吉林·白城一中高二期中）双曲线221916x y -=的两个焦点为12,F F ,点P 在双曲线上，若1PF ·2PF ＝0，则点P 到x 轴的距离为________．【答案】165【解析】设()12,,PF m PF n m n ==>，由题意可知3,4,5a b c ==∴=，=6m n -1PF ·2PF ＝0，2221212PF PF F F ∴+=2224m n c ∴+=,22100m n ∴+=,22=6100m n m n -⎧⎨+=⎩,32m n ∴=1211=222F PF Smn c y =,=c y mn ∴,=mn y c ∴,16=5y ∴,∴点P 到x 轴的距离为165.故答案为：16520．（2022·上海市崇明中学高二期中）已知双曲线221169x y -=的两个焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=，则12F PF △的面积为_________.【答案】9【解析】依题意，双曲线221169x y -=的焦点1(5,0)F -、2(5,0)F ，12||||||8PF PF -=，因122F PF π∠=，则有222212121212||||||(||||)2||||F F PF PF PF PF PF PF =+=-+，即有22122||||10836PF PF =-=，解得12||||18PF PF =，所以12F PF △的面积121||||92S PF PF ==.故答案为：921．（2022·江苏·高二专题练习）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过焦点1F 的弦AB ，A 、B 两点在同一支上且长为m ，另一焦点为2F ，则2ABF 的周长为（）．A ．4aB ．4a －mC ．4a ＋2mD ．4a －2m【答案】C【解析】由双曲线的定义得：212BF BF a -=①，212AF AF a -=②，两式相加得：21214BF BF AF AF a -+-=，即22224BF AF AB BF AF m a +-=+-=，所以224BF AF a m +=+，故2ABF 的周长为2242BF AF AB a m ++=+.故选：C22．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（文））设1F ，2F 是双曲线22146x y -=的左、右焦点，P 为双曲线上一点，且213PF PF =，则12PF F △的面积等于（）A ．6B ．12C．D．【答案】A【解析】双曲线22146x y -=的实半轴长2a =，半焦距c =12||F F =，因213PF PF =，由双曲线定义得22124PF PF PF -==，解得22PF =，16PF =，显然有22122124||0PF PF F F +==，即12PF F △是直角三角形，所以12PF F △的面积12121||||62PF F S PF PF ==.故选：A23．（2022·辽宁大连·高二期中）已知1F ，2F 分别是双曲线221916x y -=的左､右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1232PF PF ⋅=.则12F PF △的面积为（）A ．8B．C ．16D．【答案】C【解析】因为P 是双曲线左支上的点，所以216PF PF -=，两边平方得221212236PF PF PF PF +-⋅=，所以22121236236232100PF PF PF PF +=+⋅=+⨯=.在12F PF △中，由余弦定理得2221212121212100100cos 022PF PF F F F PF PF PF PF PF +--∠==⋅⋅，所以1290F PF ∠=︒，所以121211321622F PF S PF PF =⋅=⨯=△.故选：C考点4：双曲线上两点距离的最值问题24．（2022·上海中学东校高二期末）过椭圆221(9)9x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:4O x y +=外切，该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹记为曲线C ，若P 为曲线C 上的一动点，则FP 长度最小值为（）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】椭圆221(9)9x y m m m +=>-，3c ==，所以()3,0F .设以FQ 为直径的圆圆心为C ，如图所示：因为圆O 与圆C 外切，所以2OC CF -=，因为12QF OC =，2QF CF =，所以()1124QF QF OC CF F F -=-=<，所以Q 的轨迹为：以1,F F 为焦点，24a =的双曲线的右支.即2,3,a c b ====:C ()221245x y x -=≥.所以P 为曲线C 上的一动点，则FP 长度最小值为1c a -=.故选：C25．（2022·安徽省宣城市第二中学高二阶段练习（理））已知12,F F 分别是双曲线2214xy -=的左、右焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PF F △内切圆圆心为I ，则圆心I 到圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为（）A ．2B1C ．1D 2【答案】C【解析】设12PF F △的内切圆分别与12,PF PF 切于点,A B ，与12F F 切于点M ，则11||||,||||PA PB F A F M ==，22||||F B F M =．又点P 在双曲线右支上，12||||2PF PF a ∴-=，即12(||||)(||||)2PA F A PB F B a +-+=，12||||2F M F M a ∴-=①，又12||||2F M F M c +=②，由①＋②，解得1||F M a c =+，又1||OF c =，则(,0)M a ，因为双曲线2214x y -=的2a =，所以内切圆圆心I 与在直线2x =上，设0(2,)I y ，设圆22(1)1y x +-=的圆心为C ，则(0,1)C ，所以||CI =，当01y =时，min ||2CI =，此时圆22(1)1y x +-=上任意一点的距离最小值为min ||1211CI -=-=．故选：C ．26．（2022·101中学高二期末）双曲线22142x y C -=：的右焦点为F ，点P 在椭圆C 的一条渐近线上.O 为坐标原点，则下列说法错误的是（）A B ．双曲线22142-=y x 与双曲线C 的渐近线相同C ．若PO PF ⊥，则PFO △D ．PF【答案】B【解析】A.因为双曲线方程为22142x y C -=：，所以2,a b c ===，则c e a ==故正确；B.双曲线22142x y C -=：的渐近线为y =，双曲线22142-=y x 的渐近线方程为y =，故错误；C.设(),P x y ，因为点P在渐近线上，不妨设渐近线方程为y =，即为直线PO 的方程，又因为PO PF ⊥，所以直线PF的方程为y x =，由22y x y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即P ⎝⎭，所以12S =，故正确；D.)F，其中一条渐近线为y =，则PF 的最小值为点F到渐近线的距离，即d ==.故选：B27．（2022·北京八中高二期中）已知定点A 、B ，且|AB |＝4，动点P 满足||PA |﹣|PB ||＝3，则|PA |的最小值是（）A ．12B ．32C ．72D ．5【答案】A【解析】由动点P 满足||PA |﹣|PB ||＝3，且3AB <故可得点P 的轨迹为以,A B 为左右焦点的双曲线，故可得23,24a c ==，解得3,22a c ==，由双曲线的几何性质可得PA 的最小值为12c a -=.故选：A.考点5：双曲线上两线段的和差最值问题28．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二期中）设双曲线C ：22124y x -=的左焦点和右焦点分别是1F ，2F ，点A 是C 右支上的一点，则128AF AF +的最小值为___________.【答案】8【解析】由双曲线C ：22124y x -=，可得21a =，224b =，所以22225c a b =+=，所以1a =，5c =，由双曲线的定义可得1222AF AF a -==，所以122AF AF =+，所以1222882AF AF AF AF +=++，由双曲线的性质可知：24AF c a ≥-=，令2AF t =，则4t ≥，所以122288822AF AF t AF AF t +=++=++，记82y t t=++，设124t t ≤<，则121212882(2)y y t t t t -=++-++121212()(8)t t t t t t --=0<，所以12y y <，即82y t t=++在[)4,+∞上单调递增，所以当4t =时，取得最小值84284++=，此时点A 为双曲线的右顶点（1，0）．故答案为：8．29．（2022·黑龙江·鸡西市第一中学校高二期中）P 是双曲线22145x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆()2232x y ++=和()2231x y -+=上的点，则|PM |－|PN |的最大值为_________.【答案】5【解析】设双曲线的左右焦点为12,F F ，则1224PF PF a -==，圆()2232x y ++=的圆心为1(3,0)F -，半径为1r =.圆()2231x y -+=的圆心为2(3,0)F ，半径为21r =，由圆的对称性可得1111||PF r PM PF r -+∣ ，2222||PF r PN PF r -≤≤+，所以1122||||5PM PN PF r PF r -≤+-+=|PM |－|PN |的最大值为5故答案为：530．（2022·黑龙江·哈九中高二期中）已知双曲线的方程为2214y x -=，如图所示，点()A ，B是圆(221x y +=上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则MA MB +的最小值为______1.【解析】由双曲线2214y x -=，可得1,2a b ==，则c =如图所示，设点D 的坐标为，则点,A D 是双曲线的焦点，根据双曲线的定义，可得22-==MA MD a ，所以22+=++≥+MA MB MB MD BD ，又由B 是圆(221x y +-=上的点，圆的圆心为C ，半径为1r =，所以11BD CD ≥-=，所以21MA MB BD +≥++，当点,M B 在线段CD 上时，取得等号，即MA MB +1.1.31．（2022·北京·高二期中）已知点()2,0A -，()2,0B ，(C ，动点M 到A 的距离比到B 的距离多2，则动点M 到B ，C 两点的距离之和的最小值为___________.【答案】4【解析】点()2,0A -，()2,0B ，且动点M 到A 的距离比到B 的距离多2，所以24MA MB AB -=<=，故动点M 的轨迹为双曲线右侧一支，则动点M 到B ，C 两点的距离之和2224MB MC MA MC AC +=+-≥-==，当且仅当M ，A ，C 三点共线时取等号，所以动点M 到B ，C 两点的距离之和的最小值为4.故答案为：4.32．（2022·湖南·嘉禾县第一中学高二阶段练习）过双曲线2218y x -=的右支上的一点P 分别向圆221:(3)4C x y ++=和圆222:(3)1C x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22||||PM PN -的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B【解析】设双曲线的左、右焦点分别为12,F F ，()()2222221212||||413PM PN PF PF PF PF -=---=--()()()121212323PF PF PFPF PF PF =+--=+-()222223414219PF PF =+-=+≥⨯+=．故选：B33．（2022·四川省江油市第一中学高二期中（文））已知12F F ，为双曲线222:1(0)16x yC a a -=>的左､右焦点，点A 在双曲线的右支上，点(72)P ，是平面内一定点.若对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行，则2AP AF +的最小值为（）A ．6B ．10-C ．8D ．2【答案】A【解析】∵双曲线C ：()2221016x y a a -=>，∴双曲线的渐近线方程为4y x a =±，∵对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行，∴直线430x y m ++=与双曲线的渐近线方程为4y x a=±平行，∴3a =，∴5c =，∴1F 为()5,0-，∵()7,2P ，∴1PF ==∴211666AP AF AP AF PF +=+-≥-=，∴2AP AF +的最小值为6.故选：A.34．（2022·吉林市田家炳高级中学高二期中）设F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为（）A ．5B ．5+C ．7D ．9【答案】D【解析】由双曲线221412x y -=，可知24a =，212b =，则22216c a b =+=，所以2a =，4c =，()1,4A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为()4,0F '，由于P 是双曲线右支上的动点，∴由双曲线定义可得，24PF PF a '-==，而5PA PF AF ''+≥==，两式相加得9PF PA +≥，当且仅当A 、P 、F '三点共线时等号成立，则PF PA +的最小值为9．故选：D ．35．（2022·江西南昌·高二期中（理））设(),P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则代数）AB ．CD 3【答案】B设()()0,1,3,0A F ,上式表示PA PF -,由于双曲线22154x y-=的左焦点为()()3,0,3,0F F '-,双曲线的实轴2a =, 2PF PF a PF ''=-=-()2525PA PF PA PF PF PA ''-=-+=--+223110PF PA AF ''-≤=+当P 在F A '的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以()25PA PF PF PA '-=--+510故选：B考点6：离心率的值及取值范围36．（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二阶段练习）已知0a b >>，1F ，2F ，是双曲线22122:1x y C a b-=的两个焦点，若点Р为椭圆22222:1x y C a b +=上的动点，当P 为椭圆的短轴端点时，12F PF ∠取最小值，则椭圆2C 离心率的取值范围为（）A ．22⎛ ⎝⎦B ．2⎫⎪⎪⎣⎭C ．20,3⎛ ⎝⎦D ．23⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】A【解析】假设点P 在x 轴上方，设()cos ,sin P a b θθ，则()0,πθ∈，由已知得()221F a b +，)222,0F a b +，设直线1PF 的倾斜角为α，直线2PF 的倾斜角为β，∴122sin tan cos PF k a a b αθ==++，222sin tan cos PF k a a b βθ==-+，∴()12tan tan F PF βα∠=-tan tan 1tan tan βααβ-=+()222sin b a b θ+=+-()222222sin sin b a b b a b θθ+=+-()222222sin sin b a b a b θθ=-⎡⎤⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦考虑对勾函数()222sin 0sin 1sin b a b y θθθ-=+<≤，由于P 为椭圆的短轴端点时，π2θ=，12F PF ∠取最小值，即12tan F PF ∠取最小值，()222sin 0sin 1sin b a b y θθθ-=+<≤也取最小值，此时sin 1θ=，∵函数在⎛ ⎝上单调递减，∴1≤222a b ≤，解得202e <≤.即椭圆2C离心率的取值范围为2⎛ ⎝⎦.故选：A .37．（2022·四川省仁寿县文宫中学高二阶段练习（文））已知1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）ABC ．2D1【答案】C【解析】由题意,F 1(−c ,0),F 2(c ,0)，设一条渐近线方程为y =b a x ,则F 1b =.设F 1关于渐近线的对称点为M ,F 1M 与渐近线交于A ,∴|MF 1|=2b ,A 为F 1M 的中点，又O 是F 1F 2的中点,∴OA ∥F 2M ,∴∠F 1MF 2为直角，∴△MF 1F 2为直角三角形，∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2∴3c 2=4(c 2−a 2),∴c 2=4a 2，∴c =2a ，∴e =2.故选：C38．（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与C 的一条渐近线交于M ，N 两点，且2OM ON =，则C 的离心率为（）A ．43BC．3D．2【答案】C【解析】过点A 作AP MN ⊥于点P ，则点P 为线段MN的中点，因为点A 为(,0)a ，渐近线方程为by a=±，所以点A 到渐近线b y x a =的距离为||=ab AP c ，在Rt OAP △中，2||==a OP c ，在Rt NPA中，2||===b NP c ，因为2OM ON =，所以||||||2||||3||=+=+=OP ON NP NP NP NP ，所以223=⨯a b c c，即223a b =，所以离心率e 3==c a ．故A ，B ，D 错误.故选：C ．39．（2022·江西省万载中学高二阶段练习（理））已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为（）A ．2BC ．2D ．12【答案】C【解析】由题设，渐近线与x 轴夹角θ可能为30°或60°，当30θ=︒，则tan 303b a =︒=，故e =；当60θ=︒，则tan 60ba=︒=2e =；所以双曲线的离心率为2故选：C40．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）如图所示，1F ，2F 是双曲线C ：22221()00a x y a b b >-=>，的左、右焦点，过1F 的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若22345AB BF AF =∶∶∶∶，则双曲线的离心率为（）A ．2BCD【答案】C 【解析】22345AB BF AF =：：：：，不妨令3AB =，24BF =，25AF =，22222||||AB BF AF +=，290ABF ∠∴=，又由双曲线的定义得：122BF BF a -=，212AF AF a -=，11345AF AF ∴+-=-，13AF ∴=．123342BF BF a ∴-=+-=，1a \=．在12Rt BF F 中，222221212||||6452F F BF BF =+=+=，又2212||4F F c =，2452c ∴=，c ∴∴双曲线的离心率c e a=．故选;C41．（2022·广东汕头·高二期末）已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-）ABC ．D ．2【答案】D【解析】双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2bAB a=，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2ba =b a=所以2c e a ==；故选：D42．（2022·湖北·鄂州市教学研究室高二期末）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线C 有一个交点P ，设12PF F △的面积为S ，若()21212PF PF S +=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．2C D ．【答案】C【解析】依题意，12PF PF ⊥，令1(,0)F c -，2(,0)F c ，则有22221212||||||4PF PF FF c +==，由212||(12||)PF PF S +=得：21211222||2||||6||||||PF PF PF PF PF PF =++，即有212||||PF PF c =，而222221221214(||)||2||2||||||a PF PF PF PF PF c PF =-=+-=，所以ce a==故选：C43．（2022·安徽省临泉第一中学高二期末）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，M 是双曲线C 上一点，若120MF MF ⋅=，2212OM OF c ⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．31+C ．2D ．21+【答案】B【解析】()()22121221111242OM OF MO F F MF MF MF MF c⎛⎫⋅=-⋅=-+⋅-= ⎪⎝⎭，则222122MF MF c -=，又因为120MF MF ⋅=，12MF MF ⊥，即222124MF MF c +=，所以13MF c =，2MF c =，所以1223a MF MF c c =-=-，则31e =+，故选：B.44．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为122,,c F F 为其左右两个焦点，直线l 经过点(0,)b 且与渐近线平行，若l 上存在第一象限的点P 满足122PF PF b -=，则双曲线C 离心率的取值范围为（）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(1,3)D ．(2,)+∞【答案】A【解析】因为满足122PF PF b -=的所有点在以12,F F 为焦点，长轴长为2b ，短轴长为2222c b a -=的双曲线，即22221x y b a-=上.故若l 上存在第一象限的点P 满足122PF PF b -=，则双曲线22221x y b a -=与直线l 有交点即可.又直线:b l y x b a =±+，数形结合可得，当b a <或22221x y b a-=的经过一象限的渐近线的斜率a b b a >即可，两种情况均有2222a b c a >=-，故222c a <，故离心率(1,2)e ∈故选：A考点7：双曲线的简单几何性质问题45．（多选题）（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知曲线C ：221mx ny +=，则（）A ．若0m n =>，则曲线CB ．若0m n >>，则曲线C 是椭圆，其焦点在y 轴上C ．若曲线C过点(，⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则C 是双曲线D ．若0mn =，则曲线C 不表示任何图形【答案】BC【解析】对于A ，0m n =>时，曲线C 可化为221x y n+=A 错误；对于B ，0m n >>时，曲线C 可化为22111x y m n+=表示的是椭圆，而11 0m n<<，所以其焦点在y 轴上，故B 正确；对于C，将点(，3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，代入曲线C ：221mx ny +=，有2311512133m n m m n n ⎧+==⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩，0mn <，所以曲线C 是双曲线，故C 正确；对于D ，若1m =，0n =，满足条件，此时曲线C ：21x =，表示两条直线，故D 错误，故选：BC.46．（多选题）（2022·江苏连云港·高二期中）关于,x y 的方程2222126x y m m+=+-（其中26m ≠）表示的曲线可能是（）A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．圆心为坐标原点的圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D．长轴长为【答案】BC【解析】()()2222622m m m +--=-，当m =22264m m +=-=，此时2222126x y m m +=+-表示圆，故B 正确.当m <<22620m m ->+>，故2222126x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，若此时长轴长为268m -=即22m =-，矛盾，故D 错误.若m <m >260m -<，故2222126x y m m +=+-表示焦点在x 轴上的双曲线，故A 错误，C 正确.若m <<m <<22260m m +>->，故方程2222126x y m m+=+-表示焦点在x 轴上的椭圆，若长轴长为228m +=即m =，矛盾，故D 错误.故选：BC.47．（多选题）（2022·河北省曲阳县第一高级中学高二期中）若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个选项中正确的是（）A ．若13t <<，则曲线C 为椭圆B ．若曲线C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则23t <<C ．若曲线C 为双曲线，则3t >或1t <D ．曲线C 可能是圆.【答案】BCD【解析】A.若方程22131x y t t +=--表示椭圆，则301031t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<且2t ≠，故错误；B.若曲线C 为椭圆，且长轴在y 轴上，则301031t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得23t <<，故正确；C.若曲线C 为双曲线，则()()310t t --<，解得3t >或1t <，故正确；D.曲线C 是圆，则301031t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-=-⎩，解得2t =，故正确；故选：BCD48．（多选题）（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知曲线22:124x y C m m+=+-，则（）A ．当2m =时，则C的焦点是)1F，()2F B ．当6m =时，则C 的渐近线方程为12y x =±C ．当C 表示双曲线时，则m 的取值范围为2m <-D ．存在m ，使C 表示圆【答案】ABD【解析】对于A ，当2m =时，曲线22:142x y C +=，则C 的焦点是)1F ，()2F ，所以A 正确；对于B ，当6m =时，曲线22:182x y C -=，则C 的渐近线方程为12y x =±，所以B 正确；对于C ，当C 表示双曲线时，()()240m m +-<，解得：4m >或2m <-，所以C 不正确；对于D ，当24m m +=-，即1m =时，曲线C 表示圆，所以D 正确.故选：ABD.49．（多选题）（2022·江苏江苏·高二期中）已知双曲线C ：2213x y -=，则（）A ．双曲线C 的焦距为4B ．双曲线C 的两条渐近线方程为：y =C ．双曲线C 的离心率为3D ．双曲线C 有且仅有两条过点()1,0Q 的切线【答案】ABD【解析】由双曲线标准方程得a =1b =，所以2c ==，焦距为4，A 正确；b a ==y =，B 正确；离心率为3c e a ===，C 错误；设过(1,0)Q 的直线的方程为(1)y k x =-，代入双曲线方程得：2222(13)6(33)0k x k x k -+-+=（*），2130k -=，即3k =±时，方程（*）只有一解，此时直线与渐近线平行，与双曲线相交，又由422364(13)(33)0k k k ∆=+-+=得2k =±，此时方程（*）有两个相等的实数解，此时直线与双曲线相切，即相切的直线有两条，D 正确．故选：ABD ．50．（多选题）（2022·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）双曲线的标准方程为2213y x -=，则下列说法正确的是（）A ．该曲线两顶点的距离为B ．该曲线与双曲线2213x y -=有相同的渐近线C ．该曲线上的点到右焦点的距离的最小值为1D ．该曲线与直线l ：)2y x =-，有且仅有一个公共点【答案】CD【解析】由已知双曲线中1,a b =2c =，顶点为(1,0)和(1,0)-，距离为2，A 错；该双曲线的渐近线方程是y =，而双曲线2213x y -=的渐近线方程是y =，不相同，B 错；该双曲线上的点到焦点的距离的最小值为1c a -=，C 正确；直线l 与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线有且只有一个公共点，D 正确，故选：CD ．51．（2022·上海市新场中学高二期中）当0ab <时，方程22ax ay b -=所表示的曲线是（）A ．焦点在x 轴的椭圆B ．焦点在x 轴的双曲线C ．焦点在y 轴的椭圆D ．焦点在y 轴的双曲线【答案】D【解析】当ab ＜0时，方程22ax ay b -=化简得221y x b ba a-=--，∴方程表示双曲线．焦点坐标在y 轴上；故选：D ．考点8：利用第一定义求解轨迹52．（2022·河南·濮阳一高高二期中（理））若双曲线C 的方程为22145x y -=，记双曲线C 的左、右顶点为A ，B ．弦PQ ⊥x 轴，记直线PA 与直线QB 交点为M ，其轨迹为曲线T ，则曲线T 的离心率为________．【解析】设P （0x ，0y ），则Q （0x ，-0y ），设点M （x ，y ），又A （-2，0），B （2，0），所以直线PA 的方程为00(2)2y y x x =++①，直线QB 的方程为00(2)2y y x x -=--②．由①得0022y yx x =++，由②得0022y y x x =---，上述两个等式相乘可得22022044y y x x =---，∵P （0x ，0y ）在双曲线22145x y -=上，∴2200145x y -=，可得2200454y x -=，∴2020544y x =-∴22544y x =--，化简可得22145x y +=，即曲线T 的方程为22145x y +=53．（2022·吉林·白城一中高二期中）已知ABC 的两个顶点A B ，分别为椭圆2255x y +=的左焦点和右焦点，且三个内角A B C ，，满足关系式1sin sin sin 2B AC -=.(1)求线段AB 的长度；(2)求顶点C 的轨迹方程.【解析】(1)椭圆的方程为2255x y +=∴椭圆的方程为2215x y +=222=514a b c ∴==，，2c ∴=A B ，分别为椭圆2215x y +=的左焦点和右焦点，()()2,02,0A B ∴-，=4AB ∴∴线段AB的长度4(2)ABC 中根据正弦定理得：=2sin sin sin AB BC ACR C A B==(R 为ABC 外接圆半径)，sin =,sin 222BC AC ABA B C R R R∴==1sin sin sin 2B A C -=12222AC BC AB R R R∴-=⨯1242AC BC AB AB ∴-==<=∴C 点的轨迹是以A B ，为左右焦点的双曲线的右支，且22AC BC a -==，=4=2AB c=12a c ∴=，，2223b c a =-=，∴顶点C 的轨迹方程为()22113yx x -=>54．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，已知定圆1F ：()2251x y ++=，定圆2F ：()22516x y -+=，动圆M 与定圆1F ，2F 都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．【解析】圆1F ：()2251x y ++=，圆心()15,0F -，半径11r =；圆2F ：()22516x y -+=，圆心()25,0F ，半径24r =．设动圆M 的半径为R ，则有11=+MF R ，24=+MF R ，∴2112310MF MF F F -=<=．∴点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线的左支，且32a =，5c =，于是222914b c a =-=．∴动圆圆心M 的轨迹方程为2231991244≤-⎛⎫-= ⎪⎝⎭x y x ．55．（2022·福建·厦门一中高二期中）已知动圆M 与圆221:(4)4C x y ++=外切与圆222:(4)4C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹C 的方程为___________.【答案】()2212412x y x -=≥【解析】设动圆圆心(),M x y ，半径为r ，因为圆M 与圆221:(4)4C x y ++=外切与圆222:(4)4C x y -+=内切，圆心()()124,0,4,0C C -，12||8C C =，所以1222MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，则12||||48MC MC -=<，于是点M 的轨迹是以点12,C C 为焦点的双曲线的右支.由题意，224,282,4,12a c a c b ==⇒===，于是，C 的方程为：()2212412x y x -=≥.故答案为：()2212412x y x -=≥.56．（2022·上海市新场中学高二期中）已知两点()(),3,03,0A B -，若4PA PB -=±，那么P 点的轨迹方程是______.【答案】22145x y -=【解析】设P 点的坐标为(),x y 因为44PA PB PA PB -=±⇒-=所以P 点的轨迹为焦点在x 轴的双曲线且3,242c a a ==⇒=所以b ==所以P 点的轨迹方程为：22145x y -=故答案为：22145x y -=57．（2022·吉林一中高二期中）若动圆过定点A ()3,0-且和定圆C ：()2234x y -+=外切，则动圆圆心P 的轨迹方程是_________.【答案】2218y x -=()1x ≤-【解析】定圆的圆心为C()3,0，与A ()3,0-关于原点对称，设动圆P 的半径为r ，则有PA r =，因为两圆外切，所以2=+PC r ，即26PC PA AC -=<=，所以点P 的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，则1a =，3c =，2228b c a =-=，所以轨迹方程为2218y x -=()1x ≤-故答案为：2218y x -=()1x ≤-58．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）高二期中）已知点(3,0),(3,0),(1,0)M N B -，动圆C 与直线MN 相切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)8y x x -=>B ．221(1)8y x x -=<-C ．221(0)8y x x +=>D ．221(1)10y x x -=>【答案】A【解析】设直线PM ，PN 与圆C 相切的切点分别为点Q ，T，如图，由切线长定理知，MB =MQ ，PQ =PT ，NB =NT ，于是有|PM|-|PN|=|MQ|-|NT|=|MB|-|NB|=2<6=|MN|，则点P 的轨迹是以M ，N 为左右焦点，实轴长2a =2的双曲线右支，虚半轴长b 有22238b a =-=，所以点P 的轨迹方程为221(1)8y x x -=>.故选：A59．（2022·江苏省镇江中学高二期中）动圆M 与圆1C ：()2241x y ++=，圆2C ：22870x y x +-+=，都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（）A ．22115x y +=B ．22115y x -=C ．()221115y x x -=≥D ．()221115y x x -=≤-【答案】D【解析】圆1C ：()2241x y ++=，圆心()14,0C -，半径11r =.圆2C ：()222287049x y x x y +-+=⇒-+=，圆心()24,0C ，半径23r =.设(),M x y ，半径为r ，因为动圆M 与圆1C ，2C 都外切，所以121122123MC r MC MC C C MC r ⎧=+⎪⇒-=<⎨=+⎪⎩，所以M 的轨迹为以12,C C 为焦点，22a =的双曲线左支.所以1a =，4c =，解得b =即M 的轨迹方程为：()221115y x x -=≤-.故选：D60．（2022·新疆·博尔塔拉蒙古自治州蒙古中学高二期中）动点P 到点(1,0)M 及点(3,0)N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（）A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线【答案】D。
概率与统计- 高考数学试题分项版解析(解析版)
专题11 概率与统计1. 【2014高考福建卷文第13题】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________.2. 【2014高考广东卷文第6题】为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）A.50B.40C.25D.203. 【2014高考广东卷文第12题】从字母a 、b 、c 、d 、e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为 .4. 【2014高考湖北卷文第5题】随机投掷两枚均匀的投骰子，他们向上的点数之和不超过5的概率为1P ，点数之和大于5的概率为2P ，点数之和为偶数的概率为3P ，则（ ）A. 321P P P <<B. 312P P P <<C. 231P P P <<D. 213P P P << 【答案】C 【解析】试题分析：依题意，36101=P ，3626361012=-=P ，36183=P ，所以231P P P <<.选C. 考点：古典概型公式求概率，容易题.5. 【2014高考湖北卷文第6题】根据如下样本数据：x3 4 56 78y4.02.55.0-0.50.2-0.3-得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ） A.0a > ,0<b B.0a > ,0>b C.0a < ,0<b D.0a < ,0>b6. 【2014高考湖北卷文第11题】甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.7. 【2014高考湖南卷文第3题】对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p =< 123.D p p p ==【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即123p p p ==,故选D. 【考点定位】抽样调查8. 【2014高考湖南卷文第5题】在区间[2,3]-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ）4.5A 3.5B 2.5C 1.5D 9. 【2014高考江苏卷第4题】 从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 .10. 【2014高考江苏卷第6题】某种树木的底部周长的取值范围是[]80,130，它的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株树木的底部周长小于100 cm.【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．【考点】频率分布直方图．11. 【2014高考江西卷文3第题】掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D12. 【2014高考江西卷文第7题】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，这与性别有关联的可能性最大的变量是（ ） 表1 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女1022 32 总计 16 3652A.成绩 表2 不及格 及格 总计 男 4 16 20 女1220 32 总计 163652B.视力表3 不及格 及格 总计 男 8 12 20 女824 32 总计 163652C.智商表4 不及格 及格 总计 男 14 6 20 女23032总计 16 36 52D.阅读量13.14. 【2014高考辽宁卷文第6题】若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．2π B ．4π C ．6π D ．8π 15. 【2014高考全国1卷文第13题】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 【答案】23【解析】试题分析：根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语; 数1，语，数2;数2，数1，语; 数2，语，数1;语，数2，数1; 语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：42P63 ==．考点：古典概率的计算16.【2014高考全国2卷文第13题】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.17.【2014高考山东卷文第8题】为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A.6B.8C.12D.18【答案】C【解析】由图知，样本总数为2050.0.160.24N==+设第三组中有疗效的人数为x，则60.36,1250xx+==，故选C.考点：频率分布直方图.18.【2014高考陕西卷文第6题】从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为（ ）1.5A2.5B3.5C4.5D19. 【2014高考陕西卷文第9题】某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（A ）x ，22s 100+ （B ）100x +，22s 100+ （C ）x ，2s （D ）100x +，2s20.【2014高考四川卷文第2题】在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。
专题11 二次函数中的线段长度问题(解析版)
专题11 二次函数中的线段长度问题1、如图抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式，并指出抛物线的顶点坐标．（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△P AM＝S△P AC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）存在，点P的坐标为（1，2），△P AC；（3）存在，点M的坐标为（1，4），（12）或（12，12--）．【解析】（1）△抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），△9303a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，得=-123abc⎧⎪=⎨⎪=⎩，△y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，△该抛物线的顶点坐标为（1，4），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为（1，4）；（2）点A关于对称轴的对称点是点B，连接CB与对称轴的交点为P，此时点P即为所求，如图所示：设过点B （3，0），点C （0，3）的直线解析式为y ＝kx+m ，303k m m +=⎧⎨=⎩，得13k m =-⎧⎨=⎩， △直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，△点P 的坐标为（1，2），△点A （﹣1，0），点C （0，3），点B （3，0），△AC ，BC ＝，△△PAC 的周长是：AC+CP+PA ＝AC+CB ，即点P 的坐标为（1，2），△PAC ；（3）存在点M （不与C 点重合），使得S △PAM ＝S △PAC ，△S △PAM ＝S △PAC ，△当以PA 为底边时，只要两个三角形等高即可，即点M 和点C 到PA 的距离相等，当点M 在点C 的上方时，则CM△PA 时，点M 和点C 到PA 的距离相等，设过点A （﹣1，0），点P （1，2）的直线l 1解析式为：y ＝kx+m ，02k m k m -+=⎧⎨+=⎩，得11k m =⎧⎨=⎩， △直线AP 的解析式为y ＝x+1，△直线CM 的解析式为y ＝x+3，由2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩得，1103x y =⎧⎨=⎩，2214x y =⎧⎨=⎩， △点M 的坐标为（1，4）；当点M 在点C 的下方时，则点M 所在的直线l 2与AP 平行，且直线l 2与直线AP 之间的距离与直线l 1与直线AP 之间的距离相等， △直线l 2的的解析式为y ＝x ﹣1，由2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩得，33x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，442212x y ⎧⎪=⎪⎨⎪-⎪=⎩， △M）； 由上可得，点M 的坐标为（1，4），（12+，12）或（12，12--）． 2、如图，抛物线y=ax 2﹣x+c （a≠0）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣2），已知B 点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，记点M 到线段BC 的距离为d ，当d 取最大值时，求出此时M 点的坐标；（3）若点P 是抛物线上一点，点E 是直线y=﹣x 上的动点，是否存在点P 、E ，使以点A ，点B ，点P ，点E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y= x 2﹣ x -2；（2）M （2，-3）；（3）存在；点E 坐标为(,)、(,32123292-92+92-+)、（,)或(,).【解析】（1）解：由题意得c=-2，0=a×42-×4-2，解得a= ，△抛物线的解析式为：y= x 2﹣ x -2.（2）解：作MN△y 轴交BC 于点N ，△的面积==2MN=，△当MN 最大时，的面积也最大，此时M 到线段BC 的距离d 也最大，设直线BC 的解析式为y=kx+b,△,解得,△y=x -2，△MN=x -2-( x 2 - x -2)=- x 2+2x=-(x -2)2+2，△当x=2时，MN 有最大值2，△M （2，-3）.△当d 取最大值时， M 点的坐标是（2，-3）；（3）解：存在，理由如下：设点 E 的坐标为 (n,−n), 以点A,点B,点P,点E 为顶点的平行四边形分两种情况，如图，92-52+52--5252-32121232BCM ∆142MN ⨯12BC d ⋅BCM ∆0420k bk b =+⎧⎨-=⨯+⎩122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩121212321212△以线段AB 为边，点E 在点P 的左边时，△A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，△P(5+n,−n)，△点P(5+n,−n)在抛物线y= x 2 - x -2上，△−n=(5+n)2−(5+n)−2,解得：n 1, n 2，此时点E 的坐标为(,)或(,)；以线段AB 为边，点E 在点P 的右边时，△A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，△P(n−5,−n)，△点P(n−5,−n)在抛物线y=x 2−x−2上， △−n=(n−5)2−(n−5)−2,即n 2−11n+36=0，此时△=(−11)2−4×36=−23<0，△方程无解；△以线段AB 为对角线时，1232123292-92+92-9212321232△A(−1,0),B(4,0),E(n,−n)，△P(3−n,n)，△点P(3−n,n)在抛物线y=x 2−x−2上， △n=(3−n)2−(3−n)−2, 解得：n 3=,n 4= ， 此时点E)或). 综上可知：存在点P 、E, 使以A、B 、P 、E 为顶点的四边形是平行四边形, 点E 坐标为(,)、)、)或). 3、如图，抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点左侧），A (-1,0)，B (3,0)，直线l 与抛物线交于A ，C 两点，其中C 点的横坐标为2。
专题十一 世界多极化与经济全球化 专题训练-2022届高考政治二轮复习统编版选择性必修一(解析版)
专题十一世界多极化与经济全球化(满分：100分)一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
1．2021年3月18日至19日，中美高层战略对话在安克雷奇举行。
中央外事办主任杨洁篪表示，对话期间，中美双方就各自内外政策和双边关系进行了坦诚、建设性交流。
双方在一些问题上仍存在重要分歧。
中国将坚定维护国家主权、安全和发展利益。
这告诉我们()①世界多极化在曲折中发展②称霸与反霸是国际斗争的焦点③独立自主是我国外交政策的基本立场④竞争、合作与冲突是国际关系的重要内容A．①②B．①④C．②③D．③④2．2021年4月，中法德三国领导人举行视频峰会，就合作应对气候变化、中欧关系、抗疫合作以及重大国际和地区问题深入交换意见。
三国领导人一致认为，要坚持多边主义，全面落实《巴黎协定》，共同构建公平合理、合作共赢的全球气候治理体系，推动领导人气候峰会取得积极、平衡、务实成果。
材料表明()A．国际社会在全球气候治理方面的观点具有一致性B．共同利益使三国在全球气候治理的合作成为可能C．维护主权安全和发展利益是我国对外关系的宗旨D．世界多极化深入发展是当今国际形势的突出特点3．2021年3月，针对中美高层战略对话中美方对中国内外政策无理攻击指责，挑起争端，中方在开场白中阐明有关立场：“美国没有资格居高临下同中国说话，中国人不吃这一套。
与中国打交道，就要在相互尊重的基础上进行”。
中国的这一立场表明()①平等互利是我国外交政策的宗旨②中国对美外交政策发生了重大转变③和平共处五项原则是中美双边关系的基础④中国坚决维护自身利益，不屈服于外来压力A．①②B．①③C．②④D．③④4．2021年3月7日，我国外交部部长在回答记者提问时表示，面对单边主义肆虐，中国旗帜鲜明予以抵制，以实际行动践行多边主义，维护国际关系准则；针对保护主义抬头，中国身体力行扩大开放，发挥中国超大型市场优势，为各国提供更多发展机遇。
备战2021年高考地理微专题11 青藏地区(解析版)
专题11青藏地区基础知识1.位置与范围：青藏地区位于我国西南部，昆仑山脉和祁连山脉以南,横断山脉以西，主要包括西藏自治区、青海省和四川省西部等。
2.自然环境：（1）地形：青藏高原平均海拔4000米以上，是世界上海拔最高的高原，素有“世界屋脊”之称。
高原上有世界上海拔最高的山脉B喜马拉雅山脉和我国海拔最高的内陆大盆地柴达木盆地。
“远看是山，近看是川”是青藏高原地形的显著特征。
（2）河流、湖泊：由于海拔高，许多山峰终年积雪，冰川广布，黄河、长江、澜沧江、雅鲁藏布江等众多大江大河均发源于此；高原上还有我国面积最大的湖泊青海湖。
（3）气候：青藏高原具有独特的高寒气候，冬寒夏凉，年温差小，日温差大，有“一年无四季，一日见四季”之说。
由于海拔高，空气稀薄，日照充足，太阳辐射强烈。
（4）丰富的资源：青藏高原上太阳能、地热和水能资源都很丰富。
（5）野生动物资源：藏羚羊、藏野驴、藏原羚等。
3、藏民生活（1）衣：藏袍是藏族的传统服装,。
（2）食：居民的日常主食是糌粑；牛羊肉也是常见食物。
为了抵御严寒，人们常喝青稞酒。
（3）住：牧区牧民一般用厚重的羊毛毡搭成帐篷居住，在农区和城镇多建平顶的碉房。
（4）行：青藏地区主要交通运输方式是公路运输；青藏铁路从青海的西宁到西藏自治区的拉萨，它的开通有力地促进了青藏地区经济的发展。
考向预测（一）河谷农业1、有利区位条件：①海拔高，空气稀薄，多清朗天气，光照充足，利于作物光合作用，制造养分；②热量欠缺，作物生长期长，积累的养分多；③昼夜温差大，利于作物养分的积累。
2、分布：主要分布在海拔较低、比较平坦的河谷和盆地，如青藏高原南部的藏南谷地和东北部的湟水谷地。
3、主要作物：青稞、小麦、豌豆等。
（二）高寒牧业：1、发展条件：独特的高寒气候和耐寒的高山草甸分布广泛。
2、主要牧区：青海牧区、西藏牧区。
3、优良畜种：藏绵羊、藏山羊、牦牛(“高原之舟”)。
（三）青藏铁路青藏铁路是当今世界海拔最高、最长的高原铁路。
高考专题11 一元二次方程的解集及其根与系数的关系(解析版) (1)
高考专题提升训练2.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一、选择题1．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(3)17x -= B ．2(3)14-=xC ．2(6)44x -=D ．2(3)1x -=【答案】A 【解析】用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17， 故选A ．2．若1x ，2x 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个根，则12x x 的值是（ ） A ．4 B ．－3 C ．－4 D ．3【答案】D 【解析】∵一元二次方程x 2+4x+3=0的二次项系数a=1，常数项c=3， ∴x 1•x 2=ca =3． 故选D ．3．一元二次方程2320x x =－－的两根分别为12x x ，，则下列结论正确的是( ) A ．1212x x =-=， B ．1212x x ==-， C ．123x x =＋ D ．122x x=【答案】C 【解析】∵方程2320x x =－－的两根为12x x ，， ∴1212+=-3,2b cx x x x a a===- ∴C 选项正确. 故选C4．若1x 、2x 是方程2x 2x 10--=的两个根，则1122x x x x ++的值为( ) A ．1 B ．-1C ．3D ．-3【答案】A 【解析】因为1x 、2x 是方程2x 2x 10--=的两个根， 所以12122,1x x x x +=∙=- 所以1122x x x x ++=2-1=1 故选A 5．若，，则以，为根的一元二次方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】∵，∴， 而，∴，∴，∴以，为根的一元二次方程为．6．若代数式2x 2-5x 与代数式x 2-6的值相等，则x 的值是( ) A ．-2或3 B ．2或3 C ．-1或6 D ．1或-6.【答案】B 【解析】因为这两个代数式的值相等， 所以有： 2x 2-5x=x 2-6， x 2-5x+6=0， (x-2)(x-3)=0， x-2=0或x-3=0， ∴x=2或3． 所以选B7．x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx ﹣3m 2＝0的两根，则下列说法不正确的是（ ）A ．x 1+x 2＝2mB ．x 1x 2＝﹣3m 2C ．x 1﹣x 2＝±4mD ．12x x＝﹣3【答案】D 【解析】∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2m ﹣3m 2=0的两根， ∴x 1+x 2=2m ，x 1x 2=﹣3m 2，|x 1﹣x 2|==|4m |=±4m ， 解方程x 2﹣2mx ﹣3m 2=0得：x =3m 或﹣m ，∴12x x =-3或13-．8．若a b ，是方程220180x x =＋－的两个实数根，则22a a b ++= ( ) A ．2018 B ．2017 C ．2016 D ．2015【答案】B 【解析】∵a 是方程220180x x =＋－的根， ∴220180a a -=＋， ∴22018a a =-＋，∴22201822018a a b a a b a b ++=-+++=++. ∵a b ，是方程220180x x ＋－＝的两个实数根， ∴1a b +=-，∴22201812017.a a b +=-=＋ 故选B.9.关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣3＝0有一个根为﹣3，则另一根为（ ） A ．1 B ．﹣2 C ．2 D ．3【答案】A 【解析】设方程x 2+kx ﹣3＝0的另一个根为a ，∵关于x 的一元二次方程x 2+kx ﹣3＝0有一个根为﹣3， ∴由根与系数的关系得：﹣3a ＝﹣3， 解得：a ＝1，即方程的另一个根为1，10.关于x 的一元二次方程2220x mx m m +++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（） A ．2m =- B ．3m =C ．3m =或2m =-D ．3m =-或2m =【答案】A 【解析】设1x ，2x 是2220x mx m m +++=的两个实数根， ∴40m ∆=-≥， ∴0m ≤，∴122x x m +=-，212x x m m ⋅=+， ∴()2221212122x x x x x x +=+-⋅2224222212m m m m m =--=-=，∴3m =或2m =-， ∴2m =-， 故选A ．11．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，则22019a b -+的值是( ) A ．2023 B ．2021 C ．2020 D ．2019【答案】A 【解析】a ，b 是方程230x x +-=的两个实数根，∴23b b =-，1a b +=-，3ab =， ∴222201932019a b a b -+=-++()2220161620162023a b ab =+-+=++=；故选A ．12．若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k ≥ B ．0k ≥且2k ≠ C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠【答案】D 【解析】（k-2）x 2-2kx+k-6=0，∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根，∴220(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨=----⎩…， 解得：32k ≥且k≠2． 故选D ． 二、填空题13．若方程2410x x -+=的两根是12x x ，，则122(1)x x x ++的值为________． 【答案】5 【解析】根据题意得121241x x x x ==＋，，所以12211221212141()5x x x x x x x x x x x ++=++=++=+=.故答案为5.14．已知1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，则2212x x +=______________ 【答案】2【解析】∵x 1、x 2是方程x 2−2x −1＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝2，x 1×x 2＝−1，∴x 12＋x 22＝（x 1＋x 2）2−2x 1x 2＝22−2×（−1）＝6． 故答案为：6．15．已知a ，b 是方程x 2+2017x +2=0的两个根，则（2+2019a +a 2）（2+2019b +b 2）的值为______． 【答案】8． 【解析】∵a，b 是方程x 2+2017x+2=0的两个根， ∴2+2017a+a 2=0，2+2017b+b 2=0，ab=2，∴（2+2019a+a 2）（2+2019b+b 2）=（2+2017a+2a+a 2）（2+2017b+2b+b 2）=4ab=8， 故答案为：8．16．若a 、b 是关于一元二次方程x 2+x ﹣3＝0的两实数根，则11a b+的值为_____．【答案】13【解析】∵a 、b 是关于一元二次方程230x x +-=的两实数根， ∴13a b ab +=-=-， ，∴111133a b a b ab +-+===- ，故答案为：13．三、解答题17．关于x 的一元二次方程2380x mx =＋－有一个根是23，求该一元二次方程的另一个根及m 的值．【答案】该一元二次方程的另一个根是－4，m 的值为10. 【解析】设方程的另一个根为t .依题意得22238033m ⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭，解得10.m =又2833t =-，所以4t ＝－. 故该一元二次方程的另一个根是－4，m 的值为10.18.已知关于x 的方程x 2﹣2kx+k 2﹣k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1﹣3x 2＝2，求k 的值． 【答案】（1）k ＞﹣1；（2）k ＝3． 【解析】（1）△＝（﹣2k ）2﹣4（k 2﹣k ﹣1）＝4k+4＞0， ∴k＞﹣1；（2）∵1212322x x x x k -=⎧⎨+=⎩，∴1231212k x k x +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∵x 1•x 2＝k 2﹣k ﹣1，∴14（3k+1）（k ﹣1）＝k 2﹣k ﹣1，∴k 1＝3，k 2＝﹣1， ∵k＞﹣1， ∴k＝3．19．按指定的方法解方程()21(9)250x +-=(直接开平方法) ()226160x x --=(配方法) ()()()33121x x x -=-(因式分解法)()242720x x -+=(公式法)【答案】(1)1x 4=-，2x 14=-；(2)1x 8=，2x 2=-；(3)12x 3=，2x 1=；(4)x =．【解析】()1方程变形得：2(x 9)25+=，开方得：x 95+=或x 95+=-， 解得：1x 4=-，2x 14=-；()2方程变形得：2x 6x 16-=，配方得：2x 6x 925-+=，即2(x 3)25-=， 开方得：x 35-=或x 35-=-， 解得：1x 8=，2x 2=-；()3方程变形得：()()3x x 12x 10---=，分解因式得：()()3x 2x 10--=， 解得：12x 3=，2x 1=； ()4这里a 2=，b 7=-，c 2=，∵491633=-=，∴x =．20．已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的两个实数根，使得(3x 1-x 2)(x 1-3x 2)=-80成立，求其实数a 的可能值【答案】a=-335.【解析】∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的两个实数根，a=1，b=(3a-1)，c=2a 2-1，∴x 1+x 2=-ba =-(3a-1)，x 1•x 2=ca =2a 2-1， ∵(3x 1-x 2)(x 1-3x 2)=-80，∴3x 12-10x 1x 2+3x 22=-80，即3(x 1+x 2)2-16x 1x 2=-80， ∴3[-(3a-1)]2-16(2a 2-1)=-80， ∴5a 2+18a-99=0， ∴a=3或-335， 当a=3时，方程x 2+(3a-1)x+2a 2-1=0的△＜0， ∴不合题意，舍去∴a=-33521．已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根. （1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.【答案】（1）134m ≤；（2）1. 【解析】（1）△=2222(21)41(3)441412413m m m m m m --⨯⨯-=-+-+=-+ ∵原方程有实根，∴△=4130m -+≥ 解得134m ≤（2）当m=2时，方程为x 2+3x+1=0， ∴x 1+x 2=-3，x 1x 2=1， ∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1=0，x 22+3x 2+1=0，∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）=（x 12+2x 1+x 1-x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）=（-1-x 1）（-1+x 2+2）=（-1-x 1）（x 2+1）=-x 2-x 1x 2-1-x 1=-x 2-x 1-2=3-2=1．22．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +3）x +m 2+2＝0．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22＝31+|x 1x 2|，求实数m的值．【答案】（1）m ≥﹣112；（2）m ＝2．【解析】（1）根据题意得（2m +3）2﹣4（m 2+2）≥0，解得m ≥﹣112；（2）根据题意x 1+x 2＝2m +3，x 1x 2＝m 2+2，因为x 1x 2＝m 2+2＞0，所以x 12+x 22＝31+x 1x 2，即（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2﹣31＝0，所以（2m +3）2﹣3（m 2+2）﹣31＝0，整理得m2+12m﹣28＝0，解得m1＝﹣14，m2＝2，而m≥﹣1；12所以m＝2．。
2023年中考物理二轮核心专题11 光学、热学重点实验(解析版)
专题11：光学、热学重点实验实验一：探究凸透镜成像的规律1．（2022•滨州）小滨同学“探究凸透镜成像的规律”。
（1）如图甲所示，小滨让凸透镜正对平行光，调整凸透镜到光屏的距离，光屏上会出现一个很小、很亮的光斑，则该凸透镜的焦距f＝cm。
（2）小滨在组装器材时，将蜡烛、凸透镜和光屏依次放在光具座上，点燃蜡烛并调节烛焰、凸透镜、光屏的中心在同一高度上，目的是让烛焰的像成在。
（3）如图乙所示，小滨将凸透镜固定在50cm刻度线处，当蜡烛距凸透镜15cm时，移动光屏，可在光屏上得到一个倒立、（选填“缩小”、“等大”或“放大”）的实像，利用该成像规律制成的光学仪器是（选填“照相机”、“投影仪”或“放大镜”）。
此时，若在凸透镜与光屏之间放置一远视镜片，要在光屏上成清晰的像，光屏应向（选填“左”或“右”）移动。
（4）小滨在实验过程中，光屏上得到清晰的像，突然，一只飞虫落到了凸透镜表面上，则光屏上出现。
A.飞虫的像B.飞虫的影子C.仍是烛焰的像【解答】解：（1）如图甲所示，小滨让凸透镜正对平行光，调整凸透镜到光屏的距离，光屏上会出现一个很小、很亮的光斑，此光斑位置即为凸透镜的焦点位置，则该凸透镜的焦距f＝30.0cm﹣20.0cm＝10.0cm；（2）小滨在组装器材时，将蜡烛、凸透镜和光屏依次放在光具座上，点燃蜡烛并调节烛焰、凸透镜、光屏的中心在同一高度上，目的是让烛焰的像成在光屏的中央；（3）如图乙所示，小滨将凸透镜固定在50cm刻度线处，当蜡烛距凸透镜15cm时，f＜u＜2f，移动光屏，可在光屏上得到一个倒立、放大的实像，利用该成像规律制成的光学仪器是投影仪；此时，若在凸透镜与光屏之间放置一远视镜片，远视镜片为凸透镜，对光线有会聚作用，要在光屏上成清晰的像，光屏应向左移动；（4）凸透镜成实像时，所有透过透镜的光会聚到光屏上成像，飞虫落在透镜上后，整个物体发出的光虽有一小部分被挡住，但总会有一部分光通过凸透镜而会聚成像，因此，像与原来相同，大小不变；由于透镜的一小部分被遮住，因此折射出的光线与原来相比减少了，故亮度会变暗，故选C。
专题11 一元二次函数的最值问题(解析版)
专题11 一元二次函数的最值问题一、知识点精讲1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值244ac b a-，无最小值．2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =； 第二步：讨论：[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。
[2] 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论：①对称轴02m nx +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02m nx +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧；说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况。
二、典例精析【典例1】求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ． 【答案】见解析【分析】：由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．【解析】：（1）因为二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，所以抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ，所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-． （2）因为二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，所以抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ，所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值425 【典例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．【说明】：二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【典例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 【答案】见解析 【解析】：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 【典例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 【答案】见解析【分析】：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．【解析】：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522y t t =--；(2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时： 当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩ 【典例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 【答案】见解析【解析】(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．三、对点精练1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点． 【答案】4,14或2，32【解析】当m=4时图象的顶点在y 轴上，当m =14或2时，图象的顶点在x 轴上，当m =32时图象过原点。
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(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点： 一是抽签是否方便；
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二是号签是否易搅匀． 一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法． (2)在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三 个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去． (3)简单随机抽样需满足： ①被抽取的样本总体的个体数有限； ②逐个抽取； ③是不放回抽取； ④是等可能抽取．
要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机
抽样的四个特点：有限性、逐一性、不放回性、等可能性．
①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便体中逐个地进行抽取，便于实践中操作． ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算． ④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平性．
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1．某公司有 350 名员工参加了今年的年度考核.为了了解这 350 名员工的考核成绩，公司决定从中抽取 50
名员工的考核成绩进行统计分析.在这个问题中，50 名员工的考核成绩是
A．总体
B．样本容量
C．个体
D．样本
【答案】D
【解析】因为本题是从 350 名员工的考核成绩中抽取 50 名员工的考核成绩，所以 50 名员工的考核成绩
专题 11 统计
易错点 1 不能正确区分总体、样本、样本容量
为了了解 2019 年参加市运动会的 240 名运动员的身高情况，从中抽取 40 名运动员进行测量．下列 说法正确的是 A．总体是 240 名运动员 B．个体是每一名运动员 C．40 名运动员的身高是一个个体 D．样本容量是 40 【错解】选择 A、B、C 中的一个. 【错因分析】对于选项 A、B，对总体、个体、样本的概念把握不准，误将考察的对象当作运动员；对于选项 C，把个体和样本混淆致误． 【试题解析】选 D．根据统计的相关概念并结合题意可得，此题的总体、个体、样本这三个概念的考察对 象都是运动员的身高，而不是运动员，并且一个个体是指一名运动员的身高，选项 A，B 表达的对象都是运 动员，选项 C 未将个体和样本理解透彻．在这个问题中，总体是 240 名运动员的身高，个体是每名运动员 的身高，样本是 40 名运动员的身高，样本容量是 40.因此选 D． 【参考答案】D．
2．已知下列抽取样本的方式： ①从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本； ②盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出 1 个零件进行 质量检验后再把它放回盒子里；
③从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验； ④某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛． 其中，不是简单随机抽样的个数是
简单随机抽样在抽样过程中每一个个体被抽取的机会都相等(随机抽样的等可能性).若样本容量为 n,总体
的个体数为 N,则用简单随机抽样时,每一个个体被抽到的可能性都是 n ,体现了这种抽样方法的客观性和公 N
平性.
易错点 3 对系统抽样的特点理解不到位
从 2003 名学生中抽取一个容量为 40 的样本,应如何抽取? 【错解】将 2003 名学生按 0001 到 2003 编上号;将号码随机分成 40 份,每一份再用抽签法随机抽取一名学生, 即得到了一个容量为 40 的样本. 【错因分析】由于 2003 不能被 40 整除,误以为只能用简单随机抽样进行抽取,对两种抽样方法的特点理解不 到位. 【试题解析】先将 2003 名学生按 0001 到 2003 编上号,利用随机数表法从中剔除 3 名学生,再对剩余的 2000 名学生重新从 0001 到 2000 编号,按编号顺序分成 40 组,每组 50 人,先在第一组中用抽签法抽出某一号,如 0006, 依次在其他组抽取 0056,0106,…,1956,这样就得到了一个容量为 40 的样本. 【参考答案】见试题解析
是样本，故选 D.
易错点 2 对随机抽样的概念理解不透彻
对于下列抽样方法: ①运动员从 8 个跑道中随机抽取 1 个跑道;②从 20 个零件中一次性拿出 3 个来检验质量;③某班 50 名学生, 指定其中成绩优异的 2 名学生参加一次学科竞赛;④为了保证食品安全,从某厂提供的一批月饼中,拿出一个 检查后放回,再拿一个检查,反复 5 次,拿了 5 个月饼进行检查.其中,属于简单随机抽样的是_______.(把正确的 序号都填上) 【错解】②③④ 【错因分析】对简单随机抽样的概念理解不透彻. 【试题解析】对于②,一次性拿出 3 个来检验质量,违背简单随机抽样特征中的“逐个”抽取;对于③,指定其中成 绩优异的 2 名学生,不满足等可能抽样的要求;对于④,不满足不放回抽样的要求.故填①. 【参考答案】①
1．明确相关概念 对总体、个体、样本、样本容量的概念要熟练把握，要明确总体与样本的包含关系及样本与样本容量的 区别，如本例选项 C，是对概念把握不准．
2．注意考察对象 解决考查总体、个体、样本、样本容量的概念问题时，关键是明确考察对象，根据相关的概念可知总体、 个体与样本的考察对象是相同的，如本例中选项 A，B 表达的对象都是运动员的身高而不是运动员．
1．当总体容量较大,总体可以分为均匀的几个部分时,用系统抽样较为合理,但当总体容量除以样本容量不是 整数时,要先在总体中剔除部分个体.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】①不是简单随机抽样，原因是简单随机抽样中总体的个数是有限的，而题中是无限的；②不是
简单随机抽样，原因是简单随机抽样是不放回地抽取，而题中是放回地；③不是简单随机抽样，原因是
简单随机抽样是逐个抽取，而题中是一次性抽取；④不是简单随机抽样，原因是个子最高的 5 名同学是 56 名同学中特定的，不存在随机性，不是等可能抽样． 故选择 D． 【名师点睛】简单随机抽样的特征