弹性力学简单问题的求解
弹性力学知识点总结
弹性力学知识点总结弹性力学是固体力学的重要分支，主要研究弹性体在外界因素作用下产生的应力、应变和位移。
以下是对弹性力学主要知识点的总结。
一、基本假设1、连续性假设：假定物体是连续的，不存在空隙。
2、均匀性假设：物体内各点的物理性质相同。
3、各向同性假设：物体在各个方向上的物理性质相同。
4、完全弹性假设：当外力去除后，物体能完全恢复到原来的形状和尺寸，不存在残余变形。
5、小变形假设：变形量相对于物体的原始尺寸非常小，可以忽略高阶微量。
二、应力分析1、应力的定义：应力是单位面积上的内力。
2、应力分量：在直角坐标系下，有 9 个应力分量，分别为正应力（σx、σy、σz）和剪应力（τxy、τyx、τxz、τzx、τyz、τzy）。
3、平衡微分方程：根据物体的平衡条件，可以得到应力分量之间的关系。
三、应变分析1、应变的定义：应变是物体在受力后的变形程度。
2、应变分量：包括线应变（εx、εy、εz）和剪应变（γxy、γyx、γxz、γzx、γyz、γzy）。
3、几何方程：描述了应变分量与位移分量之间的关系。
四、位移与变形的关系位移是指物体内各点位置的变化。
通过位移可以导出应变，从而建立起位移与变形之间的联系。
五、物理方程物理方程也称为本构方程，它描述了应力与应变之间的关系。
对于各向同性的线弹性材料，物理方程可以表示为应力与应变之间的线性关系。
六、平面问题1、平面应力问题：薄板在平行于板面且沿板厚均匀分布的外力作用下，板面上无外力作用，此时应力分量只有σx、σy、τxy。
2、平面应变问题：长柱体在与长度方向垂直的平面内受到外力作用，且沿长度方向的位移为零，此时应变分量只有εx、εy、γxy。
七、极坐标下的弹性力学问题在一些具有轴对称的问题中，采用极坐标更为方便。
极坐标下的应力、应变和位移分量与直角坐标有所不同，需要相应的转换公式。
八、能量原理1、应变能：物体在变形过程中储存的能量。
2、虚功原理：外力在虚位移上所做的虚功等于内力在虚应变上所做的虚功。
6弹塑性力学基本求解方法
d r
dr
1 r
(2
r
)
0
代入几何方程和物理方程，整理可得
d 2ur 2 dur 2 ur 0 dr 2 r dr r 2
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
解此微分方程，其一般解为：
由 r 时 ur 0 C1 0
ur
C1r
C2 r2
由 r r1 时 ur r0 C2 r0 (1 )2 r02 r03
l 2
h/2
x
ydy
0
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法
于是可求得：
B
r 5h2
,C
l2r 4h2
10r,
D
3 4
r
x
所以 y
xy
第六章 弹性力学基本求解方法
❖应力函数——逆解法 总结：应力函数设计
1．集中载荷——按材料力学方法求解 2．均布载荷—— f (xi2 ) 3．线性分布载荷—— f (xi3 ) 4．非线性分布载荷—— f (xi4 xi8 )
r1
r0
r0
)
—— 错配度
分析：基体变形为球对称变形，则
ur 0 u u 0
边界条件：
r , ur 0 （符合圣维南原理）
第六章 弹性力学基本求解方法
❖位移法应用——错配球
根据应力平衡微分方程
R0
有
r r
1 r
r
r r sin
1 r
(2
r
r ctg ) 0
r
r
0
r
r
ur
r0
(
r0 r
)2
由几何方程可得
弹性力学ansys求解实例详解
弹性力学a n s y s求解实例详解Revised on November 25, 2020ANSYS 上机实验报告一、题目描述如图1所示，一简支梁横截面是矩形，其面积202.0m A =，对弯曲中性轴的惯性矩451067.6m I zz -⨯=，高m h 2.0=，材料的pa E 11101.2⨯=，横向变形系数3.0=μ。
该梁的自重就是均布载荷N q 4000=和梁中点处的集中力N F 2000=，试讨论在均布荷载作用下，简支梁的最大挠度。
二、问题的材料力学解答由叠加法可知：梁上同时作用几个载荷时，可分别求出每一载荷单独作用时的变形，把各个形变叠加即为这些载荷共同作用时的变形。
在只有均布载荷q 作用时，计算简支梁的支座约束力，写出弯矩方程，利用EI M dxw d =22积分两次，最后得出： 铰支座上的挠度等于零，故有0=x 时，0=w ，因为梁上的外力和边界条件都对跨度中点对称，挠曲线也应对该点对称。
因此，在跨度中点，挠曲线切线的斜率等于零，即：2l x =时，0=dx dw ，把以上两个边界条件分别代入w 和0=dxdw 的表达式，可以求出243ql C -=，0=D ，于是得转角方程及挠曲线方程为： x ql x q x ql EIw ql x q x ql EI dx dw EI 2424122464343332--=--==θ （1） 在跨度中点，挠曲线切线的斜率等于零，挠度为极值，由（1）中式子可得：即EIql w q c 3845)(4-=。
在集中力F 单独作用时，查材料力学中梁在简单载荷作用下的变形表可得EIFl w F c 48)(3-=。
叠加以上结果，求得在均布载荷和集中力共同作用下，梁中点处的挠度是EIFl EI ql w w w F c q c c 483845)()(34--=+=，将各参数代入得m w c 410769.0-⨯=三、问题的ansys 解答建立几何模型此问题为可采用Beam 分析，所以该几何模型可用线表示。
(整理)采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题
采用极坐标求解弹性力学平面问题基本问题一、内容介绍在弹性力学问题的处理时，坐标系的选择从本质上讲并不影响问题的求解，但是坐标的选取直接影响边界条件的描述形式，从而关系到问题求解的难易程度。
对于圆形，楔形，扇形等工程构件，采用极坐标系统求解将比直角坐标系统要方便的多。
本章的任务就是推导极坐标表示的弹性力学平面问题基本方程，并且求解一些典型问题。
二、重点1、基本未知量和基本方程的极坐标形式；2、双调和方程的极坐标形式；3、轴对称应力与厚壁圆筒应力；4、曲梁纯弯曲、楔形体和圆孔等典型问题1 平面问题极坐标解的基本方程学习思路:选取极坐标系处理弹性力学平面问题，首先必须将弹性力学的基本方程以及边界条件通过极坐标形式描述和表达。
本节的主要工作是介绍基本物理量，包括位移、应力和应变的极坐标形式；并且将基本方程，包括平衡微分方程、几何方程和本构关系转化为极坐标形式。
由于仍然采用应力解法，因此应力函数的极坐标表达是必要的。
应该注意的是坐标系的选取与问题求解性质无关，因此弹性力学直角坐标解的基本概念仍然适用于极坐标。
学习要点：1、极坐标下的应力分量；2、极坐标平衡微分方程；3、极坐标下的应变分量；4、几何方程的极坐标表达；5、本构方程的极坐标表达；6、极坐标系的Laplace算符；7、应力函数。
1、极坐标下的应力分量为了表明极坐标系统中的应力分量，从考察的平面物体中分割出微分单元体ABCD，其由两个相距dρ的圆柱面和互成dϕ的两个径向面构成，如图所示在极坐标系中，用σρ 表示径向正应力，用σϕ 表示环向正应力,τϕρ 和τρϕ 分别表示圆柱面和径向面的切应力，根据切应力互等定理，τϕρ ＝τρϕ 。
首先推导平衡微分方程的极坐标形式。
考虑到应力分量是随位置的变化，如果假设AB面上的应力分量为σρ 和τϕρ,则CD面上的应力分量为如果AD面上的应力分量为σϕ 和τρϕ ，则BC面上的应力分量为。
同时，体力分量在极坐标径向ρ 和环向 ϕ方向的分量分别为F bρϕ 和F bϕ 。
弹性力学习题解答
习题解答 第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。
解：(1)pi iq qj jkpq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===;(2)()pqi ijk jkpj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-;(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：若ijji a a =，则0ijk jk e a =。
证：20ijk jkjk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。
2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明：证：1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明：证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ⨯⋅⨯=⋅=a b c d e e ()()()()=⋅⋅-⋅⋅a c b d a d b c 。
2.5设有矢量i i u =u e 。
原坐标系绕z 轴转动θu 在新坐标系中的分量。
解：11cos βθ'=，12sin βθ'=，130β'=， 21sin βθ'=-，22cos βθ'=，230β'=， 310β'=，320β'=，331β'=。
弹塑性力学 第四章 弹性力学的求解方法
说明： 1、数学上可证明, 当为线弹性小变形情况，求解的 基本方程和边界条件为线性，叠加原理成立。 2、对大变形情况，几何方程出现二次非线性项，平 衡微分方程将受到变形的影响，叠加原理不再适 用。 3、对非线弹性或弹塑形材料，应力应变关系是非线 性的，叠加原理不成立。 4、对载荷随变形而变的非保守力系或边界为
1. 位移法：将几何方程代入物理方程，得到用位移
表示的应力分量，再将应力分量代入平衡方程和应力边 界条件，即得到空间问题的位移法控制方程。不需要用 相容位移表述。 3个位移表述的平衡微分方程，包含3个位 移未知数。 结合边界条件，解上述方程，可求出位移分 量，由几何方程求应变，再由本构方程求应力。
第四章 弹性力学问题的求解方法
§7-1 弹性力学基本方程
1. 平衡微分方程方程
2. 几何方程
3. 物理方程
各种弹性常数之间的关系
4. 相容方程
• 求解物理量：6个应力分量 6个应变分量 3个位移分量
共15个未知量
用于求解的方程：平衡微分方程 3个 几何方程 6个
共15个方程
本构方程
6个
用非线性弹簧支承的情况，边界条件是非 线性的，叠加原理也将失效。
二. 解的唯一性定理：
在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体， 其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚 体位移受到约束，则位移解也是唯一的。 无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方 程和边界条件，就一定是问题的真解。
三.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。 提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。 提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计。
弹性力学简介及其求解方法
弹性力学简介及其求解方法2010-08-27弹性力学简介及其求解方法弹性力学又称弹性理论，是固体力学的一个分支，是研究弹性体由于外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
确定弹性体的各质点应力、应变和位移的目的就是确定构件设计中的强度和刚度指标，以此用来解决实际工程结构中的强度、刚度和稳定性问题。
材料力学、结构力学三门学科所研究的内容和目的相同，但是研究对象和研究方法不同。
材料力学研究对象是杆状构件，结构力学是在材料力学基础上研究由多杆构成的杆系结构的强度和刚度问题。
而对于一般弹性实体结构，如板与壳结构、挡土墙与堤坝、地基以及其他三维实体结构来说，相应的强度和刚度问题要用弹性理论的方法来解决。
在研究方法上，弹性力学和材料力学都从静力学、几何关系、物理方程三方面着手来进行分析，但不同点是材料力学常借助于直观和实验现象做一些假设。
在具体问题计算时材料力学与结构力学都利用解决单一变量的常微分方程，在数学上求解容易。
弹性力学需解决的是满足边界条件的高阶多变量偏微分方程，在数学上求解困难，一般弹性体问题很难得到解析解。
所以，与材料力学相比，弹性力学的研究对象更加广泛，研究方法更加严密，能解决更加复杂的实际问题，因此需要用较多的数学工具。
弹性力学问题可以归结为边值问题：在弹性体内必须满足基本方程，即平衡微分方程、几何方程和物理方程；在应力边界上应满足应力边界条件；在位移边界上应满足位移边界条件；在混合边界上应满足相应的应力边界和位移边界条件。
满足基本方程的解答叫做弹性力学解；既满足基本方程，又满足边界条件的解答叫做弹性力学问题的解。
在求解弹性力学问题时，通常已知的是物体的形状、尺寸、约束情况和外载荷以及材料的物理常数。
需要求解的是应力、应变和位移，它们都是物体内点的坐标的函数。
对于空间问题，一共有15个未知函数：3个位移分量、6个应变分量和6个应力分量。
可利用的独立方程也有15个，即3个平衡微分方程、6个几何方程和6个物理方程。
5第三章弹性力学平面问题的解析解法讲解
2 X Y 2 x y y 2 x 2 ( x y ) (1 )
（平面应力情形）
（3）边界条件：
l ( x ) s m( xy ) s X m( y ) s l ( xy ) s Y
x 2 y
2
y 2 x
2
xy
2 xy
(2-28)
（无体力情形）
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件 （多连体问题）。
第三章 弹性力学平面问题的 解析解法
第四节 第五节 逆解法与半逆解法—多项式解答 矩形梁的纯弯曲
（2）边界条件： 位移边界条件： 应力边界条件：
（1 ）
u s u , vs v
（2）
E u v 1 u v l m X 2 y s 2 y x s 1 x （3 ） v u 1 v u E m l Y 2 1 y x s 2 x y s
4.
按应力求解平面问题的基本方程 说明：
（1）对位移边界问题，不易按应力 求解。
（1）平衡方程
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（2）对应力边界问题，且为单连通 问题，满足上述方程的解是唯 一正确解。
（3）对多连通问题，满足上述方程 外，还需满足位移单值条件， 才是唯一正确解。
按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为： （1） 先由方程（2-27）求出应力函数： ( x ,7) 0 4 2 2 4 x x y y x , y , xy （2） 然后将 ( x , y ) 代入式（2-26）求出应力分量：
弹性力学简明教程全程导学及习题全解
1-7 试画出题1-7图中的的矩形薄板的正的体力，面力和应力的方向。
注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上的面力，均为沿坐标轴正方向为正，反之为负。
（2）边界面上的应力应是以在正坐标面上，方向沿坐标轴正方向为正，反之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正，反之为负。
1-8 试画出题1-8图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。
2-7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假设？这些方程的适用条件是什么？【解答】（1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，小变形和均匀性。
在两种平面问题（ 平面应力、平面应变问题）中，平衡微分方程和几何方程都适用。
（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。
在两种平面问题（平面应力、平面应变）中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的E 换位21E μ-，1μμμ-换为，就得到平面应变问题的物理方程。
2-8 试列出题2-8图（a ），题2-8图（b ）所示问题的全部边界条件。
在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。
【解】（1）对于图（a ）的问题 在主要边界0,x x b ==上，应精确满足下列边界条件：0(),(),x x x x b gy gy σρσρ===-=- 0()0()0xy x xy x b ττ====；。
在小边界（次要边界）y=0上，能精确满足下列边界条件：01(),y y gh σρ==-()0yx τ=。
在小边界（次要边界）2y h =上，有位移边界上条件：22()0,()0y h y h u v ====。
这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚1δ=时，22212000()(),()0,()0b y y h by y h byx y h dx g h h b xdx dx σρστ===⎧=-+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩⎰⎰⎰。
弹性力学-第四章-2
可以假设应力函数为：
( , ) f ( ) cos 2
满足相容方程求f(）
( , ) f ( ) cos2
代Φ入相 容方程
1 1 2 2 2 0
2 2 2 2 2
2 1 1 2 d 2 f ( ) 1 df ( ) 4 f ( ) 2 2 ( 2 2 )cos 2 0 2 d d
r2
2
), q(1
r2
2
), 0
对 比
q q 1 2 令： q 2
代 入
基 本 解 答 一
q1 q2 r2 (1 2 ), 2
q1 q2 r2 (1 2 ), 2
0
r2 r2 σ ρ q cos 2φ(1 2 )(1 3 2 ) ρ ρ r4 σ φ q cos 2φ(1 3 4 ) ρ τ ρφ r2 r2 q sin 2φ(1 2 )(1 3 2 ) ρ ρ
e 因为，
t
D f ( ρ) Aρ Bρ C 2 ρ
4 2
2Φ 1 Φ 1 2Φ σρ 2 2 , 2 y 0 ρ ρ ρ 2Φ 2Φ σ 2 2 , x 0 ρ τ ρ
max 4q
3r , 90
1.04q
max K 4
(4-18)
应力集中系数
二、基本解答的应用
解决方法：利用 叠加原理，将荷 载分解为两部分 (1)双 向受拉
＝
＋
(2)一对 边受拉， 另一对 边受压
弹塑性力学第四章弹性力学的求解方法
微分方程并求解，最后根据边界条件确定待定常数。
逆解法求解空间问题
逆解法的基本思想
从已知的空间应力或位移函数出发，反推得到弹性体的形状和边界条件。
适用于具有特定应力或位移分布的空间问题
如无限大体、半无限大体等具有特殊应力或位移分布的空间问题。
求解步骤
假设空间应力或位移函数，根据弹性力学基本方程推导得到弹性体的形状和边界条件，并 验证假设的合理性。
04
半解析法在弹性力学中的应用
有限差分法基本原理及步骤
差分原理
有限差分法基于差分原理，将连续问 题离散化，通过求解差分方程得到近 似解。
网格划分
将求解区域划分为规则的网格，每个 网格节点对应一个未知数。
差分格式
根据问题的性质和精度要求，选择合 适的差分格式，如向前差分、向后差 分、中心差分等。
边界处理
电测实验方法介绍及优缺点分析
电阻应变片法
利用电阻应变片将试件表面的应变转换 为电阻变化，通过测量电路获取应变信 息。该方法具有测量精度高、稳定性好 、适用于各种环境和试件形状的优点， 但需要粘贴应变片并进行温度补偿，且 只能进行点测量。
VS
电容传感器法
利用电容传感器将试件表面的位移或应变 转换为电容变化，通过测量电路获取相关 信息。电容传感器法具有非接触、高灵敏 度、宽频响等优点，但易受环境干扰，且 需要进行复杂的电路设计和信号处理。
04 边界条件处理 根据边界条件对总体刚度矩阵和荷载向量进行修正。
05
求解线性方程组
求解总体刚度矩阵和荷载向量构成的线性方程组，得 到节点位移。
边界元法基本原理及步骤
边界积分方程
边界离散化
单元分析
总体合成
求解线性方程组
第八章弹性力学问题一般解·空间轴对称问题
所求问题的边界条件给定的是边界上的位移 ui ui，则可直接进行计算。 如果全部边界或部分边界上给出的是应力边界条件， ij l j F i 就要将应力 形式的边界条件转换成为位移形式。 其方法与将应力形式的平衡方程转化为Lame方程的方法大致相同。现推导如 下：先后将式(4-6)、式(4-2)代人式(4-13)得 E E ij ij e ij ij e 2G ij (4 6) (1 )(1 2 ) (1 )
将 2G 换成 , E 来表示，则位移解答为
显然最大位移发生在边界上，由式(8-7)可知
将式(8-7)代入几何方程(4-2)求出应变，再引用式本够方程(4-6)可得应力分量解答
x y
1
( q pz ), z ( q pz ), xy yz zx 0
采用半逆解法。由于载荷和几何形状都对称于z 轴，则各点位移只在z向有变化。试假设
于是 而
因此由Lame方程式(8-3)的前两式知，它们成为恒等式自然满足，而第三式给出
式中A、B为积分常数。 边界上
边界条件式(8-6)前两式自然满足，
lx l y 0
lz 1
u u u u v w lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z x x x v v v u v w F y el y G ( lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z y y y w w w u v w F z el z G ( lx ly lz ) G ( lx ly lz ) x y z z z z F x el x G (
利用式(4-5)，式(1)中 简化后得
弹性力学简答题答案======1.doc
弹性力学考试简答题弹性力学的概念，任务。
答：弹性体力学通常简称为弹性力学，是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
弹性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。
弹性力学中的基本假定。
答：①连续性一假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留卜任何空隙。
②完全弹性一假定物体能完金恢复原形而没有任何剩余形变。
③均匀性一假定整个物体是由同一材料组成的。
④各向同性一假定物体的弹性在所有各个方向都相同.⑤小变形假定一假定位移和形变是微小的。
什么是理想弹性体。
答：凡是符合连续性、完全弹性、均匀性利各向同性这四个假定的物体就称为理想弹性体。
弹性力学依据的三大规律。
答：变形连续规律、应力-应变关系利运动（或平衡）规律。
边界条件。
答：边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
简述圣维南原理。
答：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主距也相同），那么，近处的成力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。
简述平面应力问题。
答：设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。
同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。
弹性力学的问题解法有儿种，并简述。
答：弹性力学问题解法有两种。
一是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含位移分量的方程和相应的边界条件.并由此解出位移分量，然后再求出形变分量和应力分量，这种解法称为位移法；二是以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含应力分量的方程和相应的边界条件，并由此解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量，这种解法称为应力法。
弹性方程及其解法
弹性方程及其解法弹性方程是用来描述物体形变和力的关系的一个方程。
在弹性力学中，弹性方程是非常重要的一个概念，它不仅能够描述物体在受力作用下的形变情况，也可以用来计算物体的应力和应变。
本文将介绍弹性方程及其解法，以及在实际工程中的应用。
一、弹性方程的定义弹性方程是用来描述物体在受力作用下的形变情况的方程。
一般来说，弹性方程分为两种，分别是针对一维和三维物体的方程。
一维的弹性方程适用于线性体，用来描述这种物体在轴向受力作用下的变形情况。
三维的弹性方程则适用于广泛的物体类型，包括固体、液体和气体等。
根据弹性方程的不同形式，可以得到不同的解法，用来计算物体的应力和应变。
二、弹性常数弹性常数是用来描述物体在弹性变形状态下的力学性质的物理参数。
常见的弹性常数包括杨氏模量、泊松比、剪切模量等。
这些弹性常数的值取决于物体的材质特性和构造方式等因素。
不同的物体具有不同的弹性常数，因此在处理各种物体的形变问题时，需要针对具体的物体类型和情况，选择相应的弹性常数进行计算。
三、弹性方程的解法在实际工程计算中，弹性方程的解法较为复杂，需要涉及一系列积分和微分等高级数学技巧。
以下介绍几种常见的弹性方程求解方法。
1. 三维弹性方程求解三维弹性方程最常见的求解方法是采用有限元法。
该方法使用分析网格将三维物体分割为许多小的单元，然后将形变情况转化为模型中各单元的形变情况，最终得到整个物体的应力和应变情况。
另一种常见的方法是基于位势理论，通过求解对应的弹性势能方程来确定物体的应力和位移分布。
2. 一维弹性方程求解一维弹性方程的求解比较简单，可以采用微积分方法直接求解。
常用的一维弹性方程求解方法包括拉普拉斯变换法、傅里叶变换法和分离变量法等。
四、弹性方程的应用弹性方程是工程分析中常用的方法之一，广泛应用于各类物体的形变分析和力学计算。
例如，可以使用弹性方程来计算桥梁结构的承载能力，也可以用来预测机械零件在受力作用下的变形情况。
此外，还可以通过弹性方程来优化设计，提高物体的抗剪和抗拉性能，提高物体的使用寿命和稳定性等。
弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理弹性力学是研究物质在外力作用下发生弹性变形的力学学科，其求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。
首先，弹性力学的求解方法主要包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。
材料本构方程是描述材料的力学性质和变形规律的方程。
根据材料的不同性质和变形特点，可以选用不同的本构方程。
常用的本构方程包括胡克定律、庞加莱-克莱葛尔方程等。
通过假设材料是各向同性、线弹性等，可以建立相应的本构方程。
边界条件是指在弹性力学问题中，给定的物体表面上的约束条件。
边界条件的建立是弹性力学问题求解的基础。
一般情况下，边界条件包括位移边界条件和力边界条件。
位移边界条件是指物体表面上的位移限制，力边界条件是指物体表面上的力的作用情况。
通过建立合理的边界条件，可以求解出问题的解。
解方程的方法包括解析方法和数值方法。
解析方法是指通过分析和计算得到方程的解析解，解析解有精确度高、可视化好的优点。
数值方法是指通过数值计算得到方程的数值解，数值解可以通过计算机程序进行求解，适用范围广。
其次，弹性力学的一般性原理是指弹性力学问题的基本原理和公式。
弹性力学的一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。
平衡原理是指物体在外力作用下的平衡条件。
根据平衡原理，可以通过力的平衡方程建立弹性力学问题的公式。
平衡方程可以通过平衡力的矢量和等于零来表示。
相容性原理是指物体在变形过程中的相容性条件。
根据相容性原理，物体在变形过程中，任意两个小变形都相容。
相容性原理可以用于控制弹性力学问题的求解范围。
构造方程是用来描述物体在外力作用下的变形状态的方程。
通过对变形量的定义和方程的建立，可以得到物体的变形状态和应变状况。
综上所述，弹性力学的求解方法和一般性原理是该学科的重要内容。
求解方法包括材料本构方程和边界条件的建立，以及解方程的方法。
一般性原理包括平衡原理、相容性原理和构造方程。
弹性力学的求解方法和一般性原理的运用，能够帮助研究者解决复杂的弹性力学问题，进一步推动该学科的发展。
(整理)弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
第五章弹性力学的求解方法和一般性原理知识点弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理一、内容介绍通过弹性力学课程学习，我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。
本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结，并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量，共计15个，基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程，也是15个。
面对这样一个庞大的方程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解方法。
根据这一要求，本章的主要任务有三个：一是综合弹性力学的基本方程，并按边界条件的性质将问题分类；二是根据问题性质，确定基本未知量，建立通过基本未知量描述的基本方程，得到基本解法。
弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。
应该注意的是对于应力解法，基本方程包括变形协调方程。
三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。
主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
二、重点1、弹性力学的基本方程与边界条件分类；2、位移解法与位移表示的平衡微分方程；3、应力解法与应力表示的变形协调方程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性力学的基本方程及其边值问题学习思路:通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。
本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结，并且对求解方法作初步介绍。
弹性力学问题具有15个基本未知量，基本方程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
弹性力学第五章第五章弹性力学的求解方法和一般性原理
弹性⼒学第五章第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理第五章弹性⼒学的求解⽅法和⼀般性原理知识点弹性⼒学基本⽅程边界条件位移表⽰的平衡微分⽅程应⼒解法体⼒为常量时的变形协调⽅程物理量的性质逆解法和半逆解法解的迭加原理,弹性⼒学基本求解⽅法位移解法位移边界条件变形协调⽅程混合解法应变能定理解的唯⼀性原理圣维南原理⼀、内容介绍通过弹性⼒学课程学习，我们已经推导和确定了弹性⼒学的基本⽅程和常⽤公式。
本章的任务是对弹性⼒学所涉及的基本⽅程作⼀总结，并且讨论具体地求解弹性⼒学问题的⽅法。
弹性⼒学问题的未知量有位移、应⼒和应变分量，共计15个，基本⽅程有平衡微分⽅程、⼏何⽅程和本构⽅程，也是15个。
⾯对这样⼀个庞⼤的⽅程组，直接求解显然是困难的，必须讨论问题的求解⽅法。
根据这⼀要求，本章的主要任务有三个：⼀是综合弹性⼒学的基本⽅程，并按边界条件的性质将问题分类；⼆是根据问题性质，确定基本未知量，建⽴通过基本未知量描述的基本⽅程，得到基本解法。
弹性⼒学问题的基本解法主要是位移解法、应⼒解法和混合解法等。
应该注意的是对于应⼒解法，基本⽅程包括变形协调⽅程。
三是介绍涉及弹性⼒学求解⽅法的⼀些基本原理。
主要包括解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理等，这些原理将为今后的弹性⼒学问题解建⽴基础。
如果你在学习本章内容时有困难，请及时查阅和复习前三章相关内容，以保证今后课程的学习。
⼆、重点1、弹性⼒学的基本⽅程与边界条件分类；2、位移解法与位移表⽰的平衡微分⽅程；3、应⼒解法与应⼒表⽰的变形协调⽅程；4、混合解法；5、逆解法和半逆解法；6、解的唯⼀性原理、叠加原理和圣维南原理§5.1 弹性⼒学的基本⽅程及其边值问题学习思路:通过应⼒状态、应变状态和本构关系的讨论，已经建⽴了⼀系列的弹性⼒学基本⽅程和边界条件。
本节的主要任务是将基本⽅程和边界条件作综合总结，并且对求解⽅法作初步介绍。
弹性⼒学问题具有15个基本未知量，基本⽅程也是15个，因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分⽅程。
弹性力学ansys求解实例详解
弹性力学a n s y s求解实例详解Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】ANSYS 上机实验报告一、题目描述如图1所示，一简支梁横截面是矩形，其面积202.0m A =，对弯曲中性轴的惯性矩451067.6m I zz -⨯=，高m h 2.0=，材料的pa E 11101.2⨯=，横向变形系数3.0=μ。
该梁的自重就是均布载荷N q 4000=和梁中点处的集中力N F 2000=，试讨论在均布荷载作用下，简支梁的最大挠度。
二、问题的材料力学解答由叠加法可知：梁上同时作用几个载荷时，可分别求出每一载荷单独作用时的变形，把各个形变叠加即为这些载荷共同作用时的变形。
在只有均布载荷q 作用时，计算简支梁的支座约束力，写出弯矩方程，利用EI M dxw d =22积分两次，最后得出： 铰支座上的挠度等于零，故有0=x 时，0=w ，因为梁上的外力和边界条件都对跨度中点对称，挠曲线也应对该点对称。
因此，在跨度中点，挠曲线切线的斜率等于零，即：2l x =时，0=dx dw ，把以上两个边界条件分别代入w 和0=dxdw 的表达式，可以求出243ql C -=，0=D ，于是得转角方程及挠曲线方程为： x ql x q x ql EIw ql x q x ql EI dx dw EI 2424122464343332--=--==θ （1） 在跨度中点，挠曲线切线的斜率等于零，挠度为极值，由（1）中式子可得：即EIql w q c 3845)(4-=。
在集中力F 单独作用时，查材料力学中梁在简单载荷作用下的变形表可得EIFl w F c 48)(3-=。
叠加以上结果，求得在均布载荷和集中力共同作用下，梁中点处的挠度是EIFl EI ql w w w F c q c c 483845)()(34--=+=，将各参数代入得m w c 410769.0-⨯=三、问题的ansys 解答建立几何模型此问题为可采用Beam 分析，所以该几何模型可用线表示。
弹性力学发展史及实际中的解题方法
弹性力学弹性力学简介elasticity弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学的发展简史人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。
当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。
弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。
英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。
牛顿于1687年确立了力学三定律。
同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。
在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。
这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。
在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。
到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。
柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。
第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。
这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。
同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。
1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。
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A
xx
dA 0
ydA M
A
xx
xx
M y Jz
A xy
dA 0
A
xx dA
A
M M ydA JZ JZ
M A ydA J Z S Z 0
s s s s
1、侧面（主边界须严格满足）边界：
l x m xy 0 zx 0
l xy m y 0 zx 0
P l zx m zy 0 ( ) 0 A
由于P的分布关系不知， 用等效力系代替： 柱体侧边满足力的边界条件
2、上、下面（次边界可放松作到近似满足）边界：
ij,kk
1 Θ ,ij 0 1
满足
4）检查是否满足应力的边界条件 x s m yx n zx s f x s
xy m y n zy f y xz s m yz n z s f z
满足
3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（常体力时）
ij,kk
1 Θ ,ij 0 1
2 2 1 yz 0 zy 2 2 1 zx 0 xz 2 2 1 xy 0 yx
2 2 1 x 2 0, x 2 2 1 y 2 0, y 2 2 1 z 2 0, z
xy yz zx 0
1 p(1 2 ) x ( p 2 p ) y z E E
6）求位移分量： 代入几何方程并积分可求位移
p(1 2 ) p(1 2 ) u x f1 ( y , z ) x c3 y c 2 z 1 E E
ij,kk
1 Θ ,ij 0 1
满足
这组应力满足无体积力时的平衡方程和用应力表 示的协调方程 4）检查是否满足应力的边界条件 a）侧面（n=0）应力边界条件 fx 0 fy 0 fz 0
代入边界条件
满足
b）右端面：由于外力M 的分布规律未知，只能用圣维南原理， 写出静力等效的边界条件： 方向余弦为 ： x 1 m y 0, n z 0
代入（A）满足
c）上、下面： n 1
m0
x
fx 0 f y 0 上面面力： fx 0 下面面力： fy 0
f p fz p
代入（A）满足
因此，x=y=z=-p，xy=yz=zx=0 满足应力法的所
有方程，为真解 5）求应变分量：
由物理方程得应变
1 1 x x ( y z ) ( p 2 p) E E p(1 2 ) y z E
s s s s s
1、检查在柱体侧边（主要边界） fi
0
n3 n 0
l x m xy 0 zx 0
l xy m y 0 zx 0
柱体侧边满足力的边界条件
l zx m zy 0 ( gz) 0
X Y Z 0 fi
yy zz yz zx xy 0
其中 J z 为绕
z 轴的截面惯性矩
解：1）设应力： xx
M y Jz
yy zz yz zx xy 0
2）检查是否满足平衡微分方程 ji,j+Fi =0
满足
3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（无体力时）
p(1 2 ) p(1 2 ) v y f 2 ( z, x) y c1 z c3 x 2 E E
p(1 2 ) p(1 2 ) w z f 1 ( x, y ) z c2 x c1 y 3 E E
例题2 等截面柱体在自重作用下。 等截面柱体受体力Fz= -g（在图示坐标系）为 柱的密度，g为重力加速度。 而 Fx=Fy=0
P A zz dA A AdA P
满足
5）求应变分量：
由物理方程得应变
xx yy E
yz zx xy 0
zz E
6）求位移分量：
u x x v y y w z z
u
E
w
x f1 y, z
v
E
y f 2 z, x
1）由 u 0 0 ，可知三个函数 f i i 1,2,3 中无常数项；
E
z f 3 x, y
2）由 yz 0 ，即 f 2 z, x f 3 x, y 0 、再微分一次得到，
为使柱体不能随便移动,假设原点的位移为零;为使柱体不 能随便转动,规定过原点的微分线段dx、dy、dz中的任何 1 1 两根保持不动。 e e u
u0 0
0 0
ui , j
0
k
yz zx xy 0
0
2
ijk
ij
2
kij
j ,i
i j
可以得到六个条件 由应变及几何方程，得到三个位移为
x=y=z=-p
xy=yz=zx=0
mn0
a）前、后面： 1
fx p 前面面力：
fy 0 fy 0
fz 0 fz 0
后面面力： f x p
代入（A）满足
z
b）左、右面： m 1 fx 0 左面面力： 右面面力： f x 0
n0
4）检查是否满足应力的边界条件
x s m yx n zx s f x xy m y n zy f y xz s m yz n z s f z
s s s s s
z
（A） y x
w v y z u w zx z x v u xy x y
yz
代入几何方程并积分可求位移
为了确定位移，要给出位移的限制条件，以避免位 移的不唯一性。由于物体的刚性位移只包含六个量， 只要给出六个不重复的约束条件，即可确定出位移。
限制条件为：坐标原点的位移和转动为零，即：
采用应力法及逆解法，猜应力：x=y=z=-p，
xy=yz=zx=0；应力解是否满足力的边界条件?是否为真
解?它须满足平衡微分方程和应力表示变形协调方程
解：1）设应力：x=y=z=-p 2）检查是否满足平衡微分方程
xy=yz=zx=0 ji,j+Fi =0
满足
3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（无体力时） 1 ij,kk Θ ,ij 0 满足 1
5）求应变分量：
由物理方程得应变
x y
g
E
z
g
E
z
xy yz zx 0
6）求位移分量： 代入几何方程并积分可求位移
例3：等直杆受均匀拉伸，求应力分布。
解：1）设应力：
应力法求解
2）检查是否满足平衡微分方程 ji,j+Fi =0 满足 3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（常体力时）
2、检查在柱体底边（z=0）： l=m=0，n=-1 应力解代入力的边界条件
(1) zx 0
(1) zy 0
(1) ( g 0) 0
柱体底边满足力的边界条件
3、检查在柱体顶边（z=l）：
l=m=0，n=1
面力未给出，但面力的合力与应力满足平衡。
因此，应力解x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz 可以作为 本题的解答（在柱体顶边附近不能用）
u x a x v y a y w z b z
Lame-Navie方程
满足
3）求应变分量： 由几何方程
yz
1 w v 0 2 y z 1 u w zx 0 2 z x
l zx m zy 0 ( z ) 0
解出：
2、上、下面（次边界）边界：
x y 0
z 1
代入a值： 再利用弹性摸量E的关系
边界可放松
P A zz dA A AdA P
其中
由 将a、b代回：
求得位移分量为：
例题4
y为对称轴
xx
M y Jz
将应力分量代入，显然均能满足。
4）检查是否满足应力的边界条件
x s m yx n zx s f x xy m y n zy f y xz s m yz n z s f z
第五节 弹性力学简单问题的求解
简单问题：应力及应变是物体中的点坐标的线
性函数或是常数值的问题。此时，当体积力为 零时，应力恒满足Beltrami-Michell相容性条 件，只剩下平衡方程和边界条件需要处理。
例题 正六面体不受体力作用，但各表面受均匀压力p作用。
这个问题为（相当于）静水压力问题
式，从而可知三个函数无相应变量二次以上的项，即仅有一次项。
4）由 ui, j
0
从而得到位移为 ： u
0 i j 可知三个函数中无一次项。 P
E x EA x
v E
y
P
EA
y
P w z z E EA
解法2： 再用位移法求解，位移边界条件可取，在x=y=z=0处
采用位移法及逆解法
根据实验观察的结果，主体拉伸时的 变形可直接设
2）检查是否满足位移表示的平衡微分方程
( G ) G 2 u Fx 0 x ( G ) G 2 v Fy 0 y ( G ) G 2 w Fz 0 z