二元一次方程组思维导图(超全)(可编辑修改word版)
2020-2021学年七年级数学下册《 二元一次方程》
二元一次方程（组）【思维导图】【知识要点】知识点一 二元一次方程（组）有关概念二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
【注意】1） 二元：含有两个未知数；2）一次：所含未知数的项的次数都是1。
例如：xy=1，xy 的次数是二，属于二元二次方程。
2） 方程：方程的左右两边必须都是整式（分母不能出现未知数）。
二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．【注意】1） 在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以求出另一个未知数的值。
2） 二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。
二元一次方程组的概念：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．【注意】1）二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，如⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，x ＋2y ＝2也是二元一次方程组。
这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须一共含有两个未知数。
3） 方程组中的各个方程中，相同字母必须代表同一未知量。
4） 二元一次方程组中的各个方程应是整式方程。
二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
【注意】1）二元一次方程组的解是方程中每个方程的解。
2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的，但是有的方程组有无数个解或无解。
如：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，4x ＋4y ＝20.有的方程组无解，如：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，x ＋y ＝2.【典型例题】考查题型一 利用二元一次方程组有关概念解决相关问题典例1下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）A ．4237x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2311546a b b c -=⎧⎨-=⎩C ．292x y x ⎧=⎨=⎩D ．284x y x y +=⎧⎨-=⎩变式1-1下列各组数值符合二元一次方程x ﹣3y ＝4的解的是（ ）A ．11x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=⎩C ．12x y =-⎧⎨=-⎩D ．41x y =⎧⎨=-⎩ 变式1-2二元一次方程2x +y ＝5的正整数解有（ ）A ．一组B ．2组C ．3组D ．无数组变式1-3方程(m －2 016)x |m|－2 015＋(n ＋4)y |n|－3＝2 018是关于x 、y 的二元一次方程，则( )A ．m ＝±2 016；n ＝±4B ．m ＝2 016，n ＝4C ．m ＝－2 016，n ＝－4D ．m ＝－2 016，n ＝4 变式1-4方程组10216x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是（ ） A ．64x y =⎧⎨=⎩ B ．56x y =⎧⎨=⎩ C ．36x y =⎧⎨=⎩ D ．28x y =⎧⎨=⎩知识点二 解二元一次方程组消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。
初中数学《二元一次方程组》单元教学设计以及思维导图
二元一次方程组适用年七年级级所需时8课时间主题单元学习概述(说明：简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，单元的学习重点和难点、解释专题的划分和专题之间的关系，单元的主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500) 学习本单元要注重方程的发展，从一元到二元或多元的转化，组成是二元一次方程组的定义，解法，和利用二元一次方程组解决实际问题。
重点是二元一次方程组的解法，和解实际问题，难点是列二元一次方程组解决实际问题。
要注意对方程已有认识的发展，重视消元思想。
引导学生主动性学习，和探究性学习。
重视效果，基础知识的理解。
提高学生的能力。
通过理解二元一次方程组分析，培养学生解决实际问题的基本能力，学生理解后，对今后的今后的学习帮助很大，学生能理解关注数学文化，结合二元一次方程组，受到思想教育。
注重实际问题情景，体现数学建模思想，从而提高学生的利用二元一次方程组分析问题和解决问题的能力。
数学基础知识得到巩固，有利于数学教学。
主题单元规划思维导图（说明：将主题单元规划的思维导图导出为jpeg文件后，粘贴在这里；如果提交到平台，则需要使用图片导入的功能）主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：1、使学生了解二元一次方程、二元一次方程组及其相关概念，能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的连个个相关的等量关系2、理解和掌握二元一次方程组的意义，解法3、能利用二元一次方程组解决数学实际问题。
过程与方法：1、经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型2、了解把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的思想方法3、经历从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想情感态度与价值观：1、通过消元思想体现数学学习中“化未知为已知”的划归思想方法，树立辩证唯物主义的思想方法2、通过探究实际问题，体会数学的应用价值，提高分析问题，解决问题的能力对应课标（说明：学科课程标准对本单元学习的要求）1. 能根据具体问题中的数量关系列出方程组，体会方程是刻画现实数量关系的有效模型。
初中数学《二元一次方程组》单元教学设计以及思维导图
二元一次方程组单元主题设计组及平面解析几何等知识的基础.也可以说本单元的知识是整个初中数学知识体系中数与式部分的必备基础知识．主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能：1．以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型.2．了解二元一次方程组及其相关概念，能设两个未知数，并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系．3．了解解二元一次方程组的基本目标：使方程组逐步转化为x=a，专题问题设计问题1：什么是二元一次方程？观察方程组和一元一次方程2x+(22-x)=40有什么关系？问题2：怎样解方程组这两个方程中x，y的系数有什么样的关系？能不能发现新的消元方法？问题3：李明和妈妈买了18元的苹果和梨共5千克，1千克苹果售价4元，1千克梨售价3元，李明和妈妈买苹果和梨各多少千克？问题4：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比2：5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨.这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？问题5：观察方程组中的两个方程：这两个方程中y的系数有什么样的关系？能不能发现新的消元方法？问题6：2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？问题7：怎样解下面的二元一次方程组呢？所需教学环境和教学资源活动3：归纳总结代入消元法的概念【活动步骤】（1）讨论如何把二元转化为一元（2）伙伴共同探究什么是消元（3）师生总结定义第二课时：消元—解二元一次方程组活动1：解方程组,【活动步骤】（1）分组解方程组，看哪组又对又快（2）讨论这个方程组中未知数的系数有什么特点？（3）探究根据这一特点可以采用什么办法活动2：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组【活动步骤】（1）分组探究解法，一部分用代入法，一部分用上一题的方法。
人教版数学七下第八章《二元一次方程组》word知识点整理
第八章二元一次方程组二、基本定义：1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
三、二元一次方程的解法：1、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数又多变少。
（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、把x、y的值用｛联立起来即“联”2、加减消元法解二元一次方程组(1) 两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
(2)用加减消元法解二元一次方程组的解1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。
人教版七年级下册数学：第八章 二元一次方程组
4.了解三元一次方程ห้องสมุดไป่ตู้及其解法，进一步体会 “消元”思想，能根据三元一次方程组的具体 形式选择适当的解法。
• 小组展示一
1.本章学习了哪些内容？ （列举全面） 每一个内容都举例说明.
• 小组展示二
2.本章有哪些数学思想方法比较常用？ 举例说明.
• 小组展示三 3. 绘制《二元一次方程组》思维导图.
• 本章学习要求：
1.了解二元一次方程及其概念；
2.能设两个未知数列出二元一次方程组解决实际 问题，在此过程中体会方程组是重要的数学模 型；
第八章 二元一次方程组
（构建知识体系）
• 自我梳理总结
参照目录和第110页本章《小结》 1.本章学习了哪些内容？ （列举全面）
每一个内容都举例说明. 2.本章有哪些数学思想方法比较常用？
举例说明. 3.本章经典题型有哪些？（搜集你见到过的） 4.本章易错点在哪里？（搜集以往自己的） 5. 绘制《二元一次方程组》思维导图.
初中数学《二元一次方程组》单元教学设计以及思维导图
初中数学《二元一次方程组》单元教学设计以及思维导图1.培养学生对数学的兴趣和热爱，认识数学在现实生活中的应用和重要性。
2.培养学生的思维能力和解决问题的能力，提高学生的自信心和创造力。
3.培养学生的团队合作意识和沟通能力，鼓励学生互相研究和帮助。
4.培养学生的责任感和积极性，鼓励学生勇于尝试和探索新的知识和方法。
本单元的研究目标包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面。
学生将学会利用二元一次方程组解决实际问题，了解二元一次方程组及其相关概念，掌握解二元一次方程组的代入法和加减法，以及了解三元一次方程组及其解法。
同时，学生将培养类比思维、应用意识、团队合作和创造力等方面的能力，提高自信心和责任感。
本单元的研究将为今后研究不等式组、线性方程组及平面解析几何等知识奠定基础，是整个初中数学知识体系中数与式部分的必备基础知识。
1.研究二元一次方程组的应用价值，感受数学文化。
2.培养学生的方程意识，渗透方程思想。
3.在解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高研究数学的兴趣。
同时，敢于发表自己的见解，理解他人的看法并与他人交流。
根据课标，本单元旨在通过实际问题，让学生体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型，研究二元一次方程组及其解法和应用，提高分析问题、解决问题的能力。
在专题一中，学生已经熟悉了一元一次方程的解法，本节课将介绍二元一次方程组的概念。
学生可以通过分别考虑两个等量关系，分别列出两个方程的方式来列二元一次方程组。
但是，由于方程中出现两个未知数，因此如何解方程组成为新问题。
本节课的重点问题是如何用一个未知数表示另一个未知数。
这为后面研究消元法解二元一次方程组做好铺垫。
通过学生对实际例子的分析，实现对二元一次方程的把握，从而提高利用二元一次方程解决实际问题的能力。
在本节教学中，应对列检验二元一次方程（组）的解以及用一个未知数表示另一个未知数进行充分的指导和训练，让学生列方程解应用题，进行分组讨论。
七年级下册数学第一章思维导图
▲七年级下册数学各章节思维导图▲一、相交线两条直线相交，形成4个角。
1、两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。
性质是对顶角相等。
①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。
具有这种关系的两个角，互为邻补角。
如：∠1、∠2。
②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。
如：∠1、∠3。
③对顶角相等。
二、垂线1．垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
2．垂线：垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
3．垂足：两条垂线的交点叫垂足。
4．垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
三、同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成8个角。
1．同位角：（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧）在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。
如：∠1和∠5。
2．内错角：（在两条直线内部，位于第三条直线两侧）在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。
如：∠3和∠5。
3．同旁内角：（在两条直线内部，位于第三条直线同侧）在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。
如：∠3和∠6。
四、平行线及其判定平行线1.平行：两条直线不相交。
互相平行的两条直线，互为平行线。
a∥b（在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
）2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。
如果b//a,c//a,那么b//c平行线的判定：1.两条平行线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
初中数学《二元一次方程(组)》单元教学设计以及思维导图
知识技能：
1、通过与一元一次方程的比较，能说出二元一次方程的概念，并会辨别一个方程是不是二元一次方程；
2、通过探索交流，会辨别一个解是不是二元一次方程的解，能写出给定的二元一次方程的解，了解方程解的不唯一性；
3、会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。
过程与方法：
3、对于数量关系你会怎样用？
所需教学材料和资源
信息ห้องสมุดไป่ตู้资源
多媒体投影实物投影
常规资源
常用学具
教学支撑环境
多媒体教室
其他
纸笔等
思考：这个问题中，有几个未知数？能列一元一次方程求解吗？
如果设黄卡取x张，蓝卡取y张，你能列出方程吗？
3、在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米。如果设轿车的速度是a千米/时，卡车的速度是b千米/时，你能列出怎样的方程？
二、活动2
1、引导学生观察所列的方程：5x+2y=22，2a+3b=20，这两个方程有哪些共同特征？这些特征与一元一次方程比较，哪些是相同的，哪些是不同的？你能给它们取个名字吗？
二元一次方程（组）
适用年级
七年级
所需时间
课内10课时，课外2课时
主题单元学习概述
本章主要内容包括：本章主要内容包括：二元一次方程组及其相关概念，二元一次方程组的解法，利用二元一次方程组分析和解决实际问题。分析实际问题中的数量关系并用二元一次方程组表示是始终贯穿这些内容的主线，而且始终渗透着“数学建模”和“化归”的思想方法。通过丰富实例，从算式到方程建立二元一次方程组，展开方程是刻划现实生活的有效数学模型；通过观察、归纳引出不等式的两条性质，为进一步讨论较复杂的二元一次方程组的解法准备理论依据；从实际问题出发，运用等式的性质解方程，归纳“加减消元”、“代入消元”、等法则，逐步展现求解方程的一般步骤；运用方程解决实际问题，通过探究活动，加强数学建模思想，提高学生分析问题和解决问题的能力。
初中数学《二元一次方程组》单元教学设计以及思维导图
二元一次方程组主题单元设计适用年级七年级（说明：课内共用几课时，每周几课时；课外共用几所需时间课时）6课时主题单元学习概述(说明：简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，单元的学习重点和难点、解释专题的划分和专题之间的关系，单元的主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500)方程组是解决多个未知数问题的有力工具，本章在学生对一元一次方程认识的基础上，对二元一次方程组进行讨论，“10.1认识二元一次方程组”首先从根据已知条件求中国万里长城东、西段的问题入手，引导学生直接用x和y表示两个未知数，并进一步表示问题中的两个等量关系，得到两个方程，然后，教材以这两个具体方程为例，让学生体验二元一次方程和二元一次方程组的特征，归纳二元一次方程组及其解的概念，并估算了二元一次方程组的节“10.2二元一次方程组的解法”就是将二元一次方程组通过消元转换为一元一次方程，二元一次方程组含有两个未知数，如果消掉一个未知数，由两个方程转换为一个方程，由它可以解出一个未知数，然后再设法求出另一个未知数。
“10.3三元一次方程组”介绍了三元一次方程组，加强了知识间的纵横联系。
“10.4列方程组解应用题”列举了几个实际问题，提高学生对以方程组为工具解决问题进行深度思考，增加利用方程组解决实际问题的能力，本章力求使学生经历建立二元一次方程组这种数学模型并应用其解决实际问题的过程，体会方程组的特点和应用，掌握运用方程组解决实际问题的方法，通过分析问题解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识，切实提高利用方程组解决实际问题的能力。
主题单元规划思维导图（说明：将主题单元规划的思维导图导出为jpeg文件后，粘贴在这里；如果提交到平台，则需要使用图片导入的功能，具体操作见《2013学员教师远程研修手册》。
）主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：了解二元一次方程（组）的有关概念，会解简单的二元一次方程组，能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性。
第5章 二元一次方程组 思维图解+综合与实践-知识考点梳理 北师大版数学八年级上册课件
的未知数的相关式子表示，即可得到方程组.
依题意，得 45m+33n=336，解得 n=
−
，又因为 m，
n 均为正整数，所以
m＝6，
n＝2 ．
答：应该租用 45 座客车 6 辆，33 座客车 2 辆，才
能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算．
综合与实践
［点拨］ 应用二元一次方程组解决实际问题时，要找对
题目中的等量关系，可用文字先表示出等量关系，再用设出
方程的解 值，叫做这个二元一次方程的一个解
二元一次 一般地，以一个二元一次方程的解为
方程与一 坐标的点组成的图象与相应的一次函
次函数 数的图象相同，是一条直线
第五章 二元一次方程组
单
元
思
维
图
解
方程组中共含有三个未知数
二
元
一
次
方
程
组
定义
三
元
一
次
方
程
组
所含未知数的项的次数都是 1
共有三个整式方程
代入消元法
第五章 二元一次方程组
课标领航·核心素养学段目标
1. 掌握消元法，能解二元一次方程组.
2. 体会一次函数与二元一次方程的关系.会运用待定系数
法确定一次函数的表达式.
3. * 能解简单的三元一ຫໍສະໝຸດ 方程组.第五章 二元一次方程组
本章内容要点
6 个基本概念：二元一次方程，二元一次方程的解，二
元一次方程组，二元一次方程组的解，三元一次方程，三元
单
元
思
维
图
解
二
元
一
次
方
程
组
二