复变函数考试试题一解读
复变函数题库(包含好多考试卷,后面都有问题详解)
5.如z0是函数f(z)的本性奇点，则 一定不存在. ( )
6.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )
7.若f(z)在区域D解析,则对D任一简单闭曲线C .
( )
8.若数列 收敛，则 与 都收敛. ( )
9.若f(z)在区域D解析，则|f(z)|也在D解析. ( )
1.设 ，则 .
2.若 ，则 ______________.
3.函数ez的周期为__________.
4.函数 的幂级数展开式为__________
5.若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.
，
证明 是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）
一. 判断题. (20分)
1.若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.（）
2.若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（）
3.函数 与 在整个复平面有界.（）
4.若f(z)在区域D解析，则对D任一简单闭曲线C都有 .
7.方程 在单位圆的零点个数为________.
8.设 ，则 的孤立奇点有_________.
9.函数 的不解析点之集为________.
10. .
三.计算题. (40分)
1.求函数 的幂级数展开式.
2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域取定函数 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 处的值.
3.计算积分： ，积分路径为（1）单位圆（ ）的右半圆.
4.求 .
四.证明题. (20分)
1.设函数f(z)在区域D解析，试证：f(z)在D为常数的充要条件是 在D解析.
复变函数考试试题及参考答案
复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。
答案：$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。
答案：$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。
答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。
答案：$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。
答案：实部为3，虚部为28.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。
答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。
答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。
答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。
复变函数习题及答案解释
第一篇 复变函数第一章 复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.（1） 72)52)(43(ii i −+；（2） .4218i i i +−2. 当x ，y 等于什么实数时，等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立？3.证明：（1）;2z z z = （2）1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值： （1）();35i −（2）().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ，证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围：（1）;65=−z（2）;12≥+i z（3）.i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域，并指出它是有界的还是无界的： （1）;32≤≤z（2）.141+<−z z9.将方程tt z 1+=（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章 复习题1.单项选择题（1）设iy x z +=，y x ≠||，4z 为实数，则（ ）.A ．0=xy B.0=+y x C ．0=−y x D.022=−y x（2）关于复数幅角的运算，下列等式中正确的是（ ）. A ．Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C ．2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += （3）=+31i （ ）.A ．ie 62πB.ie 62π−C ．ie 62π± D.i e62π±（4）2210<++<i z 表示（ ）. A ．开集、非区域 B.单连通区域 C ．多连通区域 D.闭区域（5）z i z f =−1，则()=+i f 1（ ）.A ．1 B.21i+ C ．21i− D.i −1 （6）若方程1−=z e ，则此方程的解集为（ ）.A ．空集 B.π)12(−=k z ，（k 为整数） C ．i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立？3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −，)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−，i i e41π+，i 3和ii )1(+值.第二章 导数1．下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域，并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f（3）(),dcz baz z f ++=（d c ,中至少有一个不为0）.3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值.4.证明：如果()z f 在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那么是常数. （1）()z f 恒取实值. （2）)(z f 在区域D 内解析. （3）()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在？（1）())Re(z z f =；（2）())Im(z z f =.6.证明；,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章 复习题1.单项选择题（1）函数()z f w =在点0z 可导是可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（2）函数()z f w =在点0z 可导是连续的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（3）函数()),(),(y x iv y x u z f +=，则在()00,y x 点，v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（4）函数()22ix xy z f −=，那么（ ）. A ．()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C ．()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导（5）若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ，,),(xy y x v =()iv u z f +=，则()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C ．()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微（6）若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=， 那么()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C ．()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ （7）函数()z z z f = ，则（ ）. A ．()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C ．()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导（8）设()34−=′z z f ，且()i i f 31−=+，则()=z f （ ）.A ． i z z −−322 B. i z z 3322+− C ．i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域，并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点，而()z g 在0z 解析，那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数，那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章 积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .（1）自原点至1+i 的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i ；（3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫，其中C 为正向圆周，2=z .4.计算下列积分 ，其中C 为正向圆周，1=z . （1）;21dz z C ∫− （2）;4212dz z z C ∫++（3）;cos 1dz zC ∫ （4）;211dz z C∫−（5）;dz ze Cz ∫（6）().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分：（1）dz z C ∫−21，C ：12=−z ；（2）dz a z C ∫−221，C: a a z =−；（3）,3dz z zC ∫− C ：2=z ；（4）()()dz z z C∫++41122，C ：23=z ；（5）dz zzC ∫sin ，C ：1=z ； （6）dz z zC∫−22sin π，C ：2=z .6.计算下列各题： （1）∫−ii z dz e ππ32；（2）∫−iizdz ππ2sin ；（3）.)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分：（1）dz i z z C ∫+++2314，C ：4=z ，正向； （2）dz z iC ∫+122，C ：61=−z ，正向； （3）,cos 213dz z zC C C ∫+= 1C ：2=z ，正向，2C ：3=z ，负向；（4）dz i z C ∫−1，C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形； （5）()dz a z eC z∫−3；其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z ，正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线，a 为不等于0的任何复数，试就a 与a −跟C 的各种不同位置，计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章 复习题1.单项选择题.（1）设C 为θi e z =，θ从2π−到2π的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．i B.2i C ．-2i D.- i（2）设C 是从0=z 到i z +=1的直线段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1+i B.21i+ C ．i e4π− D. ie 4π（3）设C 为θi e z =，θ从0到π的一段，则=∫Czdz arg （ ）.A ．i 2−−π B. π− C ．i 2+π D. i 2−π（4）设C 为t i z )1(−=，t 从1到0的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1 B.-1 C ．i D.- i（5）设C 为1=z 的上半部分逆时针方向，则=−∫Cdz z )1(（ ）.A ．2i B.2 C ．-2i D.- 2（6）设C 为θi e z 21=，正向，则=−∫C z dz e e zsin （ ）.A ．sin1 B.e i 1sin 2π C ．e i 1sin 2π− D.0（7）=++∫=dz z z z 12221（ ）.A ．i π2 B.i π2− C ．0 D.π2 （8）设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度，则=+∫C dz z )1sin(（ ）.A ．0 B.2cos − C ．12cos − D. 12cos − （9）=++∫=+dz z z e z z 232)1(232（ ）. A ．0 B.i π32C ．i π2 D. i π2−（10）=++∫=dz z z zz 121682cos π（ ）A ．0 B.i π C ．i π− D. i π2.（11）=+∫=dz z zz 221（ ）.A ．0 B.i π2 C ．i π2− D. i π（12）=∫=dz z e z z12（ ）.A ．i π2 B. i π C ．0 D. π （13）1322z z z e dz ==∫（ ）.A ．i π2 B. i π16 C ．i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12，其中Γ是圆环域：221≤≤z 的边界.3.（1）证明：当C 为任何不经过原点的闭曲线时，则;012=∫dz zC（2）沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C（3）沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C ：2=z ，试求()i f ，()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C ：.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ，求().z f ′第四章 级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径：()为正整数）；p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内；在以i z i z z =−,142第四章 复习题1.单项选择题：()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛，能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章 留数1.判断下列函数奇点的类型，如果是极点，指出它的阶数：()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向）.();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点？并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值，如果：求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分，C 为正向圆周：()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分：();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章 复习题1.单项选择题：()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型，并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题：(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为（）. (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).Ａ. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域 Ｂ. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题：1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇 积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章：,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.（1）以z =5为圆心，6为半径的圆；（2）以z =-2i 为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部；（3）i 和i 两点的连线的中垂线. 8.（1）圆环形闭区域，有界； （2）中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域，无界. 9．xy =1。
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx
---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数期末考试复习题及答案详解
《复变函数》考试试题（一）三 . 计算题（ 40 分）：dz1、|z z 0 | 1 ( z z )n__________. （ n 为自然数）f ( z)12.sin 2 z cos 2z _________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)14. z 2 1 ，则f ( z)的孤立奇点有 __________.设 5. 幂级数nz n的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ... z n7. 若 n，则 nn ______________.Res(ez8.n,0)z________，其中 n 为自然数 .9.sin z的孤立奇点为 ________ .z10. 若zlimf (z) ___是f (z) 的极点，则z z.1. 设( z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1}内的罗朗展式 .1dz.2.|z| 1cos zf ( z) 3 2 71，其中 C { z :| z |3} ，试求 f '(1 i ).3.d设Czwz 14. 求复数 z 1 的实部与虚部 .四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数， 那么它在 D 内为常数 .2. 试证 :f (z)z(1 z) 在割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 Re z 1 上岸取正值的那支在 z 1 的值 .《复变函数》考试试题（二）二. 填空题 . (20 分)1.设z i ，则| z |__,arg z__, z__2.设 f ( z)(x2 2 xy) i (1 sin( x2y2 ), z x iy C，则lim f (z)________.z1idz_________. （n为自然数）3.|z z0 |1 ( z z )n4.幂级数nz n的收敛半径为 __________ .n05.若 z0是 f(z) 的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f ' ( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.18.设 f ( z)1z2，则 f ( z) 的孤立奇点有_________.9.函数 f (z)| z |的不解析点之集为________.10.Res( z41,1)____ . z三.计算题 . (40 分)1.求函数sin(2z3)的幂级数展开式 .2. 在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z i 处的值.计算积分： Ii1）单位圆（| z |1）3.| z | dz，积分路径为（i的右半圆 .sin zdzz22( z)4.求2.四. 证明题 . (20 分)1.设函数 f(z) 在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z)在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（三）二. 填空题 .(20 分)11.设 f ( z)，则f(z)的定义域为___________.z212.函数 e z的周期为_________.3.若 z nn 2 i (1 1 )n，则 lim z n __________.1 nn n4. sin 2 z cos 2z___________.dz5.|z z 0 | 1 ( z z )n_________. （ n 为自然数）6.幂级数nx n的收敛半径为 __________.n 07.设f (z)1，则 f ( z ) 的孤立奇点有 __________.z218. 设ez1，则 z___ .9.若z 0 是 f (z) 的极点，则 limf ( z) ___ .z z 010.Res( e z,0)____.z n三. 计算题 . (40分)11.将函数 f ( z)z 2e z在圆环域 0z内展为 Laurent 级数 .n!n2. 试求幂级数nnz的收敛半径 .n3. 算下列积分：e zdz，其中C 是| z| 1.Cz 2 (z29)4. 求z 9 2z 6z28z 2 0 在 | z |<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及 M ，使得当| z|R 时| f (z) |M | z |n ，证明f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数模拟考试题参考解答
f (z)
1 cos z 1
2 z2
的
(
).
(A) 可去奇点
(B) 一阶极点
(C) 二阶极点
【答案】 A
【解析】
(D) 本性奇点
1 cos z 1
2 z2
2 z2
z2
1 z4
2 z2
2 z2
1 6
z2 120
1 6
z2 120
,
2! 4!
【解析】由对数的运算性质有
Ln(z12 z22 ) Ln z12 Ln z22 ，但 Ln z2 2 Ln z ，例如取 z 1则容易验证，故选（B）.其他
等式均可由相应的运算法则得到.
6.设 D 为复平面除去上半虚轴的割缝区域，w z 为该区域上的单值分支，且 w(1) i ，
z(z 2) (1 z)2
在
z
0 处等于零，所以该函数非单叶
解析函数,故选（B）.可以用定义验证其他函数在单位圆盘内是单叶解析的，如（D）的函数，
由于
1
z1 z12
z2 1 z22
(z1 z2 )(z1z2 1) (1 z12 )(1 z22 )
，易知该函数在
z
1内是单叶的.
（B）必要但非充分条件 （D）既非充分条件也非必要条件
【解析】由定义 f (z) 在点 z 解析要求 f (z) 在点 z 的一个邻域内可导，因此在 z 处一定可导.
但反之则不成立，例如函数 f (z) z 2 在 z 0 处可导但不解析，故选（B）.
复变函数习题解答(第1章)
p44第一章习题(一)[ 13, 16, 17 , 20]13. 试证arg z ( -π < arg z ≤π )在负实轴(包括原点)上不连续，除此而外在z平面上处处连续．【解】记f(z) = arg z，D = \{ z∈ | Im(z) = 0，Re(z) ≤ 0}，D1 = { z∈ | Re(z) > 0}，D2 = { z∈ | Im(z) > 0}，D3 = { z∈ | Im(z) < 0}．(1) 首先，f(z)在原点无定义，故f(z)在原点处不连续．(2) 设a∈ ，且a < 0．则f(a) = π．考察点列z n = | a | (cos(1/n-π)+ i sin(1/n-π))，n∈ +．显然，-π < 1/n-π≤π，故f(z n) = 1/n-π．而lim n→∞z n = lim n→∞( | a | (cos(1/n-π)+ i sin(1/n-π)) ) = a，但lim n→∞f(z n) = lim n→∞(1/n-π) = -π≠f(a)．故f(z)在a处不连续．(3) 下面证明f(z)在D1, D2, D3这三个区域上都连续．设z = x + i y，x, y∈ ．(3.1) 在D1上，f(z) = arctan(y/x)，因arctan(y/x)是{(x, y)∈ 2 | x > 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D1上的连续函数．(3.2) 在D2上，f(z) = arccot(x/y)，因arccot(x/y)是{(x, y)∈ 2 | y > 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D2上的连续函数．(3.3) 在D3上，f(z) = arccot(x/y) -π，因arccot(x/y) -π是{(x, y)∈ 2 | y < 0 }上的二元连续函数，故f(z)是D3上的连续函数．(4) 最后证明f(z)是D = \{ z∈ | Im(z) = 0，Re(z) ≤ 0}上的连续函数．∀a∈D，因为D = D1⋂D2⋂D3，故存在k (k = 1, 2, 3)，使得a∈D k．因D k是开集故存在r > 0，使得U r(a) = { z∈ | | z –a | < r } ⊆D k．根据(3)，f(z)在D k上是连续的，故∀ε > 0，∃η> 0，使得∀z∈D k，当| z–a | < η时，| f(z) -f(a) | < ε．设δ= min { r, η}，则∀z∈D，当| z–a | < δ时，z∈U r(a) ⊆D k，又因| z–a | < δ< η，故必有| f(z) -f(a) | < ε．所以，f在a处连续．由a的任意性，f(z)是上的连续函数．[连续性部分的证明可以用几何的方法，而且写起来会简单些．但我们之所以选择这个看起来很复杂的方法，是可以从这里看出θ(z) = arg(z)作为(x, y)的二元函数，在D1, D2, D3上都有很明显的可导的表达式，因此它在区域D上不仅是连续的，而且是连续可导二元函数：θx = y/(x2 + y2)，θy = -x/(x2 + y2)．证明中的第四部分并不是多余的，这是因为若f在两个集合A, B上都连续(即使它们有公共的部分)，一般说来，并不能保证f在两个集合A⋂B上也连续．问题：若f在区域A, B上都连续，且A ⋃B ≠∅，问f在A⋂B上是否必连续？] 16. 试问函数f(z) = 1/(1 –z )在单位圆| z | < 1内是否连续？是否一致连续？【解】(1) f(z)在单位圆| z | < 1内连续．因为z在 内连续，故f(z) = 1/(1 –z )在 \{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆| z | < 1内连续．(2) f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．令z n= 1 – 1/n，w n= 1 – 1/(n + 1)，n∈ +．则z n, w n都在单位圆| z | < 1内，| z n-w n | → 0，但| f(z n)-f(w n)| = | n - (n + 1) | = 1 > 0，故f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．[也可以直接用实函数f(x) = 1/(1 –x )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E = { z∈ | Im(z) = 0, 0 < Re(z) < 1 }上的限制即可．]17. 试证：复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限的充要条件是实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．【解】(⇒) 若复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限，则∀ε > 0，∃N∈ +，使得∀n > N，有| z n -z0| < ε．此时有| x n -x0| ≤ | z n -z0| < ε；| y n -y0| ≤ | z n -z0| < ε．故实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．(⇐) 若实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限，则∀ε > 0，∃N1∈ +，使得∀n > N1，有| x n -x0| < ε/2；∃N2∈ +，使得∀n > N2，有| y n -y0| < ε/2．令N = max{N1, N2}，则∀n > N，有n > N1且n > N2，故有| z n -z0| = | (x n -x0) + i (y n -y0)| ≤ | x n -x0| + | y n -y0| < ε/2 + ε/2 = ε．所以，复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限．20. 如果复数列{z n}合于lim n→∞z n = z0≠∞，证明lim n→∞ (z1 + z2 + ... + z n)/n = z0．当z0≠∞时，结论是否正确？【解】(1) ∀ε > 0，∃K∈ +，使得∀n > K，有| z n -z0| < ε/2．记M = | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |，则当n > K时，有| (z1 + z2 + ... + z n)/n-z0 | = | (z1-z0) + (z2-z0) + ... + (z n-z0) |/n≤ ( | z1-z0 | + | z2-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n= ( | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |)/n + ( | z K +1-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n≤M/n + (n-K)/n · (ε/2) ≤M/n + ε/2．因lim n→∞ (M/n) = 0，故∃L∈ +，使得∀n > L，有M/n < ε/2．令N = max{K, L}，则当n > K时，有| (z 1 + z 2 + ... + z n )/n - z 0 | ≤ M /n + ε /2 < ε /2 + ε /2 = ε．所以，lim n →∞ (z 1 + z 2 + ... + z n )/n = z 0．(2) 当z 0 ≠ ∞时，结论不成立．这可由下面的反例看出．例：z n = (-1)n · n ，n ∈ +．显然lim n →∞ z n = ∞．但∀k ∈ +，有(z 1 + z 2 + ... + z 2k )/(2k ) = 1/2，因此数列{(z 1 + z 2 + ... + z n )/n }不趋向于∞．[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的．]p45第一章习题(二)[ 6, 8, 9, 11, 12 ]6. 设| z | = 1，试证：| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1．(z *表示复数z 的共轭)【解】此题应该要求b * z + a * ≠ 0．| a z + b | = | (a z + b )* | = | a * z * + b * | = | a * z * + b * | · | z | = | (a * z * + b *) · z | = | a * z * · z + b * · z | = | a * | z |2 + b * · z | = | b * z + a * |．故| (a z + b )/(b * z + a * ) | = 1．8. 试证：以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件为111332211w z w z w z = 0． 【解】两个三角形同向相似是指其中一个三角形经过(一系列的)旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形(注意没有反射变换)．例如z'z 312我们将采用下述的观点来证明：以z 1, z 2, z 3为顶点的三角形和以w 1, w 2, w 3为顶点的三角形同向相似的充要条件是：将它们的一对对应顶点都平移到原点后，它们只相差一个位似旋转． 记f 1(z ) = z - z 1 (将z 1变到0的平移)；f 3(z ) = z - w 1 (将0变到w 1的平移)； 那么，三角形z 1z 2z 3与三角形w 1w 2w 3同向相似⇔ 存在某个绕原点的旋转位似变换f 2(z ) = z 0 z ，使得f 2 ( f 1(z k )) = f 3(w k )，(k = 2, 3)，其中z 0∈ \{0}⇔ 存在z 0∈ \{0}，使得z 0(z k - z 1) = w k - w 1，(k = 2, 3)⇔ (w 2 - w 1)/(z 2 - z 1) = (w 3 - w 1)/(z 3 - z 1)⇔ 13131212w w z z w w z z ----= 0⇔ 1110013131212w w z z w w z z ----= 0⇔ 111332211w z w z w z = 0．[证完]9. 试证：四个相异点z 1, z 2, z 3, z 4共圆周或共直线的充要条件是(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) : (z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)为实数．【解】在平面几何中，共线的四个点A , B , C , D 的交比定义为(A , B ; C , D ) = (AC /CB ) : (AD /DB )．这是射影几何中的重要的不变量．类似地，在复平面上，(不一定共线的)四个点z 1, z 2, z 3, z 4的交比定义为[z 1z 2, z 3z 4] = (z 1 – z 3)/(z 2 – z 3) : (z 1 – z 4)/(z 2 – z 4)．本题的结论是说：复平面上四个点共圆或共线的充要条件是其交比为实数． (⇒) 分两种情况讨论(1) 若(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)为实数，则(z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)也是实数．设(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) = t ，t ∈ ．则z 4 = (1 – t )z 1 + t z 2，故z 4在z 1, z 2所确定的直线上，即z 1, z 2, z 4共线．因此，同理，z 1, z 2, z 3也共线．所以，z 1, z 2, z 3, z 4是共线的．(2) 若(z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)为虚数，则(z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)也是虚数．故Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) ≠ k π，Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)) ≠ k π．而Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) – Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2))= Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2) : (z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)) = k π．注意到Arg ((z – z 4)/(z – z 2)) = Arg ((z 4 – z )/(z 2 – z ))是z 2 – z 到z 4 – z 的正向夹角， 若Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) = Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2))，则z 1, z 3在z 2, z 4所确定的直线的同侧，且它们对z 2, z 4所张的角的大小相同， 故z 1, z 2, z 3, z 4是共圆的．若Arg ((z 1 – z 4)/(z 1 – z 2)) = Arg ((z 3 – z 4)/(z 3 – z 2)) + π，则z 1, z 3在z 2, z 4所确定的直线的异侧，且它们对z 2, z 4所张的角的大小互补， 故z 1, z 2, z 3, z 4也是共圆的．(⇐) 也分两种情况讨论(1) 若z1, z2, z3, z4是共线的，则存在s, t∈ \{0, 1}，使得z4 = (1 –s)z3 + s z2，z4 = (1 –t)z1 + t z2，那么，z3–z4 = s (z3 –z2)，即(z3–z4)/(z3–z2) = s；而z1–z4 = t (z1 –z2)，即(z1–z4)/(z1–z2) = t，所以，(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2) = t/s∈ ．(2) 若z1, z2, z3, z4是共圆的，若z1, z3在z2, z4所确定的直线的同侧，那么，Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) = Arg ((z4–z3)/(z2–z3))因此(z4–z1)/(z2–z1) : (z4–z3)/(z2–z3)是实数．也就是说(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2)是实数．若z1, z3在z2, z4所确定的直线的异侧，则Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) + Arg ((z2–z3)/(z4–z3)) = (2k + 1)π，故Arg ((z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2))= Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) – Arg ((z3–z4)/(z3–z2))= Arg ((z1–z4)/(z1–z2)) + Arg ((z3–z2)/(z3–z4))= Arg ((z4–z1)/(z2–z1)) + Arg ((z2–z3)/(z4–z3)) = (2k + 1)π，所以，(z1–z4)/(z1–z2) : (z3–z4)/(z3–z2)仍为实数．[证完]这个题目写的很长，欢迎同学们给出更简单的解法．11. 试证：方程| z -z1 |/| z -z2 | = k ( 0 < k ≠ 1，z1≠z2 )表示z平面的一个圆周，其圆心为z0，半径为ρ，且z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2)，ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |．【解】到两定点距离成定比的点的轨迹是圆或直线．当比值不等于1时，轨迹是一个圆，这个圆就是平面几何中著名的Apollonius圆．设0 < k ≠ 1，z1≠z2，z0 = (z1 -k2 z2)/(1-k2)，ρ = k | z1 -z2|/| 1-k2 |．∀z∈ ，| z -z0 | = ρ⇔| z - (z1 -k2 z2)/(1-k2)| = k | z1 -z2|/| 1-k2 |⇔| z(1-k2)- (z1 -k2 z2) | = k | z1 -z2 |⇔| (z -z1) -k2 (z-z2)| = k | z1 -z2|⇔| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | z1 -z2|⇔| (z -z1)/k-k (z-z2) | = | (z -z1)- (z-z2) |⇔| (z -z1)/k-k (z-z2) |2 = | (z -z1) - (z-z2) |2⇔| z -z1 |2/k2 + k2 | z-z2 |2 = | z -z1 |2 + | z-z2 |2⇔(1/k2 - 1)| z -z1 |2 = (1-k2 ) | z-z2 |2⇔| z -z1 |2/k2 = | z-z2 |2⇔| z -z1 |/| z-z2 | = k．[证完]直接地双向验证，可能需要下面的结论，其几何意义非常明显的．命题：若复数z, w≠ 0，则| | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| | = | w -z |．证明：我们用z*表示复数z的共轭．| | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| |2= | | z | ·w /| w| |2 + | | w| ·z /| z| |2- 2Re[( | z | ·w /| w|) · (| w| ·z /| z|)* ]= | z |2 + | w|2- 2Re( w ·z* ) = | w -z |2．或更直接地，| | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| |= | | z | ·w /| w| - | w| ·z /| z| | · | z*/| z| | · | w*/| w| |= | (| z | ·w /| w| - | w| ·z /| z|) ·(z*/| z|) · (w*/| w|) |= | (| z | · (z*/| z|) - | w| ·(w*/| w|)) | = | w -z |．12. 试证：Re(z) > 0 ⇔ | (1 -z)/(1 + z) | < 1，并能从几何意义上来读本题．【解】Re(z) > 0 ⇔点z在y轴右侧⇔点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的右侧⇔点z在点-1和点1为端点的线段的垂直平分线的与1同侧的那一侧⇔点z到点-1的距离大于点z到点1的距离⇔|1 + z | > | 1 -z | ⇔| (1 -z)/(1 + z) | < 1．不用几何意义可以用下面的方法证明：设z = x + i y，x, y∈ ．| (1 -z)/(1 + z) | < 1 ⇔|1 + z | > | 1 -z | ⇔|1 + z |2 > | 1 -z |2⇔ 1 + z2 + 2Re(z) > 1 + z2- 2Re(z) ⇔Re(z) > 0．[由本题结论，可知映射f(z) = (1 -z)/(1 + z)必然把右半平面中的点映射到单位圆内的点．并且容易看出，映射f(z)把虚轴上的点映射到单位圆周上的点．问题：f(z)在右半平面上的限制是不是到单位圆的双射？f(z)在虚轴上的限制是不是到单位圆周的双射？]∀∃∅-⨯±≠≥·◦≤≡⊕⊗≅αβχδεφγηιϕκλμνοπθρστυϖωξψζ∞∙︒ℵℜ℘∇∏∑⎰ ⊥∠ √§ψ∈∉⊆⊂⊃⊇⊄⊄∠⇒♣♦♥♠§ #↔→←↑↓⌝∨∧⋃⋂⇔⇒⇐∆∑ΓΦΛΩ∂∀m∈ +，∃m∈ +，★〈α1, α2, ..., αn〉lim n→∞，+n→∞∀ε > 0，∑u n，∑n≥ 1u n，m∈ ，∀ε > 0，∃δ> 0，【解】⎰[0, 2π]l 2 dx，f(x) = (-∞, +∞)[-π, π]∑1 ≤k≤n u n，[0, 2π]。
复变函数试题及答案解读
点列 = 以 为聚点
在点列 上,
由解析函数的唯一性定理
在 的邻域内 = 分
但在这个邻域内又有 矛盾
在 解析的函数 不存在 分
一、填空题（每小题2分）
1、复数 的指数形式是
2、函数 = 将 上的曲线 变成 ( )上
的曲线是
3、若 ,则 ＝
4、 =
5、积分 =
6、积分
7、幂级数 的收敛半径R=
8、 是函数 的奇点
9、
10、将点 ,i,0分别变成0,i, 的分式线性变换
二、单选题（每小题2分）
1、设 为任意实数，则 =（）
A无意义B等于1
A B
C D
三、判断题（每小题2分）
1、（）幂级数 在 <1内一致收敛
2、（）z= 是函数 的可去奇点
3、（）在柯西积分公式中，如果 ，即a在 之外，其它条件
不变，则积分 0，
4、（）函数 在 的去心邻域内可展成洛朗级数
5、（）解析函数的零点是孤立的
四、计算题（每小题6分）
1、计算积分 ，C： 1+ 的直线段
＝ = 分
2解: 为 一阶极点 分
为 二阶极点 分
分
分
…6分
3解： = …2分
= …5分
（0< <2）…6分
4解：在C内 有一个二阶极点 ＝0和
一个一阶极点 …1分
…3分
…5分
所以原式＝ i …6分
5解：令
…1分
= …3分
被积函数在 内的有一个
一阶极点
…5分
I= …6分
6解： 分
所以 分
于是所求变换 分
2、 =
《复变函数》考试试题与答案(一)
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( )9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰C dz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ）二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz __________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数0n n nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i)21______________. 8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分)1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案 一． 判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．×二．填空题1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 1 6. 整函数； 7. ξ； 8.1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞. 三．计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22n n n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→→=+===--, 22212Re ()lim lim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内,()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+.4. 解 令z a bi =+, 则222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a b i a b w z z a b a b a b-+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z b z a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则. 两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x y y uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =.所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数.2. 证明()f z =0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()f z =2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π, 故2(1)i f e π-==.。
(完整版)《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．×2．√ ３．√ ４．√ ５．√ 6．√ ７．×８．×９．×10．× 二．填空题 1. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 2. 1； 3. 2k π，()k z ∈； 4. z i =±； 5. 16. 整函数；7. ξ；8. 1(1)!n -； 9. 0； 10. ∞.三．计算题.1. 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑.2. 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-. 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰. 3. 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰.所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+. 4. 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++. 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b -=+++. 四. 证明题.1. 证明 设在D 内()f z C =.令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则.两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-. 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩. 消去x u 得, 22()0x u v v +=. 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数.2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =. 所以12,u c v c ==. (12,c c 为常数).所以12()f z c ic =+为常数. 2.证明()f z =0,1z =. 于是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π. 所以()f z =2π. 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（二）参考答案一. 判断题.1．√ ２．×３．√ ４．√ ５．×6．×７．×８．√ ９．×10．×. 二. 填空题1.1，2π-， i ； 2. 3(1sin 2)i +-； 3. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 4. 1； 5. 1m -. 6. 2k i π，()k z ∈. 7. 0； 8. i ±； 9. R ； 10. 0. 三. 计算题1. 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑.2. 解 令i z re θ=.则22(),(0,1)k if z k θπ+===.又因为在正实轴去正实值，所以0k =.所以4()if i eπ=.3. 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤.所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰.4. 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0.四. 证明题.1. 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====. 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.2. 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”.证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<.()f z =.由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相同个数的根. 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =. 因此n 次方程在z R <内有n 个根.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
《复变函数论》精彩试题库及问题详解
《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz__________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
高等教育自学考试全国统一命题考试复变函数与积分变换试卷及答案详解
20XX年（上）高等教育自学考试全国统一命题考试复变函数与积分变换试卷及答案详解第一部分选择题一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设z=1+2i，则Imz3= ( )A．－2 B．1C．8 D．142．z=(1+cost)+i(2+sint)，0≤t＜2－n所表示的曲线为( )A．直线B．双曲线C．抛物线D．圆3. In（－1）为( )A．无定义的B．0C．πi D．(2k +1)πi(k为整数)4．设z=z+iy，则(1+i)z2的实部为( )A．x2－y2+2xy B．x2－y2－2xyC．x2+y2+2xy D．x2+y2－2xy5．设z=z+iy，解析函数f(z)的虚部为v=y3－3x2y，则f(z)的实部u可取为( )A．x3－3xy2B．3xy2－x3C．3x2y－y3D．3y3－3x36．设C为正向圆周|z|=1，A. OB. 1C. πiD. 2πi7．设C为从－i到i的直线段，A. iB. 2iC. －iD. －2i8．设C为正向圆周|z|=1，A．2πi·sinl B．－2πiC．0 D．2πi9．A．－1 B．0C．1 D．不存在10.以z=0为本性奇点的函数是A．sinz/z B．1/[z(z－1)]C．(1－cosz)/z2D．sin(1/z)11．f(z)=1/e z－1在z=πi处的泰勒级数的收敛半径为A．πi B．2πiC．πD．2π12．A.OB. 1/10!C. 1D. 10!13．设函数，则Res[f(z)，－i]=A．0 B．－ie/4C．ie/4 D．e/414.把点z=l，i，－1分别映射为点w=∞，－1，0的分式线性映射为A．w=(z－1)/(z+1) B．w=i(z+1)/(1－z)C．w=(z+1)/(1－z) D．w=i(z－1)/(z+1)15.w=e z把带形区域0＜Imz＜2π映射成形平面上的A．上半复平面B．整个复平面C．割去负实轴及原点的复平面D．割去正实轴及原点的复平面第二部分非选择题二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
复变函数1到5章测试题及答案
第一章复数与复变函数(答案)一、选择题1．当时，的值等于（B ）ii z -+=115075100z z z ++（A ） （B ） （C ） （D ）i i -11-2．设复数满足，，那么（A ）z arg(2)3z π+=5arg(2)6z π-==z （A ） （B ） （C ） （D ）i 31+-i +-3i 2321+-i 2123+-3．复数的三角表示式是（D ）)2(tan πθπθ<<-=i z （A ） （B ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）（D ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若为非零复数，则与的关系是（C ）z 22z z -z z 2（A ） （B ）z z z z 222≥-z z z z 222=-（C ） （D ）不能比较大小z z zz 222≤-５．设为实数，且有，则动点y x ,yi x z yi x z +-=++=11,11211221=+z z 的轨迹是（B ）),(y x （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转，对应的复数为，则原向量对应的复数是（A ）3πi 31-（A ） （B ） （C ） （D ）2i 31+i -3i+3７．使得成立的复数是（D ）22z z =z（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数８．设为复数，则方程的解是（B ）z i z z +=+2（A ） （B ） （C ） （D ）i +-43i +43i -43i --43９．满足不等式的所有点构成的集合是（D ）2≤+-iz iz z （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域10．方程所代表的曲线是（C ）232=-+i z （A ）中心为，半径为的圆周 （B ）中心为，半径为２的圆周i 32-2i 32+-（C ）中心为，半径为的圆周 （D ）中心为，半径为２的圆周i 32+-2i 32-11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（B ）（A ） （B ）221=+-z z 433=--+z z （C ） （D ）)1(11<=--a azaz )0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设，则（C ）,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=12()f z z -=（A ） （B ） （C ） （D ）i 44--i 44+i 44-i 44+-13．（D ）000Im()Im()limz z z z z z →--（A ）等于 （B ）等于 （C ）等于 （D ）不存在i i -014．函数在点处连续的充要条件是（C ）),(),()(y x iv y x u z f +=000iy x z +=（A ）在处连续 （B ）在处连续),(y x u ),(00y x ),(y x v ),(00y x （C ）和在处连续（D ）在处连续),(y x u ),(y x v ),(00y x ),(),(y x v y x u +),(00y x15．设且，则函数的最小值为（A ）C z ∈1=z zz z z f 1)(2+-=（A ） （B ） （C ） （D ）3-2-1-1二、填空题1．设，则)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+==z 22．设，则)2)(32(i i z +--==z arg 8arctan -π3．设，则 43)arg(,5π=-=i z z =z i 21+-4．复数的指数表示式为 22)3sin 3(cos )5sin5(cos θθθθi i -+ie θ165．以方程的根的对应点为顶点的多边形的面积为 i z 1576-=６．不等式所表示的区域是曲线（或522<++-z z 522=++-z z ） 的内部1)23()25(2222=+y x ７．方程所表示曲线的直角坐标方程为 1)1(212=----zi iz 122=+y x ８．方程所表示的曲线是连接点 和 的线段的垂i z i z +-=-+22112i -+2i -直平分线９．对于映射，圆周的像曲线为zi =ω1)1(22=-+y x ()2211u v -+=10． =+++→)21(lim 421z z iz 12i -+三、若复数满足，试求的取值范围．z 03)21()21(=+++-+z i z i z z 2+z(（或）)]25,25[+-25225+≤+≤-z 四、设，在复数集中解方程.0≥a C a z z =+22(当时解为或10≤≤a i a )11(-±±)11(-+±a 当时解为)+∞≤≤a 1)11(-+±a 五、设复数，试证是实数的充要条件为或.i z ±≠21zz+1=z Im()0z =六、对于映射，求出圆周的像.)1(21zz +=ω4=z (像的参数方程为．表示平面上的椭圆)π≤θ≤⎪⎩⎪⎨⎧θ=θ=20sin 215cos 217v u w 1)215()217(2222=+v u 七、设，试讨论下列函数的连续性：iy x z +=1.⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,2)(22z z y x xyz f 2..⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,)(223z z y x y x z f (1．在复平面除去原点外连续，在原点处不连续；)(z f 2．在复平面处处连续))(z f 第二章 解析函数（答案）一、选择题：1．函数在点处是( B )23)(z z f =0=z（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导2．函数在点可导是在点解析的( B ))(z f z )(z f z （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( D )（A ）设为实数，则y x ,1)cos(≤+iy x （B ）若是函数的奇点，则在点不可导0z )(z f )(z f 0z （C ）若在区域内满足柯西-黎曼方程，则在内解析v u ,D iv u z f +=)(D （D ）若在区域内解析，则在内也解析)(z f D )(z if D 4．下列函数中，为解析函数的是( C )（A ） （B ）xyi y x 222--xyi x +2（C ） （D ）)2()1(222x x y i y x +-+-33iy x +5．函数在处的导数( A ))Im()(2z z z f =0z =（A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于 （D ）不存在1-6．若函数在复平面内处处解析，那么实常)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=数( C )=a （A ） （B ） （C ） （D ）0122-7．如果在单位圆内处处为零，且，那么在内( C ))(z f '1<z 1)0(-=f 1<z ≡)(z f （A ） （B ） （C ） （D ）任意常数011-8．设函数在区域内有定义，则下列命题中，正确的是( C ))(z f D （A ）若在内是一常数，则在内是一常数)(z f D )(z f D （B ）若在内是一常数，则在内是一常数))(Re(z f D )(z f D （C ）若与在内解析，则在内是一常数)(z f )(z f D )(z f D（D ）若在内是一常数，则在内是一常数)(arg z f D )(z f D 9．设，则( A )22)(iy x z f +==+')1(i f （A ） （B ） （C ） （D ）2i 2i +1i 22+10．的主值为( D )ii （A ） （B ） （C ） （D ）012πe 2eπ-11．在复平面上( A )ze （A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析（C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析12．设，则下列命题中，不正确的是( C )z z f sin )(=（A ）在复平面上处处解析 （B ）以为周期)(z f )(z f π2（C ） （D ）是无界的2)(iziz e e z f --=)(z f 13．设为任意实数，则( D )αα1（A ）无定义 （B ）等于1（C ）是复数，其实部等于1 （D ）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是( B )（A ） （B ） （C ） （D ）3)1(i -i cos i ln e 23π-15．设是复数，则( C )α（A ）在复平面上处处解析 （B ）的模为αz αz αz（C ）一般是多值函数 （D ）的辐角为的辐角的倍αz αz z α二、填空题1．设，则i f f +='=1)0(,1)0(=-→zz f z 1)(limi +12．设在区域内是解析的，如果是实常数，那么在内是 常数iv u z f +=)(D v u +)(z f D3．导函数在区域内解析的充要条件为 可微且满足x vix u z f ∂∂+∂∂=')(D xvx u ∂∂∂∂, 222222,xvy x u y x v x u ∂∂-=∂∂∂∂∂∂=∂∂4．设，则2233)(y ix y x z f ++==+-')2323(i f i 827427-5．若解析函数的实部，那么或iv u z f +=)(22y x u -==)(z f ic xyi y x ++-222为实常数ic z +2c 6．函数仅在点处可导)Re()Im()(z z z z f -==z i 7．设，则方程的所有根为 z i z z f )1(51)(5+-=0)(='z f 3,2,1,0),424sin 424(cos 28=π+π+π+πk k i k 8．复数的模为ii ),2,1,0(2L ±±=π-k ek 9．=-)}43Im{ln(i 34arctan -10．方程的全部解为01=--ze),2,1,0(2L ±±=πk i k 三、试证下列函数在平面上解析，并分别求出其导数z 1．（）;sinh sin cosh cos )(y x i y x z f -=;sin )(z z f -='2．（）);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=.)1()(ze z zf +='四、已知，试确定解析函数.22y x v u -=-iv u z f +=)(（.为任意实常数）c i z i z f )1(21)(2++-=c 第三章 复变函数的积分（答案）一、选择题：1．设为从原点沿至的弧段，则( D )c x y =2i +1=+⎰cdz iy x )(2（A ）（B ） （C ） （D ）i 6561-i 6561+-i 6561--i 6561+2．设为不经过点与的正向简单闭曲线，则为( D)c 11-dz z z zc ⎰+-2)1)(1(（A ）（B ） （C ） （D ）(A)(B)(C)都有可能2iπ2iπ-03．设为负向，正向，则( B )1:1=z c 3:2=z c =⎰+=dz zzc c c 212sin （A ）（B ） （C ） （D ）i π2-0iπ2iπ44．设为正向圆周，则( C)c 2=z =-⎰dz z zc2)1(cos （A ） （B ） （C ） （D ）1sin -1sin 1sin 2i π-1sin 2i π5．设为正向圆周，则 ( B)c 21=z =--⎰dz z z z c23)1(21cos（A ） （B ） （C ） （D ）)1sin 1cos 3(2-i π01cos 6i π1sin 2i π-6．设，其中，则( A )ξξξξd ze zf ⎰=-=4)(4≠z ='）i f π(（A ） （B ） （C ） （D ）i π2-1-i π217．设在单连通域内处处解析且不为零，为内任何一条简单闭曲线，则积分)(z f B c B( C )dz z f z f z f z f c⎰+'+'')()()(2)(（A ）于 （B ）等于 （C ）等于 （D ）不能确定i π2i π2-08．设是从到的直线段，则积分（ A ）c 0i 21π+=⎰cz dz ze （A ） (B) (C) (D) 21eπ-21eπ--i e21π+ie21π-9．设为正向圆周，则( A )c 0222=-+x y x =-⎰dz z z c1)4sin(2π（A ）（B ） （C ） （D ）i π22i π20i π22-10．设为正向圆周，则( C)c i a i z ≠=-,1=-⎰cdz i a zz 2)(cos （A ） （B ）（C ） （D ）ie π2eiπ20i i cos 11．设在区域内解析，为内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于．如果)(z f D c D D 在上的值为2，那么对内任一点,( C ))(z f c c 0z )(0z f （A ）等于0 （B ）等于1 （C ）等于2 （D ）不能确定12．下列命题中，不正确的是( D )（A ）积分的值与半径的大小无关⎰=--ra z dz az 1)0(>r r （B ）,其中为连接到的线段2)(22≤+⎰cdz iy xc i -i （C ）若在区域内有，则在内存在且解析D )()(z g z f ='D )(z g '（D ）若在内解析，且沿任何圆周的积分等于零，则)(z f 10<<z )10(:<<=r r z c 在处解析)(z f 0=z 13．设为任意实常数，那么由调和函数确定的解析函数是 ( D)c 22y x u -=iv u z f +=)((A) （B ） （C ） （D ）c iz +2ic iz +2c z +2ic z +214．下列命题中，正确的是(C)（A ）设在区域内均为的共轭调和函数，则必有21,v v D u 21v v =（B ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C ）若在区域内解析，则为内的调和函数iv u z f +=)(D xu∂∂D （D ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是( ),(y x v D ),(y x u D B )（A ） （B ）),(),(y x iu y x v +),(),(y x iu y x v -（C ） （D ）),(),(y x iv y x u -xv i x u ∂∂-∂∂二、填空题1．设为沿原点到点的直线段，则 2c 0=z i z +=1=⎰cdz z 22．设为正向圆周，则c 14=-z =-+-⎰c dz z z z 22)4(23i π103．设,其中，则 0 ⎰=-=2)2sin()(ξξξξπd zz f 2≠z =')3(f 4．设为正向圆周，则=+⎰cdz zzz c 3=z i π65．设为负向圆周，则 c 4=z =-⎰c z dz i z e 5)(π12iπ6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的 平均值7．设在单连通域内连续，且对于内任何一条简单闭曲线都有，)(z f B B c 0)(=⎰cdz z f 那么在内 解析)(z f B 8．调和函数的共轭调和函数为xy y x =),(ϕC x y +-)(21229．若函数为某一解析函数的虚部，则常数 -323),(axy x y x u +==a 10．设的共轭调和函数为，那么的共轭调和函数为 ),(y x u ),(y x v ),(y x v ),(y x u -三、计算积分1.,其中且;⎰=+-R z dz z z z)2)(1(621,0≠>R R 2≠R （当时，； 当时，； 当时，）10<<R 021<<R i π8+∞<<R 202.．（0）⎰=++22422z z z dz四、求积分，从而证明.（）⎰=1z zdz z e πθθπθ=⎰0cos )cos(sin d e i π2五、若，试求解析函数.)(22y x u u +=iv u z f +=)(（（为任意实常数））321ln 2)(ic c z c z f ++=321,,c c c 第四章 级 数（答案）一、选择题：1．设，则( C )),2,1(4)1(L =++-=n n nia n n n n a ∞→lim （A ）等于 （B ）等于 （C ）等于 （D ）不存在01i2．下列级数中，条件收敛的级数为( C )（A ） （B ）∑∞=+1)231(n n i ∑∞=+1!)43(n nn i （C ） （D ）∑∞=1n n n i ∑∞=++-11)1(n n n i3．下列级数中，绝对收敛的级数为(D )（B ） （B ）∑∞=+1)1(1n n i n ∑∞=+-1]2)1([n n n in (C) （D ）∑∞=2ln n n n i ∑∞=-12)1(n n nn i 4．若幂级数在处收敛，那么该级数在处的敛散性为( A )∑∞=0n n nz ci z 21+=2=z （A ）绝对收敛 （B ）条件收敛（C ）发散 （D ）不能确定5．设幂级数和的收敛半径分别为，则∑∑∞=-∞=01,n n n n nnznc z c∑∞=++011n n n z n c 321,,R R R 之间的关系是( D )321,,R R R （A ） （B ） 321R R R <<321R R R >>（C ） （D ）321R R R <=321R R R ==6．设，则幂级数的收敛半径( D )10<<q ∑∞=02n n n z q =R （A ） （B ）（C ） （D ）q q10∞+7．幂级数的收敛半径( B )∑∞=1)2(2sinn n z n n π=R（A ）（B ） （C ） （D ）122∞+8．幂级数在内的和函数为( A )∑∞=++-011)1(n n n z n 1<z （A ） （B ）)1ln(z +)1ln(z -（D ） (D) z +11lnz-11ln 9．设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径( C )z e z cos ∑∞=0n n n z c ∑∞=0n nn z c =R （A ） （B ） （C ）（D ）∞+12ππ10．级数的收敛域是( B )L +++++22111z z z z（A ） （B ） （C ） （D ）不存在的1<z 10<<z +∞<<z 111．函数在处的泰勒展开式为( D)21z1-=z （A ）（B ）)11()1()1(11<++-∑∞=-z z n n n n)11()1()1(111<++-∑∞=--z z n n n n （C ） （D ）)11()1(11<++-∑∞=-z z n n n )11()1(11<++∑∞=-z z n n n 12．函数，在处的泰勒展开式为( B )z sin 2π=z （A ）)2()2()!12()1(012+∞<--+-∑∞=+ππz z n n n n（B ）)2()2()!2()1(02+∞<---∑∞=ππz z n n nn （C ）)2()2()!12()1(0121+∞<--+-∑∞=++ππz z n n n n （D ）)2()2()!2()1(021+∞<---∑∞=+ππz z n n nn 13．设在圆环域内的洛朗展开式为，为内)(z f 201:R z z R H <-<∑∞-∞=-n n nz z c)(0c H 绕的任一条正向简单闭曲线，那么( B )0z =-⎰c dz z z z f 20)()((A) （B ） （C ） （D ）12-ic π12ic π22ic π)(20z f i 'π14．若，则双边幂级数的收敛域为( A )⎩⎨⎧--==-+=L L ,2,1,4,2,1,0,)1(3n n c nn n n ∑∞-∞=n nn z c （A ）（B ） 3141<<z 43<<z （C ）（D ）+∞<<z 41+∞<<z 3115．设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么)4)(1(1)(++=z z z z f m ( C )=m （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题1．若幂级数在处发散，那么该级数在处的收敛性为 发散∑∞=+0)(n n ni z ci z =2=z 2．设幂级数与的收敛半径分别为和，那么与之间的关∑∞=0n nnz c∑∞=0)][Re(n n n z c 1R 2R 1R 2R系是 ．12R R ≥3．幂级数的收敛半径∑∞=+012)2(n n nz i =R 224．设在区域内解析，为内的一点，为到的边界上各点的最短距离，那么)(z f D 0z d 0z D 当时，成立，其中d z z <-0∑∞=-=0)()(n n nz z cz f 或=n c ),2,1,0()(!10)(L =n z f n n （）．)0,2,1,0()()(21010d r n dz z z z f irz z n <<=-π⎰=-+L 5．函数在处的泰勒展开式为 ．z arctan 0=z )1(12)1(012<+-∑∞=+z z n n n n 6．设幂级数的收敛半径为，那么幂级数的收敛半径为∑∞=0n nn z c R ∑∞=-0)12(n n n n z c 2R ．7．双边幂级数的收敛域为 ．∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 211<-<z 8．函数在内洛朗展开式为 ．zze e 1++∞<<z 0nn nn z n z n ∑∑∞=∞=+00!11!19．设函数在原点的去心邻域内的洛朗展开式为，那么该洛朗级数z cot R z <<0∑∞-∞=n n nz c收敛域的外半径 ．=R π10．函数在内的洛朗展开式为)(1i z z -+∞<-<i z 1∑∞=+--02)()1(n n n n i z i三、若函数在处的泰勒展开式为，则称为菲波那契(Fibonacci)211z z --0=z ∑∞=0n nn z a {}n a 数列，试确定满足的递推关系式，并明确给出的表达式．n a n a （，)2(,12110≥+===--n a a a a a n n n ）),2,1,0(}251()251{(5111L =--+=++n a n n n 四、求幂级数的和函数，并计算之值.∑∞=12n nz n ∑∞=122n n n （，）3)1()1()(z z z z f -+=6五、将函数在内展开成洛朗级数.)1()2ln(--z z z 110<-<z （）n n nk k z k n z z z z z z )1(1)1(()2ln(111)1()2ln(001-+--=-⋅⋅-=--∑∑∞==+第五章 留 数(答案)一、选择题：1．函数在内的奇点个数为 ( D )32cot -πz z2=-i z （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．设函数与分别以为本性奇点与级极点，则为函数)(z f )(z g a z =m a z =)()(z g z f 的( B )（A ）可去奇点 （B ）本性奇点（C ）级极点 （D ）小于级的极点m m 3．设为函数的级极点，那么( C )0=z zz e xsin 142-m =m（A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）24．是函数的( D )1=z 11sin)1(--z z (A)可去奇点 （B ）一级极点（C ） 一级零点 （D ）本性奇点5．是函数的( B )∞=z 2323z z z ++(A)可去奇点 （B ）一级极点（C ） 二级极点 （D ）本性奇点6．设在内解析，为正整数，那么( C )∑∞==)(n n n z a z f R z <k =]0,)([Re kz z f s （A ） （B ） （C ） （D ）k a k a k !1-k a 1)!1(--k a k 7．设为解析函数的级零点，那么='],)()([Re a z f z f s ( A )a z =)(z f m (A) （B ） （C ） （D ）m m -1-m )1(--m 8．在下列函数中，的是（ D ）0]0),([Re =z f s （A ）（B ）21)(ze zf z -=z z z z f 1sin )(-=（C ） (D) z z z z f cos sin )(+=ze zf z 111)(--=9．下列命题中，正确的是( C )（A ）设，在点解析，为自然数，则为的)()()(0z z z z f mϕ--=)(z ϕ0z m 0z )(z f 级极点．m （B ）如果无穷远点是函数的可去奇点，那么∞)(z f 0]),([Re =∞z f s （C ）若为偶函数的一个孤立奇点，则0=z )(z f 0]0),([Re =z f s（D ）若，则在内无奇点0)(=⎰c dz z f )(z f c 10． ( A )=∞],2cos[Re 3ziz s （A ） （B ） （C ） （D ）32-32i 32i32-11． ( B)=-],[Re 12i e z s iz （A ） （B ） （C ） （D ）i +-61i +-65i +61i +6512．下列命题中，不正确的是( D)（A ）若是的可去奇点或解析点，则)(0∞≠z )(z f 0]),([Re 0=z z f s （B ）若与在解析，为的一级零点，则)(z P )(z Q 0z 0z )(z Q )()(],)()([Re 000z Q z P z z Q z P s '=（C ）若为的级极点，为自然数，则0z )(z f m m n ≥)]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dzd n z z f s n n nx x +→-=（D ）如果无穷远点为的一级极点，则为的一级极点，并且∞)(z f 0=z )1(zf )1(lim ]),([Re 0zzf z f s z →=∞13．设为正整数，则( A )1>n =-⎰=211z ndz z (A) （B ） （C ）（D ）0i π2niπ2i n π214．积分( B )=-⎰=231091z dz z z （A ） （B ） （C ） （D ）0i π2105iπ15．积分( C )=⎰=121sin z dz z z （A ） （B ） （C ） （D ）061-3i π-iπ-二、填空题1．设为函数的级零点，那么 9 ．0=z 33sin z z -m =m 2．函数在其孤立奇点处的留数zz f 1cos1)(=),2,1,0(21L L ±±=+=k k z k ππ．=]),([Re k z z f s 2)2()1(π+π-k k3．设函数，则 0 }1exp{)(22zz z f +==]0),([Re z f s 4．设为函数的级极点，那么 ．a z =)(z f m ='],)()([Re a z f z f s m -5．设，则 -2 ．212)(zzz f +==∞]),([Re z f s 6．设，则 ．5cos 1)(z z z f -==]0),([Re z f s 241-7．积分．=⎰=113z zdz e z 12iπ8．积分．=⎰=1sin 1z dz z i π2三、计算积分．()⎰=--412)1(sin z z dz z e z z i π-316四、设为的孤立奇点，为正整数，试证为的级极点的充要条件是a )(z f m a )(z f m ，其中为有限数．b z f a z m az =-→)()(lim 0≠b 五、设为的孤立奇点，试证：若是奇函数，则；a )(z f )(z f ]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=若是偶函数，则．)(z f ]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=。
复变函数期末考试试卷及答案详解
复变函数期末考试试卷及答案详解《复变函数》考试试题(一) 三.计算题(40分):dz1,1、 __________.(为自然数)nn,f(z),|z,z|,10(zz),0D,{z:0,|z|,1}(z,1)(z,2)f(z)，求在1. 设22sinz，cosz,2. _________. 内的罗朗展式.1sinz3.函数的周期为___________. dz.,|z|,1cosz2. 12f(z),,，,，3712,f(z)fzd,()z，1C,{z:|z|,3}f'(1，i).,C4.设，则的孤立奇点有__________. ,z,3. 设，其中，试求,z,1nw,nz5.幂级数的收敛半径为__________. ,z，14. 求复数的实部与虚部. n0,6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 四. 证明题.(20分)zzz，，...，1. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常数，f(z)|f(z)|12n,limlimz,,n,,nnn,,7.若，则______________.D那么它在内为常数. zesRe(,0),n0Re1,,z2. 试证: 在割去线段的平面内能分出两zfzzz()(1),,z8.________，其中n为自然数.z,,10Re1,,z个单值解析分支, 并求出支割线上岸取正值的那支在sinz的值.9. 的孤立奇点为________ .《复变函数》考试试题(二) z二. 填空题. (20分)limf(z),___zf(z)z,z0010.若是的极点，则.13sin(2z)1. 设，则 z,,i|z|,__,argz,__,z,__的幂级数展开式. 1. 求函数2222.设，则f(z),(x，2xy)，i(1,sin(x，y),,z,x，iy,C2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正z实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点________. limf(z),z,1，i处的值. z,idz,3. _________.(为自然数) inn,|z,z|,10(zz),0I,|z|dz3. 计算积分:，积分路径为(1)单位圆()|z|,1,,i,nnz4. 幂级数的收敛半径为__________ . 的右半圆. ,n0,sinzdz,z,25. 若z是f(z)的m阶零点且m>0，则z是的_____零点. ,f'(z)002(,)z24. 求 .z6. 函数e的周期为__________.四. 证明题. (20分) 537. 方程在单位圆内的零点个数为________. 2z,z，3z，8,0f(z)1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证:f(z)在D内为常数的充要条件是1f(z),8. 设，则的孤立奇点有_________. f(z)2在D内解析. 1，z2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 9. 函数的不解析点之集为________.f(z),|z|《复变函数》考试试题(三)二. 填空题. (20分) z,1110. . Res(,1),____f(z),1. 设，则f(z)的定义域为___________. 42z，1zz三. 计算题. (40分) 2. 函数e的周期为_________.2n，21n，,z,，i(1，)3. 若，则__________. limz,nnn!n,,1,nnn的收敛半径.2. 试求幂级数z,n22n4. ___________. sinz，cosz,n,dzzedz,5. _________.(为自然数) nn,|z,z|,13. 算下列积分:，其中是.C|z|,10(zz),22,0Cz(z,9),nnx6. 幂级数的收敛半径为__________. ,962n,0z,2z，z,8z,2,04. 求在|z|<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1f(z),7. 设，则f(z)的孤立奇点有__________. 21. 函数在区域D内解析. 证明:如果在D内为常f(z)|f(z)|z，1z数，那么它在D内为常数. 8. 设，则. z,___e,,12. 设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数f(z)z9. 若是的极点，则. f(z)limf(z),___0z,z0R及M，使得当时 |z|,Rzen10. Res(,0),____. n|f(z)|,M|z|， z三. 计算题. (40分) 证明是一个至多n次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题与答案各种总结
证明 令 f (z) a0 zn 在 C : z R 上时 , 有
a1z n 1
an 1z
(z) a1 Rn 1
an 0 , 取 R an 1 R an
max ( a1
a1
an
,1 , 当 z
a0
an )R n 1 a0 Rn .
由儒歇定理知在圆
f ( z) . z R 内 , 方程 a0 zn a1zn 1
()
6. 若函数 f ( z) 在 z0 解析，则 f ( z) 在 z0 的某个邻域内可导 .
()
an 1z an 0 与 a0z n 0 有相
同个数的根 . 而 a0zn 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .
《复变函数》考试试题（三）
一 . 判断题 . (20 分 ).
1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .
()
2. 若 f ( z) 在 z0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z0 解析z0 处解析， 则 f ( z) 在 z0 连续 .
()
4. 若数列 { zn } 收敛， 则 {Re zn} 与 {Im zn} 都收敛 .
()
5. 若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区
域 D 内为常数 .
i
的右半圆 .
4. 求
sin z dz
z2
(z
)2
2
.
四 . 证明题 . (20 分 )
1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f ( z) 在
复变函数的积分例题及解析
复变函数的积分例题及解析例题1：计算复变函数 f(z) = z^3 的积分∮ γ f(z) dz，其中γ为以原点为圆心、半径为R的逆时针方向正向的圆周。
解析：根据复变函数的积分定义，可以将复变函数积分转化为对参数t的实函数积分。
即∮ γ f(z) dz = ∫ f(γ(t)) γ'(t) dt。
对于本题中的γ(t) = Rcos(t) + iRsin(t)，γ'(t) = -Rsin(t) + iRcos(t)。
因此：∮ γ f(z) dz = ∫ [Rcos(t) + iRsin(t)]^3 [-Rsin(t) +iRcos(t)] dt= ∫[(R^3cos^3(t) + 3Rcos^2(t)iRsin(t) +3Rcos(t)i^2R^2sin^2(t) + i^3R^3sin^3(t))(-Rsin(t) + iRcos(t))]dt= ∫[-R^4cos^3(t)sin(t) - 3R^2cos^2(t)sin^2(t) +3R^2cos(t)sin^3(t) - iR^4cos(t)sin^3(t) + iR^2cos(t)sin^2(t) - iRsin^4(t) + R^4cos^4(t) + 3R^2cos^3(t)sin^2(t) -3R^2cos(t)sin^4(t) + iR^4cos^3(t)sin(t) - iR^2cos^3(t)sin(t) +iR^4cos(t)sin^3(t)] dt= ∫[-4R^4cos^3(t)sin(t) - 3R^2cos^2(t)sin^2(t) +6R^2cos(t)sin^3(t) - 3R^2cos(t)sin^4(t) + R^4cos^4(t) +6R^2cos^3(t)sin^2(t) + i(R^4cos(t)sin^3(t) - R^2cos(t)sin^2(t) + R^4cos^3(t)sin(t) - R^2cos^3(t)sin(t))] dt对上式分别对t进行积分，积分得到：∮ γ f(z) dz = ∫[-4R^4cos^3(t)sin(t)] dt -∫[3R^2cos^2(t)sin^2(t)] dt + ∫[6R^2cos(t)sin^3(t)] dt -∫[3R^2cos(t)sin^4(t)] dt + ∫[R^4cos^4(t)] dt +∫[6R^2cos^3(t)sin^2(t)] dt + i[∫(R^4cos(t)sin^3(t)) dt -∫(R^2cos(t)sin^2(t)) dt + ∫(R^4cos^3(t)sin(t)) dt -∫(R^2cos^3(t)sin(t)) dt]=0-0+0-0+π*R^4/2+0+i[0-0+0-0]=π*R^4/2因此，复变函数f(z)=z^3在以原点为圆心、半径为R的逆时针方向正向的圆周上的积分值为π*R^4/2例题2：计算复变函数 f(z) = e^z 的积分∮ γ f(z) dz，其中γ为沿单位圆的逆时针方向正向的圆周。
《复变函数》考试试题（一）解读
《复变函数》考试试题（一）解读《复变函数》考试试题（一）一、判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( )9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=?Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（）二.填空题（20分）1、 =-?=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||?=z dz z3. 设?-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=?Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i z ________.3.=-?=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：?-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ?=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-?=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =nzze . 三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
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《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( )8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. ( )7. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设211)(zz f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. (20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( ) 2. 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析. ( )3. 若函数f (z )在z 0处解析，则f (z )在z 0连续. ( )4. 若数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数. ( )6. 若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ）8. 若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若0z 是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f . ( )二. 填空题. (20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________.2. 函数e z 的周期为_________.3. 若n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________. 4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze .三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（四）一. 判断题. (20分)1. 若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件. （ ）2. 若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析. （ ）3. 函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界. （ ）4. 若f (z )在区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f .（ ）5. 若)(lim 0z f zz →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点. （ ）6. 若函数f (z )在区域D 内解析且0)('=z f ，则f (z )在D 内恒为常数. （ ）7. 如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f zz →一定不存在. （ ）8. 若0)(,0)(0)(0==z f z f n ，则0z 为)(z f 的n 阶零点. （ ）9. 若)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等，则D z z g z f ∈≡),()(. （ ）10. 若)(z f 在+∞<<||0z 内解析，则)),((Res )0),((Res ∞-=z f z f . （ ）二. 填空题. (20分)1. 设iz -=11，则___Im __,Re ==z z .2. 若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→nz z z nn ...lim 21______________.3. 函数e z的周期为__________.4. 函数211)(z z f +=的幂级数展开式为__________5. 若函数f (z )在复平面上处处解析，则称它是___________.6. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________. 7. 设1|:|=z C ，则___)1(=-⎰Cdz z .8. zz sin 的孤立奇点为________.9. 若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10.=)0,(Res n zze _____________.三. 计算题. (40分)1. 解方程013=+z .2. 设1)(2-=z e z f z，求).),((Re ∞z f s3..))(9(2||2⎰=+-z dz i z z z.4. 函数()f z =z e z111--有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.四. 证明题. (20分) 1. 证明：若函数)(z f 在上半平面解析，则函数)(z f 在下半平面解析.2. 证明0364=+-z z 方程在2||1<<z 内仅有3个根.《复变函数》考试试题（五）一. 判断题.（20分）1. 若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数. （ ）2. 若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数. （ ） 3. 若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析. （ ） 4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （ ） 5. 若函数f (z )在z 0处满足Cauchy-Riemann 条件，则f (z )在z 0解析. （ ） 6. 若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是f (z )的可去奇点. （ ）7. 若函数f (z )在z 0可导，则它在该点解析. （ ） 8. 设函数)(z f 在复平面上解析，若它有界，则必)(z f 为常数. （ ）9. 若0z 是)(z f 的一级极点，则)()(lim )),((Res 000z f z z z z f z z -=→. （ ）10. 若)(z f 与)(z g 在D 内解析，且在D 内一小弧段上相等，则D z z g z f ∈≡),()(. （ ）二. 填空题.（20分） 1. 设i z 31-=，则____,arg __,||===z z z .2. 当___=z 时，z e 为实数.3. 设1-=ze ，则___=z .4.z e 的周期为___.5. 设1|:|=z C ，则___)1(=-⎰Cdz z .6. ____)0,1(Res =-ze z .7. 若函数f (z )在区域D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D 内的_____________。